TESTS DE RACINES UNITAIRES ET PERFORMANCE PREVISIONNELLE DES MODELES AR: APPLICATION SUR LES VARIABLES DU TRANSPORT EN FRANCE

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1 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., TESTS DE RACINES UNITAIRES ET PERFORMANCE PREVISIONNELLE DES MODELES AR: APPLICATION SUR LES VARIABLES DU TRANSPORT EN FRANCE Mahmoud Mourad Faculé de Science Economique e de Geion, Secion I, Branche Nabaieh, Univerié Libanaie, Liban (Received 5 Seember Acceed 29 Seember 2005) RESUME Ce aier examine la naure de la non-aionnarié dan ving-cinq érie menuelle qui couvren le différen eceur du ranor en France. De e de racine uniaire on éé uilié our dicriminer la naure déerminie ou ochaique de la endance e de la aionnalié. Une enibilié dan le réone de la rocédure DHF a éé manifeée i nou varion l ordre de 2 à 24. Ce réone quelquefoi conradicoire on condui à conidérer quare ye de modèle auorégreif (AR) incluan endance e / ou aionnalié. L ordre AR oimal our le différene érie a éé idenifié en uilian le crière auomaique FPE, AIC, BIC e HQ. La erformance réviionnelle de modèle eimé a éé meurée à l aide de crière RMSE (Mean Roo Square Error) e MAPE (Mean Abolue Percenage Error). Parmi le modèle AR choii, il y a hui érie chronologique our une aionnalié déerminie, e our une aionnalié ochaique, cinq our une endance e une aionnalié déerminie e enfin cinq érie chronologique our une endance e une aionnalié ochaique. Mo-clé : non-aionnarié, déerminie, ochaique, aionnalié, endance, réviion ABSTRACT Thi aer examine he naure of he non-aionariy in weny-five monhly ime erie ha cover he differen ecor of he ranoraion in France. Te of uni roo have been ued o dicriminae he deerminiic or ochaic of he rend and he eaonaliy. A eniiviy in he anwer of he DHF rocedure ha been demonraed if we vary he AR order of 2 o 24. Thee anwer omeime conradicory drive u o conider four ye of auoregreive model (AR) including rend and / or eaonal facor. The oimal order for he differen model ha been idenified while uing he auomaic crieria FPE, AIC, BIC and HQ. The redicion erformance of he eimaed model ha been meaured wih he hel of he RMSE (Mean Roo Square Error) and MAPE (Mean Abolue Percenage Error) crieria. Among he AR model choen, here are eigh ime erie having a deerminiic eaonal facor, even for a ochaic eaonal facor, five for a deerminiic

2 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., rend and eaonal facor and finally five ime erie for a ochaic rend and eaonal facor. Keyword: non-aionariy, deerminiic, ochaic, eaonaliy, rend, foreca INTRODUCTION La écificaion de la non-aionnarié dan le érie macro-économique coniuen la remière éae dan l analye de réviion. Le réula obenu ar Nelon e Ploer (982) on accenué la diincion enre le érie TS (aionnaire auour de la endance) e DS (aionnaire arè une différence remière). Ean donné que beaucou de érie économique coniennen de comoane aionnière, le choix enre une aionnalié déerminie e une aure ochaique e d une grande imorance dan l évaluaion de réviion. La aionnalié déerminie dan une érie emorelle X e meurée ar de variable indicarice aionnière indiquan l évoluion yémaique de obervaion d une aion à l aure. De lu, un choc à un momen donné dan l hioire de X a un effe emoraire e il ne change a le comoremen général de réviion. Par conre, une érie d une aionnalié ochaique a une variance liée au em e ar conéquence la variance de l erreur de réviion e non conane 2. Cela exige le filre (-B ) our rendre aionnaire la érie en queion ( e la aion e B e l oéraeur de reard). Haza e Fuller (982), Dickey, Haza e Fuller (984) (en abrégé DHF) on armi le remier qui on rooé un e ermean de déecer la réence d une racine uniaire aionnière. 3 De alicaion inéreane on éé effecuée en uilian cee rocédure, à ire d exemle, nou cion Oborn e al. (988) e Tavéra (99). En raique, il e couran qu une érie chronologique exige à la foi un raiemen de la endance e de la aionnalié. Deux aroche connue on rooée : la remière rooée ar Box e Jenkin (970) conie à éliminer la endance e la aionnalié en uilian le filre mulilicaif (-B) (-B ). Cela ignifie que la érie a deux racine uniaire de fréquence 0. La econde aroche uoe la réence déerminie de la endance e de la aionnalié e ar uie elle conie à inroduire dan le modèle de X, une endance linéaire e de variable indicarice aionnière 4. On ignale qu une méhode a éé rooée ar Frane (99) our eer le racine uniaire aionnière dan de érie menuelle. C e une exenion de la méhode HEGY rooée ar Hylleberg e al. (990) e qui a éé deinée our eer la réence de racine uniaire dan de érie rimerielle 5. La rocédure rooée ar Frane incie à choiir enre deux ye de modèle en donnée menuelle : le remier ye e réconié ar Box e Jenkin, cié ci-deu, e le econd ye conidère une érie en différence remière, ui une modéliaion AR en incluan dan cee régreion, une conane e variable indicarice aionnière. Voir Dickey e al. (986), Philli (987), Creie (988), Schmid e Philli (992). 2 Voir Kendall e Ord (990). 3 Le valeur criique aux aionnalié d ordre 2,4 e 2 on fournie dan DHF (984). 4 Pour une racine uniaire aionnière dan une érie agrégée, voir Dickey (993), Piere e Snell (995). 5 Pour alicaion de la méhode HEGY, voir Oborn (990), Frane e Romijn (993) e Ghyel e al. (994).

