Professeur des écoles

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1 ENSEIGNEMENT CONCOURS 2015 Concours ANNALES 2014 Professeur des écoles Annales corrigées Français Mathématiques Méthode Conseils Sujets corrigés Épreuves d admissibilité 12 sujets de français Question sur un ou plusieurs textes Connaissance de la langue Analyse d un dossier 16 sujets de mathématiques Problème Exercices indépendants Analyse d un dossier

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3 ENSEIGNEMENT Concours Professeur des écoles Annales corrigées Français Mathématiques Ouvrage coordonné par Marc Loison Maître de conférences en histoire, didactique de l histoire et histoire de l éducation, membre du CREHS (EA 4027) de l université d Artois Danièle Adad Professeur des écoles, maître formateur Catherine Dolignier Professeur agrégée de lettres Éric Greff Professeur agrégé de mathématiques André Mul Professeur honoraire de mathématiques Armelle Vautrot Professeur certifiée de lettres

4 ISBN : Conception de la couverture : Les PAOistes Conception de l intérieur : Bleu T Composition : Dominique Papon La loi du 11 mars 1957 n autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l article 41, d une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d exemple et d illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» (alinéa 1er de l article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Le «photocopillage», c est l usage abusif et collectif de la photocopie sans autorisation des auteurs et des éditeurs. Largement répandu dans les établissements d enseignement, le «photocopillage» menace l avenir du livre, car il met en danger son équilibre économique. Il prive les auteurs d une juste rémunération. En dehors de l usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l accord de l éditeur. S adresser au Centre français d exploitation du droit de copie : 20, rue des Grands-Augustins, F Paris. Tél. : Vuibert août , allée de la 2 e DB Paris Site Internet :

5 Sommaire Votre concours, votre métier 5 Partie 1 Français Se préparer à l épreuve de français 13 Question sur un ou plusieurs textes 14 Connaissance de la langue et analyse d erreurs types 29 Analyse d un dossier 38 Sujets d annales corrigés 51 Sujet groupement 1 : Cycle 3 Lecture au CM2 52 Sujet groupement 2 : Cycle 1 Écriture inventée en grande section 63 Sujet groupement 3 : Cycle 2 Orthographe au CE1 73 Sujets inédits corrigés 85 Cycle 1 86 Sujet 1 : Lire un album 86 Sujet 2 : Produire un écrit en maternelle 97 Sujet 3 : Le jeu de rôle dans le langage en maternelle 110 Cycle Sujet 4 : S inventer des histoires tout seuls 119 Sujet 5 : Entrer dans la lecture littéraire 130 Sujet 6 : Jouer avec les sons, de la phonologie à la poésie 141 Cycle Sujet 7 : Les conceptions de la grammaire 155 Sujet 8 : Numérique, lecture et construction des savoirs 169 Sujet 9 : Les processus d écriture 185 3

6 Partie 2 Mathématiques Se préparer à l épreuve de mathématiques 199 Méthodologie et conseils 200 Analyse didactique 202 Sujets d annales corrigés 217 Sujet groupement 1 : Cycle 1 Jeu de bataille. Cycle 3 Nombres décimaux 218 Sujet groupement 2 : Cycle 3 La proportionnalité 230 Sujet groupement 3 : Cycles 2 et 3 Maîtrise de la multiplication (sens et technique opératoire) 241 Sujets inédits corrigés 251 Cycles 1 et Sujet 1 : Situations additives 252 Cycle Sujet 2 : Perpendicularité 266 Sujet 3 : Comptage et surcomptage de petites collections 283 Sujet 4 : Technique de la multiplication 291 Sujet 5 : Mesure du temps 304 Cycle Sujet 6 : Résolution de problèmes 318 Sujet 7 : Division euclidienne 330 Sujet 8 : Aire et diviseur 338 Sujet 9 : Aires 346 Sujet 10 : Calcul mental 356 Sujet 11 : Constructions géométriques 364 Sujet 12 : Décimaux et fractions décimales 377 Sujet 13 : Cercle 387 4

