Inde, avril 2014, exercice 1

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1 Sujet 1 Inde, avril 2014, exercice 1 4 points Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1 La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif. On sait que P (X > 2) = 0, 15. Déterminez la valeur exacte du réel λ. Rappelez la densité de probabilité d une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre λ puis utilisez la propriété du cours donnant P (X c). Dans la suite de l exercice on prendra 0,081 pour valeur de λ. 2 a) Déterminez P (X 3). Utilisez la propriété du cours donnant P (X c). b) Montrez que pour tous réels positifs t et h, P x t (X t + h) = P (X h). Utilisez la propriété du cours donnant P (X c) et la formule des probabilités conditionnelles. c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu il fonctionne encore 2 ans? Traduisez la probabilité demandée sous la forme d une probabilité conditionnelle puis appliquez le résultat de la question précédente. d) Calculez l espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat. Appliquez la formule, vue en cours, donnant l espérance d une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre λ. 3 Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à L entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.

2 Sujet 1 Énoncé Le résultat de ce test remet-il en question l annonce de l entreprise A? Justifiez. On pourra s aider d un intervalle de fluctuation. Pour une proportion p et un échantillon de taille n, l intervalle de fluctuation [ asymptotique au seuil de 95 % est donné par la formule ci-dessous : p(1 p) p(1 p) p 1, 96 n ; p + 1, 96 n ], sous réserve que : n 30, np 5 et n(1 p) 5.

3 Sujet 1 Corrigé 1 D après le cours, nous savons que si une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ; + [, alors sa densité de probabilité est définie sur [0 ; + [ par : f(x) = λe λx et P (X c) = e λc. Par conséquent, P (X 2) = 1 P (X > 2) = 1 e λ 2 = 0, 15, donc 0, 85 = e 2λ et ln(0, 85) = 2λ, soit λ = ln(0,85) 2 0, a) D après le cours, nous savons que P (X c) = e λc, donc : P (X 3) = e 3λ = e 3 0,081 0, 78. b) D après le cours, nous savons que pour tous réels positifs t et h : P (X t) = e λt et P (X t + h) = e λ(t+h). Donc : P X t (X t + h) = P ((X t) (X t+h)) P (X t) = P (X t+h) P (X t) = e λ(t+h) e λt = e λh = P (X h). c) La probabilité demandée correspond à P X 3 (X 3 + 2). On applique alors la formule établie à la question 2. b) et on obtient avec t = 3 et h = 2 : P X 3 (X 3 + 2) = P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 0, 15 = 0, 85. d) Nous savons que si une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ; + [, alors : E(X) = λ 1. D où, dans notre cas : E(X) = 0, , 35. Ce qui signifie que la durée moyenne de vie d un moteur est d environ 12, 35 années. 3 Pour une proportion p et un échantillon de taille n, l intervalle de fluctuation [ asymptotique I au seuil de 95 % est, d après le cours, I = p(1 p) p(1 p) p 1, 96 n ; p + 1, 96 n ], sous réserve que : n 30, np 5 et n(1 p) 5. L échantillon de l enquête est de taille n = 800 et l entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux est de 1 % donc p = 0, 01. Par ailleurs on a bien : n = , np = 800 0, 01 = 8 5 et n(1 p) = 800 0, 99 = L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est donc I = [0, 01 1, 96 0,01(1 0,01) 800 ; 0, , 96 0,01(1 0,01) 800 ] [0, 003 ; 0, 017].

4 Sujet 1 Corrigé On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux sur 800, ce qui fait une proportion de p = = 0, Or, 0, I donc le résultat de ce test remet en question l annonce de l entreprise A.

5 Sujet 2 Amérique du Nord, mai 2013, exercice 3 5 points Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d espérance µ = 400 et d écart type σ = 11. Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche. Partie A Vous pourrez utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche. x P (X x) 0,035 0,086 0,182 0,325 0,5 x P (X x) 0,675 0,818 0,914 0,965 1 Calculez P (390 X 410). Utilisez le tableau et le fait que si X est une variable aléatoire suivant une loi continue : P (a X b) = P (X b) P (X a). 2 Calculez la probabilité p qu un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. Traduisez à l aide d une variable aléatoire et d une probabilité le fait qu un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

6 Sujet 2 Énoncé 3 Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ. Pour quelle valeur de σ la probabilité qu un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 %? On arrondira le résultat au dixième. On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d espérance 0 et d écart type 1, on a P (Z 1,751) 0,040. Traduisez l énoncé à l aide d une variable aléatoire et d une probabilité puis centrez, réduisez et utilisez la valeur donnée dans l énoncé. Partie B Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d obtenir 96 % de pains commercialisables. Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués. 1 Déterminez l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300. Utilisez les données de l énoncé pour déterminer les bornes de l intervalle de fluctuation. 2 Parmi les 300 pains de l échantillon, 283 sont commercialisables. Au regard de l intervalle de fluctuation obtenu à la question 1., peut-on décider que l objectif a été atteint? Calculez la fréquence observable de l échantillon et vérifiez si elle appartient ou non à l intervalle de fluctuation précédemment déterminé. Partie C Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1 On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième.

7 Sujet 2 Énoncé Dans toute la suite vous prendrez λ = 0,003. Utilisez une formule de la loi exponentielle : P (X c) = e λc. 2 Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours? Utilisez la formule des probabilités conditionnelles et la formule précédente. 3 Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison? Si non, pour combien de jours est-ce vrai? Utilisez une formule de la loi exponentielle : P (X c) = e λc.

