ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006

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1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Semestre d accueil, le 30 mars 2006

2 MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS N désigne l effectif d une population isolée. dn(t) dt MODÈLE DE MALTHUS ( ) dn(t) dt = naissances morts + migrations. = an(t) bn(t) N(t) = N(0)e (a b)t. MODÈLE LOGISTIQUE OU DE VERLHUST ( ) dn(t) dt ( = rn(t) 1 N(t) ) N(t) = K N(0)Ke rt K + N(0)(e rt 1).

5 MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS MODÈLE DE LOTKA-VOLTERRA : deux populations en interaction proie-prédateur : sans prédateurs, taux de croissance des proies proportionnel à la taille de la population ; sans proies, taux de morts des prédateurs proportionnel à la taille de la population ; taux de disparition des proies proportionnel au nombre de rencontres entre une proie et un prédateur, supposé lui-même proportionnel au produit des deux populations ; taux de croissance des prédateurs proportionnel au nombre de rencontres entre proie et prédateur. Si N est l effectif des proies et P celui des prédateurs : dn(t) dt dp(t) dt = N(a bp), = P(cN d).

6 MODÈLES DE DYNAMIQUE DES POPULATIONS MODÈLE DE LOTKA-VOLTERRA : deux populations en interaction proie-prédateur : sans prédateurs, taux de croissance des proies proportionnel à la taille de la population ; sans proies, taux de morts des prédateurs proportionnel à la taille de la population ; taux de disparition des proies proportionnel au nombre de rencontres entre une proie et un prédateur, supposé lui-même proportionnel au produit des deux populations ; taux de croissance des prédateurs proportionnel au nombre de rencontres entre proie et prédateur. Si N est l effectif des proies et P celui des prédateurs : dn(t) dt dp(t) dt = N(a bp), = P(cN d).

7 PREMIÈRES DÉFINITIONS. Dans toute la suite : U : ouvert de R R m, f : U R m : application continue. Équation différentielle y = f (t, y), (t, y) U, t R, y R m. (E) DÉFINITION Une solution de (E) sur un intervalle I R est une fonction dérivable y : I R m telle que 1. t I, (t, y(t)) U, 2. t I, y (t) = f (t, y(t)). PROBLÈME DE CAUCHY : étant donné un point (t 0, y 0 ) U, trouver une solution y : I R m de (E) sur un intervalle I contenant t 0 dans son intérieur, telle que y(t 0 ) = y 0.

8 PREMIÈRES DÉFINITIONS. Dans toute la suite : U : ouvert de R R m, f : U R m : application continue. Équation différentielle y = f (t, y), (t, y) U, t R, y R m. (E) DÉFINITION Une solution de (E) sur un intervalle I R est une fonction dérivable y : I R m telle que 1. t I, (t, y(t)) U, 2. t I, y (t) = f (t, y(t)). PROBLÈME DE CAUCHY : étant donné un point (t 0, y 0 ) U, trouver une solution y : I R m de (E) sur un intervalle I contenant t 0 dans son intérieur, telle que y(t 0 ) = y 0.

9 SOLUTIONS MAXIMALES. DÉFINITION Soient y : I R m, ỹ : Ĩ R m des solutions de (E). On dit que ỹ est un prolongement de y si I Ĩ et ỹ I = y. DÉFINITION On dit qu une solution y : I R m est maximale si y n admet pas de prolongement ỹ : Ĩ R m, avec I Ĩ. THÉORÈME Toute solution y se prolonge en une solution maximale ỹ (pas nécessairement unique).

10 SOLUTIONS GLOBALES. U = J U, avec J intervalle de R et U ouvert de R m. DÉFINITION Une solution globale est une solution définie sur l intervalle J tout entier. EXEMPLE : y = y 2 sur U = R R. Une solution globale y(t) = 0. Si y ne s annule pas : y y 2 = = t + C, y(t) = y(t) t + C. d où deux solutions maximales, définies respectivement sur ], C[ et ] C, + [.

11 ÉQUATION INTÉGRALE. LEMME Une fonction y : I R m est une solution du problème de Cauchy de données initiales (t 0, y 0 ) si et seulement si 1. y est continue et pour tout t I, (t, y(t)) U ; 2. et pour tout t I, y(t) = y 0 + t t 0 f (r, y(r))dr. (1)

12 CYLINDRE DE SÉCURITÉ. une norme (quelconque) sur R m B(x, r) la boule fermée de centre x et de rayon r. Comme U est ouvert, il existe un cylindre C 0 = [t 0 T 0, t 0 + T 0 ] B(y 0, r 0 ) U. M = sup f (t, y) < +. (t,y) C 0 C = [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ) C 0. DÉFINITION C est un cylindre de sécurité pour l équation (E) si toute solution y : I R m du problème de Cauchy y(t 0 ) = y 0 avec I [t 0 T, t 0 + T], reste contenue dans B(y 0, r 0 ).

