MGA802. Analyse fonctionnelle. Chapitre 1. S. Antoine Tahan, ing. Ph.D. Département de génie mécanique

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1 Analyse fonctonnelle Chaptre S. Antone Tahan, ng. Ph.D. Département de géne mécanque Ma 009

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3 Manuel : Métrologe MEC66 Auteur : Antone Tahan, ng., Ph.D. atahan@mec.etsmtl.ca ère édton : novembre 004 ème édton ma 009 Restrctons Ce volume est la proprété de Antone Tahan, ng.. Toute reproducton partelle ou complète de ce document par des moyens électronques, photocopes, mécanques, sonores ou autres sont strctement nterdtes sans l'autorsaton écrte par l auteur. (Lo du mars 957, artcle 40, ère alnéa). La lo du mars 957, n'autorse, aux termes des alnéas et 3 de l'artcle 4, que les copes ou reproductons strctement réservées à l'usage prvé du copste et non destnées à l'utlsaton collectve d'une part, et d'autre part, que les analyses et courtes ctatons dans un but d'exemple et d'llustraton. L auteur ne pourra pas être tenu responsable des accdents, dommages ou toutes pertes qu pourraent survenr à la sute de l'utlsaton et de l'applcaton des méthodes décrtes dans ce document. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 4

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5 Table des matères Les ajustements... 8 Le prncpe de l enveloppe... Prncpe de la contreparte géométrque... L analyse des varatons dmensonnelles... 3 Chaîne de cotes dmensonnelles... 3 Méthodes d analyse des tolérances... 5 Indépendance et dépendance statstque... 8 Scénaro : Dstrbuton des tolérances / Synthèse des tolérances... Scénaro : Analyse d un assemblage / Analyse des varatons... Scénaro 3 : Scénaros et... 3 Foncton générale des tolérances non lnéares Calcul des tolérances géométrques de localsaton Les attaches flottantes Les attaches fxes... 4 Tolérance de co-axalté... 4 Chambrages Clavettes Fxaton gudée smple Fxaton gudée à multple enttés Vs à tête aplate (Truss Head Screws) Écrous encastrés Effet cumulatf des tolérances de poston Les applcatons MMC Les applcatons LMC... 5 Les applcatons projetées... 5 Calcul statstque des tolérances géométrques de localsaton La statstque Z... 7 S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 6

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7 Chaptre Les ajustements L ajustement est consttué par l assemblage de deux pèces de même dmenson nomnale. L ajustement est un terme général utlsé pour désgner la gamme de jeux ou de serrage pouvant résulter de l applcaton des tolérances. L ajustement avec jeu L ajustement avec jeu est une forme d ajustement tel qu l en résulte toujours un espace vde entre les pèces même à la condton maxmale de matère. L ajustement avec serrage C est la forme d ajustement tel qu l en résulte toujours un serrage entre les pèces même à la condton mnmale de matère. La pèce mâle étant plus grande que la pèce femelle. L ajustement ncertan C est la forme d ajustement pouvant présenter tantôt un jeu, tantôt un serrage. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 8

8 Les ajustements standardsés sont proposés par le tableau c-dessous. Pèces mobles l'une par rapport à l'autre Emplo Pèce dont le fonctonnement nécesste un grand jeu (dlataton, mauvas algnement, portées très longues, etc.) Cas ordnare des pèces tournant ou glssant dans une bague ou paler (bon grassage assuré) Alésage Arbre H6 H7 H8 H9 H c 9 d 9 e f Pèce avec gudage précs pour mouvement de fable ampltude g 5 6 Démontage et remontage possble sans détéroraton des pèces L'ajustement ne peut pas transmettre d'effort Mse en place possble à la man Mse en place au mallet h js 5 6 k 5 m 6 Pèces mmobles l'une par rapport à l'autre Démontage mpossble sans détéroraton des pèces L'ajustement peut transmettre des efforts Mse en place à la presse p 6 Mse en place à la presse ou par dlataton (vérfer que les contrantes mposées au métal ne dépassent pas la lmte élastque) s 7 u 7 x 7 z 7 S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 9

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10 Le prncpe de l enveloppe Nous rappelons au lecteur que, contrarement à la norme ISO, la norme ASME Y4.5 a chos le prncpe de l enveloppe comme valeur par défaut. Donc, sauf ndcaton contrare, un élément de talle (Feature of Sze) avec une tolérance dmensonnelle mplquera :. Prncpe de l enveloppe 3D à MMC : forme parfate à la lmte MMC (exgence d assemblablté).. Aucune dmenson ne dot pas excéder la lmte de LMC. À LMC, l exgence de l enveloppe 3D n est pas requse. Il sufft de trouver à un endrot une dmenson qu dépasse la lmte LMC pour déclarer la pèce non-conforme (exgence de résstance (Stress)). Remarque () : est exclu de cette règle, les pèces prmares (tube, feulle de métal brutes, composantes structurales brutes, pèces standards), pèces flexbles, pèces contrantes lors de l nspecton. La présence explcte d une tolérance géométrque de forme (recttude, planété ou cylndrcté) brse également le prncpe de l enveloppe. Remarque () : la présence d un modfcateur LMC sur l élément géométrque nverse le prncpe. Dans ce cas, nous applquons une enveloppe parfat à LMC et aucune dmenson ne dot excéder la lmte MMC. Pour déclarer que le prncpe que l enveloppe (forme parfate à MMC) ne sera pas applqué, le modfcateur I dot être ajouté sur la cote telle qu llustrée par la fgure c-dessous. Dans ce cas, l est recommandé d ajouter une tolérance de forme pour lmter ce défaut. Réf. : ASME Y , page 7, paragraphes.7 À ttre de référence, le tableau c-dessous résume l applcaton de ce prncpe pour ASME 4.5 et ISO 0. Par défaut Applcaton possble ASME Y4.5 ISO 0 Le prncpe de le l enveloppe est applqué S présent, le modfcateur I neutralse l exgence de l enveloppe L exgence de l enveloppe n est pas applquée Un modfcateur d enveloppe E est requs pour spécfer l exgence de l enveloppe S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page

11 Prncpe de la contreparte géométrque Les tolérances géométrques de poston et d orentaton applquées sur des éléments arbres ou alésages (mâles ou femelles) contrôlent la localsaton et l orentaton de l axe (ou du plan central) de la contreparte géométrque de l entté contrôlée. Par exemple, la poston d un trou sera, rgoureusement, la localsaton de l axe du plus grand cylndre parfat qu entre dans ce trou. Dans l absence d ndcaton contrare (modfcateur de zone projetée) l axe dot être vérfé sur une longueur égale à la longueur maxmale de l élément contrôlé. L nspecton de l axe de la contreparte géométrque mplque que les tolérances géométrques de poston et d orentaton contrôlent la localsaton dans l espace trdmensonnel. Dans le cas de pèces qu peuvent être qualfées comme mnces, l nspecton de la tolérance de poston se ramène à l nspecton du centre de chaque élément (nspecton D). Le prncpe de la contre parte géométrque est mportant dans la mesure où les défauts de forme sont mportants. S les défauts de forme sont néglgeables, l nspecton de l élément moyen (Best ft) ou de la contre parte géométre donne sensblement le même résultat. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page

