MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

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1 MÉHODE DES ÉLÉMENS FINIS MEF HERVÉ OUDIN

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3 Pan du poycopié INRODUCION... I- LA MEF E L'INDUSRIE... I- PROCESSUS D ANALYSE & APPROXIMAION... LES REILLIS... 5 II- CALCUL D UN REILLIS... 5 II-. Anayse du probème... 6 II-. Cacu de a matrice raideur... 7 II-. Résoution... 8 II-.4 Post-traitement... 8 II-.5 Remarques... 9 II- LA HÉORIE... 9 II-. Modèe barre en traction compression... 9 II-. Mise en équations par e PFD... 0 II-. Mise en équations par e PV... II-.4 Équivaence des principes... II-.5 L éément fini barre... II-.6 Appication aux treiis D... 4 II- L ERREUR D APPROXIMAION... 6 II-. Modèe à éément... 6 II-. Modèe à puis ééments... 8 II-. Modèe à éément de degré... 0 II-4 PEI QUIZ... 5 NOES PERSONNELLES... 6 LES PORIQUES... 7 III- LA HÉORIE... 7 III-. Modèe poutre en fexion... 7 III-. Mise en équations... 8 III- L ÉLÉMEN FINI POURE... 0 III-. Approximation nodae... 0 III-. Matrice raideur et masse... III-. Vecteur force généraisé... III- APPLICAION AUX PORIQUES... III-4 PEI QUIZ... 7 NOES PERSONNELLES... 8 FORMULAION INÉGRALE... 9 IV- INRODUCION... 9 IV- RÉSIDUS PONDÉRÉS... 4 IV-. Formuation forte... 4 IV-. ransformation de a forme intégrae... 4 IV- FORMULAION VARIAIONNELLE EN MÉCANIQUE IV-. Formuation intégrae IV-. Équivaence avec e PV IV-. Écriture matriciee du PV IV-.4 Appications à quatre modèes de ingénieur IV-4 PEI QUIZ NOES PERSONNELLES... 56

4 LES ÉLÉMENS FINIS V- DISCRÉISAION DU MILIEU V-. Discrétisation géométrique V-. Approximation nodae V- CALCUL DES MARICES ÉLÉMENAIRES... 6 V-. Formuation en mécanique des structures... 6 V-. Appication éément axisymétrique V-. echniques de cacu au niveau éémentaire V-.4 Appication e en éasticité pane V- ASSEMBLAGE E CONDIIONS AUX LIMIES... 7 V-4 APPLICAION AU PROBLÈME D ÉCOULEMEN SAIONNAIRE... 7 V-5 PEI QUIZ NOES PERSONNELLES UILISAION D'UN LOGICIEL ÉLÉMENS FINIS VI- DÉROULEMEN D'UNE ÉUDE VI-. Anayse du probème: VI-. Création et vérification des données: VI-. Exécution du cacu:... 8 VI-.4 Expoitation des résutats:... 8 VI- ORGANIGRAMME D'UN LOGICIEL ÉLÉMENS FINIS... 8 VI- PEI QUIZ NOES PERSONNELLES... 85

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7 I - Introduction Introduction I- La MEF et 'industrie Quee pace occupe e cacu dans 'industrie? Ques sont es principaux champs d'appication du cacu? Répondre à ces questions dépasse e cadre de a méthode des ééments finis. Ce n'est qu'une méthode parmi d'autres qui permettent à 'ingénieur d'effectuer des simuations numériques de phénomènes physiques. Le cacu occupe une pace stratégique avec a CAO et es autres technoogies de simuation (essais) dans e déveoppement d'un produit compexe qui touche à différents domaines de a physique. Cea concerne es industries automobies, navaes, aéronautiques, ferroviaires, mais aussi es industries ourdes: centraes éectriques, pates-formes pétroières, et e génie civi. Le cacu est indispensabe orsque 'on cherche à obtenir une soution optimisée pour réduire es coûts et es déais de fabrication. Grâce au cacu 'ingénieur peut tester pusieurs configurations pour optimiser e comportement d'un modèe à une prestation donnée. Cea évite de mutipier es prototypes et es essais tests rées, es supports physiques ne servent pus à chercher une soution, is permettent de a vaider. Attention, même précis un modèe ne fournit jamais qu'une approximation de a réaité, i est donc impossibe de se passer des prototypes. Le cacu s'appique aussi dans es domaines du «process». Les procédés de fabrication tes que 'emboutissage, 'usinage grande vitesse, es dépôts de peinture, 'assembage de tôerie, a mise en forme des pastiques, peuvent être modéisés par ééments finis. Ici c'est une bonne représentation du comportement du phénomène physique qui sera recherchée pour pouvoir vérifier et vaider un procédé de fabrication d'une pièce. Enfin e cacu de conception dans es bureaux d'études, c'est sans doute e pus répandu car grâce aux outis de cacu simpifié dont disposent es ogicies de CAO modernes, a simuation numérique fait partie des outis de conception pour obtenir un comportement défini à priori qui détermine e dimensionnement, donc e dessin, des pièces mécaniques. La méthode des ééments finis est de toutes es méthodes de discrétisation a pus utiisée car : Ee peut traiter des probèmes de géométrie compexe, Ee couvre de nombreux domaines de a physique, Les moyens informatiques actues (puissance des cacuateurs, outis de visuaisation) a rende facie de mise en œuvre, De nombreux ogicies généraux ou dédiés sont disponibes sur e marché.

8 Méthode des ééments finis I- Processus d anayse & approximation Si 'utiisation de a méthode se démocratise de par a simpicité croissante de mise en oeuvre, a fiabiité des agorithmes et a robustesse de a méthode, i reste néanmoins des questions essentiees auxquees 'ingénieur devra répondre s'i veut effectuer une anayse par ééments finis dans de bonnes conditions. I ui faudra : Formaiser es non dits et es réfexions qui justifient es choix expicites ou impicites de son anayse du probème (définition de son modèe), Évauer a confiance qu'i accorde aux résutats produits, Anayser es conséquences de ces résutats par rapport aux objectifs visés. Ne perdez jamais de vue que 'anayse des résutats nécessite une bonne compréhension des différentes étapes mathématiques utiisées ors de 'approximation, pour pouvoir estimer 'erreur du modèe numérique par rapport à a soution exacte du probème mathématique. N'oubiez pas non pus que e modèe numérique ne peut fournir que des résutats reatifs aux informations contenues dans e modèe mathématique qui découe des hypothèses de modéisation. De façon générae, es différentes étapes d'anayse d'un probème physique s'organisent suivant e processus schématisé par a figure suivante. Nous partons d'un probème physique. Le cadre précis de 'étude est défini par es hypothèses simpificatrices «hypothèses de modéisation» qui permettent de définir un modèe mathématique. La difficuté pour 'ingénieur est de savoir choisir parmi es ois de a physique cees dont es équations traduiront avec a précision vouue a réaité du probème physique. Le choix du modèe mathématique est un compromis entre e probème posé à 'ingénieur

