Simulation numérique de l orientation de fibres en injection de thermoplastique renforcé

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1 17 ème Congrès Français de Mécanique Troes, septembre 2005 Simulation numérique de l orientation de fibres en injection de thermoplastique renforcé Abla Redjeb, Patrice Laure, Luisa Silva, Michel Vincent & Thierr Coupe * Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris, Centre de Mise en Forme des Matériaux BP Sophia Antipolis cedex Abla.Redjeb@ensmp.fr ** Institut Non-Linéaire de Nice, UMR 6618 CNRS-Université de Nice Sophia Antipolis, Valbonne Résumé : Nous présentons dans cet article une méthode de calcul permettant de déterminer l orientation des fibres pour le procédé de remplissage de pièces 3d par des thermoplastiques chargés. Cette méthode est implémentée sur la plateforme Rem3d. L orientation moenne des fibres est donnée par le tenseur d orientation défini comme le produit dadique du vecteur d orientation et est régie par une équation de transport issue du modèle de Folgar et Tucker [1]. Le couplage fluide-orientation est pris en compte via une équation constitutive visqueuse dépendante de l orientation des fibres. Les équations de transport sont traitées par une méthode de tpe Galerkin discontinu alors que les équations de la mécanique sont résolues par une méthode éléments finis mixtes. Dans cet article, nous analsons l influence du couplage pour différentes géométries. Abstract : We present a full three-dimensional finite element method to compute the flow motion and the fiber orientation in the injection molding process. This method is implemented in the Rem3d software package. The fiber orientation is described b a second order tensor and its evolution is given b the Folgar and Tucker equations. Moreover the coupling between flow and fiber orientation is taken into account b adding a fiber contribution to the extra stress tensor. The evolution equation is solved using a discontinuous Galerkin method, and the velocit field is computed b a classical mixed finite element technique. Coupling effect on the orientation state is analsed for different configurations. Mots-clefs : orientation, fibres, équations de fermeture, Galerkin discontinu, couplage rhéologique 1 Introduction Les matériaux composites, constitués de fibres de verre, d une matrice thermoplastique, et obtenus par un procédé d injection, sont largement utilisés dans l industrie. Ces matériaux présentent l avantage de pouvoir être mis en forme par les mêmes procédés que les thermoplastiques non chargés et ceci sans grande modification des outillages. Cependant, l écoulement dans les moules va conditionner la répartition locale, l orientation et la concentration des fibres. Or, l état d orientation final des fibres joue un rôle déterminant sur les propriétés mécaniques et phsiques de la pièce moulée. Afin de prédire le comportement thermomécanique des pièces moulées, il apparaît donc indispensable de contrôler, ou pour le moins de prévoir l orientation des fibres durant la phase de mise en forme. Cet article présente certains résultats obtenus avec la plateforme Rem3d (logiciel du Cemef initialement dédié à la simulation du procédé d injection de polmères thermoplastiques) auquel on a ajouté un module permettant de calculer l orientation des fibres et de prendre en compte le couplage fluide-orientation. Nous mettons principalement en évidence la possibilité de calculer l orientation des fibres à l interface fluide-air et l effet du couplage sur le champ de vitesse.

