Radical hilbertien et tour localement cyclotomique

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1 Radical hilbertien et tour localement cyclotomique Jean-François Jaulent et Christian Maire Résumé. Nous déterminons le module des relations du groupe de Galois de la pro-lextension localement cyclotomique maximale d'un corps de nombres K à l'aide du radical hilbertien de ce corps. Abstract. We determine the module of relations of the Galois group of the maximal locally cyclotomic pro-l-extension of a number eld K using the hilbertian radical of this eld. 1. Introduction Soient K un corps de nombres de signature (r K, c K ), l un nombre premier, et K c la Z l -extension cyclotomique de K. Nous nous intéressons dans ce qui suit à la pro-l-extension localement cyclotomique maximale K c de K, i.e. à la plus grande pro-l-extension de K qui est totalement décomposée sur K c en chacune de ses places. Il est déni dans [5] une tour de l-extensions K = n N K (n) associée à K de telle sorte qu'on ait K c = (K ) c si K est un corps de nombres (i.e. si [K : K] est ni), K c = K = (K ) c sinon. Cette tour K est appelé l-tour localement cyclotomique de K et est construite sur le modèle de la l-tour de Hilbert classique K H à ceci près que le l-groupe des classes est remplacé par son analogue logarithmique. Cette nouvelle tour K est sauvagement ramiée. Un des objets les plus étudiés dans le problème des l-tours est le module des relations du groupe de Galois de celles-ci. Pour la l-tour de Hilbert K H, lorsque celle-ci est nie, il en est donné dans [8] une interprétation kummerienne. Nous proposons de donner ici une interprétation hilbertienne du module des relations de la l-tour localement cyclotomique K. Plus précisément : Théorème 1.1. Soit K un corps de nombres et l un nombre premier. Notons K la l-tour localement cyclotomique de K et supposons K /K nie. Soit alors G = Gal(K /K) c le groupe de Galois sur K de la Z l -extension cyclotomique K c de K. Il existe un isomorphisme naturel entre le groupe d'homologie H 2 (G, F l ) et le quotient Λ K /N K /K(ẼK )R l K, où R K = Z l K est le l-adié de K, le groupe Λ K = {x R K /x J KŨK} l est le radical hilbertien attaché à K et ẼK est le groupe des unités logarithmiques de K. Dans [5] est établie une majoration du nombre minimal de relations du groupe Gal(K /K) lorsque celui-ci est ni. Comme corollaire à la preuve du théorème 1.1, nous étendons cette majoration au cas où Gal(K /K) est inni pour obtenir : Corollaire 1.2. Le nombre minimal de relations du groupe Gal(K /K) est majoré par la quantité d l ClK + r K + c K + δ, où d l ClK est le l-rang de Cl K et où δ vaut 1 si K contient une racine primitive l-ème de l'unité, 0 sinon. Ce résultat permet de préciser la démonstration du théorème 2.1 de [4]. Japan. J. Math. 28 (2002),

