SÉQUENCE 5. Séance 1. Séquence 5. Je révise mes acquis 1) 3 (aa + a2) 3 (a² + 2a) 6a 3 2)

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1 Séquence 5 c SÉQUENCE 5 Séance 1 Ce que tu devais faire Je révise mes acquis 3 (aa + a 3 (a² + a) 3 (a² + a) 6a ) 10 3,9 64,35 5,35 (16,5 6,5) 3,9 3,9 (16,5 6,5) 4) 5x + 5x (x + 7x Les commentaires du professeur On peut supprimer le signe lorsqu il est suivi d une lettre ou d une parenthèse. Cependant, l écriture aa n est pas correcte, on écrit a². La ème réponse est correcte mais le signe peut être supprimé. La formule : a (b c) = a b a c vue en 5 e permet de faire mentalement le calcul proposé = 17 (100 = = On trouve ) Une factorisation permet d effectuer simplement le calcul : 16,5 3,9 6,5 3,9 = (16,5 6,5) 3,9 = 10 3,9 = 39 3,9 est un facteur commun. On utilise l égalité vue en 5 e : k a k b = k (a b) 4) On développe 5 (x + : 5 (x + = 5 x (x + = 5x ) 10x ( + 5) x 7x 7x 6) ) Attention : x 5x = 5 x x = 10x x + 5x n est pas égal à 10x. x + 5x = ( + 5)x = 7x 6) Le double de est soit 4. La somme de 4 et de 3 est soit 7. Remarque : Si x est le nombre choisi, la somme du double de ce nombre et de 3 est x + 3. Cned, Mathématiques 4e 133

2 c Séquence 5 Exercice 1 Figure 1 : 4a Figure : x + y Figure 3 : 3c Figure 4 : 6u + 4v Exercice Voici une figure de périmètre 8x + y. x y Le périmètre d un carré est égal à : 4 côté. Ici, le côté est a. Le périmètre est donc 4 a soit 4a. Le périmètre d un rectangle est : longueur + largeur. On trouve donc ici : x + y soit x + y. Le périmètre d un triangle équilatéral est : 3 côté. On trouve donc ici : 3 c soit 3c. L étoile a 6 côtés de longueur u et 4 côtés de longueur v. Son périmètre est donc 6u + 4v. Une figure dont le périmètre est 8x + y peut avoir de multiples formes. On donne libre cours à son imagination! Voici un autre exemple : y x Exercice 3 Figure 1 : a² Figure : xy Figure 3 : ch Figure 4 : πr L aire d un carré est donnée par la formule : côté côté. On trouve donc ici : a a soit a². L aire d un rectangle est : longueur largeur. On trouve donc ici : x y soit xy. côté hauteur relative L aire d un triangle est : c h On trouve donc ici : L aire d un disque est : π rayon rayon. On trouve donc ici : π r r = π r. Exercice 4 Noémie a fait la somme de l aire du rectangle et de l aire du triangle : a b ab a b + = ab +. L aire du rectangle est ab. L aire du triangle rectangle est la moitié de l aire d un rectangle de dimensions a et b soit a b. b a ab b ab a Quentin a fait la différence entre l aire du grand rectangle et l aire du triangle foncé : a b ab a b = ab. Les deux expressions (celle de Noémie et celle de Quentin) sont correctes. L aire du grand rectangle est : a b = ab. L aire du triangle rectangle foncé est a b. Quentin fait la différence entre l aire du grand rectangle (ab) et l aire du b triangle rectangle foncé. a ab 134 Cned, mathématiques 4e

3 Séquence 5 c Si j utilise l expression de Noémie : ab ab ab + = ab 1+ 1 ab = 3 = 3 Si j utilise l expression de Quentin : ab 1 3 3ab ab = ab ab = = L expression de Manon est correcte. On pouvait utiliser l expression de Noémie ou bien celle de Quentin. Dans chacun de ces deux cas, il suffisait de factoriser par ab. On choisit par exemple l expression de Noémie : ab + a b = ab 1 + ab 1 On a représenté en gras le facteur commun ab. ab 1 + ab 1 = ab (1 + 1 ) Conclusion : Lorsqu on exprime par exemple une aire à l aide d une expression littérale, il y a généralement plusieurs expressions littérales possibles! Séance Ce que tu devais faire Exercice 5 a) Les commentaires du professeur 5 cm Exemple de 4 ème bateau : 3 cm Les commentaires du professeur : On peut construire ce bateau de la façon suivante : on trace un segment [AB] AB = 5 cm de 5 cm et deux cercles C 1 et C de rayon 3 cm et de centres respectifs A et B. A B x C C 1 C A B 3 cm On prend un point quelconque C («au hasard») sur le cercle C. On trace le segment [BC]. On trace ensuite la demi-droite [Cx) d origine C parallèle à (AB) telle que [Cx) et [AB] soient du même côté de (BC). C x D C C 1 3 cm La demi-droite [Cx) coupe le cercle C 1 en D. A B C 1 C Cned, Mathématiques 4e 135

4 c Séquence 5 D 3 cm E F 3 cm C On construit ensuite les points E et F de [CD], respectivement à 3 cm de D et de C. 3 cm G A B Le point G est un des deux points d intersection du cercle de centre E de rayon 5 cm, et du cercle de centre F de rayon 5 cm. 5 cm D 3 cm E F 5 cm 3 cm C Remarques : On pouvait de cette façon construire une infinité de bateaux répondant à l énoncé, car on pouvait placer C au départ n importe où sur le cercle C. On pouvait alors dans tous les cas terminer la construction du bateau. b) bateau n 1 : P 1 = soit P 1 = 13 cm bateau n : P = soit P = 0 cm bateau n 3 : P 3 = 3 4,5 + 4,5 soit P 3 = 3,5 cm a) Avec l expression de Lindsay : Si x = soit 13 cm. Si x = soit 0 cm. Si x =,5,5 +,5 +,5 +,5 + 4,5 + 4,5 + 4,5 soit 3,5 cm. Avec l expression d Hugo : Si x = = soit 13 cm. Si x = = soit 0 cm. Si x =,5 4, ,5 = ,5 soit 3,5 cm. On retrouve les périmètres calculés à la question 1. Les expressions de Lindsay et Hugo sont correctes. Justification : Les côtés de même longueur du triangle isocèle mesurent (x +. Le périmètre p du bateau est donc : p = x + x + x + x + (x + + (x + + (x + p = 4 x + 3 (x + b) J utilise l expression obtenue par Lindsay : p = x + x + x + x + (x + + (x + + (x + p = 7 x = 7x + 6 J utilise l expression obtenue par Hugo : p = 4 x + 3 (x + = 4 x + 3 x + 6 = 7x + 6 b) P 1 = = P = = P 3 = 4,5 + 4,5 + 4,5 +,5 +,5 +,5 +,5 P 3 = 3 4,5 + 4,5 a) Pour utiliser l expression de Lindsay, par exemple pour calculer le périmètre d un bateau dont les petits côtés de la coque mesurent 1 cm, on remplace x par 1. Cela veut dire qu à chaque fois que l on voit un x dans l expression du périmètre, on le remplace par un 1. A la fin, il ne doit plus rester aucun x mais que des nombres. On effectue alors le calcul. Cela ne prouve pas que les expressions sont égales pour toutes les valeurs de x. Pour l affirmer, il faut le démontrer dans le cas général. En effet, d après l énoncé, les côtés de même longueur du triangle isocèle mesurent cm de plus que les petits côtés de la coque. Pour que l écriture du périmètre soit moins longue et plus lisible, on remplace x + x + x + x par 4 x. De plus, comme y + y + y = 3y, on a : (x + + (x + + (x + = 3 (x +. b) p = x + x + x + x + (x + + (x + + (x + Dans une somme, on peut changer l ordre des termes et les grouper comme on veut, donc : p = x + x + x + x + x + + x + + x + p = x + x + x + x + x + x + x x 6 { 5 cm { fl En effet : 3 (x + = 3 x + 3 A B 3 cm 136 Cned, mathématiques 4e