2 ( ( = / 17 ème Congrès Français de Mécanique Troes, septembre Les équations du problème Dans cette section, nous introduisons les équations nécessaires à la résolution du problème lié à l injection d un thermoplastique chargé. Il s agit de présenter dans les grandes lignes l équation qui régit l orientation des fibres ainsi que la loi de comportement qui permet de prendre en compte le couplage rhéologie et orientation. 2.1 L équation d évolution de l orientation des fibres Afin de décrire l état d orientation des fibres et par soucis de simplification, il est classique d utiliser les tenseurs d orientations et représentant la moenne spatiale du double et du quadruple produit tensoriel de p : p et p où p désigne le vecteur dirigé selon l axe principal de la fibre et p représente la fonction de distribution de l orientation [2]. L évolution de ces tenseurs, introduits par Advani et Tucker [3] est décrite par une équation d évolution issue du modèle de Folgar et Tucker [1] où l interaction hdrodnamique entre fibres est prise en compte via un terme faisant intervenir un coefficient analogue au coefficient de diffusion brownienne :! "$#%& ' ). %*& est un paramètre intrinsèque au matériau sans dimension et appelé coefficient d interaction. Ce modèle exprime les tenseurs d orientation et en fonction du tenseur de déformation ) v et du tenseur de rotation + v :! -, $ + v. / + v ) v6 17 ) v / # ) v8! 219#%& )( ' ;: /7< (1) Dans cette équation, )' est la vitesse de cisaillement généralisé, < désigne la dimension spatiale et 3 est une fonction qui dépend du rapport de forme de la fibre = (supposé constant pour toutes les fibres) : => Longueur de fibre Diametre de et 3A Afin d éliminer le tenseur d ordre 4 et de procéder à la résolution numérique de l équation (1), il est nécessaire de faire appel à une équation de fermeture qui permet d approximer le tenseur en fonction du tenseur. Il existe dans la littérature différentes variétés d équations de fermeture [4], [5] dont certaines sont maintenant implémentées dans Rem3d. Les équations de fermeture de tpe quadratique, linéaire et hbride sont formées par combinaison des produits de et du tenseur unité B alors que les équations de fermeture de tpes orthotropes et naturelle 2d font intervenir les invariants de. = Le couplage rhéologie orientation Afin de prédire au mieux l orientation des fibres, il est nécessaire de prendre en compte le couplage entre la rhéologie et l orientation. Il est donc indispensable d exprimer une loi de comportement spécifique aux composites chargés de fibres. Il existe dans la littérature diverses lois de comportement issues de théories différentes [2]. Nous avons choisi d implémenter une #

3 1,? / ^ 1 17 ème Congrès Français de Mécanique Troes, septembre 2005 loi de comportement issue de la théorie des corps élancés valable pour des suspensions semi diluées de fibres [6]. Cette loi de comportement est la somme de deux contributions : C contribution du fluide D EGF H :JI 19#LK ) v 1 contribution des fibres désigne la pression, K la viscosité de la matrice polmèrique alors que O D EMF H #NKPO ) v8 (2) est un paramètre rhéologique sans dimension représentant les contributions associées à l anisotropie dues aux fibres. Il existe dans la littérature différentes valeurs de O définies en tant que fonction dépendante du rapport de forme = et de la fraction volumique de fibres. Ces différentes expressions de O donnent lieu à différentes lois de comportement. Le tenseur d orientation est éliminé de l équation (2) en utilisant l équation de fermeture quadratique ( Q ;0R S T ). 3 Méthodes numériques Nous présentons brièvement dans cette partie les méthodes numériques emploées pour la résolution du problème régi par l orientation des fibres lors du procédé de remplissage. L algorithme de calcul fait appel à chaque itération en temps à différents solveurs : - résolution du problème en vitesse-pression par une méthode éléments finis mixtes [7]. Le tenseur d orientation est considéré connu et l orientation initiale UWVYX est isotrope, - résolution de l équation de Folgar et Tucker par une méthode éléments finis Galerkin discontinu [8]. L orientation initiale est également isotrope, - déplacement du front de matière après résolution de l équation de transport de la fonction caractéristique, associée au domaine fluide. 3.1 La méthode Galerkin discontinu appliquée au problème de l orientation de fibres Pour la résolution de l équation d évolution de l orientation, nous avons utilisé pour le schéma spatial une technique éléments finis Galerkin discontinu. Le schéma temporel est basé sur une méthode éléments finis espace-temps discontinu de haut degré en temps [8]. La discrétisation en espace des tenseurs d orientation utilise l élément fini Z[X. ^ défini par : Si nous introduisons l espace d approximation \5] U \ ^] U `_Ya ^cb + ] U edsa ^Yfg b ZhTjiW,; d,; lkmgnopqz X g ed;r g b + ] ^ts U où +t] U désigne le domaine espace temps et g 6 g p.iw,; d,; lkmn représente l élément fini spatiotemporel. En se réferant à l espace fonctionnel introduit précédemment, la formulation faible discrète associée à l équation d évolution de l orientation s écrit: Trouver ^ b \ ] ^ U tel que r6u b \Q] U Yv wwx { ^ u + ] U 1 Tv wwx ^ # Yv wwx - }~ 143 ~A ^ u + ] U 1 1 ˆ3 / v wwx ~A v wwx - Ž #q / 3 ~ u + ] U 19#3 %& )( ' ^ u + ] U / 1ƒ3 ^ u + ] U ~A v wwx ) vš8t ^Œ ^ u + ] U > v wwx - %& )( : I ' Ž u + ] U (3)

4 Ÿ } Z, 17 ème Congrès Français de Mécanique Troes, septembre 2005 La formulation variationnelle de l équation (1) conduit à la résolution d un sstème linéaire où le vecteur inconnu est constitué sur chaque élément fini des 6 composantes du tenseur d orientation (le tenseur est smétrique). 3.2 La méthode éléments finis mixtes appliquée au problème mécanique Dans le domaine fluide +, nous avons choisi d utiliser une méthode éléments finis mixtes (discrétisation par le MINI-élément Z k ) pour la résolution du problème en vitesse-pression [7]. Si nous considérons que le thermoplastique chargé de fibres est un matériau incompressible et que les forces de masse et d inertie sont négligeables devant les forces visqueuses alors la formulation variationnelle des équations de conservation de la masse et de l équilibre s écrivent: trouver u^ v v^ b^ d p^ rš w^ d q^ appartenant aux espaces fonctionnels v habituels [7] tel que : v #NK ) u^ 21ƒO ) u^ 8T ^Œ ^M 8 ) w^. +t / p^* w^ +t R } (4) q^* u^ +t [ 3.3 L évolution de la surface libre L évolution du domaine v fluide est calculée ici à l aide d une méthode de tpe VOF (Volume of fluid) basée sur une approche de tpe Galerkin discontinu (GD). Pour cela, on utilise une fonction caractéristique v de la région fluide + définie dans tout le domaine + [8]. L approche est eulérienne et l approximation GD de la fonction caractéristique fait apparaître justement le taux de remplissage de chaque élément fini : ^ ^ f š fgœ +t f fg7f (5) L évolution du domaine fluide est alors donnée par la résolution d une équation de transport : -, ^ 1 v ^ } (6) Une fois la fonction caractéristique calculée, il suffit simplement d intégrer les équations (1) et (2) sur tout le domaine de calcul en pondérant chaque terme par la fonction de présence. 4 Simulation numérique et discussions L objectif des simulations présentées est de montrer qu il est possible actuellement de calculer à l aide de Rem3d l orientation des fibres dans le cas d un procédé d extrusion ou d injection. L orientation des fibres a été représentée sur les figures (1) et (2) par des ellipsoïdes, et ses axes principaux donnent la probabilité de trouver la fibre orientée dans cette direction. Pour les deux simulations proposées, les fibres ont un rapport de forme constant = et l orientation initiale est isotrope. Nous avons considéré un coefficient d interaction de ž et les équations de fermetures sont quadratiques. Le premier exemple concerne un cas d extrusion d une plaque rectangulaire 2d de dimension sur #. L écoulement considéré est un écoulement de tpe Poiseuille à débit constant. Nous avons lancé plusieurs simulations faisant intervenir des valeurs de O croissantes, ce qui peut signifier que l on augmente la fraction volumique de fibres. La figure (1) montre l influence du couplage sur les résultats en orientation et en vitesse.