3 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., L analye effecuée ar Frane monre qu une mauvaie écificaion de la naure de la aionnalié aboui à une déérioraion dan la erformance de réviion. Dan ce aier, on n uiliera a la rocédure de Frane car on dioe de 25 érie chronologique e la facoriaion du filre (-B 2 ) condui aux calcul faidieux. Ce aier e organié comme ui : dan la remière ecion, on réene le 25 érie qui couvren l enemble de l acivié du ranor en France endan la ériode 983 : -993 : 9 (29 obervaion). Dan la deuxième ecion, on examine la naure de la nonaionnarié c e-à-dire, on cherche le ye de la endance e de la aionnalié (déerminie ou ochaique) en uilian la rocédure rooée ar Haza e Fuller & Dickey, Haza e Fuller. Dan la roiième ecion, on élecionne l ordre oimal de chaque modèle AR en e ervan de crière auomaique FPE, AIC, BIC e HQ qui on le lu réandu en raique. Dan la quarième ecion, on éudie la qualié de réviion de différen modèle AR obenu à l aide de crière RMSE (Mean Roo Square Error) e MAPE (Mean Abolue Percenage Error). LES DONNEES Le érie éudiée couvren le rinciaux indicaeur de l acivié du ranor en France endan la ériode 983 : -993 : 9 (29 obervaion). On dioe de 25 érie qui on diviée en cinq eceur 6 : - Seceur de marchandie : ranor rouier, ferroviaire e voie navigable (ou enemble). Dan ce eceur, on diingue aui enre le rafic inérieur e le rafic inernaional. 2- Seceur de l auomobile : ce eceur e divié en roi caégorie. La remière concerne la roducion de voiure ariculière, la deuxième concerne l immariculaion de voiure neuve don on diingue enre marque françaie e marque érangère. La dernière claifie le voiure immariculée uivan leur e4moeur uilié ( eence ou dieel). 3- Seceur de la circulaion rouière : on conidère deux grande caégorie. La remière e celle de livraion de carburan (Gazole, eence e uer) e la econde concerne la écurié rouière (nombre de ué ar acciden rouier en aggloméraion e en dehor de aggloméraion). 4- Seceur de voyageur : ce on le voyageur de grande ligne SNCF don on diingue enre le réeau rincial e e deux comoane (réeaux TGV e hor de réeaux TGV). 5-Seceur de la voie aérienne : on inéree aux roi caégorie. La remière e le comagnie aérienne (Air France e Air Iner), la deuxième concerne le rafic de aéroor (Pari-rafic inernaional, Pari-rafic inérieur), la roiième e en lien avec le fre aérien (Pari, aéroor régionaux). Dan la uie, on réene un ableau conenan le nom de érie, leur abréviaion, leur unié, leur auocorrélaion (ACF) eimée d ordre 2 e 24 aini que la ource de chacune de ce érie. TABLEAU 6 Il erai imoible d uilier une analye mulivariée en e ervan du modèle VAR (Veceur AuoRégreif) car la aille de no érie e inuffiane our eimer un modèle VAR d ordre élevé. Par exemle, our un modèle VAR(2) e our un veceur aléaoire de dimenion 25, il fau eimer 30 aramère ar équaion.