8 Sujet 2 Corrigé Partie A 1 P (390 X 410) = P (X 410) P (X 390) = 0, 818 0, 182 = 0, Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si {X 385} est l événement contraire de {X < 385}. On remarque que P (X < 385) = P (X 385). On a donc : P (X 385) = 1 P (X 385) P (X 385) = 1 0, 086 = 0, On désigne par Y la variable aléatoire de paramètres µ = 400 et d écart type σ inconnu, on a : P (Y 385) = 0, 96 d où 1 P (Y 385) = 0, 96 et P (Y 385) = 0, 04. Or, d après le cours, on sait que si Y suit une loi normale de paramètres µ = 400 et σ, alors Z = Y 400 σ suit une loi normale centrée réduite et P (Y 385) = 0,04 entraîne P ( Z ) σ = 0, 04. D après l énoncé nous savons que P (Z 1, 751) 0, 040. On a donc : σ = 1, 751 et finalement σ = 1,751 8, 6. Si σ = 8,6, valeur approché au dixième, la probabilité qu un pain soit commercialisable est de 96 %. Partie B 1 L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains [ commercialisables dans un échantillon de taille 300 s écrit : ] p(1 p) p(1 p) I = p 1, 96 n ; p +, 96 n avec p = 0,96 et n = 300. On a donc : I = [0,93 ; 0,99]. 2 Parmi les 300 pains de l échantillon, 283 sont commercialisables. La fréquence observable de pains commercialisables dans cet échantillon est de soit environ 94 % de la production. Puisque 0,94 [0,93 ; 0,99], on décide que l objectif a été atteint.

9 Sujet 2 Corrigé Partie C 1 On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est P (T 30) = 0, 913. D après le cours, on sait que si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors P (X c) = e λc. On obtient donc ici : P (T 30) = e 30λ. e 30λ = 0, 913 entraîne 30λ = ln(0, 913) et finalement λ = 0, Calculons P T 60 (T 90). On a : P T 60 (T 90) = P T 60 (T 90) = P ({T 60} {T 90}) P (T 60) P (T 90) P (T 60 P T 60 (T 90) = e 90λ e 60λ P T 60 (T 90) = e 30λ. Avec λ = 0, 003, on a donc : P T 60 (T 90) = P (T 30) = 0, 913. La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0, La probabilité que la balance fonctionne au moins un an sans dérèglement est : P (T 365) = e 365λ 0, 335. Le vendeur a donc tort. Cherchons n tel que P (T n) = 0, 5. Cela revient à résoudre e 0,003n = 0, 5, d où 0, 003n = ln(0, 5) et n 231, 05. La balance a une chance sur deux pour ne pas se dérégler avant 231 jours.

10 Sujet 3 Nouvelle-Calédonie, mars 2014, exercice 3 5 points Partie A Soit f la fonction dérivable, définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = x ln(x). 1 Déterminer les limites de f en 0 et en +. Utilisez les limites usuelles associées au logarithme. 2 On appelle f la fonction dérivée de f sur ]0 ; + [. Montrer que f (x) = ln(x) + 1. Utilisez la dérivée du produit (u v) = u v + uv. 3 Déterminer les variations de f sur ]0 ; + [. Vous devez résoudre une inéquation avec un logarithme pour trouver le signe de f. Partie B Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal. Soit A se l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan comprise entre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équations respectives x = 1 et x = 2.

11 Sujet 3 Énoncé On utilise l algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de l aire se A : Variables : k et n sont des entiers naturels U, V sont des nombres réels Initialisation : U prend la valeur 0 V prend la valeur 0 n prend la valeur 4 Traitement : Pour k allant de 0 à n - 1 Affecter à U la valeur U f(1 + k n ) Affecter à V la valeur V + n 1 Fin pour Affichage : Afficher U Afficher V f(1 + k+1 n ) 1 a) Que représentent U et V sur le graphique précédent? Discernez le nombre U comme somme d aires ainsi que le nombre V. b) Quelles sont les valeurs U et V affichées en sortie de l algorithme (on donnera une valeur approchée de U par défaut à 10-4 près et une valeur approchée par excès de V à 10-4 près)? Faites tourner l algorithme, et utilisez la calculatrice. c) En déduire un encadrement de A. Tenir compte des résultats des a) et b) pour répondre. 2 Soient les suites (U n ) et (V n ) définies pour tout entier n non nul par : U n = 1 [ ( ) ( ) ( )] n f(1) + f n + f n f 1 + n 1 n V n = 1 [ ( ) ( ) ( ) ] n f n + f n f 1 + n 1 n + f(2) On admettra que, pour tout n entier naturel non nul, U n A V n. a) Trouver le plus petit entier n tel que V n U n < 0, 1. Calculez V n U n en fonction de n puis résolvez l inéquation demandée. b) Comment modifier l algorithme précédent pour qu il permette d obtenir un encadrement de A d amplitude inférieure à 0,1?

12 Sujet 3 Énoncé Au lieu de «n prend la valeur 4», on écrira «n prend la valeur trouvée au a)». Partie C Soit F la fonction dérivable, définie sur ]0 ; + [ par F(x) = x2 2 ln x x Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; + [. Souvenez-vous que F est une primitive de f si et seulement si F = f. 2 Calculer la valeur exacte de A. Interprétez l aire à l aide d une intégrale judicieuse.

13 Sujet 3 Corrigé Partie A 1 lim x ln(x) = x 0 0, donc lim f(x) = 0. + x 0 + x = + et lim ln(x) = +, donc par produit des limites : x + f(x) = +. lim x + lim x + 2 f = u v avec u(x) = x et v(x) = ln(x). u (x) = 1 et v (x) = 1, donc en x utilisant la formule de dérivation d un produit : (u v) = u v +uv, on obtient : f (x) = ln(x) f (x) > 0 est équivalente à ln(x) + 1 > 0, soit ln(x) > 1 et x > e 1. Par conséquent, f est décroissante sur ]0; e 1 ] et croissante sur [e 1 ; + [. Partie B 1 a) Sur le graphique de l énoncé, le nombre U représente la somme des aires des rectangles situés en-dessous de la courbe, elle est inférieure à l aire sous la courbe. Le nombre V représente la somme des aires des rectangles situés au-dessus de la courbe, elle est supérieure à l aire sous la courbe. b) En faisant tourner l algorithme, en sortie de l algorithme les valeurs affichées sont : 0, 4666 pour U et 0, 8132 pour V. c) Grâce au a), on déduit l encadrement suivant : 0, 4666 < A < 0, a) Puisque V n U n = 1 2 ln(2) 0 (f(2) f(1)) = = 2 ln(2) n n n. Le plus petit entier n tel que V n U n 1 doit être tel que 2 ln(2) 1, soit n > n 20 ln(2) 13, 8. Le plus petit entier n tel que V n U n 1 est donc 14. b) Pour obtenir un encadrement de A d amplitude inférieure à 0, 1 dans l algorithme, il suffit d entrer 14 comme valeur de n et au lieu de «n prend la valeur 4», on écrira «n prend la valeur 14». Partie C