9 I - Introduction "quees grandeurs veut-on cacuer et avec quee précision?" et es moyens disponibes pour y répondre. Un bon choix doit donner une réponse acceptabe pour des efforts de mise en oeuvre non prohibitifs. Si e modèe mathématique n'admet pas de soution anaytique, i faut chercher une soution approchée de ce modèe. La discrétisation du probème «hypothèses de discrétisation» correspond au choix d'un modèe numérique permettant de traiter es équations mathématiques. I est important de savoir distinguer et hiérarchiser ces deux niveaux d'hypothèses utiisés pour modéiser un phénomène physique. La figure suivante permet de distinguer es différentes méthodes en fonction de a démarche utiisée pour obtenir une équation matriciee (cette cassification n'est pas unique). outes es méthodes d'approximation ont un même objectif, rempacer un probème mathématique défini sur un miieu continu (équations différentiees ou intégraes) par un probème mathématique discret (équation matriciee), probème de dimension finie que 'on sait résoudre numériquement. En résumé, es questions essentiees auxquees 'ingénieur devra répondre s'i veut effectuer une anayse par un modèe numérique dans de bonnes conditions, sont : Que modèe mathématique utiiser? Que modèe numérique faut-i ui associer? Quee est 'erreur d'approximation commise? Peut-on améiorer e modèe numérique? Faut-i changer e modèe mathématique? Les équations du modèe retenu, sont soumises à un certain nombre d'hypothèses basées sur es sciences de 'ingénieur. I faut connaître e domaine de vaidité de ces hypothèses pour pouvoir vérifier que a soution obtenue est satisfaisante. La soution exacte d'un modèe mathématique qui ne correspond pas à a réaité physique ne vaut rien.

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11 II Étude des treiis Les treiis L objectif de ce chapitre est d appréhender de façon pragmatique a méthode des ééments finis, à partir du cacu de a réponse statique d'un treiis pan. Ce qui nous permet d introduire es principaes étapes de construction du modèe sur un exempe simpe. Pour comprendre cette modéisation, nous rappeons es notions théoriques reatives au modèe de traction et nous présentons approximation «éément fini barre». Le cacu d une coonne sous son poids propre iustre ensuite a notion d'erreur d approximation et nous permet d envisager deux améiorations du modèe numérique, e raffinement de maiage ou 'utiisation d un éément d ordre supérieur. II- Cacu d un treiis Intéressons-nous à a réponse statique du treiis pan représenté par a figure ci-dessous. a F y o x o a Ce treiis est un assembage (par rotues) d ééments travaiant en traction compression. La géométrie, es caractéristiques mécaniques, es conditions aux imites et e chargement sont donnés. La démarche suivie est a suivante Anayse du probème discrétisation et définition des inconnues Cacu de a matrice raideur équation matriciee à résoudre Résoution déformée de a structure et efforts aux appuis Post-traitement contraintes dans es barres et efforts aux nœuds. Le premier diaporama du site présente ces étapes du modèe ééments finis 5

12 Méthode des ééments finis II-. Anayse du probème Le probème posé est pan. Nous avons nœuds à variabes par nœuds (u i,v i ) es dépacements du nœud dans e pan. Modèe à 6 degrés de iberté { U} = { u v u v u v } vecteur des dépacements nodaux x o v a u a y o v u v u Les conditions aux imites : u = 0 X Appui au nœud : fait apparaître deux composantes d effort inconnu : v = 0 Y Appui gissant au nœud : v = 0 fait apparaître une composante d effort inconnu : Y Le travai virtue * des efforts donnés et inconnus appiqués à a structure conduit à expression du vecteur des forces nodaes : { F} = { X Y 0 Y F 0} Pour un vecteur des dépacements nodaux inconnus : { U} = { 0 0 u 0 u v } y o x o a X a F Y Y Efforts nodaux donnés et inconnus Nous avons donc 6 inconnues pour 6 équations obtenues en écrivant e principe des travaux virtues (équations de Lagrange) correspondant aux 6 degrés de iberté initiaux de notre structure. Pour cacuer e travai virtue des efforts intérieurs (contraintes) nous utiisons a notion d énergie de déformation que nous rappeons dans e paragraphe suivant. Nous avons : δw int = E d δ qi avec d = [ ] i qi Les équations de Lagrange à résoudre sont donc de a forme : [ K ] 0 X 0 Y u 0 = 0 Y u F v 0 E U K U Les équations,5, et 6 nous permettent de déterminer e champ de dépacement de a structure (sa déformation). Les équations, et 4 nous donnerons es efforts aux appuis en fonction de ces dépacements. Cacuons a matrice raideur [K] de cette structure. * δ = X δu + Yδ v + Y δv + Fδu = { δu} { F} ext 6

13 II Étude des treiis II-. Cacu de a matrice raideur Utiisons es résutats du cours *, pour un éément (i,j) de ongueur e En D ES [ Ke ] = e sur i j En D ES [ A] [ A] [ ] [ ] [ ] C α Cα Sα K e = avec [ A ] = e A A Cα Sα Sα sur ui vi u j v j u i (e) u j i xo u u j b o y o i (e) α v j j u j xo Notre structure est composée de trois ééments Pour éément (,) K u u ES u = sur a u a Pour éément (,) ES K = a sur u v u v { } Pour éément (,) ES K = a sur u v u v { } x o a () () () y a o v v u u a a α = 45 v v u α = 5 u L énergie de déformation totae de a structure est a somme des énergies de déformation de chaque éément, assembage des matrices consiste à ranger chaque terme dans une matrice gobae définie sur e vecteur { U} { u v u v u v } D où a matrice gobae =. * ous ces résutats sont démontrés dans e paragraphe suivant 7

14 Méthode des ééments finis [ K ] = ES 0 + a es termes de a matrice K sont en beu a matrice K sont en rouge a matrice K sont en vert II-. Résoution L équation matriciee [ K ]{ U} = { F} à résoudre est a suivante : X Y ES 0 u 0 + = a Y 0 u F 0 v 0 Les équations donnant es dépacements nodaux sont en beu Cees permettant de cacuer es efforts sont en rouge Le système réduit + u 0 ES 0 u = F a 0 v 0 u u v F a = ES F = a( + ) ES F a = ES Aure de a déformée u F u Nous pouvons aors cacuer es efforts aux appuis ES X = ( u ( u + v) ) a X = F ES Y = ( u + v ) Y = F / a ES Y = + F / Y = ( u + u v ) a L équiibre goba de a structure est vérifié F F / F F / II-.4 Post-traitement Pour cacuer a contrainte dans es ééments, nous utiisons es résutats de cours suivants : ES En D : Ne = ( u j ui ) e ES u j ui En D : Ne = < Cα Sα > e v j vi 8