13 CYLINDRE DE SÉCURITÉ. une norme (quelconque) sur R m B(x, r) la boule fermée de centre x et de rayon r. Comme U est ouvert, il existe un cylindre M = C 0 = [t 0 T 0, t 0 + T 0 ] B(y 0, r 0 ) U. sup f (t, y) < +. (t,y) C 0 C = [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ) C 0. LEMME Pour que C soit un cylindre de sécurité, il suffit de prendre ( T min T 0, r ) 0. M

14 MÉTHODE D EULER. subdivision t 0 < t 1 <... < t N 1 < t N = t 0 + T. pas successifs h n = t n+1 t n, 0 n N 1, h max = max(h 0,..., h N 1 ). MÉTHODE D EULER : partant de la donnée initiale y 0, et par récurrence : 0 n N 1, { yn+1 = y n + h n f (t n, y n ) t n+1 = t n + h n La solution approchée y s obtient graphiquement en traçant les segments joignant les points (t n, y n ) et (t n+1, y n+1 ) : y(t) = y n + (t t n )f (t n, y n ), t [t n, t n+1 ). On construit de même une solution approchée sur [t 0 T, t 0 ] en prenant des pas h n < 0.

15 MÉTHODE D EULER. subdivision t 0 < t 1 <... < t N 1 < t N = t 0 + T. pas successifs h n = t n+1 t n, 0 n N 1, h max = max(h 0,..., h N 1 ). MÉTHODE D EULER : partant de la donnée initiale y 0, et par récurrence : 0 n N 1, { yn+1 = y n + h n f (t n, y n ) t n+1 = t n + h n PROPOSITION Si C = [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ) est un cylindre de sécurité tel que T min(t 0, r 0 /M), toute solution approchée y donnée par la méthode d Euler est contenue dans B(y 0, r 0 ).

16 SOLUTIONS APPROCHÉES. DÉFINITION Soit y : [a, b] R m une fonction C 1 par morceaux (ceci signifie qu il existe une subdivision a = a 0 < a 1 <... < a N = b de [a, b] telle que pour tout n, la restriction y [an,a n+1 ] soit de classe C 1 ). On dit que y est une ε-solution approchée de (E) si 1. t [a, b], (t, y(t)) U, 2. n, t ]a n, a n+1 [, y (t) f (t, y(t)) ε.

17 SOLUTIONS APPROCHÉES. Soit ω f le module de continuité de f sur C, défini par ω f (u) = max { f (t 1, y 1 ) f (t 2, y 2 ) ; t 1 t 2 + y 1 y 2 u}. Comme C est compact, f est uniformément continue sur C, ainsi lim ω f (u) = 0. u 0 PROPOSITION Soit y : [t 0 T, t 0 + T] R m une solution approchée construite par la méthode d Euler avec pas maximum h max. Alors l erreur ε vérifie ε ω f ((M + 1)h max ).

18 SOLUTIONS APPROCHÉES. PROPOSITION Soit y (p) : [t 0 T, t 0 + T] R m une suite de solutions ε p -approchées contenues dans le cylindre de sécurité C, telles que y (p) (t 0 ) = y 0 et lim p + ε p = 0. On suppose que la suite y (p) converge uniformément sur [t 0 T, t 0 + T] vers une fonction y. Alors y est solution exacte du problème de Cauchy pour l équation (E).

19 THÉORÈME DE CAUCHY-PEANO-ARZELA. On suppose que f : U R m est continue. PROPOSITION (ASCOLI) On suppose que E et F sont deux espaces métriques compacts. Soit φ p : E F une suite d applications k-lipschitziennes, où k 0 est une constante donnée. Alors on peut extraire de φ p une sous-suite φ pn uniformément convergente, et la limite est une application k-lipschitzienne. CAUCHY-PEANO-ARZELA Soit C = [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ), avec T min(t 0, r 0 /M), un cylindre de sécurité pour (E) y = f (t, y). Alors il existe une solution y : [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ) de (E) avec condition initiale y(t 0 ) = y 0.

20 THÉORÈME DE CAUCHY-PEANO-ARZELA. COROLLAIRE Par tout point (t 0, y 0 ) U, il passe au moins une solution maximale y : I R m de (E). De plus, l intervalle de définition I de toute solution maximale est ouvert (mais en général il n y a pas unicité de ces solutions maximales). EXEMPLE : soit l équation y = 3 y 2/3. Le problème de Cauchy de condition initiale y(0) = 0 admet alors au moins deux solutions maximales : y (1) (t) = 0, y (2) (t) = t 3, t R.