4 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., Decriion de Variable Variable Abréviaion Unié 7 ACF Seceur de marchandie Tranor errere Trafic inérieur Trafic inernaional Tranor rouier Tranor ferroviaire Voie navigable RFVN TINTR TINT TRM SNCF VOINA M.km M.km M.km M.km M.km M.km Source 9 OEST OEST OEST OEST SNCF VNF 2- Seceur de l auomobile Producion Immariculaion neuve Immariculaion françaie Immariculaion érangère Moeur à eence Moeur à dieel AUTO IVN IVNF IVNET IVNE IVND Millier Millier Millier Millier Millier Millier CCFA CCFA CCFA CCFA CCFA CCFA 3-Seceur de la circulaion rouière Livraion carburan Eence e uer Tué en aggloméraion Tué hor de aggloméraion GAZOLE ESSUP TUEA TUEHA m m vicime vicime CPDP CPDP DSCR DSCR 4- eceur de voyageur Réeau rincial Hor réeaux TGV Réeaux TGV GLRP HTGV TGV Mlv.km Mlv.km Mlv.km 5 4 SNCF SNCF SNCF 5- Seceur de la voie aérienne Air France Air Iner Pari, rafic inernaional Pari, rafic inérieur Fre aérien, Pari Aéroor régionaux AF AINT PTI PTINT FAAP FAAR Ml.km Ml.km Millier Millier m m COMP COMP DGAC DGAC DGAC DGAC DETECTION DE LA NON-STATIONNARITE 7 M ignifie million onne, m : millier onne, Mlv : milliard voyageur, Ml : milliard aager. 8 Le ACF eimée our le érie brue on aux ordre 2 e 24. L écar ye aocié e / n = 0.09 (ce écar ye e ou l hyohèe nulle de brui blanc). 9 La ource de no donnée e la revue OEST : Obervaoire Economique e Saiique de Tranor. SNCF : Sociéé Naionale de Chemin de Fer, VNF : Voie Navigable de France, CCFA : Comié de Conruceur Françai d Auomobile, CPDP : Comié Profeionnel du Pérole, DSCR : Direcion de la Sécurié e de la Circulaion Rouière, DGAC : Direcion Générale de l Aviaion Civile.

5 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., Dan cee ecion, on examine d abord la naure de la aionnalié : déerminie ou ochaique. De lu, on conidére le ca général quand la érie X incorore une endance e une aionnalié ochaique (Proceu I(,)) ou une endance e une aionnalié déerminie. La rocédure DHF conidère le modèle uivan : X = ax + qidi + ϕ i( X i-ax i ) + e (2.) i= i= où le olynôme ϕ ( B) ( ϕ B... ϕ B ) = a oue e racine en dehor du cercle unié, e ε e un brui blanc de moyenne 0 e de variance σ 2, e la aion (ici = 2), D i e une variable indicarice aionnière qui correond au moi i (i= our janvier,, i=2 our Décembre). Si a < alor en remlaçan X ar X µ i D i, i= l équaion (2.) eu êre réécrie comme uivan : X = ( a -)X + ϕ e (2.2) i= ( a ) i µ idi + ϕi ( X i-ax i ) + i= θi = a ϕ µ, i =,...,. i= où ( ) i i i= Si a = alor la différence X = ( B ) X e un roceu auorégreif aionnaire e la non aionnarié dan X e due à l inégraion aionnière. Dan ce ca, le roriéé de X on imilaire à celle qui on dan le ca d un roceu I() raié ar Dickey e Fuller (979 ; 98). En ariculier, la variance de X déend du em. DHF uggèren une rocédure d eimaion du modèle (2.2) en deux éae en conidéran aˆ = comme une eimaion iniiale de α : a) Première éae : On régree Z = X ur Z -,..., Z- e on obien de eimaion iniiale i ˆϕ, i =,..., : Z Soi e ˆ (, ˆ ϕ,..., ˆ ϕ ), foncion de ( ) U - = ϕ i Z i + e (2.3) i=, ˆ ϕ,..., ˆ ϕ, le réidu aocié au modèle (2.3) e = ( - ˆ ϕ B ˆ ϕ B ) (X ˆ µ D i= i i,- )

6 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., b) Deuxième éae : On régree eˆ (, ˆ ϕ,..., ˆ ϕ ) ur U -, Z -,..., Z -. La aiique du coefficien de U - e comarée avec le valeur criique abulée ar DHF (able 7, = 2, aille 20). Sou le modèle (2.2), l hyohèe nulle H 0 : α =, imlique que θ i = 0 our oue valeur de µ i. En raique, le µ i on eimée ar le valeur ˆµ i définie ar : ˆ µ i = n i j= n X i i + (j -) + T + i où n i = ; [x] ignifie le lu grand enier inférieur ou égal à x, T e la aille de la érie. La écificaion de la naure de la aionnalié (déerminie ou ochaique) e baée ur la ignificaion de la aiique µ. Dan le ca où cee aiique e non ignificaive, le filre (-B ) devien néceaire our roduire la aionnarié. La ignificaivié de la aiique µ imlique l acceaion d une aionnalié déerminie dan la érie en queion. Pour choiir enre la naure déerminie ou ochaique de la endance e de la aionnalié, on conidère le modèle uivan : a)x b)x = x + = ax - i= m D i + b X i, + ax - + g X + b X + i= + g X ϕ X i i + i= + e ϕ X i i + e (2.4) Le hyohèe nulle on : H : x = 0, µ = 0,i =,...,,( a, b, g) = (,0,)en (a) H H i :( a, b, g) = (,0,)en (a) :( a, b, g) = (,0,)en (b) Sou chacune de hyohèe nulle, X incorore une endance e une aionnalié ochaique, c e-à-dire, X e un roceu auorégreif aionnaire. Le

