En général, il n y a pas d algorithme fini pour trouver une solution. On est donc obligé d utiliser

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1 Chapitre VI Méthodes Itératives Equatios o Liéaires E pratique, o est souvet coroté à la résolutio d u système d équatios o liéaires. C estàdire pour ue octio tel que doée, o cherche u poit (0.1) E gééral, il y a pas d algorithme ii pour trouver ue solutio. est doc obligé d utiliser des méthodes itératives. Sas hypothèses supplémetaires, o e sait rie sur l existece d ue solutio de (0.1). Par exemple, pour il y a pas de solutio, pour! il y e a ue iiité. Mais, le théorème d iversio locale ous ourit u résultat sur l uicité locale: si # $% et si la matrice jacobiee '() est iversible, il existe u voisiage * de et u voisiage + de tels que, * + soit bijective. Ceci implique que est la seule solutio de (0.1) das le voisiage * de. Bibliographie sur ce chapitre J.M. rtega W.C. Rheiboldt (1970): Iterative Solutio o oliear Equatios i Several Variables. Academic Press, ew ork. A.M. strowski (1966): Solutio o Equatios ad Systems o Equatios. Academic Press, ew ork, 2d editio. [MA 65/27] P. Deulhard (2004): ewto Methods or oliear Problems ; Aie Ivariace ad Adaptive Algorithms. Spriger Ser. Comp. Math. 35. VI.1 Méthode des approximatios successives D ue aço géérale... je idique pas l origie des théorèmes que je crois trop simples... (S. Baach 1932 ; Préace). / 0 cosidère le problème du calcul d u poit ixe de l applicatio ; c.àd., o cherche tel que 12 3 (1.1) Les problèmes (0.1) et (1.1) sot équivalets et il y a beaucoup de possibilités pour écrire (0.1) sous la orme (1.1). Par exemple, o peut déiir comme (ici : 4576 est soit u ombre oul, soit ue matrice bie choisie). ou 4896;:

2 A 114 Méthodes Itératives Equatios o Liéaires Pour résoudre (1.1), o se doe ue approximatio iitiale < (arbitraire) et o cosidère la méthode itérative >D (1.2) est cotiue e, la limite Si la suite EF>DG coverge, disos vers, et si la octio est ue solutio de (1.1). Mais que peuto dire sur l erreur? Théorème 1.1 Si est ois cotiṷmet diéretiable et si est ue solutio de (1.1), l erreur 4I>6 satisait # 3 P J?BA2 KML 3 (1.3) Démostratio. Comme ) ;, o obtiet J?BAQ>J?BA6 # peut tirer plusieurs coclusios de la ormule (1.3): ).KIL R # si possède ue valeur propre STA satisaisat UVSTAJUXW, la composate de das la directio du vecteur propre Z[A va être agradie l itératio e coverge pas vers. R \) si toutes les valeurs propres de satisot U]S_^3Ua`b, o peut choisir ue orme das telle que pour la orme matricielle correspodate # `c. Ceci et (1.3) impliquet que, pour suisammet petit, o a edg J?BA où est u ombre etre ) et. L erreur coverge doc vers zéro. Exemple. Ceux parmi vous, qui e sot pas ecore ed up du ombre d or du cours de Géométrie, voudraiet peutêtre coaître la valeur de l expressio mystérieuse Eh bie, l itératio hk hk K hkmi >J?BAC i hkm>9 <ox doe Fqp rps F!tutsvsw F!tuxsw r!y urw r!y zy Fqy \) La covergece évidete de cette suite s explique par la dérivée C z A\?s} ~ s!v. Estimatio de l erreur. (Baach 1922, Thèse, 2, Thm. 6, euvres II, p. 330) L hypothèse cruciale est que soit ue cotractio, i.e., BA >D6M >J BA6M >J E appliquat l iégalité du triagle à l idetité >6 (e cas de covergece), o obtiet >6 Exemples. Pour les deux itératios >J?BA ƒ J?BA KQqv >.6m>J?BA K Td ƒ 6 P > h6.d8 >J BA >J?BA 6 >J? >6m>J BA ƒ J?BA P avec `gr (1.4) (1.5) la orme euclidiee de l erreur de >u ƒ est dessiée das la ig. VI.1 (à gauche pour la première itératio et à droite # pour la deuxième). peut bie observer la covergece liéaire. Le rayo spectral de vaut ˆ ~ )r{s{ et ˆ ~ qpsps{ respectivemet. C est la raiso pour laquelle la première itératio coverge plus rapidemet que la secode. Le dessi à droite motre aussi que la covergece est pas écessairemet mootoe (pour la orme T ). Doc, le coeiciet de (1.4) peut être plus grad que même si l itératio coverge. 6 s > ƒ (1.6)

