Le plus grand facteur premier de n où n est presque premier

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Le plus grand facteur premier de n 2 + 1 où n est presque premier"

Transcription

1 ACTA ARITHMETICA LXXVI L lus grand factur rmir d n où n st rsqu rmir ar Cécil Dartyg Nancy 0 Introduction En 1895, Tchbychv a montré qu si P désign l lus grand factur rmir du roduit n n2 + 1, alors l raort P / tnd vrs quand tnd vrs C résultat a été amélioré t généralisé tout au long du siècl ar d nombru mathématicins, notammnt ar Hooly [Ho], qui n 1967, n aortant lusiurs idés nouvlls à la méthod d Tchbychv, a obtnu la minoration P > 11/10, our assz grand En articulir, il introduisit du cribl our étudir la somm : < P log {0 n : n mod }, c qui l a conduit à stimr ds somms d onntills du ty hv, m m M 0 v<m v mod m avc la notation usull t = 2iπt Un oint rmarquabl d sa ruv fut alors d transformr ctt somm n un somm d Kloostrman ortant sur un tit dénominatur, c st-àdir, un somm du ty Sh, k; s = hu + ku 0 u<s u,s=1 l symbol u désign un invrs d u modulo s, où s st infériur à 2M 1/2, our aliqur ls majorations d Wil : Sh, k; s h, k, s 1/2 s 1/2+ε s 1991 Mathmatics Subjct Classification: 11L05, 11N32, 11N36 [199]

2 200 C Dartyg Ctt transformation ros sur la corrsondanc d Gauss ntr ls solutions v mod m t ls écriturs d m sous la form m = r 2 +s 2 ; lus récismnt, on a l lmm : Lmm 0 Gauss Pour m > 1, il ist un corrsondanc bijctiv ntr ls rrésntations d m sous la form m = r 2 + s 2, avc r, s = 1, r < s t ls solutions d v mod m Ctt bijction st donné ar v m = r s r sr 2 + s 2 mod 1, où r désign l invrs d r modulo s En 1982, Dshouillrs t Iwanic [D-I1] ont rris ls idés d Hooly, our y injctr ls rmarquabls résultats sur ls majorations d somms d Kloostrman n moynn sur h, k, s, qu ils avaint établis dans [D-I2] t sont ainsi arrivés à la minoration : our tout ε > 0 t our assz grand, P > θ ε, avc θ = L oint d déart d notr travail fut d étudir c qu dvnaint cs résultats lorsqu l on rmlaçait n ar un nombr rmir, c st-à-dir, d étudir l lus grand factur rmir P + du roduit Un utilisation dirct du théorèm d Brun Titchmarsh ar ml sous la form énoncé dans [I2] our détctr ls ±v mod q, avc 0 v < q, v mod q fournit la minoration P + > γ, avc γ = 078 infériur à 1 Il st alors naturl d étudir l lus grand factur rmir du roduit ñ ñ2 + 1, où ñ st un ntir ayant u d facturs rmirs t la notation n signifi n [, 2] L objt d ct articl st ainsi d montrr l Théorèm Soit < 1/122 Il ist ε > 0 tl qu our assz grand, on ait l inégalité {n : n >, P + n > 1+ε } / log, où P + n désign l lus grand factur rmir d n, avc la convntion P + 1 = 0 La ruv d c théorèm rrnd la méthod d Tchbychv Hooly, mais l fait d travaillr avc ds nombrs rsqu rmirs modifi snsiblmnt touts ls étas d la démonstration En articulir, lorsqu st suériur à, l stimation d la somm <<P log {ñ : ñ mod } st lus ardu

3 L lus grand factur rmir d n On détct ls ntirs rsqu rmirs ñ, t ls nombrs rmirs, avc un cribl d dimnsion 2 aliqué au roduits mn, avc n mod m Il faut alors stimr ls quantités log m {n : n 0 mod a, n mod m} m M m 0 mod d On dévlo n séri d Fourir ls congruncs sur n, mais la condition n 0 mod a rturb ls transformations ds somms d onntills qu l on rncontr alors Arès qulqus transformations utilisant l lmm 0, la somm qu l on obtint st finalmnt d la form gd, δ, h, k, s F, h, k, d, s δ< h H k K d D a d,h,k s S s,d=1 mod δ δ u,s=1 hdu + ku, s où g st un fonction liss, F st un fraction rationnll t l symbol indiqu qu ls ôls d F sont clus d la somm sur Ctt somm dénd d s mod δ t cass ainsi la lissité sur s Ls résultats d Dshouillrs t Iwanic d [D-I2] n sont lus alicabls t on stim finalmnt ls somms sur t sur u à l aid ds résultats d Wil d géométri algébriqu Ls différnts aragrahs d ct articl corrsondnt au étas d la méthod d Tchbychv Hooly L aragrah 7 st l assag crucial d la démonstration, on y trait la somm critiqu résnté dans ctt introduction J tins à rmrcir l Profssur Etinn Fouvry our tout l aid qu il m a aorté lors d la réalisation d c travail 1 La méthod d Tchbychv Soint > 2 t f un fonction d class T C, ositiv, à suort dans [, 2] t tll qu f l t t l, our tout l N la constant dans n déndant qu d l On os 0 = ft dt; on a alors 0 Pour > 0, on définit la quantité V = fn logn n > La méthod d Tchbychv consist alors à évalur la quantité V d du manièrs différnts, dont l un dénd d P +, l lus grand factur rmir du roduit V On commnc ar stimr V rsqu dirctmnt à artir du résultat classiqu concrnant ls ntirs sans tit factur rmir Nous n donnons un form très fort du à Tnnbaum [T], théorèm 3, 406 :

4 202 C Dartyg Lmm 11 Soit la fonction Φ, y = {n : n > y} On os u = log / log y On a, alors, uniformémnt our y 2, l égalité Φ, y = wu y + O log y log y 2, où w st la fonction d Buchstab t st solution, our u > 1, d l équation différntill au différncs { uwu = wu 1 si u > 2, uwu = 1 si 1 u 2 Nous n avons as bsoin d tout la uissanc d c résultat, car dans la suit on rndra y =, avc constant comris ntr 0 t 1, mais c lmm s aliqu facilmnt our montrr l Lmm 12 Pour 0 < < 1, on a l égalité V = 2w O log P r u v Soit χ la fonction caractéristiqu ds ntirs n ayant tous lurs facturs rmirs > Comm n, on a l égalité V = n = 2 log n fnχ n logn fnχ n + O fnχ n Il s agit alors d stimr fnχ n =\ ft dφt, On fait un intégration ar artis : n n fnχ n = [ftφt, ] 2 2\ n f tφt, dt L rmir trm du mmbr d droit st nul, t on utilis l lmm 11 our évalur l scond : fnχ 2\ f tt 1 n = log w 1 + O dt log n + O 2\ t f t 2 log 2 dt + O 2\ f t log dt

5 Pour tndant vrs, on a 1 w 1 + O log L lus grand factur rmir d n = w 1 + O log D lus, comm f t t 1, ls trms d rst sont /log 2 Puis, n faisant un duièm intégration ar artis, on a 2\ f ttw 1 [ fttw 1 ] 2 dt = w 1 2\ ft log log log dt = w 1 0 log On obtint finalmnt 1 V = 2w O c qui trmin la ruv du lmm 12 log Maintnant, tout l rst d la ruv st consacré à la duièm stimation d V On commnc ar écrir l égalité V = log r fn r,s r rmir r s Pour d N, on définit la quantité A d = n, n > n mod d, n, n > n mod r s fn Pour h, t, ε, θ > 0, avc 1 > t > 1/2 ε, t θ > 2/3, on rocèd nsuit au découag suivant r désign toujours un nombr rmir : 2 V = log r A r s + log r A r s r s 1/2 ɛ 1/2 ε <r s t + log r A r s + log r A r 2 t <r s s 2, r θ t <r 2 r> θ + log r A r + log r A r t <r 1+h r> 1+h = S 0 + S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5, ar définition La rmièr somm, S 0, st évalué avc un théorèm du ty l théorèm d Bombiri Vinogradov établi ar Wolk [W]; S 1 st majoré avc un cribl sur n, S 2 st majoré dirctmnt, S 3 st traité avc l cribl à

6 204 C Dartyg carrés d Hath-Brown La somm S 4 st la lus difficil à traitr, on la majorra n utilisant un cribl d dimnsion 2 qui srvira à détctr à la fois ls ntirs n rsqu rmirs t ls nombrs rmirs r On choisira alors > 0 l lus grand ossibl tl qu il ist ε t h > 0 assz tits tls qu S 5 = V S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 soit strictmnt ositiv 2 Estimation d S 0 La quantité S 0 s évalu d la mêm manièr qu V X, mais n utilisant l théorèm qu Wolk a montré dans [W], concrnant la réartition n moynn ds rogrssions arithmétiqus ortant sur ds ntirs rsqu rmirs C st l Lmm 21 Soint Φ k, z = n n,k=1 n >z 1 t Φ, z, k, l = n n l mod k n >z avc 2, 1 z Alors, our tout A > 0, il ist A 2 > 0 tl qu uniformémnt our z 1/2 t Q = 1/2 log A 2, on ait ma ma 1 l,k=1 y Φ, z, k, l ϕk Φ k, z log A k Q C lmm st la clé d la ruv du résultat suivant : Lmm 22 On a l égalité S 0 = w 1 2 P r u v On écrit S 0 sous la form S 0 = log r r s 1/2 ε 0<v<r s v mod r s + O log n v mod r s 1, fnχ n Pour rimr ctt somm sous form intégral, on définit Ψt = log r χ n r s 1/2 ε On a alors l égalité 3 S 0 =\ 0 v<r s v mod r s 2\ ft dψt = n t n v mod r s f tψt dt

7 L lus grand factur rmir d n On aliqu alors l lmm 21 à Ψt, our < t < 2 : 1 4 Ψt = log r ϕr s r s < 1/2 ε v mod r s v mod r s + O log 100 ma ϱrs, n t n,r s =1 χ n avc ϱd = {0 < v < d : v mod d} Ctt fonction ϱ intrvindra dans touts ls étas d la démonstration; ll rnd ls valurs suivants : Lmm 23 La fonction ϱ st multilicativ, t vérifi : i ϱ2 = 1, ϱ2 k = 0 our k > 1, ii our > 2 t k 1, ϱ k = ϱ, iii ϱ = 2 si 1 mod 4, ϱ = 0 si 1 mod 4 Ainsi, our r rmir, on a 0 ϱr s 2; on rort cci dans 4, tout n rofitant d l inégalité f t t 1 : S 0 = r s < 1/2 ε log r + O La fonction Φ r s log 10 v mod r s v mod r s vérifi l équation Φ r st, = Φt, 1 ϕr s 2\ n t n > n 0 mod r s f tφ r st, dt L duièm trm du mmbr d droit d ctt drnièr égalité st nul si r ; sinon, si r >, alors tout ntir n ayant un contribution ositiv dans ctt somm ut s réécrir comm n = mr s avc m < tr s t ayant tous ss facturs rmirs suériurs à On a donc l égalité { Φ r st, Φt, = si r, Φt, Φtr s, si r > Ctt écritur nous rmt d utilisr un nouvll fois l lmm 11, t n faisant ls mêms oérations qu clls ffctués our calculr V, on a 1