14 Sujet 3 Corrigé 1 Pour montrer que F est une primitive de f, il suffit de montrer que F = f. Or, F (x) = 2x x2 ln(x) x 2x 4 = x ln(x) + x 2 x = x ln(x) = f(x). 2 Donc F est bien une primitive de f sur ]0; + [ ln(x) 0 sur [1; [, donc A = f(t)dt. 1 2 ( A = f(t)dt = F (2) F (1) = (2 ln(2) 1) 1 ) = 2 ln(2)

15 Sujet 4 Sujet national, juin 2014, exercice 1 5 points Partie A Dans le plan muni d un repère orthonormé, on désigne par C 1 la courbe représentative de la fonction f 1 définie sur R par : f 1 (x) = x + e x. 1 Justifier que C 1 passe par le point A de coordonnées (0 ; 1). Utilisez la propriété suivante : un point M de coordonnées x et y appartient à une courbe C f, si et seulement si y = f(x). 2 Déterminer le tableau de variation de la fonction f 1. On précisera les limites de f 1 en + et en. Pour la dérivation, utilisez la formule : (e u ) = u e u si u est une fonction dérivable. Pour les limites, utilisez les limites usuelles et dans le cas de la forme indéterminée considérez cette limite : lim x xex = 0. Partie B L objet de cette partie est d étudier la suite (I n ) définie sur R, par : I n = 1 0 (x+ e nx )dx. 1 Dans le plan muni d un repère orthonorme (O ; i, j), pour tout entier naturel n, on note C n la courbe représentative de la fonction f n définie sur R par f n (x) = x + e nx. Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe C n pour plusieurs valeurs de l entier n et la droite D d équation x = 1.

16 Sujet 4 Énoncé a) Interpréter géométriquement l intégrale I n. D après le cours, quand f > 0, b a f(x)dx correspond, en unités d aire, à l aire du plan déterminé par le domaine suivant : a x b et 0 f(x). b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (I n ) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s appuie pour conjecturer. La conjecture sur les variations de la suite et sa limite se déduit d une considération des aires. 2 Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, I n+1 I n = 1 0 e (n+1)x (1 e x )dx. En déduire le signe de I n+1 I n puis démontrer que la suite (I n ) est convergente. Mobilisez les propriétés de linéarité et de positivité de l intégrale, puis le théorème de convergence. 3 Déterminer l expression de I n en fonction de n et déterminer la limite de la suite (I n ). Recherchez une primitive de f n puis la limite de l intégrale obtenue.

17 Sujet 4 Corrigé Partie A 1 Pour montrer que C 1 passe par le point A de coordonnées (0 ; 1), il suffit de montrer que f 1 (0) = 1. Or, f 1 (0) = 0 + e 0 = = 1, C 1 passe bien par le point A. 2 La fonction f 1 est dérivable sur R en tant que somme de fonctions dérivables sur R, et f 1 (x) = 1 e x. Si x > 0, x < 0, e x < 1 et f 1 (x) = 1 e x > 0. De même, si x > 0, f 1 (x) < 0. Par ailleurs, lim f 1(x) = + puisque lim x + x + e x = 0. En nous sommes en présence d une forme indéterminée. Mettons e x en facteur : f 1 (x) = e x (xe x + 1). lim x e x = +. Puisque lim x xex = 0, lim f 1(x) = + D où le tableau de variation : x Partie B 1 a) Puisque e x > 0 pour tout x réel, sur [0 ; 1], f n (x) > 0 et l intégrale I n représente, en unités d aire, l aire délimitée par les droites verticales d équation x = 0 et x = 1 l axe des abscisses et la courbe C n. b) La suite (I n ) semble être décroissante puisque les aires décroissent quand n augmente et sa limite semble être proche de 1 2, aire correspondant au triangle rectangle isocèle valant la moitié de l aire du carré de côté 1. 2 I n+1 I n = 1 ( ) x + e ( n 1)x dx 1 ( ) x + e nx dx = 1 0 ( 0 0 x + e ( n 1)x x e nx) dx = 1 0 e (n+1)x (1 e x ) dx. Puisque pour tout x réel, e (n+1)x > 0 et, sur [0 ; 1], 1 e x 0, I n+1 I n 0 ce qui confirme bien la conjecture précédente : la suite (I n ) est décroissante. f n > 0 donc I n > 0, la suite (I n ) décroissante et minorée par 0 est donc convergente d après le théorème de convergence.

18 Sujet 4 Corrigé 3 On désigne par F n une primitive de f n. F n (x) = x2 2 e nx n. Par conséquent, I n = F n (1) F n (0) = 2 1 e n n + n 1. 1 lim n + e n = lim n + n = 0. Donc lim I n = 1, ce qui confirme la conjecture précédente faite sur la limite n + 2 de la suite (I n ).

19 Sujet 5 Liban, mai 2014, exercice 3 5 points Soit f la fonction définie sur l intervalle [0; + [ par f(x) = xe x. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Partie A 1 On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle [0; + [. Pour tout réel x de l intervalle [0 ; + [, calculer f (x). En déduire les variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. Calculez f et rechercher son signe. 2 Déterminer la limite de la fonction f en +. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat? Établissez le lien entre limite et asymptote. Partie B Soit A la fonction définie sur l intervalle [0; + [ de la façon suivante : pour tout réel t de l intervalle [0; + [, A(t) est l aire, en unités d aire, du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équations x = 0 et x = t. 1 Déterminer le sens de variation de la fonction A. Utilisez le cours concernant une fonction définie par une intégrale. 2 On admet que l aire du domaine délimité par la courbe C et l axe des abscisses est égale à 1 unité d aire. Que peut-on en déduire pour la fonction A? Établissez le lien entre aire et intégrale. 3 On cherche à prouver l existence d un nombre réel α el que la droite d équation x = α partage le domaine compris entre l axe des abscisses et la courbe C, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.

