Le plus grand facteur premier de n où n est presque premier

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1 ACTA ARITHMETICA LXXVI L lus grand factur rmir d n où n st rsqu rmir ar Cécil Dartyg Nancy 0 Introduction En 1895, Tchbychv a montré qu si P désign l lus grand factur rmir du roduit n n2 + 1, alors l raort P / tnd vrs quand tnd vrs C résultat a été amélioré t généralisé tout au long du siècl ar d nombru mathématicins, notammnt ar Hooly [Ho], qui n 1967, n aortant lusiurs idés nouvlls à la méthod d Tchbychv, a obtnu la minoration P > 11/10, our assz grand En articulir, il introduisit du cribl our étudir la somm : < P log {0 n : n mod }, c qui l a conduit à stimr ds somms d onntills du ty hv, m m M 0 v<m v mod m avc la notation usull t = 2iπt Un oint rmarquabl d sa ruv fut alors d transformr ctt somm n un somm d Kloostrman ortant sur un tit dénominatur, c st-àdir, un somm du ty Sh, k; s = hu + ku 0 u<s u,s=1 l symbol u désign un invrs d u modulo s, où s st infériur à 2M 1/2, our aliqur ls majorations d Wil : Sh, k; s h, k, s 1/2 s 1/2+ε s 1991 Mathmatics Subjct Classification: 11L05, 11N32, 11N36 [199]

2 200 C Dartyg Ctt transformation ros sur la corrsondanc d Gauss ntr ls solutions v mod m t ls écriturs d m sous la form m = r 2 +s 2 ; lus récismnt, on a l lmm : Lmm 0 Gauss Pour m > 1, il ist un corrsondanc bijctiv ntr ls rrésntations d m sous la form m = r 2 + s 2, avc r, s = 1, r < s t ls solutions d v mod m Ctt bijction st donné ar v m = r s r sr 2 + s 2 mod 1, où r désign l invrs d r modulo s En 1982, Dshouillrs t Iwanic [D-I1] ont rris ls idés d Hooly, our y injctr ls rmarquabls résultats sur ls majorations d somms d Kloostrman n moynn sur h, k, s, qu ils avaint établis dans [D-I2] t sont ainsi arrivés à la minoration : our tout ε > 0 t our assz grand, P > θ ε, avc θ = L oint d déart d notr travail fut d étudir c qu dvnaint cs résultats lorsqu l on rmlaçait n ar un nombr rmir, c st-à-dir, d étudir l lus grand factur rmir P + du roduit Un utilisation dirct du théorèm d Brun Titchmarsh ar ml sous la form énoncé dans [I2] our détctr ls ±v mod q, avc 0 v < q, v mod q fournit la minoration P + > γ, avc γ = 078 infériur à 1 Il st alors naturl d étudir l lus grand factur rmir du roduit ñ ñ2 + 1, où ñ st un ntir ayant u d facturs rmirs t la notation n signifi n [, 2] L objt d ct articl st ainsi d montrr l Théorèm Soit < 1/122 Il ist ε > 0 tl qu our assz grand, on ait l inégalité {n : n >, P + n > 1+ε } / log, où P + n désign l lus grand factur rmir d n, avc la convntion P + 1 = 0 La ruv d c théorèm rrnd la méthod d Tchbychv Hooly, mais l fait d travaillr avc ds nombrs rsqu rmirs modifi snsiblmnt touts ls étas d la démonstration En articulir, lorsqu st suériur à, l stimation d la somm <<P log {ñ : ñ mod } st lus ardu

3 L lus grand factur rmir d n On détct ls ntirs rsqu rmirs ñ, t ls nombrs rmirs, avc un cribl d dimnsion 2 aliqué au roduits mn, avc n mod m Il faut alors stimr ls quantités log m {n : n 0 mod a, n mod m} m M m 0 mod d On dévlo n séri d Fourir ls congruncs sur n, mais la condition n 0 mod a rturb ls transformations ds somms d onntills qu l on rncontr alors Arès qulqus transformations utilisant l lmm 0, la somm qu l on obtint st finalmnt d la form gd, δ, h, k, s F, h, k, d, s δ< h H k K d D a d,h,k s S s,d=1 mod δ δ u,s=1 hdu + ku, s où g st un fonction liss, F st un fraction rationnll t l symbol indiqu qu ls ôls d F sont clus d la somm sur Ctt somm dénd d s mod δ t cass ainsi la lissité sur s Ls résultats d Dshouillrs t Iwanic d [D-I2] n sont lus alicabls t on stim finalmnt ls somms sur t sur u à l aid ds résultats d Wil d géométri algébriqu Ls différnts aragrahs d ct articl corrsondnt au étas d la méthod d Tchbychv Hooly L aragrah 7 st l assag crucial d la démonstration, on y trait la somm critiqu résnté dans ctt introduction J tins à rmrcir l Profssur Etinn Fouvry our tout l aid qu il m a aorté lors d la réalisation d c travail 1 La méthod d Tchbychv Soint > 2 t f un fonction d class T C, ositiv, à suort dans [, 2] t tll qu f l t t l, our tout l N la constant dans n déndant qu d l On os 0 = ft dt; on a alors 0 Pour > 0, on définit la quantité V = fn logn n > La méthod d Tchbychv consist alors à évalur la quantité V d du manièrs différnts, dont l un dénd d P +, l lus grand factur rmir du roduit V On commnc ar stimr V rsqu dirctmnt à artir du résultat classiqu concrnant ls ntirs sans tit factur rmir Nous n donnons un form très fort du à Tnnbaum [T], théorèm 3, 406 :

