automates finis Sujet. Contenu de l article. page 277

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1 pg 277 utomts finis pr Aury Bou hon ( S), Cthrin Enjlrt ( S), Crolin Hostlry (2 n ) t Luil Toussrt ( S) u lyé Fustl Coulngs Mssy (9) nsignnts : MM. Mihl Enjlrt t Hrvé Hmon hrhur : M. Jn-Pirr Rssyr ompt-rnu prring : Ds élèvs u lyé Fustl Coulngs à Mssy (9), un n son t trois n prmièr, ont trvillé sur ls utomts finis. C sont s mhins (systèms) qui prmttnt lir (éhiffrr) s ominisons symols : lttrs t/ou hiffrs. L xposé étit très lir, ompréhnsil, ssil à tous. Ls trois fills ont très in orgnisé lur xposé t lurs intrvntions. CIN Mots t utomts finis. 6 Un utomt lit t érit s lttrs (s symols) suivnt s règls invrils, fixés à l vn. Qun un utomt st mis n présn un lttr (il l lit ), il fftu, n fontion tt lttr t l étt ns lqul il st, un opértion élémntir, onformémnt ux règls fixés : il érit évntullmnt un lttr, s épl un rn à roit ou à guh, puis opt un nouvl étt ; l lttr suivnt st prêt pour l ltur. Sujt.. Apprnr l fontionnmnt s utomts finis, lisnt s suits finis t ptnt ou rjtnt s suits. 2. Construir un utomt ptnt un nsml suits fixé. (Ou montrr qu un tl utomt n xist ps, ns rtins s.) Prolèm invrs : un utomt st onné, étrminr l nsml touts ls suits qu il pt. 3. Proposr un pplition onrèt utilisnt un utomt fini ; rélisr l shém l utomt. (Répons pporté à 3. : un igio ommnnt l ouvrtur un port.) Contnu l rtil. Introution : qu st qu un utomt? Trouvr ls mots ptés pr un utomt. Théorèm. Construir l grph un utomt ptnt xtmnt s mots onnés. Prolèm thniqu : l igio. Autrs qustions. Un tll mhin simul prfitmnt l fontionnmnt tout orintur. L prolèm, fonmntl n informtiqu, st trouvr s règls (si lls xistnt!) qui vont prmttr à un utomt ronnîtr ou friqur infillilmnt un rtin fmill mots : il s git pr xmpl ronnîtr ls mots, formés v ls lttrs ou, qui ontinnnt utnt qu, ou nor érir orrtmnt l somm ux nomrs lus pr l utomt, t. MATh.n.JEANS n 996

2 pg 278 Introution : Qu st- qu un utomt? Un utomt st un mhin qui lit s suits rtèrs, pplés mots. Qun il lit l prmir rtèr u mot, l utomt st ns un rtin étt : l étt initil. Slo n l rtèr q u il lit t son «p r o g r m m», il hng (ou non) étt. Dns «nouvl» étt, il lit l son rtèr. Slon rtèr t son «p r o g r m- m», il hng (ou non) étt. Il proè insi pour ls utrs rtèrs jusqu l fin u mot. Pr onséqunt, il prt hqu étt ux flèhs (l un étiquté, l utr ) ou un flèh étiquté «,» (ou «,» qui rvint u mêm :, signifi qu qul qu soit l rtèr lu, l utomt pss ns l étt ésigné pr l flèh). Pour iniqur qul st l étt initil, on utilis un flèh non étiquté, qui n provint uun étt :. Ls prmirs prolèms résolus onnnt u ltur s xmpls pour omprnr l rprésnttion un utomt pr un grph. Il xist ux typs étts ifférnts : ptnt t non-ptnt. Si qun il fini lir l mot, l utomt s trouv ns un étt ptnt, l mot st it pté pr l utomt. Sinon, il st it non-pté. Cs mots puvnt êtr omposés uoup rtèrs ifférnts, mis nous n vons étuié qu s mots omposés uniqumnt t. Il xist un vrsion s utomts qui put lir s mots longuur infini. Nous n vons étuié qu ls utomts pls lir s mots longuur fini. Pour filitr l étu, on utilis ls grphs s utomts. Pour mtérilisr ls étts, on utilis s rons : hqu étt ptnt st un ron v un à l intériur : ; hqu étt non-ptnt st un ron vi :. Pour iniqur ns qul étt l utomt oit pssr près l ltur un rtèr, on utilis un flèh étiquté pr l rtèr n qustion ( ou ) qui s irig vrs l étt ns lqul l utomt oit pssr près ltur u rtèr. MATh.n.JEANS n 996