12 L analyse des varatons dmensonnelles Dans les assemblages mécanques, certanes caractérstques (géométrque ou dmensonnelle) affectent le comportement et les performances de l'assemblage plus que d'autres. Ce sont les caractérstques fonctonnelles. La fgure llustre un mécansme smple (réducteur de vtesse). L'écart X Σ n'est pas une dmenson obtenue drectement par un procédé de fabrcaton qu on maîtrse, mas plutôt le résultat d'une combnason de pluseurs dmensons de dfférentes pèces formant l'assemblage. Supposons que les requs de l assemblage nous dctes un écart postf pour garantr une bonne fonctonnalté, l est facle d'écrre dans ce cas que: X = x + x x Σ 3 x 4 x5 On peut dédure que la varaton de la dmenson d'un élément sur l'écart X Σ, donc, le fonctonnement de l'assemblage. x affecte drectement la tolérance Établr l'équaton précédente, appelée la chaîne de tolérance, et étuder la tolérance résultante d'un assemblage de pluseurs pèces est un domane d étude qu est appelé l'analyse de varaton. Chaîne de cotes dmensonnelles La fgure c-contre montre un exemple smple d un cumul de tolérances dmensonnelles en D. Nous devons calculer la dmenson y entre deux surfaces. En d autres termes, l faut connaître l espace résduel nomnal et ses écarts qu sont nduts par les tolérances de chacune des composantes. Voc les règles de calcul :. Établr un pont de départ et un pont d arrvée (donc une drecton postve);. Détermner les surfaces de contact entre les composantes; 3. Partr dans le sens contrare en cherchant le chemn le plus court qu passe par les surfaces de contacts sur des dmensons contrôlées. Pour des pèces plus complexes, quelques changements de drecton (gauche - drote) peuvent survenr; 4. Ajouter les sgnes aux valeurs nomnales ( p = + s la dmenson p = s c est l nverse); drecton postve, et x est dans la = n nom 5. Addtonner les valeurs nomnales algébrquement y = Gapnom = ( p x ) 6. Pour calculer les écarts sur y selon une approche lmte : = n ( ) Tol = Tol = p Tol Gap wc = = () Un résultat postf mplque un jeu et un résultat négatf ndquera une nterférence. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 3

13 Dans le cas des tolérances dtes «non balancées», les tolérances dont les valeurs en plus (+) ne sont pas égales à la valeur en mons (-). L approche de base demeure dentque à la smple dfférence qu on dot consdérer les tolérances postves et négatves séparément. Les mêmes résultats peuvent être obtenus avec le prncpe : mn MMC max LMC = n MMC ( ) Gap = p x = = n LMC ( ) Gap = p x Pour établr la nature de chaque dmenson (savor s elle forme une dmenson contenant ou une dmenson contenue), la règle à suvre est de se référer au sgne algébrque dans la chaîne des cotes; un sgne postf ndquera une dmenson contenant (dmenson femelle) et un sgne négatf ndquera une dmenson contenu (dmenson mâle). = () Exemple L équaton générale est, Y = X + X X 3 avec, p = + et p = p3 =. Dmenson Dmenson Le résultat, selon l approche lmtes (Worst Case) est une dmenson qu vare entre.75 mm et 4.5 mm. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 4

14 Méthodes d analyse des tolérances Peu mporte le scénaro de l analyse de la chaîne des tolérances, on dstngue deux () méthodologes pour analyser le cumul des tolérances. Méthode d analyse Mn/Max Lmtes (Worst Case) Méthode mathématque d analyse pour établr la valeur résultante dans un assemblage en utlsant les dmensons extrêmes smultanément. En d autres termes, cette méthode emplo un scénaro pessmste ; toutes les composantes peuvent théorquement arrver selon la pre confguraton (par exemple, des arbres en dmensons maxmales smultanément avec des alésages en dmensons mnmales). Méthode statstque L analyse selon la méthode statstque est effectuée pour établr la capablté d un assemblage de pluseurs composantes. Chaque composante est consdérée comme une varable ssue d un procédé de fabrcaton spécfque ayant une valeur cble et une dstrbuton statstque normale. Worst Case La dmenson nomnale résultante est la somme algébrque des dmensons nomnales des varables x. C est-à-dre, = n nom ( ) y = p x = La tolérance résultante est la somme de toutes les tolérances des varables. = n ( ) Tol = Tol = p Tol Gap wc = Statstque La moyenne résultante est la somme des moyennes des varables x. C est-à-dre, = n ( p ) µ = µ Gap = La varance du résultat Y est la somme de toutes les varances de chacune des varables. σ = n ( p σ ) = Gap = ( ) ( ) ± =± 3σ Gap ± =± 4σ Gap Gap L utlsaton des méthodes WORST CASE et STATISTIQUE Worst Case - Mn/Max La méthode est smple à utlser. Basée sur un 0 défaut théorque. Cette méthode est conservatrce. Elle consdère la possblté d obtenr smultanément toutes les composantes à leurs lmtes permses de tolérances. Statstque La méthode est plus complexe à utlser. Basée sur % défauts réels. Cette méthode est basée sur les probabltés réelles d nterférence entre les composantes. Cette dernère équaton n est valable que s, et seulement s, les varables sont consdérées comme ndépendantes. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 5