15 II Étude des treiis D où ES N = ( u ) = F / a ES N = ( u + v ) = F / a ES N = ( u u v ) = F / a L équiibre de chaque noeud est vérifié F N N N () () N F / F () N N F / II-.5 Remarques ous es cacus sont systématiques et a démarche suivie sera toujours a même en statique. Faciité de programmation de ce type de soution Seue anayse, du probème et des résutats, reste à a charge de ingénieur. La matrice raideur du système réduit était inversibe «det( K) 0» car es conditions aux imites en dépacement boquaient tous es modes rigides de a structure. Probème statique bien posé Les efforts cacués aux appuis équiibrent parfaitement e chargement. Les résidus d'équiibre sont nus, car nous travaions sur a soution anaytique de 'équation matriciee. Dans e cas d une résoution numérique ces résidus doivent tendrent vers zéro (erreur numérique). Les contraintes cacuées sur es ééments équiibrent de façon exacte (aux résidus près) es charges nodaes. Ceci est vrai dans ce cas particuier «cacu statique d un treiis chargé aux nœuds» car approximation utiisée représente e champ exact de a soution anaytique «effort norma constant dans chaque éément de a structure». Erreur de discrétisation qui est nue En post traitement i est possibe d isoer un à un chaque éément de a structure pour écrire équation matriciee de équiibre de éément. Ce cacu permet de déterminer es efforts internes aux nœuds de a structure II- La théorie II-. Modèe barre en traction compression Une barre est un éément mécanique qui ne travaie qu en traction compression, e modèe mathématique est basé sur es hypothèses suivantes *. * Petits dépacements. Section droite reste droite ** * Petites déformations. ε xx = u, x u( M, t ) = u( x, t ) x o * Cours de résistance des matériaux u = u x ** Nous utiisons a notation,x 9

16 Méthode des ééments finis * Miieu isotope homogène éastique État de contrainte uni axia σ = Eε En intégrant es contraintes sur a section nous obtenons a oi de comportement intégrée des barres. N = ES u, x xx xx Le cacu du moment résutant donne 0 au centre de a section II-. Mise en équations par e PFD Isoons une tranche d épaisseur dx, et effectuons e bian des efforts extérieurs sur cet éément de matière (figure ci-contre) L'équation de résutante dynamique est : N + dn N + fdx = ρsdx uɺɺ Utiisons aors a oi de comportement intégrée, pour obtenir 'équation ocae : x 0, ρsuɺɺ ESu, x = f ] [ ( ), x Les conditions aux imites sont de deux types dépacement imposé : u = u d ( t ) force imposée : ESu, = N ( ) x d t Déformée et vitesse de déformation initiaes En dynamique i faudra donner es deux conditions initiaes u = u u ɺ = u ɺ ( x, 0) o ( x) ( x, 0) o ( x) Le PFD appiqué au modèe de traction compression donne e système d équations aux dérivées partiees (EDP) suivant : u équation ocae : x ] 0, [ ρsuɺɺ ES = f x conditions aux imites en x = 0 et en x = u( x, 0) = uo ( x) conditions initiaes : uɺ ( x, 0) = uɺ o ( x) 0

17 II Étude des treiis II-. Mise en équations par e PV f Considérons un éément de structure de ongueur, chargé F F o 0 sur sa ongueur et à ses extrémités (figure ci-contre). u(m,t) Le PV appiqué à cet éément donne équation intégrae suivante : δu ρsuɺɺ δu dx = ESu,x δu,x dx + f δu dx + Foδ uo + F δu o o o C est a forme variationnee du probème. Le premier terme correspond au travai virtue des quantités d accéération Le second terme correspond au travai virtue des efforts intérieurs (efforts de cohésion) : xx xx xx xx 0 S 0 σ δ ε dv = σ δε ds dx = ESε δε dx D avec ε xx = u, x Notez que ce terme peut être cacué à partir de a variation de énergie de déformation o avec ( ) d = σ : ε =,x E dv ES u dx D Le troisième terme correspond au travai virtue du chargement voumique (champ de force) δ Ed Le dernier terme correspond au travai virtue des efforts appiqués aux extrémités du barreau. Dans e cas ou a condition aux imites porte sur e dépacement, effort à extrémité est aors une inconnue du probème. II-.4 Équivaence des principes Partons du PFD et utiisons a méthode des résidus pondérés * (méthode de Gaerkin) pour retrouver e PV. Écrire ρsuɺɺ ES f = 0 x ] 0, [ est équivaent à 0 x u u P ( ρsuɺɺ ES f ) dx = 0 P x Remarque : si u est une soution approchée du probème a forme intégrae représente e résidu pondéré de équation ocae sur e domaine. u en effet e résidu, terme «ρsuɺɺ ES f» n est pas nu x Effectuons une intégration par partie du terme en u,xx u u P u P ES dx = P ES ES dx x x x 0 x 0 0 P est une fonction test, dite fonction de pondération * Ee sera détaiée dans e chapitre IV sur es méthodes variationnees.

18 Méthode des ééments finis Nous obtenons P u u P PρSudx ɺɺ + ES dx = P ES + Pfdx x x x Pour des conditions aux imites en force aux extrémités en tenant compte de a oi de comportement intégrée, nous avons : u( o, t) u(, t) Fo = N( o, t) = ES et F = N(, t) = ES x x D où P PρSudx ɺɺ + P, xesu, x dx = P F + Po Fo + Pfdx PV avec = A titre d exercice * partez du PV, effectuez intégration par partie du terme de raideur pour retrouver e PFD (équation ocae) et es conditions aux imites du probème. P δu II-.5 L éément fini barre Considérons un éément de ongueur e, dont es extrémités sont es nœuds i et j. Le repère oca, ié à 'éément, a pour direction x axe de a barre et est orienté de i vers j. u i (e) u j i xo j = x Les deux variabes nodaes sont es dépacements des noeuds i et j, notés u i et u j L approximation poynomiae à deux paramètres correspondante est de a forme a (, ) ( t ) u * x t = a + ax =<, x > a ( t ) Écriture matriciee d un poynôme de degré en x dont es coefficients sont es paramètres de approximation. Pour construire 'approximation nodae, nous devons identifier aux noeuds a vaeur de 'approximation et es dépacements nodaux. Soit en x = 0 u * (0, t) = ui ( t) = a en x u t = u t = a + a Nous en déduisons = e * ( e, ) j ( ) e a a D où 'approximation nodae = ui u j ui = e x x u* =<, e e u > u i ( t) j ( t) notée : u = < N > { U } * e * Nous iustrons cette démarche dans e chapitre suivant sur es portiques.