4 202 C Dartyg Lmm 11 Soit la fonction Φ, y = {n : n > y} On os u = log / log y On a, alors, uniformémnt our y 2, l égalité Φ, y = wu y + O log y log y 2, où w st la fonction d Buchstab t st solution, our u > 1, d l équation différntill au différncs { uwu = wu 1 si u > 2, uwu = 1 si 1 u 2 Nous n avons as bsoin d tout la uissanc d c résultat, car dans la suit on rndra y =, avc constant comris ntr 0 t 1, mais c lmm s aliqu facilmnt our montrr l Lmm 12 Pour 0 < < 1, on a l égalité V = 2w O log P r u v Soit χ la fonction caractéristiqu ds ntirs n ayant tous lurs facturs rmirs > Comm n, on a l égalité V = n = 2 log n fnχ n logn fnχ n + O fnχ n Il s agit alors d stimr fnχ n =\ ft dφt, On fait un intégration ar artis : n n fnχ n = [ftφt, ] 2 2\ n f tφt, dt L rmir trm du mmbr d droit st nul, t on utilis l lmm 11 our évalur l scond : fnχ 2\ f tt 1 n = log w 1 + O dt log n + O 2\ t f t 2 log 2 dt + O 2\ f t log dt

5 Pour tndant vrs, on a 1 w 1 + O log L lus grand factur rmir d n = w 1 + O log D lus, comm f t t 1, ls trms d rst sont /log 2 Puis, n faisant un duièm intégration ar artis, on a 2\ f ttw 1 [ fttw 1 ] 2 dt = w 1 2\ ft log log log dt = w 1 0 log On obtint finalmnt 1 V = 2w O c qui trmin la ruv du lmm 12 log Maintnant, tout l rst d la ruv st consacré à la duièm stimation d V On commnc ar écrir l égalité V = log r fn r,s r rmir r s Pour d N, on définit la quantité A d = n, n > n mod d, n, n > n mod r s fn Pour h, t, ε, θ > 0, avc 1 > t > 1/2 ε, t θ > 2/3, on rocèd nsuit au découag suivant r désign toujours un nombr rmir : 2 V = log r A r s + log r A r s r s 1/2 ɛ 1/2 ε <r s t + log r A r s + log r A r 2 t <r s s 2, r θ t <r 2 r> θ + log r A r + log r A r t <r 1+h r> 1+h = S 0 + S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5, ar définition La rmièr somm, S 0, st évalué avc un théorèm du ty l théorèm d Bombiri Vinogradov établi ar Wolk [W]; S 1 st majoré avc un cribl sur n, S 2 st majoré dirctmnt, S 3 st traité avc l cribl à

6 204 C Dartyg carrés d Hath-Brown La somm S 4 st la lus difficil à traitr, on la majorra n utilisant un cribl d dimnsion 2 qui srvira à détctr à la fois ls ntirs n rsqu rmirs t ls nombrs rmirs r On choisira alors > 0 l lus grand ossibl tl qu il ist ε t h > 0 assz tits tls qu S 5 = V S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 soit strictmnt ositiv 2 Estimation d S 0 La quantité S 0 s évalu d la mêm manièr qu V X, mais n utilisant l théorèm qu Wolk a montré dans [W], concrnant la réartition n moynn ds rogrssions arithmétiqus ortant sur ds ntirs rsqu rmirs C st l Lmm 21 Soint Φ k, z = n n,k=1 n >z 1 t Φ, z, k, l = n n l mod k n >z avc 2, 1 z Alors, our tout A > 0, il ist A 2 > 0 tl qu uniformémnt our z 1/2 t Q = 1/2 log A 2, on ait ma ma 1 l,k=1 y Φ, z, k, l ϕk Φ k, z log A k Q C lmm st la clé d la ruv du résultat suivant : Lmm 22 On a l égalité S 0 = w 1 2 P r u v On écrit S 0 sous la form S 0 = log r r s 1/2 ε 0<v<r s v mod r s + O log n v mod r s 1, fnχ n Pour rimr ctt somm sous form intégral, on définit Ψt = log r χ n r s 1/2 ε On a alors l égalité 3 S 0 =\ 0 v<r s v mod r s 2\ ft dψt = n t n v mod r s f tψt dt

7 L lus grand factur rmir d n On aliqu alors l lmm 21 à Ψt, our < t < 2 : 1 4 Ψt = log r ϕr s r s < 1/2 ε v mod r s v mod r s + O log 100 ma ϱrs, n t n,r s =1 χ n avc ϱd = {0 < v < d : v mod d} Ctt fonction ϱ intrvindra dans touts ls étas d la démonstration; ll rnd ls valurs suivants : Lmm 23 La fonction ϱ st multilicativ, t vérifi : i ϱ2 = 1, ϱ2 k = 0 our k > 1, ii our > 2 t k 1, ϱ k = ϱ, iii ϱ = 2 si 1 mod 4, ϱ = 0 si 1 mod 4 Ainsi, our r rmir, on a 0 ϱr s 2; on rort cci dans 4, tout n rofitant d l inégalité f t t 1 : S 0 = r s < 1/2 ε log r + O La fonction Φ r s log 10 v mod r s v mod r s vérifi l équation Φ r st, = Φt, 1 ϕr s 2\ n t n > n 0 mod r s f tφ r st, dt L duièm trm du mmbr d droit d ctt drnièr égalité st nul si r ; sinon, si r >, alors tout ntir n ayant un contribution ositiv dans ctt somm ut s réécrir comm n = mr s avc m < tr s t ayant tous ss facturs rmirs suériurs à On a donc l égalité { Φ r st, Φt, = si r, Φt, Φtr s, si r > Ctt écritur nous rmt d utilisr un nouvll fois l lmm 11, t n faisant ls mêms oérations qu clls ffctués our calculr V, on a 1

