Grandes lignes Représentation des cours boursiers Méthodologie générale financière Gestion des VAs Illustration. Mémoire d Actuariat:

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1 Mémoire d Actuariat: COUVERTURE OPTIMALE DES VARIABLE ANNUITIES EN PRÉSENCE DE RISQUES FINANCIERS EXTRÊMES par ABDOU KÉLANI Sous la direction de ARESKI COUSIN À L INSTITUT DES ACTUAIRES, Paris, 17 décembre / 28

2 2 / 28 OBJECTIF Gestion des contrats d assurance-vie Caractérisés par un lien explicite avec les marchés exposés aux risques financiers extrêmes en phase avec l actualité économique des derniers mois Ex : crise grecque ; ralentissement de l économie chinoise et des pays émergents ; dévaluation du yuan ; fraude de Volkswagen ; incertitude sur la conséquence d une hausse probable des taux par la Fed en décembre,... Problèmes posés aux assureurs : évaluation, couverture, contrôle et mesure de risque

3 3 / 28 ENJEUX Partout dans le monde, on assiste à un vieillissement de la population et à l épuisement des régimes de retraite Les VAs offrent des garanties sur des investissements faits dans le cadre de contrat d assurance vie : un complément de retraite ou de revenus alliant performance et sécurité Un double avantage pour les investisseurs : financer leur retraite (par exemple) en toute sécurité tout en profitant des avantages fiscaux

4 4 / 28 ENJEUX Succès important aux États-Unis : 140 milliards de dollars contrôlé à 94% par 20 compagnies - AXA US au 7ème rang système de retraite par capitalisation : appétence et sensibilisation aux risques financiers Succès faible en France et en Europe continentale Mais avec la dégradation du rapport démographique ( , 2011 {z } {z } ) et l augmentation du chômage en Europe {z } 1.33 explosion de ces ventes - à venir - en Europe continentale notamment en France.,

5 BUT : GESTION DES VARIABLE ANNUITIES (VAS) Impact des risques financiers extrêmes Gestion des VAs Tarification Fonds propres Tarification : fair fees (fair values) Évaluation Fonds propres Couverture Retour 5 / 28

6 6 / 28 Gestion des risques financiers ➊ Une méthodologie financière unifiée Méthodologie générale Analyse de Fourier Évaluation Couverture en présence des discontinuités des cours boursiers ➋ Utilisée pour une gestion approfondie des VAs Retour

7 7 / 28 Position initiale de l assuré Paiement d une prime investie dans un fonds dédié Supposons que ce fonds réplique le S&P 500 Modélisation du fonds Représentation des cours boursiers : non lognormaux car représentation lognormale suppose continuité et rentabilités gaussiennes de cours incapable de relever des faits observés : smile,...

8 Représentation des cours boursiers S = S 0 e X, avec X : processus de Lévy X processus à activité finie Diffusion : [Black and Scholes, 1973] que nous excluons Mixte de diffusion et sauts : [Merton, 1976], [Kou, 2002],... X processus à activité infinie Variance gamma : [Madan and Seneta, 1990] CGMY : [Carr et al., 2002],... À chaque processus de Lévy X est associée E[e iuxt ] = e tψ(u) Donc l élément clé de notre analyse est : ψ 8 / 28

9 Impact des discontinuités : smile de volatilités Merton Kou Volatilités implicites Volatilités implicites Strikes Maturités Strikes Maturités VG CGMY Volatilités implicites Volatilités implicites Strikes Maturités Strikes Maturités 9 / 28

10 10 / 28 Évaluation d options Considérons un dérivé européen (put ou call) dont le payoff en T est : g(x T ) Son prix P(S t, t) en AOA est : P(S t, t) = e rτ E Q [g(x T ) F t ] Suivant [Lewis, 2001], [Boyarchenko et Levendorskiĭ, 2000] P(S t, t) = 1 Z e iux e τ(r+ψ Q (u)) bg(u)du (1) 2π R+ib où bg(u) représente la transformée de Fourier de g : Z bg(u) = e iux g(x)dx (2) R Simplicité de mise œuvre : se prête à une implémentation par FFT Retour

