Mémoire de Magister. Spécialité : Electrotechnique. Option : Entraînements électriques. Présenté par : AIT HAMOU Assia. Thème

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1 REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVESITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI OUZOU FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE ET DE L INFORMATIQUE DEPARTEMENT D ELECTROTECHNIQUE Mémoe de Magste Spécalté : Electotechque Opto : Etaîemets électques Péseté pa : AIT HAMOU Assa Thème Mse e œuve d u modèle couplé aalytque uméque pou la détecto de défauts à vtesse élevée Devat le juy composé de : BENFDILA Aek Pofesseu, Uvesté de T Ouou, MOHELLEBI Hassae, Pofesseu, Uvesté de T Ouou, MOKDAD Rabah, Pofesseu, Uvesté de T Ouou, OULD OUALI Samy Hassa, Mate de coféeces B, uvesté de T Ouou, Pésdet Rappoteu Examateu Examateu Souteu le : /03/05

2 Remecemets Comme le veut la tadto, je vas tete de satsfae au dffcle execce de la page des emecemets, peut ête la tâche la plus adue de ces aées de thèse. No qu expme ma gattude eves les pesoes e qu j a touvé u soute sot cote ma atue, be au cotae. La dffculté tet plutôt das le fat de ouble pesoe. C est pouquo, je emece pa avace ceux dot le om appaaît pas das cette page et qu m ot adé d ue maèe ou d ue aute. Je tes à expme ma pofode gattude et ma ecoassace eves mo decteu de mémoe, Moseu Hassae MOHELLEBI, Pofesseu à l UMMTO, auss be pou so ade péceuse que pou ses qualtés humaes. Malgé les ombeuses sollctatos, l m a toujous cosacé le temps écessae pou ête gudé effcacemet. Avec sa gade gueu scetfque et ses emaques toujous utles, j a beaucoup apps e tavallat avec lu. Je emece Moseu Aek BENFDILA, Pofesseu à l UMMTO de m avo fat l hoeu de pésde mo juy de souteace. J adesse mes vfs emecemets à Moseu MOKDAD Rabah, Pofesseu, Uvesté de T Ouou et Moseu Samy Hassa OULD OUALI, MCB à l UMMTO, pou avo accepté de patcpe à ce juy. Je souhate expme ma ecoassace eves Messeus Meae HAMEL doctoat à l UMMTO et Fad HOCINI MCB à l UMMTO, pou leu ade duat la pépaato de ce taval. Je les emece égalemet pou tous les cosels qu ls m ot appotés et pou tous les ecouagemets qu ls ot cessé de me podgue.

3 Je déde ce taval A ma tès chèe flle A mo ma be amé Achou Mohammaed A mes tès ches paets A mes bos paets A mes fèes et leu femme et sœus et leu ma A mes dos fèes et belle sœus et leu ma A tous ceux qu me sot chèe

4 Sommae Itoducto gééale...5 Chapte I : Gééaltés su le Cotôle No Destuctf I.. Itoducto :...7 I.. Hstoque :..8 I.3. Dfféetes techques du C N D :...8 I.3.. Exame vsuel : Avatages : Icovéets :...9 I.3.. Ressuage : Avatage Icovéets I.3.3. Radogaphe :...0 Avatage...0 Icovéets....0 I.3.4.Cotôle pa Ultasos :... Avatage Icovéets... I.3.5. Flux de fute magétque magétoscope :.. Avatages.3 Icovéets 3 I.3.6. Themogaphe...4 Avatages 4 Icovéets...4 I.4. Le cotôle o destuctf pa couats de Foucault.5 I.4. Cotexte du cotôle pa couats de Foucault...5 I.4. Pcpe de la méthode des couats de Foucault 6 I.4.3 Poduts cotôlés...8 I.4.4 Facteus affectat la épose de la bobe 8 I.4.5 Les types de sodes...9 I.4.5. Sode à double foctos...9 I.4.5. Capteu à foctos sépaées Sode dfféetelle Pla d mpédace omalsé... Page

5 Sommae.4.7 Tatemet du sgal ecuell..3.5 Modes d exctato Cotôle moo féquece Cotôle pa couats de Foucault pulsés Techque à féqueces multples Balayage e féquece Autes techques.6.6 Avatages des couats de Foucault 7.7 Lmtes des techques de couats de Foucault..7.8 Cocluso...8 Chapte II : Méthodes Numéques et Fomulato Élémets Fs II. Itoducto II. Equatos de Maxwell....9 a. Fome dfféetelle des équatos de Maxwell...9 b. Fome tégale des équatos de Maxwell 30 c. Les los costtutves du mleu...3 II.3 Méthodes uméques de ésoluto des équatos aux dévées patelles 34 II.3. Méthode des dfféeces fes a. Itoducto :...35 b. Appoxmato des dévées :.36 c. Système matcel :.36 II.3. La méthode des élémets fs..37 II.3.. Itoducto..37 II.3.. Types de la fomulato des poblèmes. 37 a. Fomulato vaatoelle : 37 b. Fomulato ésdus podéés : 39 II.3..3 Le pcpe de la méthode des élémets fs : 39 II.3..4 Dscétsato du domae d étude:.. 40 a Elémets de éféeces :...4 b Focto d tepolato:..4 b. Pcpe de l état complet:.4 b. Pcpe de compatblté:..4 c Focto d tepolato su u élémet:. 4 Page

6 Sommae d Calcul de la focto d appoxmato...43 II.3..5 Fomulato élémets fs des équatos électomagétques : 45 II équato magétostatque:...45 a cas catése:...45 b cas axsymétque: II Equato magétodyamque:...48 a cas catése:.48 b cas axsymétque:.50 II.3.3 Méthode d équatos tégales de fotèesmif:.5 II.4. Cocluso:..5 Chapte III : Modèles Aalytques et Méthodes Couplées III. Itoducto:...5 III.. Modèle aalytque e coodoées cyldque : III... Equato électomagétque das la égo o coductce:.5 III... Méthode de ésoluto:.5 III.. 3. Défto des codtos aux lmtes su la fotèe de la égo aalytque: 53 III..4. Soluto utlsat les foctos de Bessel : : 54 III..5. Solutos Elémetaes:.55 III.3. Modèle aalytque e coodoées catése:..60 III.3.. Equato électomagétque D catésee :...60 III.3.. Domae de ésoluto aalytque et codtos aux lmtes: III Résoluto :..6 a. Défto des poblèmes élémetaes:..6 b. Soluto globale:..6 III.4. Méthodes Couplée: III.4. Fomulato élémets fs aalytque: a. Fomulato élémets fs du poblème couplé axsymétque.6 b. Fomulato élémets fs du poblème couplé catése III.4.. Fomulato élémets f s tégales de fotèes :...67 III.4.3 Fomulato élémet fs mpédace de suface : Chapte IV. Applcato : Smulato du mouvemet du capteu das u dspostf CND IV. Applcato à la smulato du mouvemet du capteu das u dspostf CND :..7 IV.. Cas d u dspostf CND axsymétque :..7 Page 3

