Développement polynomiaux et applications en théorie de la ruine

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1 Développement polynomiaux et applications en théorie de la ruine P.O. Goffard 1 - Pierre-Olivier.goffard.me 1 Axa France - Institut de Mathématiques de Marseille I2M Aix-Marseille Université Week-end Team Building, Novembre 2014

2 Sommaire Une courte introduction à la théorie de la ruine Une méthode d approximation et d estimation de la densité via un développement polynomial Approximation polynomiale de la probabilité de ruine ultime Estimation de la probabilité de ruine utime Extension à la dimension supérieure et application en réassurance Novembre 2014, Montpellier 2/24

3 Modèle de ruine classique Soit {R(t); t 0} le processus de réserve financière: où N(t) R(t) = u + pt U i, u est la réserve initiale, p est le montant des primes reçues par unité de temps, N(t) est un processus de Poisson simple d intensité β, {U i } i N est une suite de variables aléatoires positives, i.i.d., de fonction de répartition F U et de moyenne µ. Soit {S(t); t 0} le processus de surplus: i=1 S(t) = u R(t). η > 0 le chargement de sécurité définie par: p = (1 + η)βµ. Novembre 2014, Montpellier 3/24

4 Visualisation graphique du processus de ruine, Novembre 2014, Montpellier 4/24

5 Probabilité de ruine ultime La formule de Pollaczek-Khinchine Dans le cadre du modèle de ruine de Poisson composé, la probabilité de ruine peut s écrire: + ψ(u) = (1 ρ) ρ n FU n (u), I M D = n=0 N Ui I, F U I (x) = i=1 où N suit une loi géométrique de paramètre ρ = βµ p convolué n fois avec elle-même. F U I x 0 F U (y) µ dy, < 1 et FU n correspond à I Novembre 2014, Montpellier 5/24

6 Deux problèmes à l étude Approximation numérique Méthode récursive (Algorithme de Panger) Inversion de la transformée de Laplace (Fast Fourier Transform, Scaled Laplace transform, Maximum Entropy) Estimation sur la base d observation des montants de sinistres et de leur instant d arrivée Bricolage d estimateur non paramétrique Méthodes basées sur les moments Novembre 2014, Montpellier 6/24

7 Famille Exponentielle Naturelle Quadratique, Soit dp une mesure de probabilité admettant fonction génératrice des moments au voisinage de 0. {P m ; m M} definit une FEN générée par dp, telle que dp m (x) = exp(φ(m)x κ(φ(m)))dp(x). La fonction de variance est dite quadratique si: V(m) = am 2 + bm + c Les FENQ sont générées par six distributions: Normal Gamma Hyperbolic Binomiale Binomiale Négative Poisson Novembre 2014, Montpellier 7/24

8 Développement polynomial et troncature, Soit {Q n } base othonormale de polynôme par rapport à dp. < Q n, Q m >= Q n (x)q m (x)dp(x) = δ nm. Soit X une variable aléatoire de loi dp X L 2 (dp) alors dp X dp (x) = < dp X dp, Q n > Q n (x) = E(Q n (X))Q n (x). n N n N Novembre 2014, Montpellier 8/24

9 Plus simplement Si f X est la densité de X et f la densité associée à dp alors f X (x) = a k Q k (x)f (x). k=0 L approximation est obtenue par troncature K fx K (x) = a k Q k (x)f (x). k=0 La fonction de répartition par simple intégration K x FX K (x) = a k Q k (x)f (x)dx. k=0 Novembre 2014, Montpellier 9/24

10 A propos des coefficients du développement polynomial Q k est un polynôme d ordre k et par conséquent Q k (x) = k q j,k x j j=0 Ce qui implique a k = E(Q k (X)) = k [ ] q j,k ( 1) i di ds j L X(s) j=0 s=0 Placement produit La formule d approximation est en fait une formule d inversion numérique de la transformée de Laplace! Novembre 2014, Montpellier 10/24

11 Et si j ai de la grosse data! Soit X 1,..., X n un échantillon de taille n alors â k = 1 n n Q k (X i ) i=1 On plug dans la formule d approximation K f X K (x) = â k Q k (x) f (x) k=0 Placement produit Il s agit d un estimateur de la densité basé sur l estimation des moments! *Le chapeau sur le f, on en parle ou pas? Novembre 2014, Montpellier 11/24

12 Développement polynomial de la probabilité de ruine La mesure de probabilité associée à M = N i=1 UI i s écrit: Si dgm df + dp M (x) = (1 ρ)δ 0 (dx) + (1 ρ) ρ n dp n U (x) I L2 (P) alors: = (1 ρ)δ 0 (dx) + dg M (x). n=1 dg M dp (x) = < dg M dp, Q n > Q n (x). n N Ce qui donne pour la probabilité de ruine ultime: Quizz Time! ψ(u) = n N < dg M dp, Q n > + u Q n (y)dp(y). Novembre 2014, Montpellier 12/24

