CONCOURS 3 ANNEE GENIE MECANIQUE ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN COMPOSITION DE MECANIQUE ET AUTOMATIQUE

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1 CONCOURS 3 ANNEE GENIE ECANIQUE ECOLE NORALE SUPERIEURE DE CACHAN Session 2003 COPOSITION DE ECANIQUE ET AUTOATIQUE Durée : 4 heures AUCUN DOCUENT N'EST AUTORISE oyens de calcul autorisés : Calculatrice électronique de poche - y compris calculatrice programmable et alphanumérique - à fonctionnement autonome non imprimante autorisée conformément à la circulaire n du 28 juillet NOTA. - A partir d'un support commun, l'épreuve comporte deux parties totalement indépendantes : 1. écanique générale 2. Automatique (Systèmes asservis linéaires) Le candidat traitera les deux parties. Ces parties peuvent être traitées dans un ordre quelconque. Il est conseillé au candidat de lire attentivement le sujet en entier et d'accorder un temps sensiblement égal pour chacune des parties. Les deux parties traitées seront rédigées sur des copies séparées et il faudra préciser sur chaque copie : Le titre, Le repère de l'épreuve, La partie de l'épreuve traitée, Le nombre de feuilles constituant la copie. Page 1

2 INTRODUCTION L'usinage à grande vitesse (UGV) contribue à l'amélioration de la productivité en permettant des gains de temps et de qualité sur les pièces fabriquées mais exige des performances dynamiques de plus en plus élevées de la part des machines-outils. L amélioration des performances dynamiques est limitée sur les machines outils classique à architecture série (les axes sont montés en série ) en raison des masses élevées des axes. Par exemple, sur la figure 1, l'axe Y supporte l'axe X. Le moteur de l'axe Y doit donc déplacer les deux corps massifs. Pour diminuer les inerties, une solution très intéressante consiste à changer l'architecture cinématique en plaçant les axes non pas en série mais en parallèle (architecture parallèle). Les équipements à structure parallèle étaient, il y a encore quelques temps des curiosités. Aujourd hui le mouvement est lancé chez les constructeurs et chez les fournisseurs, car les grands donneurs d ordre passent commande (Boeing, Carterpillar, BW). Ces machines assurent une très grande productivité (amélioration de 30% par rapport à une machine classique) tout en étant très flexibles, standardisées. Les accélérations peuvent atteindre 50 m/s². Ces machines se présentent sous trois architectures différentes : Type bras fixes : Le porte-outil est au centre de bras à longueur fixe. Des actionneurs font bouger la base des bras. (Renault Automation, Krause&auser, Toyoda), Type simulateurs de vol : la structure repose sur des bras à longueur variable. (Neos Robotics, ikromat, Okuma, CW, DS Technologie, anuc, Siemens, Softmovements), Type exotique, inclassable : il s agit d une machine coréenne à architecture hybride qui change en fonction des applications. (Sena technologies) ig. 1 - achine-outil 3 axes d'architecture série ig. 2 - achine-outil d'architecture parallèle (CW) Nous allons nous intéresser à la solution du type simulateurs de vol appelée machine " hexapode ". La figure 2 montre un exemple de machine-outil parallèle hexapode où l'outil est relié à une base fixe au moyen de six jambes télescopiques montées en parallèle. Les masses en mouvement sont plus faibles que dans une machine-outil sérielle puisque chaque moteur ne déplace que la plateau supportant l'outil. De plus, les jambes ne subissant aucune contrainte de flexion, leur structure peut être allégée. Page 2

3 PREIERE PARTIE ECANIQUE GENERALE Nous vous proposons l'étude du système hexapode représenté en figure 3 composé d une plateforme mobile (représentée par le solide ) reliée à une embase fixe (représentée par le solide ) par 6 vérins montés en «parallèle». Chaque vérin est relié à l embase fixe par une liaison rotule de centre A i et au plateau mobile par une liaison rotule de centre B i. Chaque vérin peut être modélisé par deux solides (un corps de vérin et une tige de vérin) en liaison glissière d axe A B. i i z r z r P O yr () O' u i B i Vérin n i h x r x r O A i () y r ig. 3 Schéma d architecture de la plateforme 6 axes r r Le repère R ( O, x, y, z r ) est lié à l embase fixe notée. Le repère R ( O, x, y, z ) est lié au plateau mobile noté. On définit les vecteurs suivants : OO = x x + y y + ( z + h) z O P = xpx + yp y + zpz O G = X x + y y + ( z + h) z G G G Page 3