2 2. Présentation du problème 2.a Notations Dans toute la suite l est un nombre premier xé et K un corps de nombres. Soit p un premier de K puis K p le complété associé. Le compactié l-adique R p de K p est déni comme la limite projective R p = lim K p /K p l n. Le l-groupe des unités logarithmiques locales est le sous-groupe Ũp de R p associé par la théorie du corps de classes à la Z l -extension cyclotomique de K p. Remarquons que si p est une place nie étrangère à l, le groupe Ũp s'identie au sous-groupe de l-torsion des unités locales de K en p. Par contre, si p divise l, le groupe Ũp est le produit direct du sous-groupe des racines de l'unité d'ordre l-primaire contenues dans K p par un Z l -module libre de rang [K p : Q l ] (cf. [2]). On voit par là que pour une place nie p, le groupe Ũp ne se distingue du sous-groupe unité U p de R p que pour p l. Enn, pour une place innie p, le groupe Ũp coïncide avec le groupe R p. Par suite, le l-adié J k du groupe des idèles (déni comme le produit res R p restreint aux familles (x p ) p dont tous les termes, à l'exception d'un nombre ni d'entre eux, tombent dans U p ), contient comme sous-module compact le produit Ũ K des Ũp, qui est ainsi le sous-groupe des unités logarithmique semi-locales. Comme J K contient par ailleurs le rayon R K = Z l K ou l-groupe des idèles principaux, l'intersection ẼK = R K ŨK est le l-groupe des unités logarithmiques globales de K. Sous la conjecture de Gross, ce groupe est le produit direct du sousgroupe des racines de l'unités d'ordre l-primaire par un Z l -module de rang r K +c K, où r K est le nombre de places réelles de K et c K celui de places complexes. Rappelons ensuite que la Z l -extension cyclotomique K c de K est associé par la théorie du corps de classes au sous-groupe d'idèle J K, où J K est le noyau dans J K de la formule du produit pour les valeurs absolues l-adiques (cf. [2]). Notons nalement K lc la l-extension abélienne maximale de K dont tous les complétés Kp lc de K lc en chacune de ses places p tombent dans la Z l -extension cyclotomique Kp c de K p ; ou encore K lc est la plus grande l-extension abélienne de K contenant K c, totalement décomposée sur cette dernière. Alors par maximalité, K lc est associée par la théorie du corps de classes au sous-groupe d'idèles R K Ũ k. On a donc Gal(K lc /K c ) J K /R K Ũ K. Ce quotient Cl K = J K /ŨKR K est par dénition le l-groupe des classes logarithmiques du corps K et sa nitude est assurée par la conjecture de Gross. Lorsqu'il est trivial on dit que K est logarithmiquement principal, ou encore log-principal. Posons enn Λ K = R K ŨKJK l = R K ŨK J K l. Le quotient Λ K/R l K est par convention le radical hilbertien attaché au corps K. En présence des racines l-ièmes de l'unité, il s'interprète ( comme ) le noyau dans le radical kummerien R K /R l K des ζ, x symboles de Hilbert construits sur les racines l-èmes de l'unité (cf. [3]). p 2.b La l-tour localement cyclotomique Il est construit dans [5] une suite d'extensions de la façon suivante : Partant de K 0 = K, on dénit K n+1 comme la l-extension abélienne localement cyclotomique maximale de K n d'exposant celui de Cl Kn (c'est à dire comme le compositum des sous-corps de Kn lc xés par les γ.c, où γ désigne un relèvement arbitraire à Gal(Kn lc /K n ) d'un générateur topologique du groupe Gal(Kn/K c n ) Z l, et c parcourt Cl Kn Gal(Kn lc /Kn)). c Et on pose nalement : K = n N K n. Si [K : K] est ni, on dit que la tour est nie ; sinon on dit qu'elle est innie. Le premier cas se produit si et seulement si K possède une extension nie 2

3 F qui est log-principale (cf. [5]) ; dans le deuxième cas aucune extension F nie de K n'admet elle-même une telle tour nie ; en d'autres termes la pro-l-extension localement cyclotomique maximale de K est alors de degré inni sur sa Z l -extension cyclotomique K c. 2.c Groupe d'inertie logarithmique Si K/k désigne une extension de corps de nombres et P une place nie de K, la quantité ẽ P (K/k) = [K P : K P k p Qp ], où P p p et Q p est la Ẑ-extension cyclotomique de Q p (i.e. le produit des Z q - extensions cyclotomiques de Q p pour tous les premiers q) est, par convention l'indice de ramication logarithmique de P dans K/k. Lorsque l'extension K/k est galoisienne, le groupe de Galois Gal(K P /k p k p Qp ) est dit groupe de ramication logarithmique de P dans K/k et noté ĨP(K/k) (ou encore Ĩp(K/k) ; il peut donc être vu comme un sous-groupe de Gal(K/k). Le degré résiduel logarithmique est, lui : f P (K/k) = [K P k p Qp : k p ] = [K P : k p ]/ẽ P (K/k). En particulier, le produit ẽ P (K/k) f P (K/k) coïncide avec le degré local [K P : k p ]. Notons que pour une extension abélienne locale, l'image de Ũp par le symbole de réciprocité local est exactement le groupe d'inertie logarithmique. Plus généralement, pour une extension galoisienne non nécessairement abélienne, l'image de U p est le quotient : C'est là est une conséquence du lemme suivant : Ĩ p (K/k) [Ĩp(K/k), Gal(K p /k p )]. (1) Lemme 2.1. Soit k un corps de nombres, K/k une extension galoisienne éventuellement innie ; soit p une place nie de k, puis K p et k p les complétés respectifs de K et k. Notons D p le groupe de Galois de K p /k p et Ĩp le groupe d'inertie logarithmique dans cette extension. Il suit : [D p, D p ] = [D p, Ĩp]. Preuve. Cela provient du fait que D p /Ĩp est cyclique ou procyclique. 2.d La pro-l-extension maximale K de K Notons K la pro-l-extension maximale de K et Ḡ = Gal( K/K). Soit H le sousgroupe de Ḡ engendré par les groupes d'inertie logarithmique de toutes les places p de K. Observons que Ĩp( K/K) est le groupe de Galois de l'extension locale K p /Kp c vu comme sous-groupe du groupe de décomposition de p dans K/K. Bien entendu H est un sous-groupe distingué de Ḡ. D'autre part le sous-corps xé par H est K lc = K, c ceci par maximalité. Pour la suite, nous noterons : L = K lc = K. c Soient maintenant G = Gal(L/K) et F le sous-corps de K xé par [Ḡ, H]. Nous obtenons le schéma d'extensions (où la sous-extension F/K est évidemment abélienne) : 3