20 Sujet 5 Énoncé a) Démontrer que l équation A(t) = 2 1 admet une unique solution sur l intervalle [0 ; + [ Appliquez le théorème des valeurs intermédiaires. b) Sur le graphique ci-dessous sont tracées la courbe C, ainsi que la courble Γ résentant la fonction A. Sur le graphique ci-dessous, identifier les courbes C et Γ, puis tracer la droite d équation y = 1 2. En déduire une valeur approchée du réel α. Hachurer le domaine correspondant à A(α). Représentations graphiques des fonctions f et A Précisez les limites du domaine. 4 On définit la fonction g sur l intervalle [0; + [ par g(x) = (x + 1)e 1. a) On note g la fonction dérivée de la fonction g sur l intervalle [0; + [. Pour tout réel x de l intervalle [0; + [, calculer g (x). Utilisez la formule donnant le dérivée d un produit de deux fonctions. b) En déduire, pour tout réel t de l intervalle [0; + [, une expression de A(t). Revenez à la définition d une primitive. c) Calculer une valeur approchée à 10 2 près de A(6).

21 Sujet 5 Corrigé Partie A 1 f(x) = xe x, donc f (x) = e x xe x = e x (1 x). e x > 0, donc le signe de f est le même que celui de 1 x. Il s ensuit que f (x) 0 sur [0, 1] et f (x) 0 sur [1, + [. f est donc croissante sur [0, 1] et décroissante sur ]1; + [. 2 D après le cours lim x + xe x = 0 ce qui graphiquement signifie que l axe des abscisses est asymptote à la courbe C. Partie B 1 Puisque la fonction f est continue et positive sur l intervalle [0; + [, alorsa(t) = t 0 f(x)dxet donc, pour tout t [0; + [, A (t) = f(t). Mais f est positive sur l intervalle [0; + [ donc la fonction A est croissante sur [0; + [. 2 L aire du domaine délimité par la courbe C et l axe des abscisses correspond à la limite de A(t), quand t tend vers +. Or, d après l énoncé, cette aire est égale à 1 unité d aire. On peut donc en déduire que la fonction A a pour limite 1 en +. 3 a) A(0) = 0 et lim A(t) = 1, la fonction A est donc croissante de [0; + [ t + dans [0, 1[, or 1 [0, 1[ donc d après le théorème des valeurs intermédiaires 2 on en déduit que l équation A(t) = 1 admet une solution unique α. 2 b) À l aide du graphique on déduit que α 1, 7. L aire hachurée correspond à l aire du domaine délimité par la courbe C, l axe des abscisses et les droites verticales d équation x = 0 et x = α.

22 Sujet 5 Corrigé 4 a) On définit la fonction g sur l intervalle [0; + [ par g(x) = (x + 1)e x. Donc, g (x) = e x (x + 1)e x = e x (1 x 1) = xe x. b) Puisque g (x) = f(x), une primitive de f est donc g et A(t) = t 0 f(x)dx = g(t) + g(0) = (t + 1)e t + 1. c) A(6) = 1 7e 6 0, 98.

23 Sujet 6 Inde, avril 2014, exercice 4 7 points Partie A f est une fonction définie et dérivable sur R. f est la fonction dérivée de la fonction f. Dans le plan muni d un repère orthogonal, on nomme C 1 la courbe représentative de la fonction f et C 2 la courbe représentative de la fonction f. Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe C 1. Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C 2. 1 Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C 1 de la fonction f. Sur l une d entre elles, la courbe C 2 de la fonction dérivée f est tracée convenablement. Laquelle? Expliquez le choix effectué.

24 Sujet 6 Énoncé Commencez par la situation 1 en étudiant le signe de la dérivée f et les variations de f. 2 Déterminez l équation réduite de la droite tangente à la courbe C 1 en A. Par lecture graphique, vous devez déduire la valeur de f(0), et de f (0) = 1 et conclure. 3 On sait que pour tout réel x, f(x) = e -x + ax + b où a et b sont deux nombres réels.

25 Sujet 6 Énoncé a) Déterminez la valeur de b en utilisant les renseignements donnés par l énoncé. On vient de déterminer graphiquement la valeur de f(0), d où b. b) Prouvez que a = 2. On a déterminé graphiquement la valeur de f (0) et on vient de trouver la valeur de b, d où a. 4 Étudiez les variations de la fonction fsur R. Étudiez le signe de la fonction f, dérivée de f. 5 Déterminez la limite de la fonction f en +. D après le cours, on sait que de la limite d une somme. lim u eu = 0. On conclut alors par propriété Partie B Soit g la fonction définie sur R par g(x) = f(x) - (x + 2). 1 a) Montrez que la fonction g admet 0 comme minimum sur R. Étudiez le signe de la dérivée g et les variations de g, et concluez. b) Vous devez en déduire la position de la courbe C 1 par rapport à la droite. La figure 2 ci-dessous représente le logo d une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s est servi de la courbe C 1 et de la droite, comme l indique la figure 3 ci-dessous. Afin d estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l aire de la partie colorée en gris.

26 Sujet 6 Énoncé

27 Sujet 6 Énoncé Le contour du logo est représenté par le trapèze DEF G où : D est le point de coordonnées ( 2 ; 0), E est le point de coordonnées (2 ; 0), F est le point d abscisse 2 de la courbe C 1, G est le point d abscisse 2 de la courbe C 1. La partie du logo colorée en bleu correspond à la surface située entre la droite, la courbe C 1, la droite d équation x = 2 et la droite d équation x = 2. Étudiez le signe de g pour déduire la position relative des deux courbes. 2 Calculez, en unités d aire, l aire de la partie du logo colorée en gris (vous donnerez la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 2 du résultat). Déterminez le domaine correspondant à l aire recherchée puis interprétez-le sous forme d intégrale.

