Processus de Poisson Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion. Geneviève Gauthier. Automne HEC Montréal.

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1 Processus de Poisson Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion Geneviève Gauthier HEC Montréal Automne

2 Références Ce texte a été librement inspiré de notes prises au cours de Denis Labelle, professeur au département de mathématique de l Université du Québec à Montréal, des chapitres 4 et 5 de A First Course in Stochastic Processes, deuxième édition de S. Karlin et H. M. Taylor ainsi que des notes de cours écrites par Jean Vaillancourt. 2

3 I Imaginons que des événements se produisent à divers moments ponctuels dans le temps [0, ). Pour tout nombre réel t > 0, nous dé nissons N (t) = le nombre d événements qui se sont produits au cours de la période de temps (0, t]. 3

4 De nition II Le processus stochastique à temps continu fn (t) : t 2 [0, )g est un processus de Poisson d intensité λ (λ > 0) si les trois conditions suivantes sont satisfaites. (PP1) Pour tout choix de nombres réels 0 t 1 < t 2 <... < t n, les s aléatoires N (t 2 ) N (t 1 ), N (t 3 ) N (t 2 ),..., N (t n ) N (t n 1 ) sont mutuellement indépendantes, c est-à-dire qu elles le sont deux à deux, trois à trois, quatre à quatre,... Autrement dit, les nombres d événements qui surviennent dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants. Lorsqu un processus stochastique satisfait la condition (PP1), il est dit à accroissements indépendants. 4

5 III (PP2) Pour tous nombres réels positifs t et h, le nombre N (t + h) N (t) d événements qui se produisent pendant l intervalle de temps (t, t + h] est insensible à la valeur de t et ne dépend que de la longueur de l intervalle h. Dans ce cas, le processus stochastique N est dit stationnaire. 5

6 IV (PP3) P [N (t + h) N (t) 2] = o (h) et P [N (t + h) N (t) 1] = λh + o (h). où o(h) désigne une fonction petit ordre de h. C est-à-dire qui tend vers 0 in niment plus rapidement que h : une fonction f (h) est o(h) si f (h) lim = 0. h!0 h Par exemple, la fonction h 2 est petit ordre de h tandis que la fonction p h ne l est pas. La condition (PP3) signi e que si la longueur h de l intervalle de temps sur lequel nous dénombrons les événements est petite, la probabilité d observer plus d un événement est quasiment nulle. 6

7 V N(t) ,55 1,1 Trajectoire d'un processus de Poisson d'intensité lambda 1,65 2,2 2,75 3,3 3,84 4,39 4,94 5,49 6,04 6,59 7,14 temps 7,69 8,24 8,79 9,34 9,89 10, ,5 12,1 12,6 13,2 N(t) ,58 1,17 Trajectoire d'un processus de Poisson d'intensité lambda 1,75 2,34 2,92 3,51 4,09 4,68 5,26 5,84 6,43 7,01 7,6 temps 8,18 8,77 9,35 9,94 10,5 11,1 11,7 12,3 12,9 13,4 14 Note : lors de ces simulations, nous avons utilisé une intensité λ = 1. 7

8 VI Puisque nous débutons l observation du processus au temps t = 0, N(0) = 0, c est-à-dire que nous n avons dénombré aucun événement. 8

9 VII La condition (PP3) implique que P [N (t + h) N (t) = 0] = 1 P [N (t + h) {z N (t) 1] } =λh+o(h) = 1 λh + o (h) P [N (t + h) N (t) = 1] = P [N (t + h) N (t) 1] {z } =λh+o(h) = λh + o (h). P [N (t + h) N (t) 2] {z } o(h) 9

10 Distribution de N(t) I Theorem Pour tout nombre réel t > 0, la aléatoire N (t) est de loi de Poisson de paramètre λt, c est-à-dire que pour tout entier n non négatif, P [N (t) = n] = e λt (λt) n. n! 10