7 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., aiique du raor de vraiemblance uiliée on noée + 4 (3) (3) φt 4, φt 4, φt 3 e elle on aociée reecivemen aux H 0, H e H. Ce aiique ne on a diribuée elon une diribuion de Fiher andard e le valeur criique on abulée ar Haza e Fuller (982) (able 5, aille > 50). (3) On «accee» une endance e aionnalié ochaique quand φ T 3 e non ignificaive (our un euil de 5%) ou quand elle e ignificaive mai φ 4 T + 4 (3) φ T 4 on imulanémen non ignificaive. Pour voir il y a une enibilié dan le réone de e aiique, on a choii l ordre AR maximum 2 ui 24. Dan le deux ca, on a uilié le e de Box-Pierce-Ljung our valider la réence d un brui blanc. Dan le Tableau 2, on a réené, our chaque variable, le valeur calculée de différene (3) aiique µ, φ T 3, (3) 4 φ T 4 e φ T + 4. e Pour chaque variable, le degré du olynôme AR a éé choii 2 ui 24. Pour cela, our chacune de 25 variable, on a calculé deux valeur our chacune de quare aiique : une valeur correond à = 2 e une aure à = 24. Une inecion du Tableau 2 révèle de différene réone de la aiique µ uivan le valeur de l ordre (2 ou 24) du modèle AR : i = 2 alor l hyohèe nulle α = e rejeée (le euil α = 5% ) our le variable RFVN, TINTR, TINT, SNCF, VOINA, AUTO, IVN, IVNF, IVNET,GAZOLE, ESSUP, TUEHA, GLRP, PTINT e FAAR. Donc our ce variable, on rejee l inégraion aionnière. Parmi ce variable, on cie le variable AUTO, IVNET, ESSUP e TUEHA qui n exigen a le filre aionnier (-B 2 ) our devenir aionnaire e ceci our = 2 e 24. Le aure variable exigen le filre aionnier our = 24, c e-à-dire, on conae deux réone conradicoire dan la aiique µ uivan le deux valeur de. Le 0 aure variable : TRM, IVNE, IVND, TUEA, HTGV, TGV, AF, AINT, PTI e FAAP incororen une aionnalié ochaique our =2 ou 24. (3) En obervan le aiique φ T 3, φ (3) T 4 e 4 φt + 4, e our = 24, on conae que le filre mulilicaif (-B)(-B 2 ) e acceé our l enemble de variable à l exceion de variable VOINA, TUEA e TUEHA qui incororen une endance e une aionnalié déerminie. Pour = 2, on rejee l hyohèe nulle elon laquelle il y a une endance e une aionnalié ochaique, our le variable SNCF, VOINA, IVNE, ESSUP, TUEA, TUEHA, PTI e FAAR. Le 7 aure variable exigen le filre (-B)(-B 2 ) our devenir aionnaire.

8 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., TABLEAU 2 Réula de Te ur le 25 Variable Variable µ (3) φ (3) T 3 φ T 4 φ 4 T + 4 RFVN a a TINTR a a TINT a TRM a SNCF -7.2 a a a a 2.88 VOINA a a 3. a 8.5 a 4.44 a 3.75 a 2.90 AUTO a a a IVN a IVNF a a IVNET a -6.6 a IVNE a a a 3.03 IVND GAZOLE a a a ESSUP a -6.5 a 6.03 a 5 28 a 4.02 a 2.33 TUEA a 3.65 a 23 a a 7 TUEHA a a a 4.2 a a a 2.73 GLRP a HTGV a TGV AF a AINT PTI a a a 2.80 PTINT a a FAAP a a 6 FAAR a a a a 2.46 a Le hyohèe nulle H i 0, i=,2,3 on acceée our un euil de 5%. Le valeur criique de µ

9 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., (3) ( = 2 e T = 20), φ T 3, (3) φ T 4 reecivemen -5.86, 2.92, 4.4 e e φ 4 T + 4 ( = 2 e T > 50) on Le réone donnée ar le différene aiique informen que le e aiique µ, φ (3) T 3, φ (3) T 4 e 4 φt + 4, révèlen une ceraine enibilié au reard maximum auorégreif choii dan le modèle (2.3) e (2.4) : acceaion à la foi d une aionnalié déerminie e d une aionnalié ochaique, ou acceaion d une endance déerminie e d une endance ochaique ou un mélange enre le deux naure de la endance. Puique une déciion «raide» de la caue de la nonaionnarié ourrai avoir de réercuion ur la qualié de réviion, nou allon rooer une comaraion de la erformance réviionnelle our l enemble de 25 variable en uilian our chaque variable deux ye de modèle elon la naure de la endance e de la aionnalié. D2X = c + ϕ i 2X i + e (M) i= X 2 µ idi, + ϕix i + e (M2) i= i= = 2 3 DD2X = c + ϕ id 2X i + e (M3) i= 2 4 X = x + µ idi, + ϕix i + e (M4) i= i= Le ordre oimaux aocié aux i, i=,2,3,4 on idenifié à l aide de crière auomaique qui eron l objecif de la ecion uivane. SELECTION AUTOMATIQUE DES MODELES AR OPTIMAUX Dan cee ecion, on uoe que la variable X e aionnaire e générée ar un roceu AR. L idenificaion de l ordre du modèle erme une connaiance de la longueur de la dynamique dan le roceu e ar uie il aurai un imac ur le réviion. Pluieur crière d idenificaion auomaique de l ordre AR on éé rooé : Akaike (969) a rooé le crière FPE (Final Predicor Error) qui e un comromi enre le erreur de réviion du modèle e le nombre de e aramère. Ce crière a éé uivi ar un aure crière