3 pg 279 Trouvr ls mots ptés pr un utomt. Prolèms simpls : Prolèm Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st onné i-près. Solution. Qun on fit un on rst sur l mêm étt on sul l nomr import. D plus, il y un étt ptnt tous ls ux étts t l mot vi st pté. Il fut on fir un nomr pir. Enfin si on fit plus six on rriv sur un étt non-ptnt où, quoiqu on fss près, l mot n sr ps pté. Ct utomt pt on ls mots ontnnt uun, ux, qutr, ou six. Prolèm Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st : f, g h,, S o l u t i o n. Ls étts ptnts sont plés tous ls ux étts t l mot vi st pté. D plus, jusqu à l étt sont ls qui font hngr étt on qui importnt ; puis l étt ptnt à l étt h non-ptnt, st l nomr. L nsml s mots ptés st l réunion : l nsml s mots ontnnt uun, ux ou qutr. l nsml s mots ontnnt plus qutr t uun ou ux près l qutrièm. Prolèm Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st : Solution. Ii sul l nomr import r ls nous lissnt sur pl. Ct utom t omp ort un su l étt ptnt : l prmir, l mot vi st on pté. D plus, o n rm rqu qu l utom t f orm un ou l t qu l on rvint sur l étt ptnt éprt tout ls trois. On n éuit on qu ls mots ptés pr t utomt sont ls mots omprnnt un nomr ivisil pr trois. Nous vons pplé t utomt un utomt yliqu périoiqu pério trois. MATh.n.JEANS n 996

4 pg 28 Prolèm Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st : Solution. On rmrqu qu l grph t utomt st intiqu à lui l utomt préént ( ) xpté ls étts : ls étts ptnts t utomt sont s étts nonptnts ns l utomt t vi vrs. Ls mots ptés pr t utomt sont on ux qui n sont ps ptés pr l utomt. Ls mots ptés pr t utomt sont on ls mots ontnnt un nomr n o n ivisil pr 3. Prolèm Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st : Solution. L mot vi n st ps pté. On rmrqu qu il xist un étt trminl (uqul on n put ps sortir) ptnt. Tous ls mots qui y font rrivr sont on forémnt ptés. Pour y rrivr, il fut fir trois suit r q ul qu soit l m plmn t un ns l mot, qun l utomt l lit, il rvint à l étt initil non ptnt. L nsml s mo ts ptés st on l nsml s mots omportnt u moins trois suit., Prolèms plus ompliqués Prolèm 2 Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st : S o l u t i o n. Ii l mot vi n st ps pté mis tous ls mots un lttr l sont. D plus, un fois rrivé sur un étt ptnt, il n fut ps rfir l mêm lttr qu préémmnt sinon on v sur un étt où, quoi qu on fss, l mot n st ps pté. Et l nomr trms oit êtr impir r l étt éprt n st ps ptnt. Ls mots ptés sont ux omprnnt un nomr impir trms t ont hqu trm rng pir u sns éfini i-ssous st ifférnt u préént. éfinition : on ppll l prmir trm un mot l trm rng un, l uxièm trm lui rng ux, t. Prolèm 2 Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st :,,,,,,, MATh.n.JEANS n 996

