Décomposition d'un nombre en fractions égyptiennes, conjecture de Sierspinski

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1 Décompositio d'u ombre e fractios égyptiees, cojecture de Sierspiski Stage "Mathématiques et iformatique" - Ouagadougou février 999 Sommaire. Historique : l œil oudjat. Décompositio d u ombre e fractios égyptiees 3. Waclaw Sierpiski 4. Cojocture de Sierpiski Site Descartes et les Mathématiques : Documet Word : Documet PDF : Page HTML : Documet o 8, créé le 6//00 - mis à jour le /5/004. Historique : l œil oudjat L œil oudjat est u hybride d œil humai et d œil de fauco : il représete u œil humai fardé et souligé de deux marques colorées caractéristiques du fauco pèleri. Il serait l œil d Horus, fils d Isis et d Osiris, perdu das u combat meé cotre so ocle Seth pour veger so père. Thot, grad guérisseur et dieu de la médecie, l'avait soigé et le lui avait redu. C est pourquoi «oudjat» symbolisait la saté et la lumière. L oudjat icarait aussi le cycle du jour et de la uit. O le retrouve comme amulette sur les momies : l amulette représetait aussi l attachemet du fils à so père, car Horus avait doé so œil à so père Osiris afi qu il recouvre la vue. Les acies Égypties avaiet coutume d ecastrer l oudjat das les iches de leurs portes pour se préserver du mauvais œil. Fractios égyptiees Page /8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

2 Les parties costituates de l œil oudjat servaiet à écrire les différetes fractios ayat 64 comme déomiateur qui permettaiet de compter le grai, dot l uité de mesure était le hékat (u hékat valait eviro 4,785 litres).. Décompositio d u ombre e fractios égyptiees a) Itroductio Au cours du combat, Seth arrache l œil gauche d Horus, le coupe e six morceaux et le jette das le Nil. À l aide d u filet, Thot récupère les morceaux, mais il e maque u! Thot le rajoute et red à Horus so itégrité vitale. La somme des fractios de l oudjat e fait que 63 ; le maquat est le liat magique ajouté par Thot pour permettre à l œil de foctioer. Ce /64 maquat pour parfaire l uité serait toujours fouri par Thot au calculateur qui se placerait aisi sous sa protectio. D après S. Ismail et F. Saugeo (collège de Blaye) Les acies Égypties e coaissaiet, comme ratioels, que les iverses d'etiers. Il s'agit de décomposer u ratioel de ]0 ; [ e ue somme d'iverses d'etiers strictemet croissats. Exemples : Remarques : la représetatio sous forme d'ue somme de fractio à umérateurs uitaires 'est pas uique. Par exemple, o a aussi car. C'est pourquoi, les acies ( ) Égypties avaiet décidé d'utiliser celle coteat le mois de termes et 'e répétat aucu. O e sait pas très bie commet les Égypties procédaiet pour cette obteir cette décompositio. Par cotre, o sait que pour ue fractio du type (p et q impairs) ils obteaiet : pq 5 e appliquat la formule : 0. pq p q p q p q Fractios égyptiees Page /8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

3 b) Quelques exemples simples à réaliser e classe Travail de groupes sur les mêmes fractios. U rapporteur écrit au tableau les résultats de so groupe. Comparaiso des résultats (uicité, " meilleure décompositio possible " ). 3 3 ; ; ; ; 7 3 ; 5. 7 c) Plus compliqués 7 5 ; ; Cela deviet difficile à la mai d'où la écessité d'u algorithme. d) Algorithme Première phase de recherche par groupes. O espère voir sortir l'ecadremet de la fractio par deux iverses d'etiers cosécutifs et +. Sio, o le suggère. Deuxième phase de recherche au terme de laquelle l'algorithme sera soit trouvé soit doé. e) Programmatio de l'algorithme Sur des types de matériels iformatiques différets (calculatrices, ordiateurs ). Comparaiso des difficultés recotrées, des performaces et des résultats. f) Démostratio (recherche e classe, rédactio à la maiso) Démostratio guidée pas à pas, sous forme d'exercice. Recherche du déomiateur de la fractio, p' p p Exprimer e foctio de. q' q q La suite des umérateurs des différeces est strictemet décroissate (fiitude). Das la décompositio, la suite des déomiateurs est strictemet croissate (toutes les fractios sot distictes). g) Prologemets (travail maiso) a : e utilisat la somme des termes d'ue suite géométrique, trouver ue décompositio de a e fractios égyptiees. Comparer avec l'algorithme pour a, a 3, a 6. b : prouver que b se décompose e exactemet deux fractios égyptiees, et doer ue décompositio. Fractios égyptiees Page 3/8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