8 206 C Dartyg S 0 = w O log 0 log r s < 1/2 ε r 1 mod 4 r s < 1/2 ε r> 2 log r 1 ϕr s 1 + O log log r + r2s log r s < 1/2 ε r> log r r s L trm d rrur d ctt drnièr lign st, our tout η > 0, un O 1 /3 + +η, c qui st très tit Finalmnt, grâc à l égalité asymtotiqu π, 4, 1 = 2 log + O log 2 on obtint l égalité 1/2 ε S 0 = w O log log 2 On a donc w 1 + O log 0 s 2, r s 1/2 ε r 1 mod 4 \ 2 log r ϕr s, S 0 = w ε 0 + O log log r r dr log r 3 Majoration d S 1 On rall la définition d S 1 donné à la lign 2 : S 1 = log r fnχ n = log r A r s, n mod r s 1/2 ε r s t 1/2 ε r s t r 1 mod 4 avc 1/2 ε < t < 1 Prmièr majoration d S 1 Ctt rmièr majoration consist n qulqu sort à réécrir la ruv du théorèm d Brun Titchmarsh facil π, q, a 2 + o1 ϕq log/q, mais dans un autr contt t avc ds notations différnts Pour r s fié, r 3, on va majorr ls quantités A r s n utilisant un cribl d Rossr sur n Pour Dr s > 0, qu l on récisra lus tard, on définit ls oids d Rossr λ d d la manièr suivant : λ 1 = 1, λ d = 0 si d a un factur carré,

9 L lus grand factur rmir d n ou si d, r > 1, t our d sans factur carré t tl qu d, r = 1, d = 1 k avc 1 > > k, on os { λ d = 1 k si 1 2 2l 3 2l+1 < Drs, our 0 l k 1/2, 0 sinon Cs cofficints d Rossr vérifint la roriété fondamntal λ 1 µ 1, t on a donc l inégalité A r s fn d P d<dr s d P d<dr s λ d λ d n 0 mod d n mod r s 0<v<dr s d v v mod r s n v mod dr s On utilis nsuit la formul sommatoir d Poisson : fn Lmm 31 Soit g un fonction d class C 1, à suort comact dans R, t soit ĝ sa transformé d Fourir Alors on a gn = 1 ah h ĝ q q q n a mod q h Z On aliqu la formul d Poisson our transformr ls congruncs sur n L cofficint n h = 0 fournit l trm rincial : A r s 1 λ d dr f h hv s dr s dr s 0 d P d<dr s d P d<dr s d,r=1 + d P d<dr s d,r=1 h Z λ d 0<v<dr s d v v mod r s λ d h 0 1 dr s f h dr s 0<v<dr s d v, v mod r s 1 dr s 0<v<dr s d v v mod r s hv dr s Pour h 0, n faisant l intégrations ar artis, on trouv h 2iπh f dr s = l\ 2iπht dr dr s f l s l t dr s dt h Pour ε > 0, n rnant l = [4ε 1 ], on montr qu fh/dr s 1/h 2 our h > H avc H = dr s 1+ε Pour d < 1 ε r s, on a H 1 t la somm sur h 0 st ε /r s

10 208 C Dartyg On choisit alors Dr s = 1 ε r s En rofitant nsuit ds travau d Iwanic sur l cribl linéair, lus récisémnt, n aliquant l théorèm 1 d [I1], on a l inégalité S 1 0 1/2 ε r s t r 1 mod 4 < r log r r s F avc ε > 0 arbitrairmnt tit Comm s 2 1/2 ε r s t on a, n rofitant d l égalité l inégalité c st-à-dir, S 1 0 γ log log r r s π, 4, 1 = \ t 5 S 1 0 γ log r r F 1/2 ε t\ 1/2 ε log 1 ε r s < r log log + O, log + O + ε, log log, log/r dr log log r + O + ε, log 1 λ F dλ + O + ε log Duièm majoration d S 1 On rart d l égalité S 1 = fnχ n, 1/2 <r s < t r 1 mod 4 n ±v mod r s où v st un solution d v mod r s r st rmir Il s agit alors d détctr ls ntirs intrvnant dans la somm A rs = fnχ n n v mod r s A ctt fin, on transos ls résultats d Iwanic [I2] concrnant l théorèm d Brun Titchmarsh à notr situation

11 L lus grand factur rmir d n Comm dans la rmièr majoration, on commnc ar aliqur l cribl linéair d Iwanic, mais on rofit ici linmnt d la résntation sous form bilinéair du trm d rrur dans l théorèm 1 d [I1] Pour ε > 0, A = 8ε 3, > Kε, M 1, N 1, D = MN <, on a l inégalité A rs 0 r s < r où c st un constant absolu t 1 1 { } log D F log + cε + R a A rs, M, N, a<a R a A rs, M, N = m M n N mn,r=1 a m b n ra rs, mn En rofitant d ctt flibilité du trm d rrur, Iwanic a montré l inégalité suivant : Lmm 32 [I2], théorèm 5, 105 Soit ε > 0, 2/5 < r s 2/3 6ε, M = 1 3ε /r s t N = 1/2 4ε /r 3s/4 On a a m b n ra rs, mn 1 ε /r s m M n N mn,r=1 Grâc à c lmm, on ut choisir D = MN = 3/2 7ε /r 7s/4, our obtnir alors A rs 0 r s 1 1 log 3/2 7ε r 7s/4 F log + ε log + O log 2 < Ctt majoration st lus fin qu cll qui a srvi our 5 lorsqu r s < 2/3 t on trmin ls calculs comm récédmmnt A artir d cci on a Lmm 33 Pour tout ε > 0, on a l inégalité S 1 0 γ + 0 γ \ t\ 2/3 1/2 ε 2/3 3/2 7ε 7λ/4 F dλ 1 λ F dλ + ε + O log