11 Distribution de N(t) II Preuve du théorème. Dans un premier temps, nous supposerons que n = 0. Puisque les s aléatoires N (t + h) N(t) et N(t) N(0) sont indépendantes, P [N (t + h) = 0] = P [N(t) N(0) = 0 et N (t + h) N(t) = 0] = P [N(t) N(0) = 0] P [N (t + h) N(t) = 0] = P [N(t) = 0] (1 λh + o (h)) ce qui implique que P [N (t + h) = 0] P [N(t) = 0] = P [N(t) = 0] ( λh + o (h)). 11

12 Distribution de N(t) III En divisant par h de part et d autre de l égalité, il vient P [N (t + h) = 0] P [N(t) = 0] h = P [N(t) = 0] ( λh + o (h)). h En prenant la limite lorsque h tend vers 0 de part et d autre de l égalité, nous obtenons d P [N(t) = 0] = λp [N(t) = 0]. dt Puisque P [N(0) = 0] = 1, alors la solution de cette équation di érentielle est P [N(t) = 0] = e λt. (1) 12

13 Distribution de N(t) IV En e et, lors de la résolution d une équation di érentielle, l inconnue est une fonction. Dans notre cas, nous cherchons une fonction g (t) qui satisfait l équation dg dt (t) = λg (t). Or, il est possible de montrer que g (t) = ce λt où c représente n importe quel nombre réel: dg dt (t) = d dt ce λt = λce λt = λg (t). 13

14 Distribution de N(t) V Nous avons tout de même une information supplémentaire: nous savons que g (0) = 1. Cette condition à la frontière implique que 1 = g (0) = ce λ0 = c C est pourquoi g (t) = e λt. 14

15 Maintenant, pour tout entier positif n, = P [N (t + h) = n] n k=0 Distribution de N(t) VI P [N(t) N(0) = n k et N (t + h) N(t) = k] = n P [N(t) = n k] P [N (t + h) N(t) = k] k=0 = P [N(t) = n] P [N (t + h) N(t) = 0] +P [N(t) = n 1] P [N (t + h) N(t) = 1] n + k=2 = P [N(t) = n] (1 λh + o (h)) P [N(t) = n k] P [N (t + h) N(t) = k] +P [N(t) = n 1] (λh + o (h)) + n k=2 P [N(t) = n k] o (h) 15

16 Nous venons d établir que Distribution de N(t) VII P [N (t + h) = n] = P [N(t) = n] (1 λh + o (h)) +P [N(t) = n 1] (λh + o (h)) + n k=2 P [N(t) = n k] o (h) d où P [N (t + h) = n] P [N(t) = n] = P [N(t) = n] ( λh + o (h)) +P [N(t) = n 1] (λh + o (h)) + n k=2 P [N(t) = n k] o (h). 16

17 Distribution de N(t) VIII Divisons par h de part et d autre de l égalité : P [N (t + h) = n] P [N(t) = n] h ( λh + o (h)) = P [N(t) = n] h (λh + o (h)) +P [N(t) = n 1] h + n k=2 P [N(t) = n k] o (h) h. 17

18 Distribution de N(t) IX En prenant la limite lorsque h tend vers 0, nous obtenons pour tout n = 1, 2, 3,... d P [N(t) = n] = λ (P [N(t) = n 1] P [N(t) = n]). (2) dt Il nous faut maintenant solutionner ce système d équations di érentielles. 18

19 Posons Distribution de N(t) X f n (t) = e λt P [N(t) = n]. (3) Il est bon de remarquer qu il découle de l équation (1) P [N(t) = 0] = e λt que f 0 (t) = e λt P [N(t) = 0] = e λt e λt et que pour tout entier positif n, = 1 (4) f n (0) = e λ0 P [N(0) = n] = P [N(0) = n] = 0. (5) 19

