Voyez la réponse à cette question dans ce chapitre.

Transcription

1 Alphone et Bertrand participent à une coure de voiture. Leur voiture ont initialeent au repo à la ligne de départ. La voiture d Alphone a une accélération de 5 /² juqu à ce qu elle atteigne une vitee axiale de 30 /. La voiture de Bertrand a une accélération de 3 /² juqu à ce qu elle atteigne une vitee axiale de 4 /. Où et quand la voiture de Bertrand va-t-elle rattraper celle d Alphone? Voyez la répone à cette quetion dan ce chapitre

2 Luc Treblay La cinéatique et la branche de la phyique qui décrit le ouveent de objet. Par exeple, on peut donner la poition en fonction du tep à l aide d une forule telle que x = (3 +t t²) pour décrire un ouveent. Il exite en fait toute une variété de poibilité de façon de décrire le ouveent puiqu on pourrait, par exeple, donner la vitee en fonction du tep ou en fonction de la poition. On pourrait aui donner un graphique de la poition ou de la vitee en fonction du tep. Avec la forule donnée précédeent, on a le graphique uivant pour la poition en fonction du tep. Cette branche de la phyique et une de plu ancienne de la phyique puique le équation décrivant le ouveent d un objet qui a une accélération contante datent du 14 e iècle. Dan ce chapitre, nou étudieron le ouveent en une dienion, c et-à-dire le ouveent de objet qui e déplacent en ligne droite. Pour donner la poition le long de cette ligne, nou allon bien ûr utilier un axe. Le valeur de x augentent en allant ver la droite, ai on pourrait trè bien choiir un axe de x avec de valeur qui augentent à eure qu on va ver la gauche. L axe peut Verion La cinéatique

3 Luc Treblay aui prendre n iporte quelle orientation. Par exeple, on utilie un axe vertical i on veut décrire un ouveent de chute libre. Le valeur de la poition pourraient augenter à eure qu on onte ou augenter à eure qu on decend. On pourrait alor noter la poition avec le ybole y, quoiqu il erait correct de continuer de l appeler x. L axe pourrait égaleent être incliné, par exeple, i on voulait décrire le ouveent d un objet qui decend le long d un plan incliné. Il retera ipleent à décider où et l origine x = 0. Trè ouvent, on et le x = 0 à la poition initiale de l objet. Le déplaceent de l objet et ipleent le changeent de poition de l objet. Si l objet et au départ à la poition x et que, plu tard, il et la poition x, alor le déplaceent et Déplaceent x x x1 Il et iportant de ne pa confondre le déplaceent et la ditance qu a parcourue l objet. Si on lance un objet à une hauteur de 0 et qu on le rattrape, la ditance parcourue par l objet et de 40 alor que le déplaceent en nul puiqu on et revenu à la poition de départ. Pour le déplaceent, on regarde uniqueent le poition initiale et finale. Ce qui et paé entre ce deux intant n a aucune iportance. La vitee oyenne et Verion La cinéatique 3

4 Luc Treblay Vitee oyenne v x t À ne pa confondre avec la vitee calaire oyenne qui et ditance vitee calaire oyenne t et qui era peu utiliée ici. Exeple Un objet e déplace ur l axe de x en partant de x = 0. Il va à x = 50 en 5 econde pui va a x = -10 en 15 econde. a) Quel et le déplaceent de cet objet? Le déplaceent et x x x b) Quelle et la ditance parcourue par cet objet? L objet a fait 50 ver la droite pui 60 ver la gauche. La ditance parcourue et donc de 110. c) Quelle et la vitee oyenne de cet objet? La vitee oyenne et v x 10 0,5 t 0 d) Quelle et la vitee calaire oyenne? La vitee calaire oyenne et ditance 110 vitee calaire oyenne 5,5 t 0 Verion La cinéatique 4

5 Luc Treblay Exeple 1.3. Conrad part de Québec pour e rendre à Montréal en auto. Il parcourt le preier 15 k à une vitee contante de 100 k/h, pui dernier 15 k à une vitee contante de 80 k/h. Quelle et a vitee oyenne? C et tentant de dire 90 k/h, ai ce n et pa la bonne répone. Faion correcteent la olution en calculant le tep que prend Conrad pour aller à Montréal. En prenant l équation de la vitee oyenne pour la preière partie, on trouve que cette partie dure 15k k 100 h t1 t 1, 5h 1 Alor que la deuxièe partie dure 15k k 80 h t t 1,565h La durée totale du voyage et donc 1,5 h + 1,565 h =,815 h La vitee oyenne et donc v 50k 88,89,815h k h Vou pouvez voir que deux unité acceptable pour la vitee ont de / et de k/h. En fait, pluieur unité ont poible, pourvu que ce oit toujour une unité de ditance diviée par une unité de tep. Aini, de /jour eraient tout à fait acceptable coe unité de vitee. Mai coent peut-on paer d une unité à l autre? Voici coent on paerait de k/h à / k k h 45 h 45 1,5 h 1k 3600 On coence par changer le k en avec la preière ultiplication, qui vaut 1 en fait puique 1000 et 1 k, c et pareil. Le k ont en ba de la diviion pour éliiner le k de l unité de départ. On change enuite le h en avec la deuxièe ultiplication, qui vaut aui 1 puique 1 h et 3600, c et pareil. Cette foi-ci, le h ont en haut de la fraction pour éliiner le h de l unité de départ. Rearquer qu avec le unité qui annulent, il ne rete que de /. Verion La cinéatique 5

6 Luc Treblay Exeple La poition d un objet et donnée par la forule x 3 t 1 ² t. Quelle et la vitee oyenne entre t = 0 et t = 1? La vitee oyenne et v x t Il faut donc trouver le poition à t = 0 et t = 1. À t = 0, la poition et x ² À t = 1, la poition et x ² La vitee oyenne et donc v x 43 1 t 1 La repréentation graphique de la vitee oyenne Sur un graphique de la poition en fonction du tep, la vitee oyenne repréente la pente de la droite qui relie le point qui correpondent aux tep entre lequel on veut avoir la vitee oyenne. Prenon l exeple précédent pour illutrer ce que cela veut dire. Puiqu on voulait la vitee oyenne entre t = 0 et t =1, on doit utilier la poition de l objet à ce deux intant ur le graphique. No deux point iportant ont donc (0,3) et (1,4). La vitee oyenne repréente la pente de la droite reliant ce deux point. Verion La cinéatique 6