4 Quel est le ombre maximum de fractios obteues par l'algorithme das la décompositio de 4 avec >4? Le ombre maximum est trois d'après la cojecture d'erdos-strauss. Alla Swett a cofirmé que 4 l équatio admet des solutios pour jusqu'à 0. x y z h) Des limites de l'algorithme 4 Ue limite de l'algorithme : décomposer avec l'algorithme et pourtat : Ue autre : calculer ue décompositio e fractios égyptiees de ( ) par deux 5 7 méthodes différetes. Ue derière : sur certais matériels, les grads déomiateurs que doe l'algorithme dépasset les capacités de calcul (exemple sur Excel) Fractios égyptiees Page 4/8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

5 i) Algorithme de Fiboacci E 0, Fiboacci (Leoard de Pise 75-50) prouva que tout ombre ratioel pouvait s'écrire sous la forme d'ue somme de fractios à umérateur uitaire et proposa la méthode suivate : "Soustraire à la fractio doée la plus grade fractio égyptiee possible, répéter l'opératio avec la ouvelle fractio, et aisi de suite jusqu'à ce que l'opératio doe ue fractio égyptiee." Cet algorithme permet l'obtetio des déomiateurs de la décompositio de q p : Il suffit de calculer, partie etière de q p +, puis de calculer q p -, et de recommecer, avec cette derière fractio, jusqu'à ce que le umérateur soit égal à. Remarque : il est possible de trouver des iverses égaux comme pour = +. Ce développemet 'est pas acceptable, trasformer le deuxième tiers avec la formule soit = +, et l'o obtiet = + +. Fractios égyptiees Page 5/8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

6 Utilisatio de la TI-9 La TI 9 permet de faire les calculs directemet das le mode fractioaire exact, la simplificatio des fractios se faisat automatiquemet. Il possible de rédiger cet algorithme das l éditeur de programmes : EGYPT(x) Prgm Local p,q,f, ClrIO Disp x getnum(x) p While p> getdeom(x) q If mod(q,p)=0 The q/p Else it(q/p)+ EdIf Disp / x-/ x getnum(x) p EdWhile Disp x EdPrgm Puis exécuter le programme e tapat : Egypt(7/7) das la feêtre home. O obtiet : Taper sur la touche F5 ou sur home pour sortir du programme. Fractios égyptiees Page 6/8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

7 3. Waclaw SIERPINSKI (Varsovie ) Mathématicie poloais, professeur à l'uiversité de Lvov puis de Varsovie, il cosacre ses recherches à la théorie des ombres. Il est bie cou par ses travaux : sur la théorie aalytique des ombres, sur les images fractales : à partir d ue figure de base, répéter idéfiimet ue trasformatio, sur les courbes permettat de remplir u carré. Le triagle de Sierpiski est obteu e partat d'u triagle équilatéral. O pred les milieux de chacu de ses côtés et o elève le triagle équilatéral aisi obteu. O obtiet alors trois ouveaux triagles équilatéraux. O recommece alors l'opératio précédete à chacu de ces ouveaux triagles, et aisi de suite. O obtiet alors euf, vigt-sept, quatre-vigt-u,... ouveaux triagles. 4. Cojocture de Sierpiski (Voir 3 33 magazie des calculatrices Casio 40 et 4) Pour tout etier > il existe trois etiers aturels a, b et c tels que 5 a b c Il semble que l o e sache pas ecore démotrer cette cojocture. La TI-9, e ue jourée, sait la vérifier jusqu à =000. a) Quelques pistes de recherche : si est multiple de : = p si est multiple de 3 : = 3p si est multiple de 5 : = 5p 5 p p p p 5 3p p 3p 3p 5 5p p 3p 3p 3p Pour les ombres premiers de 7 à 37, e s aidat évetuellemet de l algorithme de la deuxième partie, o a les résultats suivats : Fractios égyptiees Page 7/8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

8 O remarque : - que la décompositio e gééral est pas uique, - que l algorithme des fractios égyptiees doe, lorsqu il permet d obteir trois fractios, u ombre c e gééral assez grad. b) Algorithme Pour fixé, choisir a égal à la partie etière de. 5 5 Calculer de e les valeurs de b jusqu à trouver que le ombre soit l iverse d u a b etier. E cas d échec recommecer e augmetat a de. Le plus efficace est de calculer de - e - pour b à partir de la partie etière de jusqu à a. 5 a c) Programme TI-9 Sierpi() Prgm drap 0 5/ x umér(x) p déom(x) q If p= the q a else et(q/p) a x-/a y umér(y) p déom(y) q If p= the *q b *q c drap If p= the q b q c drap If drap= the disp a b c else et(/y)+ b while drap< b+ b if ba the a+ a x-/a y et(/y) b disp x a y-/b z if umér(z)= the déom(z) c drap disp a b c if 3/a<x the disp pas de solutio pause 3 drap edwhile edprgm Fractios égyptiees Page 8/8 Club iformatique Lycée Fraçais du Caire

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