4 K c H L K F [Ḡ, H] G K Ḡ K 3. Suites exactes classiques et lemmes fondamentaux 3.a Suite exacte du radical hilbertien. Le groupe Λ K apparait dans la suite exacte : 1 Ẽ K ẼK l N K /K(ẼK ) Λ K R l K N K /K(ẼK ) l Cl K 1. (2) En eet à x = uy l Λ K, avec u Ũk et y J K, on associe la classe de y dans le sous-groupe de l-torsion l ClK du groupe des classes logarithmiques Cl K. 3.b Suite exacte d'homologie La suite exacte courte canonique donnée par la multiplication par l fournit la suite exacte d'homologie : 1 Z Z F l 1 1 H 2 (G, Z) l H 2 (G, F l ) H 1 (G, Z)[l] 1. (3) Ensuite, il est clair que l'on a : lh 1 (G, Z) = l G ab l Gal(K lc /K) l ClK. (4) La diculté principale va être l'interprétation du groupe de cohomologie H 2 (G, Z). Ce sera l'objet du théorème 4.3 de la section Ÿ4. Mais avant de passer à celle-ci, énonçons les lemmes clefs à propos des corps de nombres log-principaux. 3.c Corps de nombres log-principaux Précisons tout d'abord quelques notations. Pour un corps de nombres F de Z l -extension cyclotomique F c, notons par F n les étages de F c /F (F n est l'unique sous-corps de F c de degré l n sur F ), par Γ n le groupe de Galois de F n /F et par Γ celui de F c /F. Notons ensuite par N F c /F (ẼF c) le sous-groupe de ẼF formé des éléments qui sont normes d'unités logarithmiques dans chaque sous-extension nie de F c /F : N F c /F (ẼF c) = N Fn/F (ẼF n ) n Il vient alors le lemme suivant : 4

5 Lemme 3.1. Soit F un corps de nombres log-principal. Alors les unités logarithmiques ẼF de F sont normes dans F c /F d'unités logarithmiques c'est à dire que l'on a : Ẽ F = N F c /F (ẼF c) Preuve. Soit n > 0. Le groupe Γ n étant cyclique, on peut donc parler du quotient de Herband de ẼF n par rapport à Γ n. De plus, l'extension F n /F étant localement cyclotomique, ce quotient est trivial (cf. [2]). Il suit Ĥ0 (Γ n, ẼF n ) = H 1 (Γ n, ẼF n ). Maintenant comme F et F n sont log-principaux et comme F n /F est localement cyclotomique, le groupe de cohomologie H 1 (Γ n, ẼF n ) est lui aussi trivial (voir également [2]). Il vient donc : Ẽ F /N Fn/F ẼF n = Ĥ0 (Γ n, ẼF n ) = 1. 3.d Cohomologie en 1 des classes d'idèles Conservons les notations de la section précédente. Supposons de plus que F est une extension galoisienne nie de K. Posons G n = Gal(F n /K) et G = Gal(F c /K). Cela étant : Lemme 3.2. Sous les hypothèse précédentes, on a : lim n Ĥ 1 (G n, C Fn ) lim n Ĥ 1 (G n, C Fn ), où C Fn = J Fn /R Fn (resp. CFn = J Fn /R Fn ) désigne le groupe de classes d'idèles (resp. des classes d'idèles de degré zéro) du corps F n. (et la norme est l'homomorphisme de la limite projective sur les classes d'idèles). Preuve. Notons d'abord l'isomorphisme entre limites projectives relativement à la norme : lim C Fn lim CFn. n n En eet, nous avons C Fn / C Fn Gal(F c /F n ) où la norme de C Fn+1 / C Fn+1 vers C Fn / C Fn correspond à l'injection naturelle Gal(F c /F n+1 ) Gal(F c /F n ). Les G n - modules C Fn et C Fn étant compacts, il vient ainsi : 1 lim CFn lim C Fn lim n n n C Fn C Fn = 1 Notons ensuite par C F c (resp. CF c) la réunion des C Fn (resp. CFn ) et dénissons Ĥ 1 (G, C F c) par : Ĥ 1 (G n, C F c) := lim Ĥ 1 (G n, C Fn ) = lim N Fn/F CFn /I Gn ( C Fn ). Dénissons de même Ĥ 1 (G n, C F c). Alors C F c (resp. CF c) est un level-g-module compact au sens de [7]. Il vient ainsi (cf. [7], lemme 3.1.9, page 123)) : Ĥ 1 (Γ, C F c) = lim Ĥ 1 (G n, N n (C F c)), avec N n (C F c) := m n N F m/f n (C Fm ). Il vient de même : Ĥ 1 (Γ, C F c) = lim Ĥ 1 (G n, N n ( C F c)). Et comme tous les groupes qui apparaissent sont compacts, il suit : lim Ĥ 1 (G n, N n C F c) lim N Fn/F N F c /F n (C F c)/ lim I Gn N F c /F n (C F c). 5