7 Luc Treblay Définition de la vitee intantanée Tout au long d un déplaceent, la vitee peut varier. Coe dan un exeple précédent, on avait une vitee oyenne de 88,89 k/h, ai notre vitee avait varié durant le trajet. On pourrait aui aller à Montréal en ayant une vitee variant contaent, par exeple en allant toujour de plu en plu vite. Coent alor avoir notre vitee à un oent préci de la trajectoire? Pour y arriver, il faut calculer la vitee de la êe façon que celle utiliée pour calculer la vitee oyenne, ai en prenant un tep trè court, de orte que la vitee n ait pa le tep de changer. Mai quel tep et uffiaent petit? Et-ce qu une econde c et aez court? Pour une auto, ça peut ebler correct auf que la vitee d une voiture peut changer trè rapideent lor d un freinage intene et encore plu lor d un accident. Il faudrait donc un tep encore plu court. Peut-être un illiardièe de econde? Pour une auto, c et ureent bon, ai c et trop long pour de particule, coe de électron qui peuvent changer de vitee trè rapideent. En fait, pa beoin de trouver ce tep trè petit qui pourrait adapter à toute le ituation puique ce tep trè court exite en athéatique : c et une durée de tep infinitéiale. En prenant cette valeur, on obtient, pour la vitee intantanée, x v li ce qui et Vitee intantanée t 0 dx v dt À partir de aintenant, quand on parle ipleent de «vitee», on veut dire «vitee intantanée». Exeple La poition d un objet et donnée par la forule x 3 t 1 ² t. Quelle et a vitee à t =? t Puique la vitee et la dérivée de la poition, on a La vitee à t = et donc de - /. dx v dt ² t Verion La cinéatique 7

8 Luc Treblay La repréentation graphique de la vitee intantanée La vitee intantanée et la dérivée de la poition. Cela ignifie que, ur un graphique de la poition en fonction du tep, la vitee intantanée et la pente de la tangente. Voici la repréentation graphique de l exeple précédent. Sur un graphique de la poition d un objet en fonction du tep la valeur de la pente de la tangente et la vitee de l objet. Le équation du ouveent à vitee contante Exainon ce qui arrive i la vitee et une contante. Coe on ait que dx v dt on peut trouver la poition en fonction du tep en e deandant ce qu il aurait fallu dériver pour obtenir la contante v. De toute évidence, c et Verion La cinéatique 8

9 Luc Treblay xvt ct On peut trouver la valeur de la contante en diant que la poition au tep t = 0 et la poition initiale (qui era notée x ). Si on et ce valeur dan l équation, on a alor et donc que ct = x. On a alor x0 v0 ct Équation du ouveent i la vitee et contante x x0 vt Exeple 1.4. Cobien faut-il de tep pour faire une ditance de 00 k à une vitee contante de 80 k/h? En poant que x 0 = 0 k et que x = 00 k, on a x x0 vt k 00k 0k 80 h t 00k t,5h 80 k h Quand deux objet vont-il être à la êe place? Dan le problèe de cinéatique, on deande ouvent quand deux objet vont-il être à la êe poition en deandant quand vont-il entrer en colliion ou quand un objet A aura rattrapé un objet B. Le truc et bien iple : quand un objet en rattrape un autre ou qu il y a colliion, le deux objet ont à la êe place, ce qui ignifie que vou n avez alor qu à poer l équation x = x et réoudre. Voyon ce qu on obtient pour un ouveent en une dienion. Deux objet, à une ditance L l un de l autre, e déplacent à de vitee différente. On cherche quand il eront au êe endroit, donc quand x = x. fr.depoitphoto.co/577683/tock-illutration-car.htl Verion La cinéatique 9

10 Luc Treblay La poition de l objet 1 et x 0 vt 1 1 (On a placé l origine x = 0 à la poition initiale de l objet 1.) La poition de l objet et Quand il ont à la êe poition, on a Ce qui nou donne x L vt x1 x vt 1 Lvt v v t L 1 Moent où deux objet initialeent ditant de L ont à la êe place il e déplacent à vitee contante. t v L v 1 Exeple Un ou-arin françai et un ou-arin aéricain e dirigent l un ver l autre lor de anœuvre dan l Atlantique Nord. La vitee du ou-arin françai et de 50 k/h et la vitee du ou-arin aéricain et de 70 k/h. Le ou-arin françai envoie alor une onde onore ver le ou-arin aéricain quand le deux ou-arin ont à une ditance de 000 l un de l autre. Halliday, Renick, Walker, Onde, optique et phyique oderne, Chenelière/McGraw-Hill, 004 Cobien faudra-t-il de tep pour que le ignal onore arrive au ou-arin aéricain i la vitee de onde onore dan l eau et de k/h? Si le on et l «objet 1» et que le ou-arin aéricain et l objet, on a v1 1519,44 v 19,44 Verion La cinéatique 10

11 Luc Treblay Le tep de rencontre et donc t v L v ,44 19,44 1,996 Que faire i la vitee change? Mêe i la vitee change, il et poible de réoudre le problèe avec le équation pour une vitee contante i la vitee change par coup, c et-à-dire qu elle et contante pour un certain tep pui qu elle change oudaineent pour une autre valeur contante qu elle gardera pour un certain tep. Il peut y avoir autant de changeent qu on veut. Dan ce ca, on fait le problèe par partie. La preière partie et le ouveent avec la vitee contante qu il y a au départ, la deuxièe partie et celle avec la deuxièe vitee contante et aini de uite Le valeur de poition et de vitee à la fin de la preière partie deviennent alor le valeur initiale de la deuxièe partie. Exeple Une voiture va à 35 / pendant 00 econde, pui va à 0 / pendant 100 econde. Quel et le déplaceent de la voiture pendant ce 300 econde? Séparon ce problèe en deux partie où la vitee et contante. Dan la preière partie, la voiture e déplace à 35 / pendant 00. Poon que la poition de départ et l origine de notre axe. On a donc x = 0. La poition à la fin de cette preière partie et x x0 vt Dan la deuxièe partie, la voiture e déplace à 0 / pendant 100 et a poition initiale et la poition finale de la preière partie. On a donc x = La poition à la fin de cette phae et x x0 vt Le déplaceent total de la voiture et donc x Verion La cinéatique 11

12 Luc Treblay Définition de l accélération L accélération nou indique i la vitee d un objet varie. Elle nou dit de cobien la vitee change à chaque unité de tep. L accélération oyenne et définie par Accélération oyenne a v v1 v t t Le unité SI de l accélération ont de, que l on peut écrire /². Si un objet a une accélération oyenne de 3 /², alor cela ignifie qu en oyenne a vitee augente de 3 / chaque econde. Exeple Voici la vitee d un objet à deux oent. À t = 0, v = 0 / À t =, v = 10 / ver la droite Quelle et on accélération oyenne entre ce deux oent? L accélération oyenne et a v v t ² L exeple uivant ontre qu il faut faire attention au igne de la vitee quand on calcule l accélération oyenne. Exeple 1.5. Voici la vitee d un objet à deux oent. À t = 0, v = 10 / ver la gauche À t = 0, v = 50 / ver la gauche Quelle et on accélération oyenne entre ce deux oent? L accélération oyenne et v v a t 0 ² Verion La cinéatique 1