4 L orientation de la plateforme mobile est définie à partir les angles d Euler θ 1, θ 2 et θ 3 suivants : y r 1 y r z r 2 z r 1 x r x r 2 x r 1 y r 2 z r r r, z 1 z θ 1 x r x r, x r 1 2 θ 2 y r 1 r r y, 2 y θ 3 z r 2 Les centres des liaisons rotules entre les corps de vérins et l embase fixe (points A i représentés en figure 4) sont répartis sur un cercle de centre O et de rayon r. Les centres des liaisons rotules entre les tiges de vérins et la plateforme mobile (points B i représentés en figure 5) sont répartis sur un cercle de centre O et de rayon r : y r y r A 2 B 3 A 3 r B 4 r O A 1 A 6 α x r O B 2 B 1 β x r A 4 A 5 B 5 B 6 ig.4 Paramétrage de l embase fixe ig.5 - Paramétrage de la plateforme mobile L étude porte sur quatre analyses : L analyse géométrique nécessaire à la localisation et à l orientation de la plateforme dans l espace en fonction de la longueur de chacun des 6 vérins, L analyse cinématique du mécanisme, L'analyse statique pour déterminer les efforts appliqués sur les vérins, l'analyse dynamique pour déterminer les efforts appliqués sur les vérins au cours d un mouvement prédéfini. Page 4

5 A - Analyse géométrique de la plateforme a.1 Exprimer les coordonnées du vecteur O P dans le repère R ( O, x, y, z ) lié à l embase fixe. En déduire la matrice B de changement de base permettant le passage de la base B x y, z à la base B x, y, z. (, ) ( ) a.2 Exprimer les coordonnées du vecteur O P dans le repère R ( O, x, y, z ) lié à l embase fixe a.3 On se place dans une configuration où les 6 vérins ont la même longueur notée l. En déduire les valeurs des paramètres suivants : x, y, z, θ 1, θ 2 et θ 3.Exprimer la longueur l des vérins en fonction de la hauteur h du plateau mobile, des rayons r et r et des angles α et β. B odélisation cinématique de la plateforme b.1 - Représenter le schéma cinématique minimal du mécanisme. b.2 Lister les mobilités utiles du mécanisme. En déduire le nombre de mobilité utile. b.3 Lister les mobilités internes du mécanisme. En déduire le nombre de mobilité interne. b.4 - Déterminer le degré d hyperstatisme de ce mécanisme. b.5 Proposer une solution pour éliminer les mobilités internes du mécanisme tout en conservant le même degré d hyperstatisme. b.6 On se place dans la configuration de la question a.3 où les 6 vérins ont la même longueur notée l. On souhaite étudier un mouvement de translation verticale d axe ( O z, r ) de la plateforme. Déduire à partir du résultat de la question a.3 la loi d entrée/sortie du mécanisme. C Analyse statique Soit la plateforme mobile de masse m et de centre de gravité G. On suppose que les vérins ont tous la même longueur l et sont soumis au chargement iu r i. L axe ( O, z r ) est dirigé suivant la verticale. c.1. Ecrire le torseur des actions de la pesanteur sur le plateau mobile {g } en G. c.2. Ecrire les actions mécaniques du vérin n i sur le plateau mobile {vérin n i } en G. c.3 En déduire le torseur statique du plateau mobile en G. Exprimer l effort dans un vérin en fonction de la masse m et des grandeurs géométriques h, r, r, α et β. Page 5

6 D Analyse dynamique Soit la plateforme mobile de masse m et de centre de gravité G. On se place dans la configuration précédente où les 6 vérins ont la même longueur l et ont une masse négligeable. On s intéresse à un mouvement de translation verticale de la plateforme suivant l axe ( O, r ). z d.1 A partir du Principe ondamental de la dynamique, exprimer l effort dans les vérins en fonction de l accélération de la plateforme. d.2 La loi horaire de position de la plateforme est donnée sur le graphe suivant. En déduire l évolution de l effort dans chaque vérin z G πt z G = Z 1 cos 2T Z T/2 T Page 6

7 DEUXIEE PARTIE AUTOATIQUE Systèmes asservis linéaires Pour étudier la commande du système hexapode (HPS) nous utilisons la plate-forme 6 axes EX800 développée par la société DELTALAB (figure 1). Cet équipement est livré avec un septième vérin monté isolé sur une platine spécifique. Il permet, en outre, de tester l influence des paramètres de l asservissement en s affranchissant des phénomènes de couplage dynamique rencontrés sur la plate-forme 6 axes. Caractéristiques et données techniques igure 1 Vérin : Longueur du vérin rentré : 340 mm, Course : 140 mm, Vitesse maximale : 32 mm/s, Charge maximale : 3 kg, Vis 3 filets au pas de 1 mm, Constante du capteur de position : 0,07V/mm. otorisation du vérin : oto-réducteur à courant continu avec génératrice tachymétique oteur : Tension nominale : 12 V, Vitesse nominale : 7500 tr/min, Constante de couple : 15 mnm/a, Inertie du rotor : 3, kg.m², Constante électrique : 15 mv/rad/s, Résistance rotorique : 12 Ω, Inductance rotorique : 0,55 mh Réducteur : Rapport de réduction : 12,5, Inertie du pignon d entrée : 0, kg.m². Page 7