19 II Étude des treiis Les fonctions d interpoation de approximation nodae sont : x N ( x ) = vérifie ( i) = e N ( j) = 0 N x N ( x) = vérifie e N N N ( i) ( j) = 0 = La notion d'approximation nodae est fondamentae dans a méthode des ééments finis, ee permet d utiiser des variabes qui ont un sens physique, et sur esquees nous pourrons directement imposer es vaeurs données par es conditions aux imites de type cinématique. 0 0 N x/ e x/ e Cacuons maintenant 'énergie de déformation associée à notre éément. e Rappe : ( ) d = σ : ε =, x E dv ES u dx D e Utiisons approximation nodae du champ des dépacements u, x = < N, x > { U e} = < > { U e} e o e, x =, x, x = e <, x > <, x > e = e e e ( u ) u. u { U } N N { U } { U } { U } ES = D où E { U } { U } d e e e Nous en déduisons expression anaytique de a matrice raideur d un éément de ongueur e ES [ K ] = e e A titre d exercice cacuer a matrice masse correspondant à énergie cinétique (ou travai virtue des quantités d accéération) de cet éément *. Pour cacuer état de contrainte sur es ééments nous utiisons a oi de comportement intégrée : ES N = ES u, x = ES < N, x > { Ue} = ( u j ui ) = Cte e * Réponse : [ M e ] = ρs e 6 6

20 Méthode des ééments finis II-.6 Appication aux treiis D Soit un éément (i,j) formant un ange α avec axe goba (figure ci-contre). x o du repère Pour effectuer 'assembage nous devons exprimer e dépacement axia u en fonction de ses composantes sur a base gobae (, u v ). b o y o i (e) α v j j u j xo x u u u =< > =< C S > cosα sinα α α v v Appiquons ce changement de base aux nœuds de éément ui ui C v α Sα 0 0 i = u j 0 0 C S u α α j v j Reportons ce changement de base dans 'expression de 'énergie de déformation. ES Ed = { Ue} { Ue} E d e ui ui v i v Cα Sα ES Cα Sα i = u j 0 0 C S 0 0 C S u α α e α α j v j v j Nous en déduisons expression de a matrice raideur éémentaire sur es variabes ui vi u j v j [ K ] e = ES e [ A] [ A] [ ] [ ] A A C α Cα Sα avec [ ] A = α Sα Sα C De même pour cacuer état de contrainte ES ES u j ui N = ( u j ui ) = < Cα Sα > e e v j vi En suivant a démarche proposée dans e paragraphe II-, ce modèe numérique basée sur a méthode des ééments finis permet de cacuer de façon exacte a réponse statique d un treiis chargé aux nœuds. La soution numérique obtenue est identique à a soution anaytique de a résistance des matériaux car dans ce cas particuier effort norma est constant sur chaque éément. 4

21 II Étude des treiis Les corrigés des exercices de cours sont disponibes sur e site MEF Exercice II-: Étude d un treiis symétrique de trois barres Objectifs : echniques de mise en œuvre de a méthode des ééments finis, changement de base, assembage, résoution, cacu des efforts, et vérification des équations d'équiibre. Considérons e treiis de trois barres ci-contre h Modéisation. Préciser a numérotation de vos ééments et de vos nœuds. Définissez vos vecteurs gobaux : { U } vecteur des dépacements nodaux ( ui, v i ) { F D} vecteur force généraisé associé aux efforts donnés { F I } vecteur force généraisé associé aux efforts inconnus Cacu de a matrice raideur Exprimer a matrice raideur de chaque éément sur ses variabes nodaes. En déduire 'expression de a matrice raideur assembée compète. Extraire a matrice raideur réduite. Résoution statique - Efforts aux appuis Déterminer a déformée statique, et représenter 'aure de a déformée. Cacuer es efforts aux appuis, et vérifier 'équiibre goba de a structure. Post traitement Cacuer es efforts (contraintes) sur chaque éément, puis vérifier 'équiibre du nœud qui est chargé. Isoer une des barres à 45 de a structure, et cacuer es efforts extérieurs sur cet éément. Retrouver es résutats précédents. Utiiser a symétrie Préciser e nouveau maiage en tenant compte de a symétrie. Cacuer a matrice raideur réduite et retrouver a soution en dépacement. Si vous avez fait exercice, ceui ci ne devrai pas vous poser de probème. Exercice II-: Étude d un treiis de deux barres Objectifs : Mise en œuvre de a méthode des ééments finis, assembage, résoution, post-traitement. A Le treiis ci-contre est constitué de barres de même section réaisée dans un matériau de modue d Young E. Modéisation. Définissez vos vecteurs gobaux :{ U }, { F }, et { F } Cacu de a matrice raideur Exprimer es matrices raideur de chaque éément. En déduire 'expression de a matrice raideur assembée compète. Exprimer es 6 équations du modèe. Résoution statique - Efforts aux appuis Extraire a matrice raideur réduite, et déterminer a déformée statique. Cacuer es efforts aux appuis, et vérifier 'équiibre goba de a structure. D I y o h B x o h h C F α F Post traitement Cacuer es efforts (contraintes) sur chaque éément, puis vérifier 'équiibre du nœud qui est chargé. Isoer a barre à 45 de a structure, et cacuer es efforts extérieurs sur cet éément. Retrouver es résutats précédents 5

22 Méthode des ééments finis II- L erreur d approximation Pour présenter a notion d erreur de discrétisation (erreur iée au maiage) et es améiorations possibes du modèe numérique, nous aons modéiser une coonne soumise à son poids propre. En effet a soution anaytique de ce probème n'est pas inéaire en dépacement. g L effort norma est donné par x x N = mg 6h 6 h o et e champ de dépacement (après intégration) mg x u = x ES h II-. Modèe à éément () x o Modèe à degrés de iberté { U} = { u u} La condition u = 0, fait apparaître une composante d effort inconnu X Le travai virtue du poids propre est 6h δ = ρgs δu dx 0 ρ gs X Pour cacuer ce travai nous devons utiiser approximation nodae. héorie Soit un éément fini chargé par une densité de charge f. i f j e = Nous avons : δ f δu dx 0 e Compte tenu de approximation δ { δ e} ( x) Soit pour une charge f = U < N > f dx e = Cte δ = { δue} f e Ce cacu permet de cacuer es charges nodaes équivaentes au sens de approximation à une charge voumique réee appiquée à a structure i f Charge réee j PV f e 0 i j Charge nodae équivaente fe 6

23 II Étude des treiis Pour notre modèe g () x o X ρ gs 6h 6h mg = ρ gs = 6h X = 0 ES [ K ] = [ K ] = { F } d { F } i D où 'équation matriciee à résoudre : ES 0 mg X 6h = + u 0 Et a soution mgh mg champ de dépacement : u = soit u* = ES ES effort à encastrement : X = mg ES mg et état de contrainte sur 'éément : N* = u = 6h x raçons es courbes donnant e champ de dépacement et e champ de contrainte. Champ de dépacement Champ de contrainte La soution ééments finis obtenue aux noeuds est exacte (dépacement et efforts), par contre ee donne une approximation du champ des dépacements et du champ des contraintes sur 'éément. L erreur sur a contrainte maximae est de 50%, cette modéisation n est donc pas satisfaisante. Pour améiorer nous aons dans un premier temps augmenter e nombre d ééments. 7