8 206 C Dartyg S 0 = w O log 0 log r s < 1/2 ε r 1 mod 4 r s < 1/2 ε r> 2 log r 1 ϕr s 1 + O log log r + r2s log r s < 1/2 ε r> log r r s L trm d rrur d ctt drnièr lign st, our tout η > 0, un O 1 /3 + +η, c qui st très tit Finalmnt, grâc à l égalité asymtotiqu π, 4, 1 = 2 log + O log 2 on obtint l égalité 1/2 ε S 0 = w O log log 2 On a donc w 1 + O log 0 s 2, r s 1/2 ε r 1 mod 4 \ 2 log r ϕr s, S 0 = w ε 0 + O log log r r dr log r 3 Majoration d S 1 On rall la définition d S 1 donné à la lign 2 : S 1 = log r fnχ n = log r A r s, n mod r s 1/2 ε r s t 1/2 ε r s t r 1 mod 4 avc 1/2 ε < t < 1 Prmièr majoration d S 1 Ctt rmièr majoration consist n qulqu sort à réécrir la ruv du théorèm d Brun Titchmarsh facil π, q, a 2 + o1 ϕq log/q, mais dans un autr contt t avc ds notations différnts Pour r s fié, r 3, on va majorr ls quantités A r s n utilisant un cribl d Rossr sur n Pour Dr s > 0, qu l on récisra lus tard, on définit ls oids d Rossr λ d d la manièr suivant : λ 1 = 1, λ d = 0 si d a un factur carré,

9 L lus grand factur rmir d n ou si d, r > 1, t our d sans factur carré t tl qu d, r = 1, d = 1 k avc 1 > > k, on os { λ d = 1 k si 1 2 2l 3 2l+1 < Drs, our 0 l k 1/2, 0 sinon Cs cofficints d Rossr vérifint la roriété fondamntal λ 1 µ 1, t on a donc l inégalité A r s fn d P d<dr s d P d<dr s λ d λ d n 0 mod d n mod r s 0<v<dr s d v v mod r s n v mod dr s On utilis nsuit la formul sommatoir d Poisson : fn Lmm 31 Soit g un fonction d class C 1, à suort comact dans R, t soit ĝ sa transformé d Fourir Alors on a gn = 1 ah h ĝ q q q n a mod q h Z On aliqu la formul d Poisson our transformr ls congruncs sur n L cofficint n h = 0 fournit l trm rincial : A r s 1 λ d dr f h hv s dr s dr s 0 d P d<dr s d P d<dr s d,r=1 + d P d<dr s d,r=1 h Z λ d 0<v<dr s d v v mod r s λ d h 0 1 dr s f h dr s 0<v<dr s d v, v mod r s 1 dr s 0<v<dr s d v v mod r s hv dr s Pour h 0, n faisant l intégrations ar artis, on trouv h 2iπh f dr s = l\ 2iπht dr dr s f l s l t dr s dt h Pour ε > 0, n rnant l = [4ε 1 ], on montr qu fh/dr s 1/h 2 our h > H avc H = dr s 1+ε Pour d < 1 ε r s, on a H 1 t la somm sur h 0 st ε /r s

10 208 C Dartyg On choisit alors Dr s = 1 ε r s En rofitant nsuit ds travau d Iwanic sur l cribl linéair, lus récisémnt, n aliquant l théorèm 1 d [I1], on a l inégalité S 1 0 1/2 ε r s t r 1 mod 4 < r log r r s F avc ε > 0 arbitrairmnt tit Comm s 2 1/2 ε r s t on a, n rofitant d l égalité l inégalité c st-à-dir, S 1 0 γ log log r r s π, 4, 1 = \ t 5 S 1 0 γ log r r F 1/2 ε t\ 1/2 ε log 1 ε r s < r log log + O, log + O + ε, log log, log/r dr log log r + O + ε, log 1 λ F dλ + O + ε log Duièm majoration d S 1 On rart d l égalité S 1 = fnχ n, 1/2 <r s < t r 1 mod 4 n ±v mod r s où v st un solution d v mod r s r st rmir Il s agit alors d détctr ls ntirs intrvnant dans la somm A rs = fnχ n n v mod r s A ctt fin, on transos ls résultats d Iwanic [I2] concrnant l théorèm d Brun Titchmarsh à notr situation

11 L lus grand factur rmir d n Comm dans la rmièr majoration, on commnc ar aliqur l cribl linéair d Iwanic, mais on rofit ici linmnt d la résntation sous form bilinéair du trm d rrur dans l théorèm 1 d [I1] Pour ε > 0, A = 8ε 3, > Kε, M 1, N 1, D = MN <, on a l inégalité A rs 0 r s < r où c st un constant absolu t 1 1 { } log D F log + cε + R a A rs, M, N, a<a R a A rs, M, N = m M n N mn,r=1 a m b n ra rs, mn En rofitant d ctt flibilité du trm d rrur, Iwanic a montré l inégalité suivant : Lmm 32 [I2], théorèm 5, 105 Soit ε > 0, 2/5 < r s 2/3 6ε, M = 1 3ε /r s t N = 1/2 4ε /r 3s/4 On a a m b n ra rs, mn 1 ε /r s m M n N mn,r=1 Grâc à c lmm, on ut choisir D = MN = 3/2 7ε /r 7s/4, our obtnir alors A rs 0 r s 1 1 log 3/2 7ε r 7s/4 F log + ε log + O log 2 < Ctt majoration st lus fin qu cll qui a srvi our 5 lorsqu r s < 2/3 t on trmin ls calculs comm récédmmnt A artir d cci on a Lmm 33 Pour tout ε > 0, on a l inégalité S 1 0 γ + 0 γ \ t\ 2/3 1/2 ε 2/3 3/2 7ε 7λ/4 F dλ 1 λ F dλ + ε + O log

12 210 C Dartyg 4 Majoration d S 2 Ctt quantité s major rsqu dirctmnt On écrit la suit d inégalités S 2 = log r fn t <r s s 2, r< θ t <r s s 2, r< θ t <r s s 2, r< θ 1 t/2+ε On a ainsi l inégalité n mod r s n > log r {n [, 2] : n mod r s } log r r s + t <r s <r s < s 2, r< θ 1 r + s/2 log r r< θ log r S 2 1 t/2+ε + θ+η 1 ε, s 2log / log r our ε assz tit Donc our 0 < θ < 1, θ aussi roch d 1 qu l on vut, il ist ε > 0 tl qu S 2 1 ε 5 Majoration d S 3 avc un cribl à carrés On rall la définition d S 3 : S 3 = log r fn θ <r r rmir n mod r 2 n > On va montrr qu our θ > 3/4, S 3 1 ε our ε > 0 assz tit On art d l inégalité S 3 log {n [, 2] : n mod d 2 }, θ <d 2 ctt somm ortant sur ls ntirs d non nécsairmnt rmirs Pour évalur cci on utilis l cribl à carrés d Hath-Brown [HB], théorèm 1 : Lmm 51 Soit A = ωn n un suit d réls, avc ωn 0 our tout n t ωn < On définit SA = n N ωn2 Soit P un nsmbl d P nombrs rmirs On suos qu ωn = 0 our n = 0 ou n P Alors on a la majoration SA P 1 ωn + P 2 n ωn, q n où n q st l symbol d Jacobi q P n 1

13 L lus grand factur rmir d n Il faut détctr ls n = md 2, avc m < 4 2 2θ t md ; ainsi, on rnd ls oids ωn = {m, d : θ < d 2, m 4 2 2θ, md 2 1 [ 2, 4 2 ], n = md 2 1}, t P = {2 < < P }, où P > 0 sra récisé lus tard On aliqu alors l lmm 51 : 6 S 3 P 1+ε 1 + P 2+ε 2<<q<P m 4 2 2θ θ <d 2 m 4 2 2θ θ <d 2m 1/2 md 2 1 q On imos P < θ/2 ; alors our q imairs, n dévloant ls congruncs vérifiés ar d, on a md 2 1 m 1/2 mu 2 1 q q + q q θ <d 2m 1/2 Pour q, on a ncor mu 2 1 = q 1 u q 1 u q = 1 1 u q mu 2 1 mu 2 1 q m 2 1 mβ β q Pour calculr cci, on établit d abord l lmm : Lmm 52 Si 2 t n divis as m, m 2 1 m = 1 C résultat s obtint dirctmnt à artir du théorèm 82 du livr d Hua [Hu], 174 En aliquant c lmm à la majoration d S 3 écrit dans 6, on a S 3 P 1+ε 3 2θ + P 2+ε 1 m, q + q q m 2<<q<P m< 2 2θ P 1+ε 1 3 2θ + P 2 2 θ+ε + P 2 2 2θ+ε 1 En rnant P = θ/3, on obtint S 3 3 7θ/ θ/3+ε 1 Pour θ > 3/4, il ist ε > 0 tl qu S 3 1 ε Il rst maintnant à majorr la somm S 4 défini dans 2 q

14 212 C Dartyg 6 Découag d S 4 On décou l intrvall ] t, ] n intrvalls d la form ]P k, P k+1 ], avc P k = 2 k t, uis on artag la somm S 4 n 7 S 4 = W k, avc W k = r 0 k K C k r log r A r, où ls C k sont ds fonctions ositivs d class C, à suort dans [P k, 4P k ], tlls qu C l l k t Pk uniformémnt sur t t vérifiant { 1 si t < z < 1+h, C k z = O1 si t /2 < z < t ou si 1+h < z < 2 1+h, 0 k K 0 sinon Il aaraîtra à la fin d la majoration d S 4 qu la rt d récision d l inégalité 7, corrsondant à la somm sur ls r avc t /2 < r < t ou 1+h < r < 2 1+h, st négligabl d l ordr d / log Ainsi, on st amné à stimr ds somms d la form 8 W P = log r Cr fn, P <r<4p n mod r n > c qui s fra avc un cribl d dimnsion 2 our détctr ls rmirs r t ls nombrs rsqu rmirs n 7 Préaration au cribl Pour P [ t /2, 2 1+h ] fié, on os S P d 1, d 2 = Cm log m fm m [P,4P ] m 0 mod d 2 n 0 mod d 1 n mod m En rrnant ls idés d Hooly [Ho], nous allons établir la roosition suivant : Proosition 7 Pour d 1 t d 2 sans factur carré on a L1, χ 4 S P d 1, d 2 = 0 ωd 1, d 2 \ Ct log t dt ζ2 d 1 d 2 τ 2 d 2 P 1/2 log P + O d 1 d 2 2 ωd 1, d 2 étant la fonction multilicativ défini ar t + RP, d 1, d 2,