28 Sujet 6 Corrigé Partie A 1 La bonne situation est la situation 1 car dans ce cas de figure la dérivée f est positive (respectivement négative) sur le même intervalle sur lequel f est croissante (respectivement décroissante) et f s annule en une valeur correspondant à l abscisse du minimum de f, minimum en lequel la courbe C f possède une tangente horizontale. 2 La droite tangente à la courbe C 1 au point A d abscisse 0, a pour équation : y = f (0)(x 0) + f(0). Par lecture graphique, on déduit que f(0) = 2, puisque f(0) correspond à l ordonnée du point A d abscisse 0. De même, f (0) = 1 puisque f (0) correspond à l ordonnée du point B d abscisse 0. Finalement, : y = x a) f(0) = e b = 1 + b, or on vient de voir que f(0) = 2, d où b = 1. b) b = 1, donc f(x) = e x + ax + 1. f (x) = e x + a ; or f (0) = 1, donc e 0 + a = 1 et a = 2. Finalement, f(x) = e x + 2x + 1 et f (x) = e x f (x) = e x +2, donc f (x) = 0 pour x = ln(2), f > 0 pour x > ln(2) et f 0 pour x ln(2). f est donc strictement décroissante sur ] ; ln 2[, f admet un minimum pour x = ln 2 et f est strictement croissante sur ] ln 2; + [. 5 D après le cours, on sait que lim x + e x = 0 et que donc, par propriété de la limite d une somme : f(x) = +. lim x + Partie B lim 2x + 1 = + x + 1 a) g (x) = f (x) 1 = e x = e x + 1. g > 0 pour x > 0 et g < 0 pour x < 0. Donc g est strictement décroissante sur ] ; 0[, f admet un minimum pour x = 0 égal à g(0) = f(0) 2 = 0 et g est strictement croissante sur ]0; + [.

29 Sujet 6 Corrigé b) D après la question précédente, g(x) 0 pour tout x réel. Or, g(x) = f(x) (x + 2) cela entraîne donc que la courbe C 1 est au-dessus de la droite pour tout x réel. 2 On a vu que la courbe C 1 était au-dessus de la droite pour tout réel et donc en particulier sur [ 2 2]. L aire en bleu correspond à l ensemble des points M(x; y) du plan tels que 2 x 2 et x + 2 y f(x), par suite, l aire est donc égale, exprimé en unités d aire, à l intégrale I telle que : I = 2 2 f(x)dx 2 2 (x + 2)dx = 2 2 [f(x) (x + 2)]dx = 2 2 g(x)dx. Or, g(x) = e x + 2x + 1 x 2 = e x + x 1 et si on désigne par G une primitive de g, alors G(x) = e x + x2 x. Par conséquent, I = g(x)dx = 2 2 [ ] 2 G(2) G( 2) = e x + x2 2 x = e e = e 2 e Si je désigne par A l aire, alors A 3, 25 unités d aire. 2

30 Sujet 7 Asie, juin 2013, exercice 2 6 points On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f(x) = e x et g(x) = l e x. Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et C g, sont fournies en annexe. Partie A Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracez aux mieux ces tangentes sur la figure de l annexe. Vous devez rendre ce graphique avec votre copie. Vous placerez la règle entre les deux courbes de l annexe de telle sorte que la règle effleure chacune des courbes et on trace la droite ainsi obtenue.

31 Sujet 7 Énoncé Partie B Dans cette partie, on admet l existence de ces tangentes communes. On note D l une d entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d abscisse a et tangente à la courbe C g au point B d abscisse b. 1 a) Exprimez en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A. Le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point A d abscisse a est égal au nombre dérivé en a. b) Exprimez en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B. Vous suivrez le même raisonnement qu à la question précédente. c) Vous devez en déduire que b = a. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. 2 Démontrez que le réel a est solution de l équation 2(x l)e x + l = 0. Écrivez une équation de la tangente T A à la courbe C f au point A puis traduisez le fait que les deux tangentes sont confondues. Partie C On considère la fonction ϕ définie sur IR par : ϕ(x) = 2(x 1)e x a) Calculez les limites de la fonction ϕ en et +. Utilisez les limites usuelles des exponentielles puis appliquez les règles régissant la limite d une somme. b) Calculez la dérivée de la fonction ϕ, puis étudiez son signe. Utilisez la formule de dérivation d un produit et pour le signe de la dérivée tenir compte des propriétés de la fonction exponentielle.

32 Sujet 7 Énoncé c) Dressez le tableau de variation de la fonction ϕ sur IR. Précisez la valeur de ϕ (0). Il vous suffit de placer dans le tableau de variation le signe de ϕ et les variations correspondantes pour ϕ. 2 a) Démontrez que l équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutions dans IR. Appliquez le théorème des valeurs intermédiaires deux fois dans deux intervalles judicieux. b) On note α la solution négative de l équation ϕ(x) = 0 et β la solution positive de cette équation. À l aide d une calculatrice, donnez les valeurs de α et β arrondies au centième. Utilisez la technique de balayage. Partie D Dans cette partie, on démontre l existence de ces tangentes communes, que l on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbe C f d abscisse a et F le point de la courbe C g d abscisse a (a est le nombre réel défini dans la partie C). 1 Démontrez que la droite (EF) est tangente à la courbe C f au point E. Écrivez l équation de la tangente en E à la courbe C f puis traduisez le fait que F appartient à cette tangente. Donnez vos conclusions. 2 Démontrez que (EF) est tangente à C g au point F. Vous connaissez le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point F d abscisse α et vous le comparez à celui de la droite (EF ).

33 Sujet 7 Corrigé Partie A Partie B 1 a) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A est égal au nombre dérivé en a soit f (a). Or f (x) = e x, donc f (a) = e a. b) De même, le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B est égal au nombre dérivé en b soit g (b). Or g (x) = e x donc g (b) = e b. c) Si deux tangentes sont confondues, elles ont le même coefficient directeur ce qui entraîne que e a = e b, soit a = b. 2 Une équation de la tangente T A à la courbe C f au point A est égale à : y = e a (x a)+e a. Si deux tangentes sont confondues, cela exige que B(b; 1 e b ) appartienne à T A, soit, puisque b = a, que B( a; 1 e a ) appartienne à T A soit : 1 e a = e a ( 2a) + e a = 2ae a + e a et 2(a 1)e a + 1 = 0. a est bien solution de 2(x 1)e x + 1 = 0.

34 Sujet 7 Corrigé Partie C 1 a) Sur R, ϕ(x) = 2xe x e x + 1 On sait que lim x ex = 0 et lim x xex = 0, d où en appliquant les règles régissant la limite d une somme : lim ϕ(x) = 1. x La droite d équation y = 1 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de ϕ. On a lim (x 1) = + et lim x + x + ex = +, d où en appliquant les règles régissant la limite d un produit : lim ϕ(x) = +. x + b) En tant que somme et produit de fonctions dérivable sur R, ϕ est dérivable sur R et : ϕ (x) = 2e x + 2(x 1)e x = 2xe x. Comme pour tout x réel, e x > 0, le signe de ϕ est donc celui de x. Si x ] ; 0[, ϕ est alors strictement négative et la fonction ϕ est décroissante et pour x 0, ϕ 0, la fonction ϕ est alors croissante. c) D où le tableau de variations : 2 a) Sur I =] ; 0] la fonction ϕ est continue et strictement décroissante à valeurs dans [ 1; 1]. Puisque 0 [ 1; 1], d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique α de I tel que f(α) = 0. Le même raisonnement sur l intervalle J = [0; + [ nous conduit à établir l existence et l unicité d un β de J tel que f(β) = 0. Donc l équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutions dans R. b) En utilisant la technique de balayage, on obtient α 1, 68 et β 0, 77.