5 Séquence 5 c c) Je cherche un nombre x qui vérifie 7 x + 6 = 41 ; 5 convient car = 41 c) Chercher les valeurs de x pour lesquelle le périmètre du bateau est égal à 41, c est chercher pour quelles valeur de x l expression 7x + 6 est égale à 41. On aurait pu aussi chercher pour quelles valeurs de x x + x + x + x + (x + + (x + + (x + est égale à 41, ou bien : 4 x + 3 (x + est égale à 41. On choisit l expression 7x + 6 car c est avec cette expression du périmètre du bateau que les calculs seront les plus simples et les plus rapides. On cherche, en remplaçant x par différentes valeurs dans l expression 7 x + 6, et on regarde si l on obtient 41. Pour x = 0 7 x + 6 = = 6 Pour x = 1 7 x + 6 = = 13 Pour x = 7 x + 6 = = 0 Pour x = 3 7 x + 6 = = 7 On remarque qu à chaque fois que l on ajoute 1 à x, l expression 7 x + 6 augmente de 7. Pour x = 5 7 x + 6 = = 41 Pour x plus grand que 5, on se dit que 7 x + 6 sera plus grand que 41, donc il semble que 5 soit la seule valeur pour laquelle le périmètre du bateau soit égal à 41. Exercice 6 Figure n 1 : p = 6 x + 4 x = 6x + 8x = 14x Figure n : p = (x + 3) + (x + 3) + (x + 3) + 9 x = 1x + 9 Figure n 3 : p = x + x + x (x + + (x + = 5x + 6 Les remarques du professeur : Figure 1 : Une fois que l on a trouvé p = 6x + 8x, on pense à factoriser par x : p = (6 + 8) x = 14 x. Figure : Une fois que l on a écrit : p = (x + 3) + (x + 3) + (x + 3) + 9 x, on pense à supprimer les parenthèses qui ne servent à rien. On obtient alors : p = x x x x = 3x x = 1x + 9. Figure 3 : Le triangle équilatéral a pour côté x soit x +. Le périmètre de la figure 3 est la somme de deux fois le côté de ce triangle équilatéral, et de trois fois le côté du carré. Exercice 7 a) On obtient 4 pour x = 3 (14 3 = 4 b) On obtient 4 pour x =,75 (1, = 4 c) On obtient 4 pour x = 7, (5 7, + 6 = 4 Exercice 8 Les égalités sont écrites en gras ci-dessous. a) = 1 b) 6 = ( 3) c) AB = 3 cm d) EF 9 e) + 4x = 14 f) 7(4x 5) = 8x 35 g) 1 m = 100 cm Une égalité est une expression mathématique («une phrase mathématique») comportant un signe égal. Les expressions du a, b, c, e, f et g sont des égalités. L expression du d ne comporte pas de signe égal, mais le signe inférieur ou égal ; ce n est pas une égalité, c est une inégalité. Il y a beaucoup de phrases mathématiques qui ne sont pas des égalités : une somme : un produit : 7 8 etc. Cned, Mathématiques 4e 137

6 c Séquence = 1 est une égalité vraie. 6 = ( 3) est une égalité fausse. AB = 3 cm est une égalité. On ne sait pas si elle est vraie ou fausse! + 4x = 14 est une égalité qui peut être vraie ou fausse, selon la valeur de x. 7 (4x 5) = 8x 35 est une égalité vraie. 1 m = 100 cm est une égalité vraie. Exercice 9 Cela dépend de la valeur de x. Si x = x = = 5 On ne trouve pas. L égalité 5 + 3x = n est pas vraie pour x = 0. Si x = x = ( = 5 3 = L égalité 5 + 3x = est vraie pour x = 1. Je choisis un nombre. Je multiplie ce nombre par 3. J ajoute au résultat 5. J obtiens. Si x est ce nombre le nombre obtenu en multipliant x par 3 est 3 x soit 3x. Si on ajoute 5 au résultat, on trouve : 3x + 5. On cherche une valeur de x pour laquelle : 3x + 5 =. On a vu dans la question précédente que si x = 1, on a 3x + 5 =. Si on choisit 1 au départ, on trouve. Cette égalité est fausse (mais c est quand même une égalité). 6 = ( 3) est une égalité vraie. En fait, cela dépend du contexte (de la situation). Si, dans un problème, on dit au départ que AB est le produit de par 1,5, alors AB = 3 cm est une égalité vraie. Si, dans un problème, on sait d après les données que AB = 4 cm, alors écrire AB = 3 cm, c est écrire une égalité fausse. + 4x = 14 n est pas vraie pour n importe quelle valeur de x. Pour x = 0 + 4x = = + 0 = On ne trouve pas 14. Pourtant, il existe une valeur pour laquelle l égalité est vraie : Pour x = 3 + 4x = = + 1 = 14. Pour x = 3, l égalité + 4x = 14 est vraie. 7(4x 5) = 8x 35 est une égalité vraie car elle est vraie pour n importe quelle valeur de x. On sait qu elle est vraie car, si on développe 7(4x 5) : 7 (4x 5) = 7 4x 7 5 = 8x 35 En effet, on sait depuis le primaire que 1 m = 100 cm est vrai. C est la définition du centimètre! Remarque : en mathématiques, quand une expression qui dépend de x n est pas toujours vraie, on dit qu elle n est pas vraie. Appliquer le programme de calcul à partir d un nombre x revient à calculer 3x + 5. C est l expression que l on a étudiée dans la question précédente! Il existe peut-être d autres valeurs pour lesquelles on trouve, pour l instant, on ne peut pas le savoir 138 Cned, mathématiques 4e

7 Séquence 5 c Ce que tu devais faire Exercice 10 a) 4x 8 = 5 Séance 3 a) Les commentaires du professeur La valeur solution est la valeur : x = = 13 8 = 5 4 b) 8x + 7 = 5 La valeur solution est la valeur 3 : x = = = 8 + c) 3x + = x 7 La valeur solution est la valeur 1 : x = = + = + = 5, 4 + = 3, = 7 = 7 = 3, 6 7 = 3, Pour x = 3 4 4x 8 = = 3 8 = 5 4 Pour x = 3, 4x 8 = 4 3, 8 = 1,8 8 = 4,8 3 et 3, ne sont pas des solutions de l équation 4x 8 = 5. 4 b) Pour x = 1 8x + 7 = 8 ( + 7 = = 1 Pour x = 0,65 8x + 7 = 8 0, = 1 1 et 0,65 ne sont pas des solutions de l équation 8x + 7 =. c) Remarque importante : Quand on teste si un nombre est solution d une équation contenant un nombre inconnu dans les deux membres, on fait le calcul séparé de chacun des deux membres, et ensuite, on regarde si les deux nombres trouvés sont égaux. Pour x = 9 5 : 3x + = = = 5, = 7, 4 x 7 = =, =, 9 5 n est donc pas solution de l équation. Exercice 11 Pour x = : 3x + = 3 ( + = 6 + = 8 x 7 = ( 7 = 4 7 = 11 n est pas solution de l équation. Quel est le nombre qui ajouté à 4 donne 1? x = 5 Quel est le nombre qui multiplié par 3 donne 5? x 7 = 3 Quel est le nombre qui, lorsqu on lui soustrait 7, donne 3? x 3 = 5 Quel est le nombre qui divisé par donne 5? x + 4 = 1 Cned, Mathématiques 4e 139