6 Maintenant, pour conclure, il sut de noter que l'on a N F c /F n (C F c) = N F c /F n ( C F c), d'où : Ĥ 1 (G, C F c) Ĥ 1 (G, C F c). 4. Interprétation du groupe H 2 (G, Z) Revenons aux notations de la section 2.4. Prenons F = K supposé de degré ni sur K. Rappelons le lemme suivant établi dans [5] : Lemme 4.1. Soit G n = Gal(F n /K). Alors, H 1 (G n, C Fn ) Ĥ0 (G n, ẼF n ). Nous pouvons dès lors énoncer le résultat principal de cette section : Théorème 4.2. Supposons la tour K /K nie. Dans ce cas, il vient : H 2 (G, Z) Ẽ K N K /K(Ẽ ). Preuve. Posons F = K. Soient F n les étages de F c /F et G n = Gal(F n /K). Il vient alors : H 2 (G, Z) lim H 2 (G n, Z) lim Ĥ 1 (G n, C Fn ) (isomorphisme de la théorie du corps de classes) lim Ĥ 1 (G n, C Fn ) (lemme 3.2) lim Ĥ 0 (G n, ẼF n ) (lemme 4.1) = lim Ẽ K /N c) Fn/K(ẼF ẼK/ n N N Fn/K(ẼF n ) = ẼK/N F/K (ẼF ) (lemme 3.1). On a le résultat principal suivant : Proposition 4.3. Supposons K /K nie. Il vient alors : H 2 (G, Z) Ẽ K N K /K(ẼK ). Preuve. On part de la suite exacte courte qui dénit les classes d'idèles : 1 R K c J K c C K c 1. (5) On obtient ainsi la suite de cohomologie : H 1 (G, J L ) H 1 (G, C L ) H 0 (G, R L ) H 0 (G, J L ) On a via le corps de classes : H 2 (G, Z) = H 3 (G, Z) H 1 (G, C L ). Lemme 4.4. On a H 1 (G, J L ) = 1. 6

7 Ainsi, par le Théorème de Shapiro, on a : H 1 (G, J L ) = p H 1 (G p, R P ) = p H 3 (G p, Z), où G p est le groupe décomposition de p dans L/K. Et, par construction, G p est nul pour p innie et isomorphe à Γ = Z l pour p nie. Or la cohomologie d'un groupe procyclique est périodique et on a directement : H 3 (Γ, Z) = H 1 (Γ, Z) = Ĥ0(Γ, Z) = 1. On peut alors nir la preuve de la proposition 4.3 : Par (5), le groupe H 1 (G, J L ) étant nul, on voit que H 2 (G, Z) = H 1 (G, C L ) s'identie au noyau du morphisme naturel de H 0 (G, R L ) = R k /N L/K (R L ) vers J K /N L/K (J L ), c'est à dire au groupe des noeuds de l'extension pronie L/K : H 2 (G, Z) R K N L/K (J L )/N L/K (R L ). Maintenant, les normes locales dans L/K sont les unités logarithmiques ẼK ; et les normes globales sont les normes dans K /K des normes locales dans L/K c'est à dire N K /K(ẼK ). 5. Lien entre H 2 (G, F l ) et le radical hilbertien Reprenant les notations de [4], nous proposons de montrer le résultat suivant : Proposition 5.1. Lorsque K /K est nie, Il existe une surjection canonique : Λ K R l K N K /K(ẼK ) H 2(G, F l ). Preuve de la proposition 5.1. Partons de la suite exacte courte canonique : Cette suite devient (Hochschild-Serre): 1 H Ḡ G 1. 1 ( ker(h 2 (G, F l ) H 2 (Ḡ, F l)) ) H H l [Ḡ; H] l Ḡ ab l G ab 1, où est le dual dans Q/Z et l G ab le quotient d'exposant l de G ab. Or : Lemme 5.2. On a l'égalité: ker(h 2 (G, F l ) H 2 (Ḡ, F l)) = H 2 (G, F l ). Preuve. Elle est très simple : il sut de noter d'abord que le noyau de H 2 (G, F l ) vers H 2 (Ḡ, F l) est le noyau de H 2 (G, F l ) vers p H 2 (Ḡp, F l ), car l'application naturelle H 2 (Ḡ, F l) p H 2 (Ḡp, F l ) est injective (cf. [6]), et de remarquer ensuite que l'homomorphsime H 2 (G, F l ) p H 2 (Ḡp, F l ) se factorise par p H 2 (Gal(K c p/k p ), F l ) ; nous concluons en observant que cette dernière somme est triviale. On rappelle ensuite d'après (1) que les symboles de réciprocité locale construits sur les unités logarithmiques engendrent pour chaque place p le quotient Ĩ p ( K/K). [D p ( K/K), Ĩp( K/K)] 7