12 210 C Dartyg 4 Majoration d S 2 Ctt quantité s major rsqu dirctmnt On écrit la suit d inégalités S 2 = log r fn t <r s s 2, r< θ t <r s s 2, r< θ t <r s s 2, r< θ 1 t/2+ε On a ainsi l inégalité n mod r s n > log r {n [, 2] : n mod r s } log r r s + t <r s <r s < s 2, r< θ 1 r + s/2 log r r< θ log r S 2 1 t/2+ε + θ+η 1 ε, s 2log / log r our ε assz tit Donc our 0 < θ < 1, θ aussi roch d 1 qu l on vut, il ist ε > 0 tl qu S 2 1 ε 5 Majoration d S 3 avc un cribl à carrés On rall la définition d S 3 : S 3 = log r fn θ <r r rmir n mod r 2 n > On va montrr qu our θ > 3/4, S 3 1 ε our ε > 0 assz tit On art d l inégalité S 3 log {n [, 2] : n mod d 2 }, θ <d 2 ctt somm ortant sur ls ntirs d non nécsairmnt rmirs Pour évalur cci on utilis l cribl à carrés d Hath-Brown [HB], théorèm 1 : Lmm 51 Soit A = ωn n un suit d réls, avc ωn 0 our tout n t ωn < On définit SA = n N ωn2 Soit P un nsmbl d P nombrs rmirs On suos qu ωn = 0 our n = 0 ou n P Alors on a la majoration SA P 1 ωn + P 2 n ωn, q n où n q st l symbol d Jacobi q P n 1

13 L lus grand factur rmir d n Il faut détctr ls n = md 2, avc m < 4 2 2θ t md ; ainsi, on rnd ls oids ωn = {m, d : θ < d 2, m 4 2 2θ, md 2 1 [ 2, 4 2 ], n = md 2 1}, t P = {2 < < P }, où P > 0 sra récisé lus tard On aliqu alors l lmm 51 : 6 S 3 P 1+ε 1 + P 2+ε 2<<q<P m 4 2 2θ θ <d 2 m 4 2 2θ θ <d 2m 1/2 md 2 1 q On imos P < θ/2 ; alors our q imairs, n dévloant ls congruncs vérifiés ar d, on a md 2 1 m 1/2 mu 2 1 q q + q q θ <d 2m 1/2 Pour q, on a ncor mu 2 1 = q 1 u q 1 u q = 1 1 u q mu 2 1 mu 2 1 q m 2 1 mβ β q Pour calculr cci, on établit d abord l lmm : Lmm 52 Si 2 t n divis as m, m 2 1 m = 1 C résultat s obtint dirctmnt à artir du théorèm 82 du livr d Hua [Hu], 174 En aliquant c lmm à la majoration d S 3 écrit dans 6, on a S 3 P 1+ε 3 2θ + P 2+ε 1 m, q + q q m 2<<q<P m< 2 2θ P 1+ε 1 3 2θ + P 2 2 θ+ε + P 2 2 2θ+ε 1 En rnant P = θ/3, on obtint S 3 3 7θ/ θ/3+ε 1 Pour θ > 3/4, il ist ε > 0 tl qu S 3 1 ε Il rst maintnant à majorr la somm S 4 défini dans 2 q

14 212 C Dartyg 6 Découag d S 4 On décou l intrvall ] t, ] n intrvalls d la form ]P k, P k+1 ], avc P k = 2 k t, uis on artag la somm S 4 n 7 S 4 = W k, avc W k = r 0 k K C k r log r A r, où ls C k sont ds fonctions ositivs d class C, à suort dans [P k, 4P k ], tlls qu C l l k t Pk uniformémnt sur t t vérifiant { 1 si t < z < 1+h, C k z = O1 si t /2 < z < t ou si 1+h < z < 2 1+h, 0 k K 0 sinon Il aaraîtra à la fin d la majoration d S 4 qu la rt d récision d l inégalité 7, corrsondant à la somm sur ls r avc t /2 < r < t ou 1+h < r < 2 1+h, st négligabl d l ordr d / log Ainsi, on st amné à stimr ds somms d la form 8 W P = log r Cr fn, P <r<4p n mod r n > c qui s fra avc un cribl d dimnsion 2 our détctr ls rmirs r t ls nombrs rsqu rmirs n 7 Préaration au cribl Pour P [ t /2, 2 1+h ] fié, on os S P d 1, d 2 = Cm log m fm m [P,4P ] m 0 mod d 2 n 0 mod d 1 n mod m En rrnant ls idés d Hooly [Ho], nous allons établir la roosition suivant : Proosition 7 Pour d 1 t d 2 sans factur carré on a L1, χ 4 S P d 1, d 2 = 0 ωd 1, d 2 \ Ct log t dt ζ2 d 1 d 2 τ 2 d 2 P 1/2 log P + O d 1 d 2 2 ωd 1, d 2 étant la fonction multilicativ défini ar t + RP, d 1, d 2,

15 L lus grand factur rmir d n ϱd d ωd 1, d 2 = 1 2 d 1 d 2 d 1 d si d 1, d 2 = 1, 0 si d 1, d 2 > 1, avc ϱd = {0 < v < d : v mod d} L trm d rrur RP, d 1, d 2 vérifi : si P < D 1 on a µ 2 d RP, d 1, d 2 ε ε > 0, d<d si P > D 1 on a µ 2 d d<d d 1 d 2 =d d 1 d 2 =d RP, d 1, d 2 P 3/4 D 3/2 ε ε > 0 P r u v Comm on l avait fait lors d la majoration d S 1, on commnc ar aliqur la formul sommatoir d Poisson du lmm 31 : 9 S P d 1, d 2 = = m 0 mod d 2 Cm log m m 0 mod d 2 Cm log m h Z m 0 mod d 2 0 v<d 1 m d 1 v v mod m f h d 1 m 1 d 1 m n v mod d 1 m fn 0 v<d 1 m d 1 v v mod m hv d 1 m L trm rincial st donné ar h = 0, f0 = 0 t dans l aragrah suivant, on montrra qu 10 Cm 0 d 1 m log m 1 0 v<d 1 m d 1 v v mod m = ωd 1, d 2 L1, χ 4 0 d 1 d 2 ζ2 \ Ct log t t dt + E 0, où E 0 st un rrur assz tit Pour h 0, comm our S 1, on montr qu fh/d 1 m 1/h 2, our h > H, avc H = P d 1 1+ε Ainsi, our d 1 D < 1 ε P 1, on a H 1 t µ 2 d RP, d 1, d 2 ε, d<d d 1 d 2 =d c qui rouv l rmir résultat annoncé cas P < D 1