11 Illustration : pour le modèle de Kou S 0 = 100, τ = 0.5, r = 5% σ = 0.16, λ = 1, λ 1 = 10, λ 2 = 5, p = 0.4 call put Strike Erreur Strike Erreur e e e e e e e e-15 Performance de calcul par FFT Modèles FFT (N = 4096) Merton, Kou, variance gamma, CGMY s Retour 11 / 28

12 12 / 28 Couverture d options Un assureur de richesse initiale : W t qui est vendeur d une option européenne de maturité T Pour se couvrir, il achète θ t stocks : Au temps t + t < T : W t+ t = P(S t+ t, t + t) + θ t S t+ t Quelle quantité optimale θ t? inf θ t E [ (W t+ t E[W t+ t F t ]) 2 F t ] (3) Résolution non-triviale : difficile dans un cadre non-gaussien Retour

13 Solution obtenue par Cont et al., 2007 θ t = P σ2 S (t, S t) S [P(t, S te x ) P(t, S t )](e x 1)ν(dx) σ (ex 1) 2 ν(dx) (4) Mise en œuvre compliquée : pour les processus de Lévy Car présence du terme : + P(t, Sex )ν(dx) quadrature très compliquée et lourde qu il faut adapter à chaque processus utilisé Exception : si X Merton, nous donnons une solution pour θ 13 / 28

14 14 / 28 Solution par FFT On montre (Eq. 30) que θ peut être réécrite où θ t = 1 e iux e τ(r+ψ Q(u))ĝ(u)B(u)du (5) 2πS R+ib B(u) = ψ(u i) + ψ(u) + ψ( i) ψ( 2i) + 2ψ( i) (6) Remarque Mise en œuvre simple : pour tout processus de Lévy

15 15 / 28 FFT vs Formule de Cont et al., 2007 Modèle de Merton σ = 0.2, λ = 1, m = 0.1, δ = 5%, τ = 0.5, K = 98, r = 5% call put Prix du sous-jacent Erreur Prix du sous-jacent Erreur e e e e e e e e-16 Performance : FFT En conclusion de cette partie : Méthodologie générale

16 Garanties offertes Rappel de notre but : But L engagement de l assureur est : (conditionnellement à t = γ) Par exemple : max(f γ, G γ ) = γ = min(date de décès, maturité) le plancher garanti G γ peut être F γ }{{} + max(g γ F γ, 0) } {{ } encours du fonds paiement d une option de vente K = à la prime initiale GMMB/GMDB (7) G γ = Ke uγ GMAB avec roll up max{k, F t1, F t2,..., F tn } GMAB avec ratchet Focus, par la suite, sur la présentation de la GMAB ratchet 16 / 28

17 Focus sur la garantie : GMAB avec ratchet Elle offre une option de protection du fonds et revalorisation du }{{} G par cliquet à des dates I = {t 1 < t 2 <..., t n 1 < t n = T } plancher Mécanisme : en tout t i I, t i < T Si F t i < G ti 1, alors F + t i = G ti 1 puis G ti est réinitialisée à F + protection dynamique du fonds Si F t i G ti 1, alors G ti = F t i et immédiatement après, F + t i est réinitialisé à G ti : revalorisation dynamique de la garantie Avantages : Protection du fonds & revalorisation de G γ : dynamiques t i : aux dates anniversaires I = {t 1 < t 2 <..., t n 1 < t n = T } 17 / 28

18 Focus sur la garantie : GMAB avec ratchet Épargne de l assuré Actif de référence Renouvellement à 5, 10 et 15 ans 200 Garantie initiale : G Scénario no 1 Scénario no Années 18 / 28

