Processus de Poisson Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion. Geneviève Gauthier. Automne HEC Montréal.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Processus de Poisson. 3-602-84 Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion. Geneviève Gauthier. Automne 2007. HEC Montréal."

Transcription

1 Processus de Poisson Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion Geneviève Gauthier HEC Montréal Automne

2 Références Ce texte a été librement inspiré de notes prises au cours de Denis Labelle, professeur au département de mathématique de l Université du Québec à Montréal, des chapitres 4 et 5 de A First Course in Stochastic Processes, deuxième édition de S. Karlin et H. M. Taylor ainsi que des notes de cours écrites par Jean Vaillancourt. 2

3 I Imaginons que des événements se produisent à divers moments ponctuels dans le temps [0, ). Pour tout nombre réel t > 0, nous dé nissons N (t) = le nombre d événements qui se sont produits au cours de la période de temps (0, t]. 3

4 De nition II Le processus stochastique à temps continu fn (t) : t 2 [0, )g est un processus de Poisson d intensité λ (λ > 0) si les trois conditions suivantes sont satisfaites. (PP1) Pour tout choix de nombres réels 0 t 1 < t 2 <... < t n, les s aléatoires N (t 2 ) N (t 1 ), N (t 3 ) N (t 2 ),..., N (t n ) N (t n 1 ) sont mutuellement indépendantes, c est-à-dire qu elles le sont deux à deux, trois à trois, quatre à quatre,... Autrement dit, les nombres d événements qui surviennent dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants. Lorsqu un processus stochastique satisfait la condition (PP1), il est dit à accroissements indépendants. 4

5 III (PP2) Pour tous nombres réels positifs t et h, le nombre N (t + h) N (t) d événements qui se produisent pendant l intervalle de temps (t, t + h] est insensible à la valeur de t et ne dépend que de la longueur de l intervalle h. Dans ce cas, le processus stochastique N est dit stationnaire. 5

6 IV (PP3) P [N (t + h) N (t) 2] = o (h) et P [N (t + h) N (t) 1] = λh + o (h). où o(h) désigne une fonction petit ordre de h. C est-à-dire qui tend vers 0 in niment plus rapidement que h : une fonction f (h) est o(h) si f (h) lim = 0. h!0 h Par exemple, la fonction h 2 est petit ordre de h tandis que la fonction p h ne l est pas. La condition (PP3) signi e que si la longueur h de l intervalle de temps sur lequel nous dénombrons les événements est petite, la probabilité d observer plus d un événement est quasiment nulle. 6

7 V N(t) ,55 1,1 Trajectoire d'un processus de Poisson d'intensité lambda 1,65 2,2 2,75 3,3 3,84 4,39 4,94 5,49 6,04 6,59 7,14 temps 7,69 8,24 8,79 9,34 9,89 10, ,5 12,1 12,6 13,2 N(t) ,58 1,17 Trajectoire d'un processus de Poisson d'intensité lambda 1,75 2,34 2,92 3,51 4,09 4,68 5,26 5,84 6,43 7,01 7,6 temps 8,18 8,77 9,35 9,94 10,5 11,1 11,7 12,3 12,9 13,4 14 Note : lors de ces simulations, nous avons utilisé une intensité λ = 1. 7

8 VI Puisque nous débutons l observation du processus au temps t = 0, N(0) = 0, c est-à-dire que nous n avons dénombré aucun événement. 8

9 VII La condition (PP3) implique que P [N (t + h) N (t) = 0] = 1 P [N (t + h) {z N (t) 1] } =λh+o(h) = 1 λh + o (h) P [N (t + h) N (t) = 1] = P [N (t + h) N (t) 1] {z } =λh+o(h) = λh + o (h). P [N (t + h) N (t) 2] {z } o(h) 9

10 Distribution de N(t) I Theorem Pour tout nombre réel t > 0, la aléatoire N (t) est de loi de Poisson de paramètre λt, c est-à-dire que pour tout entier n non négatif, P [N (t) = n] = e λt (λt) n. n! 10

11 Distribution de N(t) II Preuve du théorème. Dans un premier temps, nous supposerons que n = 0. Puisque les s aléatoires N (t + h) N(t) et N(t) N(0) sont indépendantes, P [N (t + h) = 0] = P [N(t) N(0) = 0 et N (t + h) N(t) = 0] = P [N(t) N(0) = 0] P [N (t + h) N(t) = 0] = P [N(t) = 0] (1 λh + o (h)) ce qui implique que P [N (t + h) = 0] P [N(t) = 0] = P [N(t) = 0] ( λh + o (h)). 11

12 Distribution de N(t) III En divisant par h de part et d autre de l égalité, il vient P [N (t + h) = 0] P [N(t) = 0] h = P [N(t) = 0] ( λh + o (h)). h En prenant la limite lorsque h tend vers 0 de part et d autre de l égalité, nous obtenons d P [N(t) = 0] = λp [N(t) = 0]. dt Puisque P [N(0) = 0] = 1, alors la solution de cette équation di érentielle est P [N(t) = 0] = e λt. (1) 12

13 Distribution de N(t) IV En e et, lors de la résolution d une équation di érentielle, l inconnue est une fonction. Dans notre cas, nous cherchons une fonction g (t) qui satisfait l équation dg dt (t) = λg (t). Or, il est possible de montrer que g (t) = ce λt où c représente n importe quel nombre réel: dg dt (t) = d dt ce λt = λce λt = λg (t). 13

