MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance

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1 Echailloage M MODULE : Esiaio ar iervalle de cofiace Il s agi das ce odle de rover e esiaio ar iervalle de cofiace d araère θ, c es-à-dire de cosrire e «forchee de valers éries erea de sier» θ avec e robabilié La déarche cored dex éaes : [ θ θ ] θ ava le irage d échaillo de aille, esiaer θˆ a éé choisi e la loi de robabilié de θˆ ere de cosrire iervalle aléaoire oé [ ( θ ˆ),g ( ˆ) ] g θ ssceible de coeir la valer d araère θ avec e robabilié - fixée a riori ; arès irage, la valer ariclière de θˆ calclée à arir des doées de l échaillo ere de déerier les bores g () e g () de l iervalle de cofiace recherché. Les araères icos à esier sero sccessivee la oyee, la variace, la roorio d e olaio. Trois ares cas sero cosidérés : la différece de oyees, le raor de variaces e la différece de roorios relaives à dex olaios. Paraères de la olaio Rael d odle Esiaers das l échaillo La oyee : La oyee das échaillo : La variace : : esiaer x : valer calclée La variace das échaillo : : esiaer s : valer calclée : esiaer sas biais La roorio : La roorio das échaillo : : esiaer f : valer calclée MUié : Pricie de l esiaio ar iervalle de cofiace oi θˆ l esiaer d araère θ ico. θˆ es e variable aléaoire do la loi de robabilié oée ( L (θˆ ) sosée coe déed de θ. Il es ossible de rover dex valers ariclieres ( θ ) e ( θ) elles e : [ ( θ) θˆ ( )] Prob θ EchM.doc

2 Echailloage M il es ossible de réécrire le sysèe d iégaliés e isola θ, o e déerier iervalle do les liies déede de θˆ e el e : [ (ˆ) θ θ g (ˆ)] Prob g θ Ici, l iervalle i ecadre θ es aléaoire e il ossède la roriéé de recovrir la valer θ das des cas. La rise e coe d échaillo ariclier, c es-à-dire d e valer érie ariclière or θˆ, e doc or (ˆ) θ e g (ˆ ), ere d obeir e forchee i g θ a de «grades» chaces de «coeir» la valer icoe θ si - es élevé. [ (ˆ) θ θ g(ˆ) θ] Prob[ c θ c] c, [ ] o (ˆ),g (ˆ) Prob g [ ] c g θ θ es aelé iervalle de cofiace, c, c so les liies de cofiace, : degré de cofiace o degré de ceride. Le ricie de l esiaio ar iervalle de cofiace es de rooser ecadree d araère ico d e olaio do la loi, elle, es coe. - La robabilié se réari selo les cas soi à droie d cerai seil, soi à gache, soi à droie e à gache silaée. O arlera : d iervalle bilaéral syérie si : d iervalle bilaéral si e avec d iervalle ilaéral à gache si d iervalle ilaéral à droie si Cee déarche aelle rois reares : la robabilé es fixée coveioellee a riori. i 95%, cela sigifie e l iervalle e l o es ssceible de cosrire «obera à côé» de θ (à droie o à gache) das 5% des cas. i 99%, ce rise es ois iora, ais l iervalle es ls large ; lorse l esiaer θˆ es sas biais, il es arel de cosrire iervalle ceré sr l esiaio ocelle obee or θ ; EchM.doc

3 Echailloage M la déeriaio de la srface corresoda à la robabilié ( ) fai ierveir les L (θˆ. i cee araères erea de caracériser la disribio de robabilié ( ) disribio es ar exele orale, dex araères ierviee : e. MUié : Esiaio ar iervalle de cofiace de araères d e olaio. Esiaio ar iervalle de cofiace de la oyee d e olaio lorse la variace de la olaio es coe Le roblèe es le siva : il fa ecadrer (oyee de la olaio). C'es-à-dire o recherche e elles e :, R elles e rob[ ] O sose e obéi à e loi orale N(,) O rélève échaillo IID de aille avec co O sai e N, avec la aille de l échaillo (Cf odle ) i o fore la variable aléaoire orale cerée rédie U N(, ) Cas d iervalle bilaéral Reréseos grahiee cee loi : f() - e so des valers les das la able de la loi orale cerée rédie. A gache de os avos e robabilié d où, à gache de robabilié clée de d où Ecrivos ce e rerésee grahiee la robabilié : [ U ] Relaços U ar sa valer :, o a e Noe : o e e idice la valer de la robabilié corresoda à la focio de réariio EchM.doc 3

4 Echailloage M EchM.doc rob Nos obeos doc l ecadree de ; es coris ere e. Cas ariclier : iervalle bilaéral syérie Iervalle bilaéral syérie si : Grahie Coe o e écrire : O ecore : Ce i revie à écrire : ± ± ob Pr o Alicaio : - f()