15 Cette méthode n a pas beson d une collecte de données. Cette méthode alloue des pettes tolérances. Le fournsseur peut utlser des calbres Go- Nogo pour la vérfcaton des pèces de producton. Ne crée pas un len drect avec les capactés des procédés de fabrcaton. À utlser durant les études prélmnares. Nécesste une collecte de données pour dentfer les capactés des procédés de fabrcaton. Cette méthode alloue des tolérances plus grandes. Elle optmse la dstrbuton de ces dernères. Le fournsseur ne peut par utlser des calbres Go-Nogo pour la vérfcaton des pèces de producton. Il dot effectuer des mesures par varable et assurer la stablté et la capablté durant la producton. Cette méthode crée un len drect avec les capactés des procédés de fabrcaton. Cette méthode est prvlégée pour fxer les tolérances des pèces de producton. S toute les dmensons x sont centrées, normales et d une capablté cohérente (RSS, Root Sum Square) T = T = p Tol Gap RSS = n ( ) (3) Il faut ben comprendre Les requs des tolérances sont dfférents selon la méthode utlsée pour les calculer. Dans le cas des tolérances Mn/Max (Worst Case), le fournsseur dot se mantenr à l ntéreur de l ntervalle des tolérances sous n mporte quelle forme. En d autres termes, l a le drot de fournr toutes les pèces dans des zones proches des lmtes acceptables (vor dessn cdessous) Par contre, des tolérances statstques mplquent pour le fournsseur des crtères statstques. C està-dre que l ensemble des pèces de producton dot se mantenr statstquement à l ntéreur des lmtes des tolérances tout en respectant les capactés de producton mposées (vor dessn cdessous). LTI But LTS 45.5 Méthode statstque modfée Pour tenr en compte de la non normalté et le décentrage des procédés, une méthode statstque modfée peut être employée. À m-chemn entre WC et ST, l s agt de pondérer avec un coeffcent C (.< C <.6). f f S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 6

16 σ = n ( p ) µ = µ Gap = = n ( p σ ) = C Gap f = Et pour exprmer l'ntervalle d'une tolérance selon un nveau de confance préétabl: Pour détermner la valeur numérque de ( ) ( ) ± =± 3σ Gap Gap ± =± 4σ C f Gap Gap C f,nous utlsons la formule sem-emprque : ( Tol Tol ) 0.5 wc rss = + Tol rss ( n ) Pour ndquer les tolérances statstques, l faut se référer aux recommandatons du ISO TC3 : (5) (4) A ±.050 Cp.5 Cpk.0 Cc A Cpu.0 Ccu 0.3 A ±.050 Cpm.0.00 A Cpm.0 A ±.050 ±0.03 P50%.00 A P75% S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 7

17 Exemple d un cumul de varables aléatores lnéares Consdérons les quatre (4) pèces suvantes dont la hauteur ndvduelle est caractérsée par une dstrbuton normale ayant une moyenne µ et un écart type σ. Une queston fondamentale est la suvante: quel est le résultat de la hauteur cumulatve ( H ) des quatre composantes? Et quel est l écart type (ou la varance) de cette hauteur? 3 h σ h h 3 3 h 4 µ σ µ µ σ 4 4 Pour répondre à ces deux questons, nous écrvons la hauteur ( H ) comme foncton des hauteurs de chaque composante. H = h+ h + h3+ h4 La valeur moyenne µ H de ( H ) sera donnée par la formule suvante: µ = µ + µ + µ + µ H 3 4 Pour décrre les varatons de ( H ), nous avons beson de clarfer une noton très mportante en études statstques: l ndépendance et la dépendance statstque entre varables. Indépendance et dépendance statstque Indépendance statstque On désgne deux varables (ou plus) comme ndépendantes statstquement, s l n exste aucun len ou une relaton entre elles. La fgure c-dessous llustre une ndépendance typque entre les varables X et X. Un exemple typque de deux () varables aléatores ndépendantes est quand chacune de ces dernères est ssue d un procédé dfférent chez des fournsseurs dfférents. X Corrélaton / dépendance statstque On désgne deux varables (ou plus) comme dépendantes statstquement, s l exste une quelconque relaton entre elles. La fgure c-dessous llustre deux types de corrélaton entre deux varables. Celle de gauche est typque de deux varables dtes lnéarement proportonnelles (l augmentaton de l une des varables mplque l augmentaton de l autre). Celle de drote est typque de deux varables dtes nversement proportonnelles (l augmentaton de l une est accompagnée par la dmnuton de l autre). On consdère que tous les écarts types sont calculés à partr d une étude à court terme. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 8

18 X X X Un exemple de ces varables peut être rencontré dans une composante de plastque ayant deux caractérstques mportantes : l épasseur et la hauteur. Le fat que ces deux dmensons soent ssues du même procédé (elles sont sujettes aux mêmes types de varatons), l augmentaton de l épasseur sera accompagnée par l augmentaton de la hauteur et vs versa. Dans ce cas, on dt que l épasseur est corrélée avec la hauteur. La foncton de covarance La covarance de deux () varables cov( X, X ) mesure l assocaton entre ces deux dernères. cov( X, X ) = ρσ X σ X Où ρ est le coeffcent de corrélaton, sa valeur numérque est entre et +. ρ = 0 Indque l absence d une corrélaton ρ = ρ = Indque une parfate corrélaton postve (une lgne drote à pente postve) entre X et X Indque une parfate corrélaton négatve (une lgne drote à pente négatve) entre X et X Une valeur typque de ρ 0.8 est consdérée comme une lmte pratque pour décder de la corrélaton entre deux () varables. 00 C C C 0 0 C3 0 ρ= ρ=0.86 S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 9

19 C 5 C C C ρ=0.7 ρ=0 Dans le cas de deux () varables aléatores normales et ndépendantes X et X, nous pouvons utlser les équatons c-dessous pour calculer le résultat d une combnason lnéare smple entre ces deux dernères. Foncton Moyenne de Y Varance de Y Y = X + X Y = X X µ = µ + µ Y X X µ = µ µ Y X X σ = σ + σ Y X X σ = σ + σ Y X X Remarquez que les varatons résultantes sur Y sont décrtes par une somme des varances et non des écarts types. Exemple Deux brques sont superposées pour donner une hauteur totale H tot. On vous demande de trouver la moyenne de la hauteur et son écart type sous l hypothèse que les deux hauteurs X et X sont parfatement ndépendantes statstquement (ρ =0). Composantes Moyenne (po) Écart type (po) Soluton : µ Tot =.00'' +.00'' =.0'' X X µ σ σ Tot = X X σ + σ = =.0094'' H Tot S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 0

20 Dans le cas de deux () varables aléatores normales et sgnfcatvement corrélées X et X, nous pouvons utlser les équatons c-dessous pour calculer le résultat d une combnason lnéare smple entre eux. Foncton Moyenne de Y Varance de Y Y = X + X Y = X X µ = µ + µ Y X X µ = µ µ Y X X σy = σ X + σ X + cov( X, X ) σy = σ X + σ X cov( X, X ) Exemple Sute à une analyse de données trées de l exemple précédent, un facteur de corrélaton ρ égale à 0.7 a été estmé. On vous demande de recalculer la moyenne de la hauteur et son écart type en utlsant cette nouvelle donnée. Composantes Moyenne (po) Écart type (po) Soluton : µ = =.0 Tot Cov( X, X ) = ρ σ σ = = X X σ σ σ Tot = X + X + X X cov(, ) = * =.0 Quand la corrélaton est-elle mportante? La corrélaton peut être néglgée dans l analyse Les valeurs numérques des coeffcents de corrélaton sont pettes (proches de zéro). Pratquement, on consdère la valeur de 0.5 comme lmte. Pluseurs composantes dans l assemblage avec seulement quelques corrélatons sgnfcatves. La contrbuton 3 des dmensons corrélées n est pas sgnfcatve. On dot tenr compte de la corrélaton dans l analyse Les valeurs numérques des coeffcents de corrélaton sont grandes (proches de ou de +). Pratquement, on consdère la valeur de 0.8 comme lmte. Seulement quelques composantes ntervennent dans l assemblage (de l ordre de à 4 pèces). La contrbuton des dmensons corrélées est sgnfcatve. 3 Par contrbuton, nous désgnons le pods mathématque de la dmenson sur le résultat fnal (vor chaptre 4). S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page