21 THÉORÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ. Soit f LOCALEMENT LIPSCHITZIENNE en y : pour tout point (t 0, y 0 ) U, il existe un cylindre C = [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ) U et une constante k = k(t 0, y 0 ) 0 tels que f soit k-lipschitzienne en y sur C : (t, y 1 ), (t, y 2 ) C, f (t, y 1 ) f (t, y 2 ) k y 1 y 2. Soit C 0 = [t 0 T 0, t 0 + T 0 ] B(y 0, r 0 ) U un cylindre sur lequel f est k-lipschitzienne en y et soit M = sup f. C 0 On se donne ε > 0 et on considère des solutions y (1) et y (2) respectivement ε 1 et ε 2 approchées du problème de Cauchy de donnée initiale (t 0, y 0 ), avec ε 1, ε 2 ε. On a alors y (i) M + ε, et les graphes de y (1) et y (2) restent contenus dans( le cylindre ) C = [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ) C 0, dès r 0 que T min T 0,. M + ε

22 THÉORÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ. Soit f LOCALEMENT LIPSCHITZIENNE en y. LEMME (GRONWALL) Sous les hypothèses précédentes, on a y (2) (t) y (1) (t) (ε 1 + ε 2 ) ek t t0 1, t [t 0 T, t 0 + T]. k CAUCHY-LIPSCHITZ Pour tout( cylindre de ) sécurité C = [t 0 T, t 0 + T] B(y 0, r 0 ) tel que r 0 T min T 0,, le problème de Cauchy avec donnée initiale M + ε (t 0, y 0 ) admet une unique solution exacte y : [t 0 T, t 0 + T] R m. De plus, toute suite y (p) de solutions ε p -approchées avec ε p tendant vers 0, converge uniformément vers la solution exacte y sur [t 0 T, t 0 + T].

23 UNICITÉ GLOBALE. THÉORÈME Soient y (1), y (2) : I R m deux solutions de (E), avec f localement lipschitzienne en y. Si y (1) et y (2) coïncident en un point de I, alors y (1) = y (2) sur I. COROLLAIRE Si f est localement lipschitzienne en y sur U, pour tout point (t 0, y 0 ) U, il passe une unique solution maximale y : I R m et une seule.

24 EXISTENCE DE SOLUTIONS GLOBALES. THÉORÈME Soit f : U R m une application continue sur un ouvert produit U = J R m, où J R est un intervalle ouvert. On suppose qu il existe une fonction continue k : J R + telle que pour tout t J fixé, l application y f (t, y) soit lipschitzienne de rapport k(t) sur R m. Alors toute solution maximale de l équation y = f (t, y) est globale. EXEMPLES Montrer que toute solution maximale de l équation différentielle y = t t 2 + y 2, (t, y) R R, est globale. On définit f : R R par f (y) = e si y e et f (y) = y ln y si y e. Montrer que f n est pas lipschitzienne. Déterminer explicitement les solutions maximales de l équation y = f (t, y).

27 ÉQUATIONS D ORDRE SUPÉRIEUR À UN. Un système différentiel d ordre p dans R m est une équation de la forme y (p) = f (t, y, y,..., y (p 1) ), (2) où f : U R m est une application continue définie sur un ouvert U R (R m ) p. DÉFINITION Une solution de (2) sur un intervalle I R est une application y : I R m p-fois dérivable, telle que 1. t I, y(t), y (t),..., y (p 1) (t) U ; 2. t I, y (p) (t) = f (t, y(t), y (t),..., y (p 1) (t)). Si f est de classe C k, les solutions y sont de classe C k+p.

28 ÉQUATIONS D ORDRE SUPÉRIEUR À UN. Ce système est équivalent au système différentielle d ordre 1 Y 0 = Y 1 Y 1 = Y 2. Y p 2 = Y p 1 Y p 1 = f (t, Y 0, Y 1,..., Y p 1 ) où Y 0 = y, Y 1 = y,... ; soit Y = F(t, Y) avec Y = (Y 0, Y 1,..., Y p 1 ) (R m ) p F = (F 0, F 1,..., F p 1 ) : U (R m ) p F 0 (t, Y) = Y 1,..., F p 2 (t, Y) = Y p 1, F p 1 (t, Y) = f (t, Y).

29 ÉQUATIONS LINÉAIRES. Systèmes différentiels linéaires du premier ordre dans R m : où dy(t) dt = A(t)Y + B(t), A(t) = (a ij (t)) 1 i,j m R m m, B(t) = b 1 (t). b m (t) R m. Les fonctions A et B sont continues, donc la fonction f (t, Y) = A(t)Y + B(t) est lipschitzienne en Y de constante k(t) = A(t). THÉORÈME Pour tout point (t 0, y 0 ) I R m, il passe une solution globale unique.