20 Distribution de N(t) XI Ainsi, utilisant le système d équations di érentielles (2) d P [N(t) = n] = λ (P [N(t) = n 1] P [N(t) = n]). dt et la dé nition (3) f n (t) = e λt P [N(t) = n], nous pouvons écrire, pour tout entier n > 0, d dt f n (t) = λe λt P [N(t) = n] + e λt d P [N(t) = n] dt = λe λt P [N(t) = n] + e λt λ (P [N(t) = n 1] P [N(t) = n]) = λe λt P [N(t) = n 1] = λf n 1 (t). 20

21 Rappel: nous venons d établir que ce qui est équivalent à Distribution de N(t) XII d dt f n (t) = λf n 1 (t). Z t f n (t) = f n (0) + λ f n 0 Z t = λ f n 1 (s) ds 0 1 (s) ds où la dernière égalité provient de la condition de frontières (5) f n (0) = 0. 21

22 Rappel: Distribution de N(t) XIII Z t f n (t) = λ f n 0 En ajoutant la condition (4) f 0 (t) = 1, 1 (s) ds nous obtenons successivement f 0 (t) = 1, f 1 (t) = λ f 2 (t) = λ f 3 (t) = λ Z t 0 Z t 0 Z t 0 Z t f 0 (s) ds = λ f 1 (s) ds = λ f 2 (s) ds = λ 0 Z t 0 Z t 0 1ds = λt, λsds = λ 2 t 2 2, λ 2 s 2 λ3 t ds = ,... 22

23 Distribution de N(t) XIV Nous pouvons montrer par induction que, pour tout entier non négatif n, f n (t) = (λt)n. (6) n! En e et, lorsque n = 0 nous avons déjà établi que f 0 (t) = 1. 23

24 Distribution de N(t) XV Supposons que l égalité (6) est véri ée pour un certain entier n non négatif et démontrons alors, elle l est aussi pour l entier n + 1 suivant. Z t f n+1 (t) = λ = λ 0 Z t 0 = λn+1 n! = (λt)n+1 (n + 1)! f n (s) ds (λs) n ds par hypothèse d induction n! t n+1 n + 1 ce qui termine la démonstration de l équation (6). 24

25 Distribution de N(t) XVI Par conséquent, comme f n (t) = e λt P [N(t) = n] alors P [N(t) = n] = e λt f n (t) = e λt (λt) n. n! 25

26 I Theorem Le temps entre deux événements successifs suit une loi exponentielle d espérance 1 λ, c est-à-dire que si T 0 = 0 et pour tout n 2 f1, 2,...g, T n = l instant auquel se produit le n ième événement, alors pour tout entier positif n et pour tout nombre réel positif t, P [T n T n 1 t] = 1 e λt. 26

27 II Preuve du théorème. Soit X, le temps avant que le premier événement survienne. Pour tout nombre réel positif x, P [X x] = 1 P [X > x] = 1 P [N (x) = 0] = 1 e λx. 27

28 III Plus généralement, P [T n T n 1 t] = 1 P [T n T n 1 > t] = 1 P [N (T n 1 + t) N (T n 1 ) = 0] = 1 P [N (t) = 0] par (PP2) = 1 e λt. 28

29 I Les admissions à l urgence d un hôpital se font selon un processus de Poisson (ici, l événement est l arrivée d un patient). Nous savons qu en moyenne un patient se présente l urgence à toutes les 12 minutes. Modélisons cette situation : nous commençons l observation du processus disons au début du quart de travail de 7 heures du matin, aujourd hui. Le temps sera exprimé en heures. N (t) = le nombre de patients s étant présentés à l urgence au temps t depuis le moment où nous avons commencé l observation du processus. 29

30 II Question. Quelle est l intensité du processus de Poisson impliqué dans la modélisation? 30

31 III Réponse. Si, en moyenne, il y a une arrivée de patient toutes les douze minutes, alors il y a, en moyenne, cinq arrivées par heure, c est-à-dire cinq arrivées par unité de temps. Par conséquent, l intensité est λ = 5. 31