14 Distribution de N(t) V Nous avons tout de même une information supplémentaire: nous savons que g (0) = 1. Cette condition à la frontière implique que 1 = g (0) = ce λ0 = c C est pourquoi g (t) = e λt. 14

15 Maintenant, pour tout entier positif n, = P [N (t + h) = n] n k=0 Distribution de N(t) VI P [N(t) N(0) = n k et N (t + h) N(t) = k] = n P [N(t) = n k] P [N (t + h) N(t) = k] k=0 = P [N(t) = n] P [N (t + h) N(t) = 0] +P [N(t) = n 1] P [N (t + h) N(t) = 1] n + k=2 = P [N(t) = n] (1 λh + o (h)) P [N(t) = n k] P [N (t + h) N(t) = k] +P [N(t) = n 1] (λh + o (h)) + n k=2 P [N(t) = n k] o (h) 15

16 Nous venons d établir que Distribution de N(t) VII P [N (t + h) = n] = P [N(t) = n] (1 λh + o (h)) +P [N(t) = n 1] (λh + o (h)) + n k=2 P [N(t) = n k] o (h) d où P [N (t + h) = n] P [N(t) = n] = P [N(t) = n] ( λh + o (h)) +P [N(t) = n 1] (λh + o (h)) + n k=2 P [N(t) = n k] o (h). 16

17 Distribution de N(t) VIII Divisons par h de part et d autre de l égalité : P [N (t + h) = n] P [N(t) = n] h ( λh + o (h)) = P [N(t) = n] h (λh + o (h)) +P [N(t) = n 1] h + n k=2 P [N(t) = n k] o (h) h. 17

18 Distribution de N(t) IX En prenant la limite lorsque h tend vers 0, nous obtenons pour tout n = 1, 2, 3,... d P [N(t) = n] = λ (P [N(t) = n 1] P [N(t) = n]). (2) dt Il nous faut maintenant solutionner ce système d équations di érentielles. 18

19 Posons Distribution de N(t) X f n (t) = e λt P [N(t) = n]. (3) Il est bon de remarquer qu il découle de l équation (1) P [N(t) = 0] = e λt que f 0 (t) = e λt P [N(t) = 0] = e λt e λt et que pour tout entier positif n, = 1 (4) f n (0) = e λ0 P [N(0) = n] = P [N(0) = n] = 0. (5) 19

20 Distribution de N(t) XI Ainsi, utilisant le système d équations di érentielles (2) d P [N(t) = n] = λ (P [N(t) = n 1] P [N(t) = n]). dt et la dé nition (3) f n (t) = e λt P [N(t) = n], nous pouvons écrire, pour tout entier n > 0, d dt f n (t) = λe λt P [N(t) = n] + e λt d P [N(t) = n] dt = λe λt P [N(t) = n] + e λt λ (P [N(t) = n 1] P [N(t) = n]) = λe λt P [N(t) = n 1] = λf n 1 (t). 20

21 Rappel: nous venons d établir que ce qui est équivalent à Distribution de N(t) XII d dt f n (t) = λf n 1 (t). Z t f n (t) = f n (0) + λ f n 0 Z t = λ f n 1 (s) ds 0 1 (s) ds où la dernière égalité provient de la condition de frontières (5) f n (0) = 0. 21

22 Rappel: Distribution de N(t) XIII Z t f n (t) = λ f n 0 En ajoutant la condition (4) f 0 (t) = 1, 1 (s) ds nous obtenons successivement f 0 (t) = 1, f 1 (t) = λ f 2 (t) = λ f 3 (t) = λ Z t 0 Z t 0 Z t 0 Z t f 0 (s) ds = λ f 1 (s) ds = λ f 2 (s) ds = λ 0 Z t 0 Z t 0 1ds = λt, λsds = λ 2 t 2 2, λ 2 s 2 λ3 t ds = ,... 22

23 Distribution de N(t) XIV Nous pouvons montrer par induction que, pour tout entier non négatif n, f n (t) = (λt)n. (6) n! En e et, lorsque n = 0 nous avons déjà établi que f 0 (t) = 1. 23

24 Distribution de N(t) XV Supposons que l égalité (6) est véri ée pour un certain entier n non négatif et démontrons alors, elle l est aussi pour l entier n + 1 suivant. Z t f n+1 (t) = λ = λ 0 Z t 0 = λn+1 n! = (λt)n+1 (n + 1)! f n (s) ds (λs) n ds par hypothèse d induction n! t n+1 n + 1 ce qui termine la démonstration de l équation (6). 24

25 Distribution de N(t) XVI Par conséquent, comme f n (t) = e λt P [N(t) = n] alors P [N(t) = n] = e λt f n (t) = e λt (λt) n. n! 25

26 I Theorem Le temps entre deux événements successifs suit une loi exponentielle d espérance 1 λ, c est-à-dire que si T 0 = 0 et pour tout n 2 f1, 2,...g, T n = l instant auquel se produit le n ième événement, alors pour tout entier positif n et pour tout nombre réel positif t, P [T n T n 1 t] = 1 e λt. 26

27 II Preuve du théorème. Soit X, le temps avant que le premier événement survienne. Pour tout nombre réel positif x, P [X x] = 1 P [X > x] = 1 P [N (x) = 0] = 1 e λx. 27

