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1 Extrait de Fantaisium Tous droits réservés 25 Finance au poker : théorie du portefeuille et accords d adossement En plus du critère de Kelly, beaucoup de concepts de la finance s appliquent à la gestion d un capital-jeu et à la sélection de parties. Dans ce chapitre, nous allons examiner deux concepts particulièrement importants. Le premier consiste à examiner la volatilité et l espérance d un portefeuille dédié au poker. Dans un parallèle à l investissement mobilier, certains types de diversification sont bénéfiques, d autres ne le sont pas. Le second procure un cadre pour évaluer l espérance d un accord d adossement entre un joueur et un investisseur. Théorie du portefeuille Dans la gestion de portefeuille, le ratio de Sharpe est crucial pour évaluer la performance. Il s agit du ratio de son espérance sur son écart-type (combien d écarts-types contient son espérance) : S = m / s ratio de Sharpe (25.1) Quand les investissements sont extensibles à l infini (pour la plupart des investisseurs individuels, c est le cas des actions), maximiser le ratio de Sharpe d un portefeuille conduit au meilleur retour à risque ajusté. L un des principaux moyens pour un gestionnaire de portefeuille de maximiser son ratio de Sharpe est le processus de diversification en achetant de multiples actions qui ont un meilleur ratio de Sharpe ensemble que séparément. Ce qui suit est une introduction courte et simplifiée. Ceux d entre vous qui ont de l expérience en finance reconnaîtront que nous négligeons beaucoup de facettes importantes de l analyse d un portefeuille boursier. L essentiel est d expliquer rapidement le principe, sans s inquiéter de ce qui n affecte pas le poker. Considérons deux investissements indépendants A et B. A et B ont tous deux une espérance de $10 et un écart-type de $100 (pour le montant que nous avons à investir). 415

2 < Partie IV Le Risque > Si nous investissons tout en A, nous aurons une espérance de $10 avec un écart-type de $100. La même chose s applique si nous investissons tout en B. Mais si nous investissons moitié en A et moitié en B, alors nous aurons toujours une espérance de $10, mais notre écart-type vaudra $100 / 2, ou environ $70. Ce faisant, nous avons amélioré notre ratio de Sharpe de 0,1 à environ 0,14. Considérons maintenant un portefeuille constitué de A et d un troisième investissement C. C a une espérance de $5 et un écart-type de $100. Nous pouvons voir immédiatement que C est un plus mauvais investissement que A, puisque nous pouvons obtenir $10 d espérance pour un risque de $100 en achetant A. Pour maximiser notre ratio de Sharpe, alors, devrions-nous simplement acheter 100% de A? Cela peut paraître surprenant, mais la réponse est non. Evaluons un portefeuille fait de 80% de A et 20% de C. Un tel portefeuille aurait une espérance de (0,8)($10) + (0,2)($5), soit $9. Il aurait un écart-type de $82,46. Ainsi, le ratio de Shape pour ce portefeuille serait de 0,1091. Cette valeur est supérieure à celle d un portefeuille exclusif en A. Il s avère qu il est meilleur de mixer les deux investissements, même si C est moins bon en valeur absolue. Nous pouvons de même appliquer ce raisonnement au poker. Considérons une situation entre deux joueurs de tournois : Dans un tournoi donné, un joueur (A) a une espérance de 1 buy-in et un écart-type de 9 buy-ins/tournoi. Dans un autre tournoi, un joueur (B) a une espérance de 1 buy-in et un écart-type de 12 buy-ins/tournoi. A souhaite maximiser son ratio de Sharpe. Quel est son pourcentage optimal d échange avec B? Appelons (1 a) la fraction que ces deux joueurs échangent. Ainsi, A investit dans un portefeuille P constitué de a A et (1 a) B. Le taux de gain de ce portefeuille est toujours de 1 buy-in par tournoi, puisque tous ses composants ont ce même taux. Nous voulons minimiser l écart-type de ce portefeuille, ce que nous pouvons aussi accomplir en minimisant la variance : s P² = (9 a)² + [(1 a) 12]² En prenant la dérivée selon a et en la posant égale à 0 : 0 = 162 a 288 (1 a) 0 = 450 a 288 a = 0,64 A devrait donc échanger 36% de sa part pour maximiser son ratio de Sharpe. 416