16 214 C Dartyg Pour P grand, P > D 1, on va améliorr c résultat n faisant intrvnir ds somms d onntills On comt rofitr d évntulls comnsations sur la somm m v hv/d 1m qu l on transform avc l lmm 0 énoncé dans l introduction L roblèm st qu lorsqu on écrit m = r 2 +s 2, on a souvnt s, d 1 > 1, c qui nous mêch d invrsr d 1 mod s Il faut donc tnir comt d c gcd, c qui rnd ls oérations lus difficils Pour H = P D 1+ε, on doit stimr R P d 1, d 2 = 0< h <H m 0 mod d 2 Cmlog m f h 1 d 1 m d 1 m 0<v<d 1 m d 1 v v mod m L lmm d Gauss l lmm 0 nous rmt d écrir qu R P 11 Cr 2 + s 2 logr 2 + s 2 σ d 1 0< h <H avc f h d 1 r 2 + s 2 r 2 +s 2 0 mod d 2 r,s=1, r <s σ=s,d 1 r 2 +s 2,d 1 =1 1 d 1 r 2 + s 2 hv{r, s} d 1 r 2 + s 2, v{r, s} = d 1 w{r, s} t w{r, s} = d 1 r s r2 + s 2 r s hv d 1 m où r st un invrs d r mod s t d 1 un invrs d d 1 mod r 2 + s 2 Bin qu m ait arfois lusiurs écriturs sous la form m = r 2 + s 2, on n a rin rajouté dans la lign 11, car d arès l lmm 0, cs écriturs sont n bijction avc ls solutions v d la congrunc v mod m hv{r, s} hd1 r Transformation d d 1 r 2 + s 2 = r 2 + s 2 s r2 + s 2 r s On voudrait dévlor dirctmnt l intériur d l onntill, mais c n st as ossibl car d 1 n st a riori as invrsibl mod s, t on doit utilisr l lmm d invrsion suivant : Lmm 71 réécritur d Bzout Pour n 1, n 2 = 1, on a n 1 n 2 + n 2 n 1 = 1 n 1 n 2 mod 1 On écrit d 1 = δσ, avc σ = s, d 1 ; on a alors δ, σ = 1, car d 1 st sans factur carré Dans l lmm 0, l choi d r mod s st libr, lus récismnt, si a t a sont du invrss d r mod s, alors,,

17 L lus grand factur rmir d n a s r2 + s 2 r s a s r2 + s 2 r s mod r2 + s 2 Cci nous rmt d écrir l égalité hv{r, s} d1 Ω d 1 r 2 + s 2 = r 2 + s 2, où on a osé Ω = rσs s r2 + s 2 r s, r σs étant un invrs d r modulo σs Soit δ un invrs d δ modulo σsr 2 + s 2 ; cci st cohérnt car d 1 st sans factur carré En aliquant l lmm 71 à n 1 = σ, n 2 = r 2 + s 2 on a hd1 Ω hδωσ 12 r 2 + s 2 = r 2 + s 2 hδω = σr 2 + s 2 + hδωr2 + s 2 σ où r 2 + s 2σs st un invrs d r 2 + s 2 modulo σs En dévloant la formul définissant Ω, n utilisant l fait qu σ s, on a Ω r σs r 2 = r = 1 σ σs σs L égalité 12 s simlifi donc our dvnir hd1 Ω hδω hδr hδr r 2 + s 2 = σr 2 + s 2 = + σs σsr 2 + s 2 L onntill hδr σs créra un somm d Kloostrman Par contr on n ut as traitr dirctmnt hδr σsr 2 +s 2 Pour s débarrassr du δ, dans ctt drnièr onntill on réaliqu l lmm d invrsion à n 1 = δ, n 2 = σsr 2 + s 2 : hδr hr σsr 2 + s 2 = δσsr 2 + s 2 hrσsr2 + s 2 δ On obtint finalmnt hv{r, s} hδr d 1 r 2 + s 2 = } σs {{ } trm d somm d Kloostrman + hr d 1 sr 2 + s 2 } {{ } trm liss Ls variabls d sommation imortants sont r t s σs, hrσsr2 + s 2 } {{ δ } trm constant lorsqu ls congruncs d r t s mod δ sont fiés

18 216 C Dartyg Dans cs du drnièrs ligns, t dans tout la suit, ls barrs d invrss ont maintnant l sns habitul rlatif au dénominatur L trm liss n os aucun roblèm, on s n débarass n faisant un intégration ar arti Par contr, l onntill d dénominatur δ st un trm fortmnt oscillant, t mêm lorsqu δ st tit, c trm nous mêch d utilisr ls majorations d Dshouillrs t Iwanic [D-I2] d somms d somms d Kloostrman Estimation d la somm sur r d 11 Pour allégr l écritur, on os hr Cr 2 + s 2 logr 2 + s 2 h F r, s = f d 1 sr 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 Pour 0 < h < H t P 1/2 < s < 2P 1/2, σ, s = 1, fiés, on étudi hrσ ss2 + r 13 Σ s = 2 hδr δ σs r 2 +s 2 0 mod d 2 r <s, r,s=1 On dévlo ls congruncs sur r n somm d onntills : Σ s = 1 d 2 σsδ lr ϱ F r, s d 2 σsδ d 2 δσs l=1 ϱ mod d 2 σsδ ϱ 2 +s 2 0 mod d 2 ϱ,s=1 r <s hδϱ hϱσ ss2 + ϱ 2 σs δ = 1 d 1 d 2 s lr F r, s d 1 d 2 s d 1 d 2 s l=1 r <s ϱ mod d 2 σsδ ϱ 2 +s 2 0 mod d 2 ϱ,s=1 hδϱ σs Avc un notation évidnt, on osra hϱσ ss2 + ϱ 2 14 Σ s = 1 d 1 d 2 s Σ r 2 Σ ϱ d 1 d 2 s Pour la somm sur r on fait un transformation d Abl : lr lr F s, s d 1 d 2 s d 1 d 2 s Σ 2 r r <s l=1 s\ s s<r<t δ F r, s lϱ d 1 d 2 s F t, s dt t