32 IV Question. Si le préposé aux admissions prend 3 minutes pour remplir le dossier d un patient, quelle est la probabilité qu il ait le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux? 32

33 V Réponse. Nous savons que le temps entre deux arrivées suit une loi exponentielle d espérance 1 λ = 1 5. Or, puisque 3 minutes = 3 1 heure 60 minutes = 1 20 heure, P = P le préposé a le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux 6 4 T n T n 1 {z } de loi exp(0,2) 3 > = e = 0,

34 VI Question. Supposons que le préposé aux admissions commence sa journée de travail à 7 heures du matin, qu il la termine à 15 heures et qu il va dîner de midi à 13 heures. Quelles sont l espérance et la variance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission? 34

35 VII Réponse. Le nombre X de patients se présentant à l urgence au cours de la période de travail du préposé est X = N (5) N (0) {z } nombre de patients se présentant au cours de l avant-midi. Poisson(55) + N (8) N (6) {z } nombre de patients se présentant au cours de l après-midi. Poisson(52). Le nombre Y de minutes passées à remplir des formulaires d admission est Y = 3X. 35

36 VIII Ainsi, E [Y ] = E [3X ] = 3E [X ] = 3E [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 3 (E [N (5) N (0)] + E [N (8) N (6)]) = 3 ( ) = 105 et Var [Y ] = Var [3X ] = 9Var [X ] = 9Var [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 9 (Var [N (5) N (0)] + Var [N (8) N (6)]) par (PP1) = 9 ( ) =

37 IX L espérance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission est de 105 minutes (1 heure et 45 minutes) tandis que son écart-type est de (315) 1/2 = 17, 748 minutes. Bref, nous espérons qu il a autre chose à faire pour s occuper au cours de la journée. 37

38 X Question. Le second hôpital de la région ferme son urgence pour la journée. Notre hôpital doit donc absorber cette clientèle. Sachant que ce second hôpital reçoit, en moyenne, 60 patients entre 7 heures et 15 heures et que ces arrivées se font selon un processus de Poisson, est-ce que le nouveau ot de patients se présentant au premier hôpital est encore un processus de Poisson? Si oui, quelle est son intensité? Sinon, pourquoi? 38

39 XI Réponse. Si les deux processus de Poisson, N et en, modélisant les arrivées des patients dans chacun des deux hôpitaux sont indépendants, alors le nouveau ot de patients, bn = N + en, se présentant au premier hôpital se modélise aussi à l aide d un processus de Poisson. Nous avons déterminé précédemment que l intensité de N est λ = 5. Celle de en se détermine de la façon suivante : comme, en moyenne, il y a 60 patients en 8 heures alors il y a, en moyenne, 7, 5 patients par heure, c est-à-dire eλ = 7, 5 patients par unité de temps. L intensité du nouveau processus de Poisson bn est d intensité bλ = λ + eλ = 5 + 7, 5 = 12, 5. Cela provient du fait que la somme de deux s aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres λ 1 et λ 2 respectivement est de loi de Poisson(λ 1 + λ 2 ). 39

40 XII Si les deux processus N et en ne sont pas indépendants, alors il est possible que la somme de ces deux processus ne soit plus un processus de Poisson. 40

41 XIII Question. Si le préposé aux admissions prend 3 minutes pour remplir le dossier d un patient, quelle est la probabilité qu il ait le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux? 41

42 XIV Réponse. Nous savons que le temps entre deux arrivées suit une loi exponentielle d espérance 1 bλ = 1 12,5 = 0, 08. Or, puisque 3 minutes = 3 1 heure 60 minutes = 1 20 heure, P = P le préposé a le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux 6 4 T n T n 1 {z } de loi exp(0,08) 3 > = e 12., = 0,

43 XV Question. Quelles sont l espérance et la variance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission sachant qu il prend toujours trois minutes par formulaire? 43