7 Sommae IV... Stuctue géométque :..7 IV... Popétés physques : 7 IV..3. Fomulato électomagétque du poblème :...7 IV.. 4. Domae d étude et codtos aux lmtes :...73 IV.. 5 Mallage du domae d étude :.74 IV..6. Résultats :...75 a. Dstbuto du potetel vecteu magétque A : b. Effet de la posto du capteu su la épatto de A c. Allue de la desté de couat dut pa le mouvemet e focto du déplacemet :....8 d. Etude de l effet de la vtesse Cas axsymétque f=50 kh :..8 e. Compaaso des ésultats pou dfféetes valeu de la vtesse de déplacemet : f. Étude de l effet de la féquece su la épatto de la desté de couat dut v=5m/s Cas axsymétque : g. Compaaso des temps de ésoluto :...9 IV.. Etude d u dspostf de cotôle o destuctf e coodoées catésees :..9 IV... Stuctue géométque :. 9 IV... Caactéstques géométques :...9 IV..3. Popété physques :..9 IV..4. Domae d étude et codtos aux lmtes :..93 IV.. 5 Mallage du domae d étude : IV..6. Résultats :...94 a. Résultats e teme de potetel vecteu magétque A :...94 b. Effet de la posto du capteu su la épatto du potetel vecteu magétque :... 0 c. Allue de la desté de couat dut pa le mouvemet e focto du déplacemet :.. 06 d. Effet de la féquece su la épatto de la desté de couat dut : e. Etude de l effet de la vtesse Cas catésee f=50 kh :...0 f. Compaaso des ésultats pou dfféetes tagle de l ducteu :.... Page 4

8 Sommae Cocluso gééale: Bblogaphe : Page 5

9 Itoducto Gééale

10 Itoducto Le domae du cotôle o destuctf CND est u domae qu ped de plus e plus de l mpotace compte teue des exgeces de la mateace des dspostfs et stuctues utlsés das l dustes et scece de l géeu. Les techques du cotôle o destuctf utlsées sot ombeuses, o poua cte pam celles c : l exame vsuel Le essuage La adogaphe Le cotôle pa Ultasos Le flux de fute magétque magétoscope La themogaphe Le cotôle pa couats de Foucault La techque du cotôle o destuctf pa couats de Foucault CND CF, objet d téêt das le cade de ce mémoe, à été applqué à la détecto de défauts das les pèces coductces, les matéaux compostes, les matéaux magétque, etc. la deuxème phase de l étude das le domae du cotôle o destuctf est l évaluato o destuctf qu cocee la ecosttuto du défaut e explotet les méthodes de tatemet de poblème vese su la base d algothme d optmsato. La modélsato d ue cofguato éelle du cotôle o destuctf pa couats de Foucault e peut gééalemet pas ête obteue aalytquemet et fat appel à des méthodes uméques élémets fs, volumes fs, dfféeces fes domae tempoel. Pam celles c, la méthode des élémets fs MEF qu pemet de pede e compte des géométes complexes de sodes et de pèces et la o léaté des popétés physque des matéaux à specte este de lo la plus pefomate, l emplo de cette méthode este mpécse pou la pse e compte du mouvemet et aboutt à des systèmes algébques de talles éomes das cetaes stuato, pou eméde à cet covéet, ue méthode couplée aalytque uméque a été utlsée das ce mémoe. Les méthodes couplées poposées ot pou objectf d évte le mallage d ue égo, ce qu pemet de dmue la talle des poblèmes, l espace mémoe écessae au stockage et à la ésoluto, le temps de ésoluto et le coût de ésoluto lé à l opéato. Pluseus études ot été meées pou la détecto de défauts das les matéaux e modes absolu, dfféetel e cosdéat le égme statque MFL : Magetc Flux La Page 5

11 Itoducto kage, le égme hamoque CF : couats de Foucault et le égme pulsé almetato tastoe. Das les pécédetes études, la vtesse de déplacemet du capteu est pas pse e cosdéato das la modélsato cosdéée fable. Pou ote pat, o se popose de mee ue étude su l effet de la vtesse de déplacemet du capteu su la desté de couat dut ésultat du mouvemet eu vue de pévo la coséquece su la fablté des mesues effectuées los de l opéato d specto. Les applcatos à cosdée coceat : L specto d u ppele dot l étude est meée e coodoées cyldque Le cotôle du al de ta e cosdéat u défaut das le pla catése [x, y]. Pou la cocétsato du taval, ce mémoe est ogasé comme sut : Pou qu o pusse mee à be l étude du phéomèe électomagétque teveat das les dspostfs de CND CF, ous pésetos d abod ue echeche bblogaphque et ue descpto détallée de cetas dspostfs qu feot l objet du peme chapte. Le deuxème chapte tate bèvemet des équatos électomagétques dédutes des équatos de Maxwell. Dfféetes méthodes uméques de ésoluto ot été pésetées. La méthode des élémets fs utlsée das le cade de ce taval est pésetée plus e détal das ce chapte. Le tosème chapte est cosacé aux méthodes aalytques qu pésetet l avatage, au px d hypothèses smplfcatces, de epésete coectemet les phéomèes physques étudés et ue mse e œuve elatvemet avatageuse. La fomulato élémets fs des modèles couplés est auss foue. Le quatème chapte est dédé à l applcato et à la valdato des modèles couplés aalytque uméque axsymétque, catése ms e œuve pou la smulato du mouvemet das le but d évalue l effet de la vtesse su la desté de couat aux boes du capteu. La pésete étude se teme pa ue cocluso Page 6

12 Chapte I Gééaltés su le Cotôles No Destuctfs

13 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf I. Itoducto : Das l duste, les exgeces de fablté, de éducto des coûts et de sécuté deveet de plus e plus cotagates. Au veau de la poducto, l faut dmesoe les pèces au plus juste tout e gaatssat leus dspobltés et leus pefomaces. Duat l explotato d u podut dustel, so mate e état de mache das de boes codtos de sécuté écesste ue boe coassace de l évoluto des pèces qu le costtue. Cette coassace mplque e patcule de éalse des cotôles e potat pas attete à l tégté des pèces et e etavat le mos possble la dspoblté du podut. Cec justfe l mpotace cossate que ped le cotôle o destuctf CND []. Le cotôle o destuctfs pa couats de Foucault o Eddy Cuet Testg: ECT est u des plus mpotats das l duste. Il pemet doc d specte u matéel coducteu sas y povoque sa destucto []. Les applcatos gééales de la méthode CND sot la détecto de défauts, la mesue d épasseu et l detfcato de métaux et des allages. Des exemples spécfques das les dustes de métaux sot l specto de tubes ou de baes los de leus fabcatos. La méthode est auss utlsée das le domae de l aéoautque détecto de fssues, de l évaluato des dommages pa la chaleu et la détecto de couches de cooso cachées []. O dst gue dveses techques [3, 4, 5] dot pcpalemet : Les ultasos, Les ayos X ou Gamma, Le essuage ou la themogaphe faouge, La magétoscope, Les couats de Foucault. Le chox de l ue d ete elles das ue applcato est basé pa la écessté que les popétés de la pèce à cotôle soet compatbles avec le phéomèe physque ms e jeu [6]. Le CND, epose su u esemble de méthodes qu pemettet de caactése l état d tégté des stuctues dustelles, sas les abîme, sot au cous de la poducto sot e cous d utlsato. Il faut doc chos, pou chaque opéato de cotôle, la méthode adéquate e focto du type de défaut, des caactéstques de la pèce, des codtos de mse e œuve [7]. Page 7