35 Sujet 7 Corrigé Partie D 1 Par définition de E, on sait que E appartient à la droite (EFG) et à la courbe représentative C f.e (α; e α ) et F ( α; 1 e α). L équation de la tangente en E à la courbe C f est : y = e α (x α) + e α. F appartient à cette tangente si et seulement si : 1 e α = e α ( α α) + e α. Soit 2(α 1)e α + 1 = 0 ce qui a été démontré à la question 2 b) de la partie C. La droite (EF) est donc bien la tangente à la courbe C f au point d abscisse α. 2 Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point F d abscisse α est e ( α) = e α. On a vu dans la question précédente que la droite (EF) a pour coefficient directeur e α et contient le point F. La droite (EF) est donc bien la tangente à la courbe C g au point d abscisse α.

36 Sujet 8 Inde, avril 2013, exercice 1 5 points Partie A On s intéresse à l évolution de la hauteur d un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : a 1 + be 0,04t h(t) = où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m. Déterminez les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. Interprétez la limite par rapport à la situation concrète, ce qui permettra, avec la valeur en 0 de déduire les coefficients a et b. Partie B On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 250] par f(t) = e 0,04t. 1 Déterminez f (t) en fonction de t (f désignant la fonction dérivée de la fonction f). Vous en déduirez les variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 250]. Vérifiez que la fonction proposée est la même que celle déterminée précédemment puis utilisez les formules sur les dérivées.

37 Sujet 8 Énoncé 2 Calculez le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m. Traduisez l énoncé sous la forme d une inéquation puis utilisez les propriétés des fonctions exponentielle et logarithme pour la résoudre et répondre au problème. 3 a) Vérifiez que pour tout réel t appartenant à l intervalle [0 ; 250] on a : f(t) = 2e0,04t e 0,04t Montrez que la fonction F définie sur l intervalle [0 ; 250] par F (t) = 50 ln ( e 0,04t + 19 ) est une primitive de la fonction f. Multipliez le numérateur et le dénominateur de l expression initiale de f(t) par e 0,04t. Dérivez F et concluez. b) Déterminez la valeur moyenne de f sur l intervalle [50 ; 100]. En donner une valeur approchée à 10 2 près et interpréter ce résultat. Utilisez la formule de la valeur moyenne d une fonction f sur un intervalle [a; b]. 4 On s intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t. En utilisant le graphique donné en fin de sujet, déterminez une valeur approchée de celle-ci. Estimez alors la hauteur du plant. En utilisant le fait que la pente de la tangente en un point M est égal au nombre dérivé en ce point, lisez sur le graphique le point en lequel la pente semble être maximale.

38 Sujet 8 Énoncé

39 Sujet 8 Corrigé Partie A Des données de l énoncé on déduit que : h(0) = 0, 1 et lim h(t) = 2. Or h(0) = a 1+b t + et lim t b D où a = 2 et 1+b = 0, 1 soit 2 Alors h(t) = 1+19e 0,04t. t + e 0,04t = lim u eu = 0. 2 = 10 et finalement a = 2 et b = 19. h(t) = a, puisque lim Partie B 1 Pour t [0 ; 250], f(t) = k v(t), avec k = 2 et v(t) = e 0,04t. Donc f (t) = kv (t) v 2 (t). Mais, v (t) = 0, 76e 0,04t puisque (e u(t) ) = u (t)e u(t). Donc f (t) = 1,52e 0,04t. (1+19e 0,04t ) 2 Comme e x > 0 pour tout x réel, sur [0 ; 250], f (t) > 0 et f est strictement croissante. 2 Cela revient à déterminer les valeurs de t pour lesquelles f(t) > 1, 5. Ce qui équivaut successivement à : e 0,04t > 1, e 0,04t 2 < e 0,04t < 4 e 0,04t < , 04t < ln(57). Finalement on trouve t > 25 ln(57) 101, 1. Pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m, il faut que le temps t soit d au moins 102 jours. 3 a) On multiplie le numérateur et le dénominateur de f(t) par e 0,04t et on obtient directement le résultat recherché. On dérive la fonction F. En posant, pour tout t [0 ; 250], u(t) = e 0,04t + 19, alors : F (t) = 50 ln(u(t)). Par ailleurs (ln(u)) = u u et la dérivée de ev est égale à v e v.

40 Sujet 8 Corrigé On a donc F (t) = 50 u (t) u(t) F (t) = 50 0,04e0,04t e 0,04t +19 F (t) = 2e0,04t 19+e = f(t). 0,04t sur [0 ; 250], puisque F = f, F est bien une primitive de f. b) La valeur moyenne de f sur [50 ; 100] est : m = f(t)dt m = ( m = ln F (100) F (50) 50 ) e e La valeur approchée à 10 2 près de m est donc égale à 1,03. Cela correspond à la taille moyenne du plant de maïs entre le 50 e et le 100 e jour. 4 Au temps t, la vitesse de croissance du plant de maïs est donnée par le nombre dérivé f (t) qui correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse t. On lit sur le graphique la valeur de t max pour laquelle le coefficient directeur de la tangente semble maximal : une valeur approchée de t max est alors 73. La hauteur du plant est alors d environ 1 m, à 10 cm près.

41 Sujet 9 Sujet national, septembre 2013, exercice 1 6 points Soit f une fonction définie et dérivable sur IR. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d un repère (O,~i,~j). Partie A Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C 1, C 2, C 3 avec la tangente en leur point d abscisse 0.