7 Votre concours, votre métier Vous avez choisi de devenir professeur des écoles Vous vous interrogez sans doute sur les études à suivre, les modalités de recrutement, le contenu et le calendrier des épreuves et peut-être les perspectives de carrière Autant de questions auxquelles le présent ouvrage va tenter de rapidement répondre en préambule, avant d aborder la préparation méthodologique des épreuves écrites de français et de mathématiques du concours de recrutement des professeurs des écoles (CRPE) 1. Quelques éléments sur le CRPE A. Conditions de diplômes requises Pour accéder au métier de professeur des écoles, il faut avoir obtenu un master et satisfaire aux épreuves du concours de recrutement des professeurs des écoles (CRPE) Le CRPE, dont les épreuves comportent désormais une dimension professionnelle importante, s adresse principalement aux étudiants qui préparent un master «métiers de l enseignement, de l éducation et de la formation» (MEEF) au sein d une école supérieure du professorat et de l éducation (ÉSPÉ) Il se déroule en totalité (admissibilité et admission) à la fin de la première année de master Le CRPE est également ouvert aux étudiants inscrits en master 2 et aux personnes titulaires d un diplôme de master ou d un grade équivalent Par grade équivalent il faut entendre : un titre ou diplôme sanctionnant un cycle d études postsecondaires d au moins cinq années, acquis en France ou dans un autre État, et attesté par l autorité compétente de l État considéré ; ou un diplôme conférant le grade de master, conformément aux dispositions de l article 2 du décret du 30 août 1999, par exemple, DESS, DEA, diplôme d ingénieur ; ou un titre ou diplôme classé au niveau 1 du Répertoire national des certifications professionnelles (RNCP) 5

8 Vous êtes dispensé de diplôme, si vous êtes mère ou père d au moins trois enfants ou sportif de haut niveau. Les étudiants admis au CRPE seront, au cours de leur seconde année de master, rémunérés à plein temps en tant que fonctionnaires stagiaires et effectueront un service d enseignement à mi-temps. B. Qualifications requises En France, les personnels d enseignement et d éducation font partie de la fonction publique d État. Ils sont recrutés sur concours du ministère de l Éducation nationale. Pour postuler au CRPE, vous devez vous inscrire lors de la campagne menée par le ministère de l Éducation nationale, sous réserve, rappelons-le, d être inscrit en master 1 ou d être titulaire d un master complet. Par ailleurs, pour être candidat au CRPE vous devrez obligatoirement justifier : d une attestation certifiant que vous avez réalisé un parcours d au moins 50 mètres dans une piscine placée sous la responsabilité d un service public, établie soit par un service universitaire (STAPS, SCAPS), soit par une autorité d un service public territorial des activités physiques et sportives (piscine municipale), soit par une autre autorité publique habilitée à assurer une formation dans le domaine de la natation ; d une attestation certifiant votre qualification en secourisme reconnue de niveau au moins égal à celui de l unité d enseignement «prévention et secours civiques de niveau I» (PSC1) par le ministère de l Intérieur (sécurité civile). Les candidats détenteurs de l ancienne formation aux premiers secours (AFPS) n ont pas à justifier du PSC1. Les dispenses de diplôme consenties aux mères et aux pères d au moins trois enfants et aux sportifs de haut niveau ne s étendent pas aux qualifications en natation et en secourisme exigées. C. Contenu des épreuves L arrêté du 19 avril 2013 paru au Journal officiel du 27 avril 2013 fixe les modalités d organisation du concours externe, du concours externe spécial, du second concours interne, du second concours interne spécial et du troisième concours de recrutement de professeurs des écoles. Deux grandes séries d épreuves sont définies par référence aux programmes de l école primaire (Bulletin officiel, n 3, 19 juin 2008 complété depuis par celui du 5 janvier 2012) mais aussi par référence aux compétences professionnelles des maîtres (annexe de l arrêté du 1 er juillet 2013 paru au JO du 18 juillet 2013). 6