15 L lus grand factur rmir d n ϱd d ωd 1, d 2 = 1 2 d 1 d 2 d 1 d si d 1, d 2 = 1, 0 si d 1, d 2 > 1, avc ϱd = {0 < v < d : v mod d} L trm d rrur RP, d 1, d 2 vérifi : si P < D 1 on a µ 2 d RP, d 1, d 2 ε ε > 0, d<d si P > D 1 on a µ 2 d d<d d 1 d 2 =d d 1 d 2 =d RP, d 1, d 2 P 3/4 D 3/2 ε ε > 0 P r u v Comm on l avait fait lors d la majoration d S 1, on commnc ar aliqur la formul sommatoir d Poisson du lmm 31 : 9 S P d 1, d 2 = = m 0 mod d 2 Cm log m m 0 mod d 2 Cm log m h Z m 0 mod d 2 0 v<d 1 m d 1 v v mod m f h d 1 m 1 d 1 m n v mod d 1 m fn 0 v<d 1 m d 1 v v mod m hv d 1 m L trm rincial st donné ar h = 0, f0 = 0 t dans l aragrah suivant, on montrra qu 10 Cm 0 d 1 m log m 1 0 v<d 1 m d 1 v v mod m = ωd 1, d 2 L1, χ 4 0 d 1 d 2 ζ2 \ Ct log t t dt + E 0, où E 0 st un rrur assz tit Pour h 0, comm our S 1, on montr qu fh/d 1 m 1/h 2, our h > H, avc H = P d 1 1+ε Ainsi, our d 1 D < 1 ε P 1, on a H 1 t µ 2 d RP, d 1, d 2 ε, d<d d 1 d 2 =d c qui rouv l rmir résultat annoncé cas P < D 1

16 214 C Dartyg Pour P grand, P > D 1, on va améliorr c résultat n faisant intrvnir ds somms d onntills On comt rofitr d évntulls comnsations sur la somm m v hv/d 1m qu l on transform avc l lmm 0 énoncé dans l introduction L roblèm st qu lorsqu on écrit m = r 2 +s 2, on a souvnt s, d 1 > 1, c qui nous mêch d invrsr d 1 mod s Il faut donc tnir comt d c gcd, c qui rnd ls oérations lus difficils Pour H = P D 1+ε, on doit stimr R P d 1, d 2 = 0< h <H m 0 mod d 2 Cmlog m f h 1 d 1 m d 1 m 0<v<d 1 m d 1 v v mod m L lmm d Gauss l lmm 0 nous rmt d écrir qu R P 11 Cr 2 + s 2 logr 2 + s 2 σ d 1 0< h <H avc f h d 1 r 2 + s 2 r 2 +s 2 0 mod d 2 r,s=1, r <s σ=s,d 1 r 2 +s 2,d 1 =1 1 d 1 r 2 + s 2 hv{r, s} d 1 r 2 + s 2, v{r, s} = d 1 w{r, s} t w{r, s} = d 1 r s r2 + s 2 r s hv d 1 m où r st un invrs d r mod s t d 1 un invrs d d 1 mod r 2 + s 2 Bin qu m ait arfois lusiurs écriturs sous la form m = r 2 + s 2, on n a rin rajouté dans la lign 11, car d arès l lmm 0, cs écriturs sont n bijction avc ls solutions v d la congrunc v mod m hv{r, s} hd1 r Transformation d d 1 r 2 + s 2 = r 2 + s 2 s r2 + s 2 r s On voudrait dévlor dirctmnt l intériur d l onntill, mais c n st as ossibl car d 1 n st a riori as invrsibl mod s, t on doit utilisr l lmm d invrsion suivant : Lmm 71 réécritur d Bzout Pour n 1, n 2 = 1, on a n 1 n 2 + n 2 n 1 = 1 n 1 n 2 mod 1 On écrit d 1 = δσ, avc σ = s, d 1 ; on a alors δ, σ = 1, car d 1 st sans factur carré Dans l lmm 0, l choi d r mod s st libr, lus récismnt, si a t a sont du invrss d r mod s, alors,,

17 L lus grand factur rmir d n a s r2 + s 2 r s a s r2 + s 2 r s mod r2 + s 2 Cci nous rmt d écrir l égalité hv{r, s} d1 Ω d 1 r 2 + s 2 = r 2 + s 2, où on a osé Ω = rσs s r2 + s 2 r s, r σs étant un invrs d r modulo σs Soit δ un invrs d δ modulo σsr 2 + s 2 ; cci st cohérnt car d 1 st sans factur carré En aliquant l lmm 71 à n 1 = σ, n 2 = r 2 + s 2 on a hd1 Ω hδωσ 12 r 2 + s 2 = r 2 + s 2 hδω = σr 2 + s 2 + hδωr2 + s 2 σ où r 2 + s 2σs st un invrs d r 2 + s 2 modulo σs En dévloant la formul définissant Ω, n utilisant l fait qu σ s, on a Ω r σs r 2 = r = 1 σ σs σs L égalité 12 s simlifi donc our dvnir hd1 Ω hδω hδr hδr r 2 + s 2 = σr 2 + s 2 = + σs σsr 2 + s 2 L onntill hδr σs créra un somm d Kloostrman Par contr on n ut as traitr dirctmnt hδr σsr 2 +s 2 Pour s débarrassr du δ, dans ctt drnièr onntill on réaliqu l lmm d invrsion à n 1 = δ, n 2 = σsr 2 + s 2 : hδr hr σsr 2 + s 2 = δσsr 2 + s 2 hrσsr2 + s 2 δ On obtint finalmnt hv{r, s} hδr d 1 r 2 + s 2 = } σs {{ } trm d somm d Kloostrman + hr d 1 sr 2 + s 2 } {{ } trm liss Ls variabls d sommation imortants sont r t s σs, hrσsr2 + s 2 } {{ δ } trm constant lorsqu ls congruncs d r t s mod δ sont fiés

18 216 C Dartyg Dans cs du drnièrs ligns, t dans tout la suit, ls barrs d invrss ont maintnant l sns habitul rlatif au dénominatur L trm liss n os aucun roblèm, on s n débarass n faisant un intégration ar arti Par contr, l onntill d dénominatur δ st un trm fortmnt oscillant, t mêm lorsqu δ st tit, c trm nous mêch d utilisr ls majorations d Dshouillrs t Iwanic [D-I2] d somms d somms d Kloostrman Estimation d la somm sur r d 11 Pour allégr l écritur, on os hr Cr 2 + s 2 logr 2 + s 2 h F r, s = f d 1 sr 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 Pour 0 < h < H t P 1/2 < s < 2P 1/2, σ, s = 1, fiés, on étudi hrσ ss2 + r 13 Σ s = 2 hδr δ σs r 2 +s 2 0 mod d 2 r <s, r,s=1 On dévlo ls congruncs sur r n somm d onntills : Σ s = 1 d 2 σsδ lr ϱ F r, s d 2 σsδ d 2 δσs l=1 ϱ mod d 2 σsδ ϱ 2 +s 2 0 mod d 2 ϱ,s=1 r <s hδϱ hϱσ ss2 + ϱ 2 σs δ = 1 d 1 d 2 s lr F r, s d 1 d 2 s d 1 d 2 s l=1 r <s ϱ mod d 2 σsδ ϱ 2 +s 2 0 mod d 2 ϱ,s=1 hδϱ σs Avc un notation évidnt, on osra hϱσ ss2 + ϱ 2 14 Σ s = 1 d 1 d 2 s Σ r 2 Σ ϱ d 1 d 2 s Pour la somm sur r on fait un transformation d Abl : lr lr F s, s d 1 d 2 s d 1 d 2 s Σ 2 r r <s l=1 s\ s s<r<t δ F r, s lϱ d 1 d 2 s F t, s dt t

19 min s, l d 1 d 2 s + min s, l d 1 d 2 s L lus grand factur rmir d n ε d 1 P 1 s\ s 1+ε t d 1 t 2 + s ε th d 2 1 t2 + s 2 3 dt Pour écrir cci on a fait ls calculs suivants : comm f h d 1 r 2 +s, 2 on a F r, s 1+ε /d 1 P On étudi nsuit la dérivé d F à artir d l écritur hr Cr 2 + s 2 logr 2 + s 2 h F r, s = f d 1 sr 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 Pour s fié, lorsqu on dériv ar raort à r, ls dérivés d C t du log donnnt un trm du ty 1+ε r/d 1 r 2 + s 2 2 cll d l onntill donn un trm d l ordr d 1+ε d 1 r 2 + s 2 r hr d 1 sr 2 + s 2 Enfin, our l trm f, on a r f h d 1 r 2 + s 2 c qui donn F t, s 1+ε t On a donc lr F r, s d 1 d 2 s r <s 1+ε d 1 r 2 + s 2 s d 1 t 2 + s ε hr d 1 r 2 + s 2 2, 2+ε hs d 2 1 t2 + s ε d 1 P + 2+ε h d 2 1 P 2 min hs d 1 r 2 + s 2 2 s, l d 1 d 2 s 1 Pour 0 < h < H, l rmir trm du mmbr d droit l mort sur l duièm On n déduit qu 15 Σ r 2 = lr F r, s 1+ε d 1 d 2 s d 1 P min s, l 1 d 1 d 2 s r <s Estimation d la somm sur ϱ D arès 14, on a hδϱ hϱσ ss2 + ϱ Σ ϱ = 2 σs δ ϱ mod d 2 σsδ ϱ 2 +s 2 0 mod d 2 ϱ,s=1 lϱ d 1 d 2 s Comm d 2, d 1 s = 1, grâc au théorèm d Bzout, on ut écrir ϱ = ud 2 + vd 1 s, c qui donn

20 218 C Dartyg 16 Σ ϱ = v mod d 2 d 2 1 v2 +s 2 0 mod d 2 u mod d 1 s u,s=1 u 2 +s 2,δ=1 lv d 2 hδ d2 u σs hd2 uσ ss 2 + d 2 2 u2 δ lu d 1 s La somm sur v st un O2 νd2 En utilisant à nouvau Bzout t n rofitant du fait qu δ, σs = 1, on écrit u = σs + βδ; on obtint alors our la somm sur u, Σ u = hd2 δ 2 β lβ 17 β,s=1 β mod σs σs hd2 2 d 2 2 σ2 s 2 + s 2 l δ mod δ où indiqu qu la somm ort sur ls tls qu l onntill soit défini ici sur ls tls qu 2 d 2 2σ 2 s 2 + 1, δ = 1 La somm sur β st un somm d Kloostrman t d arès la majoration classiqu d Wil ctt somm st un Oσs 1/2+ε σs, h, l 1/2 Il rst à stimr Σ = hd2 2 d 2 2 σ2 s 2 + s 2 l δ mod δ Comm δ st sans factur carré on ut établir l résultat suivant : Lmm 72 La somm Σ s décomos n Σ = hd2 δ/s 2 d 2 2 σ lδ/ δ mod Il suffit d rouvr cci our δ = 1 2, où 1 t 2 sont 2 nombrs rmirs distincts, c qui s fait n écrivant = uis n séarant ls du nouvlls somms ainsi obtnus Grâc au lmm 72, il nous suffit d évalur hd2 δ/s 2 d 2 2 σ lδ/ mod Si h, l, ctt somm vaut à u rès, ll st quasimnt null si h mais l, cs du résultats étant acts à 0, 1 ou 2 rès slon l nombr d ôls clus ar la condition,