10 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., iniulé AIC (Akaike Informaion Crierion) 0. Pour une érie d une grande aille, le crière FPE e AIC on aymoiquemen idenique mai en général le crière AIC ureime l ordre avec une robabilié oiive. Pour urmoner ce roblème, Akaike (979) a rooé le crière BIC ( Bayeian Informaion Crierion) comme une exenion du crière AIC.Un aure crière connu, imilaire au crière BIC, e le crière S de Schwarz (978). Nefci (982) monre que le crière BIC end à ou-eimer l ordre du modèle AR. Hannan e Quinn (979) on rooé un crière foremen conian iniulé HQ. Ce différen crière on baé ur la maximiaion de la foncion log-vraiemblance afin d obenir un crière d enroie c e-à-dire une meure de la quanié d informaion dan une érie (Breon & Piroe 995). Beaucou de ravaux on raié ce crière menionné ci-deu 2. Enfin Koreiha e Pukkila (990) on monré que la erformance de crière dan l idenificaion du modèle VAR déend du nombre de érie dan le veceur. Le aiique aociée à ce crière on : + + FPE() = + N N ˆ 2 () ( +) AIC() = Log(ˆ ()) + N 2 ( + )Log(N) BIC() = Log(ˆ ()) + N 2 ( + )Log(Log(N)) HQ() = Log(ˆ ()) + N = 0,,..., 24, N e le nombre de obervaion dionible dan le calcul de la variance de erreur eimée, $ σ 2 ()e la variance eimée de erreur our un modèle AR(). Le différene aiique our le quare crière e our chacune de 25 variable on réenée dan le Tableau 3. 0 voir Akaike (974)., Shibaa (976) Voir Schwarz (978), Rianen e Caine(979). 2 Lükeohl (985 ; 993) our une éude comaraive, Mourad e Keller (987) our une éude du ouvoir de dicriminaion de ce crière.

11 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., TABLEAU 3 Ordre Oimaux de Différen Modèle M i, i=,2,3,4 Variable FPE Tye de modèle M M 2 AIC Tye de modèle M M 2 BIC Tye de modèle M M 2 HQ Tye de modèle M M 2 M 3 M 4 RFVN (72.4) (50.) (77.2) (5) TINTR 4 3 (44.3) (3) (46.3) (3) TINT (6.4) (4.0) (6.8) (4.0) TRM 4 3 (46.4) (34.9) (48.9) (35.) SNCF 3 4 (9.8) (6.3) () (6.) VOINA () () () () AUTO (6.5) (4.7) (7.0) (4.8) IVN 4 3 (7.0) (4.9) (7.4) (5.) IVNF 4 3 (2.8) () (2.9) () IVNET () () (.4) () IVNE 4 4 (4.2) (3.0) (4.4) (2.9) IVND 4 2 () () () () M 3 M 4 (3.5) (3.2) (3.5) (3.2) 4 3 (2.9) (2.7) (3.0) (2.7) () () () () 4 3 (3.0) (2.8) (3.0) (2.8) 3 4 (.4) () () () (9.3) (8.9) (9.3) (8.9) (6.4) (6.2) (6.5) (6.2) 4 3 (6.5) (6.3) (6.5) (6.3) 4 3 (5.6) (5.3) (5.6) (5.4) (4.8) (4.6) (4.9) (4.6) 4 4 (6.0) (5.8) (6.0) (5.7) 4 2 (4.) (4.) (4.) (4.) M 3 M 4 (3.6) (3.6) (3.6) (3.6) (3.) (3.) (3.7) (3.) () () () () (3.2) (3.2) (3.2) (3.2) 2 () () (.7) (.4) 2 2 (9.4) (9.3) (9.6) (9.3) 2 (6.5) (6.6) (6.5) (6.6) 3 (6.6) (6.6) (6.6) (6.7) 3 (5.7) (5.7) (5.7) (5.8) (4.9) (5.0) (5.0) (5.0) 4 (6.) (6.2) (6.) (6.2) 3 (4.2) (4.5) (4.3) (4.5) M 3 M (3.9) (3.) (3.4) (3.) 4 3 (3.8) (2.6) (2.9) (2.6) () () () () 4 3 (2.9) (2.7) (2.9) (2.7) 3 4 (.4) () () () (9.2) (8.9) (9.3) (8.8) (6.4) (6.) (6.4) (6.2) 4 4 (6.5) (6.2) (6.5) (6.2) 4 3 (5.5) (5.3) (5.5) (5.3) (4.8) (4.5) (4.8) (4.5) 4 4 (5.9) (5.7) (6.0) (5.7) (4.0) (4.0) (4.0) (4.0)