9 Votre concours, votre métier Les épreuves du CRPE Deux épreuves écrites d admissibilité Cadre de référence : Programmes de l école primaire Niveau attendu : Maîtrise des programmes du collège Connaissance approfondie des cycles d enseignement de l école primaire et des éléments du socle commun de connaissances et de compétences Épreuve écrite de français sur 40 points 1. Question sur un ou plusieurs textes littéraires ou documentaires 11 points Durée : 4 heures 2. Connaissance de la langue : grammaire, orthographe, lexique et système phonologique. Questions portant sur des connaissances ponctuelles. Analyse d erreurs types dans des productions d élèves 3. Analyse d un dossier composé d un ou plusieurs supports d enseignement du français (manuels, documents pédagogiques) et de productions d élèves 11 points 13 points Épreuve écrite de mathématiques sur 40 points 1. Problème portant sur un ou plusieurs domaines des programmes de l école ou du collège ou sur des éléments du socle commun de 13 points connaissances. 2. Exercices indépendants complémentaires à la première partie : QCM, réponses construites, analyse d erreurs types dans des 13 points productions d élèves 3. Analyse d un dossier composé d un ou plusieurs supports d enseignement (manuels, documents pédagogiques) et de 14 points productions d élèves Note globale 10 éliminatoire Correction syntaxique et qualité écrite de la production du candidat notées sur 5 points Durée : 4 heures Note globale 10 éliminatoire 5 points au maximum pour la correction syntaxique et la qualité écrite peuvent être retirés. Les exemples de sujets mis en ligne début juillet 2013 sur le site du MEN et ceux de la session CRPE 2014 n abordent que l analyse. En conséquence, les auteurs de cet ouvrage auraient très bien pu se limiter à ce type de réponse dans les sujets inédits proposés en plus des annales corrigées de la session CRPE Mais, en l absence d un recul suffisant et en raison du fait que la réponse à une question portant sur des textes littéraires ou documentaires peut être en plus de l analyse, soit le commentaire, soit la synthèse, ces deux derniers types de réponse sont également abordés dans certains sujets d entraînement. Deux épreuves orales d admission Entretien avec un jury afin d évaluer la capacité du candidat à s exprimer avec clarté et précision et à réfléchir aux enjeux scientifiques, didactiques, épistémologiques, culturels et sociaux que revêt l enseignement des champs disciplinaires du concours Épreuve de mise en situation professionnelle dans un domaine au choix du candidat Domaines d enseignement : sciences et technologie, histoire, géographie, histoire des arts, arts visuels, éducation musicale, enseignement moral et civique (domaine à choisir au moment de l inscription) Barème : 60 points Durée : 1 heure 7

10 1. Remise préalable au jury d un dossier de dix pages au plus portant sur le sujet choisi (format papier accompagné le cas échéant d un CD) 2. Présentation du dossier par le candidat : Synthèse des fondements scientifiques relatifs au sujet retenu Description d une séquence pédagogique relative au sujet et accompagnée de documents 3. Entretien avec le jury : aspects scientifiques, pédagogiques et didactiques du dossier ; approfondissement dans le domaine considéré notamment sur les différentes théories du développement de l enfant 20 points pour la présentation du dossier par le candidat 40 points pour l entretien avec le jury Durée de la présentation : 20 minutes Durée de l entretien : 40 minutes Entretien à partir d un dossier Objectifs de cet entretien : Évaluer les compétences du candidat pour l enseignement de l éducation physique et sportive ainsi que sa connaissance de la place de cet enseignement dans l éducation à la santé à l école primaire. Apprécier les connaissances du candidat sur le système éducatif français et plus particulièrement l école primaire (organisation, valeurs, objectifs, histoire et enjeux contemporains). Apprécier la capacité du candidat à se situer comme futur agent du service public et comme futur professeur des écoles dans la communauté éducative. Barème : 100 points Durée : 1 h 15 Préparation : 3 heures 1. Éducation physique et sportive Sujet proposé par le jury et relatif à une activité physique, sportive et artistique praticable à l école élémentaire ou au domaine des activités physiques et expériences corporelles à l école maternelle 2. Exposé à partir d un dossier de 5 pages maximum fourni par le jury et portant sur une situation professionnelle inscrite dans le fonctionnement de l école primaire. L exposé vise à attester de la part du candidat de compétences professionnelles en cours d acquisition. Entretien portant sur les acquis et besoins des élèves, sur la diversité des conditions d exercice du métier et sur les valeurs de la République 40 points 60 points Exposé : 20 points Entretien : 40 points Exposé : 10 minutes Entretien : 20 minutes Exposé : 15 minutes Entretien : 30 minutes À la lecture de ces quelques éléments du texte officiel de cadrage du nouveau concours on aura aisément constaté qu il est fait explicitement référence aux programmes de l école primaire. En conséquence, nous invitons les candidats au CRPE à consulter attentivement le Bulletin officiel, n 3, du 19 juin 2008 ainsi que celui du 5 janvier Le métier de professeur des écoles A. Compétences exigées L arrêté du 1 er juillet 2013 a clairement défini les compétences que le professeur des écoles doit maîtriser. Elles sont au nombre de quatorze : 1. Faire partager les valeurs de la République. 2. Inscrire son action dans le cadre des principes fondamentaux du système éducatif et dans le cadre réglementaire de l école. 3. Connaître les élèves et les processus d apprentissage. 8