5 17 ème Congrès Français de Mécanique Troes, septembre 2005 Np = 0 Np = 10 Np = 20 Np = 30 Np = 40 Np = 50 Np = 100 Np = 300 Np = 1000 x ( A ) ( B ) FIG. 1 Un écoulement de poiseuille 2d. (A) : évolution de la composante Q e du tenseur d orientation, (B) : profil de vitesse dans l épaisseur à mi-chemin entre l entrée et la sortie. La présence des fibres perturbe le profil de vitesse comme si le fluide était pseudoplastique : le profil de vitesse s aplatit. Parallèlement, le couplage fait apparaître une one centrale où les fibres s orientent partiellement dans une direction perpendiculaire à la direction d écoulement. x ( A ) : Coupe à mi épaisseur de la pièce ( B ) ( C ) FIG. 2 Orientation des fibres à trois instants du remplissage. (A) : évolution de la composante e du tenseur d orientation, (B) : orientation des fibres dans l épaisseur, au front de matière, (C) : géométrie de la pièce. Le deuxième exemple présente le remplissage d une pièce 3d (Figure 2 C) avec l évolution de la surface libre (Figure 2). Le paramètre rhéologique O est nul dans ce calcul (pas de couplage). L équation de l orientation est résolue dans tout le domaine. Nous imposons que l orientation est initialement isotrope dans la partie vide (sphère). Nous pouvons observer que : - la composante T e du tenseur d orientation est plus élevée proche des parois, où le cisaillement atteint sa valeur maximale : les fibres s orientent majoritairement dans la di- Ÿ

6 17 ème Congrès Français de Mécanique Troes, septembre 2005 rection de l écoulement (Figure 2B), - les fibres s orientent perpendiculairement à l écoulement près de la surface libre (effet fontaine), - nous constatons que les fibres, au niveau des surfaces de resoudure, sont orientées parallèlement à cette surface ce qui explique la faiblesse mécanique connue de ces ones. 5 Conclusion Nous avons proposé une méthode de calcul se basant sur une technique éléments finis Galerkin discontinu pour la résolution de l orientation des fibres. Cette méthode est couplée avec une technique éléments finis mixtes, pour la résolution en vitesse pression des équations de tpe stokes généralisés incompressible qui représentent bien l écoulement de fluide très visqueux des polmères fondus. Les exemples proposés ont permis de montrer que la simulation numérique 3d de l injection de thermoplastiques chargés de fibres est aujourd hui possible et que la prise en compte du couplage rhéologique est nécessaire pour l amélioration de la prédiction de l orientation des fibres. Les perspectives incluent une corrélation entre le code de calcul Rem3d et les résultats expérimentaux. Des améliorations restent à effectuer, tant au point de vue phsique (prise en compte de la pseudoplasticité de la matrice polmèrique), que sur le plan numérique (possibilité de prendre en compte plusieurs populations de fibres). Cette étude s inscrit dans le cadre du projet Rem3d Consortium Fibre avec comme partenaires industriels : Arkema, Plastic Omnium, Schneider Electric ainsi que Transvalor, entreprises que nous remercions Références [1] F.P. Folgar and C.L. Tucker. Orientation behavior of fibers in concentrated suspensions. J.Reinforced plastics Compos., 3:98 119, [2] J. Aaie, K. Chiba, F. Chinesta, and A. Poitou. State-of-the-art on numerical simulation of fiber-reinforced thermoplastic forming processes. Arch. Comput. Meth. Engng., 9: , [3] S.G. Advani and C.L. Tucker. The use of tensors to describe and predict fiber orientation in short fiber composites. J. Rheol., 31: , [4] S.G. Advani and C.L. Tucker. Closure approximations for three-dimensionnal structure tensors. J. Rheol, 34: , [5] J.S. Cintra and C.L. Tucker. Orthotropic closure approximations for flow-induced fiber orientation. J. Rheol, 39: , [6] C. L. Tucker. flow regimes for fiber suspensions in narrow gaps. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 39: , [7] T. Coupe. Stable-stabilied finite element for 3d forming calculation. Cemef, internal report, [8] S. Batkam, J. Bruchon, and T. Coupe. A space time discontinuous galerkin method for convection and diffusion in injection moulding. International Journal of Forming Processes, 2003.