12 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., GAZOLE (43.3) (36.0) (47.2) (33.5) ESSUP 4 4 (49.0) (33.2) (5) (33.0) TUEA 3 () () () (0.0) TUEHA 4 4 (34.7) (2.9) (37.6) (2) GLRP (6.2) (3.7) (6.5) (3.8) HTGV 4 3 (5.9) (3.6) (6.2) (3.6) TGV () () () () AF 3 4 (2.5) () (2.7) (.9) AINT 3 (0.2) (0.) (0.2) (0.) PTI 4 3 (.4) () () () PTINT 3 2 (48.4) (34.9) (5) (34.4) FAAP 3 2 (0.) (0.) (0.) (0.) FAAR () () () () (8.3) (8.3) (8.4) (8.2) 4 4 (8.4) (8.2) (8.5) (8.2) 3 (6.9) (7.) (7.0) (7.0) 4 4 (8.) (7.7) (8.2) (7.7) (6.4) (5.9) (6.4) (6.0) 4 3 (6.3) (5.9) (6.3) (5.9) (3.8) (3.6) (3.8) (3.6) 3 4 (5.5) (5.3) (5.5) (5.3) 3 (2.7) (2.6) (2.7) (2.5) 4 3 (9.5) (9.4) (9.5) (9.3) 3 2 (8.4) (8.2) (8.5) (8.2) 3 2 (2.4) (2.) (2.5) (2.) (9.6) (9.2) (9.7) (9.) (8.4) (8.6) (8.5) (8.6) (8.5) (8.6) (8.6) (8.6) 3 (7.3) (7.5) (7.4) (7.4) 2 (8.3) (8.) (8.3) (8.2) (6.5) (6.3) (6.5) (6.4) (6.5) (6.3) (6.5) (6.3) 2 (4.0) (4.0) (3.9) (4.0) 3 2 (5.5) (5.7) (5.6) (5.7) 2 (2.7) (2.9) (2.8) (2.8) (9.6) (9.8) (9.6) (9.7) (8.5) (8.6) (8.5) (8.6) 3 (2.6) (2.6) (2.6) (2.5) 3 2 (9.7) (9.6) (9.8) (9.5) (8.3) (8.2) (8.4) (8.) (8.4) (8.) (8.4) (8.) 3 (6.9) (7.) (6.9) (6.9) 4 4 (8.0) (7.7) (8.) (7.7) (6.3) (5.9) (6.4) (5.9) 4 3 (6.2) (5.9) (6.3) (5.9) (3.8) (3.6) (3.8) (3.5) (5.4) (5.3) (5.5) (5.2) 3 (2.6) (2.5) (2.7) (2.4) 4 3 (9.4) (9.3) (9.5) (9.2) 3 2 (8.4) (8.) (8.4) (8.) 3 2 (2.4) (2.) (2.4) () (9.6) (9.2) (9.6) (9.) Noe : L unié uiliée our le érie GLRP, TGV, HTGV, AF e AINT e dix million.

13 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., Le Tableau 3 réume le aiique obenue de crière FPE, AIC, BIC e HQ en le aliquan à chacune de 25 variable e our le quare ye de modèle conidéré. Il y a 400 modèle oimaux en ou. Le ordre oimaux rooé ar FPE, AIC e HQ on reque le même our l enemble de variable. En général, le crière BIC annonce de ordre inférieur (2 ou 3) à ceux qui on annoncé ar le aure crière, à l exceion de la variable TUEA, ce crière a annoncé l ordre 2 (re. 3) our le modèle M (re. M 3 ). Enfin our chaque ye de modèle M i, i =,2,3 e 4, on uggére que le meilleur ordre AR e celui qui a éé annoncé, au moin, ar roi crière. On ermine cee ecion en ignalan que our la variable ESSUP, le modèle AR(4) (re. AR(3) ) e non acceé car la aiique Box-Pierce-Ljung Q(27) = 4.7 (re. Q(27) = 54.9) e la valeur criique au euil de 5 % e 40. our 27 degré de liberé. On a donc rooé our cee variable le modèle AR(4) annoncé ar le crière HQ. EVALUATION DE LA QUALITE DES PREVISIONS Comme nou l avon menionné dan l inroducion, l un de objecif de cee éude e de choiir le meilleur modèle AR qui erme une lecure de l avenir avec un minimum d erreur. Ceendan l obervaion fuure au em T+h (T=993 :9 e le em réen e h =,..., 6, e l horizon) e une réaliaion d une variable aléaoire X T+h caracériée ar une diribuion condiionnelle qui ien come du aé de obervaion. Sou l hyohèe gauienne de X, la réviion oimale faie à arir du em T e our l horizon h, noée X(h) $ T, e une combinaion linéaire de X, T 3. Dan la uie, déignon ar $x h e x h reecivemen la valeur révue e la valeur obervée. En raique, il e rare d obenir $x h = x h car il y aura oujour une ar de la variable déendane non exliquée ar le modèle rooé. Pour ermere une évaluaion de la qualié de réviion 4, on va uilier le meure le lu raiquée ar le analye de réviion, ce on le crière RMSE (Mean Roo Square Error) e MAPE (Mean Abolue Percenage Error) calculé ur la ériode 993 :0-994 :3) : n 2 RMSE = (xˆ i x ) n i i= = 2 n 2 e + n n 2 2 = (ei e) e n i= MAPE = n 3 voir Azenco e Dacunha-Caelle (984). 4 Voir Jouz e Sekler (2000). ei = xˆ i xi n xˆ i xi 00 xi i=