24 Méthode des ééments finis II-. Modèe à puis ééments Modèe à ééments Nous utiisons deux ééments de ongueur identique ES Pour chaque éément : [ Ke ] = h F et { } d mg = 4 L équation matriciee obtenue après assembage de ce modèe à degré de iberté { U} { u u u } = est : g 6h () () x o ρ gs X 0 0 X ES mg u 0 h = u 0 D où a soution 9mgh mgh Dépacements nodaux : u = et u = 4ES ES Effort à encastrement : X = mg Etat de contrainte sur es ééments : * ES mg N = u = h 4 * ES mg N = ( u u ) = h 4 Cacuons 'effort au noeud interne N en isoant 'éément N ES 0 mg X h = + X = mg / u 4 X Reportons ces résutats sur es courbes de a soution anaytique Champ de dépacement Champ de contrainte Nous retrouvons es informations exactes (dépacement et efforts) aux nœuds, et une meieure approximation des champs de dépacements et contraintes sur es ééments. L erreur sur a contrainte maximae est maintenant de 5%, cette modéisation n est toujours pas satisfaisante. 8

25 II Étude des treiis Modèe à ééments Pour affiner e maiage dans a zone a pus contrainte nous utiisons ééments de ongueur h, h, et h. L équation matriciee obtenue après assembage de ce modèe à 4 degré de iberté { U} { u u u u } = est : X u ES mg 0 = + 6h 0 5 u u4 0 D où a soution mgh mgh mgh Dépacements nodaux : u =, u = et u4 = ES 4ES ES Effort à encastrement : X = mg * ES mg N = u = h * ES mg Etat de contrainte sur es ééments : N = ( u u ) = h * ES mg N = ( u4 u ) = h 4 g 6h 4 () ρ gs () () x o X Reportons ces résutats sur es courbes de a soution anaytique Champ de dépacement Champ de contrainte L approximation des champs de dépacements et contraintes sur es ééments est meieur, erreur de 8% sur a contrainte maximae, on note cependant que a convergence est ente. Pour améiorer a soution ééments finis nous avons augmenté e nombre d'ééments et densifié e maiage dans a zone a pus chargée. Cette méthode dite «h convergence» demande en généra un nombre éevé d'ééments finis. 9

26 Méthode des ééments finis La figure suivante présente es résutats d un modèe ééments finis en contraintes panes. Pour quantifier erreur reative à cette discrétisation, une démarche identique à cee que nous venons de voir est basée sur anayse de a discontinuité du champ des contraintes entre deux ééments adjacents *. en MPa Dans cette section e diagramme des contraintes est e suivant σvm soution cherchée Discontinuité soution ééments finis constante par morceau L erreur est beaucoup trop importante. Ce modèe n est pas satisfaisant, i faut affiner e maiage II-. Modèe à éément de degré Dans e probème de a coonne, nous vouons approcher un champ de contrainte qui évoue inéairement. Nous aons donc utiiser une approximation poynomiae du second degré du champ des dépacements. a u * ( x, t) = a + ax + ax =<, x, x > a a Pour pouvoir identifier es variabes de 'approximation nous devons utiiser un éément fini à noeuds Soit es dépacements nodaux : { e} L identification nous donne U = < u u u > a = u 4 a = u + u u a = u u + u u u u x * Lors de initiation à utiisation d un code ééments finis, i sera important de mettre en œuvre es différentes possibiités de visuaisation du code pour être capabe de quantifier erreur de discrétisation. 0

27 II Étude des treiis D où approximation nodae { } u N U * = < > e x x 4x 4x x x avec N ( x ) = +, N ( x) = et N ( x ) = + En reportant cette approximation, dans e cacu de a matrice raideur et du vecteur force généraisé éémentaire, e, x, x 0 e = < > 0 [ ] K = < N > ES < N > dx { } F N f dx nous obtenons, tous cacus faits 7 8 ES [ Ke ] = sur < u u u > 8 7 / 6 { Fe } = f / / 6 A titre d exercice cacuez e terme (,) de cette matrice Et e premier terme de ce vecteur En modéisant a coonne avec un éément de degré deux, nous obtenons e système matricie suivant : x o X ES mg u 4 0 8h = u 0 g 6h () 9mgh mgh dont a soution est : u = et u = 4ES ES X D où e dépacement approché : 4x 4x x x mg x u* = u + + u = x 6h ( 6h) 6h ( 6h) ES h et effort norma : ES x 4x x N* = ( )4 u + ( + ) u = mg 6h 6h 6h 6h Nous retrouvons a soution anaytique qui, dans ce cas particuier, est comme approximation un poynôme de degré. Pour améiorer a soution ééments finis nous avons augmenté e degré de approximation éémentaire. Cette méthode dite «p convergence» est en généra beaucoup pus rapide, ee nécessite moins d ééments finis.

28 Méthode des ééments finis Les figures suivantes iustrent es deux choix d améiorations possibes d un modèe numérique dont erreur iée au maiage est beaucoup trop importante. En affinant e maiage ocaement h convergence La discontinuité de contrainte caractérise une erreur de discrétisation beaucoup trop importante. Ce modèe n est pas satisfaisant. En utiisant des ééments de degré p convergence Ce probème de écrase tube est présenté dans e diaporama étau du thème modéisation EF dans e site en igne Exercice II-: Modèe EF pour étude des vibrations d une barre Objectifs : Étude de convergence de a soution numérique par rapport à a soution anaytique? cet exercice fait e ien avec e cours de vibration.. Intéressons-nous à a réponse dynamique de a barre de raideur ES de ongueur L représentée par a figure ci-contre Modèe à un éément fini Exprimer a matrice raideur et a matrice masse de 'éément. En déduire une approximation de a première pusation propre. Que pensez-vous de ce modèe? Modèe à n ééments finis Pour un maiage de n ééments identiques Donner a forme des matrices masse et raideur En déduire une approximation des deux premières pusations propres. vibrations ongitudinaes soution anaytique : π ωi = (i ) ES π x Zi ( x) = sin(i ) L ρsl

29 II Étude des treiis Que pensez-vous de ce modèe? Que faut-i envisager pour améiorer es résutats? Utiiser Mape ou Matab pour cacuer es pusations propres d'un modèe à puis 4 ééments. Qu'en concuez-vous sur a convergence des pusations propres? Exercice II-4: Barre à section variabe Objectifs : Cacu de a matrice éémentaire d une barre à section variabe. Comparaison avec a soution anaytique, convergence du modèe numérique. Soit une éprouvette pane (paque d épaisseur e) soumise à un essai de traction. Les dimensions de a structure sont données par a figure ci-dessous (a section varie inéairement). Dans cet exercice nous utiiserons un modèe D pour approcher 'état de contrainte dans 'éprouvette. Pour ce modèe, on étudiera a convergence de 'approximation pour une discrétisation du probème en puis ééments finis. Rappeer 'expression de 'énergie de déformation pour un éément de section variabe de S à S Cacuer a matrice raideur éémentaire Expiquer pourquoi ce type d'éément conduira nécessairement à une approximation. Appication Soit une modéisation ééments finis de cette structure, peut-on résoudre e système matricie? Combien de conditions aux imites faut-i introduire? Proposer une soution. On décide de tenir compte de a symétrie. Préciser es conditions aux imites à introduire sur a frontière (figure). Ces conditions sont-ees suffisantes? Proposer une soution. Pour une modéisation à éément fini en tenant compte de a symétrie. Cacuer es champs approchés des dépacements et des contraintes. Comparer à a soution anaytique, es graphes sont donnés ci-dessous. Pour un modèe à ééments finis. Cacuer a nouvee approximation des champs des dépacements et des contraintes. Comparer à a soution anaytique. Le fichier Mape vous permettra de tracer es courbes adimensionnees de a soution anaytique. Courbe σ F / So en fonction de x Courbe u F / ESo en fonction de x