8 Génératrice tachymétrique : Constante : 0,84 mv/ tr/min Inertie du rotor : 0, kg.m² 1. Etude du moto-réducteur commandé en tension Le schéma-bloc est le suivant : Ω vis Avec : U : tension de commande, R : résistance rotorique, L : inductance rotorique, Kt : constante de couple, Cr : couple résistant, J = inerties des 3 rotors, Ωm : vitesse de rotation du moteur en rd/s, Ke : constante électrique, Ktachy : constante tachymétrique, Ω vis : vitesse de rotation de la vis en rd/s, x : position de la tige du vérin en mm, p étant la variable de Laplace. Ω m(p) 1.1. Calculer littéralement la fonction de transfert H 1 (p) = en faisant Cr = 0. U(p) 1.2. ettre H (p) sous la forme canonique H G 1 (p) = 1 2 (1 + αp + βp ). L 1.3. On pose τe = et β = τ e τ em. Calculer τ em. R 1.4. A quelle condition peut-on approximer H G (p) avec H (p) = 1 2 (1 + τ p)(1 + τ p ). Ωm 1.5. Calculer numériquement H 2 (p) et vérifier l hypothèse faite en ontrer alors que H 2 (p) peut se mettre sous la forme d un premier ordre dominant dont on donnera la valeur de sa constante de temps. e em 2. Asservissement de vitesse Soit le schéma-bloc suivant : Page 8

9 Avec : Cv : consigne vitesse, C(p) correcteur, A : amplificateur de puissance de gain 1,5, 65 Ad : adaptateur de gain 1,25, Kcr : constante, H 2 (p) arrondi à. 1+ 0,025p 2.1. Calculer numériquement le coefficient Kcr (penser au déplacement de Cr vers le premier Ωm sommateur dans le schéma-bloc du moteur) La dynamique de la consigne vitesse Cv étant limitée à ±10 V, justifier le gain de 1,25 pris pour l adaptateur Ad. On prend pour C(p) un correcteur proportionnel de gain C1 = 10 (20 db) Pour Cv = 10 u(t) (échelon de 10 V) et Cr = 0, calculer la vitesse stabilisée du moteur Calculer alors l erreur statique de position en % Peut-on annuler cette erreur par la seule action sur C1, discuter On applique un couple résistant Cr = 5mNm, calculer la nouvelle valeur Cv2 qu il faut donner à Cv pour obtenir la même vitesse stabilisée qu en 2.3. On prend pour C(p) un correcteur C2(p) = 1+ τ2p K2, Cr étant nul. τ p 2.7. Calculer K2 et τ 2 pour que le système en boucle fermée se présente comme un premier ordre ayant un temps de réponse à 95 % de la valeur finale de 7 ms Quelle est l utilité de ce correcteur? 2 3. Asservissement de position On adopte le montage suivant : Ωm Ωm Avec : Cpos : consigne position, Cop : correcteur position, x : position du vérin en mm. Correcteur vitesse C2(p) = 1+ 0,025p 11 0,025p Page 9

10 3.1. Justifier le bloc 0,0382 p assurant le passage de Ωm à x. Avec Cr = 0, on donne les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte (entrée Cpos, sortie sur le capteur de position de gain 0,07). On utilise un correcteur proportionnel de gain Cop xx pour Cop(p) Déterminer les gains proportionnels Cop 45 et Cop 75 qu il faut donner au correcteur Cop pour obtenir un système ayant respectivement une marge de phase de 45 et de Avec le correcteur de gain Cop 45 le système présente t-il un dépassement sur la réponse indicielle? Justifier votre réponse à l aide de l abaque donné en annexe. On donne un gain de 500 (54dB) au correcteur Cop Ce correcteur convient-il pour un système ne présentant pas de dépassement sur la réponse indicielle? On désire déplacer de 100mm la tige du vérin 3.5. Quelle valeur Cpos 100 faut-il donner à la consigne Cpos pour obtenir ce déplacement? 3.6. En appliquant un échelon Cpos 100, quelle serait alors la tension appliquée au moteur?discuter Cpos est une consigne rampe. Déterminer son gabarit (pente en V/s et valeur maximale) pour obtenir un déplacement de 100 mm en respectant une vitesse maximale du moteur de 8000tr/min. Page 10

11 3.8. On veut remplacer le correcteur Cpos analogique par un correcteur numérique. odifier le schéma-bloc du 3. En spécifiant les fonctions ajoutées et la période d échantillonnage choisie. Annexe : Abaque des dépassements transitoires Chauveau J.C Page 11

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