11 Votre concours, votre métier 4. Prendre en compte la diversité des élèves. 5. Accompagner les élèves dans leur parcours de formation. 6. Agir en éducateur responsable et selon des principes éthiques. 7. Maîtriser la langue française à des fins de communication. 8. Utiliser une langue vivante étrangère dans les situations exigées par son métier. 9. Intégrer les éléments de la culture numérique nécessaires à l exercice de son métier. 10. Coopérer au sein d une équipe. 11. Contribuer à l action de la communauté éducative. 12. Coopérer avec les parents d élèves. 13. Coopérer avec les partenaires de l école. 14. S engager dans une démarche individuelle et collective de développement professionnel. On se reportera utilement à cet arrêté (Bulletin officiel n 30 du 25 juillet 2013) qui, outre ces compétences communes à tous les professeurs et personnels d éducation, fournit des compétences spécifiques et leurs déclinaisons que nous ne pouvons malheureusement pas reproduire ici. B. Des outils Vuibert au service de la formation professionnelle Afin d aider dans leurs pratiques quotidiennes de classe les professeurs des écoles stagiaires ou débutants, les éditions Vuibert mettent à leur disposition, dans la collection Métier enseignant, une série d outils didactiques et pédagogiques. Ces derniers intitulés Je prépare ma classe de couvrent la totalité des cours de l école primaire et apportent des réponses concrètes en termes de programmations, séquences ou séances d apprentissage. Dans chaque champ disciplinaire ou domaine d activités sont proposés quelques exemples de fiches de préparation détaillées. Celles-ci articulent objectifs notionnels et compétences visées, conditions préalables et organisation matérielle de la classe, description du déroulement de l activité étape par étape, résultats attendus, évaluation et conseils, prolongement ou ouverture transdisciplinaire. C. Spécialisations et perspectives de carrière Par mutation Les mutations sont annuelles dans le cadre du mouvement national des personnels. Par détachement Vous pouvez être détaché dans un autre ministère, dans une collectivité territoriale, dans un organisme de recherche Par changement de fonction Un professeur des écoles peut devenir maître de l enseignement spécialisé, psychologue scolaire, maître formateur, directeur d école. 9

12 Par changement de corps Vous pouvez passer les concours pour accéder à la fonction d inspecteur de l Éducation nationale, de professeur du second degré (concours interne pour les professeurs des écoles titulaires), d enseignant-chercheur (possibilité de mettre à profit le master «métiers de l enseignement, de l éducation et de la formation» pour accéder aux études conduisant au doctorat). Voici donc à grands traits la carrière que vous embrasserez si vous franchissez avec succès les différentes étapes du concours de recrutement de professeurs des écoles. Pour vous y aider, les éditions Vuibert mettent à votre disposition une nouvelle série d outils méthodologiques en parfaite conformité avec les épreuves d admissibilité et d admission au CRPE. Le présent manuel vous permettra par le biais de points méthodologiques, de conseils, de retours sur des points théoriques et surtout de nombreux sujets d entraînement, de vous préparer efficacement aux épreuves écrites de français et de mathématiques. C est le souhait que les auteurs de cet ouvrage et moi-même formulons. Marc Loison Maître de conférences, CREHS (EA 4027) université d Artois Coordinateur de l ouvrage 10