8 c Séquence 5 x = 5 Le nombre qui divisé par donne 5 est 5 soit 10. D où : x = 10 x 7 = 3 Le nombre qui, lorsqu on lui soustrait 7, donne 3 est soit 10. D où : x = 10 x 3 = 5 Le nombre qui multiplié par 3 donne 5 est 5 3 d où : x = 5 3 x + 4 = 1 Le nombre qui ajouté à 4 donne 1 est 1 4 soit 3. D où : x = 3 Exercice 1 a) 3 + y = 4 Le nombre qui ajouté à 3 donne 4 est 4 3 soit 7. D où : y = 7 b) 7 z = 35 Le nombre qui multiplié par 7 donne 35 est 35 7 soit 5. D où : z = 5 c) 8 = 3 + u Le nombre qui ajouté à 3 donne 8 est 8 3 soit 5. D où : u = d) AB = 11 J écris l égalité des produits en croix : AB 8 = 4 11 AB 8 = 44 AB est le nombre qui multiplié par 8 donne 44, 44 4 d où : AB = = = = 5, 5 AB = 5,5 8 4 Exercice 13 Je suis le nombre qui multiplié par 3 donne 7 c est-à-dire 7 3. Exercice x = 1 Le nombre 3x est le nombre qui ajouté à 5 donne 1. D où : 3x est égal à 1 5 soit 4. a) On utilise la définition d une soustraction : le nombre qui ajouté à a donne b est b a. b) On revient à la définition d un quotient : lorsque a 0, le nombre qui multiplié par a donne b est b a. c) Les équations 3 + u = 8 et 8 = 3 + u sont en fait «identiques». De façon générale, on peut permuter le membre de droite et le membre de gauche d une équation. d) On a déjà traité de nombreux cas comme celui-ci dans la séquence sur la propriété de Thalès! On a vu que pour ce type de question, on pouvait utiliser l égalité des produits en croix. Ensuite, on revient à la définition du quotient. On utilise la définition d un quotient : si a 0, le nombre qui multiplié par a donne b est b a. On peut résoudre cette équation en deux étapes. Dans un premier temps, on calcule 3x. Pour cela, on revient à la définition d une soustraction. x est donc le nombre qui multiplié par 3 donne 4, c est donc 4 3. x = 4 3 Ensuite, on calcule x en revenant à la définition du quotient. 140 Cned, mathématiques 4e

9 Séquence 5 c Exercice 15 Le produit de deux nombres de même signe est toujours positif, donc le carré d un nombre est toujours positif. Je ne peux donc pas trouver de nombre dont le carré est 1. Résoudre l équation x = 1, c est trouver tous les nombres x dont le carré est 1. D après la question précédente, il n y en a aucun. L équation x = 1 n a donc aucune solution. On applique ici une propriété sur le signe d un produit de deux relatifs vue dans la séquence 1. On voit ici le cas d une équation qui n admet aucune solution. Exercice 16 J ai beau essayer de nombreuses valeurs, aucune d entre elles n est solution. Pour y = 0 5y = = 100 y = = 150 Pour y = 1 5y = = 105 y = = 15 Pour y = 10 5y = = 150 y = = 170 Pour y = 0 5y = = 00 y = = 30 Avec un tableur, je ne trouve toujours pas de solution. J y arrive presque, car pour 16,75 les deux nombres 5y et y sont très voisins. Par un calcul direct, il semble très difficile, voire impossible, de trouver une valeur entière solution de l équation. Pour des petites valeurs de y, 5y est plus petit que y + 150, mais plus y est grand, plus 5y est proche de y Pour y = 0, 5y a dépassé y En fait, pour y = 16 5y = 180 y = 18 5y est encore plus petit que y Pour y = 17 5y = 185 y = 184 5y est devenu plus grand que y Il se passe donc quelque chose entre 16 et 17. Si cette équation admet une solution, elle se trouve entre 16 et 17! On essaie de trouver une valeur décimale de y pour laquelle 5y et y sont égales. Pour 16,1 ; 16, ; 16,3 ; 16,4 ; 16,5 ; 16,6 5y est plus petit que y Pour 16,7, 5y est plus grand que y S il y a une solution, elle se trouve donc entre 16,6 et 16,7. On peut continuer ainsi longtemps, mais on ne trouve pas de solution décimale Calculons 5y et y pour y = 50 3 : 5y = = = + = donc = 5y = + = y = = = + = Le nombre que propose Noémie est bien solution de l équation donc y , Ce nombre n est pas décimal : on + = = + = Pour y = 50 n aurait donc pas pu le trouver en essayant des valeurs, ou en, on a bien : 5y = y utilisant un tableur est donc une solution de l équation Conclusion : Pour résoudre certaines équations, il va falloir 3 découvrir de nouvelles méthodes! 5y = y Comment Noémie a-t-elle pu trouver sa solution? Cned, Mathématiques 4e 141

10 c Séquence 5 Ce que tu devais faire Exercice 17 1 ère étape : Séance 4 00 g Les commentaires du professeur 50g 50g x + 50 = 50 ème étape : En enlevant 50g de chaque côté, l équilibre est maintenu. 50g 00 g 50g x = 00 3 ème étape : Tu connais maintenant le «poids» des pommes. Quelle opération te permet de trouver le «poids» d une pomme? une division par. Donc : x = ère étape : 5y = y ème étape : 100 g 100 g 50g 5y = y ème étape : 3y = 50 y = 50 3 Le «poids» d une clémentine est donc 50 3 g soit environ 16,7 g (arrondi au dixième de g près) 14 Cned, mathématiques 4e