3 Chapitre 25 Finance au poker : théorie du portefeuille et accords d adossement Nous pouvons dériver plus généralement ce résultat. Disons que nous avons deux investissements d espérances w 1 et w 2, et d écarts-type s 1 et s 2. Nous pouvons normaliser ces mises entre elles en termes d espérances en multipliant simplement s 1 par w 2 / w 1. Nous appellerons l écart-type rééchelonné s 1. Ce faisant, les deux investissements auront le même taux de gain w 2. Nous mixerons ces deux investissements en proportion de a 1 pour le premier et a 2 pour le second. a 1 = 1 a 2 La variance du portefeuille P sera : s P ² = (a 1 ²) (s 1 ²) + (a 2 ²) (s 2 ²) Nous avons omis quelques étapes en dérivant la variance. Cette équation est seulement valide pour des événements indépendants, où il n y a pas de corrélation. En analysant les marchés d actions, la corrélation est très importante. Mais dans un tournoi à nombreux inscrits, y compris dans le même tournoi, pour des joueurs cherchant à maximiser leur propre espérance, celle-ci est très légèrement corrélée, ce que nous pouvons négliger pour la suite de cet exposé. Comme a 2 = 1 a 1, nous avons : s P ² = (a 1 ²) (s 1 ²) + (1 a 1 )² (s 2 ²) En prenant la dérivée selon a 1 et en la posant égale à 0 : 0 = 2 a 1 s 1 ² 2 (1 a 1 ) (s 2 ²) 2 s 2 ² = 2a 1 s 1 ² + 2 a 1 s 2 ² 333 Nous pouvons facilement trouver aussi a 2 : (25.2) (25.3) De façon à maximiser le ratio de Sharpe d un portefeuille, il doit être composé de certains pourcentages de chaque investissement. En finance, ce type d analyse est étendu à un nombre arbitraire d investissements différents, et des 417

4 < Partie IV Le Risque > portefeuilles optimaux peuvent être réalisés. De la même façon, les joueurs de poker peuvent réduire leur volatilité en préservant leur ratio de Sharpe par des échanges, soit en tournoi soit en cash-game. Cela peut même être vrai si l un des joueurs a une meilleure espérance. Celui-ci peut aussi bénéficier de l effet Sharpe en échangeant avec l autre joueur. Ceux qui sont familiers avec l analyse de portefeuilles boursiers pourraient être tentés de penser que d autres types de diversification pourraient aider à améliorer la performance de leur portefeuille ; par exemple, en jouant différents types de jeux (tournois multi-tables, Sit&Go, cash-games en limites fixes, etc.). Nous pensons que jouer beaucoup de jeux est rentable pour nombre de raisons, dont la souplesse de prendre avantage de situations temporaires (comme lorsqu un joueur très faible et très riche joue son jeu favori à hautes limites) et le développement d une vue plus large du poker. Mais la gestion du portefeuille n est pas l une de ces raisons. Ce pourquoi ce type de diversification ne diminue pas la volatilité est que ce n est en rien une véritable diversification. Quand nous détenons une action, nous la détenons 100% du temps. Quand nous détenons deux actions, nous les détenons toutes deux 100% du temps, mais seulement pour 50% du montant. Cependant, quand nous jouons deux formes de poker, c est analogue à une situation où nous achetons une action, la conservons la moitié du temps, puis la revendons et en achetons une autre. Résultat : jouer différents types de jeux ne réduit pas directement la variance. Il est pourtant un concept relié qui peut diminuer la variance tout en conservant le même taux de gain, c est le jeu en ligne multi-tables. Si un joueur peut se concentrer correctement sur des parties multiples, il peut diminuer sa variance en jouant, par exemple, deux parties à $10-20 au lieu d une à $ Bien sûr, il pourrait être capable de jouer deux parties $20-40, mais il pourrait alors sacrifier de l espérance. En jouant deux parties moins chères, nous pouvons réussir la même espérance avec une variance réduite, et donc améliorer notre ratio de Sharpe. Accords d adossement (staking) Le dernier sujet de cette Partie IV, un exposé sur les mathématiques des accords d adossement, est un sujet qui intéresse les membres de la communauté poker qui financent des joueurs ou envisagent de le faire. Des accords d adossement de joueurs ont existé dès lors qu il y a eu des joueurs qui n avaient pas le capital suffisant pour jouer au niveau où ils le souhaitaient. La forme habituelle de ces accords est la suivante : un joueur reçoit du commanditaire une certaine somme ou un montant plus faible, avec la promesse d avancer plus si besoin jusqu à un certain point. Le joueur joue un ou plusieurs jeux selon ce que prévoit l accord, puis à un moment, l accord se dénoue et il est procédé à certains partages prédéfinis des profits. S il y a des pertes, d habitude le commanditaire les absorbe toutes, mais le 418