28 III Plus généralement, P [T n T n 1 t] = 1 P [T n T n 1 > t] = 1 P [N (T n 1 + t) N (T n 1 ) = 0] = 1 P [N (t) = 0] par (PP2) = 1 e λt. 28

29 I Les admissions à l urgence d un hôpital se font selon un processus de Poisson (ici, l événement est l arrivée d un patient). Nous savons qu en moyenne un patient se présente l urgence à toutes les 12 minutes. Modélisons cette situation : nous commençons l observation du processus disons au début du quart de travail de 7 heures du matin, aujourd hui. Le temps sera exprimé en heures. N (t) = le nombre de patients s étant présentés à l urgence au temps t depuis le moment où nous avons commencé l observation du processus. 29

30 II Question. Quelle est l intensité du processus de Poisson impliqué dans la modélisation? 30

31 III Réponse. Si, en moyenne, il y a une arrivée de patient toutes les douze minutes, alors il y a, en moyenne, cinq arrivées par heure, c est-à-dire cinq arrivées par unité de temps. Par conséquent, l intensité est λ = 5. 31

32 IV Question. Si le préposé aux admissions prend 3 minutes pour remplir le dossier d un patient, quelle est la probabilité qu il ait le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux? 32

33 V Réponse. Nous savons que le temps entre deux arrivées suit une loi exponentielle d espérance 1 λ = 1 5. Or, puisque 3 minutes = 3 1 heure 60 minutes = 1 20 heure, P = P le préposé a le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux 6 4 T n T n 1 {z } de loi exp(0,2) 3 > = e = 0,

34 VI Question. Supposons que le préposé aux admissions commence sa journée de travail à 7 heures du matin, qu il la termine à 15 heures et qu il va dîner de midi à 13 heures. Quelles sont l espérance et la variance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission? 34

35 VII Réponse. Le nombre X de patients se présentant à l urgence au cours de la période de travail du préposé est X = N (5) N (0) {z } nombre de patients se présentant au cours de l avant-midi. Poisson(55) + N (8) N (6) {z } nombre de patients se présentant au cours de l après-midi. Poisson(52). Le nombre Y de minutes passées à remplir des formulaires d admission est Y = 3X. 35

36 VIII Ainsi, E [Y ] = E [3X ] = 3E [X ] = 3E [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 3 (E [N (5) N (0)] + E [N (8) N (6)]) = 3 ( ) = 105 et Var [Y ] = Var [3X ] = 9Var [X ] = 9Var [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 9 (Var [N (5) N (0)] + Var [N (8) N (6)]) par (PP1) = 9 ( ) =

37 IX L espérance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission est de 105 minutes (1 heure et 45 minutes) tandis que son écart-type est de (315) 1/2 = 17, 748 minutes. Bref, nous espérons qu il a autre chose à faire pour s occuper au cours de la journée. 37

38 X Question. Le second hôpital de la région ferme son urgence pour la journée. Notre hôpital doit donc absorber cette clientèle. Sachant que ce second hôpital reçoit, en moyenne, 60 patients entre 7 heures et 15 heures et que ces arrivées se font selon un processus de Poisson, est-ce que le nouveau ot de patients se présentant au premier hôpital est encore un processus de Poisson? Si oui, quelle est son intensité? Sinon, pourquoi? 38

39 XI Réponse. Si les deux processus de Poisson, N et en, modélisant les arrivées des patients dans chacun des deux hôpitaux sont indépendants, alors le nouveau ot de patients, bn = N + en, se présentant au premier hôpital se modélise aussi à l aide d un processus de Poisson. Nous avons déterminé précédemment que l intensité de N est λ = 5. Celle de en se détermine de la façon suivante : comme, en moyenne, il y a 60 patients en 8 heures alors il y a, en moyenne, 7, 5 patients par heure, c est-à-dire eλ = 7, 5 patients par unité de temps. L intensité du nouveau processus de Poisson bn est d intensité bλ = λ + eλ = 5 + 7, 5 = 12, 5. Cela provient du fait que la somme de deux s aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres λ 1 et λ 2 respectivement est de loi de Poisson(λ 1 + λ 2 ). 39

40 XII Si les deux processus N et en ne sont pas indépendants, alors il est possible que la somme de ces deux processus ne soit plus un processus de Poisson. 40

41 XIII Question. Si le préposé aux admissions prend 3 minutes pour remplir le dossier d un patient, quelle est la probabilité qu il ait le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux? 41

42 XIV Réponse. Nous savons que le temps entre deux arrivées suit une loi exponentielle d espérance 1 bλ = 1 12,5 = 0, 08. Or, puisque 3 minutes = 3 1 heure 60 minutes = 1 20 heure, P = P le préposé a le temps de se reposer entre l arrivée de deux patients sachant qu il était inoccupé lors de l arrivée du premier des deux 6 4 T n T n 1 {z } de loi exp(0,08) 3 > = e 12., = 0,

43 XV Question. Quelles sont l espérance et la variance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission sachant qu il prend toujours trois minutes par formulaire? 43

44 XVI Réponse. Le nombre X de patients se présentant à l urgence au cours de la période de travail du préposé est X = N (5) N (0) {z } nombre de patients se présentant au cours de l avant-midi. Poisson(12,55) + N (8) N (6) {z } nombre de patients se présentant au cours de l après-midi Poisson(12,52). Le nombre Y de minutes passées à remplir des formulaires d admission est Y = 3X. 44