11 Séquence 5 c Les remarques du professeur : On vient de voir une méthode permettant de résoudre une équation plus complexe. Cette méthode est basée sur une propriété admise qui est la suivante : On ne change pas une égalité si on soustrait à ses deux membres un même nombre. On admettra également qu on ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre non nul. Remarque importante : La solution de la question apporte une réponse à la question que se posaient Ali et Lindsay dans l exercice 16 : «comment Noémie a-t-elle fait pour trouver que 50 3 était solution de l équation : 5y = y + 150?». Exercice 18 3x 5 = 5x + 1 3x 5 5x = 5x + 1 5x x 5 = 1 x = 1+ 5 x = 6 x 6 = x = 3 7x + 6 = 3x 7x + 6 3x = 3x 3x 4x + 6 = 4x = 6 4x = 8 4x 8 = 4 4 x = 3) 9x 8 = x 3 9x 8 + x = x 3 + x 10x 8 = 3 10x = x = 5 10x 5 = x = 0, 5 fl On retranche 5x aux deux membres de l égalité afin d éliminer le terme en x du membre de droite. fl On ajoute 5 aux deux membres de l égalité afin qu il ne reste que des x dans le membre de gauche. fl On divise les deux membres par afin d avoir un résultat sous la forme : «x =». Remarque : on pouvait procéder différemment. Par exemple, pour trouver x sachant que : x = 6. On sait que x est le nombre qui multiplié par donne 6. 6 On peut donc écrire directement x = = 3. On pouvait également au début retrancher 3x aux deux membres afin d éliminer le terme en x du membre de gauche. fl On retranche 3x aux deux membres de l égalité afin d éliminer le terme en x du membre de droite. fl On retranche 6 aux deux membres de l égalité afin qu il ne reste que des x dans le membre de gauche. fl On divise les deux membres par 4 afin d avoir un résultat sous la forme : «x =». On pouvait procéder différemment, une fois que l on avait obtenu 4x = 8. On sait que x est le nombre qui multiplié par 4 donne 8. On peut donc écrire directement x = 8 =. 4 3) fl On ajoute x aux deux membres de l égalité afin d éliminer le terme en x du membre de droite. fl On ajoute 8 aux deux membres de l égalité afin qu il ne reste que des x dans le membre de gauche. fl On divise les deux membres par 10 afin d avoir un résultat sous la forme : «x =». On pouvait procéder différemment, une fois que l on avait obtenu : 10x = 5. En effet, le nombre qui multiplié par 10 donne 5 est 5 soit 0,5. Ainsi : x = 0,5. 10 Cned, Mathématiques 4e 143

12 c Séquence 5 Exercice 19 a) Noémie : B1 = ( * A1 + 5) / 3 Quentin : B1 = (A1 8) / b) Répondre à la question revient à résoudre l équation : x + 5 x 8 = 3 5 x x + = x x x x + = x = x + = x + = x + = x = x = = 6 x x = = = b) On aurait pu utiliser une autre méthode : x + 5 x 8 = est une égalité de quotients. 3 On sait d après la séquence 1 que si on a cette égalité, alors les produits en croix sont égaux. On a alors : 3 ( x 8) = ( x + 5). On résout cette équation : 3 ( x 8) = ( x + 5) 3x 4 = 4x x 4 4x = 4x x x 4 = 10 x = x = 34 x = 34 Cette méthode comporte moins de calculs que celle proposée dans la colonne de gauche. Elle est tout aussi satisfaisante. Quentin et Noémie n obtiennent le même nombre dans la case B1 que dans un seul cas : lorsqu ils placent 34 dans la case A1. Séance 5 Ce que tu devais faire Exercice est une somme. Les deux termes de cette somme sont 6 et est bien une somme, mais ce n est pas parce que le signe + apparaît en premier, c est parce que la multiplication est prioritaire par rapport à l addition = = 51 prioritaire Ni Manon, ni Quentin n avaient raison. 3) La dernière opération que j ai faite est une addition ; l expression est donc une somme. } Les commentaires du professeur La justification de Quentin est fausse. Manon s est également trompée. 144 Cned, mathématiques 4e

13 Séquence 5 c Exercice 1 7x + 6 somme produit ab a b différence produit 4 x + 3 (x + somme produit (5x 3) différence produit 3 x y + 1 somme produit (x + 6) (x + 5) somme produit Les remarques du professeur : Dans un calcul, on doit effectuer en priorité les calculs entre parenthèses, puis les multiplications et les divisions. Tu peux, pour t aider, souligner ces calculs prioritaires. Ainsi tu verras plus clairement l opération qu il reste à faire en dernier. Exercice La somme de x et du double de la somme de x et de 6 (x + 6) x Le produit du double de x par la somme de x et de x Le produit de la somme de x et de 6 par x x + (x + 6) La somme du double de 6 et du double de x x (x + 6) Exercice x La somme de 6 et du produit de 8 par x. 3 (x + Le produit de 3 par la somme de x et de. x y Le produit du double de x par le double de y. x 4 + x La somme du produit du double de x par 4 et de x. Les remarques du professeur : Cet exercice est difficile. Voici quelques conseils : On commence par déterminer si l expression est une somme ou un produit ; ce sera le début de la phrase. Si c est un produit par exemple, on souligne les facteurs de ce produit et on traduit chacun d eux par une phrase. 3) On rédige ensuite la phrase. Exemple avec x 4 + x : Cette expression est une somme donc la phrase s écrira sous la forme : «la somme de.. et de..» Les termes de cette somme sont : x 4 (le produit de x par 4) et x Ainsi la phrase est : La somme du produit de x par 4 et de x. Ou encore : La somme du produit du double de x par 4 et de x. Cned, Mathématiques 4e 145

14 c Séquence 5 Exercice 4 RI = x 3. L aire de TRIO est donc : 5 (x 3) = 5 x 5 3 = 5x 15 3) L objectif de l exercice est de trouver pour quelle valeur de x l aire de TRIO est égale au 3 de l aire 5 de RECT. L aire de RECT est 5x, donc l équation à résoudre est : 5x 15 = 3 5 5x 4) 5x 15 = 3x 5x 15 3x = 3x 3x x 15 = 0 x = x = x = = 7,5 L aire de TRIO est égale au 3 de l aire de RECT 5 uniquement lorsque x = 7,5. Exercice 5 A = 5 x 5 9 = 5x 45 B = 3 4 y + ( 3) 1 = 1y 3 C = ( 3x) + ( 5y = 6x 10y D = 4x 7 4x x = 8x 8x² Exercice 6 A = 1 (a b) = 1 (a b) B = 9 3u + 9 4v 9 5w = 9 (3u + 4v 5w) C = 5 x 5 1 = 5 (x D = ( 1 y + ( 1 ( z) = ( 1 (y z) ou bien D = 1 ( y) + 1 z = 1 ( y + z) 4) Maintenant qu on est un peu plus habitué à résoudre des équations, on peut écrire directement certains calculs. On aurait pu écrire : 5x 15 = 3x 5x 15 3x = 0 x 15 = 0 x = x = x = 7, 5 Il faut cependant toujours avoir en tête le principe de «la balance». Lorsqu on développe un produit, on le transforme en une somme ou une différence. On pense donc à vérifier que les réponses s écrivent bien sous la forme d une somme ou d une différence. Lorsqu on factorise, on transforme une somme ou une différence en un produit. On pense donc à vérifier que les réponses sont bien des produits. Avant de factoriser le B et le C, il est préférable de mettre en évidence le facteur commun (9 pour B et 5 pour C). Dans le D, on peut choisir 1 ou ( 1 comme facteur commun. Attention aux signes! 146 Cned, mathématiques 4e

