Université Paris 13 Année M2 Introduction à la théorie spectrale

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1 Université Paris 13 Année M Introduction à la théorie spectrale Examen Les exercices sont indépendants 1. Spectre des opérateurs annihilation-création. On considère sur R les opérateurs différentiels a ± = 1 (± x + x). Pour les deux premières questions, il est commode d'utiliser les distributions. a) Expliquez pourquoi les opérateurs (A ±, D(A ± )) non-bornés dans L (R, dx) dénis par sont fermés et à domaine dense. D(A ± ) = { u L (R, dx) ; a ± u L (R, dx) }, u D(A ± ), A ± u = a ± u, b) Montrer que l'adjoint de A + est A. c) Pour z C, calculer A + e (x z) / et en déduire le spectre de A +. d) Quel est le spectre de A? e) En utilisant la base des fonctions de Hermite et l'oscillateur harmonique + x 1 = A A + = A +A +, rappeler pourquoi S(R) (fonctions de Schwartz) est dense dans D(A + ) muni de la norme du graphe. e) Vérier que pour u D(A + ) on a u H 1 loc (R) et u + A + u x u. f) Dans le cours un énoncé dit à peu près que si un opérateur fermé dans L (R) vérie D(A) H s loc (R) avec s > 0 et u + Au fu avec lim x f(x) = + alors σ(a) = σ disc (A). A la lumière des questions précédentes, que manque-t-il dans les hypothèses?. Opérateur d'airy complexe. On considère l'opérateur diérentiel P = x ix sur R. a) Vérier que l'opérateur non borné D(A) = { u L (R, dx) ; P u L (R, dx) }, u D(A), Au = P u, est fermé à domaine dense (il contient S(R)) et que l'adjoint de A est l'opérateur déni de la même manière pour l'opérateur diérentiel x + ix. 1

2 c) En passant en Fourier, û(ξ) = R e iξx u(x) dx, vérier que l'équation P u = f dans S (R) se traduit par ξ û + ξ û = ˆf dans S (R). c) On rappelle que G(ξ) = e ξ3 /3 1 R+ (ξ) est une solution élémentaire de ξ + ξ et que la convolution avec G agit continûment sur L (R, dξ) et sur S(R). En déduire que A est une bijection de D(A) dans L (R, dx) et que S(R) est dense dans D(A). d) En travaillant d'abord avec u S(R), montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que u D(A), C [ u + Au ] xu + xu e) En déduire la compacité de la résolvante de A et la nature du spectre de A. f) On conjugue l'opérateur A par l'opérateur unitaire U t u = u(x t) et on pose A t = U t AU t avec D(A t ) = U t D(A). Vérier que σ(a t ) = σ(a) g) Montrer que A t = A it et en déduire σ(a) =. 3. Un opérateur à trace. Soit H un espace de Hilbert et (Q, D(Q)) un opérateur auto adjoint non borné, à domaine dense, tel que (Q + i) 1 : H H est compact et Q 0. Soit χ C0 (R) telle que supp χ = [ 1, + [ et qui vérie χ [0,+ [ = 1. a) On considère la fonction réelle f dénie par f(x) = χ(x)e x. Montrer qu'il est possible de dénir l'opérateur f(q), et préciser une manière de le construire. b) On suppose qu'il existe C, α > 0 tels que {λ σ(q) : 0 λ M} CM α, M 1. En déduire que f(q) L 1 (H), c'est à dire que f(q) est à trace. c) Soit Ω R un ouvert connexe borné, tel que le bord Ω est C. On considère l'opérateur de Dirichlet D associé à Ω, muni de son domaine usuel. Déduire des questions précédentes que e t D L 1 (H) pour tout t > L'opérateur i x. On considère l'opérateur T = i x avec domaine C0 ([0, + [)), où C0 ([0, + [) désigne l'ensemble des fonctions C à support compact sur la demi-droite fermée. Soit H = L ([0, + [).

3 a) On note T 1 l'opérateur i x sur le domaine D = {u H, i x u H, u(0) = 0}. Montrer que T = T 1. b) Les opérateurs T et T 1 sont-ils symétriques? 3

4 English version Four separate exercises 1. Spectrum of annihilation-creation operators. Consider on R the dierential operators a ± = 1 (± x + x). For the two rst questions it is convenient to use generalized functions (distributions). a) Explain why the unbounded operators in L (R, dx) déned by are closed with a dense domain D(A ± ) = { u L (R, dx) ; a ± u L (R, dx) }, u D(A ± ), A ± u = a ± u, b) Check that the adjoint of A + is A. c) For z C, compute A + e (x z) / and deduce the spectrum of A +. d) What is the spectrum of A? e) With the Hermite functions basis and the harmonic oscillator hamiltonian, + x 1 = A A + = A +A +, recall why S(R) (Schwartz functions) is dense D(A + ) endowed with the graph norm. e) Check that u D(A + ) implies u H 1 loc (R) and u + A + u x u. f) In the lecture we said something like : if a closed operator A in L (R) satises D(A) H s loc (R) with s > 0 and u + Au f(x)u with lim x f(x) = +, then σ(a) = σ disc (A). In view of the previous framework, which assumption is missing?. Complex Airy operator. Consider the dierential operator P = x ix on R. a) Check that the unbounded operator D(A) = { u L (R, dx) ; P u L (R, dx) }, u D(A), Au = P u, is closed with a dense domain (it contains S(R)) and that its adjoint is the operator dened in the same way starting from the dierential operator x + ix. c) Using the Fourier transform û(ξ) = R e iξx u(x) dx, check that the equation P u = f in S (R) becomes ξ û + ξ û = ˆf dans S (R). 4

5 c) We recall that G(ξ) = e ξ3 /3 1 R+ (ξ) is an elementary solution of ξ + ξ and that the convolution with G acts continuously on L (R, dξ) and S(R). Deduce that A is one-toone and onto from D(A) to L (R, dx) and that S(R) is dense in D(A). d) By considering rst u S(R), prove that there exists a constant C > 0 such that u D(A), C [ u + Au ] xu + xu e) Deduce the compactness of the resolvent of A and the nature of the spectrum of A. f) The operator A is conjugated with U t u = u(x t) : Set A t = U t AU t with D(A t ) = U t D(A). Check that σ(a t ) = σ(a) g) Prove A t = A it and deduce σ(a) =. 3. A trace-class operator. Let H be a Hilbert space and (Q, D(Q)) a self-adjoint, unbounded operator with dense domain, such that (Q + i) 1 : H H is compact, and Q 0. Let χ C0 (R) be such that supp χ = [ 1, + [ with the property that χ [0,+ [ = 1. a) Consider the real function f dened by f(x) = χ(x)e x. Show that it is possible to dene the operator f(q), and give a way to construct it. b) Suppose there is C, α > 0 such that {λ σ(q) : 0 λ M} CM α, M 1. Deduce that f(q) L 1 (H), in other words, f(q) is trace class. c) Let Ω R be a connected, bounded oped set with boundary Ω in the C class. Consider the Dirichlet operator D associated to Ω, endowed with its usual domain. Deduce from the above questions that e t D L 1 (H) for all t > The operator i x. Consider the operator T = i x with domain C0 ([0, + [)), where C0 ([0, + [) is the set of C functions with compact support on the closed half line. Denote H = L ([0, + [). a) Let T 1 be the operator i x with the domain D = {u H, i x u H, u(0) = 0}. Show that T = T 1. b) Are the operators T and T 1 symmetric? 5

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