45 XVII Ainsi, E [Y ] = E [3X ] = 3E [X ] = 3E [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 3 (E [N (5) N (0)] + E [N (8) N (6)]) = 3 (62, ) = 262, 5 et Var [Y ] = Var [3X ] = 9Var [X ] = 9Var [N (5) N (0) + N (8) N (6)] = 9 (Var [N (5) N (0)] + Var [N (8) N (6)]) par (PP1) = 9 (62, ) = 787, 5. 45

46 XVIII L espérance du temps que le préposé passe, au cours de la journée, à remplir des demandes d admission est de 262,5 minutes (4, 375 heures) tandis que son écart-type est de (787, 5) 1/2 = 28, 062 minutes. 46

47 I Il est possible que l intensité du processus de Poisson ne soit pas constante dans le temps. Si nous dénotons par λ (t) l intensité qui prévaut au temps t, alors le nombre N (t 1 ) N (t 0 ) d événements qui se produiront pendant l intervalle de temps (t 0, t 1 ] est de loi de Poisson d espérance Z t1 t 0 λ (t) dt. 47

48 II. Nous voulons modéliser les arrivées des clients dans une banque. Il y a, en moyenne, moins de clients aux heures d ouverture (9 heures) et de fermeture (15 heures) et une période de pointe en mi-journée. Comme le temps est mesuré en heures et que la banque est ouverte pendant 6 heures, nous modélisons l intensité du processus par la fonction λ (t) = t (6 t) si 0 t 6 0 sinon. y où le temps t = 0 représente le moment de l ouverture de la banque. 48 x

49 III Posons N (t) = nombre de clients se présentant à la banque pendant l intervalle de temps (0, t] Le nombre N (3) N 3 2 de clients se présentant à la banque entre 10 heures 30 minutes (t = 3 2 ) et midi (t = 3) est de loi de Poisson d espérance Z λ (t) dt = Z t (6 t) dt = 99 8 = 12, 375. (C est une très petite succursale!!!) 49

50 IV Le prix à payer pour une telle généralisation est que le temps entre deux arrivées de clients n est plus nécessairement de loi exponentielle. 50

51 V. Replaçons-nous dans le contexte de l exemple précédent. Soit T = l instant de l arrivée du premier client. Puisqu il est possible qu aucun client ne se présente à la banque au cours d une journée, nous devons dé nir ce que vaut T dans ce cas. Nous choisissons de symboliser cette situation par T =. 51

52 VI Pour tout nombre réel positif t, la fonction de répartition de T évaluée au point t est F T (t) = P [T t] = 1 P [T > t] = 1 P [N (t) = 0]. Or, puisque N (t) est de loi de Poisson d espérance ( R t t3 u 0 (6 u) du = 3t2 3 si 0 < t 6 R 6 0 u (6 u) du + R t 6 0 du = 36 si t > 6, alors 8 >< e P [N (t) = 0] = >: 0 3t 2 t3 3t 2 t ! = exp t 3 3 3t 2 si 0 < t 6 e ! = exp ( 36) si t > 6 52

53 VII et 8 >< F T (t) = 1 P [N (t) = 0] = >: 0 si t < 0 1 exp t 3 3 3t 2 si 0 t 6 1 exp ( 36) si 6 < t < 1 si t =. Remarquons que T est une aléatoire mixte et n est clairement pas de loi exponentielle, et ce,... 53

54 VIII... même si nous conditionnons sur le fait qu il y a au moins un client qui se présente à la banque au cours de la journée : P [T t jn (6) 1] = = P [T t et N (6) 1] P [N (6) 1] 8 >< >: P [T t] P [N (6)1] = 1 0 si t < 0 exp t 3 3 3t 2 si 0 t 6 1 exp( 36) 1 si t > 6. 54

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE

LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE LA THÉORIE DES FILES D ATTENTE Origine de la théorie de la fille d attente Cette théorie est une approche mathématique permettant d analyser les files d attente. Elle est basée sur l étude des équipements

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

Estimation et calibration des paramètres

Estimation et calibration des paramètres et calibration des paramètres 6-601-09 Simulation Monte Carlo Geneviève Gauthier HEC Montréal 1 1. Nous allons discuter des diverses façons de déterminer les paramètres des modèles que nous employons lors

Plus en détail

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Projet de Semestre. Processus de Wiener. Analyse de B(u,T) avec racines de l équation de Lundberg complexes

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Projet de Semestre. Processus de Wiener. Analyse de B(u,T) avec racines de l équation de Lundberg complexes ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Projet de Semestre Processus de Wiener Analyse de B(u,T) avec racines de l équation de Lundberg complexes Meichtry Eliane Mathématiques Paroz Sandrine 3ème année

Plus en détail

Chapitre : Fonctions convexes

Chapitre : Fonctions convexes Chapitre : Fonctions convexes I Définition Définition 1 Soit f : I R une fonction continue où I un intervalle de R On dit que f est une fonction convexe si (x, y I 2, λ [0, 1], f(λx + (1 λy λf(x + (1 λf(y

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Systèmes dynamiques. Chapitre 1

Systèmes dynamiques. Chapitre 1 Chapitre 1 Systèmes dynamiques 1) Placement financier On dépose une quantité d argent u 0 à la banque à l instant t 0 = 0 et on place cet argent à un taux r > 0. On sait qu en vertu de la loi des intérêts