5 Echailloage M O cherche iervalle de degré de cofiace bilaéral syérie à 95% de la oyee d e olaio. O sai e la variable aléaoire obéi à e loi orale do l écar ye N,. O rélève das cee olaio échaillo de aille. (co) es : ( ) N,,5% (iervalle bilaéral syérie) -,96,96 95%,96,96 ± osos e das l échaillo la oyee soi égale à : x L iervalle de cofiace calclé es doc : (o le oe : IC. 95 ) IC, [± ] [ 9,6;,39] Il y a e robabilié de 95% e [9,6 ;,39] ecadre la vraie valer d araère i deere ico. Déeriaio d e bore sériere O cherche ici el e : U > [ ] [ > ] [ > ] > Coe U N(,) o a [ U > U ] c'es-à-dire : > U [ > U ] [ U ] Por 5% o a U, 5, 6449 Doc das oe exele o a la Bore ériere sivae : B,6449,3898,33 Déeriaio d e bore ifériere Le roblèe es siilaire a récéde, c'es-à-dire e l o cherche el e : EchM.doc 5

6 Echailloage M [ > ] [ ] U [ U ] [ > U ] Alicaio érie : U U, 95, 6449 La bore ifériere es doc : BI,6449 9, 767. Esiaio ar iervalle de cofiace de la oyee d e olaio lorse la variace de la olaio es icoe Le roblèe es ojors le êe : il fa ecadrer. C'es-à-dire o recherche les e elles e : [ ], R elles e rob ( ) N, ar hyohèse ais ici es ico N, avec la aille de l échaillo Lorse es ico, o ilise la loi de de. (Cf odle ) T s ( ) T ( ) avec : : esiaer biaisé de car : esiaer sas biais de. Cas d iervalle bilaéral Reréseos grahiee cee loi : f(t) - T(-) EchM.doc 6

7 Echailloage M e so des valers les das la able de de. O e ici assi e idice le seil de robabilié corresoda à la focio de réariio. Ecrivos ce e rerésee grahiee la robabilié [ T( ) ] Relaços T(-) ar so exressio : : Nos obeos doc l ecadree de Cas ariclier : iervalle bilaéral syérie Grahie f(t) - T(-) ± o ecore : ± Iervalle ilaéral à droie Das ce cas, e EchM.doc 7

8 Echailloage M > Iervalle ilaéral à gache Das ce cas, e > Esiaio ar iervalle de cofiace de la variace d e olaio Par hyohèse, obéi ojors à e loi orale : N(,) Le roblèe es le siva : il fa ecadrer, l écar-ye de la olaio i es ico. O recherche doc dex valers e ecadra [ ], R rob O sai e : ( ) avec la aille de l échaillo. (Cf odle ) Cas d iervalle bilaéral Reréseos grahiee cee loi : f(²) - ²(-) e so dex valers les das la able de la loi d robabilié corresoda à la focio de réariio. O e ici assi e idice la EchM.doc 8

9 Echailloage M Ecrivos ce e rerésee grahiee la robabilié ( ) Relaços ( ) ar so exressio : : > > Nos obeos ici l ecadree de Cas ariclier : iervalle bilaéral syérie f(²) - ²(-) o ecore : ; NB : es ojors osiif, doc e sele écrire des seils. iervalle ilaéral à droie EchM.doc 9

10 Echailloage M > iervalle ilaéral à gache > >.4 Esiaio ar iervalle de cofiace d e roorio d e olaio Le roblèe es le siva : il fa rover ecadree de, c'es-à-dire o recherche dex valers e elles e [ ], rob Or sai (Cf odle ) e N, avec la aille de l échaillo rélevé. Doc si o fore la variable aléaoire orale cerée rédie, o obie : N(,) Cas d iervalle bilaéral Reréseos grahiee cee loi : f() - Ecrivos ce e rerésee grahiee la robabilié [ U ] Relaços U ar sa valer : : EchM.doc

11 Echailloage M Nos obeos doc l ecadree de, coris ere dex valers e. Le roblèe ici es e, la valer e l o ecadre, se rerove das les bores. Il exise rois éhodes or doer e valer ax bores : ) Relacer das les bores e ar ler esiaio : O l aelle la éhode des esiaers : a or esiaer sas biais. E (ˆ) ˆ ˆ Relaços : ( ) Por iervalle bilaéral syérie : ( ) ± ( ) ( ) ( ) O ecore : ± ( ) ) Relacer das les bores ar ¼ : éhode ar excès : oi l esiaio de e -, le axi de 4 4 L iervalle de cofiace bilaéral i éai :, o cosidère doc e 4 EchM.doc

12 Echailloage M Devie alors : Cas d iervalle bilaéral syérie : Coe L iervalle bilaéral syérie devie alors : ± 3) Méhode de l ellise : Elle s alie iee a cas d iervalle bilaéral syérie e e sera as déaillée ici. Elle ilise des abaes (corbes das leselles o li les valers des bores).5 Taille d échaillo e récisio de l esiaio.5. Déeriaio de la aille d échaillo e focio de la récisio sr la oyee Preos le cas de l iervalle bilaéral syérie de la oyee lorse l écar_ye es co. O a Lorse agee, la aille de l iervalle [, ] diie. [, ] e de. Réécrivos l iervalle : déed à la fois de - O e e as iliser la cas de l iervalle bilaéral or la recherche de la aille d échaillo e focio de la récisio. Il fa obligaoiree iervalle bilaéral syérie. EchM.doc