42 Sujet 9 Énoncé

43 Sujet 9 Énoncé 1 Donnez par lecture graphique, le signe de f(x) selon les valeurs de x. Lisez les coordonnées du point d intersection de C avec l axe des abscisses puis interprétez le graphique pour déduire le signe de f. 2 On désigne par F une primitive de la fonction f sur R. a) À l aide de la courbe C, déterminez F (0) et F ( 2). Utilisez la définition d une primitive d une fonction et lisez sur le graphique les coordonnées de points judicieux. b) L une des courbes C 1, C 2, C 3 est la courbe représentative de la fonction F. Déterminez laquelle en justifiant l élimination des deux autres. Recherchez la seule courbe parmi les trois dont la tangente en un certain point est horizontale.

44 Sujet 9 Énoncé Partie B Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur R par f(x) = (x + 2)e 1 2 x. 1 L observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum. a) Démontrez que pour tout réel x, f (x) = 1 2 (x + 4)e 1 2 x. Utilisez la formule de la dérivée d un produit. b) Vous devez en déduire une validation de la conjecture précédente. Recherchez les variations de f. 2 On pose I = 1 0 f(x)dx. a) Interprétez géométriquement le réel I. Rappelez le lien entre intégrale et aire d un certain domaine vu en cours. b) Soient u et v les fonctions définies sur R par u(x) = x et v(x) = e 1 2 x. Vérifiez que f = 2(u v + uv ). Utilisez la définition d une primitive d une fonction et la formule de la dérivée d un produit. c) Vous devez en déduire la valeur exacte de l intégrale I. Le lien entre intégrale et primitive vous permet de conclure. 3 On donne l algorithme ci-dessous. Variables : k et n sont des nombres entiers naturels. s est un nombre réel. Entrée : Demander à l utilisateur la valeur de n. Initialisation : Affecter à s la valeur 0. Traitement : Pour k allant de 0 à n 1 Affecter à s la valeur s + 1 n f ( k n ). Fin de boucle. Sortie : Afficher s.

45 Sujet 9 Énoncé On note s n le nombre affiché par cet algorithme lorsque l utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de n. a) Justifiez que s 3 représente l aire, exprimée en unités d aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur. Faites tourner l algorithme et repérez dans l expression algébrique obtenue les aires de rectangles convenables. b) Que dire de la valeur de s n fournie par l algorithme proposé lorsque n devient grand? La théorie de l intégrale de Riemann nous dit que s n, appelée somme de Riemann, lorsque n tend vers +, tend vers une intégrale correspondant à une aire convenable.

46 Sujet 9 Corrigé Partie A 1 Puisque l intersection de C avec l axe des abscisses est le point A( 2; 0) et en s appuyant sur le graphique donné on déduit que f(x) 0 pour x 2 et f(x) 0 pour x 0 2 a) Puisque F est une primitive de f, par définition d une primitive, F = f, F (0) = f(0) = 2 et F ( 2) = f( 2) = 0. b) C 1 est celle qui convient car c est la seule courbe parmi les trois dont la tangente au point d abscisse 2 est horizontale. Partie B 1 a) On va utiliser la formule donnant la dérivée d un produit : f = u v avec u(x) = x + 2, v(x) = e x 2, u (x) = 1 et v (x) = 1 2 e x 2. Or, d après le cours, f = u v + uv donc f (x) = e x 2 + x+2 2 e x 2. Finalement, f (x) = 1 2 (x + 4)e x 2. b) Une exponentielle étant toujours positive le signe de f est celui de x + 4, f 0 et f décroissante pour x 4, f 0 et f croissante pour x 4, la fonction f admet donc bien un minimum en x = 4. 2 a) La fonction f est définie, continue et positive sur [0; 1] donc l intégrale de 0 à 1 de f(x)dx a un sens et correspond à l aire du domaine délimité par la courbe de f, l axe des abscisses et les droites d équations x = 0 et x = 1, exprimée en unités d aire. ) b) 2(u(x)v (x) + u(x)v (x)) = 2 (1 e 12 x + x 2 1e 12 x = (2 + x)e 1 x 2 = f(x) d où f = (2uv) et F = 2uv est une primitive de f. c) D après le cours, on sait que si F est une primitive de f alors b a f(x)dx = F (b) F (a), donc I = [F (x)] 1 0 = [2xe 1 2 x ] 1 0 = 2e 1 2 = 2 e. 3 a) Faisons tourner la boucle de l algorithme : lorsque k a atteint la valeur (3 1), l affichage est alors : 1 3 f ( 0 3 ) f ( 1 3 ) f ( 2 3 ). Or chacun de ces trois termes correspond à l aire d un des trois rectangles donnés dans l énoncé.

47 Sujet 9 Corrigé b) L affichage de l algorithme obtenu après n boucles est : n 1 ( ( )) 1 k n f cela correspond à la somme des aires des rectangles sous la n k=0 courbe et au dessus de l axe des abscisses entre les droites d équations x = 0 et x = 1, leur largeur vaut : n 1. Quand n devient grand, s n se rapproche de I, selon la théorie de l intégrale de Riemann qui nous dit que lim s n = I. n + La somme s n est d ailleurs appelée somme de Riemann.

48 Sujet 10 Amérique du Nord, mai 2013, exercice 4 5 points Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = 1 + ln(x) x 2 et soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. La courbe C est donnée ci-dessous : 1 a) Étudiez la limite de f en 0. Utilisez les limites usuelles de ln(x) en 0 +. b) Que vaut lim x + ln(x) x? Vous devez en déduire la limite de la fonction f en +. Utilisez les propriétés des limites en particulier les sommes et produits de limites. c) Vous devez en déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C. Interprétez graphiquement chacune des deux limites. 2 a) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. Démontrez que, pour tout réel x appartenant à l intervalle ]0 ; + [, f 1 2 ln(x) (x) = x. 3 Utilisez la formule de la dérivée d un quotient. b) Résolvez sur l intervalle ]0 ; + [ l inéquation 1 2 ln(x) > 0. Vous devez en déduire le signe de f (x) sur l intervalle ]0 ; + [.