30 ÉQUATIONS LINÉAIRES. Si le système est dit sans second membre, i.e. B = 0, d où dy(t) = A(t)Y, dt alors l ensemble des solutions maximales est un R-espace vectoriel de dimension m : l application qui à Y solution maximale associe Y(t 0 ), est un isomorphisme linéaire. Le système sans second membre est résoluble explicitement au moins dans les cas suivants : si A est constante, alors Y(t) = exp((t t 0 )A)Y(t 0 ), avec : exp(b) = + n=0 B n n!. si A(t)A(u) = A(u)A(t) pour tous t, u dans I, alors ( t ) Y(t) = exp A(s)ds Y(t 0 ) = R(t, t 0 )Y(t 0 ). t 0

31 ÉQUATIONS LINÉAIRES. Dans le cas général, si Y (1) est une solution globale du système Y = AY + B, alors l ensemble des solutions est de la forme Y (1) + Z avec Z solution maximale du système sans second membre. Une solution particulière s obtient par la méthode dite de VARIATION DES CONSTANTES. On la cherche sous la forme On obtient alors Y (1) (t) = R(t, t 0 )V(t) R(t, t 0 )V (t) = B(t). Y (1) (t) = R(t, t 0 ) t t 0 R(t 0, u)b(u)du = t t 0 R(t, u)b(u)du.

32 ÉQUATIONS NON LINÉAIRES. RAISONNEMENT TYPE dans le cas du modèle logistique : ( dn(t) = rn(t) 1 N(t) ) = rn(t) r dt K K N(t)2 = f (N(t)). Étude de f : f localement lipschitzienne, donc, en tout point N 0, il passe une unique solution maximale N : I R telle que N(0) = N 0. Recherche d éventuel point fixe : f (0) = f (K) = 0. Donc deux solutions globales constantes Y (0) (t) = 0 et Y (K) (t) = K. De plus, si N 0 {0, K} alors pour tout t, N(t) {0, K}. Recherche de solutions globales : si N 0 ]0, K[, nécessairement pour tout t, N(t) ]0, K[, et dans ce cas, toute solution maximale est globale. En revanche si N 0 [0, K], il n y a aucune raison qu une solution maximale soit globale.

36 MODÈLE LOGISTIQUE : RÉSOLUTION EXPLICITE. SUPPRESSION DE LA PARTIE LINÉAIRE : si f est de la forme f (t, y) = a(t)y + g(t, y), si y : I R m est une solution maximale, alors z : I R m définie par z(t) = exp ( t 0 ) a(s)ds y(t) est solution de l équation ( t ) z (t) = a(t)z(t) + a(t)z(t) + exp a(s)ds g(t, y(t)) 0 ( t ) ( ( t ) ) = exp a(s)ds g t, exp a(s)ds z(t). 0 0

37 MODÈLE LOGISTIQUE : RÉSOLUTION EXPLICITE. Pour le modèle de Verlhust, dn(t) dt = rn(t) ( 1 N(t) ) K Y(t) = e rt N(t), Y(0) = N(0) satisfait = rn(t) r K N(t)2 = f (N(t)), Y (t) = r K e rt N(t) 2 = r K ert Y 2 (t) dy (t) Y 2 (t) = r K ert

38 MODÈLE LOGISTIQUE : RÉSOLUTION EXPLICITE. Pour le modèle de Verlhust, dn(t) dt = rn(t) ( 1 N(t) ) K Y(t) = e rt N(t), Y(0) = N(0) satisfait = rn(t) r K N(t)2 = f (N(t)), Y (t) = r K e rt N(t) 2 = r K ert Y 2 (t) dy (t) Y 2 (t) = r K ert Donc Y(t) = 1 Y(0) 1 t Y(t) = dy (s) 0 Y 2 (s) ds = 1 K (ert 1). 1 1 Y(0) + 1 K (ert 1) N(t) = KN(0)ert K + N(0)(e rt 1).

39 MODÈLE LOGISTIQUE : RÉSOLUTION EXPLICITE. Si N(0) < 0, alors N(t) = KN(0)ert K+N(0)(e rt 1) est définie sur l intervalle ], τ 0 [, avec τ 0 = 1 ) (1 KN0 > 0. r De plus lim t τ0 N(t) =. Donc solution maximale, non globale.

40 MODÈLE LOGISTIQUE : RÉSOLUTION EXPLICITE. Si N(0) < 0, alors N(t) = KN(0)ert K+N(0)(e rt 1) est définie sur l intervalle ], τ 0 [, avec τ 0 = 1 ) (1 KN0 > 0. r De plus lim t τ0 N(t) =. Donc solution maximale, non globale. Si N(0) > K, alors N(t) = KN(0)ert K+N(0)(e rt 1) est définie sur l intervalle ]τ 1, + [, avec τ 1 = 1 ) (1 KN0 < 0. r De plus lim t τ1 N(t) = +. Donc solution maximale, non globale.