E3A 2003 PC Epreuve de mathématiques A Corrigé

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1 EA PC Epreuve de mahémaiques A Corrigé Parie I O obie de suie la courbe suivae : f es de classe C sur [-, ], -périodique, e f(-=f(. Il s e sui que f es coiue e C par morceaux sur R., Par parié, o obie : N b =. Avec ue double iégraio par paries, o obie : Efi, ue iégraio direce fouri : a =. ( N *, a = 4. 4 f es périodique, coiue e C par morceaux sur R. Doc la série de Fourier de f coverge ormaleme vers f sur R. O a e pariculier la covergece simple qui perme d écrire : ( = + 4 = x R, f x cos x. 5 Pour x=, la formule ci-dessus fouri : = + 4, e doc O rouve de même avec x= : =. = 6 = ( =. = Parie II Soi u eier aurel. f es alors coiue sur ],], e o a au voisiage de : f( = o

2 Or, la focio es iégrable sur ], ]. Doc f es iégrable sur ], ]. Aure preuve : Pour, f es e fai prologeable par coiuié au segme [, ], e es doc à ce ire iégrable sur [, ]. Le cas = es par ailleurs bie cou, e peu par exemple se raier par u calcul direc de la limie de l iégrale e remarqua que f es de sige cosa sur ], ]. Pour ε ], ], o fai ue iégraio par paries : + l( d = l( d ε + ε + E remarqua l iégrabilié sur [, ] de (car coiue sur le segme [, ], o + obie alors, e faisa edre ε vers par valeurs supérieures : l( d = d =. + + Fialeme : u = ( + -i O sai que pour ]-, [, o a : O e dédui que, pour ], [ : E d aures ermes :. = ε e = = l( l( e l( = = = f coverge simpleme vers g e ( f =. + ( l =. + coverge simpleme vers h sur ], [. -ii Iégrabilié de g : g es de sige cosa sur ], [ e o a g( l( e o a déjà vu l iégrabilié de l sur ], ½]. Par ailleurs, le chageme de variable =-h more aiséme que lim g( = e doc g es coiue, doc iégrable sur le segme [½, ]. Au fial, g es iégrable sur ], [. Iégrabilié de h : h es coiue sur ], ], de sige cosa, e h l (, ce qui assure de même que h es iégrable sur ], [. Calcul de I : - Les applicaios f so oues coiues e iégrables sur ], [ e f coverge simpleme vers g sur ce iervalle, e g es coiue. - La série umérique f, e d aure ermes la série u = es ( + covergee. Doc, d après le héorème d iégraio erme à erme d ue série de focios, o a :

3 g = f = = 6 = = E doc : I = g =. 6 Calcul de J : La même uilisaio du héorème more que : E doc : J =. ( + + ( ( h= ( f = = =. = = ( + = Parie III h es coiue sur ], ] e o a e : h ( f ( f sur ], ]. Doc h es iégrable sur ], ]. e o a déjà éabli l iégrabilié de O a claireme : - Les h so oues coiues e iégrables sur ], ], doc a foriori sur ], [. - (h coverge simpleme sur ], [ vers la focio ulle θ qui es coiue. - Pour ou ], [, la suie umérique (h ( N es décroissae. De plus, θ es iégrable sur ], [, doc la suie ( d aures ermes : lim J =. h N coverge vers θ=. E -i O applique cee fois le héorème de covergece moooe pour les séries de focios : - Les h so oues coiues e iégrables sur ], ], doc a foriori sur ], [. l( - h coverge simpleme vers u : sur ], [, e u es coiue sur ], [. - Les h so oues égaives. u l, De plus, u es iégrable sur ], [ : e effe u es coiue sur ], [ e o a ( focio do o a déjà démoré l iégrabilié sur ], ], doc a foriori sur ( u = e doc u es iégrable sur ( Doc la série l(. S = J = d = coverge e h -ii E reprea cee derière écriure, o a :,., ; efi, h = u. E d aures ermes : =

4 Doc : S = l( d ( J I + = =. + 6 S =. 4 O a vu que J coverge, e de plus : N, J. Doc J = J Par suie, ( J coverge absolume. Parie IV coverge. O a immédiaeme : J + J+ = u. E muliplia par (- o obie alors : R -R + =(- u, e doc R =R + +(- u. + p p p= E iéra o a pour ou eier : = + + ( R R u. Or, R =(- J e o a moré que J es de limie ulle. Doc lim = e aisi, e faisa edre vers l ifii R + p+ p ( das la relaio ci-dessus, o obie : R = ( up =. Doc p= p= ( p + + p+ ( lim. Or ( R p= + ( p =. p p p Aisi, R+ = = = p = + = + = + = ( + ( + (o a regroupé les ermes par. Aisi, e faisa edre p vers +, o obie : R + =, e fialeme : R ( ( = =. ( ( = = 4 Pour N, o a : ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( E doc :. Or la focio ( + ( + 4 ( + 4 es coiue, décroissae, e + d doc, par comparaiso avec ue iégrale o a 4(. Doc : d ( ( = Par ailleurs : Doc ( + ( + 4 ( + iégrale éabli :, e le même raisoeme de comparaiso avec ue 4

5 d + ( ( Cee iégalié es pas celle demadée, mais me paraî êre la plus cohéree. L iégalié de l éocé peu éamois êre prouvée : e calcula l iégrale, il s agi de prouver que : , ce qui équivau à, qui ( + ( + ( + ( + ( + ( + équivau lui-même à ( + ( 4+ 5 ( +, ce qui doe après développeme : 6 ++, ce qui es bie réalisé pour ou. 5 La focio 4 éa iégrable sur [, +[, o e dédui e somma : d d + 4 = ( + ( +. 4 E doc : R Par suie : ( ( + ( ( + R+ + + quad ed vers l ifii. Doc, d après le héorème des gedarmes : Or lim ( + R = + R + + =. ( R +, e les deux ermes exrêmes ede vers lim, doc 7 Sacha que J =(- R, o a alors : lim( + J+ = = lim J. Il s e sui que : lim J =, e doc J. Parie V l( R =. P Soi P R[X]. L applicaio m : es coiue sur ], ], e P es coiu, + doc boré par ue cosae K sur le segme [, ]. Doc o a sur ], ] la majoraio : m Kl ce qui prouve l iégrabilié de m sur ], ]. Doc T(P es bie défii. ( ( T es rivialeme liéaire à valeurs das R. cqfd. O a alors, pour P R[X] avec P = a X : = 5

6 l ( ( ( a l d P d = (. T P = a J P J + + = = (oues les iégrales écries éa bie licies. Fialeme, sacha que J e que ( J = (cf parie III, o a ( J ( J, e doc : T( P = = = P. 4 De la liéarié de T o e dédui, pour P, Q R[X] : T( P T( Q = T( P Q P Q, e doc T es -lipschiziee. 5 Appelos A l esemble e quesio. D après la quesio, A es majoré par (e claireme mioré par, doc A es boré, e sup(a. Par ailleurs, e cosidéra le polyôme ce qui assure ( J A. Doc ( J = obie sup(a= = = X, o a bie = P sup(a P =, e T( P = ( J, = e, e faisa edre vers l ifii, o 6

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