5 Chapitre 25 Finance au poker : théorie du portefeuille et accords d adossement joueur doit compenser toute perte précédente avant d encaisser un profit. Il peut aussi y avoir une composante salariale, auquel cas la part du joueur sur les profits est drastiquement réduite. Comme point de départ, prenons un accord simple, comme celui-ci : Le joueur a un taux de gain connu dans un jeu particulier de $40/h, et un écart-type de $600/h, mais pas de capital-jeu. Le commanditaire et le joueur se mettent d accord sur une durée de 100 heures de jeu, et le commanditaire financera toute partie. A la sortie, les profits seront divisés à égalité. S il y a des pertes, le commanditaire les supportera toutes et l accord sera clos (bien que les parties puissent trouver un nouvel accord par la suite). Le joueur s engage à jouer en maximisant l EV de la partie, et non sa propre EV. Dans ce chapitre et dans le précédent, nous nous sommes beaucoup inspirés du monde de la finance. Pour évaluer la valeur d un accord d adossement, nous le ferons de nouveau. Cet accord, donc, prend cette forme : Nous allons sélectionner aléatoirement certaines valeurs d une distribution de probabilité pré-spécifiée. Si la valeur sélectionnée est en-dessous de zéro, alors la valeur pour le joueur est zéro. Si la valeur sélectionnée est supérieure à zéro, alors la valeur pour le joueur est 50% de la valeur sélectionnée. Cela est équivalent à une option. En marché boursier, une option est un contrat qui donne à son détenteur le droit d acheter une action à un prix spécifique ou de vendre ladite action à un prix spécifique avant un certain temps. Pour le joueur, cet accord d adossement est pour l essentiel une option call (où le joueur pourrait acheter la moitié du résultat) à un prix d exercice de zéro. Nous pouvons utiliser cela pour trouver la valeur de cet accord pour le joueur. La distribution de résultats pour 100 heures de jeu est normale autour d une moyenne de $4.000, avec un écart-type de $ La valeur de cet accord pour le joueur dépend de la valeur de son résultat s il gagne. Pour trouver cette valeur, nous pouvons intégrer le produit de son résultat (x) et de la fonction de densité normale de distribution de zéro à l infini, pour obtenir la valeur de gain du joueur quand il gagne. (25.4) Nous pouvons effectuer la substitution x = x + w w pour obtenir : 419

6 < Partie IV Le Risque > Nous pouvons décomposer cela en deux intégrales. La seconde peut être simplifiée en factorisant w, et l expression restante est juste la distribution normale cumulative : (25.5) Pour trouver l intégrale de l expression substitution :, nous effectuons cette Cela nous laisse avec : Nous pouvons maintenant simplifier l équation 25.5 : <gains> = (25.6) 333 L équation 25.6 est la valeur de l option entière, c est-à-dire la valeur de l accord si le joueur reçoit 100% des gains et ne supporte aucune des pertes. Pour convertir cette valeur en la valeur de l accord, nous la multiplions simplement par le pourcentage affecté au joueur. Pour notre joueur particulier, nous pouvons résoudre pour la valeur totale des gains : w = s = z = (4.000 / 6.000) = 2 / 3 (6.000 / 2π) (e 0,22222 ) + (4.000) [Φ ( 2 / 3 )] = $4,

7 Chapitre 25 Finance au poker : théorie du portefeuille et accords d adossement Comme nous savons que l espérance totale du joueur doit être $4.000, nous pouvons trouver que la valeur des pertes est $906,72. Ainsi, pour notre exemple d accord d adossement, l espérance du joueur est la moitié des gains et rien sur les pertes, ou $2.453,36, alors que le bénéfice du commanditaire est toutes les pertes plus la moitié des gains, ou $1.547,64. Donc le joueur reçoit environ 61% de l espérance de l accord d adossement. Cette méthode peut être utilisée pour résoudre tout accord d adossement de ce type. Nous pouvons étendre l équation 25.6 en créant une valeur-seuil a telle que la part du joueur sur les profits commence avec les gains au-dessus de a, simplement en intégrant de a à l infini au lieu de zéro. Nous avons donc : <gains> = (25.7) Si nous utilisons le même accord d adossement que précédemment, mais que la part du joueur ne commence qu aux gains de $1.000 ou plus, par exemple, alors nous avons : (6.000 / 2π) (e 0,125 ) + (4.000) [Φ ( 1 / 2 )] = $4.878,24 Evidemment, cette valeur est plus petite, puisque les gains de $0 à $1.000 en sont exclus. En regardant diverses valeurs du seuil, nous pouvons entrevoir une tactique potentielle de négociation pour le joueur. Considérons un joueur qui propose ce qui suit : Au lieu de prendre la moitié du profit quand je réussis plus que zéro, je pense que je pourrais seulement être rémunéré quand j excède l espérance sur laquelle nous nous sommes mis d accord. Cependant, comme j abandonne de l argent les fois où je gagne moins que mon espérance, je pourrais avoir une plus grosse part des profits au-dessus de l espérance. La ligne du raisonnement est saine. Mais quel pourcentage des profits ce joueur devrait-il recevoir? Nous invitons le lecteur à tester son intuition ici avant de continuer, et voir la réponse. La valeur de cette option avec un seuil de $4.000 est : (6.000 / 2π) (e 0 ) + (4.000) [Φ (0)] = $4, Si le joueur recevait 50% de la valeur des gains avec un seuil à $0, il gagnerait $2.453,36. Pour atteindre ce montant avec un seuil de $4.000, il a besoin de 55,8% des gains au-dessus de $ Une autre technique qui peut être appliquée ici est de créer une structure à étages, où le joueur reçoit différents pourcentages des montants gagnés, habi- 421

8 < Partie IV Le Risque > tuellement croissant au fur et à mesure que les gains augmentent. Considérons l accord d adossement suivant : Le joueur a un taux de gain connu dans un jeu particulier de $20/h, et un écart-type de $240/h. Le commanditaire et le joueur s accordent sur une durée de 100 heures de jeu, et le commanditaire financera tout le jeu. A la sortie, toute perte sera absorbée par le commanditaire. S il y a des profits, ils seront divisés selon le barême suivant : Tranche de profit Part du commanditaire Part du joueur $0-$ % 25% $1.000 $ % 40% $2.000 $ % 50% $3.000 $ % 60% $4.000 $ % 70% $ % 75% Dans le tableau ci-dessus, les pourcentages indiqués s appliquent à chaque tranche de profit afférente, non sur le total. Par exemple, si le résultat du joueur est $1.500, il touche 25% des premiers $1.000 plus 40% du reste, soit $450 en tout. Nous pouvons calculer la valeur d un tel accord en utilisant l équation 25.7 : w = s = La valeur de l option totale pour le premier niveau ($0 $1.000) est simplement la valeur de l option totale avec un seuil de zéro, moins la valeur de l option totale avec un seuil de $ (2.400 / 2π) (e 0,34722 ) + (2.000) [Z ( 5 / 6 )] = $2.271,93 (2.400 / 2π) (e 0,08681 ) + (2.000) [Z ( 5 / 12 )] = $2.200,93 La différence est de $71. C est la valeur de l option totale pour le premier niveau. Nous pouvons faire la même sorte de calcul pour trouver la valeur de chaque niveau : 422