3 v p t y v p t y Méthodes Itératives Equatios o Liéaires FIG. VI.1: Covergece des itératios (1.6) 10 8 VI.2 Méthode de ewto Cosidéros le problème de la résolutio d u système d équatios o liéaires C (2.1) Š j 7 où la octio est supposée être au mois ue ois diéretiable. Si < est ue approximatio de la solutio cherchée, o liéarise autour de < ~ <J K <J 6 <F et o calcule le zéro de cette liéarisatio. Si l o répète cette procédure avec la ouvelle approximatio, o obtiet l algorithme suivat: or Œ calculer > et '\ >D >DPŽ > 86 >D >J?BAQ>KIŽ > ed or Exemple 2.1 Pour ue retraite dorée choisissos C2i hkm 6 C 65 i hkm (système liéaire à résoudre) Fqssussssussssussssussssussssuu Fqyspsu{stspspswussvspsuw rps{sups rpspu{sps{s{swuxup Fqy rwuststswsu r{sxsuvspswsysxbryspsysuyssyssxutut Fqy rwusvsvsxswuws{s{ssbrpswssvuxsps{sxsbrswstsxu{uv Fqy rwusvsvsxswuws{spsxswuxspswspswusspsysupspsys{svuyb Fqy rwusvsvsxswuws{spsxswuxspswspswusspstswuyswsvspsvuyuy ou, u peu plus proche de ous, l exemple origial de ewto (1671, voir Aal. ist., p. 96) I X6MF 6Mt CvF 6M qsssussssussssussssussssusssds )rssussssussssussssussssusssds qsxspstuysw r ursp rwuts rw zystsyss{u{swss{dst qsxspstut rpsw zysxsw rxuxsvssswuwsvswssvu{ssvstdpsp qsxspstut rpsw ztspssvsuystsx rpuxsyssyspuwsps{ tsp qsxspstut rpsw ztspssvsuystsx rpuwssvswsyutspsstd{sx Pour étudier la covergece de la méthode de ewto, cosidéros u terme de plus das la série de Taylor: # > K ) > 6 >D K ) >D 6 >u 6 >D KML 3 6 > 3 (2.2)

4 116 Méthodes Itératives Equatios o Liéaires Si l o soustrait > K >D >J?BA6m> (déiitio de >J?BA ), o obtiet pour l erreur 4Q>6 si s) ' BA.d >D K >D KIL la ormule J?BA.d š œ š et F ' \.d œ, ce qui explique la covergece aramieuse de cette méthode. P VI.3 Méthode de Gaussewto... hat ma scho Beobachtuge vo 1 oder mehrer Jahre, so halte ich de Gebrauch der DieretialÄderug, wobei ma eie beliebige Zahl vo Beobachtuge zum Grude lege ka, ür das beste Mittel. (Gauss, last setece o the Summarische Übersicht, 1809) Das ce paragraphe, o va s itéresser à des systèmes o liéaires surdétermiés. cosidère ue octio ž Ÿ 0 où W et o cherche ue solutio de. Evidemmet, comme o a plus de coditios que d icoues, ce problème e possède e gééral pas de solutio. se cotete doc de trouver u vecteur 1 tel que F!o (3.1) Si F est diéretiable, la octio $ est \ aussi diéretiable et ue coditio écessaire pour que soit u miimum local est d avoir C;, c.àd. ( C2 (3.2) Ue possibilité pour résoudre (3.1) est d appliquer ue méthode itérative, par exemple la méthode de ewto, au système (3.2). Ceci écessite le calcul de la deuxième dérivée de h. Ue autre possibilité est de liéariser das (3.1) autour d ue approximatio < de la solutio et de calculer A de F K <J A6 (3.3) Ue répétitio de cette idée doe l algorithme suivat (méthode de Gaussewto) or Œ calculer > et >D détermier Ž > de F > K >J?BAQ>KIŽ > ed or _\ > Ž >! (moidres carrés) Pour calculer Ž > o peut soit résoudre les équatios ormales (sectio IV.5) >u >DPŽ > 26 # >D > (3.4) soit calculer la décompositio QR de '( >D et appliquer l algorithme de la sectio IV.6. Exemple (Idetiicatio de paramètres). La ig. VI.2 motre ue photographie de la Vallée Blache (prise il y a quelques aées par le Didaskalos e persoe). y recoaît le Col des Grades Jorasses, l Aiguille du Géat, l Aiguille Blache de Peterey, l Aiguille du Tacul, le Petit Rogo et l Aiguille du Moie. La ig. VI.4 est ue copie d ue carte géographique de cette