13 PARTIE 1 Français Ü Se préparer à l épreuve de français 13 Ü Sujets d annales corrigés 51 Ü Sujets inédits corrigés 85 DURÉE 4 heures

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15 Se préparer à l épreuve de français Ü Question sur un ou plusieurs textes 14 Ü Connaissance de la langue et analyse d erreurs types 29 Ü Analyse d un dossier 38

16 Question sur un ou plusieurs textes 1 Que disent les textes officiels? 1. Quels termes et quelle formulation sont utilisés? L épreuve de français comporte trois parties, la première étant : «la production d une réponse, construite et rédigée, à une question portant sur un ou plusieurs textes littéraires ou documentaires.» Il s agit, dans cette première partie de l épreuve, de réaliser un travail entièrement rédigé et organisé. Ce travail répondra à une consigne, appelée «question» dans le texte ministériel mais il ne faut pas s y tromper : il s agit davantage d une consigne injonctive s appuyant sur la formulation d une problématique. La consigne précise aussi qu il peut y avoir un ou plusieurs supports. Certes, on voit bien ce que peut être un texte littéraire, mais cela suppose que les candidats parviennent à réactiver des connaissances remontant pour certains au lycée, et ce sur différents genres littéraires car tous peuvent être convoqués (poésie, récit, théâtre, récit autobiographique ). En revanche, les textes documentaires restent plus difficiles à cerner car on attendrait un texte à fonctionnement informatif (comme on l enseigne d ailleurs aux élèves de primaire), mais on peut également rencontrer des textes informatifs, théoriques, argumentatifs. Les candidats doivent donc aussi se familiariser avec ces différents codes. Cette partie de l épreuve est notée sur 11 points (sur 40 au total pour l épreuve de français), soit autant que l étude de la langue mais moins que la partie didactique (13 points). 2. Quelles compétences sont évaluées? Cette partie évalue différentes compétences : la connaissance et la maîtrise de la langue française (qui peut être sanctionnée à hauteur de 5 points sur l ensemble de la copie) ; la capacité à rédiger un devoir construit et cohérent, de plusieurs pages ; 14

17 Question sur un ou plusieurs textes la capacité à lire des textes de types et de difficultés variés, afin d en extraire les idées principales et les faire dialoguer dans un développement construit ; la capacité à répondre précisément à la question posée en sollicitant la méthode adéquate ; la capacité à lire et comprendre des textes en rapport avec l enfant, l apprentissage, la lecture, l écriture, la vie à l école autant de thématiques précieuses à connaître pour un futur enseignant du 1 er degré. FRANÇAIS Se préparer à l épreuve de français 15

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19 PARTIE 2 Mathématiques Ü Se préparer à l épreuve de mathématiques 199 Ü Sujets d annales corrigés 217 Ü Sujets inédits corrigés 251 DURÉE 4 heures

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21 Sujets d annales corrigés Ü Sujet groupement 1 : Cycle 1 Jeu de bataille Cycle 3 Nombres décimaux 218 Ü Sujet groupement 2 : Cycle 3 La proportionnalité 230 Ü Sujet groupement 3 : Cycles 2 et 3 Maîtrise de la multiplication (sens et technique opératoire) 241