14 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., De faible valeur de RMSE indiquen à la foi une réducion dan la moyenne e dan la variance de erreur de réviion. L inconvénien du crière RMSE e dan l abence d une informaion i une ruure e arrivée dan le donnée. Le crière MAPE e le lu recommandé our choiir enre deux ou luieur modèle rooé. Pour choiir enre le modèle M i, on a comaré la erformance de réviion enre M e M 2 ui enre M 3 e M 4. L inecion du Tableau 4a révèle que le modèle M fourni de réviion meilleure que celle qui on fournie ar le modèle M 2 e ceci our le variable AUTO, IVNF, GAZOLE, ESSUP, TUEA, TUEHA, GLRP, HTGV, AINT, PTI, PTINT, FAAP e FAAR. Dan le Tableau 4b, on conae que le réviion favorien lu le modèle M 3 que le modèle M 4 dan le ca de variable AUTO, IVNF, GAZOLE, ESSUP, TUEA, TUEHA, HTGV, AINT, PTI e PTINT. Dan la uie, la élecion finale du ye M i de modèle era fondée ur le comoremen de RMSE e MAPE ur quare horizon au moin. Le Tableau 5 réume, our chaque variable, le informaion imorane concernan le ye M i, i =,2,3,4 du modèle rooé, l ordre de ce modèle e la validaion du modèle reenu à l aide du e de Box-Pierce-Ljung. L inecion de cee able monre que le ye M 2 (modèle AR avec aionnalié déerminie) a éé rooé our le variable RFVN, TINTR, TINT, TRM, IVNET,IVND,TGV, AF. Le modèle M (modèle AR avec aionnalié ochaique) a éé choii our le variable AUTO, GAZOLE, TUEHA, HTGV, PTI, FAAP, FAAR. Le ye M 3 (endance e aionnalié ochaique) our le variable IVNF, ESSUP, TUEA, AINT, PTINT. Enfin le ye M 4 (endance e aionnalié déerminie) e aocié aux variable SNCF, VOINA, IVN, IVNE e GLRP. Donc le réula réené dan le Tableaux e 5 monren que our un reard = 2, il y a une concordance enre la réone du e µ e le ye M 2 rooé our le variable RFVN, TINTR, TINT e IVNET. Ceendan, le aiique de µ indiquen l acceaion d une inégraion aionnière (our =2 e 24) our le variable TRM, IVND, TGV e AF, e ce réula ne on a homogène avec le choix du ye M 2 our ce variable. Nou ignalon aui que our = 24, le variable GAZOLE, HTGV, PTI, FAAP e FAAR incororen une inégraion aionnière qui a éé acceée ar le e µ, mai une réone conradicoire a éé obervée quand il agi de variable AUTO e TUEHA (aionnalié déerminie mai ye M comme modèle final). Pour = 2 e 24, l analye de réviion aociée aux variable SNCF e VOINA confirme une cohérence enre la (3) réone de e φ T 3, φ (3) T 4 e 4 φ T + 4, (endance e aionnalié déerminie) e le modèle rooé M 4. De même our la variable IVNE mai our =2 eulemen. Par conre, un réula conraire a éé enregiré our le variable IVN e GLRP : la déciion baée ur le e aiique a condui à acceer une endance e une aionnalié ochaique mai le modèle final reenu our ce variable e du ye M 4. Finalemen, le variable IVNF, ESSUP (eulemen our = 24), AINT, PTINT e TUEA (=24) révèlen une réone imilaire enre le e uilié (endance e aionnalié ochaique) e le ye M 3 reenu ar l analye de réviion.