15 Séquence 5 c Exercice 7 Aire de ABCD : xy Aire de TUNA : (y = y = y 4 Aire de BOUT : = 4 Aire de DNOC : y (x = y x y = xy y y xy y = xy 3) Périmètre de ABCD : y + x = (y + x) Périmètre de TUNA : (y + = y + = y + = y Périmètre de BOUT : 4 = 8 Périmètre de DNOC : y + (x = y + x = (y + x Les remarques du professeur : x et y sont des nombres comme 5 et 8 par exemple. Leur expression est juste un peu plus compliquée. On pouvait donc factoriser le périmètre de TUNA et de DNOC en procédant différemment : (y + = ((y + = (y + = y y + (x = (y + (x ) = (y + x 3) On pouvait déterminer le périmètre de ABCD, TUNA et DNOC après avoir déterminé leurs demi-périmètres : le demi-périmètre de ABCD est : y + x. Le périmètre de ABCD est : (y + x). le demi-périmètre de TUNA est : y + soit y. Le périmètre de TUNA est : y. le demi-périmètre de DNOC est : y + (x soit : y + x. Le périmètre de DNOC est : (y + x. Exercice 8 C est la figure qui a pour périmètre 5 (x +. Périmètre de la figure 1 : 4x + 0,5 + x 0,5 = 6x + 0,5 Périmètre de la figure : x +,5 + x + x +,5 = 5x + 5 = 5 x = 5 (x + Périmètre de la figure 3 : x + x + 0,5 + x + 0,5 = 5x + 1 Les remarques du professeur : Attention! 5 (x + n est pas égal à 5x + 1. Cned, Mathématiques 4e 147

16 c Séquence 5 Séance 6 Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Exercice 9 Quentin et Manon ont faux. En effet, si x = 1 + 3x + (5 9x) (7 6x) = (5 9) (7 6) = = 0 On devrait trouver 0 en remplaçant x par 1 dans les expressions trouvées par Quentin et Manon : 1x = 1 1 = 1 18x 10 = = 8 Ce n est pas le cas. Quentin et Manon se sont trompés. Si x = : + 3x + (5 9x) (7 6x) = (5 9 (7 6 = (5 18) ( x + (5 9x) (7 6x) = ( 13) ( 5) = = = 0. Hugo semble avoir raison, mais pour en être sûr, il faut montrer que l on trouve 0 pour n importe quelle valeur de x. a) 7 = ( 7 8 = ( ( 8) b) (a + b) = ( (a + b) = ( a + ( b = a + ( b) c) + 3x + (5 9x) (7 6x) = + 3x + (5 9x) (7 + ( 6x)) + 3x + 5 9x + ( 7) + 6x = x 9x + 6x = 0 + 0x = 0. Les remarques du professeur : c) Lorsque des parenthèses sont précédées d un signe +, elles sont inutiles. On peut donc les supprimer. Lorsque des parenthèses sont précédées d un signe, on utilise la propriété : «l opposé d une somme est la somme des opposés». Ainsi : (7 6x)= (7 + ( 6x)) (7 + ( 6x)) est l opposé de la somme de 7 et de 6x. C est donc la somme de :. l opposé de 7 soit 7. l opposé de 6x soit 6x D où : (7 + ( 6x)) = 7 + 6x. Exercice 30 A = 4 5x C = 13x + 5y 3 E = 10x + 3 B = 9x + 5 D = 1 7a F = 7 + x y Exercice 31 A = 6a 7 + 9a 7a + A = 8a 5 B = b b 1 B = b + 3 C = 5c + 5 5c + 5 C = 10c + 10 D = 4 6d d D = 3d Cned, mathématiques 4e

17 Séquence 5 c Exercice 3 L expression de Lindsay est : (x x (y + (x + 1 L expression de Manon est : y (x + 1 (y 1 (y L expression de Hugo est : y (x + 1 (y Le travail d Ali consiste à simplifier chaque expression pour vérifier qu elles sont bien égales. Pour cela, il développe chaque produit en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l addition et à la soustraction. Lindsay : x xy x + x + 1 = xy + Manon : xy + y y + 1 y + 1 = xy + Hugo : xy + y y = xy + Exercice 33 Dans le triangle ADE, on a : B [AD) et C [AE) (DE) // (BC). D après la propriété de Thalès, on a : AE AD ED = = AC AB CB E, C, F sont alignés dans cet ordre donc CE = EF FC = x A, E, C sont alignés dans cet ordre donc AE = AC CE = 7 (x AE = 7 x + AE = x + 9 x + 9 ED = = 7 3 CB x + 9 = donc ( x + 9) 3 = x + 7 = 14 3x = x = x = 3 13 x = 3 Dans les expressions, les produits correspondent aux aires des rectangles pris dans l ordre de l énoncé. Il y a encore des expressions littérales à trouver pour exprimer l aire totale! Tu peux essayer d en trouver d autres A chaque fois que tu en trouves une différente de celles de Lindsay, Manon ou Hugo, simplifie-la au maximum : tu dois retrouver xy +! AE = AC CE AC = 7 On commence donc par exprimer CE en fonction de x. Attention de ne pas oublier la parenthèse autour de x. On utilise ci-contre l égalité des produits en croix pour trouver x. On aurait pu également procéder ainsi : x + 9 = donc x + 9 = x + 9 = ; x + 9 = x = 9 ; x = x = ; x = ; x = Cned, Mathématiques 4e 149

18 c Séquence 5 Séance 7 Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Exercice 34 1 ère expression : (x + 5) (y + ème expression : x y + x + 5 y + 5 c est-à-dire xy + x + 5y + 10 ( x + 5 ) ( y + ) = x (y (y + On utilise la formule : (a + b) c = a c + b c x ( y + ) + 5 ( y + ) est égal à x y + x + 5 y + 5 donc x (y (y + = xy + x + 5y + 10 On utilise ensuite la formule : c (a + b) = c a + c b pour chacun des deux termes x (y + et 5 (y +. Remarque : Ce que l on a fait en deux étapes dans la question peut se faire en une étape de la façon suivante : (x + 5)(y + = x y + x + 5 y + 5 Exercice 35 A = (x + 3)(y + = x y + x y = xy + x + 3y + 3 B = (x + 5)(3x + = x 3x + x + 5 3x + 5 = 6x² + 4x + 15x + 10 = 6x² + 19x + 10 C = (x (6x + 7) = x 6x + x 7 + ( 6x + ( 7 = 6x² + 7x 1x 14 = 6x² 5x 14 D = (3a (a 3) = 3a a + 3a ( 3) + ( a + ( ( 3) = 3a² 9a a + 6 = 3a² 11a + 6 E = (3 y)(y 6) = 3 y + 3 ( 6) + ( y) y + ( y) ( 6) = 3y 18 y² + 6y = y² + 9y 18 F = ( 5x (x 3) = ( 5x) x + ( 5x) ( 3) + ( x + ( ( 3) = 10x² + 15x x + 3 donc : F = 10x² + 13x + 3 Les remarques du professeur : Les difficultés commencent quand les signes apparaissent! Ici, ils apparaissent dans l expression C. En fait, il suffit de se dire : x = x + ( Avec un peu de pratique, on peut aller plus vite en évitant les parenthèses. On écrit le signe de chaque produit au fur et à mesure. On écrit par exemple directement : (3a (a 3) = 3a a 3a 3 a + 3 Si tu es plus à l aise avec les parenthèses, continue d utiliser cette méthode. L essentiel est de ne pas faire d erreur de signe! Exercice 36 1 ère figure : (x (y + 5) = x y + x 5 + ( y + ( 5 = xy + 5x y 10 ème figure : (3x + (3x + = 3x 3x + 3x + 3x + = 9x² + 6x + 6x + 4 = 9x² + 1x ème figure : (y 3)(y = y y + y ( + ( 3) y + ( 3) ( = y² y 6y + 6 = y² 8y + 6 Les remarques du professeur : Si on est à l aise avec les signes, on peut écrire directement : (x (y + 5) = x y + x 5 y 5 (y 3)(y = y y y 3 y Cned, mathématiques 4e