13 Luc Treblay Dan ce dernier exeple, on a incrit le valeur de vitee avec de igne négatif puique la vitee et ver la gauche. (Cela iplique qu on a utilié un axe pointant ver la droite.) En fait, on peut décider, à chaque problèe, dan quelle direction et notre axe (le en poitif). Si la vitee et dan cette direction, elle et poitive, i elle et dan la direction oppoée, elle et négative. Cet exeple ontre égaleent qu une accélération négative ne veut pa néceaireent dire que la grandeur de la vitee de l objet diinue. L accélération était négative et pourtant la grandeur de la vitee et paée de 10 / à 50 /. La règle correcte et plutôt la uivante : Si la vitee et l accélération ont de igne identique, alor la grandeur de la vitee augente. Si la vitee et l accélération ont de igne oppoé, alor la grandeur de la vitee diinue. Pour coprendre cette règle, il ne faut pa oublier que l accélération repréente la vitee qui et ajoutée chaque intant. Aini, i un objet a une vitee de -100 / et une accélération oyenne de 5 /², cela veut dire que, chaque econde, on ajoute 5 / à la vitee. On aura alor t = 0, v = -100 / t = 1, v = -95 / t =, v = -90 / t = 3, v = -85 / t = 4, v = -80 / et aini de uite. On voit que la grandeur de la vitee diinue êe i l accélération et poitive. C et ce qui arrive quand la vitee et l accélération ont de igne contraire elon no règle. Évideent, l accélération oyenne et une valeur oyenne. Parfoi, la vitee pourrait augenter rapideent et parfoi elle pourrait augenter plu lenteent. C et le ca en voiture quand on déarre : notre vitee augente rapideent au départ et plu lenteent par la uite. On pourrait donc définir une accélération intantanée qui nou reneigne ur le rythe auquel la vitee change à un oent préci. L atuce et la êe que pour la vitee intantanée : il faut calculer l accélération avec le changeent de vitee durant un tep trè court, de orte que l accélération n ait pa le tep de changer. On obtient aini v a li t 0 t et donc Accélération intantanée dv a dt Verion La cinéatique 13

14 Luc Treblay À partir de aintenant, quand on parle ipleent d «accélération», on veut dire «accélération intantanée». Exeple La poition d un objet et donnée par la forule on accélération à t =? x 31 t t 1 t. Quelle et 3 ² ³ L accélération et la dérivée de la vitee. Coençon par trouver la forule de la vitee, qui et la dérivée de la poition dx v 1 4 ² t3 ³ t dt On peut enuite trouver l accélération en dérivant cette vitee À t =, on obtient dv a 4 ² 6 ³ t dt a ² ³ ² La repréentation graphique de l accélération Puique l accélération et la dérivée de la vitee, la pente de la tangente repréente l accélération ur un graphique de la vitee en fonction du tep. Si on prend le donnée de l exeple précédent, on a Verion La cinéatique 14

15 Luc Treblay Sur un graphique de la vitee d un objet en fonction du tep, la valeur de la pente de la tangente et l accélération de l objet. On peut égaleent avoir une idée de l accélération de l objet à partir du graphique de la poition en fonction du tep. Coe l accélération et la dérivée de la vitee et que cette dernière et la dérivée de la poition, l accélération et la dérivée econde de la poition. d x a dt Puique cette dérivée econde repréente la concavité ur un graphique, on en déduit que la concavité ur un graphique de la poition en fonction du tep repréente l accélération. Évideent, c et plu difficile d avoir une idée de la valeur exacte de l accélération avec la concavité, ai, choe certaine, on peut facileent déteriner le igne de l accélération coe le ontre le graphique uivant. Verion La cinéatique 15

16 Luc Treblay La variation de l accélération Il e peut aui que l accélération ne oit pa contante et qu elle change. On pourrait alor eurer à quel rythe varie cette accélération en calculant le taux de variation oyen de l accélération. On obtient alor le «jerk oyen». j a a1 a t t On peut aui eurer le taux de variation intantanée de l accélération avec le jerk intantané. da j dt Vou pouvez aintenant coprendre de blague du type de celle ur ce t-hirt, blague que trè peu de gen peuvent coprendre. On a aui propoé que le taux de variation du jerk oit le nap, que le taux de variation du nap oit le crackle et que le taux de variation de crackle oit le pop! (Ce ont le équivalent de cric, crac et croc de Rice Kripie en anglai.) ww.zazzle.ca/plaianterie_de_calcul_phyiqu e_t_hirt ?lang=fr Le équation du ouveent Exainon ce qui arrive dan un ouveent rectiligne à accélération contante, aui appelé ouveent rectiligne uniforéent accéléré (MRUA). Coe on ait que dv a dt on peut trouver la vitee en fonction du tep en e deandant ce qu il aurait fallu dériver pour obtenir la contante a. De toute évidence, c et vat ct On peut trouver la valeur de la contante en diant que la vitee au tep t = 0 et la vitee initiale (qui era notée v ). Si on et ce valeur dan l équation, on a alor Verion La cinéatique 16

17 Luc Treblay v0 a0 ct et donc que ct = v. On a alor v v0 at On peut égaleent trouver la poition en fonction du tep avec la forule de la vitee. v 0 dx v dt dx at dt On peut trouver la poition en e deandant ce qu il aurait fallu dériver pour obtenir v. Bien ûr, c et 1 x vt 0 at ct Encore une foi, on trouve la contante en diant que la poition au tep t = 0 et la poition initiale x. On a alor, i on replace dan l équation de la poition, La contante vaut donc x. On a alor 1 x0 v00 a0 ct 1 x x0 v0t at Bien que tout eble coplet, puiqu on a la poition et la vitee en fonction du tep, on peut trouver deux autre équation qui eront ouvent trè utile. On va preièreent faire une équation qui relie la vitee et la poition, an faire appel au tep. Pour y arriver, il faut ioler t dan l équation de la vitee v v0 at ce qui donne v v t 0 a On replace enuite dan l équation 1 x x0 v0t at pour obtenir Verion La cinéatique 17

18 Luc Treblay vv0 1 vv0 x x0 v0 a a a On travaille enuite un peu pour finaleent obtenir vv 0 v0 v vv 0 v0 x x0 a a vv 0 v0 v vv 0 v0 x x0 a a a x x v vv v v vv a x x v v 0 0 On va finaleent faire une équation qui donne la poition en fonction du tep, ai qui ne fait pa appel à l accélération. Si on iole a dan l équation v v0 at on a v v a 0 t Si on replace dan l équation 1 x x0 v0t at on obtient 1 v v t 0 x x0 v0t t Si on iplifie, on a alor 1 x x0 v0 vt Nou avon aintenant quatre belle équation qui nou perettent de réoudre le problèe de MRUA. Verion La cinéatique 18