21 Scénaro : Dstrbuton des tolérances / Synthèse des tolérances Les dmensons formant la chaîne de cotes ont des dmensons nomnales connues. Également le résultat fnal de la chaîne et sa tolérance sont connues. Par contre, la tolérance ndvduelle de chaque composante est nconnue. En d autres termes, le clent a des exgences (tradutes par des spécfcatons) sur le résultat H Tot. Par exemple, quelles sont les spécfcatons qu on dot mposer aux composantes X et X pour s assurer de rencontrer les spécfcatons de la varable H Tot? Exemple Le Gap entre une porte d accès et la structure qu l entoure dot être égale à Quelles sont les dmensons et les tolérances du contour de la porte et de la structure pour s assurer de rencontrer les résultats recherchés? Exemple L utlsaton des boulons à tête frasée est recommandée pour encastrer les boulons sur le fuselage d un avon. Un requs d aérodynamque stpule qu on ne peut accepter des boulons qu dépassent le fuselage, par contre, on peut tolérer jusqu à.005 de dénvellaton entre la tête du boulon et la surface extéreure du fuselage. En d autres termes, l nous faut un assemblage avec un nveau relatf entre le boulon et le fuselage égale à.000 / Quelles sont les dmensons et les tolérances des têtes de boulons et des trous frasés pour assurer les requs aérodynamque? Scénaro : Analyse d un assemblage / Analyse des varatons Connassant les spécfcatons des varables X et X (moyenne et écart type), quelles sont celles de la foncton H Tot? C est le cas typque de l analyse d un assemblage exstant avec des composantes standardsées ou déjà connues. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page

22 Scénaro 3 : Scénaros et Le clent exge des spécfcatons (mn-max) sur le résultat H Tot, Par exemple, la composante # est un produt standard (les spécfcatons de X sont mposées). Quelles sont les spécfcatons qu on dot mposer à X pour s assurer de rencontrer les spécfcatons sur H Tot? Pour ce scénaro, la foncton mathématque sera changée. Il sufft d exprmer X en foncton de X et H Tot. X = f X, HTot ) ( = H X Tot Dans ce cas, les coeffcents (P) sont égaux à p = + et H p =. X Exemple Le Gap entre une porte d auto et la structure qu l entoure dot être égale à Quelles sont les dmensons et les tolérances du contour de la porte pour s assurer de rencontrer les résultats recherchés, sachant que le contour de la structure sera le même d un modèle précédent? Dans un cas général, une chaîne de tolérances content deux () types de dmensons. Dmensons avec des tolérances préétables : c'est le cas des pèces standards que le fabrcant garantt la tolérance. Parm ces pèces, on peut cter les roulements à blles, les boulons, courroes, bagues, etc. Dmensons sans tolérance préétable : c'est le cas des pèces créées par le concepteur pour remplr une certane fonctonnalté. Même s, a pror, la tolérance peut être arbtrare dans le cas de ces pèces, les capactés des procédés de fabrcaton lmteront le chox comme nous verrons plus tard. S N représente le nombre total des pèces formant la chaîne, on peut écrre que, N = N + N Avec N S le nombre des pèces standards ou connues (tolérance préétable) et N T le nombre des pèces non tolérancées. Pour fxer les dées, prenons l'exercce suvant et analysons la dmenson fonctonnelle no qu dot être un jeu. S T On peut écrre l équaton générale avec la chaîne de tolérances pour le RÉSULTAT no comme sute : Y = + X + + X X 3 X 4 X 5 + X 6 X 7 X 8 S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 3

23 S on consdère que : Dmensons p Produt 6.0 ± Standard.5 ± 0. + Standard ± ± Standard ± ± ± ±0. + Standard On conclut dans ce cas, N=8, N S =4 et N T =4. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 4

24 Étude de cas Analyse statstque de deux pèces Consdérons deux pèces (dsons pèce # et pèce #) superposées pour former une hauteur totale H Tot. On consdère également qu elles provennent de deux fournsseurs dfférents (les X et X varables sont ndépendantes). X X µ σ Étape : Foncton H Tot = f ( X = X + X, X ) H Tot Étape : Données statstques Composantes Moyenne Écart type 500 mm.0 mm 50 mm.50 mm Étape 3 : Moyenne de la foncton H Tot µ = µ + µ = = 750 mm Tot X X Étape 4 : Écart type de la foncton H Tot σ = σ + σ Tot X X =. +.5 =.66 mm Étape 5 : Lmtes Sx Sgma µ Tot ± ( 6.5 σ Tot ) 750 ± (6.5.66) Ce qu donne H maxmum = mm et H mnmum = mm Étude de cas Analyse statstque avec corrélaton Consdérons deux pèces (dsons pèce # et pèce #) superposées pour former une hauteur totale H Tot. On consdère également qu elles provennent du même fournsseur (les X et X varables sont dépendantes). Le coeffcent de corrélaton a été estmé égale à 0.8. Étape : Foncton H Tot = f ( X = X + X, X ) Étape : Données statstques Composantes Moyenne (µ) Écart type (σ) 500 mm.0 mm 50 mm.50 mm Étape 3 : Moyenne de la foncton H Tot S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 5

25 Étape 4 : Écart type de la foncton Tot µ = + = = 750 mm Tot µ X µ X H Tot Étape 5 : Lmtes Sx Sgma (à long terme) σ = + + = µ Tot ± ( 6.5 σ Tot ) Ce qu donne H maxmum = mm et H mnmum = 74.7 mm mm Étude de cas 3 Analyse statstque sans corrélaton Consdérons l assemblage de tros pèces qu donne un Gap Y. On consdère également qu elles provennent de dfférents fournsseurs (varables ndépendantes). Étape : Foncton Y = f ( X = X + X X, X, X 3 ) 3 Étape : Données statstques Composantes Moyenne (µ) Écart type (σ) 0 mm 0.05 mm 60 mm 0. mm 3 37 mm 0.05 mm Étape 3 : Moyenne de la foncton Y Étape 4 : Écart type de la foncton Y Ce qu nous donne 0.40 mm. µ = = = 3 mm Y µ X + µ X µ X 3 σ = σ + σ + σ Y X X X 3 Étape 5 : Lmtes Sx Sgma à court terme : µ ± (4.5 σ ) Ce qu donne Y maxmum = 3.63 mm et Y mnmum =.37 mm. Y Y S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 6