19 Focus sur la garantie : GMAB avec ratchet Propriétés de cette garantie L épargne de l assuré domine l actif de référence Évaluation difficile : les solutions cf. [Gerber and Pafumi, 2000], [Hardy, 2003], [Coleman et al., 2007] ne sont pas satisfaisantes. En notant que cette garantie est une path-dependent (double) : la garantie G γ dépend de la trajectoire suivie par F γ le fonds F γ dépend de la trajectoire suivie par G γ, nous obtenons (Eq. 9, Page 63) une formule explicite et générale pour l évaluation pour tout I = {t 1 < t 2 <..., t n 1 < t n = T } : combinaison curieuse et complexe de puts standards et notons ξ F0,m o,t la VAP de cette garantie 19 / 28

20 Tarification ➊ VAP de l engagement de l assureur Notée ξ F0,m o,t ➋ VAP de l engagement de l assuré La prime initiale investie dans le fonds est garantie. En contrepartie, l assureur prélève des fees au taux m o. Donc, l engagement de l assuré est le montant de ces fees Notons M&E(m o ) la VAP ➌ À l équilibre des engagements La fair fees est le taux m o solution de l équation ξ F0,m o,t = M&E(m o) 20 / 28

21 Rappel : Fonds Propres Requis Assureur = vendeur de garanties, i.e, puts complexes couverture P&L de duration longue et dont il faudra couvrir le G γ F γ pertes Couverture : Il peut construire un portefeuille dupliquant toutes les h-périodes en utilisant l allocation en θ erreur de couverture (contingente à la survie et au décès) et la notons HE, (Eq. 15, Page 68) 21 / 28

22 22 / 28 Fonds Propres Requis Ensuite on détermine les pertes futures actualisées L : L t = HE t + TC t t p x M t (8) M : margin offset HE : Hedging error C : coût de transaction M t = m o F t (9) TC t = CS t Ψ t Ψ t h La distribution de ces pertes permettra de déterminer les fonds propres requis

23 Ajustement des modèles aux données S&P 500 Constat des discontinuités : leptokurcité, asymétrie Kou Black & Scholes Densité Rendements Kou Black & Scholes Densité Rendements 23 / 28

24 L impact des risques financiers extrêmes sur les fair fees m o est ici limité : illusion de sécurité très dangereuse, car 24 / 28 ➊ Impact des risques financiers sur les fair fees Contrat : GMAB avec ratchet On considère (40 ans) Prime initiale investie de 100 r = 6% G 0 = 80% de la prime Fair fees Dates de Ratchet B&S Kou Dates de Ratchet Kou B&S {t 1 < t 2 < t 3 } mo mo (années) (bp) (bp) (2/12/22) (5/15/25) (10/20/30) {t 1 < t 2 < t 3 } mo (années) (bp) (2/12/22) 0.69 (5/15/25) 0.54 (10/20/30) 0.38

25 ➋ Impact des risques financiers sur les fonds propres Génération de scénarios : Monte carlo avec trajectoires, couverture : fréquence mensuelle (h = 1/12) ; C = 0.2% GMAB Ratchet : 2/12/22 ans α VaR α CTE α B&S Kou Kou - B&S B&S Kou Kou - B&S 95% % % (soit 37% B&S) (soit 32% B&S) Les risques financiers extrêmes exigent une immobilisation supplémentaire en capital de 37% en VaR ou de 32% en CTE 25 / 28

26 26 / 28 Merci de votre attention Kélani, A. (2015). Couverture optimale des Variable Annuities en présence de risques financiers extrêmes. Mémoire d Actuariat, disponible à :

27 27 / 28 Perspectives sur la Couverture Utilisation de portefeuilles d options liquides Kélani, A. and Quittard-Pinon, F. (2015). Pricing and Hedging Variable Annuities in a Lévy Market : A Risk Management Perspective. The Journal of Risk and Insurance, Forthcoming. Coleman, T. F., Li, Y., and Patron, M.-C. (2007). Robustly Hedging Variable Annuities with Guarantees Under Jump and Volatility Risks. The Journal of Risk and Insurance, 74(2) :

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