5 pg 28 S o l u t i o n. Ct utomt omport ux étts ptnts qu on ttint uniqumnt l étt éprt n fisnt ou. Mis l étt éprt n st ps ptnt. Don l étt éprt il fut fir ux trms ifférnts pour rrivr sur un étt ptnt puis nouvu ux trms ifférnts (t ont l prmir st ifférnt u préént) pour rvnir à l étt éprt. Sinon on rriv sur s étts trminux non-ptnts. Puis on nouvu l hoix ntr t t insi suit. Ls mots ptés sont ux omprnnt un nomr trms ivisil pr ux mis ps pr qutr (sinon on rriv sur l étt éprt non-ptnt) ; t ont hqu trm st ifférnt u préént suf ux rng ivisil pr qutr qui puvnt êtr suivis n import qul trm (r on st sur l étt éprt). Prolèm 2 Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st : Prolèm 2 Qul st l nsml s mots ptés pr l utomt ont l grph st : S o l u t i o n. L mot vi n st ps pté. Il xist un sul étt ptnt t il st trminl. Pour y rrivr, il fut fir trois suit, ou puis un nomr fois u moins égl à un, puis. On not i insi : (). L nsml s mo ts ptés st on l nsml s mots omprnnt trois suit ou (). C st-à-ir l nsml (), l nottion () iniqunt qu on put fir un nomr fois qulonqu, y ompris zéro fois.,, Solution. Ii l mot vi n st ps pté t il n xist qu un sul étt ptnt ; plus, st l nomr qui st importnt. Ls flèhs portnt ls rmènnt touts à l étt éprt t l flèh portnt l t prtnt l étt ptnt rmèn ussi à l étt éprt. Après l rnir, on put voir trois, on st lors sur l étt ptnt. S il y plus trois, pour rvnir à l étt ptnt, il fut joutr un nomr ivisil pr qutr (l prmir pour rvnir à l étt initil). Don ls mots ptés pr t utomt sont ls mots omprnnt 4n3 (n N) près l rnir (si l mot n ontint). MATh.n.JEANS n 996

6 pg 282 Théorèm Pour tout utomt A, il xist un utomt B ptnt ls mêms mots t ynt u plus ux étts trminux. Construir l shém un utomt ptnt xtmnt s mots onnés. Prolèms simpls : Pruv :, Prolèm 3 Construir un utomt ptnt préisémnt ls mots ontnnt u moins trois., Un étt A st trminl si on n n sort plus : ls flèhs qui n prtnt y rvinnnt. Il xist ux sorts ifférnts étts trminux : ux ptnts, t ls utrs. On put toujours hoisir un s étts trminux ptnts () t y nvoyr ls flèhs onuisnt ux utrs étts trminux ptnts. D mêm, pour ls étts trminux non ptnts, n hoisissnt l un ux (). On lors onstruit un utomt B ptnt ls mêms mots qu A t qui u plus ux étts trminux.,,, S o l u t i o n. [ R m r q u : Ii ls n sont ps forémnt onséutifs, ontrirmnt u prolèm.] Ls mots ptés n tinnnt ps ompt s, on l fit fir un n hng rin, t on hqu flèh v rvint à l étt uqul ll st prti. Ls mots ptés sont ux v u moins trois, on il fut qu à prtir u troisièm, tous ls mots soint ptés, lors qu vnt ils oivnt êtr tous rfusés. On fit on, à prtir l étt éprt non ptnt, trois flèhs v s, qui prtnt touts un étt non ptnt t ont l troisièm rriv à un étt ptnt trminl. Prolèm 3 Construir un utomt ptnt préisémnt ls mots ontnnt u plus trois.,,,, S o l u t i o n. Ls mots ptés n tinnnt ps ompt s, on l fit fir un n hng rin, t on hqu flèh v rvint à l étt uqul ll st prti. Ls mots ptés sont ux v u plus trois, on il fut qu à prtir u qutrièm, tous ls mots soint rfusés, lors qu vnt ils oivnt êtr tous ptés. On fit on, à prtir l étt éprt ptnt, qutr flèhs v s, qui MATh.n.JEANS n 996