5 ² ± A Méthodes Itératives Equatios o Liéaires 117 FIG. VI.2: Photographie de la Vallée Blache TAB. VI.1: Les doées pour le problème Vallée Blache J J J Œ ª«Zu 1. Col des Grades Jorasses 6 qspswu!usxs xuwstst tsysws vswsst 2. Aiguille du Géat 6 q ru!uvsst wbr{s tsss ps rv 3. Aig. Blache de Peterey qspsxu!uswst uwswst {svs p rs{ 4. Aiguille de Tacul 6 q rxu!bsrt wuxss {stsvs vspspsp 5. Petit Rogo qsysu 6!usst tu{ss {ssst vsssw 6. Aiguille du Moie q rut 6!us{s wuxsws ssrs vsp r régio. Le problème cosiste à trouver la positio de la caméra, ses caractéristiques (oyer) et les agles d icliaiso. Pour la ormulatio mathématique de ce problème, ous avos choisi des coordoées ª PZ> sur la photographie (ig. VI.2, l origie est au cetre) et des coordoées AP sur la carte ( représete l altitude). Les valeurs mesurées pour les y poits recous sot doées das le tableau VI.1. ªhAPPª FIG. VI.3: Projectio cetrale

6 ± ½ K µ 6 A 118 Méthodes Itératives Equatios o Liéaires Pour ixer les icoues, otos par la positio du oyer d ue caméra, et par u vecteur la directio de vue et la distace du pla de projectio. Pour ixer le pla, calculos deux vecteurs ± et ² orthogoaux etre eux et orthogoaux à : d abord ± ³M sfr (aisi il est horizotal), puis ² ³ ±, les deux ormalisés à 1 : A K # F6 AFu3 ² ) A K ) A K J A K 3 (3.5) Le vecteur, reliat le oyer au poit de projectio, doit être u multiple de 6 : 2S 6 j (3.6) Le S se détermie par la coditio : 6 µ 6 a 2 Fialemet, les produits scalaires ± doit être orthogoal à : S µ a 6 a (3.7) et ¹ ² (voir Théorème 2 cidessus) sot les coordoées recherchées. Au cas où otre photographe aurait pas teu sa caméra horizotalemet, o pourrait aire suivre ue rotatio ª Z ºr» ¼ P ¼ 6 P o¼ ºF» ¼ (3.8) par u agle ¼. Aisi, ue image e perspective est détermiée par 7 paramètres : 3 pour, 3 pour et 1 pour ¼. Par le pricipium ostrum, ous devos chercher ces icoues pour que J¾BA ªT 6 ªT Zu6 ZuD! ¹ (3.9) doit doc écrire ue sousroutie pour F¼DIªT 6 ªTo CQZu6 Zs et appliquer u algorithme qui calcule les dérivées partielles de par diéreces iies. Aisi, l algorithme de Gaussewto doe, avec des valeurs iitiales assez crudes, après quelques itératios, la solutio,2xsys{sx ƒ grv rvsx ;p rv r

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