19 Séquence 5 c Séance 8 Ce que tu devais faire Exercice 37 Lindsay a choisi d appeler x l âge de Margot. Louis a 4 ans de plus que Margot, donc son âge est : x + 4 Margot a fois l âge de Lorraine donc l âge de Lorraine est : x La somme de leurs trois âges est 34 ans donc : x x + x = 34 5 x + 4 = 34 5 x = x = 30 5 x = 30 5x = x = = 1 5 Margot a 1 ans, Louis a 16 ans et Lorraine a 6 ans. Vérification : la somme des âges des trois enfants est : = 34 Ali a choisi d appeler x l âge de Lorraine. Margot a fois l âge de Lorraine donc l âge de Margot est x Louis a 4 ans de plus que Margot, donc son âge est : x + 4 La somme de leurs trois âges est 34 ans donc : x + x + x + 4 = 34 5x + 4 = 34 5x = x = 30 Les commentaires du professeur 1 ère étape : choisir l inconnue. Pour ce problème, on a le choix entre l âge de Louis, l âge de Margot ou l âge de Lorraine. ème étape : on traduit l énoncé par une équation. On commence par traduire l âge de chaque personne en fonction de x. x x + x = 34 est une équation qui traduit le problème. 3 ème étape : on résout cette équation x x + x + = x + x + x = ( + + ) x = x (on regroupe les termes semblables) On soustrait 4 à chaque membre de l équation On multiplie par chaque membre de l équation de façon à se ramener à une équation «sans dénominateur». On divise par 5 chaque membre de l équation ou on utilise la définition du quotient. On conclut en répondant au problème posé. 4 ème étape : On fait une vérification. x = 30 5 = 6 Lorraine a 6 ans, Margot a 1 ans et Louis a 16 ans. La méthode d Ali est plus judicieuse que celle de Lindsay car il se ramène à une équation «sans dénominateurs». Éviter les fractions, c est souvent éviter des erreurs de calculs! Cned, Mathématiques 4e 151

20 c Séquence 5 3) Hugo a choisi d appeler x l âge de Louis. Margot a 4 ans de moins que Louis donc l âge de Margot est : x 4. Margot a fois l âge de Lorraine, donc l âge de Lorraine est : x 4 La somme de leurs trois âges est 34 ans donc : x x + x = 34 5x 4 4 = 34 5x 4 = 38 5x 4 = 76 5x = x = = 16 5 Il est important, lorsque cela est possible, de réfléchir avant de choisir l inconnue. Les calculs peuvent être beaucoup plus simples si l on fait le bon choix! Louis a 16 ans, Margot a 1 ans et Lorraine a 6 ans. Le choix d Hugo n est pas le meilleur! C est lui qui a l équation la plus compliquée à résoudre. Exercice 38 J appelle x le prix en euros du billet avant la réduction Le prix en euros du billet avec la remise de 3 % est : x x = 1 x = x D après l énoncé, on a donc : 97 x = 145, x = , 5 97x = x = 97 x = 150 Avant la réduction, le billet coûtait 150 euros. Les commentaires du professeur : On pouvait rédiger la solution de cet exercice de différentes manières. une autre solution : J appelle x le prix en euros du billet avant la réduction. 3 Le prix en euros du billet avec la remise de 3 % est : x x = x x 0,03 = (1 0,03)x = 0,97x 100 D après l énoncé, on a donc : 0,97x = 145,5 x = 145,5 0,97 x = Cned, mathématiques 4e

21 Séquence 5 c une deuxième autre solution : On pouvait rédiger la résolution de l équation : x = x = , , x = 150 une troisième autre solution : On pouvait encore rédiger la résolution de l équation : x = 145, =145, =145,5 = x = 145,5 comme suit, par exemple : x = 145,5 ainsi : Remarque : le prix avant réduction n est pas égal à 145,5 augmenté de 3 % (vérifie à la calculatrice). Exercice 39 La largeur du rectangle est (x 3). Sa longueur est le triple de sa largeur. Elle est donc égale à 3 (x 3). Le problème posé se traduit donc par : ( x 3) + 3 ( x 3) = 56 x ( x 3) = 56 x 6 + 6x 18 = 56 8x 4 = 56 8x = x = 80 x = 10 La longueur en cm du rectangle est 3 (10 3) soit 1 cm. Exercice 40 J appelle x le nombre de places à 15 euros qu a achetées Léa. Le nombre de places à 1 euros qu elle a achetées est donc 18 x. D après l énoncé, on a : 15x + 1( 18 x) = x x = x x = x 1x = x = x = 6 x = 13 Léa a acheté 13 places à 15 euros et soit 5 places à 1 euros. Vérification : Le prix total en euros des billets est : = = 300 périmètre d un rectangle : largeur + longueur. Lorsqu on doit résoudre une équation, on essaie, avant d utiliser les propriétés sur les égalités, de simplifier l écriture de chacun des deux membres. Au départ, on a l impression qu il faut deux lettres pour résoudre cet exercice : l une pour désigner le nombre de places à 15 euros que Léa a achetées l autre pour désigner le nombre de places à 1 euros qu elle a achetées. On s aperçoit, en fait, qu une suffit, car la ème peut s écrire «en fonction» de la 1 ère. Si, au lieu de mettre tous les termes en x dans le premier membre et les termes sans x dans le second membre, on avait fait le contraire, on aurait obtenu : = 1x 15x 78 = 6x 6x = 78 (une équation sans signe dans le premier membre ; moins il y a de signe moins il y a de risques d erreurs.) Cned, Mathématiques 4e 153

22 c Séquence 5 Exercice 41 Manon Quentin Noémie Étape 1 : 3 Étape 1 : 5 Étape 1 : ( 4) Étape : 3 = 6 Étape : 5 = 5 Étape : ( 4) = 8 Étape 3 : 6 3 = 3 Étape 3 : 5 3 = Étape 3 : 8 3 = 11 Étape 4 : 5 3 = 15 Étape 4 : 5 = 10 Étape 4 : ( 1 5 = 55 Étape 5 : = 15 Étape 5 : = 15 Étape 5 : ( 4) = 15 Étape 6 : = 0 Étape 6 : = 0 Étape 6 : = 0 Ils trouvent tous les trois 0. 3) Le programme de calcul se traduit par : 5 ( n 3) 10n ) 5 ( n 3) 10n + 15 est égal à 0. 5) Pour démontrer cette conjecture, il suffit de simplifier l expression littérale. 5 ( n 3) 10n + 15 = 5 (n 3) 10n + 15 = 10n 15 10n + 15 = 0. Les remarques du professeur : 3) Procédons par étape : Etape 1 : n Etape : n Etape 3 : n 3 Etape 4 : 5 ( n 3) Etape 5 : 5 ( n 3) 10n Etape 6 : 5 ( n 3) 10n ) 5) Pour trois nombres différents (ceux choisis par Manon, Quentin et Noémie), on trouve que le programme donne 0. Cela ne suffit pas pour conclure que c est toujours vrai. Il est nécessaire de faire une démonstration. Puisque l expression littérale se simplifie et donne 0, on peut affirmer que ce sera toujours le cas. Remarque : quand on écrit que «5 ( n 3) 10n + 15 est égal à 0.», n oublie pas que cela veut dire que : 5 ( n 3) 10n + 15 est égal à 0 pour n importe quelle valeur de n. 154 Cned, mathématiques 4e