21 L lus grand factur rmir d n Lorsqu, h = 1, on stim ctt somm avc l lmm suivant qui st un cas articulir d un résultat énoncé ar Dlign dans [D], t qui trait d la majoration d un somm d onntill d un fraction rationnll, dans l srit du théorèm d Wil : Lmm 73 Soit P 1 la droit rojctiv sur F, t soit un morhism f : P 1 P 1, non idntiqumnt égal à Soit S f = P 1 f f Pour tout oint d P 1, on os v f = ordr du ôl d f n si f =, v f = 0 sinon Alors on a S f 1 + v f 1/2 v f 0 Dans notr situation, on a f = a + b/c avc a = lδ/, b = hd 2 δ/s 2 t c = d 2 σ Si 1 mod 4, f a 3 ôls :, c 1, c 1, t v f = 1 n cs ôls Si 1 mod 4, f a un sul ôl t v f = 1 On a donc Cci donn S f 6 1/2 Σ 6 νδ δ 1/2 δ, h, l 1/2, t n rortant dans 17, on a Σ u d 1 s 1/2+ε d 1 s, h 1/2, uis dans 16, on obtint Σ ϱ sd 1 1/2+ε σd 1 s, h 1/2 En injctant cci dans 14, avc 15, on trouv Σ s 1+ε d 1 P d1/2 1 s 1/2 d 1 s, h 1/2 On rort cci dans 11, t n faisant l changmnt d variabls s σs, on a R P, d 1, d 2 1+ε d σδ=d 1 P 1/2 <sσ<2p 1/2 1/2 1 s 1/2 σ 1/2 d 1 P 0< h <H σs, h 1/2

22 220 C Dartyg La somm sur h dans l trm d droit st un OH 1+ε Comm H = d 1 P 1+ε, on a R P, d 1, d 2 ε σs 1/2 d 1/2 1 σδ=d 1 P 1/2 <σs<2p 1/2 P 3/4 ε d 1/2 1 σ 1/2 P 3/4 ε d 1/2 1 σδ=d 1 c qui donn µ 2 d d<d d 1 d 2 =d RP, d 1, d 2 d<d P 3/4 ε d 1/2 P 3/4 ε D 3/2, c qui corrsond au résultat annoncé dans la roosition 7 Évaluation du trm rincial Il s agit d évalur log m Cm T P d 1, d 2 = d 1 m m 0 mod d 2 On va montrr l lmm suivant : 0<v<d 1 m d 1 v v mod m Lmm 74 On a l égalité T P d 1, d 2 = L1, χ 4 ωd 1, d 2 \ Ct log t dt + O τ 2 d 2 P 1/2 log P ζ2 d 1 d 2 t d 1 d 2, 2 avc 0 si d 1, d 2 > 1, ϱd d 1 d 2 ωd 1, d 2 = 1 mod sinon 2 2 d 1 d 2 d 1 1 mod 4 La démonstration d c lmm st calqué sur clls d Hooly [Ho], Dshouillrs t Iwanic [D-I1] On commnc ar utilisr ds séris génératrics Soit h a,l s = ϱa, ld d s, d 1 avc ϱa, d = {n {0,, d 1} : a 2 n mod d} Pour a = 1 on a ϱ1, ld = ϱld; si a, d = 1, ϱa, d = ϱd; t si a, l > 1, h a,l s = 1 our tout s 1

23 L lus grand factur rmir d n Dans la suit, on suos qu a, l = 1 t qu l t a sont sans factur carré, t on va établir qu 18 h a,l s = ϱl ζsls, χ 4 ζ2s al 1 mod 4 En fft, on a l égalité h a,l s =,al=1 = ϱl car d arès l lmm 23, s 1 a,al=1 k N ϱ k+1 ks ϱ k ks l k N ϱ k ks 1 mod 4 2 k N l 1 mod 4 = ϱ ks our 2, 1 1 s s 2 al ϱ k+1 ks 1 1 s 1, ϱ = 0 si 1 mod 4, ϱ2 = 1, t ϱ2 k = 0 our k > 1 Donc k N ϱ2 k+1 2 ks = 1 Soit hs = d N ϱd/ds = h 1,1 s; on a ncor hs = ζsls, χ 4 ζ2s On évalu alors l raort h a,l s/hs : h a,l s hs = ϱl = ϱl al,al=1 ϱ k k N ks ϱ k k N ks Lorsqu ϱl 0, cla donn k N ϱ k ks 1 l 1 mod 4 l 1 mod s s 1

24 222 C Dartyg h a,l s hs = ϱl al 1 mod 4 l 1 mod s 1 al 1 1 s 1 2 al 1 mod s s Arès qulqus simlifications, t n rofitant du fait qu a, l = 1, on trouv h a,l s = ϱlhs s a 1 mod 4 al 1 mod s 2 al s 1 Pour finir, on rcoi Dshouillrs t Iwanic [D-I1] On écrit Cm log m m = 1 2iπ \ σ Rs m s avc σ > 0, t Rs st la transformé d Mllin d la fonction u Cu log u/u D arès la formul d invrsion d Mllin, t n faisant 2 intégrations ar artis, on montr qu Rs =\ Cy log y y ys 1 dy s P σ 1 log P Soit σ > 1 On a l égalité : Cm log m ϱd 1, m = 1 m 2iπ m 0 mod d 2 \ σ ds Rsh d1,d 2 s d s 2 Ensuit, suivant Dshouillrs t Iwanic [D-I1], 9, on décal ctt intégral à R = 1/2 t n rrnant lurs résultats, on trouv Cm log m ϱd 1, m m m 0 mod d 2 = R1ϱd 2 L1, χ 4 d 2 ζ d 1 d 2 1 mod 4 1 d 1 1 mod 4 ds d 1 d 2

25 + 1 2iπ = ϱd 2 d 2 L1, χ 4 \ d 1 d 2 1 mod 4 L lus grand factur rmir d n Rsh d1,d 2 s d s ds 1/2 2 \ Cy log y dy ζ2 y d 1 1 mod 4 \ s νd d 1 d P 1/2 log P + O ζsls, χ 4 d 1/2 ζ2s ds, 2 } {{ } Oτ 2 d 2 P 1/2 log P /d 1/2 2 c qui trmin la ruv du lmm 74 t ainsi cll d la roosition 7 8 Majoration d S 4 On art d l inégalité ls quantités W P étant clls définis à la lign 8 W P log m Cmfn n mod m mn > Soint λ d ls oids d Slbrg corrsondant à c roblèm d cribl Pour un définition récis, on ut consultr l livr d Halbrstam t Richrt [H-R], chaitr 3, 97 On a alors la majoration 2 W P log m Cmfn λ d m,n n mod m d P d mn On dévlo nsuit c carré, t n rrnant ls notations du tout début du aragrah 7, on a l inégalité W P λ d1 λ d2 S P a, b, d 1,d 2 P ab=[d 1,d 2 ] car S P d 1, d 2 = 0 dès qu a, b = 1 On aliqu alors la roosition 7 : L1, χ 4 W P λ d1 λ d2 0 \ Ct log t dt Ω[d 1, d 2 ] ζ2 t [d 1, d 2 ] d 1,d 2 P + λ d1 λ d2 RP, a, b, d 1,d 2 P ab=[d 1,d 2 ] avc Ω[d 1, d 2 ] = ab=[d 1,d 2 ] ωa, b, car ωa, b = 0 si a, b > 1

26 224 C Dartyg D arès ls valurs d ω donnés dans la roosition 7, on a : 4/3 si = 2, Ω = 3 + 1/ + 1 si 1 mod 4, 1 si 1 mod 4 Ls conditions du cribl d Slbrg d dimnsion 2 sont rmlis; n aliquant c cribl, uis n sommant sur P, on obtint our S 4 la majoration S 4 1 Ω L1, χ4 \ du ζ2 < uσ log Du + O ε +, 2 log log avc, d arès la formul du trm d rrur d la roosition 7, Du = 2/3 ε t 1/2 A artir ds valurs d Ω donnés ci-dssus, on a l égalité 1 Ω = ζ O L1, χ 4 log < Grâc à tout cci, on a l Lmm 81 On a la majoration S 4 0 2γ 2 \ 1+h t < λ dλ σ 2 2/3 λ/2 + O ε + log 9 Conclusion En rvnant a l égalité 2, uis n y rortant 1, ls lmms 22, 33, 81 t ls résultats ds aragrahs 4 t 5, on a S 5 = V S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 3w 1 0 γ 2/3 3/2 7ε 7λ/4 F dλ 2 γ t\ 2/3 0 2γ 2 \ 1/2 ε 1 λ F dλ \ 1+h 0 3w 1 2 t λ dλ σ 2/3 λ/2 + Oε 0 + O 2 log I 1 I 2 I 3 + Oε 0 + O log ar définition On chrch alors l lus grand ossibl tl qu la minoration ci-dssus soit strictmnt ositiv Pour 1 > 55, on a w 1 = γ ± 10 5, on aroimra donc la fonction w ar γ,

27 L lus grand factur rmir d n L rél t corrsond au raccord ds du intégrals I 2 t I 3, c st-à-dir qu t st solution d 2 1 λ = 2γ λ 2 σ 2 uλ, avc uλ = 2/3 λ/2/ Mais our 1/12 > > 1/24, t t > 14/15, on a uλ [2, 4], t [ σ 2 uλ = 2γ 1/2 + log 2 loguλ ] u 2 λ uλ + 1/2, 4 4 t l rél t n ut as êtr détrminé dirctmnt Calcul d I 1 Comm ε > 0 t h > 0 sont arbitrairmnt tits, on n n tint as comt dans tous ls calculs qui vont suivr Pour u 2, on a l égalité ufu = F u 1 Ctt égalité s aliqu ici our 3/2 7λ/4/ 1, c qui st vérifié our tout 1/2 < λ < 2/3, lorsqu 1/3, c qui sra l cas On fait alors l changmnt d variabl adéquat u = 3/2 7λ/4/ + 1 our obtnir I 1 = 4 γ 7 = 4 γ 7 \ 1+1/3 1+5/ F u 1 du f f Calcul d I 2 On a 1 λ/ 2 our λ 1 2, t 1 2 2/3 our 1/6 Dans c cas on a l découag 1 2 I 2 \ γ 1 λ t\ = F γ 1 λ dλ + F dλ = J 1 + J 2, 2/3 1+1/3 1 2 ar définition L intégral J 1 s calcul d la mêm manièr qu I 1, on os w = 1 λ/ + 1 : J 1 3\ = γ F w 1 dw = γ f f3 3 3 Pour J 2, on a γ 1 λ F = 2 1 λ our 1 2 < λ < t Ainsi J 2 = 2 log2 2 log1 t On a donc I 2 = γ f f3 + 2 log2 2 log1 t 3 3