8 Ainsi par le symbole global ρ K/K, les images des unités logarithmiques engendrent H/[Ḡ, H]. En résumé, nous obtenons le diagramme commutatif suivant : H 1 H 2 (G, F l ) H l [Ḡ;H] l Ḡ ab l Ω ab 1 a ρ K/K b c 1 ker(η) Ũ K Ũ l K η J K R K J l K J K R K J l KŨK 1 où b et c, qui sont donnés par le symbole de réciprocité local, sont des isomorphismes ; et a, qui se déduit de ρ K/K, est surjectif. Notons ensuite que l'on a trivialement ker(η) Λ K /R K l. La première partie de la proposition 5.1 est donc établie. Supposons enn K /K nie. Comme l'extension F/K est abélienne, il vient ρ K/K (N K /K(ẼK )) mod ( [Ḡ, H]) = ρ K/K (ẼK ) ( mod ( [Ḡ, H]) = ρ F/K (ẼK ) ( mod ( [Ḡ, H]) = 1, car le symbole de réciprocité d'un élément global est trivial dans une extension abélienne : c'est la formule du produit. Ainsi ρ K/K se factorise par N K /K(ẼK ). 6. Preuve du théorème principal i) Supposons la tour K /K nie. Les suites exactes (2), (3), le point (4), et la propositon 4.3 nous donnent l'égalité : ( ΛK : R K l N K /K(ẼK ) ) = H 2 (G, F l ). L'application surjective ϕ de la proposition 5.1 factorisée via donc un isomorphisme. Le théorème 1.1 est prouvé. ii) La suite exacte (3) et la proposition 5.1 permettent d'obtenir d l H 2 (G, F l ) d l ClK + d l E K = d l Clk + r 1 + r 2 + δ, ceci après avoir noté que d l E K = r 1 + r 2 + δ (cf. [2]). On a ensuite la suite exacte de groupes: 1 Gal(L/K ) G Gal(K /K) 1. Λ K R l K N K /K(ẼK ) est Comme Gal(L/K ) est pro-l-libre et trivial si et seulement si K /K est innie (cf. [5]), on en déduit, pour i 2, l'égalité H i (G, F l ) = H i (Gal(K /K), F l ). Bibliographie [1] J.-F. Jaulent, Théorie l-adique du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), [2] J.-F. Jaulent, Classes logarithmiques des corps de nombres, J. Théor. des Nombres de Bordeaux 6 (1995),

9 [3] J.-F. Jaulent, La Théorie de Kummer et le K 2 des corps de nombres, J. Théor. des Nombres de Bordeaux 2 (1990), [4] J.-F. Jaulent et C. Maire, A propos de la tour localement cyclotomique d'un corps de nombres, Abh. Math. Sem Hamburg 4 70 (2000), [5] J.-F Jaulent et F. Soriano, Sur les tours localement cyclotomiques, Archiv der Math. 73 (1999), [6] H. Koch, Galoische Theorie der p-erweiterungen, VEB Berlin, [7] J. Neukirch, A. Schmidt & K. Wingberg, Cohomology of number elds, Grund. der Math. Wissenschaften 323, Springer-Verlag, [8] C. Maire, Compléments à un résultat de Safarevic, Math. Nachrichten 198 (1999), [9] P. Roquette, On class eld towers, in Algebraic Number Theory, J.W.S. Cassels and A. Fröhlich, A.P. Londres New York (1967), Jean-François Jaulent Christian Maire Institut de Mathématiques Institut de Mathématiques Université Bordeaux I Université Bordeaux I 351, cours de la libération 351, cours de la libération F Talence Cedex F Talence Cedex 9

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