19 Luc Treblay Équation du ouveent rectiligne uniforéent accéléré (MRUA) 1 x x0 v0t at a x x v v v v at x x0 v0 vt Attention : rappelez-vou que ce quatre équation ne ont bonne que pour un ouveent à accélération contante. Ne le utiliez pa i l accélération change Dan la plupart de ca, la réolution de problèe de ouveent à accélération contante et aez iple puiqu il y aura preque toujour une de quatre équation qui va vou perettre de trouver ce que vou cherchez. On pae le quatre équation l une aprè l autre en identifiant le inconnue dan chaque équation. Preque toujour, il y aura une équation pour laquelle la eule inconnue era ce qu on cherche. Erreur fréquente : auvai igne pour v ou a Aurez-vou de définir claireent une direction poitive. Si un vecteur (vitee ou accélération) et dan la direction oppoée à votre direction poitive, a valeur et négative. Exeple Un avion pae de 0 / à 100 / en 8 econde avec une accélération contante. a) Quelle et on accélération? La preière équation nou donne v v at a8 a 1,5 ² Verion La cinéatique 19

20 Luc Treblay b) Quelle ditance a fait l avion en 8 econde? La deuxièe équation nou donne 1 x x0 v0t at ,5 ² Notez qu on aurait pu utilier le troiièe ou quatrièe équation pour réoudre cette partie du problèe puique dan ce troi équation, la eule inconnue était la poition. Inutile de attarder davantage à ce ca plutôt iple. Attardon-nou à de ca un peu plu coplexe dan lequelle aucune équation ne peret de réoudre le problèe directeent. Exeple 1.6. Une voiture pae à côté d un poteau de téléphone avec une vitee de 90 k/h et une accélération de 3 /². À quelle ditance du poteau était-elle deux econde plu tôt? 1 re olution On connait la vitee à t = (5 /) et l accélération. On va ettre l origine de l axe x = 0 au poteau et on va chercher x. Si on exaine le quatre équation vv0 at Inconnu : v 1 x x0 v0t at Inconnu : v et x ax ( x0) v v0 Inconnu : v et x 1 x x0 v v0t Inconnu : v et x On voit qu aucune équation ne peret de trouver directeent x. Par contre, on peut facileent trouver une tratégie pour réoudre ce problèe. On va trouver v avec la preière équation et enuite on pourra trouver x avec n iporte laquelle de troi autre équation puiqu il ne retera que x coe inconnu dan le troi ca. Verion La cinéatique 0

21 Luc Treblay On trouve donc v avec la preière équation. v v at 5 3 v 0 v0 ² 0 19 On trouve enuite la poition initiale avec la deuxièe équation (on aurait pu prendre aui la troiièe ou la quatrièe équation). 1 x x0 v0t at 1 0 x ² x 44 L auto était donc à 44 du poteau econde plu tôt. e olution 0 On peut aui réoudre ce problèe avec une eule équation i on décide plutôt que le tep t = 0 et quand l auto et vi-à-vi du poteau. On cherche alor la poition quand t = -. En ayant toujour x = 0 au poteau, on réout directeent ce problèe avec la deuxièe équation. 1 x x0 v0t at ² 44 Ceci ontre bien que x n et pa pécifiqueent la poition initiale. De façon correcte, c et la poition à t = 0. Coe c et poible qu il y ait du ouveent avant t = 0 (qui et arbitraire), x n et donc pa toujour la poition initiale. De la êe façon, v n et pa néceaireent la vitee initiale. C et tout ipleent la vitee à t = 0. Évideent, i le ouveent coence à t = 0, x et v ont alor le poition et vitee initiale. Que faire i l accélération change? C et poible de réoudre le problèe avec le équation du MRUA i l accélération change par coup, c et-à-dire qu elle et contante pour un certain tep pui elle change Verion La cinéatique 1

22 Luc Treblay oudaineent pour une autre valeur contante qu elle gardera pour un certain tep. Il peut y avoir autant de changeent qu on veut. Dan ce ca, on fait le problèe par partie. La preière partie et le ouveent avec l accélération contante qu il y a au départ, la deuxièe partie et celle avec la deuxièe accélération contante et aini de uite Le valeur de poition et de vitee à la fin de la preière partie deviennent alor le valeur initiale de la deuxièe partie. En appliquant le équation du MRUA dan chacune de partie, on repecte le condition d application de ce forule puique l accélération et bel et bien contante pour chacune de partie. Exeple Une voiture initialeent au repo a une accélération de 6 /² durant 5 econde, pui une accélération de /² durant 4 econde et finaleent une accélération de -15 /² durant econde. Quel et le déplaceent de la voiture durant ce 11 econde et quelle et la vitee de la voiture à la fin de ce ouveent? 1 re partie : a = 6 /², x = 0 et v = 0 / La vitee à la fin de cette partie et v v at ² La poition à la fin de cette partie et 1 1 x x 0 v0 t at ² 5 75 e partie : a = /², x = 75 et v = 30 / (Rearquez bien : le valeur initiale de poition et de vitee pour cette phae ont le valeur à la fin de la preière partie.) La vitee à la fin de cette partie et v v at ² La poition à la fin de cette partie et 1 1 x x 0 v0 t at ² e partie : a = -15 /², x = 11 et v = 38 / Verion La cinéatique

23 Luc Treblay La vitee à la fin de cette partie et vv at ² La poition à la fin de cette partie et 1 1 x x 0 v0 t at ² 57 Le déplaceent total et donc de x x x et la vitee finale et de 8 /. Quand deux objet vont-il être à la êe place? Coe entionner précédeent, vou n avez qu à poer l équation x = x et réoudre. Exeple Deux voiture e dirigent l une ver l autre. La voiture de gauche e dirige ver la droite avec une vitee de 30 / et la voiture de droite va ver la gauche avec une vitee de 0 /. Lorqu elle ont à 105 l une de l autre, elle coencent à freiner iultanéent. La voiture de gauche freine à 6 /² alor que la voiture de droite freine à 4 /². Vont-elle e frapper et i oui, où et quand? Il y aura colliion i x = x. fr.depoitphoto.co/577683/tock-illutration-car.htl Pour la voiture A (celle de gauche), on a x = 0, v = 30 / et a = -6 /². Sa poition en fonction du tep et donc 1 xa x0 v0t at 1 30 t 6 ² t 30 t3 t Pour la voiture B (celle de droite), on a x = 105, v = -0 / et a = 4 /². Sa poition en fonction du tep et donc ² Verion La cinéatique 3