7 pg 283 prtnt touts un étt ptnt t ont l qutrièm rriv à un étt non ptnt trminl., Prolèms plus ompliqués : Prolèm 4 Con stru ir un uto mt ptnt préisémnt tous ls mots l form ()n, n N. Solution. Prolèm 3 Construir un utomt ptnt préisémnt ls mots ontnnt xtmnt trois. S o l u t i o n. Ls mots ptés n tinnnt ps ompt s, on l fit fir un n hng rin, t on hqu flèh v rvint à l étt uqul ll st prti., Ls mots ptés sont ux v xtmnt trois, on il fut qu u troisièm, ls mots soint ptés, lors qu vnt troisièm t à prtir u qutrièm, ils oivnt êtr tous rfusés. On fit on, à prtir l étt éprt non ptnt, qutr flèhs v s, ont l troisièm mèn à un étt ptnt, lors qu ls ux prmièrs mènnt à s étts non ptnts, t qu l qutrièm mèn à un étt non ptnt trminl.,, D près l énoné, ls mots ptés sont onstitués () répété n f o i s, n N, on l mot vi st pté. On put ir ussi qu ès qu on fit un hiffr n orrsponnt ps u yl (), l onition n st éfinitivmnt ps rspté t on on rriv à un étt non ptnt trminl. Comm on vint l ir, on put ssimilr l «n fois ()» à un yl (), qui, à hqu fois qu il s finit mèn à un étt ptnt, lors qu vnt, pr xmpl qun on fit n fois () puis (), on n rriv qu à s étts non ptnts. Don, sur l grph, on fit () n flèhs ont l rnièr mèn à l étt éprt ptnt, lors qu ls utrs mènnt à s étts non ptnts. Pour hun s étts éjà mis, on fit un flèh qui n prt t qui mèn à un étt non ptnt trminl. L étiqutt hun s flèhs st omplémntir ll l flèh qui prt u mêm étt, st-à-ir qu, si un flèh éjà inlu u grph st étiquté, l utr flèh qui prt u mêm étt oit êtr étiquté, t vi-vrs. MATh.n.JEANS n 996

8 pg 284 Prolèm 4 Construir un utomt ptnt préisémnt ls mots ontnnt u moins un t ux. Solution. Tout or, l étt éprt n st ps ptnt, r l onition n st ps nor rspté. L flèh v un mèn à un étt () non ptnt où prt t rvint un flèh v un, r qun on fit un, l prti l onition onrnnt ls st rspté t on put fir utnt qu l on vut, l n hngr rin. L flèh v l qui prt t étt () mèn à un étt () non ptnt où prt t rvint un flèh v un, toujours pour l mêm rison. Pr ontr, l flèh v l prtnt l étt () mèn à un étt ptnt trminl, r lors l onition st éfinitivmnt rspté. A prtir l étt éprt, l flèh v l mèn à un étt () non ptnt où prt un flèh v un t un flèh v un, mnnt à ux étts non ptnts ifférnts, nommés rsptivmnt () t (). L étt () où mèn l flèh v l st l point éprt un flèh v un qui rvint là où ll st prti (r on éjà fit ux t tt prti l onition st éfinitivmnt rspté qul qu soit l nomr qu on fr près) t un flèh v un qui mèn à un étt ptnt trminl (r l onition st éfinitivmnt rspté)., L étt st l point éprt un flèh v un qui rvint ll st prti (r n ynt fit un, tt prti l onition st éfinitivmnt rspté qul qu soit l nomr qu on fr près) t un flèh v un qui mèn à un étt ptnt trminl (r l onition st éfinitivmnt rspté). Prolèm 4 Construir un utomt ptnt préisémnt ls mots l nsml L tl qu si L ontint un, lors L n ontint ps. S o l u t i o n. D près l énoné, l utomt st tout l tmps ptnt suf ès qu on t ns l mêm mot. A momnt, l étt non ptnt st finl, r l onition n st éfinitivmnt ps rspté. Don on v étuir tous ls s possils où t sont présnts ns l mêm mot. Tout or, l s où st qui s présnt n prmir. On onstruit l prours n flèhs qui prtnt touts étts ptnts t ont l rnièr rriv à un étt non ptnt trminl : grph Nous omplétons grph mnièr qu si on fit, lors soit l sul suit onuisnt à l étt finl non ptnt., MATh.n.JEANS n 996