14 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf I.. Hstoque : Le cotôle o destuctf costtue u champ d applcato pvlégé des découvetes de la physque. Auss l hstoe du cotôle o destuctf commece t elle avec celle de la physque modee à la f du XIX sècle qu à débuté pa la découvete des ayos X pus des couats de Foucault, etc. Ce est toutefos qu à pat de la secode guee modale que les techques de cotôle o destuctves ot ps leu esso das l duste, e patcule das la métalluge : cotôle des aces, adogaphe des soudues. Ue mpotate accéléato du pogès et du développemet du cotôle o destuctf s est mafestée esute ves les aées avec le développemet apde de secteus tès demadeus tels que les cetales électques ucléaes ou ecoe l aéoautque. Aujoud hu, les champs d applcato s étedet de plus e plus et celu c devet u outl cotouable das l appoche qualté. La plupat des techques cosstet à excte la pèce cotôlée pa u sgal physque adapté et à ecuell la épose de la pèce qu dot caactése so état et plus patculèemet la pésece d u défaut [,7]. I 3 Dfféetes techques du C N D : Les techques o destuctves dovet s adapte aux matéaux que ous souhatos cotôle. Das le cas des métaux, et pou u cotôle au se du métal, l faut explote les phéomèes physques qu pemettet de pééte das le métal et sélectoe celu qu pemet le meux de fou les fomatos equses pa l utlsateu. Actuellemet, pou la plupat des métaux, l exste dfféets moyes de pééte au se de la matèe. Il exste pluseus techques de CND, elles peuvet ête classées comme sut : I 3 Exame vsuel : L specto vsuelle est la plus acee pocédue de cotôles o destuctfs. Il peut ête adé, pa u éclaage classque ou lase. Il este cepedat sujet aux covéets lés à l œl huma, c'est à de ue fable poductvté et ue cetae subjectvté, etaat u maque de fablté, Les ésultats pospèes ot dépedu de la compétece de l opéateu, le bo ettoyage, llumato adéquate de la oe specté et la qualté de l'stumet optque. Ces facteus sot ecoe mpotats aujoud'hu, mas le matéel est deveu beaucoup plus sophstqué. Habtuellemet, l'specto Page 8

15 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf vsuelle e peut pas ête utlsée pou véfe des ésultats de test, ce peut ête utlsé pou emplace d autes méthodes de CND [8, 9, 0, ] o Avatages Exame smple, apde et pas coûteux; Souplesse d specto. o Icovéets Détecto lmtée aux défauts supefcels; La suface dot ête pope; Pas d teupto des pacous optques ete l œl et la pèce examée. I.3. Ressuage : Le essuage est u moye de echeche des défauts supefcels qu cosste e l améloato de l specto vsuelle de défectuosté. Cet essa pemet de décele les défauts qu appaasset à la suface. Il est applqué das le cas des matéaux o magétques allages à base d'al, de Cu, de T, aces oxydables, etc.. So mode d'emplo est tès smple. Il cosste à l aspato du péétat pa la couche poudeuse du évélateu, le mécasme de évélato des défauts pa essuage coespod aux quate phases, applcato du péétat suve d u temps d mpégato, élmato de l excès du péétat su la suface de la pèce, essuage du péétat pa dsposto d ue couche de «évélateu» su la suface. L mage des défauts appaaîta à l obsevateu das la mesue où l étalemet du péétat su le évélateu codut à ue ette vaato de couleu ou de lumace [,, ]. o Avatages Faclté de mse e œuve et elatvemet sesble aux fssues débouchat ; Applqué su les matéaux délectques et o feomagétque. o Icovéets L mte de l applcato su les matéaux o poeux ; L tepétato des ésultats est subjectve: Il est mpossble de déteme les dmesos exactes des défauts ; Dage des solvats toxques, coosfs et flammable. Page 9

16 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf Fgue. Les cotôles pa essuage I.3.3 Radogaphe : La adogaphe est ue méthode couammet employée pou cotôle l téeu d ue pèce. Il s agt de tavese la matèe à exame pa u ayo osat de tès coute logueu d ode. E fachssat la pèce, l éege des photos de ce ayo est patellemet absobée pa la matèe ecotée selo sa desté. U détecteu flm, éca... est placé deèe la pèce et fout u adogamme de la oe tavesée. Les défauts sot epésetés das cette mage pa ue vaato locale de l testé []. o Avatages Cotôle des objets de fome complquée ; Facle à Taspoté gééateus de ayos X de fables éeges, appaels de adoactve potatfs; Appéce la atue et la talle des défauts. o Icovéets L tepétato des mages demade u veau d'expetse de l'opéateu; Mse e œuve des dspostfs et pocédues de potecto du pesoel; Cette techque est extêmemet coûteuse et mpose des codtos de sécuté ; Le sque de e pas détecte les fssues se pésetat selo l axe du fasceau. Page 0

17 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf Fgue. Pcpe de la adogaphe. I.3.4 Cotôle pa Ultasos : Le cotôle o destuctf pa ultasos cosste à géée ue ode ultasooe qu se popage das la pèce à cotôle pa u tasducteu péoélectque et aalyse sa popagato. L ode ultasooe est éfléche pa le fod de la pèce et pa d évetuelles dscotutés pésetes das le matéau. La localsato d u défaut das la pofodeu de la pèce se fat gâce à la posto de so écho obteu su l échogamme. L ampltude elatve des dfféets échos peut esege su l mpotace du défaut. Toutefos, les aomales de suface sot dffclemet détectables. La méthode peut ête applquée à tous les matéaux qu e pésetet pas ue tès fote attéuato ue asotope tès mpotate à l sta des matéaux métallques, compostes, céamques etc. [3]. Elle offe ue gade sesblté de détecto qu peut attede pa exemple mm à 0, mm das le cas de l ace, et pemet la détecto de défauts localsés das le volume de pèces d épasseu mpotate. o Avatages Gad pouvo de péétato pluseus mètes das l'ace foge. Haute sesblté de détecto de défauts, otammet pou la echeche des défauts plas déped de la féquece de l'ode ultasooe; Détecto, localsato et dmesoemet des défauts; Ispecto et détecto e temps éel. Page