Plus en détail

Cours Statistiques L2 Université Nice Sophia-Antipolis. François Delarue

Cours Statistiques L2 Université Nice Sophia-Antipolis. François Delarue Cours Statistiques L2 Université Nice Sophia-Antipolis François Delarue Table des matières Chapitre 1. Rappels de Probabilités 5 1. Espaces de probabilité et Variables aléatoires 5 2. Espérances et variances

Plus en détail

Introduction aux Systèmes Dynamiques

Introduction aux Systèmes Dynamiques Introduction aux Systèmes Dynamiques Introduction Deux grands chapitres : Les équations différentielles ordinaires dans IR Les systèmes d équations différentielles dans IR² Applications : Dynamique des

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Complexité des algorithmes

Complexité des algorithmes Complexité des algorithmes par Robert Rolland R. Rolland, Aix Marseille Université, Institut de Mathématiques de Marseille I2M Luminy Case 930, F13288 Marseille CEDEX 9 e-mail : robert.rolland@acrypta.fr

Plus en détail

Équations différentielles en physique

Équations différentielles en physique Fiche Mathématiques pour la Physique - Équations différentielles en physique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012 Équations différentielles en physique On ne considère en physique en prépa (quasiment) que des

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

EMLYON 2015 S. Éléments de correction

EMLYON 2015 S. Éléments de correction EMLYON 15 S Éléments de correction ECS Lycée La ruyère, Versailles Année 1/15 Premier problème Première partie 1. On peut vérifier le critère de sous-espace vectoriel E et, pour P 1, P E et λ R, λp 1 +

Plus en détail

siècle a commencé le 1 er janvier de l an

siècle a commencé le 1 er janvier de l an Qu est ce qu un siècle premier siècle (I ) commence le 1 er janvier de deuxi (II ) siècle commence le 1 er janvier de XIII XX VIII IV XV Qu est ce qu un siècle premier siècle (I ) commence le 1 er janvier

Plus en détail

RESOLUTION D UNE INEQUATION. Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser

RESOLUTION D UNE INEQUATION. Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser THEME : Les symboles utilisés ( symbole d inégalité ) : Appellation 1 Appellation Appellation Vocabulaire à utiliser < plus petit inférieur strictement inférieur strictement inférieur plus petit ou égal

Plus en détail

TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee

TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee Université Paris VI Master 1 : Modèles stochastiques pour la finance (4M065) 2013/2014 TD 15-16-17 : Martingales et portefeuilles, modèles de Ho et Lee Dans toute cette feuille (sauf dans l exercice sur

Plus en détail

Chapitre I Théorie de la ruine

Chapitre I Théorie de la ruine Chapitre I Théorie de la ruine Olivier Wintenberger ISUP 2, Université Paris VI (slides Olivier Lopez) Année universitaire 2013-2014 1 Risque collectif 2 Modélisation des coûts de sinistres 3 Probabilité

Plus en détail

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles 22 Probabilités conditionnelles Ω, B, P est un espace probabilisé. 22. Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Considérons l expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois un dé

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Université du Québec à Montréal Introduction à l optimisation Donnée dans le cadre du cours Microéconomie II ECO2012 Baccalauréat en économique Par Dominique Duchesneau 21 janvier septembre 2008 Ce document

Plus en détail

CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES

CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES CHAPITRE II NOTIONS DE PROBABILITES II.1. Un exemple : le poker Distribuer une main de poker (5 cartes sur 52) revient à tirer au hasard 5 cartes parmi 52. On appelle expérience aléatoire une telle expérience

Plus en détail

Éléments de correction du TD

Éléments de correction du TD Septembre 011 Éléments de correction du TD Stéphane Blin Introduction Je donne ici les éléments de correction de la question - de la marche de potentiel, ainsi que les éléments de corrections pour les

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties

Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties Systèmes oscillants Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties L'objet de cette ressource est l'étude des systèmes physiques, de type mécanique, électrique ou microscopique, se comportant

Plus en détail

Plan de la présentation. La simulation de Monte Carlo des processus de diffusion. La simulation de Monte Carlo. La simulation de Monte Carlo

Plan de la présentation. La simulation de Monte Carlo des processus de diffusion. La simulation de Monte Carlo. La simulation de Monte Carlo La simulation de Monte Carlo des processus de diffusion Les méthodes stochastiques dans les sciences de la gestion 6-640-93 Geneviève Gauthier Plan de la présentation La simulation de Monte Carlo La simulation

Plus en détail

Calcul Stochastique et Applications Financières

Calcul Stochastique et Applications Financières 0 Calcul Stochastique et Applications Financières Aurélia Istratii Luis Macavilca Taylan Kunal M I.E.F. SOMMAIRE I. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN II. III. INTRODUCTION AUX METHODES DE MONTE CARLO EQUATION

Plus en détail

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie

MEÉF 1 - Mathématiques DS2-5 octobre 2015 Analyse - Géométrie MEÉF - Mathématiques DS2-5 octobre 25 Analyse - Géométrie Eercice Soit E un K-espace vectoriel (K étant le corps R ou C). Deu normes N et N 2 sur E sont dites équivalentes s il eiste deu constantes réelles

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé)

Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) Baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 (sujet dévoilé) EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

PREMIERE ANNEE COMMUNE DES ETUDES DE SANTE. Faculté de Médecine Lyon Est Année Universitaire 2010-2011 UE4. Epreuve du jeudi 16 décembre 2010