23 Séquence 5 c Séance 9 Ce que tu devais faire Exercice 4 Les commentaires du professeur Durée (en minutes) Abonnement A (en ) 8 3, Abonnement B (en ) x est le nombre de minutes de communication. Abonnement A : ,3x Abonnement B : 9 + 0,x 3) Répondre au problème posé revient à résoudre l équation : ,3x = 151 0,3x = ,3x = 13 x = 13 = 440 0, 3 Avec 440 minutes de communication, on paye 151 avec l abonnement A. 4) Répondre au problème posé revient à résoudre l équation : ,3x = 9 + 0,x 0,3x = 9 + 0,x 19 0,3x 0,x = ,1x = 10 x = 10 0,1 = 100 Pour 100 minutes de communication, les tarifs sont égaux. Les commentaires du professeur : et Si on observe les calculs pour les abonnements, on trouve facilement l expression littérale : Abonnement A ,3 30 = ,3 45 = 3, ,3 60 = ,3 90 = 46 Expression littérale : ,3 x Abonnement B 9 + 0, 30 = , 45 = , 60 = , 90 = 47 Expression littérale : 9 + 0, x Cned, Mathématiques 4e 155

24 c Séquence 5 Exercice 43 1 ère partie L aire du triangle ACD est : 9 1 soit 54 cm². On utilise la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B : AC² = AB² + BC² AC² = 9² + 1² AC² = = 5 AC = 15 cm ème partie L aire de EFD est donnée par la formule : ED DF ED = 1 4 soit ED = 8 cm DF = (9 x) cm L aire du triangle EFD est donc : 8( 9 x) = 4( 9 x) = x = 36 4x Répondre au problème posé, c est résoudre l équation suivante : 36 4x = 4 4x = x = 1 1 x = 3 4 Pour x = 3, l aire du triangle EFD est 4 cm². Exercice 44 x = 4 AB = = 1 AC = = 11 BC = 5 Le plus long côté est [AB]. AB² = 1² = 144 AC² + BC² = 11² + 5² = = 146 AB² AC² + BC² D après la propriété de Pythagore, le triangle ABC n est pas rectangle si x = 4. (x + 7)² = (x + 7)(x + 7) = x x + x x = x² + 7x + 7x + 49 = x² + 14x + 49 (x + 8)² = (x + 8)(x + 8) = x x + x x = x² + 8x + 8x + 64 = x² + 16x ) AB² AC² = (x + 8)² (x + 7)² = x² + 16x + 64 (x² + 14x + 49) = x² + 16x + 64 x² 14x 49 = x ) Comme x est positif, le plus long côté est [AB]. Le triangle ABC est rectangle en C uniquement si : AB² = AC² + BC² c est-à-dire uniquement si : AB² AC² = BC² AB² AC² = x Répondre au problème posé revient à résoudre l équation : x + 15 = 5² x + 15 = 5 x = 5 15 x = 10 x = 5 Le triangle ABC est rectangle en C uniquement si x = Cned, mathématiques 4e

25 Séquence 5 c Je m évalue x + 5 3x x + (x 4) + 4 Ce n est pas possible de savoir ) 8x + 9 8x + 1 x + 9 8x ) (3x + (x + 7) (3 + x) 5x x 3x + 1 7(1 + x) 5) 3 n + n 4 3 n n 4 3 n n n ( n + 3) 4 6) 5x + 4 3x + 1 5x 4 3x 1 5x 4 + 3x 1 5x 4 3x + 1 7) 15x² 13x + 15x² + 13x + 15x² + 7x + 15x² 7x AB = DH = x 4 Si l on ajoute les longueurs de chaque côté du polygone, on obtient : x + x + (x 4) + 4 = x + (x 4) + 4 = 3x Résolvons l équation : 1x + 8 = 10x 3 1x + 10x = 3 8 x = x = = On peut aussi tester chaque solution proposée, mais c est plus fastidieux. 3) 5(x + 3) + 3(x = 5x x 6 = 8x + 9 4) Toutes sont des produits sauf la 3 ème qui représente le nombre obtenu : en retranchant 3x à 5x x puis en ajoutant 1 au nombre obtenu. 5) Le produit de la somme de n et de 3 par le quart du triple de n. La somme de n et de 3 est n + 3. Le quart du triple de n est 1 4 3n soit 3. 4n 6) Si tu n as pas compris, reporte-toi au «JE COMPRENDS LA METHODE» de la séance 6. 7) Si tu n as pas compris, reporte-toi au «JE COMPRENDS LA METHODE» de la séance 7. Cned, Mathématiques 4e 157

26 c Séquence 5 8) Dans 34 ans. Dans 31 ans. Dans 6 ans. Dans 13 ans. 9) x + 5 x 10x (x + 5) x 10x x² x 10) x y y² (x y) y x(y + y(y + (x y) (y + (x y) (x y) 8) Dans x ans, les filles auront (8 + x) et (5 + x) ans. La mère aura (39 + x) ans. Le problème se traduit par l équation : 8 + x x = 39 + x x + 13 = 39 + x x x = x = 6 9) Attention à l oubli des parenthèses! (x + 5) x 10x = x² + 10x 10x = x² 10) Toutes les expressions sont correctes. La 1 ère s obtient en retranchant l aire de ABIH à l aire de ACDH. La ème en calculant directement l aire de BCDI. La 3 ème, en retranchant les aires des rectangles blancs ABFG et IDEF à celle du rectangle ACEG. La 4 ème, en retranchant l aire de IDEF à celle de BCEF. 158 Cned, mathématiques 4e

27 Séquence 6 c SÉQUENCE 6 Séance 1 Ce que tu devais faire Je révise mes acquis (d) est une médiane du triangle. (d ) est une médiane du triangle. (d 3 ) est une médiane du triangle. MA = MC MB = MC Les commentaires du professeur fl (d) ne passe pas par un sommet du triangle donc (d) n est pas une médiane du triangle. On rappelle qu une médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui coupe le côté opposé en son milieu. D après le codage, (d) coupe le côté [AC] perpendiculairement en son milieu, donc (d) est la médiatrice du côté [AC]. fl On ignore si M est le milieu du côté [BC], donc on ne sait pas si (d ) est une médiane. fl (d 3 ) passe par un sommet du triangle. D après le codage, (d 3 ) coupe bien le côté opposé en son milieu. fl M appartient à la médiatrice de [AC] donc il est équidistant des points A et C. fl On ignore si M est le milieu du côté [BC]. les angles a $ et b $ sont égaux. les angles a^ et c^ sont égaux. les angles a^ et d^ sont égaux. les angles c^ et d^ sont égaux. fl Ces deux angles sont alternes-internes. Les droites (d 1 ) et (d ) sont parallèles, donc on peut conclure qu ils sont égaux. fl Ces deux angles sont opposés par le sommet donc ils sont égaux. fl Ces deux angles sont correspondants. Les droites (d 1 ) et (d ) sont parallèles. On en déduit qu ils sont égaux. 3) d a b c a b d c a c b d d b a c 3) Les définitions de ces droites, vues en 6 ème et 5 ème, seront reprises dans cette séquence. 4) L axe de symétrie d un segment est la médiatrice de ce segment. L axe de symétrie d un angle est la médiatrice de cet angle. L axe de symétrie d un losange est la plus grande diagonale de ce losange. L axe de symétrie d un cerf-volant est une des diagonales. L axe de symétrie d un angle est la bissectrice de cet angle. 4) fl Un segment a deux axes de symétrie : sa médiatrice et la droite qui passe par ses deux extrémités. On ne peut donc pas parler de l axe de symétrie d un segment! «L axe» signifie «le seul axe». fl La «médiatrice d un angle» n existe pas. On ne peut parler de médiatrice que pour un segment. fl Dans un losange, les deux diagonales sont des axes de symétrie. Cned, Mathématiques 4e 159