22 Sujets corrigés Sujet 1 : Cycle 1 Jeu de bataille Cycle 3 Nombres décimaux Difficulté Durée 4 heures Groupement 1, session 2014 Première partie : problème Dans ce problème, on s intéresse à différentes méthodes de calcul ou d estimation de l aire de certains quadrilatères. A. Chez les Mayas Les civilisations anciennes utilisaient divers procédés pour estimer les aires des champs. Les Mayas, par exemple, estimaient l aire d un quadrilatère en calculant le demi-produit des longueurs des diagonales. Aire D d 2. d D Justifier que cette estimation Maya donne la valeur exacte de l aire d un carré de côté a. On considère un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 3 cm. La formule Maya donne-t-elle la valeur exacte de l aire de ce rectangle? B. Chez les Indiens On dit qu un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si ses quatre sommets sont des points de ce cercle. C est le cas du quadrilatère ci-contre. Brahmagupta, mathématicien indien du VII e siècle, a établi une formule donnant l aire d un tel quadrilatère lorsqu il est non croisé : S = (p a)(p b)(p c)(p d) où a, b, c et d sont les longueurs des côtés du quadrilatère et p est son demi-périmètre. Étude d une configuration particulière a. Construire un cercle Γ et deux points A et C diamétralement opposés sur ce cercle. Placer un point B sur le cercle Γ distinct des points A et C. Construire le point D, symétrique du point B par rapport à la droite (AC). Laisser apparents les traits de construction. 218

23 Sujets corrigés b. Justifier que le quadrilatère ABCD est inscriptible dans le cercle Γ. c. Exprimer l aire du quadrilatère ABCD en fonction des longueurs AB et BC en utilisant la formule de Brahmagupta. On admettra que le quadrilatère ABCD est non croisé. d. Retrouver l expression précédente de l aire du quadrilatère ABCD par une autre méthode. Étude d une autre configuration particulière : le rectangle a. Justifier qu un rectangle est inscriptible dans un cercle. b. À l aide de la formule de Brahmagupta, retrouver l expression usuelle de l aire d un rectangle de longueur L et de largeur l. C. À l ère du tableur On s intéresse à l aire des rectangles dont le périmètre est 14 cm. On note x la mesure en cm d un des côtés d un tel rectangle. La fonction A qui à x associe l aire A(x) en cm 2 du rectangle est représentée ci-dessous MATHÉMATIQUES Sujets d annales corrigés Pourquoi se limite-t-on à des valeurs de x comprises entre 0 et 7? Étude graphique Répondre aux questions suivantes, par lecture de la représentation graphique de la fonction A. a. Quelles sont les dimensions d un rectangle de périmètre 14 cm et d aire 10 cm 2? b. Encadrer par deux nombres entiers consécutifs la valeur de x pour laquelle l aire du rectangle semble maximale. c. Encadrer par deux nombres entiers consécutifs la valeur de l aire maximale du rectangle. 219

24 Sujet 1 Poursuite de l étude à l aide d un tableur a. Proposer une formule qui, entrée dans la cellule B2 et recopiée vers la droite, a permis d obtenir les valeurs de A(x) sur la ligne 2. b. À partir du tableau ci-dessus, améliorer l encadrement de la valeur de x obtenu par lecture graphique à la question 2. b. Donner alors une estimation de la valeur de l aire maximale. Détermination des valeurs exactes a. Justifier que pour tout x de l intervalle [0 ; 7], on a A(x) = 49 2 ( x 7 2 ) 2. b. Pour quelle valeur de x l aire A(x) est-elle maximale? Justifier. Quelle est la valeur maximale de A(x)? c. Que peut-on dire du rectangle de périmètre 14 cm et d aire maximale? Deuxième partie Cette partie est composée de quatre exercices indépendants. Exercice 1 Le cross du collège a eu lieu. 200 élèves de troisième ont franchi la ligne d arrivée. Voici les indicateurs des performances réalisées en minutes. Minimum Premier quartile Médiane Troisième quartile Moyenne Étendue 12,5 14,8 15,7 16,3 15,4 4,2 Répondre aux questions suivantes en justifiant. Quelle est la performance en minutes du dernier arrivé? Quelle est la somme des 200 performances en minutes? Ariane est arrivée treizième. Donner l encadrement le plus précis possible de sa performance en minutes. L affirmation suivante est-elle vraie? Affirmation : Plus de 50 % des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen. 220