PREMIERE ANNEE COMMUNE DES ETUDES DE SANTE. Faculté de Médecine Lyon Est Année Universitaire 2010-2011 UE4. Epreuve du jeudi 16 décembre 2010 PREMIERE ANNEE COMMUNE DES ETUDES DE SANTE Faculté de Médecine Lyon Est Année Universitaire 2010-2011 UE4 Epreuve du jeudi 16 décembre 2010 Dr Claire BARDEL, Dr Marie-Aimée DRONNE, Dr Delphine MAUCORT-BOULCH

Plus en détail

Probabilité d un événement. Combinaisons d événements. Probabilité conditionnelle

Probabilité d un événement. Combinaisons d événements. Probabilité conditionnelle Probabilités classiques Mathématiques discrètes Théorie des probabilités Cours 31, MATH/COSC 1056F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne 7 novembre 00,

Plus en détail

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES OFM FRANÇAISES MATHÉMATIQUES ENVOI NO. 3 CORRIGÉ 1 Exercices du groupe B Exercice 1. Soit n 1 un entier tel que le quotient de 2 n par n est une puissance

Plus en détail

Statistiques. IUT Biotechnologie 2ème année. Jean-Christophe Breton Université de La Rochelle Octobre-Novembre 2008

Statistiques. IUT Biotechnologie 2ème année. Jean-Christophe Breton Université de La Rochelle Octobre-Novembre 2008 Statistiques IUT Biotechnologie 2ème année Jean-Christophe Breton Université de La Rochelle Octobre-Novembre 2008 version du 04 octobre 2008 Table des matières 1 Lois de probabilité usuelles 1 1.1 Dénombrement................................

Plus en détail

CHAPITRE IV: ONDES DE CHOCS DROITES

CHAPITRE IV: ONDES DE CHOCS DROITES CHAPITRE IV: ONDES DE CHOCS DROITES Nous avons souligné au chapitre II, ainsi qu au chapitre III, que pour les écoulements à grande vitesse le modèle continu ne permettait pas de décrire la totalité des

Plus en détail

PARTIE B : TRANSFORMATIONS NUCLEAIRES

PARTIE B : TRANSFORMATIONS NUCLEAIRES PARTIE B : TRANSFORMATIONS NUCLEAIRES (1) Chapitre 4 : Radioactivité, décroissance radioactive Pré requis : La structure de l atome et de son noyau vue en nde et en 1 ère S (composition, ordre de grandeur

Plus en détail

Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =

Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) = Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) = Par Frank Bongongui, Samuël Lin, Ioan T Kint et Babak Zohrevand. Centre scolaire de Ma Campagne à Ixelles Première approche : Recherche

Plus en détail

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2007 08

Mathématiques appliquées à la finance J. Printems Année 2007 08 École Supérieure des Affaires Master 2 Gestion de Portefeuille Université Paris xii Val de Marne Mathématiques appliquées à la finance J Printems Année 2007 08 Correction de l épreuve du 2 février 2008

Plus en détail

Économétrie. Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011

Économétrie. Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011 Francesco Quatraro M1 EFM 2010/2011 1 La violation des hypothèses Le modèle des MCO considère que les hypothèses suivantes sont toutes respectées: H1: le modèle est linéaire en x i,t H2: les valeurs x

Plus en détail

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50

1/4 2/4 3/4 4/4. 10. Estimation MTH2302D. S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016. (v1) MTH2302D: estimation 1/50 10. Estimation MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: estimation 1/50 Plan 1. Introduction 2. Estimation ponctuelle 3. Estimation par intervalles de confiance 4. Autres

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Chapitre 4 Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Equations différentielles Ce chapitre est une première étude des équations différentielles, il vous sera d abord utile en physique et en

Plus en détail

Extraits de Concours

Extraits de Concours Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Prépa HEC 2 disponible sur www.cayrel.net Lycée Lavoisier Feuille d extraits de concours Extraits de Concours 1 HEC Exercice 1 (via HEC - Oral 1997) Écrire un programme qui

Plus en détail

Chapitre 3. Espaces vectoriels

Chapitre 3. Espaces vectoriels Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 3 Espaces vectoriels Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Jean-Louis CAYATTE http://jlcayatte.free.fr/ jlcayatte@free.fr

Jean-Louis CAYATTE http://jlcayatte.free.fr/ jlcayatte@free.fr Jean-Louis CAYATTE http://jlcayatte.free.fr/ jlcayatte@free.fr Chapitre 2 Le nombre es chômeurs Le nombre es chômeurs augmente lorsque les entrées au chômage sont supérieures aux sorties u chômage. Cette

Plus en détail

Feuille 1. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 27 Janvier 2009. A le chambre des députés d un pays composé de 100 départements, chaque

Feuille 1. L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 27 Janvier 2009. A le chambre des députés d un pays composé de 100 départements, chaque Feuille 1 L3 Maths Appliquées lagache@biologie.ens.fr 27 Janvier 2009 1 Combinatoire 1.1 Exercice 1 A le chambre des députés d un pays composé de 100 départements, chaque département est représenté par

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard

Les théorèmes de Gerschgorin et de Hadamard Localisation des valeurs propres : Quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin. Jean-Baptiste Campesato 22 septembre 29 Gerschgorin est parfois retranscrit en Gershgorin, Geršgorin, Hershhornou