18 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf o Icovéets Sesble à la atue et à l'oetato des défauts; Techque souvet tès coûteuse vestssemet, temps de cotôle ; Ispecto lmtée pa la complexté de la fome de la pèce cotôlée. Fgue. 3 Pcpe des ultasos. I.3.5 Flux de fute magétque magétoscope : Applquée exclusvemet su des matéaux feomagétques fe, ace, fote,, la magétoscope est ue méthode de cotôle o destuctf qu pemet de détecte des dscotutés débouchat e suface ou sous cutaées. Compaée au essuage, elle est doc plus estctve mas elle lu est péféée, quad elle est applcable, ca elle est beaucoup plus apde [3, 4]. La magétoscope cosste à amate la pèce à cotôle, ou ue pate de celle c, à l ade d u champ magétque costat et suffsammet élevé fgue.4. L exstece de dscotutés de suface ou sous jacetes povoquet ue dstoso des lges de foce du champ magétque qu géèe des flux de fute. Ces flux sot ms e évdece pa des évélateus magétques mcosés et déposés su la suface de la pèce. E attat les patcules du évélateu, les flux de fute fousset des sgatues patculèes des dscotutés. Cepedat, ue melleue détecto est obteue que s les dscotutés se stuet pepedculaemet aux lges de foce du champ magétque. Pou détecte toutes les dscotutés à la suface d ue pèce, l faut effectue deux amatatos othogoales l ue pa appot à l aute. Page

19 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf Comme le essuage, la magétoscope est ue méthode globale et pemet la détecto de tous les défauts de suface ou légèemet sous jacets. Néamos, elle e s applque qu à des matéaux feomagétques et e pemet pas l appécato de la pofodeu des défauts, ce qu ed l tepétato los de la phase de évélato tès délcate. E oute, apès chaque cotôle d u matéau, celu c peut écesste ue désamatato. o Avatages Smple, peu coûteux et apde ; Détecto des défauts débouchat et sous jacets. o Icovéets Applcable seulemet aux matéaux feomagétques ; Amatato déped de la peméablté de la pèce examée ; La sesblté de détecto des défauts déped e effet de la atue, de la decto et de l testé de la magétsato de la pèce. Fgue. 4 Ispecto pa magétoscope. Page 3

20 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf I.3.6 Themogaphe Le cotôle o destuctf pa themogaphe Themogaphy Testg e aglas est utlsé pou décele des défauts volumques et des défauts de suface. E podusat u échauffemet local et homogèe das la stuctue à cotôle, o peut obseve l évoluto de la tempéatue à l ade d ue caméa themogaphque. As, les défauts pésets jouet le ôle d obstacles à la tasmsso de la chaleu das le matéau et egedet des aomales themques qu peuvet ête détectées pa la caméa. O dstgue la themogaphe passve où l appot de la chaleu qu povoque l élévato de tempéatue est extéeu, et la themogaphe actve qu suppose que le chauffage sot obteu pa ue sollctato mécaque tee [4]. Les pcpaux avatages de cette méthode ésdet das la possblté d effectue u cotôle sas cotact avec ue boe qualté des ésultats qu est lée à l utlsato de caméas tès sesbles. Ses covéets sot la leteu du phéomèe de popagato de la chaleu et le coût élevé de l vestssemet. Pam les avatages et les covéets de cette méthode : o Avatages Méthode sas cotact ; Toute l épasseu de la pèce est gééalemet cotôlée ; Les cavtés champs de bulles d a, fssues, délamages, sot be détectées ; La sesblté à la détecto des défauts de fables dmesos ; L achvage des ésultats est gaat à l ade de la caméa faouge. o Icovéets Des dffcultés de mesue lées aux effets petubateus ; Des dffcultés de localsato de la pofodeu des défauts, du fat que l mage obteue doe ue pojecto de ces dees su le pla de la pèce testée ; L tepétato des mesues pas toujous facle, sutout pou detfe la atue des défauts ; Page 4

21 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf Caméa faouge Rayoemet faouge Odateu Souce themque Pèce Fgue.5 Pcpe du cotôle pa themogaphe I.4 Le cotôle o destuctf pa couats de Foucault I.4. Cotexte du cotôle pa couats de Foucault Le développemet de la techque de cotôle o destuctf pa couats de Foucault physce faças a été edu possble gâce à la découvete de l ducto électomagétque, e 83, pa Mchael Faaday physce et chmste btaque [5]. E 879, Davd Hughes physce btaque a été le peme à avo fat des essas o destuctfs pa couats de Foucault [5]. Il a eegsté des chagemets des popétés d ue bobe quad elle est placée à poxmté de métaux de dfféetes coductvté et peméablté. Das les aées 950 et 960, des tavaux cosdéables ot été bllammet meés et ot pems de égle pluseus questos qu elèvet o seulemet de la théoe mas auss de l expémetal. De os jous, les essas o destuctfs pa couats de Foucault sot deveus ue techque lagemet utlsée das dfféets secteus de l'duste, patculèemet das l duste aéoautque et ucléae, vu qu elle est suffsammet pécse et faclemet assmlable [6, 7]. La méthode des couats de Foucault est utlsée pcpalemet das deux types d applcatos [8, 9]. Le peme type cosste à détecte des défauts das des pèces Page 5

22 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf métallques, qu peuvet se pésete sous fome de fssue sufacque ou sousjacete [0]. Ce type d applcato est évdemmet tès mpotat ca les défauts peuvet ête dageeux, et das ce cas, la pèce dot ête sot jetée sot épaée. Comme les couats de Foucault ot tedace à se cocete su la suface de la pèce spectée, alos ls e peuvet ête utlsés que pou détecte des défauts o lo de la suface. Das ce peme type, o pale de cotôle o destuctf CND. Le deuxème type cosste à évalue les popétés électomagétques d u podut ou d u défaut à savo la coductvté électque [, ] la peméablté magétque [3, 4] ou ecoe les gadeus géométques [5]. Les couats de Foucault dépedet dectemet de la coductvté électque et de la peméablté magétque d u matéau. Pa coséquet, ls peuvet ête utlsés, pa exemple, pou te des matéaux coducteus ca souvet dfféets matéaux pésetet des coductvtés dfféetes. Etat doé que la coductvté électque et la peméablté magétque peuvet ête lées à des caactéstques stuctuelles telles que la dueté, la composto chmque, la gaulométe et la ésstace des matéaux, ous pouvos égalemet applque les techques de couats de Foucault pou dfféece les popétés d u evêtemet lées à la stuctue de ce dee et aux codtos de so dépôt [6]. Ces techques peuvet égalemet ête utlsées pou mesue l épasseu d u evêtemet allat de quelques mcomètes à quelques mllmètes [6, 7, 7]. Das ce deuxème type d applcato o pale d évaluato o destuctve END. E ésumé, la techque des couats de Foucault peut ête applquée à tout type de matéaux coducteus pou :. détecte des fssues ou des falles,. détecte ue cooso, 3. mesue les caactéstques géométques d ue pèce ou d u défaut, 4. mesue les caactéstques physques coductvté électque et peméablté magétque. I.4. Pcpe de la méthode des couats de Foucault Le cotôle pa couats de Foucault est l ue des méthodes qu est basée su le pcpe du champ magétque dut. Quad ue bobe est almetée pa u couat vaable das le temps comme le mote la fgue.6, u champ magétque est céé Page 6