24 Luc Treblay 1 xb x0 v0t at t 4 ² t 1050 t t Si le deux poition ont identique, on a x A x 30 t3 t 1050 t t ² ² ² t5 ² t 0 B On peut alor réoudre cette équation quadratique pour obtenir ² t ² Le deux olution ont donc t = 3 et t = 7. Puiqu il y a une olution, il y aura une colliion. S il n y avait pa eu de olution, ce qui arrive parfoi avec le équation quadratique, cela aurait ignifié qu il n y a pa de colliion. Mai alor, pourquoi y a-t-il olution? Et-ce que le auto vont e frapper deux foi? En réalité, elle vont e frapper uniqueent à t = 3. La deuxièe olution n et pa valide parce qu il et clair que l accélération de auto va changer lor de la colliion à t = 3. Aini, le forule de la poition en fonction du tep que l on a faite précédeent ne ont pa bonne pour t > 3 puique l accélération a changé. On peut enuite trouver où vont e frapper le auto en prenant une de deux forule de la poition. Cette poition et A ² x (Vou pouvez vérifier que x donne la êe poition.) On peut êe trouver la vitee de deux voiture lor de la colliion. v v at v v at A 0 ² B 0 ² Verion La cinéatique 4

25 Luc Treblay Exeple Alphone et Bertrand participent à une coure de voiture. Leur voiture ont initialeent au repo à la ligne de départ. La voiture d Alphone a une accélération de 5 /² juqu à ce qu elle atteigne une vitee axiale de 30 /. La voiture de Bertrand a une accélération de 3 /² juqu à ce qu elle atteigne une vitee axiale de 4 /. Où et quand la voiture de Bertrand va-t-elle rattraper celle d Alphone? Coe le accélération changent dan ce problèe, il faut éparer ce problèe en partie. 1 re partie : Le deux véhicule accélèrent a = 5 /², a = 3 /² Coe cette partie e terine quand la voiture d Alphone (voiture A) a atteint a vitee axiale, la durée de cette phae et va v0 at ² t t 6 À la fin de cette partie, le poition de voiture ont 1 1 x A x0 v0 t at 00 5 ² x B x0 v0 t at 00 3 ² 6 54 et le vitee ont v 30 A v v at B 0 ² e partie : La voiture A et à a vitee axiale, la voiture B continue d accélérer. a = 0 /², a = 3 /² (Rearquez bien : le valeur initiale de poition et de vitee pour cette phae ont le valeur à la fin de la preière partie.) Coe cette partie e terine quand la voiture de Bertrand (voiture B) a atteint a vitee axiale, la durée de cette phae et vb v0 at ² t t 8 Verion La cinéatique 5

26 Luc Treblay À la fin de cette partie, le poition de voiture ont 1 xa x0 v0t at x B x0 v0 t at ² 8 94 (La voiture B n a toujour pa rattrapé la voiture A. Si Bertrand avait dépaé Alphone, on procèderait alor de la êe façon qu on fera à la troiièe partie pour trouver exacteent où et quand Bertrand aurait rejoint Alphone.) Le vitee à la fin de la deuxièe partie ont v 30 A v 4 3 e partie : Le deux voiture ont à leur vitee axiale. a = 0 /², a = 0 /² Verion La cinéatique 6 B Cette partie ne e terine jaai. Coe la voiture B va plu vite que la voiture A, il et certain qu elle va la rattraper. On a alor x = x quand la voiture B aura rattrapé la voiture A. Le poition en fonction du tep de voiture ont Si on égale le deux poition on a alor La poition et alor 1 xa x0 v0t at t 0 1 xb x0 v0t at 944 t t 944 t 361 t t 3 x (x aurait donné la êe répone) A et le tep total depui le début et = 17 (Rearquez bien : on doit additionner le tep puique celui-ci repart à zéro à chaque partie. Cependant, on obtient directeent la poition puiqu on a gardé toujour notre x = 0 à la êe place, c et-à-dire à la ligne de départ.)

27 Luc Treblay Coent obtenir le équation du ouveent à partir de poition à certain oent Il arrive qu on deande où era un objet à un certain oent en ne donnant que la poition de l objet à 3 autre oent. L exeple uivant vou ontrera coent réoudre ce genre de problèe. Exeple Voici la poition d un objet à troi intant Où era-t-il à t = 10? x = à t = 1 x = 3 à t = x = 11 à t = 4 Coe l équation du ouveent et On doit avoir 1 x x0 v0t at x 1 v 0,5 a x v a x 4 v 8 a 0 0 Ce qui nou donne troi équation avec troi inconnu. On peut réoudre ce ytèe d équation de la façon qu on veut (Gau-Jordan par exeple ). Laion de côté ici le détail de cette anipulation athéatique. On obtient alor la olution uivante. La poition à t = 10 et donc x = 3, v = - / et a = /² 1 x x0 v0t at ² Ça eble court coe olution, ai c et aez long en fait quand on doit réoudre le ytèe d équation. Verion La cinéatique 7

28 Luc Treblay L accélération gravitationnelle Le ouveent de chute libre et un ouveent à accélération contante. En chute libre, tou le objet ont une accélération de 9,8 /² ver le ba, il n y a pa de friction de l air. On utilie le ybole g pour repréenter cette accélération. a g 9,8 ver le ba gravitationnelle ² Coent a-t-on découvert que la chute de corp e fait à accélération contante? Cette inforation, bien que toute iple, et le réultat de beaucoup d effort. En effet, il fallut environ 000 an d étude pour arriver à cette concluion. Ce fut paableent copliqué parce que la friction de l air ajoute ouvent à l effet de la gravitation. C et Aritote (4 e iècle av. J.-C.) qui fit la plu iportante théorie ur la chute de corp de l Antiquité. Dan cette théorie, le quatre éléent de Grec ont chacun une place naturelle dan l univer. En partant du centre de l univer, on retrouve la terre, pui l eau, pui l air et finaleent le feu. Y. Gingra, P Keating, C. Lioge, Du cribe au avant, Édition du boréal, 1998 Verion La cinéatique 8