13 Echailloage M O cherche la valer elle e la récisio sr la oyee soi égale à C. Le récisio sr la oyee es l écar i exise ere la oyee d échaillo e la oyee de la olaio. Il exise dex faços de la calcler : Précisio e valer absole [ C] Le roblèe es le siva : [ C] el e O a e ore : D où C C Por déerier, il fa coaîre, C e de de (o red s e ). Précisio e valer relaive Le roblèe es le siva : C. i es as co, o asse à la loi el e [ ] C C De ls o disose de : D où : C C i es ico, o ire échaillo axiliaire e o calcle x e s..5. Déeriaio de la aille d échaillo e focio de la récisio sr e roorio Le ricie es le êe e récédee Précisio e valer absole EchM.doc 3

14 Echailloage M O cherche el e : [ ] C es la aille écessaire or e l errer sr l esiaio soi ifériere à C, avec e robabilié égale à -. De ls l iervalle de cofiace de la roorio es égal à : D où : C C si o ilise la éhode ar excès. 4C Précisio e valer relaive el e C O a doc : [ C] D où : C C C 4 C i o ilise la éhode ar excès. MUié 3 : Esiaio ar iervalle de cofiace de la différece e d raor de dex araères de dex olaios irées d e loi orale : cas de dex olaios, dex échaillos Hyohèse : os avos dex variables aléaoires e obéissa à dex lois orales. O rélève das chace des olaios dex échaillos IID. N(, ) aille de l échaillo rélevé : EchM.doc 4

15 Echailloage M EchM.doc 5 ), N( aille de l échaillo rélevé : 3. Iervalle de cofiace de la différece de dex oyees lorse les variaces des dex olaios so coes O cherche dex valers c e d elles e : [ ] d ob c Pr O a v e : ( ) ; N i cos. (Cf odle ) D où la variable aléaoire orale cerée rédie : N(,) U Coe das le aragrahe récéde, o écri ce e rerésee grahiee la robabilié Plaços-os das le cas d iervalle bilaéral : [ ] U ob Pr Relaços U ar sa valer : ( ) - f()

16 Echailloage M EchM.doc 6 Cas d iervalle bilaéral syérie : Grahie ± avec ± ± e 3. Iervalle de cofiace de la différece de dex oyees lorse les variaces des dex olaios so icoes O cherche ojors c e d elles e [ ] d c N(,) avec e icos ici. O ilise doc la loi de de Par hyohèse : O a v e (Cf Modle ) ( ) T - f()

17 Echailloage M EchM.doc 7 Ecrivos ce e rerésee grahiee la robabilié e laços-os das le cas d iervalle bilaéral : [ ] ) T( ( ) ob Pr ( ) ob Pr Cas d iervalle bilaéral syérie : - f(t) T(-)

18 Echailloage M EchM.doc 8 ± ob Pr avec e 3.3 Iervalle de cofiace d raor des variaces de dex olaios orales O cherche b e c elles e : c b ob Pr o c b ob Pr Raels : ( ), N aille de l échaillo ( ) (Cf Modle ) ( ), N aille de l échaillo ( ) (Cf Modle ) ( ) ( ) ( ), Idéedas (Cf Modle ) ( ) ( ) ( ) ; Coe ( ) ; - f(t) T(-)

19 Echailloage M f() - (, ) (, ) Plaços os das le cas d iervalle bilaéral grahiee la robabilié : [ ( ; ) ] e écrivos ce e rerésee si o ecadre o si o ecadre (, ) (, ) Rael : (, ) Are éhode : o fore (, ) (, ). e o ecadre direcee Cas d iervalle bilaéral syérie : f() - (, ) (, ) EchM.doc 9

20 Echailloage M o (, ) (, ) 3.4 Esiaio ar iervalle de cofiace de la différece de dex roorios O cherche à déerier dex valers c e d elles e : [ c d] Nos avos dex olaios das leselles o e défiir dex odaliés A e A aya or robabiliés resecives e das la olaio ( e das la olaio ) Modalié A Polaio Polaio Modalié A e icos. O ire échaillo das chace des olaios : o défii alors dex variables aléaoires e. ˆ ˆ Y Y Raels d odle : (, ) N(, ) Y B (, ) N(, ) Y B N ; N, N, Ecrivos ce e rerésee la robabilié e laços os das le cadre d iervalle bilaéral : [ U ] U N(, ) ( ) ( ) EchM.doc

21 Echailloage M EchM.doc ( ) Il es ossible d iliser les éhodes ves das le aragrahe.4. ) Relacer das les bores e ar ler esiaio : ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ( ) Relacer das les bores ar ¼ : éhode ar excès : ob Pr Por iervalle bilaéral syérie : ± ob Pr : reière éhode ± ob Pr : dexièe éhode

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