23 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf au vosage de la bobe. Placée à poxmté d u matéau coducteu, cette bobe céea, das celu c, des couats duts, appelés couats de Foucault, pa l ducto e vetu de la lo de LENZ. Ces mêmes couats duts céet à leu tou, selo la lo de Le, u champ magétque qu s oppose au champ d exctato qu leu a doé assace. Il appaaît alos u champ magétque ésultat dot déped fotemet la valeu de l mpédace de la bobe. E pésece d ue aomale das la pèce cotôlée, la cculato des couats duts est petubée, etaîat as ue vaato de l'mpédace appaete de la bobe. Ce phéomèe d ducto peut, e effet, ête exploté pou étude l tégté de pèces coductces. Ue fete stuée e egad de la bobe comme l lluste la fgue.7, va dectemet affecte et édue les couats duts das la pèce. As l mpédace de la bobe va augmete ca les couats duts auot dmués. Doc, la modfcato des couats de Foucault das la pèce peut ête détectée e coassat smplemet le couat das la bobe. Lges de champ magétque Bobe Pèce Lges de champ magétque Coductce Couats Iduts Bobe Fssue Couats Iduts petubés Fgue.6 Pcpe des couats duts Fgue.7 Couats duts petubés pa ue fssue Page 7

24 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf I.4.3 Poduts cotôlés Le cotôle o destuctf pa couats de Foucault peut ête utlsé pou mpote quel mleu à codto que celu c sot coducteu d électcté. Cepedat, das la patque, ce sot essetellemet les poduts de fome cyldques, tels que les baes et tubes, as que plae al,.. qu couvet la plupat des applcatos [4]. E effet, les tubes de fable épasseu, tels qu ls sot utlsés pou les élémets combustbles ou codeseus et échageus de vapeu das les cetales ucléaes, les plaque utlsées e aéoautque epésetet les domaes d applcato les plus mpotats du cotôle pa couats de Foucault Avato?. L avatage avec cette méthode est qu l est possble d assue u cotôle apde à des cadeces avosat m/s tout e gaatssat la détecto de défauts dot le seul de pofodeu sot d evo 0. mm. Pou s adapte à des codtos patculèes et augmete la fablté des poduts das ce secteu d actvtés, des développemets de méthodes et appaels de cotôle ot été éalsés [8]. E plus des poduts cyldques, o touve toutes les pèces à fote cocetato de cotates utlsées das l duste aéoautque, et dot le ombe est elatvemet mpotat, qu sot coceées pa le cotôle pa couats de Foucault [9]. A tte d exemple, le cotôle d mpacts su les bods d attaque des aubes du peme étage du compesseu, causés pa u passage de débs, est assué pa des capteus spécaux déplacés mauellemet. I.4.4 Facteus affectat la épose de la bobe E plus des défauts, pluseus autes facteus peuvet affecte la épose d ue bobe. Le sgal ecuell aux boes de la bobe est ue combaso d u esemble de époses compotat : La épose du défaut La géométe de la pèce spectée Le lft off. L évaluato des popétés d u défaut pésumé ou du matéau est possble dès los que tous les autes facteus sot cous. Nous doos c apès les pcpaux Page 8

25 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf facteus qu peuvet affecte la épose de la bobe. La peméablté magétque du matéau La coductvté électque du matéau Le lft off La féquece I.4.5 Les types de sodes Das la mse e œuve de sodes pou ue applcato de cotôle pa couats de Foucault, l écessae que les bobages emplsset deux foctos pcpales, à savo la focto d émsso d u champ électomagétque vaable et de écepto d u aute champ électomagétque égalemet vaable. Ces deux foctos peuvet ête éalsées pa ue ou pluseus bobes. Pa coséquet, ue sode comped ue ou pluseus bobes dot cetaes sot émettces et d autes éceptces. E patque, ue bobe e peut ête qu émettce, ou éceptce seulemet, ou ecoe les deux e même temps. Il exste doc pluseus faços de mette e œuve des sodes pou éalse u cotôle pa couats de Foucault. I.4.5. Sode à double foctos La sode à double focto epésete la cofguato la plus smple ca elle est costtuée d ue seule bobe qu assue à elle seule les deux foctos d émsso et de écepto du champ électomagétque fgue.8. L explotato passe pa a mesue des vaatos de l mpédace de la bobe qu caactéset le phéomèe de couats de Foucault et qu se tadut pa ue modfcato du coeffcet de self ductace L et de la ésstace R. Supposos que la bobe est almetée pa u gééateu de couat susoïdal, o dt alos que la teso a ue composate e phase avec le couat et ue composate déphasée de. As, toute vaato d mpédace se tadut pa ue modfcato de l ampltude et de la phase de la teso ecuelle aux boes de la bobe. Page 9

26 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf Bobe ~ Pèce Fgue.8 Sode à double foctos I.4.5. Capteu à foctos sépaées Das ce cas les foctos émsso et écepto sot sépaées et sot emples pa deux bobes dstctes fgue.9. Bobe émettce Bobe éceptce ~ ~ Pèce Fgue.9 Sode à foctos sépaées Ue bobe émettce pacouue pa u couat céat u champ électomagétque dot ue pate, plus ou mos mpotate, est captée pa u écepteu qu peut ête sot ue bobe sot u capteu de champ GMR, GMI [30, 3, 34]. La écepto peut se fae à edot dfféet de la posto de la bobe émettce. La teso aux boes du écepteu déped d ue pat des caactéstques géométques des bobes et de leu posto elatve et d aute pat des couats de Foucault qu appaasset das le matéau cotôlé. Page 0

27 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf Sode dfféetelle Das ce mode d exploato, o utlse deux bobes de mesue et compae ue oe du mleu à teste avec ue oe vose e fasat la dfféece d ue faço pemaete ete les deux mesues. Tat que le matéau a les mêmes caactéstques e egad des deux bobes, le sgal ecuell est ul. S l ue des bobes se touve e face d u défaut, l appaaît u sgal de défaut fgue.0. Ce type de sode pemet de s affach des petubatos dues pcpalemet aux vaatos de la dstace sode pèce appelé lft off d u côté et des vaatos des paamètes électomagétques du matéau cotôlé comme pa exemple la coductvté électque de l aute. Fgue.0 Sode à foctos sépaées dfféetelle Pam les dfféetes sodes destées pou le cotôle pa couats de Foucault, les sodes dfféetelles sot utlsées pou détecte des dscotutés ou des défauts comme les fssues. Pa cote, les sodes absolues sot péféées pou la détecto de défauts caactésés pa des vaatos gaduelles comme les dégadatos dues à la cooso..4.6 Pla d mpédace omalsé Das ce qu sut o cosdèe u capteu à double foctos. L teacto capteu/cble s étude e examat l mpédace complexe du capteu. Pou u bobage de N spes pacouu pa u couat alteatf susoïdal, cette mpédace est défe pa : Page

28 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf I. Où et sot les vecteus complexes assocés à la teso et au couat d exctato. La gadeu se décompose e pates actve et éactve, e quadatue et e phase avec. L mpédace s éct : I. U capteu ductf est doc caactésé pa deux gadeus : la composate ésstve R qu eglobe les petes pa couats de Foucault dues à la péétato du champ das la cble et les petes tees du bobage d exctato, et le teme ductf X qu epésete la éactace du bobage d exctato, lée à la topologe des lges de champ magétque émses pa le capteu. Pou e coseve das l expesso de l mpédace que les vaatos dues à la pésece de la cble, o todut tadtoellemet la oto d mpédace omalsée. Cette mpédace omalsée se dédut de à l ade de l expesso : I.3 où est l mpédace à vde du capteu mpédace e absece de cble. E fasat essotèe les gadeus omalsé de l mpédace, la mesue devet dépedate des caactéstques popes de la bobe ombe de spes, petes à vde et de la cossace de la éactace e focto de la féquece. Elle déped uquemet des paamètes de stuctue que sot la féquece d exctato et la géométe du capteu, et des paamètes de la cble à savo sa géométe, sa coductvté électque, sa peméablté magétque cas d ue pèce magétque et la dstace capteu/cble lft off. L étude des vaatos de s effectue das le pla d mpédace omalsée e taçat e focto de. La pésece de défauts ou d homogéétés das la cble dut ue modfcato de l u ou de pluseus des Page

29 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf tos paamètes fluets qu se tadut das le pla d mpédace complexe, pa u déplacemet du pot de foctoemet epésetatf du capteu. La fgue. mote u exemple de vaato de l mpédace omalsée e focto de la féquece. Réactace Résstace Fgue. Ifluece de la féquece su le dagamme d mpédace omalsée.4.7 Tatemet du sgal ecuell U appaellage à couat de Foucault se pésete sous fome d u coffet elé pa u câble à u des capteus décts pécédemmet. Das ce coffet se touve les dfféets étages ayat des foctos be pécses à empl: u gééateu de couat ou de teso susoïdal pemettat d almete ue ou pluseus bobes avec u couat susoïdal. O peut das la plupat des appaels égle la féquece et l ampltude de ce couat das ue plage asse gade; u système de mse e fome du sgal dot le ôle est d aule les déséqulbes du sgal, popes aux bobes, et de détecte pus équlbe le sgal de défaut, cec peut ête éalsé sot pa u motage e pot, sot e edat dépedates les composates e phase et e quadatue du sgal ; u ccut d aalyse qu a pou but de sélectoe les sgaux poveat de défauts dfféets, et de les dfféece pa leu phase. Pou cela, de ombeux types de ccuts sot utlsés. La détecto sychoe et la détecto pa échatlloage sot les plus couammet utlsées ; u dspostf d explotato et de pésetato des ésultats. Page 3

30 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf.5 Modes d exctato.5. Cotôle moo féquece Le cotôle moo féquece utlse ue exctato susoïdale de féquece fxe. Les féqueces utlsées sot extêmemet vaables e focto des applcatos cosdéées. As pa exemple, pou la détecto de défauts débouchat ou stués das des paos mces, o utlsea des féqueces élevées, allat jusqu à quelques MH. Au cotae, pou le cotôle de poduts feomagétques, o utlse des féqueces basses. Cepedat, elles devot se stue das ue gamme asoable. E effet, losque la féquece chose est top basse, l ampltude des couats duts sea fable et la pécso de mesue suffsate à cause des buts. Ue féquece top élevée egede l appato de phéomèes paastes dus otammet aux capactés ésultat de l teacto ete deux spes de la sode. Ces deèes povoquet des ésoaces et tedet à cout ccute le ccut ductf..5. Cotôle pa couats de Foucault pulsés Les techques covetoelles d specto pa couats de Foucault utlset u couat alteatf susoïdal pou almete la bobe exctatce. La techque de couats de Foucault pulsés, qu utlse u sgal mpulsoelle pou almete la bobe, est ue appoche elatvemet ouvelle et pometteuse das le domae du cotôle pa couats de Foucault. La fome du sgal d almetato peut ête ectagulae, tagulae ou sem susoïdale, cette deèe état la plus utlsée e aso de sa smplcté de mse e œuve. L avatage d utlse ue focto mpulsoelle est que celle c cotet u cotuum de féqueces. As, la épose électomagétque pou pluseus féqueces peut ête mesuée e ue seule étape seulemet. Comme la pofodeu de péétato des couats duts déped de la féquece, alos les fomatos elatves à pluseus pofodeus peuvet ête obteues smultaémet. S la mesue est effectuée das le domae tempoel, u défaut se stuat pès de la bobe sea obsevé e peme et ce lu stué das ue posto lota le sea apès u ceta temps. E utlsat cet effet, Cheg Ch Ta et al [7] ot ms e œuve ue méthode utlsat les couats de Foucault pou déteme à la fos la coductvté et l épasseu d u evêtemet. Page 4

31 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf Cette techque est plus che e fomato qu u cotôle pa couats de Foucault susoïdal moo ou multféqueces. Cepedat, les sgaux de mesue état apdes et souvet de fable ampltude, e peuvet ête collectées qu e utlsat u système d acqusto pefomat ou u système d specto automatsé af d améloe leu qualté et de pouvo costue des catogaphes des oes spectées. Des systèmes d specto à deux dmesos sot typquemet utlsés. Cela pouat ête u système de balayage qu scae ue suface elatvemet plae e mode XY..5.3 Techque à féqueces multples La techque de couats de Foucault à féqueces multples pou chaque valeu de féquece doée [8]. La base de doées costute sut au cotôle pécédet est utlsée pou etouvé les paamètes de la pèce cotôlée. L mpédace de la bobe peut ête affectée pa les facteus suvats:. La dstace sode/pèce lft off.. La coductvté électque et la peméablté magétque de la pèce spectée. 3. La pésece de défauts de suface ou de défauts à ue pofodeu fable. 4. La géométe de la pèce. Pluseus facteus sot souvet pésets smultaémet. D ue faço gééale, das u poblème d veso quad l s agt d detfe paamètes de la cble, l est écessae de dspose d au mos fomatos foues pa la sode. La techque multféquece cosste à chos judceusemet les féqueces d exctato de la sode de telle sote à ecuell des fomatos ches et sutout complémetaes su la pèce à cotôle. L déal seat que chaque paamète à detfe at ue fluece su le sgal de mesue à ue féquece uque. Toutefos, cec est tès dffcle à éalse e patque. Quat au ombe de féqueces écessae, l est dectemet lé au ombe et à la atue des paamètes à detfe. Das le cas smple où l'téêt se lmte à la détecto de défauts ou d'autes chagemets busques das la géométe, ue sode dfféetelle peut ête utlsée pou élme les facteus désables, vu qu'ls vaet d'ue maèe pogessve. Etat doé que chaque bobe a sa pope gamme de féquece de taval, plus d'ue bobe u esemble de bobes peut ête utlsé pou Page 5

32 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf étede la féquece de test. Das la patque, les mesues multféquece sot mse e œuve e utlsat u aalyseu d mpédace..5.4 Balayage e féquece Les techques de couats de Foucault basées su le balayage e féquece mplquet la collecte de doées e utlsat ue lage gamme de féqueces qu vaet d ue faço cotue [9]. Cela mplque gééalemet l'utlsato d'u appael spécalsé, comme u aalyseu d'mpédace, qu peut ête cofgué pou effectue automatquemet des mesues su toute ue gamme de féqueces. La techque à balayage e féquece peut ête mse e œuve avec l'équpemet commecal, mas la mesue est dffcle et écesste u temps plus mpotat. Etat doé que la pofodeu de péétato des couats de Foucault déped de la féquece, l avatage de la techque de balayage e féquece est que l fomato est obteue su pluseus veaux de pofodeu. Les mesues e féqueces balayées sot utles das des applcatos telles que la mesue de l'épasseu de evêtemets coducteus et la dfféecato ete les défauts das des couches dfféetes d ue stuctue. Les mesues e féqueces balayées pemettet égalemet de dstgue ete les fssues qu se poduset su le evêtemet extéeu et les défauts se touvat das le evêtemet tee..5.5 Autes techques La techque coue sous le om de l magee à photo ducto [30] et la techque de couats de Foucault à champ lota [3, 3] sot égalemet utlsées. La méthode d'magee à photo ducto combe ue exctato photo themque céée pa u fasceau lase avec ue sode de couat de Foucault. Elle est pussate et elle est de haute ésoluto. Avec cette techque, ue ésoluto mcoscopque 0 μm est possble e utlsat des bobes à couats de Foucault stadad. Cette méthode a été utlsée pou étude les fssues de suface et des soudues das des échatllos métallques [33]. La techque de couats de Foucault à champ lota est basée su la tasmsso Page 6

33 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf d'u champ électomagétque à taves u tube e métal. Elle pemet la détecto de défauts su les paos téeues et extéeues du tube. La méthode utlse deux bobes, ue bobe d'exctato et ue bobe de pélèvemet. La dstace ete les bobes est de à 5 fos le damète du tube. La bobe d'exctato cée des couats de Foucault à basse féquece das le tube. Ue bobe de pélèvemet qu est placé das la oe de champ lota à 5 fos le damète du tube capte ce champ électomagétque..6 Avatages des couats de Foucault La méthode de cotôle et d évaluato o destuctfs pa couats de Foucault a pluseus avatages :. Sesble aux défauts fs.. Appécato possble de la pofodeu du défaut. 3. Se pête be à l automatsato. 4. Autose des vtesses de déflemet élevées. 5. Respectueuse de l evoemet. 6. Peut ête utlsée pou des poduts de évoluto de gade logueu. 7. Équpemet potatf. U aute avatage mpotat du cotôle pa couats de Foucault, cotaemet aux autes méthodes, telles que les ultasos, magétoscope etc., c'est qu'l 'y a pas beso de cotact physque avec la suface de l échatllo à specte..7 Lmtes des techques de couats de Foucault Comme toutes les autes méthodes de cotôle o destuctf ultasos, adogaphe, themogaphe et magétoscope etc., les techques de couats de Foucault ot leus popes défauts.. Seuls matéaux coducteus peuvet ête spectés.. L'fomato combée à pat d'u défaut ou u chagemet das les popétés de l'échatllo est pafos dffcle de se sépae. 3. La ugosté de suface peut tefée avec la mesue. 4. Les omes de éféece sot écessaes pou l'étaloage. Page 7

34 Chapte I Gééaltés su le Cotôle No Destuctf 5. La pofodeu de péétato est lmtée. 6. Les défauts tels que les décollemets qu se touvet e paallèle aux couats de Foucault sot dffcles à détecte..8 Cocluso Das ce chapte ous avos péseté les méthodes de cotôle o destuctf les plus couammet utlsées das l duste. Nous avos doé leus pcpes e pécsat les avatages et les covéets de chacue d elles. La méthode utlsée das le cade de cette thèse est le cotôle pa couats de Foucault. Pa coséquet, u accet a été ms su celle c e la détallat u peu plus pa appot aux autes. Pou ce fae, ous avos péseté le cotexte de la méthode, so pcpe as que ses paamètes caactéstques. Nous avos égalemet appelé les types de sodes employées das cette techque et les dfféets modes d exctatos de celles c. Il e ésulte, qu élaboe u système de cotôle à couats de Foucault evet à cosdée tos poblématques qu sot :. Cocepto du dspostf d stumetato qu excte la pèce et qu eçot l fluece de l teacto sode/pèce.. Modélsato decte qu cosste à smule l teacto sode/pèce af de péde les sgaux couats de Foucault obteus. 3. Iveso des sgaux couats de Foucault af d estme les caactéstques de la pèce spectée. Das le chapte suvat, ous ous téesseos aux méthodes uméques et fomulato élémets fs. Page 8

35 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Élémets Fs

36 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs II. Itoducto L évoluto actuelle de la techologe amèe l géeu à éalse les systèmes physques de plus e plus complexe, pou cela l a beso de modèles lu pemettat de smule le compotemet de ces systèmes. L utlsato des modèles aalytques pésete l avatage, au moye des hypothèses smplfcatces, de pésete coectemet les phéomèes physques étudés et ue mse e œuve elatvemet avatageuse. Mas, losque les équatos aux dévées patelles sot fotemet o léaes, ces modèles deveet adéquats. As o est ameé à utlse des méthodes uméques. Cec est edue possble gâce au développemet de l outl fomatque. La mse e place de logcels d aalyse et de cocepto de plus e plus pefomats pemet de édue cosdéablemet le temps de calcul et d aalyse. Das ce qu sut, o ctea quelques-ues de ces méthodes, o s téessea patculèemet à la méthode des élémets fs. II. Équatos de Maxwell Le compotemet des phéomèes électomagétques tatés das le domae de la physque mathématque est ésumé pa l emplo des équatos de MAXWELL, appelées auss équatos gééales de l électomagétsme [64]. Ces équatos s écvet sous deux fomes équvaletes qu sot : a. Fome dfféetelle des équatos de Maxwell. D = ρ II. E = B t. B = 0 II. II.3 H = J II.4 ρ est la desté de chage volumque. Page 9

37 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs D, E, B et H sot espectvemet les vecteus déplacemet, champ électque, ducto magétque et champ magétque. J epésete la desté de couat et das le cas gééal elle est doée pa : J = JC + JD + JM II.5 J c expme la desté de couat de coducto électque dut et ducteu doée pa : JC = JS + J II.6 d J état la desté de couat souce et S du phéomèe dut. J d epésete la desté de couat ésultat J D epésete la desté de couat de déplacemet dot l expesso est la suvate : J D D = t II.7 J M est la desté de couat due à la pésece de mleu magétque expmée pa : J M = M II.8 M état le vecteu amatato du mleu magétque e pésece. La atue locale des équatos de Maxwell pemet de pede e compte das les dfféetes équatos, e focto de la atue du mleu, sot l u des effets coducteu, délectque ou magétque ou l assocato de deux ou tos effets. b. Fome tégale des équatos de Maxwell La pemèe équato de Maxwell tadut le théoème de Gauss: V. D dv = ρ dv V II.9 Page 30

38 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs ou be D. ds = Q S t II.0 Q t : Chage totale coteue das le volume V [C / m3]. dv : Volume élémetae. La deuxème équato de Maxwell est doée sous fome suvate c E dl = s B. ds t. II. Sachat que : B ds = s. φ II. φ : le flux magétque à taves la secto s. dl : le cotou d tégato. La tosème équato de Maxwell expme la oto de cosevato du flux magétque: B 0. ds = s II.3 La quatème équato de Maxwell, appelée lo de Maxwell-Ampèe, est doée pa :. I c II.4 H dl = I : Couat elacé pa la coube c. c. Les los costtutves du mleu B = µ H II.5 D = ε E II.6 µ : Peméablté magétque [H / m]. Page 3

39 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs ε : Pemttvté électque [F / m]. d. La lo d Ohm J = σ II.7 E σ : Coductvté électque du mleu [ / m]. e. L équato de cosevato de la chage Maxwell avat moté que l équato de cotuté utlsée:. J = 0 II.8 état pas e cofomté avec l équato de cosevato de la chage électque sauf das u seul cas losque la desté de chage ρ état dépedate du temps. Af d assue la valdté de l équato de cosevato de la chage même e égme vaable, Maxwell a modfé l équato II.4 e lu ajoutat u teme de desté de couat appelé desté de couat de déplacemet ou be vecteu déplacemet et oté J D =. D t As la coecto todute pa Maxwell codut à l éctue de la quatème équato la fome suvate : H = J + J II.9 c D E applquat la dvegece à cette deèe, l équato de cotuté appelée auss équato de cosevato de la chage touvée devet cofome : ρ. J + = 0 c t II.0 I. Equatos aux dévées patelles D La epésetato sous fome dfféetelle des phéomèes électomagétques e gééal s obtet e effectuat ue combaso des équatos de Maxwell, des elatos du mleu, de la lo d Ohm et de cetaes los fodametales de la physque. Page 3

40 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs L équato II.3 pemet de dédue qu l exste u potetel vecteu magétque A tel que : B = A II. la combaso des équatos II. et II. codut à : E + A = 0 t II. La elato II. pemet de dédue qu l exste u potetel électque scalae U tel que : E + A t d où : = U II.3 E et U = A t II.4 J = σ U A t Sachat que : J s = σ U d où falemet l expesso de la desté de couat de coducto suvate : J c = J s σ A II.5 t et e teat compte des équatos II. II.5 l équato II.9 devet : A = J σ A t µ II.6 s Sachat que : H = µ A Page 33

41 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs Les couat de déplacemet sot églgeables devat les couat de coducto d où J D = 0 Ce qu pemet de dédue l équato électomagétque D suvate [47, 48]: A A + σ = J s µ II.7 t J s : desté de couat souce L équato II.7 pécédete s expmea pa : - Das le cas D axsymétque ν Aϕ ν Aϕ + σ Aϕ = J t sϕ II.8 avec : 0 A = A ϕ ; 0 0 J s = J sϕ 0 - Das le cas D catése A A A x x y + ν ν σ t = J s II.9 avec : 0 A = 0 A ; 0 J s = 0 J s II.3 Méthodes uméques de ésoluto des équatos aux dévées patelles La ésoluto aalytque des équatos aux dévées patelles des poblèmes dot la géométe est complexe. Il faut doc utlse des méthodes uméques comme : *La méthode des dfféeces fes. Page 34

42 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs * La méthode des élémets fs. * La méthode d tégale de fotèe. Nous o s téesse à la méthode des élémets fs qu a les avatages suvats : -Tatemet possble de géométes complexes. -Détemato plus atuelle des codto aux lmtes. -Possblté de démostato mathématque de covegece et de majoato d eeu. II.3. Méthode des dfféeces fes : a. Itoducto : Cette méthode cosste à tasfome l opéateu dfféetel e u opéateu aux dfféeces où, chaque dévée est appochée pa ue dfféece de valeus de l coue aux œuds du domae de ésoluto. L esemble des pots de dscétsato costtue u mallage. As, l équato aux dévées patelles est tasfomée e équato algébque e chaque pot [65]. La fgue. suvate epésete u mallage type dfféeces fs y h A ; j+ A, j A ; j A +, j A ; j h Fgue.- mallage type dfféece fs. x Page 35

43 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs b. L appoxmato des dévées : L appoxmato des dévées aux pots, j est :,,, h A A x A j j j + = II.30,,, h A A y A j j j + = II.3,,,, h A A A x A j j j j + + = II.3,,,, h A A A y A j j j j + + = II.33 Avec h h h = = Laplace dscétsé s éct alos = j A, j j y A x A,, + II.34 = j A, [ ] j j j j j A A A A A h,,,,, II.35 c. Système matcel : L expesso II.35 est appelée la fomule à cq pots, des expessos plus pécses peuvet ête obteues e cosevat plus de temes das le développemet e sées de Taylo. Mas cec codut à plus de complexté. L éctue de cette équato pou tous les œuds du mallage codut à u système matcel suvat : [S][A] = [F] II.36 Avec [F] : Teme souce Page 36

44 Chapte II Méthodes Numéques et Fomulato Elémets Fs [S] : Matce vesble [A] : Matce des coues La ésoluto de ce système ous pemet d avo la dstbuto de l coue das le domae d étude. II.3. La méthode des élémets fs II.3.. Itoducto Les sceces de l géeu pemettet de déce le compotemet de systèmes physques gâce à des équatos aux dévées patelles. La méthode des élémets fs fut todute pa P.P. Sylveste et M.V.K.Cha ves 970, c est l ue des méthodes les plus utlsées pou ésoude ces équatos ca cette méthode s adapte be à so tégato das les logcels de cocepto assstée pa odateu CAO [66]. C est ue méthode qu écesste l utlsato tesve de l odateu. C est ue méthode tès gééale qu s applque à la majoté des poblèmes ecotées das la patque : poblèmes statoaes ou o statoaes, léaes ou o léaes défs das u domae quelcoque à ue, deux ou tos dmesos. De plus, elle s adapte tès be aux mleux hétéogèes et aux domaes de fomes complexes. Le pcpe de la méthode est basé su ue fomulato tégale du poblème aux dévées patelles et de leus codtos aux lmtes, cette fomulato peut ête de type vaatoelle ou ésdus podéés. [6, 6, 66] II.3.. Types de fomulato des poblèmes Cette méthode peut ête de deux types - Vaatoelle ou - Résdus podéés a. Fomulato vaatoelle La méthode vaatoelle écesste la coassace de la foctoelle d éege du système à étude. Cette foctoelle est détemée a pat du pcpe de l acto Hamltoee qu stpule l exstece d ue foctoelle de type tégale défe pa : Page 37