29 Luc Treblay Il coence par expliquer pourquoi une pierre retobe au ol quand on la oulève dan l air ou dan l eau : la pierre, principaleent copoée de l éléent terre, tobe pour retourner à a place naturelle. De la êe façon, le feu dan l air onte pour retourner à a place naturelle, qui et au-deu de l air. Aritote affire égaleent que le objet tobent avec une vitee proportionnelle à leur poid. Aini, i on laie tober un objet 4 foi plu lourd qu un autre en le lâchant en êe tep de la êe hauteur, l objet plu léger devrait prendre 4 foi plu de tep à arriver au ol que le plu lourd elon Aritote. Au preier coup d œil, l idée que la vitee de chute dépende de la ae peut ebler avoir bien du bon en. Bien de gen vou diront d ailleur que le objet plu lourd tobent plu vite que le objet léger. Le video uivant, dan lequel on laie tober une cuiinière (l appareil électroénager, pa la adae) et un oreiller, prouve bien cela. Toutefoi, il y a cette différence parce qu il y a de la friction de l air. La friction de l air ur l oreiller et trop iportante par rapport à on poid ce qui ralentit beaucoup a chute. Dan cet autre eai, on utilie deux balle de êe taille. Il y a une balle de étal et un ballon de occer. Dan ce ca, la force de friction et la êe ur le deux balle (nou verron plu tard qu elle dépend de la taille et de la fore de l objet, ai pa de a ae). Encore une foi, la balle plu lourde l eporte parce que la force de friction par rapport au poid de l objet et plu grande pour le ballon de occer, ce qui ignifie que la force de friction a un plu grand effet ur ce ballon. Dan ce dernier eai, on a pri oin de prendre de objet pour lequel le rapport entre le poid et la force de friction et preque le êe. Dan ce ca, l arrivée au ol e fait en êe tep algré une iportante différence de poid entre le deux objet. Le vidéo uivant ontre égaleent qu il n y a pa de différence entre le tep d arrivée de deux objet de ae aez différente (une balle de golf et une boule de quille) quand on le laie tober en êe tep de la êe hauteur. (Notez que ur une ditance de chute plu grande, la friction de l air aurait coencé à ralentir davantage la balle de golf. Sur une faible ditance de chute coe dan ce vidéo, le vitee ne ont pa trè grande et la friction de l air n et pa trè iportante.) On peut voir la êe choe avec ce deux citrouille de taille différente. Le déontration précédente ne ont pa entièreent convaincante parce que la friction de l air et toujour préente et on doit repecter de condition plutôt particulière pour Verion La cinéatique 9

30 Luc Treblay que le objet arrivent au ol en êe tep. Pour e convaincre davantage, il faut éliiner coplèteent la friction de l air. On peut le faire en laiant tober de objet dan une pièce dan laquelle on fait le vide. Dan ce vidéo, la plue et la boule de quille arrivent en êe tep au ol. On peut aui aller ur la Lune, où il n y a pa d air. L atronaute Dave Scott d Apollo 15 a fait cette expérience. Par contre, on voit que le objet tobent avec une accélération plu faible. La force de gravité étant plu faible à la urface de la Lune, l accélération de objet n et que de 1,6 /². Puique Aritote avait tort, pluieur peneur, en coençant par Hipparque au e iècle avant Jéu-Chrit juqu à Sion Stevin en 1586, furent en eure de ontrer que la vitee de chute n était pa proportionnelle au poid. Nou avon êe un coentaire de Philopon datant du 6 e iècle qui affire trè claireent qu il n y a pratiqueent pa de différence entre le tep d arrivée quand on laie tober deux objet de ae différente. Mai êe i pluieur avaient qu Aritote avait tort, cela ne veut pa dire qu on avait coent e faiait la chute de corp. Bien que le loi du ouveent à accélération contante fuent connue depui le année 1300, peronne ne pena que la chute libre pouvait être un ouveent de ce type pendant preque troi iècle. Albert de Saxe était en bonne partie reponable de cela. Il était arrivé, au 14 e iècle, à la concluion que le ouveent de chute libre n était pa un ouveent à accélération contante, ai quelque choe d un peu différent. Selon le raionneent d Albert, voici ce qu on aurait coe déplaceent d un objet en chute libre. (Pour iplifier le calcul, prenon une accélération de 10 /² plutôt que 9,8 /². De plu, nou feron ce raionneent avec de ètre et de econde, ce qu Albert n aurait pu faire.) À la preière econde, l objet a une vitee de 10 / puique l accélération et de 10 /². En une econde, l objet parcourt donc 10. À la deuxièe econde, la vitee de l objet et de 0 /. Il parcourt donc 0 durent cette econde, pour un total de 30 i on ajoute la ditance parcourue durant la preière econde. À la troiièe econde, l objet va à 30 / et va donc parcourir 30 durant cette econde. Cela fait une ditance totale de 60 i on ajoute le 30 parcouru durant le deux preière econde. En pouruivant ce raionneent, le ditance parcourue en fonction du tep ont : 10, 30, 60, 100, 150, 10 (qui et la uite de nobre triangulaire ultipliée par 10). Verion La cinéatique 30

31 Luc Treblay Réué du raionneent d Albert de Saxe (14 e iècle) pour la chute de corp. Ce raionneent, de loin le plu populaire durant prè de 300 an, n et pa correct. Tep Vitee Déplaceent durant cette econde Déplaceent total depui le début Preière econde 10 / Deuxièe econde 0 / 0 30 Troiièe econde 30 / Quatrièe econde 40 / Cinquièe econde 50 / Sixièe econde 60 / Ce raionneent eble telleent bon que preque tou l acceptèrent durant prè de 300 an. Toutefoi, il ne donne pa le êe déplaceent que ce que prévoient le forule du ouveent à accélération contante. En effet, i l accélération et de 10 /², le poition en fonction du tep, donnée par la forule ½at², ont 5, 0, 45, 80, 15, 180,, toujour un peu en deçà de ce que donne le raionneent d Albert de Saxe. Cette différence entre le deux ouveent explique pourquoi on n aociait jaai la chute libre à un ouveent à accélération contante avant Coe la écanique était une cience baée uniqueent ur de raionneent à cette époque, peronne ne prit la peine de faire une expérience pour vérifier i Albert avait raion. Le preière véritable expérience ur la chute de corp furent faite par Galilée. On ait qu en 1584, Galilée n acceptait pa le raionneent d Albert de Saxe et penait plutôt que la vitee d un corp en chute libre était proportionnelle à la ditance parcourue (ce qui et faux puique la vitee et proportionnelle à pour un MRUA). Il lui fallut bien du tep à e départir de cette idée préconçue. En , il coença e expérience ur la chute de corp. Coe celle-ci e fait trop rapideent, il fit decendre le corp ur de plan incliné pour ralentir le ouveent. Coe il n y avait pa de façon iple pour eurer le tep à cette époque, il dut trouver une façon de eurer la poition en fonction du tep. Une de façon eployée par Galilée conitait à placer de petite cloche qui ont frappée par la balle qui roule le long du plan incliné, tel qu illutré ur cette iage et dan ce video (filé à Woolthorpe Manor, lieu de naiance d Iaac Newton). Luc Treblay Verion La cinéatique 31