30 Méthode des ééments finis Pour compéter es notions présentées dans ce chapitre e site en igne Vous propose : Des diaporamas d introduction des thèmes du cours Rappe des textes et corrigés des exercices de cours Des exercices d appication : exercices non corrigés qui vous permettront d appiquer et de vaider es différents thèmes. Des QCM d auto évauation : avec correction automatique de vos réponses. Un exique i contient fiches concernant directement es treiis : es hypothèses du modèe «barre», a mise en équation par e PFD et PV des barres, et es matrices uties pour un cacu ééments finis d un treiis. MEFLAB : C est une appication MALAB qui vous permettra de réaiser es cacus numériques des structures présentées dans ce cours et en D. I faut téécharger es scripts et ire e document de présentation de appication. 4

31 II Étude des treiis II-4 Petit quiz Q : En statique, e modèe ééments finis direct de cette structure est-i ma posé? Proposez deux modéisations différentes permettant de cacuer cette structure. Q : Proposez modèes ééments finis de cette structure treiis, (précisez bien es conditions aux imites géométriques, es chargements et es caractéristiques mécaniques de vos modèes, justifier e choix du modèe e pus simpe) Q : Vous devez pouvoir justifier toutes vos réponses Dans es ouvrages sur a méthode des ééments finis vous trouverez expression générique suivante pour a matrice raideur [ Ke ] = [ B] [ D] [ B] dv D e Pour un éément barre, que vaut a matrice [B] et que représente-t-ee? Même question pour a matrice [D]? Q4 : Pourquoi a soution EF du cacu statique d un treiis chargé aux nœuds est-ee exacte? En est-i de même en dynamique? Q5 : Expiquez pourquoi un changement de base sur a matrice raideur est toujours de a forme Q6 : [ K ] = [ P] [ K ] [ P] e L éément fini barre cassique assure a continuité de que champ? Q7 : e Pour construire un éément fini barre assurant a continuité du champ des dépacements et de effort norma, que type d approximation doit-on utiiser? (inéaire, quadratique, cubique) Q8 : Soit a structure porteuse représentée par a figure ci-contre, proposez un modèe ééments finis treiis de cette structure (précisez e nombre de variabes de votre modèe). F y o x o F F pression p Rien ne vous empêche de discuter vos réponses avec votre enseignant. F 5

32 Méthode des ééments finis Notes personnees 6

33 III Étude des portiques Les portiques De même que pour es treiis es portiques peuvent être considérés comme des structures constituées d'un nombre fini d'ééments (systèmes discrets). III- La théorie Ce qui expique que a formuation variationnee du probème conduise directement au système matricie. III-. Modèe poutre en fexion Soit un éément rectiigne travaiant en fexion dans e pan ( O, xo, yo ) supposé principa d'inertie. Le modèe mathématique est basé sur es hypothèses suivantes *. * Petits dépacements et section droite reste droite. (hypothèses de Bernoui) u( M ) = u( G) + θ Λ GM et θ = rot( u(g) ) soit dans e pan θ = v, x zo et u ( M, t ) = bo z o y o y v v 0, x fibre moyenne état initia * Petites déformations. yv, xx v, x 0 ε = grad = su avec gradu v, x 0 0 ε xx = y v, x * Miieu isotope homogène éastique État de contrainte uni axia σ = Eε xx xx u G M G x o n x o Section droite eng En intégrant es contraintes sur a section en tenant compte de : σ xx = Ey v, xx x Contraintes C y ds = 0 et I = S Mf = Mf z avec Mf = y σ xxds = EI v x R = 0 orseur résutant Nous obtenons a oi de comportement intégrée des poutres. M f EI v =, x S, xx S y ds * Cours de résistance des matériaux - MMC 7

34 Méthode des ééments finis III-. Mise en équations par e PFD Isoons une tranche d épaisseur dx, et effectuons e bian des efforts extérieurs sur cet éément de matière (figure ci-contre) Les équations de résutante et de moment dynamique sont : + d + fdx = ρsvɺɺ dx dx dx ( + d ) + M f + dm f M f + 0 Soit x ρsvɺɺ + M = f ] [, 0, f xx = M f, x Mf f dx x + d Mf + dmf Utiisons aors a oi de comportement intégrée, pour obtenir 'équation ocae : ] 0, [ ρ ɺɺ 4 x Sv + EIv = f Les conditions aux extrémités (conditions aux imites) sont de deux types conditions en dépacement sur v = vd ( t) ou θ = θd ( t) (conditions en v et v, x ) conditions en force sur = ( t) ou Mf = Mf ( t) (conditions en v et v ) d, x d, x, x par e PV Considérons un éément de structure de ongueur, chargé sur sa ongueur et à ses extrémités (figure cicontre). y M o Fo f F 0 M x Le PV appiqué à cet éément donne équation intégrae suivante : δv ρsvɺɺ δv dx = EIv,xx δv,xx dx + f δv dx + Foδ vo + Fδ v + Moδθo + Mδθ o o o C est a forme variationnee du probème. Le premier terme correspond au travai virtue des quantités d accéération Le second terme correspond au travai virtue des efforts intérieurs (efforts de cohésion) σ : δ ε dv = Eyv δ yv ds dx = EIv δv dx D x x x x,,,, 0 S 0 Notez que ce terme peut être cacué à partir de a variation de énergie de déformation avec d = σ ε =, xx =, xx D 0 S 0 E : dv E ( yv ) ds dx EI ( v ) dx δ Ed 8