15 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., TABLEAU 4 Comaraion de la Performance Préviionnelle enre le Modèle M i Tableau 4a : Modèle M/M2 Tableau 4b : Modèle M3/M4 Variable Horizon Horizon RFVN TINTR TINT TRM SNCF VOINA AUTO IVN.9 IVNF IVNET IVNE.7 IVND GAZOLE ESSUP TUEA TUEHA GLRP HTGV TGV AF AINT 0.2 PTI PTINT FAAP FAAR Noe : Pour chaque variable e our chaque horizon, on a calculé le raor de RMSE(h) e MAPE(h) aocié aux modèle M, M 2 e M 3, M 4. TABLEAU 5

16 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., Sélecion de Meilleur Modèle AR Horizon Variable Modèle M i df b Q 2c (M i,m j ) a RFVN (M 2,M 4 ) M TINTR (M 2,M 4 ) M TINT (M 2,M 4 ) M TRM (M 2,M 4 ) M SNCF (M 2,M 4 ) M VOINA (M 2,M 4 ).4.4 M AUTO (M,M 3 ) M IVN (M 2,M 4 ) M IVNF (M,M 3 ).9.9 M IVNET (M 2,M 4 ) M IVNE (M 2,M 4 ) M IVND (M 2,M 4 ) 3.6 M GAZOLE (M,M 3 ) M ESSUP (M,M 3 ).4.4 M TUEA (M,M 3 ) M TUEHA (M,M 3 ) M GLRP (M,M 4 ) 0.2 M HTGV (M,M 3 ) 0.2 M TGV (M 2,M 4 ) M AF (M 2,M 4 ) M AINT (M,M 3 ) M PTI (M,M 3 ) M PTINT (M,M 3 ) M FAAP (M,M 4 ) M FAAR (M,M 4 ) M a Pour chaque variable e our chaque horizon, on a calculé le raor de RMSE(h) e MAPE(h) aocié aux modèle candida (M i, M j ). b df ignifie degré de liberé (degree of freedom). c e de Box-Pierce-Ljung ; le valeur criique on 40. e our 27 e 30 degré de liberé. CONCLUSION

17 Lebanee Science Journal, Vol. 7, No., En uilian de donnée réelle, la recherche effecuée dan ce aier a révélé que le e aiique, ervi our déecer la naure de la non-aionnarié, réflèen une ceraine enibilié aux reard auorégreif choii dan la rocédure DHF. Ce réula confirmen le commenaire de Oborn e al. (988) e le ravaux de Tavéra (99). Ce comoremen inable dan la réone de e eu conduire à de mauvaie réviion qui deviennen incohérene avec la naure de la non-aionnarié de la érie en queion. Ceendan dan le ca où le filre (-B 2 ) e (-B) (-B 2 ) on acceé imulanémen, on ne eu a direcemen conclure la naure de la non-aionnarié car il e oible que l uiliaion du filre mulilicaif roduie une ur-différenciaion dan la érie en queion (c e le ca de variable GAZOLE, HTGV e PTI). On ajoue qu à l inérieur de chaque eceur de ranor en France, chaque érie oède a rore rucure. Le modèle AR finaux reenu our le différene érie on révélé de faible valeur our RMSE e MAPE e ar uie ce modèle euven êre uilié our effecuer de réviion à cour erme (ériode de 6 moi). Donc une déérioraion dan la qualié de réviion eu e roduire i on conclu raidemen la naure de la non-aionnarié en e baan ur le comoremen de e qui e monren enible aux reard auoregréif, noammen i une érie incorore un mélange héérogène de endance e de aionnalié (endance déerminie e ochaique, aionnalié déerminie e ochaique). Dan une elle iuaion, la érie analyée erai coniuée de deux ou luieur arie e ur chacune de ce arie, une ceraine endance e aionnalié ourraien êre enregirée. Pour ce ye de érie, il erai lu réalie de conidérer la rocédure DHF d une manière évoluive c eà-dire le aiique de DHF eraien calculée ur de ou-échanillon de aille différene de la érie concernée. On n a a aliqué cee démarche ur ce variable car elle conduira aux calcul lourd e le aier era chargé d une vingaine de ableaux ulémenaire. Dan le ca où une variable binaire d inervenion e inroduie dan le modèle our enir come d une baie ou d une augmenaion dan le niveau de la érie éudiée, il erai uile d enviager le aiique aroriée de la rocédure DHF (voir Perron, 997 ; Indjehagoian e al., 2000). On ajoue que le quare ye de modèle rooé M i, i=,2,3,4, ne on a le eul car il e oible d avoir d aure ye de modèle e d éudier leur qualié de réviion. Finalemen, le crière auomaique FPE, AIC, e HQ on fourni de réula imilaire concernan l ordre AR de chaque modèle ; ar conre le crière BIC a eu une endance à révéler de ordre inférieur à ceux qui on éé rooé ar le aure crière. Le modèle AR reenu on de ordre inférieur ou égaux à 4 à l exceion de e variable don le modèle correondan on de ordre enre 2 e 4. RÉFÉRENCES Akaike, H Fiing auoregreion for redicion. Annal of Saiical Mahemaic, (2): Akaike, H A new look a he aiical model idenificaion. IEEE Tranacion on Auomaic Conrol, (9): Akaike, H A bayeian exenion of he minimum AIC rocedure of auoregreive model fiing. Biomerika, (66):

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