9 pg 285 grph 2 Voii ls rmrqus qui onuisnt u grph u grph 2 t montrnt qu luii onvint. Nous prtons l étt () r on vint fir. A prtir l étt (), il y un possiilité qu on rfss, r on vint fir. Si on fit près l étt (), on ur fit, qui n st ps l éut, st pourquoi l flèh v l qui prt l étt () mèn à un étt ptnt, pplé (). A prtir t étt, on put fir utnt qu on vut r l fin u mot éjà fit,, n st ps l éut, on l flèh v l qui prt l étt () y rvint. Si on fit à prtir l étt (), lors on put voir l éut, omm qun on rriv à l étt (), on l flèh v l qui prt () mèn à (). Qun on st à l étt (), on put fir utnt qu on vut, ç sr toujours l éut, on l flèh v l qui prt l étt () y rvint. Qun on fit un à prtir l étt (), il n y qu qui soit l éut, qui rvint u mêm qu qun on s trouv à l étt (), on l flèh v l qui prt l étt () mèn à l étt (). D où l grph 2!, Voii s rmrqus qui onuisnt lors u grph 3 plus s. Qun on fit à prtir l étt (), l fin notr mot st () qui n st l éut ni () ni (), omm qun on s trouv à l étt éprt, on l flèh v l qui prt l étt () mèn à l étt éprt. Qun on s trouv à l étt éprt, on put fir utnt qu on vut, r n st l éut ni (), ni (), on l flèh v l qui prt l étt éprt y rvint. D mêm à prtir l étt (f), on put fir utnt qu l on vut, r sr toujours l prmir () t () on l flèh v l qui prt (f) y rvint. A momnt l utomt éjà onstitué rssml à i : grph 3 f g L grph rjtt tous ls mots qui omportnt or, puis ; mis il nous fut l omplétr pour qu il rjtt ussi ux qui ont n prmir t plus tr. On onstruit on () n flèhs, ls ux prmièrs étnt lls llnt ux étts (f) t (g), qui touts prtnt étts ptnts, t ont l rnièr mèn à un étt non ptnt trminl. On lors, MATh.n.JEANS n 996

10 pg 286 grph 4 f h g j i, Si on fit à prtir (l), on just l prmir (), qui nous mèn u mêm point qu lorsqu on st sur l étt (k), on l flèh v l qui prt (l) rriv à (k). L utomt st lors fini : OUF! i h f g, j l k, Qun on fit un à prtir l étt (h), l mot s finit pr ux, on on lors l prmir () ou (), qui nous rmèn u mêm point qu qun on st ns l étt (f). L flèh v l qui prt l étt (h) mèn on à l étt (f). Qun on rriv à l étt (i), on éjà fit (). On n oit on ps fir () sous pin rrivr à un étt non ptnt finl. L flèh v l qui prt (i) mèn à un étt ptnt (k), r l onition st pour l instnt rspté. Qun on fit un à prtir (k), l fin u mot st (), qui st l éut () t qui nous mèn u mêm point qu lorsqu on s trouv sur l étt (i), on l flèh v l qui prt (k) mèn à (i). Qun on s trouv sur (k), on put fir utnt qu on vut, on ur toujours l éut (), on l flèh v l qui prt (k) y rvint. L flèh v l qui prt (j) mèn à un étt ptnt (l), r l onition st pour l instnt rspté. Qun on rriv sur (l), on vint fir ( ), qui n st ps l éut ( ), on, à momnt là, on put fir utnt qu on vut, on n ur toujours ps l éut (), on l flèh v l qui prt (l) y rvint., Prolèm 4 Construir un utomt ptnt préisémnt ls mots ontnnt () t ps (). Solution. Ct xri st iffiil t il fut l fir v métho. Tout or, ès qu on fit (), on rriv à un étt non ptnt trminl, lors qu qun on fit (), on rriv à un étt ptnt mis ps trminl. Sur notr grph, à prtir l étt éprt non ptnt (r l onition n st ps rspté), on érit () n flèhs qui mènnt touts à s étts non ptnts, l rnièr mnnt à l étt () non ptnt trminl (l onition st éfinitivmnt non rspté). Puis, à prtir l étt éprt, on érit ( ) n flèhs (l prmièr lls-i étnt l mêm qu ll u ()), qui, MATh.n.JEANS n 996