35 III Étude des portiques Le troisième terme correspond au travai virtue du chargement inéique f Les derniers termes correspondent au travai virtue des efforts appiqués aux extrémités du barreau. Dans e cas ou es conditions aux imites portent sur un dépacement (fèche, rotation), effort (force, moment) à extrémité est aors une inconnue du probème. Équivaence des principes Partons du PV et transformons équation intégrae pour retrouver e PFD (équation ocae) et es conditions aux imites du probème Effectuons deux intégrations par partie du terme EIv,xx δ v,xx dx o EIv δv dx = δv EI v δv EI v dx o,xx,xx, x,, x, x 0 x 0 Fait apparaître es conditions aux imites en rotation et moment et cees en fèche et force o EIv δ v dx = δ v EI v δ v EI v + δ v EI v dx,xx,xx, x,,, 4 x 0 x 0 x 0 Reportons dans expression du PV en regroupant es termes ( ɺɺ 4,x ) ( ) + δθ, o ( + x, ) o x (, ) + δθ x (, x ) δ v F EI v M EI v o δ v δ v ρsv + EIv f dx = o δ + Le choix de δ v 0 sur ] [ Le choix de δ v o 0 et v 0 F o v F EI v M EI v 0, nous donne équation ocae : ρ Svɺɺ + EIv 4 f = 0 δ = sur ] ] ( EI v x ) = 0 Fo = o, x= 0 de a même façon nous retrouvons : δ v, x 0 o o (, x ) x= 0 pour ( ) pour δ v 0 pour ( δ ) 0,, nous donne a condition aux imites en force en x=0 M = EI v = M F = EI v = ( ) v, x 0 (, x ),x x= M = EI v = M x= f f o,x Ces conditions tiennent compte de orientation de a normae extérieure au domaine et de a oi de comportement o 9

36 Méthode des ééments finis III- L éément fini poutre Pour représenter e comportement d'une poutre en fexion i faut assurer a continuité des champs de dépacement et de rotation. III-. Approximation nodae L éément fini «poutre» utiise comme variabes nodaes a fèche et sa dérivée première (rotation de a section droite), i fait partie de a famie des ééments de type 'Hermite. Le repère oca orthonormé ié à 'éément, a pour direction x 'axe de a poutre orienté de i vers j, et pour direction y un vecteur du pan principa d'inertie de a section droite. Les variabes nodaes sont : < v ( t) θ ( t) v ( t) θ ( t) > i i j j y o v i (t) 0 θ i (t) v j (t) θ (t) j x o Pour identifier nos quatre variabes nodaes nous utiisons une approximation poynomiae cubique (degré ) de a forme : a ( t ) a * (, ) ( ) t v x t =< x x x > a ( t ) a4 ( t ) Par identification des variabes nodaes avec approximation de a fèche et de a rotation aux noeuds, nous obtenons a reation matriciee suivante : vi ( t) v * ( o, t) a ( t) θ ( t) i θ * (, ) o t a ( t) v = ( t) * (, t) j v a ( t) θ ( t) j * (, t) j θ 0 a 4 ( t) Inversons cette reation et reportons e résutat dans 'expression de 'approximation, nous obtenons vi ( t) θ i ( t) v* ( x, t) = < N > e { Ue} = < N N N N4 > v j ( t) θ j ( t) Avec es fonctions d'interpoation suivante N ( s) = s + s x où s = N ( s) = s s N et N représentent a déformée d'une poutre bi - encastrée pour aquee on impose un dépacement unité à une des deux extrémités N 0 N s 0

37 III Étude des portiques N = + ( s) ( s s s ) N4 ( s) = ( s + s ) N et N 4 représentent a déformée d'une poutre encastrée à une extrémité. Pour aquee on impose une rotation unité à 'autre extrémité. 0 N N 4 s III-. Matrice raideur et masse L'énergie de déformation associée à notre éément est ( ) d =, xx Utiisons approximation nodae du champ des dépacements v = < N > U { }, xx, xx e E EI v dx 6 6 avec < N, xx > = B =< + s + s s + s > U [ ] ( ), ( ), ( ), ( ) { } o e D où [ ] K [ B] EI [ B] dx e = 0 A titre d exercice cacuez e terme (,) de cette matrice. soit [ ] 6 6 EI Ke = sur < v,,, i θi v j θ j > Remarque : en travaiant sur es variabes < v, θ, v, θ > es coefficients de a matrice sont i i j j adimensionnes 6 6 EI z [ Ke ] =,,, sur < vi θi v jθ j > Cea peut vous permettre de simpifier vos cacus numériques. La matrice masse de éément poutre est [ ] M e = ρs sur < vi, θi, v j, θ j > A titre d exercice cacuez e terme (,) de cette matrice.

38 Méthode des ééments finis III-. Vecteur force généraisé y f Soit un éément poutre sur eque est appiqué une densité inéique d'efforts transversaux f Le travai virtue de ces efforts est δw = f. δ v dx = δu N f dx f { e} [ ] 0 0 Pour une densité de charge uniforme nous obtenons : { } La prise en compte d'une charge répartie sur un éément ne consiste pas à appiquer simpement des efforts f/ aux noeuds. i e Fd = f < N ( x) > dx= f e 0 j x f Charge réee f=cte PV M = f / ϕ = f / ϕ = f / Charge nodae équivaente M = f / Pour cacuer état de contrainte sur es ééments (moment de fexion et effort tranchant) nous utiisons a oi de comportement intégrée : 6 6 M f = EI v, xx = EI < B > { Ue} avec < B >=< ( + s), ( + s), ( s), ( + s) > 6 6 = EI v, xxx = EI < B, x > { Ue} avec < B, x > = <,,, > Vous notez que e moment de fexion M f est inéaire et que effort tranchant est constant par éément. Exercice III-: Étude d une poutre sous son poids propre Objectifs : mise en œuvre de a méthode des ééments finis, et iustrer a notion d'erreur iée à 'approximation. Nous cherchons a réponse statique de a poutre sur appuis représentée par a figure ci contre. Modèe à éément. Définissez vos vecteurs gobaux :{ U } { } F (bian inconnues équations) I Déterminer a matrice raideur. e vecteur force généraisé associé au poids propre. Écrivez e système réduit des équations, cacuez es dépacements nodaux, représenter a déformée. g

39 III Étude des portiques Cacuer a fèche au centre de a poutre, et comparer à a soution anaytique v ( / ) 5 ρgs = 84 EI Cacuer es efforts aux appuis, et vérifier 'équiibre goba de a structure. Cacuer es efforts sur 'éément et tracer es diagrammes de 'effort tranchant et du moment de fexion. Comparer à a soution anaytique. Modèe à ééments. Déterminer a matrice raideur assembée compète. Déterminer e vecteur force généraisé associé au poids propre de a structure. Écrivez e système réduit des équations, cacuez es dépacements nodaux, comparez à a soution anaytique. Cacuer es efforts aux nœuds, comparez à a soution anaytique. Cacuer es efforts sur 'éément et tracer es diagrammes de 'effort tranchant et du moment de fexion. Comparer à a soution anaytique. Prise en compte de a symétrie Préciser e nouveau maiage en précisant es conditions de symétrie. Cacuer a matrice raideur et retrouver a soution du modèe à ééments. 4 III- Appication aux portiques Pour cacuer es portiques nous devons utiiser un éément poutre tridimensionne. Cet éément est obtenu par superposition de trois modèes mathématiques : e modèe de traction, e modèe de torsion, et e modèe de fexion. Pour a fexion, vous savez que e probème se décompose en deux probèmes de fexion pane dans es deux pans principaux de a section droite de a poutre. L'éément fini poutre tridimensionne est un éément à deux noeuds et 6 degrés de iberté par nœud définis sur a base ocae de 'éément. { δue} = ( u, v, w, θx, θ y, θz ) ( u, v, w, θx, θ y, θz ) Soit «dd» par éément i j z o b o x o y e θ v x u θ y j e w θ i z y o z e x e Par anaogie avec es cacus présentés dans es chapitres I et II, i est assez simpe de construire es matrices éémentaires associée aux modèes de traction, torsion et de fexion dans chaque pan principa d'inertie. La matrice du modèe tridimensionne est obtenue par superposition des quatre matrices éémentaires reatives à : variabes Caractéristiques mécaniques raction u ES, ρ S orsion θ x GJ, ρ I Fexion ( x, o, y ) v, θ z EI z, ρ S Fexion ( x, o, z ) w θ EI, ρ S, y La matrice (*) correspondante est donnée dans e site en igne. I est cair que nous ne manipuerons pas ces matrices manueement, d'autant que pour effectuer 'assembage d'une y