26 Étude de cas 4 Analyse statstque avec corrélaton Consdérons l assemblage de tros pèces qu donne un Gap Y. On consdère également que les varables X et X 3 sont dépendantes (pèces produtes par le même fournsseur et par le même moule). Le coeffcent de corrélaton a été estmé égale à 0.8. Étape : Foncton Étape : Données statstques ( ) Y = f( X, X, X ) =+ X X + X 3 3 Composantes Moyenne (µ) Écart type (σ) 0 mm 0.05 mm 60 mm 0. mm 3 37 mm 0.05 mm Étape 3 : Moyenne de la foncton Y µ Y = µ X + µ X µ X 3 µ Y = = 3 mm Étape 4 : Écart type de la foncton Y Ce qu nous donne 0.53 mm. σ = σ + σ + σ + ρ σσ Y X X X3 3 3 Étape 5 : Lmtes Sx Sgma à court terme : µ ± (4.5 σ ) Réponse : Y maxmum = 3.69 mm et Y mnmum =.3 mm. Y Y S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 7

27 Exercce Un fabrcant d avon désre contrôler la dénvellaton entre la surface de tête des boulons et la surface extéreure de l avon. Pour des rasons de performances aérodynamques, cette dénvellaton dot être mantenue (selon des crtères 6σ) dans un ntervalle / Sachant que le damètre maxmal des têtes des boulons frasés est égal à , et sa dstrbuton normale possède un écart type égale à.00, on vous demande de trouver les spécfcatons nécessares pour le damètre des trous frasés dans la structure. Remarque () : l angle de tête est égal à 00 et on peut la consdérer comme pratquement constante. Remarque () : la varaton de.005 sur la profondeur, correspond à une varaton de.0 sur le damètre. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 8

28 Exercce. On vous demande de calculer la dmenson et la tolérance de G. Vérfer s une clarance exste avec la méthode des lmtes Worst Case. A=4./4.6 B=9.8/30.3 C=7.8 ± 0. D=48.0/48.4 E=3.4/3.6 F=5 ± 0.3 Rép : G =.05 ±.5 mm. Donc, jeu mnmal = -0. nterférence.. On vous demande de calculer la dmenson et la tolérance de G. Vérfer s une clarance exste avec la méthode statstque. Dmenson Dmenson moyenne Écart type Corrélaton A B C D E F Moyenne_G = 0.96 mm Écart_Type_G = 0.05 mm Pas d nterférence (dans un sens statstque) S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 9

29 Foncton générale des tolérances non lnéares y = f( x, x,, x n ) Il arrve souvent que le modèle analytque de la foncton ne sot pas lnéare. Prenons l exemple c-dessous, le résultat Y sera exprmé en foncton des varables a et b d une façon non lnéare. En d autres termes l nfluence de chacune des varables se trouve modfée dans son ntervalle et ne peux plus être consdérée comme constante. C est un problème de tolérances non lnéares. Nous avons mentonné précédemment, qu en général, un problème de cumul de tolérances s exprme sous la forme d un résultant en foncton de pluseurs varables. y = f x x x n (,,, ) Cette dernère équaton peut prendre deux () formes qu sont très dfférentes par leur nature et par leur analyse. Le tableau c-dessous résume la dfférence fondamentale entre les deux cas. Tolérances lnéares La relaton f( x, x,, x n ) s exprme comme une somme algébrque lnéare de toutes les varables x. = n nom ( ) y = p x = p est le coeffcent pods de chaque varable. La valeur de ce coeffcent est égale à + ou. Tolérances non lnéares La relaton f( x, x,, x n ) s exprme comme une équaton non lnéare entre des varables x. y = f x x x n (,,, ) Cette dernère peut être confondue sous certanes hypothèses avec (lnéarsaton avec une sére de Taylor), f p x x = n nom ( ) y p x = est le coeffcent pods de chaque varable. Sa valeur n est pas nécessarement un enter. Par exemple, s Y = X ( ) X alors, P = X P = X X, Équaton générale des tolérances non lnéares Consdérons le cas général d un résultat y qu est une combnason lnéare de pluseurs varables x (le nombre des varables est égal à n ). On peut écrre, ( x x ) y = f,...,, Cette équaton peut être ramenée, sous certanes condtons, à une forme lnéare. La forme lnéare approxmatve sera dentque à celle du problème lnéare. x N y px + px + + px n n S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 30

30 Toutefos, les valeurs de p (coeffcent pods de la dmenson x ) peuvent être égales à n mporte quel nombre réel. Le coeffcent p exprme le degré de sensblté du résultat y en foncton de la varable x. En d autres termes, p exprme le gan (postf ou négatf) accordé à la varable x. Pour dentfer les valeurs numérques de p, pluseurs méthodes sont possbles. Analytque : ayant la forme mathématque de la foncton y, les pods sont la valeur numérque de la dérvée partelle de la foncton proche du pont de fonctonnement étudé. f p x x, x,..., xn Expérmentale : par les technques de concepton d expérence. Smulaton graphque : à l ade des modeleurs (CATIA, EUCLID, ), une smulaton graphque est souvent un moyen smple, rapde et effcace pour obtenr une approxmaton des coeffcents p. Smulaton numérque : ayant la forme mathématque réelle (ou une forme équvalente), l est possble de smuler le comportement du système et obtenr ans des approxmatons numérques des valeurs de p. Analyse des tolérances non lnéares selon le Worst Case Dans le cas du Worst Case, la somme de toutes les tolérances est fate sur une base algébrque. La foncton est ramenée en forme lnare. La moyenne générale est égale à : f f f µ y µ x + µ x + + µ x x x µ pµ + p µ + + p µ y x x n xn Et la tolérance résultante dans ce cas est calculée avec la formule c-dessous. f f f Tol y Tolx + Tolx + + Tol x x x tol p tol + p tol + + p tol y X X... n Xn n n xn xn Analyse statstque des tolérances non lnéares Dans le cas statstque, la somme de toutes les tolérances est fate sur une base statstque. C està-dre, que chacune des varables est consdérée comme aléatore ayant une dstrbuton est une moyenne. La foncton y f ( x x,..., ) = x N peut être développée en sére de Taylor autour d un pont de fonctonnement x en gardant unquement les termes d ordre et. On consdère qu l 0, N R S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 3