19 min s, l d 1 d 2 s + min s, l d 1 d 2 s L lus grand factur rmir d n ε d 1 P 1 s\ s 1+ε t d 1 t 2 + s ε th d 2 1 t2 + s 2 3 dt Pour écrir cci on a fait ls calculs suivants : comm f h d 1 r 2 +s, 2 on a F r, s 1+ε /d 1 P On étudi nsuit la dérivé d F à artir d l écritur hr Cr 2 + s 2 logr 2 + s 2 h F r, s = f d 1 sr 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 d 1 r 2 + s 2 Pour s fié, lorsqu on dériv ar raort à r, ls dérivés d C t du log donnnt un trm du ty 1+ε r/d 1 r 2 + s 2 2 cll d l onntill donn un trm d l ordr d 1+ε d 1 r 2 + s 2 r hr d 1 sr 2 + s 2 Enfin, our l trm f, on a r f h d 1 r 2 + s 2 c qui donn F t, s 1+ε t On a donc lr F r, s d 1 d 2 s r <s 1+ε d 1 r 2 + s 2 s d 1 t 2 + s ε hr d 1 r 2 + s 2 2, 2+ε hs d 2 1 t2 + s ε d 1 P + 2+ε h d 2 1 P 2 min hs d 1 r 2 + s 2 2 s, l d 1 d 2 s 1 Pour 0 < h < H, l rmir trm du mmbr d droit l mort sur l duièm On n déduit qu 15 Σ r 2 = lr F r, s 1+ε d 1 d 2 s d 1 P min s, l 1 d 1 d 2 s r <s Estimation d la somm sur ϱ D arès 14, on a hδϱ hϱσ ss2 + ϱ Σ ϱ = 2 σs δ ϱ mod d 2 σsδ ϱ 2 +s 2 0 mod d 2 ϱ,s=1 lϱ d 1 d 2 s Comm d 2, d 1 s = 1, grâc au théorèm d Bzout, on ut écrir ϱ = ud 2 + vd 1 s, c qui donn

20 218 C Dartyg 16 Σ ϱ = v mod d 2 d 2 1 v2 +s 2 0 mod d 2 u mod d 1 s u,s=1 u 2 +s 2,δ=1 lv d 2 hδ d2 u σs hd2 uσ ss 2 + d 2 2 u2 δ lu d 1 s La somm sur v st un O2 νd2 En utilisant à nouvau Bzout t n rofitant du fait qu δ, σs = 1, on écrit u = σs + βδ; on obtint alors our la somm sur u, Σ u = hd2 δ 2 β lβ 17 β,s=1 β mod σs σs hd2 2 d 2 2 σ2 s 2 + s 2 l δ mod δ où indiqu qu la somm ort sur ls tls qu l onntill soit défini ici sur ls tls qu 2 d 2 2σ 2 s 2 + 1, δ = 1 La somm sur β st un somm d Kloostrman t d arès la majoration classiqu d Wil ctt somm st un Oσs 1/2+ε σs, h, l 1/2 Il rst à stimr Σ = hd2 2 d 2 2 σ2 s 2 + s 2 l δ mod δ Comm δ st sans factur carré on ut établir l résultat suivant : Lmm 72 La somm Σ s décomos n Σ = hd2 δ/s 2 d 2 2 σ lδ/ δ mod Il suffit d rouvr cci our δ = 1 2, où 1 t 2 sont 2 nombrs rmirs distincts, c qui s fait n écrivant = uis n séarant ls du nouvlls somms ainsi obtnus Grâc au lmm 72, il nous suffit d évalur hd2 δ/s 2 d 2 2 σ lδ/ mod Si h, l, ctt somm vaut à u rès, ll st quasimnt null si h mais l, cs du résultats étant acts à 0, 1 ou 2 rès slon l nombr d ôls clus ar la condition,

21 L lus grand factur rmir d n Lorsqu, h = 1, on stim ctt somm avc l lmm suivant qui st un cas articulir d un résultat énoncé ar Dlign dans [D], t qui trait d la majoration d un somm d onntill d un fraction rationnll, dans l srit du théorèm d Wil : Lmm 73 Soit P 1 la droit rojctiv sur F, t soit un morhism f : P 1 P 1, non idntiqumnt égal à Soit S f = P 1 f f Pour tout oint d P 1, on os v f = ordr du ôl d f n si f =, v f = 0 sinon Alors on a S f 1 + v f 1/2 v f 0 Dans notr situation, on a f = a + b/c avc a = lδ/, b = hd 2 δ/s 2 t c = d 2 σ Si 1 mod 4, f a 3 ôls :, c 1, c 1, t v f = 1 n cs ôls Si 1 mod 4, f a un sul ôl t v f = 1 On a donc Cci donn S f 6 1/2 Σ 6 νδ δ 1/2 δ, h, l 1/2, t n rortant dans 17, on a Σ u d 1 s 1/2+ε d 1 s, h 1/2, uis dans 16, on obtint Σ ϱ sd 1 1/2+ε σd 1 s, h 1/2 En injctant cci dans 14, avc 15, on trouv Σ s 1+ε d 1 P d1/2 1 s 1/2 d 1 s, h 1/2 On rort cci dans 11, t n faisant l changmnt d variabls s σs, on a R P, d 1, d 2 1+ε d σδ=d 1 P 1/2 <sσ<2p 1/2 1/2 1 s 1/2 σ 1/2 d 1 P 0< h <H σs, h 1/2