13 Choix de la FENQ dg M est une mesure de probabilité défaillante de support [0, + [. Parmi les FENQ, la seule supportée sur [0, + [ est générée par la loi gamma. dp(x) = e x/m x r 1 m r Γ(r) 1 R +(x)dλ(x) Polynômes orthogonaux Polynômes de Laguerre généralisés Quelle valeur pour {m, r} faut-il choisir pour vérifier la condition d intégrabilité mentionnée précedemment? ψ(u) e γu. où γ est l unique solution positive de l équation F U I (s) = 1 ρ {1/m < 2γ, r > 0} pour que ça marche. {1/m = γ, r = 1} pour que ça carbure! Novembre 2014, Montpellier 13/24

14 Illustrations numériques Novembre 2014, Montpellier 14/24

15 Illustrations numériques Novembre 2014, Montpellier 15/24

16 Inférence des paramètres du modèle de ruine, Nous disposons d un historique de sinistres U 1,..., U n, associés à des temps inter-arrivée T 1,..., T n. On suppose être dans le cadre d un modèle de Poisson composé. On estime l intensité du processus de poisson et la moyenne des sinistres λ = 1 n n T j, µ = 1 n n U j j=1 j=1 On décide du chargement de sécurité η et la prime se calcule p = (1 + η) λ µ Novembre 2014, Montpellier 16/24

17 Paramétrisation de la méthode Choix de la distribution de référence Dans le sillage de l approximation, il est naturel d opter pour f (x) = γe γx en guise de distribution de référence. γ est obtenu à l aide des données. Estimation des coefficients du développement On rapelle que a n = E(Q n (M)). On a besoin des moments de M = N i=1 UI i Ils s expriment en fonction des moments de N et de U I Les moments de N s expriment en fonction de ρ = λ µ p Les moments de U I s expriment en fonction de ceux de de U E(U I j ) = E(Uj+1 ) E(U) Novembre 2014, Montpellier 17/24

18 Modèle collectif bivarié avec choc commun, La charge totale de deux portefeuilles de contrats d assurance non vie sur une période d exercice s écrit où ( S1 S 2 ) = N j=1 ( U1j U 2j ) + ( N1 i=1 V i N2 i=1 W i ). (1) N, N 1 et N 2 sont des variables aléatoires de comptage indépendantes modélisant le nombre de sinistres. (U 1j, U 2j ) vecteurs aléatoires i.i.d. corrélés modélisant les montants des sinistres. {V i } et {W i } sont des séquences de variables aléatoires positives i.i.d. mutuellement indépendantes. Il s agit de deux portefeuilles associées à deux compagnies d assurance distinctes pour la même branche d activité. Novembre 2014, Montpellier 18/24

19 Le traité de réasurance Non Proportional Reinsurance Le réassureur propose aux deux cédantes un contrat de réassurance non proportionnelle de priorité b i et de portée c i avec i {1, 2}. Le Pay Off s écrit Min { (S i b i ) +, c i } La densité de (S 1, S 2 ) est nécessaire pour étudier le coût total pour le réassureur Z = Min { (S 1 b 1 ) +, c 1 } + Min { (S2 b 2 ) +, c 2 } On veut P(Z > z)! Novembre 2014, Montpellier 19/24

20 Développement polynomial bivarié Same thing Soit ν 1 et ν 2 deux mesures de probabilité appartenenant aux FENQ avec {Q 1 k } et {Q2 l } leur polynômes orthogonaux associés. f (S1,S 2)(x, y) = K k=0 l=0 NB: On passe sous silence quelques considérations Lien théorique avec les probabilités de Lancaster On peut encore faire des stats L a k,l Q 1 k(x)q 2 l (y)f ν1 (x)f ν2 (y), (2) Novembre 2014, Montpellier 20/24

21 Model settings Nombre et montant de sinistres N Neg Bin(a, p) et {a = 3; p = 1/3} (U 1i, U 2i ) GDBVE(α, ρ, µ 1, µ 2 ) et {α = 1; ρ = 1/4; µ 1 = 1; µ 2 = 1} N i Neg Bin(a i, p i ) et {a 1 = a 2 = 1; p 1 = p 2 = 3/4} V Exp(δ 1 ) et W Exp(δ 2 ) et {δ 1 = δ 2 = 1} Priorité et portée de la réassurance {b 1 = b 2 = 5; c 1 = c 2 = 10} Novembre 2014, Montpellier 21/24

22 A vos lunettes 3D Novembre 2014, Montpellier 22/24

23 Fonction de survie du coût pour le réassureur, Novembre 2014, Montpellier 23/24

24 Concluding remarks Executive Summary Une méthode d approximation et d estimation de la densité de probabilité assez péchu Facile à comprendre et à implémenter Limiter en l application à des distributions à queue légère C est quoi les bayes? Papier sur l approximation de la probabilité de ruine (soumis) Papier sur l extension au cas bivarié (soumission la semaine prochaine) Papier sur l estimation de la probabilité de ruine (en cours de rédaction) Projet de papier sur l approximation et l estimation des distributions composées Novembre 2014, Montpellier 24/24