40 Méthode des ééments finis structure portique i faut effectuer un changement de base pour exprimer toutes es matrices éémentaires sur une base gobae. Manueement nous ne traiterons que des cas simpe de portique pan ayant des ééments d axe x ou y v te que θ F exempe ci-contre. u u En statique e modèe à deux ééments finis est suffisant pour obtenir a soution exacte du probème. C est un modèe à 4 variabes < u, v, θ, u >. I est fortement conseié de réaiser par vous-même es cacus de ce modèe en suivant a démarche proposée pour étude des treiis. Puis d anayser et de comparer vos résutats à ceux que nous aons obtenir en simpifiant ce modèe. En effet en statique a variation du moment de fexion est inéaire sur chaque éément Pour simpifier e modèe nous négigeons 'effort norma dans es ééments. Compte tenu de cette hypothèse e modèe ne comporte pus que variabes < u, θ > Cacuons directement es matrices éémentaires sur ces variabes. Pour éément : [ K ] EI 6 = 6 4 et pour éément : [ K ] D'où a matrice raideur assembée réduite [ Kred ] La soution de [ K ]{ U} red F = 0 est { U } = F u = 5 EI = F θ = 0 EI F θ u EI 0 0 = 0 4 EI 6 sur < u, θ > 6 8 u θ u Aure de a déformée u Cacu des réactions Eément : (-) M R M R Nous utiisons es équations d équiibre de chaque éément car nous n avons pas cacué a matrice gobae. Notez orientation de éément de vers ce qui permet d obtenir directement expression de a matrice raideur éémentaire sur es variabes gobaes. 6 6 u R EI θ M 6 6 = 0 R M < R M R M >= F < 0, 4 0, 6 > 4

41 III Étude des portiques Eément : (-) M R M R R EI θ M 6 6 = 0 R M < R M R M >= F < 0, 6 0, 4 0, 6 0, > Ce modèe ne nous donne pas toutes es composantes d effort car nous avons négigé 'effort norma dans es ééments. F 0,6F - 0, F Pour cacuer a composante verticae de effort au noeud, nous pouvons écrire 'équiibre de 'éément ou vérifier es équations d'équiibre de a structure. - F - 0,6F Efforts aux appuis 0,6 F Exercice III-: Étude d un portique Objectifs : mise en œuvre de a méthode des ééments finis, changement de base, assembage, résoution, cacu des efforts aux appuis, cacu des contraintes dans es ééments, et cacu des efforts aux nœuds internes. Intéressons-nous à a réponse statique du portique pan représenté par a figure ci-contre. On ne négige pas 'effet de 'effort norma DDL par nœuds ( On posera ES / α = EI / Modèe à ééments. Définissez vos vecteurs gobaux :{ U } { } Déterminer I u i v i, θ, ). i f y o F (bian inconnues équations) a matrice raideur assembée réduite. e vecteur force généraisé associé à a pression inéique. Pour α = Déterminer a déformée statique (dépacements nodaux). Cacuer es efforts aux appuis, et vérifier es équations d équiibre goba de a structure. Pour chaque éément cacuer es efforts (contraintes) au point A et anaysez es discontinuités. Que pensez-vous de votre modèe, est-i satisfaisant? Proposer un modèe pus satisfaisant, pensez-vous pouvoir résoudre ce modèe à a main? Exercice III-: Études statique et dynamique d une poutre Objectifs : Iustrer a notion d'erreur iée à 'approximation. Nous cherchons a réponse statique de a poutre sur appuis représentée par a figure ci contre. Modèe à éément. Déterminer a matrice raideur. x o e vecteur force généraisé associé à a charge Cacuer a réponse statique, es efforts aux appuis et tracer e diagramme des efforts sur éément. Comparer à a soution anaytique : 7 F F F v( C) =, θ ( C) =, θ ( B) = 768 EI 8 EI EI y o A A x o C B 5

42 Méthode des ééments finis M f ( A) = F /6, M ( C) = 5 F / Que pensez-vous de ce modèe, est-i satisfaisant? f Modèe à ééments. Cacuer a réponse statique, es efforts aux appuis et tracer e diagramme des efforts sur es ééments. Justifier es résutats de ce modèe. Réponse dynamique : Cacu des fréquences propres de a structure Modèe à éément fini Modèe à deux ééments finis (vous pouvez utiiser Matab ou Mape) Comparer à a soution anaytique : 5,4 EI ω =, ω 4 = 49,96 4 ρs EI ρs ω = 04, EI ρs, 4 Vous avez toutes es soutions anaytiques des poutres sur e site «vibration» 6

43 III Étude des portiques III-4 Petit quiz Q : Un modèe ééments finis cassique d une poutre soumise à son poids propre peut-i conduire à a soution exacte en statique? Proposez différentes modéisations permettant de cacuer a structure représentée sur a figure ci-contre. Q : L éément fini poutre cassique assure a continuité de ques champs? Q : Vous devez pouvoir justifier toutes vos réponses Dans que cas a soution éément finis du cacu statique d un portique peut-ee être exacte? Q4 : De quee nature est approximation de effort tranchant sur un éément finis poutre cassique? Q5 : En post-traitement comment cacuez vous es diagrammes du moment de fexion sur es ééments d une structure portique? Q6 : Le moment de fexion cacué en post-traitement sera-t-i continu entre es ééments? Q7 : Pourquoi es variabes de éément fini poutre cassique sont-ees v, θ? Q8 : Proposez un modèe ééments finis de a structure représentée par a figure ci-contre (précisez e nombre de variabes de votre modèe). y o poutre porteuse EI, x o h F g éément rigide câbes de trianguarisation ES,L Q9 : Proposez un modèe ééments finis de a structure représentée par a figure ci-contre (précisez es variabes de votre modèe). F iaison pivot Q0 : Proposez un modèe ééments finis, en négigeant 'effort norma, de a structure représentée par a figure ci-contre (précisez es variabes de votre modèe). F iaison gissière 45 Rien ne vous empêche de discuter vos réponses avec votre enseignant. 7