32 Luc Treblay Galilée ajuta alor la poition de cloche pour que le tinteent e faent à intervalle régulier, ce dont il aura en chantant une arche ilitaire durant l expérience. Il put alor oberver que la ditance parcourue par l objet initialeent au repo qui decend uit la loi Galilée venait de ontrer que la chute de corp et un ouveent à accélération contante puique nou avon ditance = ½at² pour ce type de ouveent. C était aui la preuve qu Albert de Saxe avait tort. Il eura égaleent le tep de chute en eurant la quantité d eau qui écoule d un réervoir durant la chute. Ce eure confirèrent le réultat obtenu avec le expérience ur le plan incliné. Pendant longtep, on a cru que Galilée n avait pa vraient fait ce expérience, ai une étude détaillée de e note ontra qu il le a bel et bien faite. Il faudra attendre 1650 environ pour que le réultat de travaux de Galilée oient bien accepté par la counauté cientifique. Aujourd hui, on dipoe de eilleur oyen pour déontrer cette loi. On peut, par exeple, utilier un trobocope pour photographier un objet à intervalle régulier pour aini facileent eurer le poition et oberver que le ouveent e fait elon le loi du ouveent à accélération contante avec une accélération de 9,8 /². (Figure de droite) On aocie ouvent à cette découverte l expérience que Galilée aurait faite du haut de la tour de Pie, dan laquelle il aurait lâché deux objet de ae différente pour ontrer qu il arrivent au ol en êe tep. Il n et toutefoi pa certain que Galilée ait vraient exécuté cette expérience. Mêe i c et le ca, il aurait été devancé par pluieur, dont Sion Stevin qui fit cette expérience en 1586 aux Pay-Ba. De toute façon, cette expérience ontre uniqueent que la chute e fait au êe rythe peu iporte la ae et ne perettait pa de découvrir, avec le oyen de l époque, que la ditance parcourue augente avec le carré de la ditance et donc que l accélération et contante. en.wikipedia.org/wiki/equation _for_a_falling_body En terinant, voici une petite déontration qu utilia Galilée pour ontrer que le objet plu lourd ne peuvent pa tober plu vite que le objet plu léger. Si on uppoe que le objet lourd tobent plu vite que le objet plu léger, que e paerait-il i on attache eneble un objet de 10 kg à un objet de 1 kg? Un preier raionneent nou aène à pener que cet objet de 11 kg tobera plu vite que l objet de 10 kg, puiqu il et plu lourd. Cependant, un autre raionneent nou aène à pener que cet objet de 11 kg va tober oin vite que l objet de 10 kg puiqu il agit d un objet de 10 kg qui doit trainer Verion La cinéatique 3

33 Luc Treblay un objet de 1 kg tobant oin vite! On n a pa cette difficulté logique i la vitee de corp en chute libre et la êe pour le deux objet. Exeple pour la chute libre La plupart du tep, on trouve aez rapideent la olution aux problèe de chute libre en utiliant le équation du MRUA avec une accélération de 9,8 /². Erreur fréquente : utilier g = -9.8 /². Quand vou voyez g dan une forule, il faut replacer g par 9,8 /² et non pa par -9,8 /². Le igne ne fait pa partie de g. Aini, i votre axe poitif et ver le haut, l accélération et g. Erreur fréquente : auvai igne pour a. L accélération et toujour ver le ba pour la chute libre. On rearque que certain étudiant penent que l accélération et ver le haut quand l objet onte et ver le ba quand l objet decend. C et faux. En ontant, la vitee et ver le haut et l accélération et ver le ba. Coe la vitee et l accélération ont dan de direction oppoée, l objet ralentit. En decendant, la vitee et l accélération ont toute le deux ver le ba. La grandeur de la vitee augente alor puique c et ce qui arrive quand l accélération et dan le êe en que la vitee. Erreur fréquente : dire que a = 0 au point le plu haut. L accélération et toujour de 9,8 /² ver le ba pendant la chute, incluant au point le plu haut. C et euleent la vitee qui et nulle au point le plu haut. Si l accélération était nulle, la vitee de l objet reterait contante. Coe la vitee à cet endroit et nulle, l objet reterait toujour iobile au point le plu haut. Erreur fréquente : dire que v = 0 quand l objet frappe le ol. Si on deande, par exeple, quand un objet va arriver au ol, et qu on peut réoudre ce problèe avec une équation dan laquelle il y a une vitee, certain étudiant vont ettre que v = 0 au ol. Il et vrai que la vitee aprè la colliion avec le ol et nulle, ai ce qu on doit ettre dan l équation et la vitee jute avant le contact avec le ol. Dè que l objet touche au ol, l accélération change et l équation de la chute libre ne applique plu. Verion La cinéatique 33

34 Luc Treblay Exeple On lance un objet ver le haut avec une vitee de 0 / à partir du ol. a) Juqu à quelle hauteur va-t-il onter? Pour réoudre ce problèe, nou allon utilier un axe dirigé ver le haut et dont l origine y = 0 et au ol. Nou avon donc a = -9,8 /² (négatif, car on a choii un axe et ver le haut et l accélération et ver le ba), v = 0 / et y = 0. On atteint la hauteur axiale quand la vitee et nulle. (L objet onte quand la vitee et poitive et decend quand la vitee et négative. On a donc la hauteur axiale quand v = 0.) On cherche donc y quand v = 0. On réout directeent ce problèe avec l équation a( y y ) v v 0 0 y 9,8 ² y 0,4 b) Cobien faut-il de tep pour atteindre cette hauteur axiale? On réout directeent ce problèe avec l équation v v0 at 0 0 9,8 t,04 ² t c) Quelle et la vitee de l objet quand il va revenir au ol? Quand l objet revient au ol, il revient à y = 0. On peut donc réoudre directeent ce problèe avec l équation a( y y ) v v 0 0 v 9,8 ² v 0 On note ouvent une tendance à faire ce problèe en deux partie : la ontée et la decente. Bien que ce ne oit pa auvai de faire cette éparation, elle et inutile puiqu on peut faire ce calcul directeent puique l accélération et toujour contante dan ce ouveent. Souvenez-vou : la éparation et néceaire euleent i l accélération change. Verion La cinéatique 34

35 Luc Treblay d) Cobien faut-il de tep pour que l objet revienne au ol? On réout directeent ce problèe avec l équation v v at 0 0 9,8 0 ² t 4,08 t (Vou voyez qu il ne fallait pa ettre v = 0 pour la vitee au ol. On doit ettre la vitee jute avant le contact avec le ol.) e) Quel et le déplaceent entre 1 et 1,5 aprè le départ de l objet? Pour réoudre ce problèe, calculon le poition à t = 1 et t = 1,5. À t = 1, on a À t = 1,5, on a 1 y1 y0 v0t at ,8 ² 1 15,1 1 y y0 v0t at ,5 9,8 ² 1,5 18,98 Le déplaceent et donc y y y 1 18,9815,1 3,88 f) Au bout de cobien de tep l objet era-t-il à 10 du ol? On peut réoudre directeent à l aide de Verion La cinéatique 35

36 Luc Treblay 1 y y0 v0t at t 9,8 ² t t 0,583 et 3,498 (olution d'une équation quadratique) Il y a deux répone et ce deux répone ont bonne puique l objet et à 10 de ol une foi en ontant et une autre foi en redecendant. La plupart de problèe ont coe ceux de ce dernier exeple : une de équation du MRUA va réoudre directeent le problèe. Il exite cependant quelque problèe où cela ne fonctionnera pa. En voici un. Exeple 1.7. Une pierre lancée verticaleent à partir du haut du toit d un édifice pae devant une fenêtre de 1,5 de haut en 0,1. Le haut de la fenêtre et à 10 du toit. À quelle vitee la pierre a-t-elle été lancée? Il anque d inforation pour réoudre ce problèe directeent. Mai, puiqu on a une inforation concernant le paage devant une fenêtre, il peut être intéreant de éparer ce problèe en deux partie. 1) Du toit juqu au haut de la fenêtre ) Du haut de la fenêtre juqu au ba de la fenêtre. Nou allon coencer par la deuxièe partie. Nou allon travailler avec un axe de y dirigé ver le ba et dont le y = 0 et itué au toit. Pour cette partie, nou connaion L accélération (a = 9,8 /². Elle et poitive, car l axe de y et ver le ba) La poition initiale (y = 10 ) La poition finale (y = 11,5 ) Le tep pour ce déplaceent (0,1 ) Verion La cinéatique 36

37 Luc Treblay Cela nou peret donc de trouver la vitee initiale de cette partie, c et-à-dire la vitee de la pierre quand elle et vi-à-vi du haut de la fenêtre. On trouve cette vitee avec l équation 1 y y0 v0t at 1 11,5 10v0 0,1 9,8 ² 0,1 v 14,51 0 On peut enuite e concentrer ur la preière partie du ouveent. Pour cette partie, nou connaion L accélération (a = 9,8 /²) La poition initiale (y = 0 ) La poition finale (y = 10 ) La vitee finale (v = 14,51 /) On peut alor trouver la vitee initiale avec a( y y ) v v ,8 ² ,51 v v 3,813 La pierre a donc été lancée avec une vitee de 3,813 / ver le haut ou ver le ba. Le deux répone ont bonne parce que i vou lancez la pierre ver le haut à 3,813 /, elle revient à la hauteur du toit avec une vitee de êe grandeur, ai dirigée ver le ba ce qui donne le êe réultat que i on l avait lancée directeent ver le ba à 3,813 /. Que faire aintenant i l accélération n et pa contante? Dan ce ca, il faut oublier le équation du MRUA et retourner à no définition de bae de la vitee et de l accélération. dx v dt dv a dt Verion La cinéatique 37

38 Luc Treblay À partir de ce définition, on peut trouver la vitee d un objet i on connait la forule de la poition en fonction du tep. Il uffit de dériver la forule de la poition pour y arriver. Pour obtenir l accélération, on n a qu à dériver la forule de la vitee. Mai que faire i on veut faire le contraire, c et-à-dire trouver la poition i on connait la forule de la vitee? Dan le fond, quand on y pene bien, on n a qu à faire le contraire de la dérivée! Exeple La vitee d un objet et donnée par et à x = 0 quand t = 0? v 9 ³ t. À quelle poition et l objet à t = 5 il La vitee étant la dérivée de la poition, cela ignifie que 9 t² et la dérivée de la poition. On doit donc trouver quelle fonction il aurait fallu dériver pour obtenir 9 t². Cette fonction et 3 t³ (dérivez-la et vou allez voir qu on obtient 9 t²). Mai ce n et pa la eule olution parce que 3 t³ +3 donnerait égaleent la êe dérivée. En fait, la olution la plu générale et x 3 3 ³ t contante Peu iporte la valeur de la contante, on obtient toujour 9 t² coe dérivée. Que faire alor de cette contante inconnue? Il era poible de la trouver puiqu on donne une inforation uppléentaire, c et-à-dire la poition à un certain oent. On appelle ce donnée le condition initiale. Ici, on dit que l objet et à x = 0 quand t = 0. Si on et ce valeur dan notre olution on a x 3 3 ³ t contante ³ 0 contante 00contante contante 0 On a donc la forule uivante pour la poition x t 3 ³ 3 à t = 5, l objet et donc à la poition x = 375. De façon un peu plu forelle, faire le contraire de la dérivée appelle faire l intégrale. Donc 3 t³+contante et l intégrale de 9 t². La notation correcte de cette procédure et 9 tdt ² 3 t³ contante ³ ³ Verion La cinéatique 38

39 Luc Treblay Ça eble un peu lourd, ai vou coprendrez pourquoi on a cette notation dan le cour de calcul intégral. Vou pourrez voir aui que faire l intégrale d une fonction et généraleent plu difficile que de trouver la dérivée d une fonction. «Dérive qui veut, intègre qui peut», dit-on. Aini, on peut généralier cette façon de faire avec le équation uivante. Poition à partir de la forule de la vitee x vdt Vitee à partir de la forule de l accélération v adt Exeple 1.8. L accélération d un objet et donnée par ² in. Quelle et la vitee de l objet à t = 1 i a vitee et de 0 / quand t = 0? Puique l accélération et la dérivée de la vitee, ² in doit être la dérivée de la vitee. La vitee et donc l intégrale de ² in. On a donc v adt ² Verion La cinéatique 39 in 1 1 co t dt 1 t C où la contante et noté C. On trouve cette contante en achant que la vitee et 0 / à t = 0. On a alor 1 v 1 co t C co 0 La vitee et donc donnée par la forule La vitee à t = 1 et donc 01 C C 1 C v t 1 1 co 1

40 Luc Treblay v 1 1 co 1 1 v 1, 416 / (Notez qu on a calculé en prenant l angle en radian dan le coinu, ce qui era habituelleent le ca avec le fonction trigonoétrique utiliée en cinéatique.) Calcul à partir du graphique On peut égaleent réoudre ce genre de problèe de façon graphique. Pour coprendre, coençon par un ca iple : un objet qui e déplace à vitee contante de 10 /. Dan ce ca, le déplaceent en 8 econde et x v t xvt x10 8 x80 Or, ur le graphique de la vitee en fonction du tep (à droite), on rearque que vt = 10 x 8 et l aire ou la courbe de la vitee. Cette concluion et en fait trè générale et rete correcte êe i la vitee n et pa contante. Aire ou la courbe de la vitee en fonction du tep = déplaceent De la êe façon, on peut ontrer que Aire ou la courbe de l accélération en fonction du tep = changeent de vitee Attention : quand l aire et ou l axe du tep, elle a une valeur négative. Verion La cinéatique 40