25 Sujets corrigés Exercice 2 Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n enlève pas de point. Affirmation 1 : La somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5. Affirmation 2 : La somme des angles d un pentagone convexe est égale à 540. On dispose du plan d une maison à l échelle 1/50. Affirmation 3 : Les aires sur le plan sont 50 fois plus petites que les aires réelles. Shéhérazade commence à lire un conte un lundi soir. Elle lit nuits consécutives. Affirmation 4 : Elle terminera un dimanche soir. Exercice 3 Pour s entraîner, un cycliste effectue un parcours aller-retour entre deux villes A et B distantes de 45 km. Il part de la ville A à 9 h 30 et on considère qu à l aller, il roule à une vitesse constante de 30 km/h. Après un repos d une heure, il repart de la ville B et cette fois-ci rejoint la ville A à la vitesse constante de 50 km/h. À quelle heure arrive-t-il à la ville B? Représenter graphiquement la distance entre le cycliste et la ville A sur l intégralité du parcours. On placera en abscisse l heure de la journée et en ordonnée la distance entre le cycliste et la ville A exprimée en km. À quelle heure est-il de retour à la ville A? Donner le résultat en heures et minutes. Exercice 4 On considère un dé à quatre faces en forme de tétraèdre régulier. Ses quatre faces sont numérotées de 1 à 4. Le résultat d un lancer est le nombre indiqué sur la face sur laquelle repose le dé. Le dé est supposé équilibré. On a lancé le dé six fois et obtenu la série de résultats : 1 ; 2 ; 4 ; 1 ; 1 ; 2. Au 7 e lancer, la probabilité d obtenir le nombre 1 et celle d obtenir le nombre 3 sont-elles différentes? MATHÉMATIQUES Sujets d annales corrigés On lance le dé deux fois de suite. a. Quelle est la probabilité d obtenir une seule fois le nombre 1 lors de ces deux lancers? b. Quelle est la probabilité que le nombre obtenu au deuxième lancer soit strictement supérieur au nombre obtenu au premier lancer? 221

26 Sujet 1 Troisième partie Cette partie est composée de deux exercices indépendants. Exercice 1 Un enseignant propose un jeu de bataille à ses élèves de maternelle. Il utilise un jeu de cartes représentant les nombres de 1 à 6. Voici douze cartes extraites du jeu : par exemple, la première carte (en haut à gauche) représente le nombre 3 et la dernière carte (en bas à droite) représente le nombre 5. Voici la règle du jeu : Vers les maths, Maternelle moyenne section, p. 130 et 131, édition ACCES, Deux élèves s opposent. Les cartes sont battues puis distribuées, puis chacun des deux élèves pose ses cartes, à l envers, en tas devant lui. Ils retournent chacun une carte : celui dont la carte représente le nombre le plus grand remporte les deux cartes et les met sous son tas. En cas d égalité, chaque élève retourne une nouvelle carte sur la table. Celui dont la nouvelle carte représente le nombre le plus grand remporte toutes les cartes retournées sur la table. À la fin, celui qui n a plus de carte a perdu. (On peut aussi arrêter le jeu au bout d un certain temps et compter les cartes de chacun des deux élèves : celui qui a le plus de cartes a gagné). Citer deux compétences mathématiques travaillées par les élèves lors de ce jeu de bataille. Pour chaque compétence citée en réponse à la question 1, donner deux causes possibles d erreurs. L enseignant peut utiliser un autre jeu de cartes représenté ci-dessous : 222

27 Sujets corrigés Comparer les intérêts respectifs de chacun des jeux au regard des deux compétences citées en réponse à la question 1. A. En classe de CM1, un enseignant propose en application de la leçon sur les nombres décimaux les deux exercices suivants : Exercice 1 Calcule les sommes suivantes : 0,3 + 0,8 1,3 + 0,12 Cadre n 1 Exercice 2 Range dans l ordre croissant les nombres décimaux suivants : 5,100 5,6 5,03 Cadre n 2 Voici les réponses d un élève à l exercice 1 : 0,3 + 0,8 = 0,11 1,3 + 0,12 = 1,15 Cadre n 3 À partir de ces réponses, indiquer ce que cet élève semble maîtriser et ce qu il lui reste à travailler. Voici la réponse d un élève à l exercice 2 : 5,03 < 5,6 < 5,100 Cadre n 4 MATHÉMATIQUES Sujets d annales corrigés a. Quelle représentation erronée des nombres décimaux pourrait être à l origine de l erreur de cet élève? Justifier. b. Quelle désignation orale des nombres 5,03 ; 5,6 et 5,100 l enseignant pourrait-il utiliser pour aider les élèves à se construire une bonne représentation des nombres décimaux? 223

28 Sujet 1 B. En classe de CM2, un autre enseignant propose l exercice de réinvestissement suivant : Cadre n 5 Extrait du manuel Pour comprendre les mathématiques CM2, Hachette, Quelle définition d un nombre décimal peut-on donner à l école élémentaire? Un élève affirme que la somme de deux nombres décimaux ne pourra jamais être un nombre entier. Comment l enseignant peut-il utiliser le support de l exercice du cadre n 5 pour lui apporter une réponse justifiée? Un autre élève se demande si la somme de deux nombres décimaux est toujours un nombre décimal. Quelle réponse argumentée l enseignant peut-il lui apporter? Pour prolonger l activité, l enseignant demande aux élèves de placer le nombre 1,07 sur la droite graduée de l exercice ci-dessus. Citer deux intérêts qu il pourrait y avoir à prolonger ainsi l activité. 224

29 Sujets corrigés Proposition de corrigé Première partie : problème A. Chez les Mayas Dans un carré de côté a, les diagonales d et D sont de même longueur et valent chacune a 2 B. Chez les Indiens Étude d une configuration particulière a. Figure : A O B On a donc : d = D = a 2 a 2 D C a b. Le quadrilatère est inscriptible dans le cercle. En effet : L estimation maya indique que l aire vaudrait : Aire = D d a 2 a 2 = 2 2 Aire = 2a2 2 = a2 ce qui correspond effectivement à l aire du carré de côté a. Dans un rectangle de longueur 4 et de largeur 3, la diagonale vaut 5 (triangle de Pythagore). 4 5 A et C sont diamétralement opposés. C est donc qu ils appartiennent tous deux au cercle et déterminent un de ses diamètres. B est sur le cercle. D est symétrique de B par rapport au diamètre [AC] qui est un axe de symétrie du cercle. Donc D est également sur le cercle. Les quatre sommets du quadrilatère ABCD appartiennent au cercle Γ donc le quadrilatère est inscriptible dans le cercle Γ. c. En utilisant la formule de Brahmapuga, S = (p a)(p b)(p c)(p d) Dans la figure dessinée, pour des raisons de symétrie de construction : AB = AD = a et CB = CD = b MATHÉMATIQUES Sujets d annales corrigés 3 La formule devient donc : S = (p a) 2 (p b) 2 = (p AB) 2 (p BC) 2 La figure étant symétrique, le demi-périmètre du quadrilatère, p, vaut AB + BC L estimation maya indique que l aire vaudrait : Aire = D d 2 = = 25 2 = 12,5 Or, l aire du rectangle est de 3 4 = 12. L estimation maya ne donne donc pas l aire exacte du rectangle. D où S = (AB + BC AB) 2 (AB + BC BC) 2 S = (BC) 2 (AB) 2 = AB BC d. Par construction, ABC est rectangle en B puisque que [AC] est un diamètre et B un point du cercle. L aire de ABC vaut donc : Aire (ABC) = 1 AB BC 2 225

30 ENSEIGNEMENT CONCOURS 2015 Concours Professeur des écoles Annales corrigées Français Mathématiques Mettez toutes les chances de votre côté! Un ouvrage complet : une méthode pas à pas les 3 sujets d annales de français les 3 sujets d annales de mathématiques 9 sujets inédits de français 13 sujets inédits de mathématiques des corrigés détaillés Des auteurs spécialistes du concours, enseignants et formateurs au plus près des réalités des épreuves Une collection pour répondre à tous vos besoins Le Tout-en-un pour une préparation complète Les Entraînements pour se mettre en condition Les Fiches pour aller à l essentiel Un site dédié aux concours : toutes les infos utiles et de nombreux entraînements gratuits ISSN : ISBN :