28 c Séquence 6 Exercice 1 a) la longueur SA la longueur SB la longueur SH la longueur SC b) la longueur SA la longueur SB la longueur SH la longueur SC La droite (SM) semble être perpendiculaire à la droite (AB). 3) a) la longueur SA la longueur SB la longueur SH la longueur SC b) la longueur SA la longueur SB la longueur SH la longueur SC Dans la vie courante, on mesure l altitude des avions verticalement par rapport au sol. La hauteur de la montagne ne dépend pas des pentes de ses versants. Par analogie avec les cas précédents, le plus court chemin de S à la droite s obtient en se déplaçant perpendiculairement de S vers le côté [BA]. Tu noteras d ailleurs que, si le triangle représentait une montagne, on appellerait SH la hauteur de la montagne. En géométrie, à cause de cela, le segment [SH] est aussi appelé hauteur du triangle ABS passant par S. La figure ressemble à la précédente. Les côtés [AS] et [BS] ne sont pas tracés toutefois. Exercice a) 0 mm b) 10 mm c) 14 mm Les commentaires du professeur : On utilise la méthode vue précédemment : On trace la perpendiculaire à la droite passant par le point. On mesure la distance du point au pied de la perpendiculaire. Pour le c), on commence par prolonger le tracé de (d ). Lorsqu on effectue une mesure, il y a toujours une imprécision. Ce n est pas grave si tu as trouvé un résultat à plus ou moins 1 mm des réponses proposées. Exercice 3 a) la distance du point D à la droite (FG) est : 4,8 km. b) la distance du point B à la droite (DC) est : 4,8 km. c) la distance du point C à la droite (BD) est : 6,4 km. d) la distance du point B à la droite (DG) est : on ne peut pas savoir. e) la distance du point F à la droite (DB) est : 14 km. f) la distance du point G à la droite (FD) est : on ne peut pas savoir. On cherche la perpendiculaire à la droite passant par le point. On lit la distance du point au pied de la perpendiculaire. Il n y a sur la figure aucune perpendiculaire à la droite (DG) passant par le point B. La perpendiculaire à (FD) passant par G n est pas tracée. 160 Cned, mathématiques 4e

29 Séquence 6 c Exercice 4 r S (d) H P a) Le triangle SPH est rectangle en H car (SH) est perpendiculaire à (d). b) Le triangle SPH est rectangle en H. [SP] est l hypoténuse du triangle SPH. On sait que l hypoténuse est le côté le plus long d un triangle rectangle, donc : SP > SH. b) On pouvait redémontrer ce résultat en utilisant la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle SPH : SP = SH + PH PH² est un nombre positif différent de zéro donc SP est plus grand que SH. On peut donc écrire : SP > SH D où : SP > SH. On a déjà vu que deux nombres positifs sont classés dans le même ordre que leurs carrés. Ici, on utilise des longueurs de segments, donc tous les nombres utilisés sont bien positifs. Exercice 5 I X K J On reconnaît dans le triangle YUX une figure étudiée à la séquence «triangle : milieux et parallèles». On se souvient des trois propriétés des milieux vues dans la séquence, et de la propriété de Thalès. Z Y U (d) Je détermine la distance de Y à (d) : La droite (d) est la hauteur issue de X du triangle XYZ, donc par définition elle est perpendiculaire à (YZ). La distance de Y à (d) est donc YU. Je détermine la distance de I à (d) : On sait que : Dans le triangle XYZ, I est le milieu de [XY] et J est le milieu de [XZ]. Or, dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. On en déduit que : (IJ) est parallèle à (YZ). D où : (IK) est parallèle à (YZ). Dans un premier temps, on détermine à quelles longueurs correspondent les distances de Y à (d) et de I à (d). Pour cela, on cherche : la perpendiculaire à (d) passant par I, la perpendiculaire à (d) passant par Y. Dans ce deuxième cas, on prouve que (IJ) est bien parallèle à (YZ), et donc que (IK) est bien la perpendiculaire à (d) passant par I. Cned, Mathématiques 4e 161

30 c Séquence 6 On sait que : (IK) // (YZ) et (d) (YZ) Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. D où : (d) (IK) La distance de I à (d) est la longueur IK. Je compare YU et IK : On sait que : Dans le triangle XYU, I est le milieu de [XY] et (IK) // (YU). Or, dans un triangle, une droite passant par le milieu de l un des côtés et parallèle à un ème côté coupe le 3 ème en son milieu. D où : K est le milieu de [XU]. On sait que : Dans le triangle XYU, I est le milieu de [XY] et K est le milieu de [XU]. Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. On en déduit que : IK = YU La distance de I à (d) est la moitié de la distance de Y à (d). On pouvait également utiliser la propriété de Thalès dans le triangle XYU : I est un point de [XY) K est un point de [XU) (IK) est parallèle à (YU) D après la propriété de Thalès, on a : XI XK XY = IK XU = YU XI IK D où : = XY YU Comme I est le milieu de [XY], on a XY = XI, d où : XI XY = 1. D où : IK YU = 1 membres de l égalité par YU). Séance d où IK YU = (en multipliant les deux Ce que tu devais faire Exercice 6 Le nombre de points d intersection d un cercle et d une droite dépend de la position de la droite par rapport au cercle. Il peut ne pas y avoir de point d intersection : (d) Les commentaires du professeur La question posée était une sorte de piège car la réponse n est pas directe : il y a plusieurs cas de figures! C Un cercle et une droite peuvent ne pas avoir de point d intersection. On dit parfois que la droite est extérieure au cercle. 16 Cned, mathématiques 4e

31 Séquence 6 c Il peut y avoir un seul point d intersection : (d) K C Un cercle et une droite peuvent avoir un seul point d intersection. Dans ce cas, on dit que la droite est tangente au cercle. Il peut y avoir deux points d intersection : (d) K C L Un cercle et une droite peuvent avoir deux points d intersection. Ici, ces deux points sont L et K. On sait depuis la 6 ème que le segment [KL] est «une corde» de ce cercle. Exercice 7 b) «Pour le cercle C, le segment [AH]est un rayon» c) «le segment [AH] semble perpendiculaire à la droite (d)» A C (d) H Le segment [BK] est un rayon du cercle. Il semble également perpendiculaire à (d ). (d') K B Cned, Mathématiques 4e 163

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