11 pg 287 mènnt à s étts non ptnts suf l rnièr qui mèn à l étt (). L onition ( ) st lors rspté. A prtir là on hrh on à n ps voir (). On s prçoit lors qu n rjoutnt un près (), on (), qui ontint on (), qui fit qu l onition n st éfinitivmnt ps rspté. Don, l flèh v un prtnt () mèn à l étt () non ptnt trminl. Si on fit () près l étt (), on s trouv ns l mêm sitution qu n () r ls trois rnirs rtèrs lus sont (), on on fit un flèh v un mnnt à un étt ptnt (), où prt un flèh v un mnnt à l étt (). Pr ontr, si on fit () près l étt (), on rriv à l étt (). On n st ps u éut (), t on put fir lors utnt qu l on vut, on l étt () st ptnt t l flèh v un y rvint. A prtir (), n rjoutnt un ou plusiurs, on n st ps à l fin un (), on on fit un flèh v un mnnt à un étt ptnt (f) où prt t rvint un flèh v un. Puis, à prtir (f), si on fit un, on vint fir (). On st on ns l mêm sitution qu n rrivnt sur l étt () on l flèh v l prtnt (f) rvint à l étt (). On insi fini un prmièr étp. éprt, r () n st l éut ni (), ni (). L flèh v l mèn à l étt (h). En fisnt près (), on (), l éut (), on l flèh v l prtnt (h) rvint à l étt (g). g h A prtir l étt éprt, près voir fit (), on rriv à l étt (j). Si on rfit nor un ou plusiurs, on toujours l éut (), on l flèh v l rvint à l étt (j) uqul ll st prti. Pour l étt (k) près (), l flèh v l rvint à l étt éprt, r () n st l éut ni (), ni (). On lors fini l grph. Prolèm thniqu : l igio. Sp-{A} j A Sp-{} Sp-{7} Sp-{} k, f 7 Sp, f Nous vons imginé un pplition thniqu s utomts : l igio ommnnt l ouvrtur un port ( un hll immul pr xmpl). Supposons qu l o soit : A7. On pss lors à l uxièm étp : pour hqu étt, on hrh où mènnt ls flèhs qu on n ps nor miss. On ommn pr l étt éprt : l flèh v l zéro rvint où ll prt, r n st l ommnmnt ni (), ni (). Puis, on pss à l étt (g) situé près () n flèhs : l flèh v l rvint à l étt On ppll P l utom t o mmn nt l ouvrtur. P n ouvr l port qu si l mot tpé ontint A7. L nsml s rtèrs P st : Sp = {A, B,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }} (nous n prnons ps n ompt qu l port s rfrm u out un rtin tmps, n st plus notr rssort!). MATh.n.JEANS n 996

12 pg 288 Autrs qustions. Nous vons mintnnt pnsé à nouvlls pists rhrh : onstruir un utomt progrmml stà-ir un utomt qui s moifi qun il lit rtins mots ; trouvr prmi ls utomts à nomr fini étts, lui (ou ux) qui pt(nt) ls mots ls plus longs t trouvr s mots. Point vu u hrhur. Du on trvil ) rhrh 2) pour réigr ll-i. ) L solution s prmirs prolèms onn l imprssion qu ils sont fils. Mis ps u éprt, qun on onnît sulmnt l éfinition s utomts t lur grph Qunt ux prolèms ompliqués, ils l sont un pu plus qu ux qu s posnt ls étuints n prmièr nné ns un U.V. «rhittur s orinturs» pr xmpl. 2) L rétion s résultts put visr soit (i) soit (ii) : i) vérifir v rtitu l résultt. Pour s prolèms ompliqués (tls qu 4., 4.) n st guèr possil n tmps risonnl sinon à l i un o r i n t u r. C st un ojtif qui n ps été visé, mis qui pourrit l êtr pr l suit i i) prmttr à un ltur humin vérifir n tmps risonnl t mnièr qu n lisnt il pprnr lui-mêm à résour t vérifir tls prolèms (étnt ntnu qu on n vis ps l riguur totl t tolèr un rtin risqu rrur). Ls juns ont très in rélisé (i i) i s s o u s : à lur pl, j uris fit plutôt moins in plus lour t moins suggstif u hminmnt vrs l solution. Point vu s nsignnts. Buoup élèvs (un trntin) s sont mnifstés n éut nné, mis sulmnt qutr ont prsévéré. Il st iffiil fir omprnr ux élèvs qu un tivité volontir néssit un présn régulièr. A éfut quntité on u l qulité t l régulrité ns l trvil. Nos prtiipnts ont fit pruv utonomi ns l rhrh (nous somms très pu intrvnu) t prsévérn ns l trvil qulqu pu fstiiux rétion. MATh.n.JEANS n 996