28 226 C Dartyg Calcul d I 3 On a I 3 = 1\ t 2γ 2 F 2 2/3 λ/2 dλ Lorsqu < 1/12, l argumnt d F 2 st suériur à 2, on a donc, n rrnant la notation uλ = 2/3 λ/2 I 3 = 1\ t 2[ 1/2 + log 2 loguλ 4 λ uλ2 uλ + 1/2 ] dλ Conclusion Pour = 1/122, t t = 09926, on a 3w 1 I 1 I 2 I 3 > 0 2 Cla trmin la ruv du théorèm Bibiograhi [D] P Dlign, Alication d la formul ds tracs au somms trigonométriqus, in: Séminair d géométri algébriqu du Bois Mari-SGA 4 1/2, Lctur Nots in Math 569, Sringr, 1977, [D-I1] J-M Dshouillrs and H Iwanic, On th gratst rim factor of n 2 + 1, Ann Inst Fourir Grnobl , 1 11 [D-I2],, Kloostrman sums and Fourir cofficints of cus forms, Invnt Math , [H-R] H Halbrstam and H-E Richrt, Siv Mthods, Acadmic Prss, London, 1974 [HB] D R Hath-Brown, Th squar siv and conscutiv squar-fr numbrs, [Ho] Math Ann , C Hooly, Alications of Siv Mthods to th Thory of Numbrs, Cambridg Univrsity Prss, London, 1976 [Hu] L K H u a, Introduction to Numbr Thory, Sringr, 1982 [I1] H Iwanic, A nw form of th rror trm in th linar siv, Acta Arith , [I2], On th Brun Titchmarsh thorm, J Math Soc Jaan , [T] [W] G Tnnbaum, Introduction à la théori analytiqu t robabilist ds nombrs, Cours sécialisés, collction SMF, No 1, 1995 D Wolk, Übr di mittlr Vrtilung dr Wrt zahlnthortischr Funktionn auf Rstklassn 2, Math Ann , Déartmnt d Mathématiqus Univrsité d Nancy I BP 239 Vandœuvr-lès-Nancy Cd, Franc Rçu l

BTS - groupement B - novembre 2008 - Nouvelle Calédonie

BTS - groupement B - novembre 2008 - Nouvelle Calédonie BTS - groupmnt B - novmbr 8 - Nouvll Calédoni Ercic Ls partis A, B t C sont indépndants. points Un ntrpris produit n grand séri ds véhiculs élctriqus équipés d battris au nicklcadmium. On s propos d étudir

Plus en détail

Fonction logarithme exercices corrigés

Fonction logarithme exercices corrigés Trminal S Fonctions Logarithms Vrai-Fau Fonction ln, EPF 6 Equation, Franc 4 4 Dérivés t ln 4 5 Primitivs t ln 6 Calcul d limits 5 6 7 Résolution (in)équations 7 8 Avc ROC 8 9 Dérivation t ncadrmnt 9 Fonction+équation,

Plus en détail

ÉLECTRONIQUE NUMÉRIQUE

ÉLECTRONIQUE NUMÉRIQUE ÉLECROIQUE 4 ÉLECROIQUE UMÉRIQUE 1. IÉRÊ DES SIGAUX UMÉRIQUES 1.1 ransmission du signal L traitmnt du signal st réalisé ar ds circuits élctroniqus (analogiqus ou numériqus). La grandur hysiqu à msurr :

Plus en détail

CSMA 2013 11e Colloque National en Calcul des Structures 13-17 Mai 2013

CSMA 2013 11e Colloque National en Calcul des Structures 13-17 Mai 2013 Enrichissmnt modal du Slctiv Mass Scaling Sylvain GAVOILLE 1 * CSMA 2013 11 Colloqu National n Calcul ds Structurs 13-17 Mai 2013 1 ESI, sylvain.gavoill@si-group.com * Autur corrspondant Résumé En raison

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 13 avril 2011 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous ls candidats Parti I points. L ax ds ordonnés st asymptot à C au voisinag d ; la fonction étant décroissant sur ] ; + [, la limit quand

Plus en détail

Exercice 1 :(15 points)

Exercice 1 :(15 points) TE/pé TL Elémnts d corrction du D. n 2 du Vndrdi 2 0ctobr 2012 sans documnt, avc calculatric 1h1min Ercic 1 :(1 points) À l occasion d un fstival culturl, un agnc d voyags propos trois typs d transport

Plus en détail

1 Raisonnement. Vocabulaire ensembliste CHAPITRE

1 Raisonnement. Vocabulaire ensembliste CHAPITRE CHAPITRE 1 Raisonnement Vocabulaire ensembliste A. Éléments de logique.......................... 12 1. Construction de roositions....................... 12 2. Quantificateurs.............................

Plus en détail

Cahier de Vacances: de la Tes à la ece1...

Cahier de Vacances: de la Tes à la ece1... Cahier de Vacances: de la Tes à la ece... Recommandations Vous venez de terminer votre terminale et d obtenir le Baccalauréat (bravo!) et vous avez choisi de oursuivre vos études ar la voie des classes

Plus en détail

Master1 Génie des Systèmes Industriels U.E.: Capteurs, Chaînes de mesure 1 ère session 2011-2012

Master1 Génie des Systèmes Industriels U.E.: Capteurs, Chaînes de mesure 1 ère session 2011-2012 Mastr1 Géni ds Systèms Industrils U.E.: Capturs, Chaîns d msur 1 èr sssion 211-212 Cod Unité : 172 Cod épruv : 14977 Samdi 26 Mai 8H -1H Duré : 2 hurs Documnts t Calculatric autorisés Ls partis III t IV

Plus en détail

f n (x) = x n e x. T k

f n (x) = x n e x. T k EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr

Plus en détail

Contrôle de TP Dictionnaire & Arbres Binaires mercredi 20 mars 2013 durée : 3h 6 pages

Contrôle de TP Dictionnaire & Arbres Binaires mercredi 20 mars 2013 durée : 3h 6 pages IUT ds Pays d l Adour - RT2 Informatiqu - Modul IC2 - Algorithmiqu Avancé Contrôl d TP Dictionnair & Arbrs Binairs mrcrdi 20 mars 2013 duré : 3h 6 pags Ls programms d corrction orthographiqu ont bsoin

Plus en détail

Le rôle d évaluation foncière au service d une approche territoriale ciblée : le cas de Montréal

Le rôle d évaluation foncière au service d une approche territoriale ciblée : le cas de Montréal L rôl d évaluation foncièr au srvic d un approch trritorial ciblé : l cas d Montréal Suzann Chantal st économist t consillèr n aménagmnt Stéphan Charbonnau st détntur d un maîtris n étud urbain Ls dux

Plus en détail

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet.

Séries numériques. Chap. 02 : cours complet. Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm

Plus en détail

Guide de correction TD 6

Guide de correction TD 6 Guid d corrction TD 6 JL Monin nov 2004 Choix du point d polarisation 1- On décrit un montag mttur commun à résistanc d mttur découplé, c st à dir avc un condnsatur n parallèl sur R. La condition d un

Plus en détail

ELECTRICITE. Chapitre 11 Tensions et courants dans les lignes triphasées. Montages étoile et triangle. Analyse des signaux et des circuits électriques

ELECTRICITE. Chapitre 11 Tensions et courants dans les lignes triphasées. Montages étoile et triangle. Analyse des signaux et des circuits électriques ELECTRICITE Analys ds signaux t ds circuits élctriqus Michl Piou Chapitr Tnsions t courants dans ls ligns triphasés Montags étoil t triangl Edition /0/04 Tabl ds matièrs POURQUOI ET COMMENT? DENOMINATION

Plus en détail

Etude du couplage d un distillateur solaire avec un capteur plan

Etude du couplage d un distillateur solaire avec un capteur plan Rvu ds Enrgis Rnouvlabls ICRESD-07 Tlmcn (2007) 179 186 Etud du couplag d un distillatur solair avc un captur plan Z. Haddad *, A. Chakr t N. Boukrzaza Laboratoir d Physiqu Enrgétiqu, Univrsité Mntouri,

Plus en détail

Gaines. Documentation technique

Gaines. Documentation technique Gains Documntation tchniqu Hygièn ds locaux, conort t modrnité, acilité d installation, ls gains d vntilation d Etrnit ornt d multipls possibilités dans la plupart ds bâtimnts d habitation, trtiairs ou

Plus en détail

Première L DS4 quartiles et diagrammes en boîtes 2009-2010

Première L DS4 quartiles et diagrammes en boîtes 2009-2010 Exrcic 1 : Répartition t disprsion ds salairs Soint ls salairs dans trois ntrpriss A, B t C : 1175 1400 1900 2600 2800 2100 1) Calculr dans chaqu cas l salair moyn t l salair médian 2) Qull st la part

Plus en détail

La transformée de Fourier de cette fonction est directe et donne 1 ) T

La transformée de Fourier de cette fonction est directe et donne 1 ) T Efft d l échantillonnag t d la troncation sur l spctr d un signal Ls signaux réls utilisés n physiqu sont d plus n plus souvnt traités d façon numériqu. Pour cla, il st nécssair d échantillonnr l signal.

Plus en détail

info CORTELLINI & MARCHAND AG www.auto-steuergeraete.ch www.auto-occasionsteile.ch

info CORTELLINI & MARCHAND AG www.auto-steuergeraete.ch www.auto-occasionsteile.ch Duis 1964 CORTELLINI & MARCHAND AG info Mai 2015 Réaration d boîtirs élctroniqus automobils Piècs automobils d occasion AVEC GARANTIE Moturs t boîts d vitss d occasion ou révisés mais avc garanti! Réaration

Plus en détail

Chapitre 5 : Les lentilles et les instruments d optique

Chapitre 5 : Les lentilles et les instruments d optique Exercices Chaitre 5 : Les lentilles et les instruments d otique E. (a) On a n,33, n 2,0cm et R 20 cm. En utilisant l équation 5.2, on obtient,33 0 cm + q,33 20 cm q 8,58 cm Le chat voit le oisson à 8,58

Plus en détail

Le dimensionnement mécanique des tuyaux d'assainissement Le fascicule 70 version 2003 et les cas de pose particuliers

Le dimensionnement mécanique des tuyaux d'assainissement Le fascicule 70 version 2003 et les cas de pose particuliers Cntr d'étud t d Rchrch d l'indutri du Béton L dimnionnmnt mécaniqu d tuyaux d'aainimnt L facicul 70 vrion 003 t l ca d o articulir 08E Produit - Ouvrag ISSN 049-64 SJ/MA/JRO ISBN -85755-9-6 PO 078 / Produit

Plus en détail

Problèmes de courant continu

Problèmes de courant continu Captur résistif d tmpératur Probèms d courant continu Variation d a résistanc d un thrmistanc n fonction d a tmpératur a résistanc R d un thrmistanc, formé d un matériau smi-conductur, vari avc a tmpératur

Plus en détail

Série n 3 d Electrocinétique : Régime sinusoïdal forcé

Série n 3 d Electrocinétique : Régime sinusoïdal forcé Séri n 3 d Elctrocinétiqu : Régim sinusoïdal forcé Exrcic n 1 : Résonanc n tnsion d un circuit RLC parallèl 1.\ Détrminr l équation différntill qui régi l évolution d u(t). 2.\ Exprimr l amplitud complx

Plus en détail

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER 1. Euclide, relation de Bézout, gcd Exercice 1. [DKM94,.14] Montrer que 6 n 3 n our tout entier n ositif. Exercice 2. [DKM94,.15]

Plus en détail

LA DESCRIPTION DES COURS

LA DESCRIPTION DES COURS PROGRAMME DES ÉCOLES PUBLIQUES 1998-1999 MATHÉMATIQUES LE RÔLE DE LA DISCIPLINE Ls mathématiqus sont un scinc xploratoir t analytiqu qui chrch à xpliqur t à fair comprndr tout phénomèn naturl. Ells sont

Plus en détail

Créé par : Section du SNISA Dernière mise à jour : 5 jan 2012 Tous les changements du SNISA pour l exercice 2012-2013

Créé par : Section du SNISA Dernière mise à jour : 5 jan 2012 Tous les changements du SNISA pour l exercice 2012-2013 Tous ls changs du SNISA pour l xrcic 2012-2013 chang Chang/élé d Principaux changs pour l xrcic 2012-2013 1 65-71 Dat d arrivé à l unité d obsrvation (ED 123) Hur d arrivé à l unité d obsrvation (ED 124)

Plus en détail

Théorie des ensembles et combinatoire

Théorie des ensembles et combinatoire Théorie des ensembles et combinatoire Valentin Vinoles 24 janvier 2012 Table des matières 1 Introduction 2 2 Théorie des ensembles 3 2.1 Définition............................................ 3 2.2 Aartenance

Plus en détail

L2-S4 : 2014-2015. Support de cours. Statistique & Probabilités Chapitre 1 : Analyse combinatoire

L2-S4 : 2014-2015. Support de cours. Statistique & Probabilités Chapitre 1 : Analyse combinatoire L2-S4 : 2014-2015 Suort de cours Statistique & Probabilités Chaitre 1 : Analyse combinatoire R. Abdesselam UFR de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière Lyon 2, Camus Berges du Rhône Rafik.abdesselam@univ-lyon2.fr

Plus en détail

SOLUTIONS DE l EXAMEN

SOLUTIONS DE l EXAMEN Univrsité d Aix-Marsill Faculté d économi t d gstion Sit Colbrt 1 èr anné d licnc, microéconomi Mardi l 30 avril 2013 Dirctivs Pédagogiqus : Ctt épruv comprnd 15 qustions. 10 sont à choix multipls t 5

Plus en détail

Apprentissage des faits Calcul mental Estimation de calcul

Apprentissage des faits Calcul mental Estimation de calcul M ATHÉMATIQUES MENTALES Apprntissag ds faits Calcul mntal Estimation d calcul 4 anné Guid d nsignmnt 2010 Rmrcimnts L présnt manul d mathématiqus mntals a été mis à jour avc la prmission du ministèr d

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1. On pose. Vérifier que T est une tribu sur Ω.

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1. On pose. Vérifier que T est une tribu sur Ω. [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 17 février 2015 Enoncés 1 Probabilités Tribu Exercice 5 [ 04006 ] [correction] Soit Ω un ensemble infini et une famille de arties de Ω vérifiant n m A m = et = Ω Exercice

Plus en détail

Exemple de Plan d Assurance Qualité Projet PAQP simplifié

Exemple de Plan d Assurance Qualité Projet PAQP simplifié Exmpl d Plan d Assuranc Qualité Projt PAQP simplifié Vrsion : 1.0 Etat : Prmièr vrsion Rédigé par : Rsponsabl Qualité (RQ) Dat d drnièr mis à jour : 14 mars 2003 Diffusion : Equip Tchniqu, maîtris d œuvr,

Plus en détail

Boucle à verrouillage de phase

Boucle à verrouillage de phase Chaitre 2 Boucle à verrouillage de hase Introduction La boucle à verrouillage de hase, que l on désignera ar la suite ar l acronyme anglais PLL (Phase Locked Loo), est un disositif largement utilisé dans

Plus en détail

pour seniors en 10 questions

pour seniors en 10 questions MINI-GUIDE DE L HÉBERGEMENT MINI-GUIDE DE L HÉBERGEMENT pour sniors 1 L AUTEUR Ecrit par Dominiqu Schmidt, c mini guid d l hébrgmnt st publié par Rtrait Plus pour assistr ls famills dans lur rchrch d structurs

Plus en détail

L OUTIL BOND GRAPH POUR LA MODELISATION DES SYSTEMES MECATRONIQUES

L OUTIL BOND GRAPH POUR LA MODELISATION DES SYSTEMES MECATRONIQUES L OUTIL BOND GRAPH POUR LA MODELISATION DES SYSTEMES MECATRONIQUES A. NAAMANE La Mécatroniqu Ls bond graphs Pourquoi? Outil d modélisation prformant ; Prmt d bin comprndr ls transfrts d puissanc ; Put

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

E. Daudigeos 1, V. Rouffiac 2,3, V. Clayette 4, Paule Opolon 5, G. Vassal 1, N. Lassau 2,3.

E. Daudigeos 1, V. Rouffiac 2,3, V. Clayette 4, Paule Opolon 5, G. Vassal 1, N. Lassau 2,3. CARACTERISATION DE LA CROISSANCE TUMORALE D UN MODELE DE GREFFE ORTHOTOPIQUE DE NEUROBLASTOME METASTATIQUE PAR ECHOGRAPHIE DE CONTRASTE ET BIOLUMINESCENCE. E. Daudigos 1, V. Rouffiac 2,3, V. Claytt 4,

Plus en détail

ECOULEMENT AUTOUR D UNE AILE

ECOULEMENT AUTOUR D UNE AILE Eoulmnt autour d un al EOUEMET UTOUR UE IE St 2006 obtf d TP st d arvnr à msurr la ortan t la traîné d un al d avon, à artr d msurs d rssons n dfférnts onts d l al. On s attahra à dérr l évoluton d s du

Plus en détail

35 personnes 40,0% 360 jours 18 jours 150 80. 270 personnes 18,0%

35 personnes 40,0% 360 jours 18 jours 150 80. 270 personnes 18,0% POURCENTAGES Exercice n. Comléter ce tableau, en indiquant dans chaque case l'oération effectuée et son résultat (arrondir à décimale en cas de besoin) Ensemble de référence Part en nombre en ourcentage

Plus en détail

A. RENSEIGNEMENTS GÉNÉRAUX. (Adresse civique) 3. Veuillez remplir l'annexe relative aux Sociétés en commandites assurées à la partie E.

A. RENSEIGNEMENTS GÉNÉRAUX. (Adresse civique) 3. Veuillez remplir l'annexe relative aux Sociétés en commandites assurées à la partie E. Chubb du Canada Compagni d Assuranc Montréal Toronto Oakvill Calgary Vancouvr PROPOSITION POLICE POUR DES INSTITUTIONS FINANCIÈRES Protction d l Actif Capital d Risqu A. RENSEIGNEMENTS GÉNÉRAUX 1. a. Nom

Plus en détail

LOGICIEL D AIDE A LA PLANIFICATION POUR L ELECTRIFICATION RURALE (LAPER)

LOGICIEL D AIDE A LA PLANIFICATION POUR L ELECTRIFICATION RURALE (LAPER) LOGICIEL D AIDE A LA PLANIFICATION POUR L ELECTRIFICATION RURALE (LAPER) FRANCE Valérie Lévy Franck Thomas - Rainer Fronius Marc Gratton Electricité de France Recherche et Déveloement Résumé Les bienfaits

Plus en détail

Marche à suivre relative à l annonce pour la rétribution à prix coûtant du courant injecté (RPC)

Marche à suivre relative à l annonce pour la rétribution à prix coûtant du courant injecté (RPC) Pag 1 sur 8 March à suivr rlativ à l annonc pour la rétribution à prix coûtant courant injcté (RPC) Photovoltaïqu Vous trouvrz dans ls pags suivants ls informations dont vous avz bsoin pour annoncr vos

Plus en détail

par R. de la Bretèche & T.D. Browning

par R. de la Bretèche & T.D. Browning LE PROBLÈME DES DIVISEURS POUR DES FORMES BINAIRES DE DEGRÉ 4 ar R. de la Bretèche & T.D. Browning À la mémoire affectueuse de George Greaves Résumé. Nous étudions l ordre moyen du nombre de diviseurs

Plus en détail

On donne le circuit suivant avec une source de tension continue V 1 et une source de tension alternative v 2 (t) sinusoïdale.

On donne le circuit suivant avec une source de tension continue V 1 et une source de tension alternative v 2 (t) sinusoïdale. T d élctroniqu analogiqu A : iods Ex : Analys statiqu / dynamiqu d un circuit On donn l circuit suiant ac un sourc d tnsion continu V t un sourc d tnsion altrnati (t) sinusoïdal. 0 V = 0 V A 0 B = sin(

Plus en détail

Exemples de questions de sujets d'oraux possibles. Session 2013.

Exemples de questions de sujets d'oraux possibles. Session 2013. Exmpls d qustions d sujts d'oraux possibls. Sssion 0. Complxs. Donnr la ou ls réponss justs. Soit A, B dux points d'affixs rspctivs : a= 5 i 5 t b = i 6 a. Soit n N;. Un argumnt d a n st n b. O appartint

Plus en détail

Traitement Numérique du Signal

Traitement Numérique du Signal Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés Traitmnt umériqu du Signal vrsion ichl Trré michl.trr@cnam.fr http://asytp.cnam.fr/trr/ Ecol ational Supériur d Tchniqus Avancés /94 Ecol ational Supériur d Tchniqus

Plus en détail

FORCE PRESSION CHAMP MAGNETIQUE...

FORCE PRESSION CHAMP MAGNETIQUE... OCE PEON CHAMP MAGNETQUE 1)Efft Pizzo Elctriqu Un forc appliqué à un lam d quartz induit un déformation qui donn naissanc à un tnsion élctriqu - CAPTEU À EET PÉZOÉLECTQUE 1- Efft piézoélctriqu Un forc

Plus en détail

Pédaler en danseuse P2 P1

Pédaler en danseuse P2 P1 Pédaler en danseuse Pédaler en danseuse consiste à ne as s asseoir sur la selle et à se dresser sur les édales. Le mouvement de édalage s écarte alors notablement du édalage assis. Notre roos est d analyser

Plus en détail

Participez au projet novateur e-health des pharmacies

Participez au projet novateur e-health des pharmacies Participz au projt novatur -Halth ds pharmacis my-mdibox - l application médicamnts pour pharmacis t patints avc d nombruss prstations complémntairs V2.00_11_2013 Notr publicité actull : Et voici é t n

Plus en détail

BOUCLE A VERROUILLAGE DE PHASE. (P.L.L. = Phase Locked Loop) Pierre Le Bars (avec la collaboration de Francis Gary) lebars@moniut.univ-bpclermont.

BOUCLE A VERROUILLAGE DE PHASE. (P.L.L. = Phase Locked Loop) Pierre Le Bars (avec la collaboration de Francis Gary) lebars@moniut.univ-bpclermont. BOUCL A VRROUILLAG D PHAS (P.L.L. = Phase Locked Loo) Pierre Le Bars (avec la collaboration de rancis Gary) lebars@moniut.univ-bclermont.fr BOUCL A VRROUILLAG D PHAS (P.L.L. = Phase Locked Loo) I/ Introduction

Plus en détail

Initiation aux problèmes de télécommunications

Initiation aux problèmes de télécommunications Initiation aux problèms d télécommunications. Etud d un outil fondamntal : la boucl à vrrouillag d phas (P.L.L.). La boucl à vrrouillag d phas (P.L.L. Phas Lock Loop) st un systèm qui prmt d assrvir la

Plus en détail

Intégrale stochastique

Intégrale stochastique Intégrale stochastique Plan L intégrale stochastique générale Intégrale de Wiener Exemples Processus d Itô Formule d Itô Formule de Black & Scholes Le processus B est un mouvement Brownien et { Ft B,t

Plus en détail

A. Notion d intégrale double

A. Notion d intégrale double UT ORSAY Mesures Physiques ntégrales doubles Calcul d aires et de volumes Cours du ème semestre A Notion d intégrale double A- omaine quarrable On suose que le lan est muni d un reère orthonormé ( O; i;

Plus en détail

Estimation expérimentale des propriétés acoustiques de surfaces végétalisées : influences de la variabilité spatiale et de la configuration de mesure

Estimation expérimentale des propriétés acoustiques de surfaces végétalisées : influences de la variabilité spatiale et de la configuration de mesure CFA 14 Poitirs 22-25 Avril 14, Poitirs Estimation xpérimntal ds propriétés acoustiqus d surfacs végétalisés : influncs d la variabilité spatial t d la configuration d msur G. Guillaum, B. Gauvrau t P.

Plus en détail

Olivier GALLAND CNRS-GEMAS

Olivier GALLAND CNRS-GEMAS Olivir GALLAND CNRS-GEMAS INDIVIDUALISATION DES MŒURS ET CHOIX CULTURELS Dans l accès à c qu on appll parfois la «cultur légitim», la démocratisation smbl marqur l pas. Olivir Donnat l rmarquait ncor récmmnt

Plus en détail

Matériau pour greffe MIS Corporation. Al Rights Reserved.

Matériau pour greffe MIS Corporation. Al Rights Reserved. Matériau pour grff MIS Corporation. All Rights Rsrvd. : nal édicaux, ISO 9001 : 2008 atio itifs m rn pos méd int i dis c a u x 9 positifs 3/42 té ls s dis /CE ur r l E. po ou u x U SA t s t appr o p a

Plus en détail

CHAPITRE 3 : TABLEAUX DE CORRESPONDANCE POSTES / COMPTES

CHAPITRE 3 : TABLEAUX DE CORRESPONDANCE POSTES / COMPTES Journal Officiel de l OHADA N 10 4 ème Année 221 AA CHAPITRE 3 : POSTES / COMPTES SECTION 1 : Système normal BILAN-ACTIF ACTIF N os DE COMPTES À INCORPORER DANS LES POSTES Réf. POSTES Brut Amortissements/

Plus en détail

Outil de prévention de la dégradation des immeubles anciens à Paris. Résultats 2013

Outil de prévention de la dégradation des immeubles anciens à Paris. Résultats 2013 OBSERVATOIRE du LOGEMENT t d l'habitat d PARIS Outil d prévntion d la dégradation ds immubls ancins à Paris Résultats 2013 Juillt 2013 À la suit ds travaux d mêm natur déjà réalisés dpuis 2008, la list

Plus en détail

BÂLE II ET LE RISQUE DE CRÉDIT PME : DES SIMULATIONS DE FONDS PROPRES BANCAIRES DANS LE CADRE D UN PORTEFEUILLE DE CRÉDIT

BÂLE II ET LE RISQUE DE CRÉDIT PME : DES SIMULATIONS DE FONDS PROPRES BANCAIRES DANS LE CADRE D UN PORTEFEUILLE DE CRÉDIT Tarik QUAMAR Rvu JBE BÂLE II ET LE RISQUE DE CRÉDIT PME : DES SIMULATIONS DE FONDS PROPRES BANCAIRES DANS LE CADRE D UN PORTEFEUILLE DE CRÉDIT Tarik QUAMAR, Univrsité Hassan II, Casablanca, Maroc, quamar.univ@gmail.com

Plus en détail

Journée d échanges techniques sur la continuité écologique

Journée d échanges techniques sur la continuité écologique 16 mai 2014 Journé d échangs tchniqus sur la continuité écologiqu Pris n compt d critèrs coûts-bénéfics dans ls étuds d faisabilité Gstion ds ouvrags SOLUTION OPTIMALE POUR LE MILIEU Gstion ds ouvrags

Plus en détail

Un corrigé du concours Centrale-supélec Math-II- 2014. C k n cos n k (θ)i k sin k (θ).

Un corrigé du concours Centrale-supélec Math-II- 2014. C k n cos n k (θ)i k sin k (θ). Centrale-suélec 014 Un corrigé du concours Centrale-suélec Math-II- 014 Filière MP Proosé ar Mr : HAMANI Ahmed I- Définitions et roriétés usuelles I-A Polynômes de remière esèce I-A-1 Les olynômes T 0,

Plus en détail

Impôts 2012 LA PRIME POUR L EMPLOI

Impôts 2012 LA PRIME POUR L EMPLOI Impôts 2012 LA PRIME POUR L EMPLOI Q à su su in L pr (a so (r do n fis A 7 d 1 au ch co s co Il s L p tr d 1 di 3 C pa su 1 2 < Qu st-c qu la prim pour l mploi? La prim pour l mploi st un aid au rtour

Plus en détail

Suivi des mutations commerciales sur 56 voies commerçantes parisiennes

Suivi des mutations commerciales sur 56 voies commerçantes parisiennes Suivi ds mutations commrcials sur 56 vois commrçants parisinns Not BDs 2014 Dirction du dévloppmnt économiqu, d l mploi t d l nsignmnt supériur juillt 2015 Dirctric d la publication : Dominiqu Alba Étud

Plus en détail

Thèse. Doctorat en Sciences

Thèse. Doctorat en Sciences Ministèr d l Ensignmnt Supériur t d la Rchrch Scintifiqu Univrsité Frhat Abbas, Sétif Faculté d Tchnologi Départmnt d Elctroniqu Thès Présnté par M. LAIB Salah-Eddin Pour l Obtntion du Diplôm d Doctorat

Plus en détail

Session 2010 Examen : BEP Tertiaire 1 Spécialités du Secteur 6 : Métiers de la comptabilité. Durée : 1 heure Epreuve : Mathématiques Page : 1/5

Session 2010 Examen : BEP Tertiaire 1 Spécialités du Secteur 6 : Métiers de la comptabilité. Durée : 1 heure Epreuve : Mathématiques Page : 1/5 SUJET 2010 Examen : BEP Tertiaire 1 Sécialités du Secteur 6 : Métiers de la comtabilité Coeff : Selon sécialité Logistique et commercialisation Vente action marchande Durée : 1 heure Ereuve : Mathématiques

Plus en détail

Moyennes de fonctions arithmétiques de formes binaires

Moyennes de fonctions arithmétiques de formes binaires Mathematika 58 2012 290 304 Moyennes de fonctions arithmétiques de formes binaires R de la Bretèche & G Tenenbaum Abstract Extending classical results of Nair and Tenenbaum we rovide general shar uer bounds

Plus en détail

Session poster ECOMM. L auto-partage, chaînon manquant de l offre de mobilité.

Session poster ECOMM. L auto-partage, chaînon manquant de l offre de mobilité. Sssion postr ECOMM Titr : Autur L auto-partag, chaînon manquant d l offr d mobilité. Jan-Baptist Schmidr, Rsponsabl d Franc AutoPartag, résau pour un nouvll mobilité, Dirctur Général d Auto trmnt Strasbourg.

Plus en détail

jean-marc.routoure@unicaen.fr

jean-marc.routoure@unicaen.fr n u u xq u i m ut a v s r o u o c id s i v d Un long VERS UN ENSEIGNEMENT MIXTE : PARTAGE D EXPÉRIENCES! EXEMPLE D UN DISPOSITIF D ENSEIGNEMENT MIXTE JEAN-MARC ROUTOURE, CORENTIN JOREL, DIDIER ROBBES,

Plus en détail

Les nouvelles orientations politiques du budget 2015 du Gouvernement prévoient

Les nouvelles orientations politiques du budget 2015 du Gouvernement prévoient GO NEWSLETTER N 1/2015 19 janvir 2015 L «Spurpaak» du Gouvrnmnt t ss réprcussions sur la formation ACTUALITÉ L «Spurpaak» du Gouvrnmnt t ss réprcussions sur la formation Allianc pour la qualification profssionnll

Plus en détail

AIR SEC, AIR HUMIDE ET AIR SATURE. L'air sec. L'air saturé. 20 La Météorologie 8 e série - n 2 - juin 1993

AIR SEC, AIR HUMIDE ET AIR SATURE. L'air sec. L'air saturé. 20 La Météorologie 8 e série - n 2 - juin 1993 La Météorologi 8 séri - n 2 - juin 199 19 L'HUMIDITE DE L'AIR ; MESURES HYGROMETRIQUES AU SOL Christian Prrin d Brichambaut Société Météorologiqu d Franc, 2 avnu Rapp 7540 Paris Cdx 07 OBSERVATION GENERALITES

Plus en détail

AUDIT. cheque-energie-audi-nov2012.indd 1

AUDIT. cheque-energie-audi-nov2012.indd 1 d d n a m D s i g r n é u chèq AUDIT chqu-nrgi-audi-nov2012.indd 1 15/01/13 08:55 2 mod d'mploi pour qui? 1. Vous êts propriétair occupant d un maison individull situé n Haut-Normandi, construit dpuis

Plus en détail

Vu la loi n 17-99 portant code des assurances prom ulguée par le dahir n 1-02-238 du 25 rejeb 1423 (3 octobre 2002), telle qu'elle a été complétée ;

Vu la loi n 17-99 portant code des assurances prom ulguée par le dahir n 1-02-238 du 25 rejeb 1423 (3 octobre 2002), telle qu'elle a été complétée ; Arrêté du ministr s financs t la privatisation n 2241-04 du 14 kaada 1425 rlatif à la présntation s opérations d'assurancs (B.O. n 5292 du 17 févrir 2005). Vu la loi n 17-99 portant co s assurancs prom

Plus en détail

Certification des tables après Solvency II Deauville 18 septembre 2009

Certification des tables après Solvency II Deauville 18 septembre 2009 Encomb Crtification ds tabls après Solvncy II Dauvill 18 sptmbr 2009 1 Institut ds Actuairs SACEI Christoph MUGNIER ids Sommair 1 L contxt réglmntair t démographiqu 03 2 L xpérinc AXA Franc 08 r l g 3

Plus en détail

DOSSIER DE CANDIDATURE POUR UNE LOCATION

DOSSIER DE CANDIDATURE POUR UNE LOCATION DOSSIER DE CANDIDATURE POUR UNE LOCATION Ls informations donnés nécssairs pour traitr votr candidatur rstront confidntills. Un dossir incomplt n put êtr xaminé. C dossir d candidatur rst soumis à l approbation

Plus en détail

dénombrement, loi binomiale

dénombrement, loi binomiale dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................