49 Sujet 10 Énoncé Montrez que le signe de f est celui de 1 2 ln(x), résolvez l inéquation demandée, concluez. c) Dressez le tableau des variations de la fonction f. En dressant le tableau, n oubliez pas de placer les bornes et les limites. 3 a) Démontrez que la courbe C a un unique point d intersection avec l axe des abscisses, dont vous préciserez les coordonnées. Un point appartient à l intersection de deux ensembles si et seulement si ses coordonnées vérifient simultanément les équations de ces deux ensembles. b) Vous devez en déduire le signe de f(x) sur l intervalle ]0 ; + [. Utilisez le tableau de variation précédent et le point d intersection trouvé. 4 Pour tout entier n 1, on note I n l aire, exprimée en unités d aire, du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équations respectives x = 1 e et x = n. a) Démontrez que 0 I 2 e 2 1. On admet que la fonction F définie sur l intervalle ]0 ; + [ par F (x) = 2 ln(x) x est une primitive de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. Interprétez l aire à l aide d une intégrale et utilisez la primitive donnée dans l énoncé. b) Calculez I n en fonction de n. Utilisez la primitive donnée dans l énoncé. c) Étudiez la limite de I n en +. Interprétez graphiquement le résultat obtenu. Utilisez les limites usuelles, ln(x) 1 et quand x tend vers +. x xn

50 Sujet 10 Corrigé 1 a) D après le cours, lim x 0 x 0 ln(x) =. Donc lim 1 + ln(x) =. + + D autre part, lim x x 2 = +. D où en effectuant le produit des limites : = 0, alors en effec- lim f(x) =. x 0 + ln x b) D après le cours, lim x + tuant le produit des limites On a aussi lim x + lim x + f(x) = 0. x = 0, et par ailleurs lim lim x + ln x x 2 = 0. x + 1 x 1 x 2 = 0, et en ajoutant ces deux dernières limites, on obtient : c) L axe des ordonnées est donc une asymptote verticale à la courbe C. L axe des abscisses est asymptote horizontale à la coube C en +. 2 a) f est dérivable sur ]0 ; + [ en tant que quotient de fonctions dérivables sur ]0 ; + [. f (x) = 1 x x2 2x (1+ln x) x 4 f x 2x 2x ln x (x) = x ln(x) x 3. f (x) = b) Pour tout x ]0 ; + [, x 3 > 0 donc f (x) est du signe de 1 2 ln(x). Or 1 2 ln(x) > 0 pour x < e 1 2 et 1 2 ln(x) < 0 pour x > e 1 2, d où le signe de f (. ) c) On a f e 1 2 = ( ) 2 = 1 2 e = e 1 2 et e = e. e a) Un point appartient à l intersection de deux ensembles si et seulement si ses coordonnées vérifient simultanément les équations de ces deux ensembles, ce qui revient à rechercher x ]0 ; + [ tel que f(x) = 0.

51 Sujet 10 Corrigé Comme x 0, cette équation équivaut à 1 + ln x = 0, soit x = e 1. Cela prouve que la courbe C coupe l axe des abscisses en un unique point, le point A de coordonnées (e 1 ; 0). b) D après les variations de f et comme f(e 1 ) = 0, on en déduit que f(x) < 0 sur l intervalle ]0 ; e 1 [ et f(x) > 0 sur l intervalle ]e 1 ; + [. 4 a) On sait que f est strictement positive sur ] 1 e ; + [, donc I 2 = 2 1 e f(x)dx. Sur [ 1 e ; 2] on a, d après les variations de f : 0 < f(x) 2 e. L intégration conservant l ordre, on en déduit : 0 < I 2 avec 2 1 e e 2 dx = e ( 2 1 ) = e 1 2 e 2 et finalement : 0 I 2 e e e 2 dx b) De même, f est strictement positive sur ] 1 e ; + [, et F est une primitive de f sur le même intervalle donc : I n = n 1 e f(x)dx I n = [F (x)] n 1 e I n = [ 2 ln x x I n = 2 ln n n. ] n 1 e( ) 2 ln(e 1 ) e 1 = 2 ln n n ( 2 + 1)e. Et finalement : I n = 2 ln n n + e. c) I n s écrit aussi I n = n 2 ln n n + e. 2 On a lim n + n = 0, lim ln n n + n = 0 d où lim I n = e. n + Graphiquement cela revient à dire que l aire du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équations respectives x = 1 e et x = n tend vers e quand n tend vers +.

52 Sujet 11 Sujet national, juin 2013, exercice 2 7 points Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé ( O ; i, j ), la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0 ; + [. On dispose des informations suivantes : les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0), (1 ; 2), (0 ; 2) ; la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est tangente à C en B ; il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x, f(x) = a+b ln x x. 1 a) En utilisant le graphique, donnez les valeurs de f(l) et f (1). f(1) est l ordonnée du point B, remarquez que la tangente en B est horizontale et utilisez le lien entre coefficient directeur d une tangente et nombre dérivé. b) Vérifiez que pour tout réel strictement positif x, f (x) = Utilisez la formule de la dérivée d un quotient. c) Déduisez les réels a et b. (b a) b ln x x 2. Les questions a) et b) permettent d établir un système de deux équations à deux inconnues a et b.

53 Sujet 11 Énoncé 2 a) Justifiez que pour tout réel x appartenant à l intervalle ]0 ; + [, f (x) a le même signe que ln(x). Décomposez f en produit de deux facteurs, dont l un est toujours positif et l autre est ln(x). b) Déterminez les limites de f en 0 et en +. Vous pourrez remarquer que pour tout réel x strictement positif, f(x) = x ln x x. Utilisez le propriétés de limites de produit, somme et quotient. c) Déduisez le tableau de variations de la fonction f. La recherche du signe de ln(x) permet de trouver les variations de f. 3 a) Démontrez que l équation f(x) = 1 admet une unique solution α sur l intervalle ]0 ; 1]. Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l existence et l unicité de α. b) Par un raisonnement analogue, on démontre qu il existe un unique réel β de l intervalle ]1 ; + ] tel que f(β) = l. Déterminez l entier n tel que n < β < n + 1. Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l existence et l unicité de β et la technique de balayage donne l encadrement recherché. 4 Variables : a, b et m sont des nombres réels. Initialisation : Affecter à a la valeur 0. Affecter à b la valeur 1. Traitement : Tant que b a > 0,1 Affecter à m la valeur 1 2 (a + b). Si f(m) < 1 alors Affecter à a la valeur m. Sinon Affecter à b la valeur m. Fin de Si. Fin de Tant que. Sortie : Afficher a. Afficher b.

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