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale MT8 A 0 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale. Fonction de répartition.. Variable aléatoire à valeurs réelles Définition : Soit un ensemble fondamental

Plus en détail

Econométrie des modèles de durée

Econométrie des modèles de durée Econométrie des modèles de durée Guillaume Horny Banque de France et UCLouvain Master 2 MOSEF Guillaume Horny (Banque de France) Econométrie des durées (chap 2) 2009 1 / 59 Chapitre 2 : Temps discret et

Plus en détail

Espérances et variances

Espérances et variances [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 201 Enoncés 1 Espérances et variances Exercice 1 [ 04018 ] [Correction] Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a ; b]. a Montrer que

Plus en détail

Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts

Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts Maximisation de la fonction d utilité exponentielleprix d indifférence dans un modèle avec défauts Thomas Lim Université Paris 7-LPMA Travail en collaboration avec Marie-Claire Quenez Séminaire des jeunes

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE NANCY-METZ OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES Session 2011 Séries S et STI Durée : 4 heures L usage d une calculatrice est autorisé. Les candidats doivent traiter les quatre exercices.

Plus en détail

Mesures et analyses statistiques de données - Probabilités. Novembre 2012 - Contrôle Continu, Semestre 1 CORRECTION

Mesures et analyses statistiques de données - Probabilités. Novembre 2012 - Contrôle Continu, Semestre 1 CORRECTION MASTER 1 GSI- Mentions ACCIE et RIM La Citadelle - ULCO Mesures et analyses statistiques de données - Probabilités Novembre 2012 - Contrôle Continu, Semestre 1 CORRECTION Exercice 1 Partie I 12pts 1 Étude

Plus en détail

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système,

(Un) Corrigé du partiel Lundi 19 mars 2007. u u1 = Au = 1 2) 1 t forment une base des solutions de ce système, Université Paris 7 Denis Diderot UFR de Mathématiques Licence L3 Equations différentielles 2006-2007 P. Perrin (Un) Corrigé du partiel Lundi 9 mars 2007 Eercice. On considère le système différentiel linéaire

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

5. Quelques lois discrètes

5. Quelques lois discrètes 5. Quelques lois discrètes MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: Lois discrètes 1/46 Plan 1. Loi de Bernoulli 2. Loi binomiale 3. Loi géométrique 4. Loi hypergéométrique

Plus en détail

4. Equation de Schröninger

4. Equation de Schröninger 4. Equation de Schröninger Introduction Particule libre Paquets d ondes Particule libre localisée Puits de potentiel de profondeur infinie Puits de potentiel de profondeur finie Barrière de potentiel Microscope

Plus en détail

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

L2 2011/2012 USTV. Analyse. numérique M43. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi mai Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez

Plus en détail

Utilisation du théorème de Gauss

Utilisation du théorème de Gauss Utilisation du théorème de Gauss Table des matières 1 Méthode générale 1 2 Plan infini uniformément chargé 2 2.1 Invariances et symétries................................... 2 2.2 Calcul du champ électrique.................................

Plus en détail

Master 2 IMOI - Mathématiques Financières

Master 2 IMOI - Mathématiques Financières Master 2 IMOI - Mathématiques Financières Exercices - Liste 1 1 Comportement d un investisseur face au risque Exercice 1 Soit K la matrice définie par 1 2 [ 3 1 1 3 1.1 Montrer que K est la matrice de

Plus en détail

Chapitre 3 : Le revenu d équilibre

Chapitre 3 : Le revenu d équilibre Chapitre 3 : Le revenu d équilibre - 112 - Dans ce chapitre vous allez : - Distinguer entre la théorie classique et la théorie moderne de l équilibre macroéconomique. - Découvrir l interprétation moderne

Plus en détail

Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes. 1. Introduction décembre 2003

Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes. 1. Introduction décembre 2003 Les réseaux de Petri stochastiques modèles et méthodes 1. Introduction décembre 2003 Serge HADDAD LAMSADE - CNRS Université Paris-Dauphine Patrice MOREAUX LAMSADE & LERI-RESYCOM - URCA t 2 p 3 t 4 p 6

Plus en détail

Statistique (MATH-F-315, Cours #1)

Statistique (MATH-F-315, Cours #1) Statistique (MATH-F-315, Cours #1) Thomas Verdebout Université Libre de Bruxelles 2015 Plan de la partie Statistique du cours 1. Introduction. 2. Théorie de l estimation. 3. Tests d hypothèses et intervalles

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans

Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires dans Sommaire Sandrine CHARLES 1 Introduction... 3 2 Rappels sur les formes de Jordan réelles dans... 4 2.1 Deux valeurs propres réelles distinctes

Plus en détail

Support du cours de Probabilités et Statistiques. IUT d Orléans, Département Informatique

Support du cours de Probabilités et Statistiques. IUT d Orléans, Département Informatique Support du cours de Probabilités et Statistiques IUT d Orléans, Département informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans, Département Informatique Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences)

Plus en détail

Rapport de Recherche. 1 Estimation fonctionnelle en temps continu. 1.1 Vitesses de convergence pour l estimateur à noyau. (D. Blanke - Mars 2008)

Rapport de Recherche. 1 Estimation fonctionnelle en temps continu. 1.1 Vitesses de convergence pour l estimateur à noyau. (D. Blanke - Mars 2008) Rapport de Recherche (D. Blanke - Mars 2008) L essentiel de mes activités de recherche porte sur l estimation fonctionnelle ou paramétrique pour des processus. L ensemble de ces travaux peut se diviser