Plus en détail

Une Bretagne plus diplômée que les autres régions de province

Une Bretagne plus diplômée que les autres régions de province Un Brtagn plus diplômé qu ls autrs régions d provinc Ls actifs brtons sont plus diplômés qu ls autrs actifs d provinc. Comm dans ls autrs régions, l st l diplôm l plus fréqunt, mais ls Brtons sont plus

Plus en détail

Interview exclusive d Amélie P.

Interview exclusive d Amélie P. Intrviw xclusiv d Améli P. 3,00 Edition Spécial - Décmbr 2012 l r u s r i o av s z l u. o. v. s u g o a v m I Tout c qu rnalist Rportr d ou J d r i t é m Passion, nvi, t ncor passion. Voilà c qu vous pourrz

Plus en détail

La rénovation urbaine à Angers

La rénovation urbaine à Angers ANGERrSno2s1 quartirs avc vouuispmnt Chang t > Aménagmn Urbanism > > > t ita ab H > > > > Éq La rénovation urbain à Angrs n o g i P d n a r G r i t r L qua g a s i v d chang Dossir d prss L quartir Grand-Pigon

Plus en détail

TRESORERIE GENERALE DU MAROC

TRESORERIE GENERALE DU MAROC TRESORERIE GENERALE DU MAROC INSTRUCTION C1 SUR LA COMPTABILITE DENIERS DES RECETTES PERCEPTIONS ET PERCEPTIONS : S O M M A I R E TITRE I NOMENCLATURE ET FONCTIONNEMENT DES COMPTES EN DENIERS - Sction

Plus en détail

Comment utiliser une banque en France. c 2014 Fabian M. Suchanek

Comment utiliser une banque en France. c 2014 Fabian M. Suchanek Commnt utilisr un banqu n Franc c 2014 Fabian M. Suchank Créditr votr compt: Étrangr Commnt on mt d l argnt liquid sur son compt bancair à l étrangr : 1. rntrr dans la banqu, attndr son tour 2. donnr l

Plus en détail

Eléments de toiture en béton (TT) Willy Naessens 75

Eléments de toiture en béton (TT) Willy Naessens 75 Elémnts d toitur n éton (TT) Willy Nassns 75 Dscription énéral Pourquoi choisir ls lmnts d toitur n éton s élémnts d toitur n éton précontraint sont formés par 3 nrvurs spacés d 800 mm d ax n ax, rliés

Plus en détail

( ) PROBLEME 1 : ASSOCIATION DE CIRCUITS RC. 6 septembre 2014. I Réponse indicielle d un circuit RC PC*1 / PC*2 / PC DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N 1

( ) PROBLEME 1 : ASSOCIATION DE CIRCUITS RC. 6 septembre 2014. I Réponse indicielle d un circuit RC PC*1 / PC*2 / PC DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N 1 P* / P* / P DEVOI SUVEILLE DE PHYSIQUE N 6 sptmbr 4 POBLEME : ASSOIATION DE IUITS On analys, à laid dun oscilloscop, l circuit ci-contr comportant un génératur d tnsion E,r ( ), rprésnté dans l cadr pointillé,

Plus en détail

CONTRÔLE INDUSTRIEL et RÉGULATION AUTOMATIQUE

CONTRÔLE INDUSTRIEL et RÉGULATION AUTOMATIQUE Sssion 200 Brvt d Tchnicin Supériur CONTRÔLE INDUSTRIEL t RÉGULATION AUTOMATIQUE U4 Instrumntation t Régulation Duré : 3 hurs Cofficint : 4 L utilisation d un calculatric réglmntair st autorisé. Calculatric

Plus en détail

FICHE 1 Fiche à destination des enseignants TS 20 Les transferts thermiques dans un bâtiment

FICHE 1 Fiche à destination des enseignants TS 20 Les transferts thermiques dans un bâtiment FICHE Fich à dtination d nignant T 0 L tranfrt thrmiqu dan un bâtimnt Typ d'activité Activité avc étud documntair Notion t contnu du programm d T rm Compétnc xigibl du programm d T rm Tranfrt d énrgi ntr

Plus en détail

Le premier service d information par SMS.

Le premier service d information par SMS. L prmir srvic d information par SMS. Snd to Act simplifi considérablmnt la vi d vos collaborats t d ls corrspondants. Ds cntrs d formations, ds univrsités t ds écols d commrcs nous font djà confianc. Faîts

Plus en détail

- Partie A - Échantillonnage -

- Partie A - Échantillonnage - ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION - Parti A - Échatilloag - L'objctif d ctt parti st d répodr à la problématiqu suivat : commt, à partir d'iformatios (coupl moy-écart-typ ou proportio) cous sur u populatio,

Plus en détail

Physique Durée : 3h30

Physique Durée : 3h30 Banqu «Agro - Véto» A - 38 Physiqu Duré : 3h3 L usag d un calculatric st autorisé pour ctt épruv. Si, au cours d l épruv, un candidat rpèr c qui lui smbl êtr un rrur d énoncé, il l signal sur sa copi t

Plus en détail

LIGNES A RETARD. avec ϕ = - ωτ = - 2.π.f.τ

LIGNES A RETARD. avec ϕ = - ωτ = - 2.π.f.τ LIGNES A RETARD. DEFINITION L ignal d orti (t d'un lign à rtard parfait t lié au ignal d'ntré par la rlation : (t (t - τ. τ : rtard apporté par la lign.. ETUDE EN REGIME HARMONIQUE Si v (t V M.in(ωt v

Plus en détail

MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 1: Bases de la mécanique quantique

MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 1: Bases de la mécanique quantique MECANIQUE QUANTIQUE Chapitr 1: Bass d la mécaniqu quantiqu Pr. M. ABD-LEFDIL Univrsité Mohammd V-V Agdal Faculté ds Scincs Départmnt d Physiqu, LPM Anné univrsitair 007-08 08 Filièrs SM 3-SMI 3 3 1 Introduction

Plus en détail

Fiche interprétative 010 Transfert de travailleurs

Fiche interprétative 010 Transfert de travailleurs Fich intrprétativ 00 Transfrt d travaillurs. Princip. A. Txt d loi. a. Décrt du 9//04 rlatif à l agrémnt t à l octroi d subvntions aux ntrpriss d insrtion. Art. 6. r. L Gouvrnmnt put dérogr à l articl

Plus en détail

Principes d application sectoriels sur la correspondance bancaire

Principes d application sectoriels sur la correspondance bancaire Mars 2013 Princips d application sctorils sur la corrspondanc bancair Documnt d natur xplicativ Ls princips d application sctorils, élaborés par l Autorité d contrôl prudntil (ACP), répondnt à un dmand

Plus en détail

DELIBERATION DU CONSEIL REGIONAL

DELIBERATION DU CONSEIL REGIONAL REUNION DU 19 JUILLET 2007 DELIBERATION N CR-07/06.127 DELIBERATION DU CONSEIL REGIONAL Formation profssionnll - PEFA - Promotion d l'emploi par la Formation ds Actifs LE CONSEIL REGIONAL LANGUEDOC-ROUSSILLON,

Plus en détail

DENSITE, POPULATION CUMULEE ET TEMPS D ACCES

DENSITE, POPULATION CUMULEE ET TEMPS D ACCES DENSITE, POPULATION CUMULEE ET TEMPS D ACCES ANALYSE DES RELATIONS ENTRE MORPHOLOGIE URBAINE ET TEMPS D ACCES DANS L AIRE URBAINE DIJONNAISE Cyril Enault Boulvard Gabril 1 DIJON 3 8 39 57 37 cyril.nault@u-bourgogn.fr

Plus en détail

Produits de Petersson de formes modulaires associées aux valeurs de fonctions L

Produits de Petersson de formes modulaires associées aux valeurs de fonctions L de Bordeaux 14 2002, 171 185 Produits de Petersson de formes modulaires associées aux valeurs de fonctions L ar Lionel FOURQUAUX Résumé. Considérons les formes linéaires f Lf, χ, 1 sur l esace vectoriel

Plus en détail

Actionneurs Electriques

Actionneurs Electriques Plan Machin à courant continu Machin asynchron Machin synchron 1 Constitution Actionnurs Elctriqus Machin à courant continu Un machin à courant continu assur d manièr révrsibl la convrsion d l énrgi élctriqu

Plus en détail

Date de dépôt du dossier. Montant total des aides (3 500 maximum en zone d arrivée A et B1, 3 000 maximum en zone d arrivée B2 et C) Durée du prêt

Date de dépôt du dossier. Montant total des aides (3 500 maximum en zone d arrivée A et B1, 3 000 maximum en zone d arrivée B2 et C) Durée du prêt AIDE MOBILI-PASS Action Logmnt - Ls ntrpriss s ngagnt avc ls salariés Fich d dialogu établi conformémnt à l articl L311-10 du cod d la consommation t ls décrts n 2010-1461 t n 2020-1462 du 30 novmbr 2010.

Plus en détail

Le guide du parraina

Le guide du parraina AGREMENT DU g L guid du parraina nsillr co t r g ra u co n r, Partag rs ls mini-ntrprnu alsac.ntrprndr-pour-apprndr.fr Crér nsmbl Ls 7 étaps d création d la Mini Entrpris-EPA La Mini Entrpris-EPA st un

Plus en détail

Immobilier à NEW YORK. www.citystone.fr

Immobilier à NEW YORK. www.citystone.fr Immobilir à NEW YORK www.cityston.fr NEW YORK, UNE POSITION UNIQUE Nw York, t plus particulièrmnt sa mythiqu îl d Manhattan, fait parti ds principaux pôls économiqus, culturls t financirs d la planèt.

Plus en détail

LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET

LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET ABDULKADIR ERDOGAN & ALAIN MERCIER LES FORUMS DE QUESTIONS MATHÉMATIQUES SUR INTERNET ET LES ATTENTES SUR LE TRAVAIL DES ÉLÈVES Abstract. Forums of Mathematical Questions on Internet and Exectations about

Plus en détail