22 220 C Dartyg La somm sur h dans l trm d droit st un OH 1+ε Comm H = d 1 P 1+ε, on a R P, d 1, d 2 ε σs 1/2 d 1/2 1 σδ=d 1 P 1/2 <σs<2p 1/2 P 3/4 ε d 1/2 1 σ 1/2 P 3/4 ε d 1/2 1 σδ=d 1 c qui donn µ 2 d d<d d 1 d 2 =d RP, d 1, d 2 d<d P 3/4 ε d 1/2 P 3/4 ε D 3/2, c qui corrsond au résultat annoncé dans la roosition 7 Évaluation du trm rincial Il s agit d évalur log m Cm T P d 1, d 2 = d 1 m m 0 mod d 2 On va montrr l lmm suivant : 0<v<d 1 m d 1 v v mod m Lmm 74 On a l égalité T P d 1, d 2 = L1, χ 4 ωd 1, d 2 \ Ct log t dt + O τ 2 d 2 P 1/2 log P ζ2 d 1 d 2 t d 1 d 2, 2 avc 0 si d 1, d 2 > 1, ϱd d 1 d 2 ωd 1, d 2 = 1 mod sinon 2 2 d 1 d 2 d 1 1 mod 4 La démonstration d c lmm st calqué sur clls d Hooly [Ho], Dshouillrs t Iwanic [D-I1] On commnc ar utilisr ds séris génératrics Soit h a,l s = ϱa, ld d s, d 1 avc ϱa, d = {n {0,, d 1} : a 2 n mod d} Pour a = 1 on a ϱ1, ld = ϱld; si a, d = 1, ϱa, d = ϱd; t si a, l > 1, h a,l s = 1 our tout s 1

23 L lus grand factur rmir d n Dans la suit, on suos qu a, l = 1 t qu l t a sont sans factur carré, t on va établir qu 18 h a,l s = ϱl ζsls, χ 4 ζ2s al 1 mod 4 En fft, on a l égalité h a,l s =,al=1 = ϱl car d arès l lmm 23, s 1 a,al=1 k N ϱ k+1 ks ϱ k ks l k N ϱ k ks 1 mod 4 2 k N l 1 mod 4 = ϱ ks our 2, 1 1 s s 2 al ϱ k+1 ks 1 1 s 1, ϱ = 0 si 1 mod 4, ϱ2 = 1, t ϱ2 k = 0 our k > 1 Donc k N ϱ2 k+1 2 ks = 1 Soit hs = d N ϱd/ds = h 1,1 s; on a ncor hs = ζsls, χ 4 ζ2s On évalu alors l raort h a,l s/hs : h a,l s hs = ϱl = ϱl al,al=1 ϱ k k N ks ϱ k k N ks Lorsqu ϱl 0, cla donn k N ϱ k ks 1 l 1 mod 4 l 1 mod s s 1

24 222 C Dartyg h a,l s hs = ϱl al 1 mod 4 l 1 mod s 1 al 1 1 s 1 2 al 1 mod s s Arès qulqus simlifications, t n rofitant du fait qu a, l = 1, on trouv h a,l s = ϱlhs s a 1 mod 4 al 1 mod s 2 al s 1 Pour finir, on rcoi Dshouillrs t Iwanic [D-I1] On écrit Cm log m m = 1 2iπ \ σ Rs m s avc σ > 0, t Rs st la transformé d Mllin d la fonction u Cu log u/u D arès la formul d invrsion d Mllin, t n faisant 2 intégrations ar artis, on montr qu Rs =\ Cy log y y ys 1 dy s P σ 1 log P Soit σ > 1 On a l égalité : Cm log m ϱd 1, m = 1 m 2iπ m 0 mod d 2 \ σ ds Rsh d1,d 2 s d s 2 Ensuit, suivant Dshouillrs t Iwanic [D-I1], 9, on décal ctt intégral à R = 1/2 t n rrnant lurs résultats, on trouv Cm log m ϱd 1, m m m 0 mod d 2 = R1ϱd 2 L1, χ 4 d 2 ζ d 1 d 2 1 mod 4 1 d 1 1 mod 4 ds d 1 d 2

25 + 1 2iπ = ϱd 2 d 2 L1, χ 4 \ d 1 d 2 1 mod 4 L lus grand factur rmir d n Rsh d1,d 2 s d s ds 1/2 2 \ Cy log y dy ζ2 y d 1 1 mod 4 \ s νd d 1 d P 1/2 log P + O ζsls, χ 4 d 1/2 ζ2s ds, 2 } {{ } Oτ 2 d 2 P 1/2 log P /d 1/2 2 c qui trmin la ruv du lmm 74 t ainsi cll d la roosition 7 8 Majoration d S 4 On art d l inégalité ls quantités W P étant clls définis à la lign 8 W P log m Cmfn n mod m mn > Soint λ d ls oids d Slbrg corrsondant à c roblèm d cribl Pour un définition récis, on ut consultr l livr d Halbrstam t Richrt [H-R], chaitr 3, 97 On a alors la majoration 2 W P log m Cmfn λ d m,n n mod m d P d mn On dévlo nsuit c carré, t n rrnant ls notations du tout début du aragrah 7, on a l inégalité W P λ d1 λ d2 S P a, b, d 1,d 2 P ab=[d 1,d 2 ] car S P d 1, d 2 = 0 dès qu a, b = 1 On aliqu alors la roosition 7 : L1, χ 4 W P λ d1 λ d2 0 \ Ct log t dt Ω[d 1, d 2 ] ζ2 t [d 1, d 2 ] d 1,d 2 P + λ d1 λ d2 RP, a, b, d 1,d 2 P ab=[d 1,d 2 ] avc Ω[d 1, d 2 ] = ab=[d 1,d 2 ] ωa, b, car ωa, b = 0 si a, b > 1