Plus en détail

EXAMEN INTRA (3/4), ACT 2121

EXAMEN INTRA (3/4), ACT 2121 EXAMEN INTRA (3/4), ACT 2121 ARTHUR CHARPENTIER Les calculatrices sont autorisées. Les documents sont en revanche interdits. Il y a 25 questions. Sur la feuille jointe, veuillez reporter vos réponses (une

Plus en détail

Introduction au cours de physique (1)

Introduction au cours de physique (1) Introduction au cours de physique () Exercices : Petites variations, valeurs moyennes Calculs de petites variations Méthode De manière générale : il est souvent plus simple de faire une différentiation

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Session 2015 Jeudi 18 juin 2015 MATHÉMATIQUES Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LABORATOIRE Spécialité : BIOTECHNOLOGIES Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 4 Calculatrice

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014. TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé

Intégration et probabilités ENS Paris, 2013-2014. TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé Intégration et probabilités NS Paris, 23-24 TD 5 Théorèmes de Fubini, calculs Corrigé xercices à préparer du TD 4 xercice. (Partiel 27 Soit (,,µ un espace mesuré et f : + une fonction mesurable.. On suppose

Plus en détail

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Agrégation externe Année 2003-2004 Corrigé de l exercice sur le test

Plus en détail

Inde, avril 2014, exercice 1

Inde, avril 2014, exercice 1 Sujet 1 Inde, avril 2014, exercice 1 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1 La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser

Plus en détail

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S

ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S ETUDE DES VIBRATIONS 1 Chapitre I - Présentation et définitions 2 Les objectifs à atteindre: 1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer à l'étude des systèmes physiques

Plus en détail

MPEV Modélisation des Processus et Evaluation des Performances

MPEV Modélisation des Processus et Evaluation des Performances 1/119 Modélisation des Processus et Evaluation des Performances Alexandre Aussem Département informatique - EPU Lyon Université Claude Bernard Lyon 1 Web : perso.univ-lyon1.fr/alexandre.aussem 10h CM,

Plus en détail

Autour de a n ± b n. DOMAINE : Arithmétique. NIVEAU : Avancé STAGE : Montpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices

Autour de a n ± b n. DOMAINE : Arithmétique. NIVEAU : Avancé STAGE : Montpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices DOMAINE : Arithmétique AUTEUR : Igor KORTCHEMSKI NIVEAU : Avancé STAGE : Montpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Autour de a n ± b n Ce cours présente des résultats concernant l étude des facteurs

Plus en détail

Probabilité mathématique et distributions théoriques

Probabilité mathématique et distributions théoriques Probabilité mathématique et distributions théoriques 3 3.1 Notion de probabilité 3.1.1 classique de la probabilité s Une expérience ou une épreuve est dite aléatoire lorsqu on ne peut en prévoir exactement

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

Contenu. Sources et références. Classification supervisée. Classification supervisée vs. non-supervisée

Contenu. Sources et références. Classification supervisée. Classification supervisée vs. non-supervisée PJE : Analyse de comportements avec Twitter Classification supervisée Arnaud Liefooghe arnaud.liefooghe@univ-lille1.fr Master 1 Informatique PJE2 2012-2013 B. Derbel L. Jourdan A. Liefooghe Contenu Classification

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines

Plus en détail

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A Épreuve de Mathématiques - sujet A Exercice Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsqu un client loue une voiture, un jour donné, dans

Plus en détail

Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien

Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien . Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien Pablo Crotti Séminaire Automne 009 Sous la direction du Professeur Christian Mazza Table des matières Introduction 4 1 Marches aléatoires & Mouvement

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016 Exercice 1 Commun à tous les candidats Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 216 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des

Plus en détail

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité Corrrigé du sujet de Baccalaurat S Pondichery 2015 Spécialité EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f(x) et la droite d équation et la droite d

Plus en détail

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Fonctions exponentielles et logarithmiques «Ces fonctions sont d une importance considérable en mathématique et ont des applications dans presque tous les domaines de l investigation humaine. Elles se révèlent particulièrement utiles dans les domaines

Plus en détail

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011

Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 Baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011 L utilisation d une calculatrice est autorisée. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points Soit u une fonction définie et dérivable sur l intervalle

Plus en détail

La rentabilité des actifs financiers

La rentabilité des actifs financiers La rentabilité des actifs financiers Définitions : taux de rentabilité (actuariel) = taux d'actualisation qui annule la valeur actuelle nette. «RA» pour un investissement «financier» «RI» pour un investissement

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

Construction du Mouvement Brownien

Construction du Mouvement Brownien Chapitre 1 Construction du Mouvement Brownien 1 Un peu d histoire (voir [7] et [1]) Le nom de mouvement Brownien vient du botaniste Robert Brown. Brown n a pas découvert le mouvement brownien, car n importe

Plus en détail

Machines de Turing. Chapitre 14 14.1. DÉFINITION ET FONCTIONNEMENT

Machines de Turing. Chapitre 14 14.1. DÉFINITION ET FONCTIONNEMENT Chapitre 4 Machines de Turing Dans ce chapitre on présente un modèle de calcul introduit dans les années 3 par Turing, les machines de Turing. Ces machines formalisent la notion de calculabilité. La thèse

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail