Intervalles de fluctuation et de confiance

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1 Chapitre 9 Itervalles de fluctuatio et de cofiace Sommaire 9.1 Itervalle de fluctuatio Quelques rappels Itervalle de fluctuatio et loi ormale Utilisatio de l itervalle de fluctuatio Itervalle de cofiace Exercices Itervalle de fluctuatio Quelques rappels Secode L itervalle de fluctuatio d ue fréquece au seuil de 95 % a été défii e Secode de la faço suivate : Défiitio. L itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %, relatif aux échatillos de taille, est l itervalle cetré autour de p, proportio du caractère das la populatio, où se situe, avec ue probabilité égale à 0,95, la fréquece observée das u échatillo de taille. Et la propriété suivate a alors été éocée : Propriété. Das le cas où 25 et 0,2 p 0,8, l itervalle I suivat cotiet l itervalle de fluctuatio, c est-à-dire que la probabilité qu il cotiee la fréquece observée est au mois égale à 95 % : I = p 1 ; p+ 1 ] Première E Première, ous avos vu que la loi biomiale ous permettait de calculer très exactemet les probabilités des différetes fréqueces observables das u échatillo de taille, à savoir les valeurs k, avec 0 k, même pour < 25 et p ]0,2; 0,8. La règle éocée alors est la suivate : 157

2 9.1 Itervalle de fluctuatio Termiale ES Propriété 9.1. L itervalle de fluctuatio au seuil ] de 95 % associé à ue variable aléatoire X suivat la loi biomiale B( ; p), est l itervalle a ; b, où a et b sot les deux etiers aturels défiis par : a est le plus petit des etiers k vérifiat p(x k)>0,025 ; b est le plus petit des etiers k vérifiat p(x k) 0,975. Remarques. Lorsque 25 et 0,2 p 0,8, il est proche de l itervalle vu e Secode. Lorsque est assez grad, il est quasimet cetré sur p. Cet itervalle s obtiet grâce aux possibilités des calculatrices (ou des logiciels) par la lecture des probabilités cumulées croissates Itervalle de fluctuatio et loi ormale La détermiatio de l itervalle de fluctuatio associé à la loi biomiale est souvet fastidieuse, malgré l apport des calculatrices ou des logiciels. O a vu das le chapitre précédet que lorsque est assez grad, la loi biomiale B(, p) et la loi ormale N (p, p(1 p) 2 ) sot proches. Or, das le cas d ue variable aléatoire suivat ( ue loi ormale, ) la calculatrice ous idique que µ 1,96σ p(µ 1,96σ X µ+1,96σ) 0,95 p X µ+1,96σ 0,95 ce qui sigifie que la probabilité que la fréquece X soit comprise das l itervalle µ 1,96σ ] ; µ+1,96σ est proche de 0,95, ce qui correspod à u itervalle de fluctuatio. Mais µ 1,96σ = p 1,96 p(1 p) D où la propriété suivate : = p 1,96 p(1 p) = p 1,96 p(1 p) et µ+1,96σ p(1 p) = p+ 1,96. Propriété 9.2. L itervalle suivat, appelé itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 %, ted vers l itervalle de fluctuatio quad deviet grad : p 1,96 ] p(1 p) p(1 p) ; p+ 1,96 c est-à-dire que la variable aléatoire F qui, à tout échatillo de taille associe la fréquece, pred ses valeurs das cet itervalle de fluctuatio avec ue probabilité qui s approche de 0,95 quad deviet grad. O coviet que cet itervalle peut être cosidéré comme ue boe approximatio de l itervalle de fluctuatio dès lors que 30, p 5 et (1 p) Utilisatio de l itervalle de fluctuatio O utilise l itervalle de fluctuatio, comme e Secode ou e Première, lorsque la proportio p das la populatio est coue ou bie si o fait ue hypothèse sur sa valeur : Représetativité : si la proportio p d u caractère das ue populatio est coue, il permet de décider si u échatillo de taille issu de cette populatio est représetatif de la populatio : si la fréquece f du caractère das l échatillo appartiet à cet itervalle, o cosidère, au seuil de 95 %, que l échatillo est représetatif. Hypothèse sur p : si o émet ue hypothèse sur la proportio p d u caractère das ue populatio, il permet de savoir si o doit rejetter cette hypothèse : si la fréquece f observée das u échatillo de taille appartiet cet itervalle, o cosidère que l hypothèse selo laquelle la proportio est p das la populatio est pas remise e questio ; sio o rejette l hypothèse selo laquelle cette proportio vaut p

3 Termiale ES 9.2 Itervalle de cofiace 9.2 Itervalle de cofiace O cherche à détermier la proportio p d u caractère das ue populatio, par exemple la proportio d idividus atteits d ue maladie béige. Il est souvet difficile pour des raisos à la fois fiacières et logistiques de pouvoir recueillir des doées sur la populatio toute etière. Le plus souvet o se cotete de travailler sur u échatillo de la populatio, dot o peut parfois vérifier au préalable s il est représetatif de la populatio etière (sur d autres critères, comme la fréquece d hommes et de femmes par exemple). O sait que d u échatillo à l autre la fréquece d apparitio du caractère fluctue autour de la proportio p du caractère das la populatio etière. ] Des simulatios permettet d obteir qu eviro 95 % des itervalles de la forme f 1 ; f + 1 cotieet la proportio p. Aussi à partir de la fréquece f d apparitio du caractère das otre échatillo défii-t-o l itervalle suivat : ] Défiitio 9.1. L itervalle f 1 ; f + 1 est u itervalle de cofiace de la proportio icoue p au iveau de cofiace 0,95. Exemple. O souhaite estimer la proportio de persoes e surpoids, selo les critères de l OMS, das ue ville quelcoque. Pour cela 460 persoes ot été sélectioées de maière aléatoire et u equêteur est allé recueillir des iformatios auprès de ces persoes. La proportio de persoes e surpoids das cet échatillo étudié est de 29,5 %. L itervalle f 1 ; f + 1 ]= 0, ; 0, ] 0,25 ; 0,34] est l itervalle de cofiace de la proportio de persoes e surpoids das cette ville au iveau de cofiace 0,95. David ROBERT 159

4 9.3 Exercices Termiale ES 9.3 Exercices EXERCICE 9.1. Cet exercice écessite de disposer d ue calculatrice TI ou d ue calculatrice CASIO récete. O dispose d ue partie de programme : TI Casio : PROMPT N N? N : PROMPT P P? N : 0 I 0 I : While biomfrép(n,p,i) 0,025 While BiomCD(I,N,P) 0,025 : I+1 I I+1 I : Ed WhileEd : I A I A Remarque. biomfrép(,p,k) ou BiomCD(I,N,P) calculet p(x k), où X est ue variable aléatoire suivat la loi B( ; p). 1. (a) À quoi correspodet N et P demadés e début de programme? (b) À quoi correspod A à la fi du programme? 2. Commet modifier ce programme pour qu il obtiee A et B à la fi du programme? 3. Commet modifier ce programme pour qu il calcule les deux bores de l itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la loi biomiale de paramètres et p? 4. O a exécuté ce programme avec p = 0,4 et o a obteu les résultats suivats pour la bore iférieure : Bore 0,2 0,26 0,335 0,37 0,3864 Comparer ce résultat avec la bore iférieure de l itervalle de fluctuatio itroduit e Secode. Qu observe-t-o? EXERCICE 9.2. Le resposable de la maiteace des machies à sous d u casio doit vérifier qu u certai type de machie est bie réglé sur ue fréquece de succès de 0,06. Il dispose du programme élaboré das l exercice Lors du cotrôle d ue machie, le techicie costate qu elle a fouri 8 succès sur 65 jeux. Doit-il remettre e questio le réglage de la machie? 2. Lors du cotrôle d ue autre machie, il costate qu elle a fouri 12 succès sur 100 jeux. Doitil remettre e questio le réglage de la machie? EXERCICE 9.3. E 2005, il y avait e Frace, selo l INSEE, milliers d habitats dot milliers d hommes et milliers de femmes. Cette même aée e Premières géérales à Dupuy de Lôme il y avait 350 élèves dot 218 femmes et 132 hommes. L échatillo état très petit par rapport à la populatio géérale, o peut cosidérer qu il s agit d u tirage aléatoire avec remise et que la variable aléatoire qui à chaque échatillo de taille 350 associe le ombre de femmes das cet échatillo suit ue loi biomiale de paramètres = 350 et p = ,52. Les élèves de Dupuy étaiet-ils représetatifs de la populatio fraçaise? 160

5 Termiale ES 9.3 Exercices EXERCICE 9.4. O fait l hypothèse que tous les as à Dupuy de Lôme il y a, e Secode, deux élèves sur trois qui sot des femmes soit ue proportio p = 2 3. E Secode 13, sur 36 élèves il y a 16 femmes. O supposera que la costitutio d ue classe de 36 élèves peut être assimilée à u tirage aléatoire avec remise et que la variable aléatoire qui à chaque classe de 36 élèves associe le ombre de femmes das cette classe suit ue loi biomiale de paramètres = 36 et p = Détermier si o doit rejetter l hypothèse de départ, au seuil de 95 %. 2. Après vérificatio auprès de l admiistratio, il s avère que cette hypothèse est juste. Que peut-o dire alors de la Secode 13? EXERCICE 9.5. Les efats sot dits prématurés lorsque la durée gestatioelle est iférieure ou égale à 259 jours. La proportio de ces aissaces est de 6 %. Des chercheurs suggèret que les femmes ayat eu u travail péible pedat leur grossesse sot plus susceptibles d avoir u efat prématuré que les autres. Il est décidé de réaliser ue equête auprès d u échatillo aléatoire de 400 aissaces correspodat à des femmes ayat eu pedat leur grossesse u travail péible. Les chercheurs décidet a priori que si la proportio d efats és prématurés das cet échatillo est supérieure à la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 0,95 alors leur hypothèse sera acceptée. Fialemet le ombre d efats prématurés est de 50. Quelle est doc la coclusio? EXERCICE 9.6. O admet que das la populatio d efats de 11 à 14 as d u départemet fraçais le pourcetage d efats ayat déjà eu ue crise d asthme das leur vie est de 13 %. U médeci d ue ville de ce départemet est surpris du ombre importat d efats le cosultat ayat des crises d asthme et e iforme les services saitaires. Ceux-ci décidet d etrepredre ue étude et d évaluer la proportio d efats de 11 à 14 as ayat déjà eu des crises d asthme. Ils sélectioet de maière aléatoire 100 jeues de 11 à 14 as de la ville. La règle de décisio prise est la suivate : si la proportio observée est supérieure à la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % alors ue ivestigatio plus complète sera mise e place afi de rechercher les facteurs de risque pouvat expliquer cette proportio élevée. 1. Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la proportio de jeues de 11 à 14 as ayat eu ue crise d asthme das u échatillo de taille L étude réalisée auprès des 100 persoes a déombré 19 jeues ayat déjà eu des crises d asthme. Que pouvez-vous coclure? 3. Le médeci est pas covaicu par cette coclusio et déclare que le ombre de persoes iterrogées était isuffisat pour mettre e évidece qu il y avait plus de jeues ayat eu des crises d asthme que das le reste du dépertemet. Combie faudrait-il predre de sujets pour qu ue proportio observée de 19 % soit e dehors de l itervalle de fluctuatio asymptotique? EXERCICE 9.7. Le 18 avril 2002, l istitut IPSOS effectue u sodage das la populatio e âge de voter. O costitue u échatillo de persoes (iscrites sur les listes électorales) que l o suppose choisies ici de maière aléatoire. Les résultats partiels e sot les suivats : sur les persoes 135 ot déclaré vouloir voter pour Jea-Marie Le Pe 195 ot déclaré vouloir voter pour Jacques Chirac 170 ot déclaré vouloir voter pour Lioel Jospi 1. Détermier les trois itervalles de cofiace au iveau de cofiace de 95 % correspodat aux proportios d itetio de votes pour chacu des trois cadidats. David ROBERT 161

6 9.3 Exercices Termiale ES 2. Si o e doe que le résultat brut du sodage et o l itervalle de cofiace, quel est le degré d imprécisio du résultat? 3. À l issue du premier tour Jea-Marie Le Pe, Jacques Chirac et Lioel Jospi ot obteu, respectivemet, 16,9 %, 19,9 % et 16,2 % des suffrages exprimés. Commeter. 4. L istitut CSA doait e avril 14 % d itetio de votes pour Jea-Marie Le Pe pour u échatillo de taille idetique. Détermier l itervalle de cofiace à 95 % associé à ce ouveau sodage. Commeter. EXERCICE 9.8. Les sodages d itetio de vote s effectuet e gééral sur des échatillos de taille = Détermier l amplitude de l itervalle de cofiace au seuil de 95 % des votats pour l u des cadidats quad le sodage idique des itetios de votes proches de 50 % (cas du secod tour de l électio présidetielle). 2. Détermier l amplitude de l itervalle de cofiace au seuil de 95 % des votats pour l u des cadidats quad le sodage idique des itetios de votes proches de 10 % (cas des «petits» cadidats du premier tour de l électio présidetielle). EXERCICE 9.9. U test de diagostic rapide effectué sur des sujets ictériques (coloratio jaue de la peau, des muqueuses et du blac de l œil) doit permettre d estimer si l ictère est d origie virale ou o, sas avoir besoi de faire des aalyses logues et compliquées. Cepedat il est importat de pouvoir s assurer que ce test est de boe qualité, c est-à-dire qu il doit pouvoir idiquer correctemet si l ictère est viral ou o. Il doit être capable d idetifier correctemet le type d ictère : il est positif chez les sujets dot l ictère est viral et égatif sio. Ue étude est effectuée sur 100 persoes ayat u ictère viral et 100 persoes ayat u ictère d origie o virale. Les résultats obteus sot présetés das le tableau 9.1 de la présete page. TABLE 9.1: Tableau de l exercice 9.9 Hépatite virale Ictère d origie o virale Test positif Test égatif Détermier la proportio de sujets ayat u test positif parmi ceux ayat u ictère viral. 2. Détermier u itervalle de cofiace à 95 % de la proportio de tests positifs lorsque l ictère est viral. Cette proportio est appelée sesibilité du test diagostic, c est-à-dire la probabilité qu ue persoe ayat u ictère viral réagisse au test. U test diagostic sera d autat meilleur que la sesibilité est importate. 3. Détermier la proportio de sujets ayat u test égatif parmi celles ayat u ictère o viral. 4. Détermier u itervalle de cofiace à 95 % de la proportio de tests égatifs lorsque l ictère est o viral. Cette proportio est appelée spécificité du test diagostic, c est-à-dire la probabilité qu ue persoe ayat u ictère o viral e réagisse pas au test. U test diagostic sera d autat meilleur que la spécificté est importate

7 Termiale ES 9.3 Exercices EXERCICE Das le but d évaluer la prise e charge de la brochiolite das u hôpital de la régio Aquitaie, ue étude rétrospective a été mise e place. 1. Il est recommadé de coucher l efat de maière très icliée (couchage e proclive) das le cadre de la prise e charge de la brochiolite. O évalue cette pratique à partir d u échatillo de 134 dossiers. 106 efats ot été couchés e proclive. Détermier u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % de la proportio d efats dot le couchage respecte la recommadatio. 2. Ue étude plus fie permet de comparer les pratiques etre les différets services ayat admis des efats dot les résultats sot das le tableau 9.2 de la présete page. TABLE 9.2: Tableau de l exercice 9.10 Couchage proclive E service des E service urgeces hospitalier Total Oui No Total (a) Détermier u itervalle de cofiace au seuil de 95 % de la proportio de couchage e proclive pour chaque type de service. (b) Peut-o coclure selo vous au seuil de 95 % que la pratique de couchage est pas idetique selo le service? EXERCICE U maraîcher achète u lot de semaces de tomates pour produire ses plats de tomate. Il lui reste des semeces de l aée passée, dot il doit cotrôler le taux de germiatio pour pouvoir les utiliser avec les autres. E effet, des taux de germiatio trop différets provoquet des trous das les plates bades de productio, ce qui géère u coût de mautetio plus élevé (il faut elever les pots o germés avat de les coditioer). Il faut doc comparer les taux de germiatio des semeces des deux aées. Ue stratégie cosiste à calculer et à comparer les itervalles de cofiace des taux de germiatio des plats de l aée et de l aée précédete. Si les deux itervalles e se recoupet pas, o peut coclure à ue différece de taux de germiatio etre les deux semaces d origies. Il faudra alors les semer séparémet. Pour faire cette comparaiso, le maraîcher prélève, aléatoiremet das les semeces de l aée, u échatillo de 200 graies qu il met à germer. Il costate que 185 graies germet. Il prélève esuite, aléatoiremet das les semeces de l aée précédete, u échatillo de 200 graies qu il met à germer. Il costate que 150 graies germet. 1. Détermier u itervalle de cofiace, au iveau de cofiace de 95 %, du taux de germiatio p a du lot de semeces de l aée. 2. Détermier u itervalle de cofiace au iveau 95 % du taux de germiatio p b du lot de semeces de l aée précédete. 3. Coclure. David ROBERT 163

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