26 224 C Dartyg D arès ls valurs d ω donnés dans la roosition 7, on a : 4/3 si = 2, Ω = 3 + 1/ + 1 si 1 mod 4, 1 si 1 mod 4 Ls conditions du cribl d Slbrg d dimnsion 2 sont rmlis; n aliquant c cribl, uis n sommant sur P, on obtint our S 4 la majoration S 4 1 Ω L1, χ4 \ du ζ2 < uσ log Du + O ε +, 2 log log avc, d arès la formul du trm d rrur d la roosition 7, Du = 2/3 ε t 1/2 A artir ds valurs d Ω donnés ci-dssus, on a l égalité 1 Ω = ζ O L1, χ 4 log < Grâc à tout cci, on a l Lmm 81 On a la majoration S 4 0 2γ 2 \ 1+h t < λ dλ σ 2 2/3 λ/2 + O ε + log 9 Conclusion En rvnant a l égalité 2, uis n y rortant 1, ls lmms 22, 33, 81 t ls résultats ds aragrahs 4 t 5, on a S 5 = V S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 3w 1 0 γ 2/3 3/2 7ε 7λ/4 F dλ 2 γ t\ 2/3 0 2γ 2 \ 1/2 ε 1 λ F dλ \ 1+h 0 3w 1 2 t λ dλ σ 2/3 λ/2 + Oε 0 + O 2 log I 1 I 2 I 3 + Oε 0 + O log ar définition On chrch alors l lus grand ossibl tl qu la minoration ci-dssus soit strictmnt ositiv Pour 1 > 55, on a w 1 = γ ± 10 5, on aroimra donc la fonction w ar γ,

27 L lus grand factur rmir d n L rél t corrsond au raccord ds du intégrals I 2 t I 3, c st-à-dir qu t st solution d 2 1 λ = 2γ λ 2 σ 2 uλ, avc uλ = 2/3 λ/2/ Mais our 1/12 > > 1/24, t t > 14/15, on a uλ [2, 4], t [ σ 2 uλ = 2γ 1/2 + log 2 loguλ ] u 2 λ uλ + 1/2, 4 4 t l rél t n ut as êtr détrminé dirctmnt Calcul d I 1 Comm ε > 0 t h > 0 sont arbitrairmnt tits, on n n tint as comt dans tous ls calculs qui vont suivr Pour u 2, on a l égalité ufu = F u 1 Ctt égalité s aliqu ici our 3/2 7λ/4/ 1, c qui st vérifié our tout 1/2 < λ < 2/3, lorsqu 1/3, c qui sra l cas On fait alors l changmnt d variabl adéquat u = 3/2 7λ/4/ + 1 our obtnir I 1 = 4 γ 7 = 4 γ 7 \ 1+1/3 1+5/ F u 1 du f f Calcul d I 2 On a 1 λ/ 2 our λ 1 2, t 1 2 2/3 our 1/6 Dans c cas on a l découag 1 2 I 2 \ γ 1 λ t\ = F γ 1 λ dλ + F dλ = J 1 + J 2, 2/3 1+1/3 1 2 ar définition L intégral J 1 s calcul d la mêm manièr qu I 1, on os w = 1 λ/ + 1 : J 1 3\ = γ F w 1 dw = γ f f3 3 3 Pour J 2, on a γ 1 λ F = 2 1 λ our 1 2 < λ < t Ainsi J 2 = 2 log2 2 log1 t On a donc I 2 = γ f f3 + 2 log2 2 log1 t 3 3

28 226 C Dartyg Calcul d I 3 On a I 3 = 1\ t 2γ 2 F 2 2/3 λ/2 dλ Lorsqu < 1/12, l argumnt d F 2 st suériur à 2, on a donc, n rrnant la notation uλ = 2/3 λ/2 I 3 = 1\ t 2[ 1/2 + log 2 loguλ 4 λ uλ2 uλ + 1/2 ] dλ Conclusion Pour = 1/122, t t = 09926, on a 3w 1 I 1 I 2 I 3 > 0 2 Cla trmin la ruv du théorèm Bibiograhi [D] P Dlign, Alication d la formul ds tracs au somms trigonométriqus, in: Séminair d géométri algébriqu du Bois Mari-SGA 4 1/2, Lctur Nots in Math 569, Sringr, 1977, [D-I1] J-M Dshouillrs and H Iwanic, On th gratst rim factor of n 2 + 1, Ann Inst Fourir Grnobl , 1 11 [D-I2],, Kloostrman sums and Fourir cofficints of cus forms, Invnt Math , [H-R] H Halbrstam and H-E Richrt, Siv Mthods, Acadmic Prss, London, 1974 [HB] D R Hath-Brown, Th squar siv and conscutiv squar-fr numbrs, [Ho] Math Ann , C Hooly, Alications of Siv Mthods to th Thory of Numbrs, Cambridg Univrsity Prss, London, 1976 [Hu] L K H u a, Introduction to Numbr Thory, Sringr, 1982 [I1] H Iwanic, A nw form of th rror trm in th linar siv, Acta Arith , [I2], On th Brun Titchmarsh thorm, J Math Soc Jaan , [T] [W] G Tnnbaum, Introduction à la théori analytiqu t robabilist ds nombrs, Cours sécialisés, collction SMF, No 1, 1995 D Wolk, Übr di mittlr Vrtilung dr Wrt zahlnthortischr Funktionn auf Rstklassn 2, Math Ann , Déartmnt d Mathématiqus Univrsité d Nancy I BP 239 Vandœuvr-lès-Nancy Cd, Franc Rçu l

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