44 XVI Réponse. Le nombre X de patients se présentant à l urgence au cours de la période de travail du préposé est X = N (5) N (0) {z } nombre de patients se présentant au cours de l avant-midi. Poisson(12,55) + N (8) N (6) {z } nombre de patients se présentant au cours de l après-midi Poisson(12,52). Le nombre Y de minutes passées à remplir des formulaires d admission est Y = 3X. 44

45 XVII Ainsi, E [Y ] = E [3X ] = 3E [X ] = 3E [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 3 (E [N (5) N (0)] + E [N (8) N (6)]) = 3 (62, ) = 262, 5 et Var [Y ] = Var [3X ] = 9Var [X ] = 9Var [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 9 (Var [N (5) N (0)] + Var [N (8) N (6)]) par (PP1) = 9 (62, ) = 787, 5. 45

46 XVIII L espérance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission est de 262,5 minutes (4, 375 heures) tandis que son écart-type est de (787, 5) 1/2 = 28, 062 minutes. 46

47 I Il est possible que l intensité du processus de Poisson ne soit pas constante dans le temps. Si nous dénotons par λ (t) l intensité qui prévaut au temps t, alors le nombre N (t 1 ) N (t 0 ) d événements qui se produiront pendant l intervalle de temps (t 0, t 1 ] est de loi de Poisson d espérance Z t1 t 0 λ (t) dt. 47

48 II. Nous voulons modéliser les arrivées des clients dans une banque. Il y a, en moyenne, moins de clients aux heures d ouverture (9 heures) et de fermeture (15 heures) et une période de pointe en mi-journée. Comme le temps est mesuré en heures et que la banque est ouverte pendant 6 heures, nous modélisons l intensité du processus par la fonction λ (t) = t (6 t) si 0 t 6 0 sinon. y où le temps t = 0 représente le moment de l ouverture de la banque. 48 x

49 III Posons N (t) = nombre de clients se présentant à la banque pendant l intervalle de temps (0, t] Le nombre N (3) N 3 2 de clients se présentant à la banque entre 10 heures 30 minutes (t = 3 2 ) et midi (t = 3) est de loi de Poisson d espérance Z λ (t) dt = Z t (6 t) dt = 99 8 = 12, 375. (C est une très petite succursale!!!) 49

50 IV Le prix à payer pour une telle généralisation est que le temps entre deux arrivées de clients n est plus nécessairement de loi exponentielle. 50

51 V. Replaçons-nous dans le contexte de l exemple précédent. Soit T = l instant de l arrivée du premier client. Puisqu il est possible qu aucun client ne se présente à la banque au cours d une journée, nous devons dé nir ce que vaut T dans ce cas. Nous choisissons de symboliser cette situation par T =. 51

52 VI Pour tout nombre réel positif t, la fonction de répartition de T évaluée au point t est F T (t) = P [T t] = 1 P [T > t] = 1 P [N (t) = 0]. Or, puisque N (t) est de loi de Poisson d espérance ( R t t3 u 0 (6 u) du = 3t2 3 si 0 < t 6 R 6 0 u (6 u) du + R t 6 0 du = 36 si t > 6, alors 8 >< e P [N (t) = 0] = >: 0 3t 2 t3 3t 2 t ! = exp t 3 3 3t 2 si 0 < t 6 e ! = exp ( 36) si t > 6 52

53 VII et 8 >< F T (t) = 1 P [N (t) = 0] = >: 0 si t < 0 1 exp t 3 3 3t 2 si 0 t 6 1 exp ( 36) si 6 < t < 1 si t =. Remarquons que T est une aléatoire mixte et n est clairement pas de loi exponentielle, et ce,... 53

54 VIII... même si nous conditionnons sur le fait qu il y a au moins un client qui se présente à la banque au cours de la journée : P [T t jn (6) 1] = = P [T t et N (6) 1] P [N (6) 1] 8 >< >: P [T t] P [N (6)1] = 1 0 si t < 0 exp t 3 3 3t 2 si 0 t 6 1 exp( 36) 1 si t > 6. 54