31 S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 3 n exste pas de fortes non lnéartés et que le comportement de la foncton est contnu sur l ntervalle étudé. [ ] = = > = = O x x x x f x x f x x f y N j N j j N N Sous l hypothèse que le domane est relatvement pett, l équaton précédente peut être approxmée sous la forme : = > = + N j N j j N x x x x f x x f y L étude des moments statstque (espérance et varance) mplque que la valeur nomnale dot être égale à la foncton au pont nomnale ( ) xˆ ˆ f y =. En d autres termes, nous consdérons que le pont d équlbre correspond au pont nomnal. La moyenne générale (espérance) de la foncton nous donne : y x x xn x Xx n xn n f f f p p p x x x µ µ µ µ µ µ µ S les varables sont ndépendantes l équaton précédente peut être ramenée sous la forme : N y x f σ σ = = Dans le cas où les varables sont dépendants, la varance est égale à : = + = = + = N N j j j N y x f x f x f σ σ σ On défnt le coeffcent de corrélaton j ρ entre les varables x et j x comme: j j j σ σ σ ρ = On obtent la forme générale de la varance dans le cas d une étude statstque. j N N j j j N y x f x f x f σ σ ρ σ σ + = = + = =

32 Étude de cas : système d embrayage Consdérons l assemblage d un système d embrayage tel qu llustré par la fgure c-contre. Cet assemblage est composé de tros (3) dfférents éléments. Le premer est la pèce centrale (Hub), dont la dmenson fonctonnelle est nommée X : Le deuxème élément est consttué des cylndres du roulement dont le damètre est fonctonnel. Dans ce cas, et sute à un examen rapde, nous constatons que la chaîne des tolérances mplque deux () cylndres. On désgne ces varables par X et X 3. Fnalement, la cage extéreure de l assemble dont le damètre ntéreur est fonctonnel et est désgné par la varable X 4. Étape : la constructon du modèle mathématque Le résultat de cet assemblage peut être décrt par l angle de contact entre les éléments. Cet angle sera désgné comme la foncton y des varables x. En d autres termes, y = f ( x, x, x3, x4) Sans rentrer dans les détals analytques, l équaton mathématque qu reflète la relaton précédente est : y x x + + x 3 = cos x + x 3 x 4 S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 33

33 Étape : Données statstques Composantes Moyenne (µ) Tolérance (±) 55.9 mm mm mm mm 0.56 Nous consdérons également que l angle de presson y dot être égal et mantenu dans y = 0. ± rad. Étape 3 : Moyenne (dmenson nomnale) de la foncton y Étape 4 : Coeffcents y = = p cos 0.5 rad f f f f p = p = p = p = 3 4 x x x3 x4 Après manpulatons mathématques (qu dépassent le cadre de cette formaton), on trouve que le pods de l nfluence de chaque varable (ndce de sensblté) est donné par : p = p = p3 = p = Étape 5-A : Calcul de la tolérance résultante Approche classque (Worst Case) Une fos les ndces de sensblté connus, la tolérance générale de l assemblage sera calculée par, f f f f Tol Tol + Tol + Tol + Tol y x x x3 x4 x x x3 x4 S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 34

34 Ce qu nous donne : Tol Y = En d autres termes, le résultat y est égal à 0.5±0.035 rad. Ce derner sgnfe que les varatons sont correctes, par contre, la poston nomnale n est pas ben centrée sur la valeur cble désrée par le concepteur. Au chaptre suvant, nous tratons du problème de la dstrbuton des tolérances. Étape 5-B : Calcul de l écart type de Y Approche statstque Sous l hypothèse que nous connassons les écarts types des procédés de fabrcaton des quatre (4) composantes qu consttuent l assemblage. Composantes Moyenne (µ) Écart type (mm) y 55.9 mm mm mm mm 0.03 σ p σ + p σ + + p σ y X X n Xn σ = + + = ( ) Étape 6 : Lmtes Sx Sgma µ ± (6.5 σ ) 0.5 ± ( ) rad y y Le résultat y est égal à 0.5±0.05 rad. À comparer avec le résultat de l approche classque (Worst Case). Étude de cas : crcut électrque Consdérons un crcut électrque smple formé d une source d almentaton en tenson V et une résstance R. La lo d Ohm nous dt que la chute de tenson est égale au produt du courant I par la valeur de la résstance R. V = R I Sachant que le but de ce crcut est de générer une almentaton stable en courant et la valeur nomnale est de. Amp. La source de tenson V peut être consdérée comme une varable aléatore d une valeur nomnale de 0 volts et d un écart type égale à volt. Calculer les lmtes de contrôle (écart type) et la valeur nomnale de la résstance pour obtenr une source de courant 6s égale à. ± 0. Amp. Étape : la constructon du modèle mathématque Le résultat de cet «assemblage électrque» peut être décrt par la sorte en courant I. Cette varable sera désgné comme la foncton des varables V(tenson) et R(résstance). En d autres termes, S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 35

35 Étape : Données statstques I = f ( V, R) = Pour trouver l écart type perms pour le courant, nous savons que les lmtes 6σ sont données par l équaton suvant. Un smple calcul nous donne que σ I =0.035 Amp. V R µ ± 6.5 σ ) I ( I Composantes Moyenne (µ) Écart type (σ) V 0 volts volt R 00 Ohm? Ohm I. Amp Amp Étape 3 : Moyenne (dmenson nomnale) de la foncton Y La valeur nomnale de la résstance R dot être égale à 00 Ohm. Étape 4 : Coeffcents P P P V R f = = V R f V = = R R Étape 5-B : Calcul de l écart type de Y Approche statstque σ P σ + P σ I V V R P P R V R = 0.0 = = ( 0.0) σ R Après manpulatons, on trouve que l écart type qu on dot respecter pour la fabrcaton des résstances dot être égale à.58 Ohms. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 36

36 Exercce 3 Sute à une modélsaton mathématque du phénomène d usure entre deux composantes métallques assemblées, la durée de ve Y (exprmée en nombre de cycles) pouvat être exprmée comme foncton de la clarance entre les deux () damètres X et X, et la dureté de surface D de l acer utlsé. Y = 450 D X X.66 Composantes Moyenne (µ) Tolérance (±) Écart type X 5.50 mm 0.0 mm 0.07 mm X 5.3 mm 0.08 mm 0.05 mm D 50 B 6 B. B Les fgures c-dessous, llustrent graphquement la varaton de la foncton Y (durée de ve). On vous demande de trouver, avec les données du tableau c-dessus, la valeur nomnale de Y ans que ses varatons en utlsant l approche Worst Case et l approche statstque cycles. # X - X Duret W.C. : y=.7 x 0 7 +/ x 0 7 cycles STAT : y=.7 x 0 7 +/ x % cycles S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 37

37 Calcul des tolérances géométrques de localsaton Attache La tolérance de poston peut être vue de deux manères. La premère est que cette tolérance est une lmte pour le mouvement de la surface enveloppante d un élément. La deuxème est que cette tolérance lmte le déplacement de l axe de la contre parte géométrque de l élément. On démontre que les deux approches sont équvalentes.. Premère consdératon : 3D Dans tous les cas, l aspect trdmensonnel sera toujours applqué. Donc, l faut parler d axe et pas centre. Toutefos, dans certans cas (par exemple les feulles de métal) l épasseur est trop pette pour que l on tenne compte de l effet trdmensonnel.. Deuxème consdératon : MMC - RFS La talle (ou la dmenson, le damètre, etc.) de la surface lmte est ndépendante de la dmenson réel de l élément. Le calcul dot s effectuer avec les dmensons lmtes (MMC ou LMC) selon le prncpe de la contreparte géométrque. 3. Trosème consdératon : non cumulatf Dans le cas d un ensemble de trous dstrbués sur un patron, l analyse de la tolérance de poston, selon l approche lmte, de deux trous peut être généralsé sur l ensemble des trous. En d autres termes, cette consdératon découle du fat que nous utlsons des dmensons nomnales (dmenson de base) et des zones de tolérances dentques peut mporte le nombre des éléments étudés. 4. Quatrème consdératon : symétre des effets Il exste une symétre parfate des effets. C est-à-dre, s on rasonne sur l effet de l élément A sur l élément B, cec est parfatement équvalent au rasonnement de l effet de l élément B sur l élément A. Le tableau c-dessous résume les tros famlles d attaches. La tolérance de poston qu contrôle la dstance entre les centres des trous (hole-to-hole) est toujours calculée à partr des clarances. CL +CL = total Flottante total = + Fxe CL = total ou CL = total total = + Fxe CL = 0 = total = 0 = 0 Coordnaton physque entre les pèces S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 38

38 Les attaches flottantes Une attache flottante, ou une fxaton flottante, se défnt comme une applcaton dans laquelle l attache passe par des trous avec du jeu dans les deux pèces ou plus. Pour détermner l effet des varatons sur la poston du trou, examnons le cas le plus fréquent, et parm les plus smples, représenté par deux pèces avec des trous en ajustement de clarance et un boulon. Ces mêmes pèces sont montrées à la fgure c-dessous. Dans cette fgure, le jeu entre le boulon et le trou dans la parte () n est pas égale à celle du trou de la parte (). La dfférence est le résultat de deux damètres dfférents, dû à une cause quelconque. On suppose que la grande parte de l attache demeure perpendculare aux surfaces des partes () et () en tout temps. Fnalement, pusque cette applcaton dépend du dégagement (jeu) des pèces destnées pour l assemblage, les trous sont crtques à leurs MMC (condton maxmale de matère). En analysant la fgure, nous constatons que la tolérance totale est égale à deux fos les mouvements qu englobent les jeux A et B pour ans amener les rebords des trous contre l attache (vor fgure). Donc, la tolérance totale est égale à deux fos (A+B), ou on peut l exprmer en forme damétrale. Mas A+B est le jeu moyen des deux () trous par rapport au boulon dans les partes () et () prses ensembles. On peut écrre que, T = ( A + B) = CL + CL (6) T où, TT est latolérance totale de poston pour les deux pèces; Quand les procédés de fabrcaton sont tels que la plus grande accumulaton d erreurs se produt d un côté seulement, des tolérances non balancées seront préférables. Par exemple, une pèce avec des trous percés aura une tolérance dfférente qu une pèce avec des trous ponçonnés (le montage et la capacté de chaque procédé étant dfférents). Assemblage des composantes multples attache flottante S plus que deux () pèces sont assemblées dans une applcaton d attaches flottantes, les tolérances assgnées devront être telles que n mporte quel groupe de pèces pourrat s agencer. Pour un tel assemblage, l faut fare le calcul pour deux pèces seulement, pus calculer chaque pèce restante de façon à ce qu elles pussent s agencer avec les deux premères. En d autres termes, nous calculons toutes les combnasons possbles entre les tros pèces. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 39

39 Exemple Utlsant un boulon de M0 x.5 ( MMC 0mm) avec des trous ayant pour damètre mm, calculer une tolérance de poston non balancée. Soluton Dans ce cas, les trous sont semblables, donc, T = ( H F) T T =( ) =.0 mm T La tolérance peut être dstrbuée entre les deux pèces de quelque manère que ce sot, pourvu que la somme de.0 demeure mantenue (ex., 0.7 mm pour une parte et 0.3 mm pour l autre). Exemple Une composante exstante a des trous ayant comme damètre mm avec une tolérance de postonnement spécfque de.0 mm. On vous demande de concevor une pèce qu pourra s agencer avec un boulon M0 x.5. La tolérance de postonnement de la nouvelle pèce sera 0.7 mm. Soluton De l équaton précédente, T T = =.7 T T = H + H -F.7 = H - x 0.0 H = =.0 mm Il faut noter que le damètre LMC sera détermné par des consdératons telles que la dmenson de la tête du boulon, la quantté de matère mnmal (requs de résstance), nveau de vbraton, etc. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 40

40 Les attaches fxes Une attache fxe se défnt comme une applcaton dans laquelle l attache est retenue dans un trou de montage d une part et passe par des trous ayant un jeu par la sute. Les attaches fxes les plus communes sont les assemblages avec des trous fletés et les assemblages avec des boulons à tête frasée. Pour détermner l effet des varatons des tolérances du postonnement du trou pour ce type d attache, examnons une applcaton typque et smple. Cette dernère est consttuée d un boulon vsé dans un trou sans regard à la matère (vor fgure). Dans ce cas, nous assurons que la tolérance totale de localsaton est égale au jeu rencontré sur un seul des deux damètres. TT = CL (7) S des tolérances non balancées sont désrées, la tolérance totale est dvsée équtablement. S l on compare l applcaton de l attache fxe à l attache flottante, la dfférence majeure dont on dot prendre note est que le trou de dégagement dot mantenant absorber tous les déplacements. De là, une tolérance d attache fxe est, numérquement parlant, la moté de la valeur d une attache flottante smlare. Ou en terme de talle de trou (H) et de talle d attache ou d élément de fxaton (F) : TT = H F TB = H F ( ) En examnant la fgure précédente, on note que le trou de dégagement est une applcaton MMC, comme dans n mporte quel trou de dégagement. Par contre, ce n est pas le cas d un trou avec un frasage. Remarque Le trou fleté, dans le cas de pèces de dfférentes hauteurs, dot être contrôlé moyennant la hauteur projetée ou la hauteur de fxaton ou les deux ensembles. S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 4