9 Chapitre 25 Finance au poker : théorie du portefeuille et accords d adossement Tranche de profit Part du commanditaire Part du joueur Valeur du niveau Valeur pour le joueur $0-$ % 25% $71,00 $17,75 $1.000 $ % 40% $243,47 $97,39 $2.000 $ % 50% $402,69 $201,34 $3.000 $ % 60% $473,53 $284,12 $4.000 $ % 70% $746,92 $522,84 $ % 75% $334,33 $250,74 Total $2.271,93 $1.374,19 C est grosso modo équivalent à une part de 60,4% des profits au-dessus de zéro. Ce dernier exemple montre une méthode alternative pour structurer les accords d adossement, qui pourrait être un peu plus effective pour résoudre l une des deux difficultés rencontrées dans ces accords en général. Ces deux difficultés sont au cœur de la décision de la manière de structurer l accord. Première difficulté : aligner les intérêts du joueur avec les intérêts du commanditaire. Un problème habituel qui survient assez fréquemment dans les accords d adossement à terme fixe est qu à l approche de la date d expiration, si le joueur est au moins modérément loin du seuil de l accord, il est fortement incité à prendre une forte variance. Pour prendre un exemple extrême, supposons que ce soit le dernier coup avant l expiration de l accord. Le joueur est à $2.000 en-dessous du seuil où il commence à gagner des parts des profits. Il a l opportunité de miser $3.000 avec QQ contre AA préflop (supposons que le joueur aux As ait accidentellement exposé sa main). Ce serait un jeu affreux pour le commanditaire, et également pour le joueur dans des circonstances normales. Mais l EV du joueur en risquant le pari est d environ 18% de son partage de $1.000, alors que son EV en jetant sa main est de zéro. Ici, l EV du joueur est dramatiquement différente, et dans ce cas extrême, nettement opposée à celle du commanditaire. Une façon de traiter ce problème qui a été utilisée dans certaines circonstances implique de payer une certaine sorte de salaire au joueur qu il recevra gagnant ou perdant, en réduisant sa part des gains. Mais cela a l effet additionnel de rendre moins rentable pour le joueur de bien jouer et tenter de gagner. Ce problème est familier aux managers dans beaucoup d entreprises commerciales : certaines concessions automobiles l ont expérimenté avec des employés commissionnés et des vendeurs salariés, et ainsi de suite. 423

10 < Partie IV Le Risque > Seconde difficulté : compenser équitablement chacune des parties. Les deux parties veulent gagner de l argent, et a priori l accord d adossement doit bénéficier aux deux. Mais quels éléments doivent être inclus dans ce partage équitable des profits? Voici certains principes qui méritent considération : Une prime de risque pour le commanditaire. Il assume tout le risque dans ces accords, et doit donc recevoir une prime pour cette prise de risque. Le joueur pourrait ne pas toujours avoir besoin de financement. Souvent, les joueurs financés pourraient à la place jouer à une certaine limite plus basse pour une rentabilité réduite. Le joueur pourrait ressentir que son gain de par l accord d adossement devrait refléter cela. Vu sous un autre angle, c est comme un paiement pour le temps du joueur, qui pourrait être occupé autrement. Comme le commanditaire gagne effectivement de l argent passivement dans l opération, le joueur pourrait demander une plus grande part des profits. Incertitude quant au taux de gain du joueur. Souvent, dans les accords d adossement, certains taux de gain et écarts-type implicites seront utilisés. Cependant, si le taux de gain du joueur est inférieur à ce que pensent les parties, alors la part du joueur sur la valeur globale de l option augmente. Par exemple, comparons : 100 heures de jeu avec w = $20 et s = $ heures de jeu avec w = $15 et s = $200 La valeur totale du 2 e jeu est maintenant de 75% du précédent. Mais la valeur du seuil à $0 avec w = $15 est de 81,3% de celle avec w = $20. Le joueur conserve un plus grand pourcentage de ses gains par rapport au commanditaire s il s avère que le taux de gain est inférieur à ce que les deux parties croient a priori. Aucune de ces considérations n inclut d autres éléments comme le risque de défaut de crédit ou de fraude, où le joueur se fait la belle avec l argent du commanditaire ou rapporte de faux résultats. Bien sûr, le financement est une activité à haut risque. Cependant, il s avère qu un accord d adossement solide et stable peut largement dépasser la rentabilité d autres types d investissement. Un autre problème avec le financement est que les joueurs qui gagnent souvent n ont pas longtemps besoin d être financés. En revanche, des joueurs qui sont à la limite ou légèrement gagnants ont souvent besoin de financement sur une plus longue période pour être profitables. 424

11 Chapitre 25 Finance au poker : théorie du portefeuille et accords d adossement Concepts-clés Un capital-jeu de poker a beaucoup de caractéristiques en commun avec un portefeuille d actions, et donc nous pouvons nous appuyer sur des éléments de théorie du portefeuille. Le ratio de Sharpe procure une métrique pour une rentabilité ajustée au risque. Plus haut est le ratio, plus haute est la rentabilité relativement au risque de l investissement. Les joueurs peuvent bénéficier d une sorte d assurance en s échangeant entre eux. Cela reste vrai si l un des joueurs est plus fort que l autre, et que l échange se fait à parité. Les accords d adossement ont beaucoup de caractéristiques en commun avec les options en bourse, et peuvent être évalués de la même manière pour décider d un accord équitable.

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