41 Assemblage de composantes multples attache fxe S plus de deux pèces sont assemblées par une fxaton, chaque pèce possédant une ou pluseurs clarances de trou dovent être calculées pour être assemblées avec la pèce possédant le trou de montage de la fxaton. En d autres termes : on trate les pèces ndvduellement avec la pèce possédant le trou fleté ou le frasage (pèce consdérée comme fxe avec l attache). Exemple 3 Calculer les tolérances balancées et non balancées pour un boulon de M0 devant s nsérer dans un trou fleté et passant à travers un trou de damètre mm. Soluton À l ade de l équaton pour la tolérance totale : TT = H F T T = =.0 mm Les tolérances peuvent être répartes comme désré (ex. 0.4 mm pour la clarance de trou et 0.6 mm pour le trou ponçonné). Une hauteur projetée peut être spécfée pour le trou ponçonné. En utlsant l équaton des tolérances balancées :T B = 0.5(.0-0.0) = 0.5 mm Exemple 4 Calculer la tolérance de poston pour une trosème pèce possédant un trou dont le damètre est de.6 à MMC, afn de s assembler aux pèces présentées à l exemple précédent. On fat l hypothèse que la tolérance balancée est utlsée. Soluton À partr de l équaton précédente : TT = H F T T = =.6 mm T = T T - T = =. mm Tolérance de co-axalté La tolérance de co-axalté est un cas spécal de la tolérance de poston. En effet, c est le cas où le requs de poston s applque sur des éléments ayant le même axe (ou plan central) théorque. Les méthodes de calculs sont dentques aux méthodes montrées dans précédente paragraphes. Lorsque nous consdérons l effet de l excentrcté sur une fxaton (par exemple, entre le centre d'un flet et le centre du corps d'un boulon), nous abordons le concept de dmenson vrtuelle de la S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 4

42 fxaton; cette dmenson vrtuelle est foncton de l excentrcté, E ou C, et de la dmenson MMC de la fxaton F. S la dmenson de la fxaton est rédute, tout en mantenant l excentrcté permse, la surface de fxaton s élogne de la lmte étable appelée dmenson vrtuelle. Étant donné que la dmenson vrtuelle est utlsée lors du calcul de la tolérance de poston, l espace entre ces lmtes est toujours sujet à des erreurs de fxaton. De plus, les spécfcatons ayant trat à la dmenson crtque sont utlsées, plutôt que de spécfer une valeur fxe de concentrcté. Autrefos, cela entraînat la créaton d une spécfcaton de concentrcté MMC qu état défne de telle façon que la valeur de concentrcté spécfée s applquat à une dmenson crtque MMC. Cela permettat de mantenr la dmenson vrtuelle et d augmenter la concentrcté quand la dmenson de la fxaton dmnuat. Comme l a été dt au module, les tolérances de concentrcté sont mantenant défnes comme des contrôles RFS. Donc, les tolérances de poston crtque MMC sont de nos jours le melleur outl pour défnr une telle relaton. S on a une fxaton (ou une attache qu a une excentrcté permse, E, cela affectera la relaton tolérance - clarance. En termes de dmenson MMC de la fxaton (F), l excentrcté permse (E) est : F V F = + E (8) Où C est la lmte de concentrcté (ou une tolérance de poston) (C=E) Quand nous fasons face à une stuaton où l excentrcté peut survenr, la dmenson de la fxaton peut être remplacée par une dmenson vrtuelle et n mporte quelle équaton standard de tolérances peut être utlsée. S nous utlsons une dmenson vrtuelle pour applcaton de fxaton moble, l faut prendre note que la clarance dans une seule des deux pèces peut être affectée par l excentrcté. Les valeurs moyennes d excentrcté sont souvent gnorées pour les applcatons de fxaton moble qu regroupent seulement deux pèces lorsque la fxaton peut être placée dans une poston avantageuse. Étant donné que les excentrctés sont fréquemment rencontrées avec les applcatons de fxaton, les équatons tolérance - clarance peuvent être modfées pour permettre le calcul drect en substtuant F=F v. Pratquement: T = H ( F + C) V T B = H ( F + C) Exemple 5 En se référant à la fgure de la page précédente, utlser les paramètres suvants : damètre du trou MMC =.3 mm, damètre du corps MMC = 0 mm, concentrcté du fletage par rapport au corps = 0.5 mm. Calculer une tolérance de poston balancée acceptable. Soluton À partr de l équaton précédente : T B H ( F + C).3 ( ) = = = mm S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 43

43 Chambrages Les tolérances de poston peuvent s applquer pour des trous chambrés en fasant usage des technques dentques à celles utlsées pour une attache flottante ayant plus de deux pèces. La méthode à utlser dot être chose afn de correspondre à l applcaton (ex. attaches fxes ou mobles). Pour évaluer les excentrctés permses, nous devons utlser le concept de dmenson vrtuelle. Exemple 6 Les données sont: le damètre du corps du boulon M6 = 6 mm, la tête du boulon = 0 mm, et la concentrcté du corps par rapport à la tête = 0. mm. Dans les deux pèces, le damètre MMC du trou = 6.4 mm et le damètre MMC du chambrage = 0.7 mm. Calculez les tolérances balancées des trous et la tolérance de poston fnale du chambrage. Soluton : En utlsant l équaton des tolérances balancées, on obtent la tolérance de poston pour la clarance du trou: TB = H F = = 0.4 mm À l ade des équatons d une excentrcté, on peut calculer la tolérance de poston des chambrages: F V = F + C = = 0. mm T T =(H + H )-(F +F )=( )-( )=.0 mm T CB = T T - T = = 0.6 mm Exemple 7 En utlsant les données de l exemple 0, calculer les tolérances de poston pour la fxaton présentée c-dessous. La concentrcté du fletage par rapport au corps = 0., par rapport à la tête = 0.. Utlser une tolérance de poston de 0. pour les trous. Soluton On obtent la tolérance de poston : T T =H -(F+C)= ( ) = 0.3 mm T = T T - T = = 0. mm On calcule la tolérance du chambrage de la même façon : T T = ( ) = 0.5 mm T CB = T T - T = = 0.3 mm Exemple 8 En se référant à la fgure c-dessous et à l'exemple précédent, et en assumant l hypothèse que la dmenson du boulon est de 6 mm et que la tolérance de poston pour les trous fletés est égale à S. - Antone Tahan, ng. Ph.D. Chaptre Page 44