Le Bulletin du CRM. crm.math.ca. The Fall 2010 CRM Thematic Semester Geometric, Combinatorial and Computational Group Theory

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1 Le Bulletin du CRM crm.math.ca Automne/Autumn 2009 Volume 15 N o 2 Le Centre de recherches mathématiques The Fall 2010 CRM Thematic Semester Geometric, Combinatorial and Computational Group Theory by Olga Kharlampovich and Nicholas Touikan (McGill University) In the Fall of 2010 a CRM Thematic Semester will be devoted to geometric, combinatorial and computational group theory. The organizers of this semester are Olga Kharlampovich (McGill), Alexei Miasnikov (McGill), Benson Farb (Chicago), Luis Ribes (Carleton), Mark Sapir (Vanderbilt), and Efim Zelmanov (UC San Diego). The study of infinite discrete groups from an intrinsic viewpoint has been a very fruitful pursuit. A discrete group can be presented in terms of generators and relations, and thus identified to a collection of words with a concatenation operation and rewriting rules. Techniques such as free constructions and small cancellation theory use geometry to describe and control the ways in which cancellation can occur and have enabled us to construct instances of groups with surprising properties (underlining the richness of the theory) such as Tarski monsters, or a finitely presented group in which every recursively presentable group embeds. These techniques are still evolving and have, for example, recently yielded deep results about finiteness and separability properties for groups. Also, by using the word metric, we can turn a finitely generated group into a metric space. Although this may seem somewhat trivial, since the 1980 s this approach has proved itself time and time again to be very powerful and serves as the starting point for the exciting field of geometric group theory, where large scale metric conditions such as Gromov hyperbolicity give us extremely useful and definitive algebraic, dynamical, and algorithmic properties, and where asymptotic constructions enable us to pass from discrete spaces to continua whose large-scale topological properties reveal deep algebraic and structural information about the original groups. Algorithmic problems also arise naturally over groups: giving a group a recursive presentation automatically turns it into an algorithmic object. On one hand, group theory is rich enough to encode any algorithmic problem. On the other hand, considering algorithmic problems over groups means looking at the infinite set of inputs as a highly structured and homogeneous object equipped with a rich geometry. This viewpoint has allowed us to prove algorithmic complexity results rigorously and to get upper and lower bounds on running times that hold uniformly on large (i.e. generic) sets of inputs. The Thematic Semester will be devoted to developments in group theory and will focus on geometric, algorithmic, and asymptotic questions and practical applications, especially cryptography. The semester will bring together people from various branches of group theory and computer science, to work on some of the many open questions in the field (now

2 being studied from fresh and promising perspectives) and to strengthen the connections between this field and other branches of mathematics. The Thematic Semester will include five workshops covering related themes, as well as minicourses, lectures by the Aisenstadt Chairs Yuri Gurevich (Microsoft Research), Angus MacIntyre (Queen Mary College, University of London), and Alexander Razborov (Chicago), and Lectures at the Leading Edge by Alex Lubotzky (Hebrew University) and Efim Zelmanov. The first workshop will take place on August 15 19, 2010, and is entitled Geometric, Asymptotic, Combinatorial Group Theory with Applications (GAGTA). It will be organized by Olga Kharlampovich, Mark Sapir (Vanderbilt), Nicholas Touikan, and Enric Ventura (Universitat Politècnica de Catalunya) and devoted to the study of a variety of topics in geometric and asymptotic group theory, with special emphasis on statistical methods and their applications (in theoretical cryptography). The organizers plan to gather leading specialists in various aspects of geometric, asymptotic, and algorithmic group theory. More specifically, these aspects include quasiisometries, isoperimetric functions, growth, asymptotic invariants, random walks, algorithmic problems, etc. This conference will be the fourth in a series of GAGTA conferences. The previous ones were held in Manresa (Spain) in 2006, Dortmund (Germany) in 2007, and New York (USA) in The GAGTA workshop will also concentrate on some new aspects of solvable groups. For a long time, algorithmic results on solvable groups were the real pearls of combinatorial group theory, revealing remarkable relations between this field and computational commutative algebra and number theory. It seems fitting to look again at the general classes of solvable groups, but this time from asymptotic, geometric, and computational perspectives. The Lectures at the Leading Edge (by Alex Lubotzky and Efim Zelmanov, respectively) and two mini-courses will be associated to the GAGTA workshop. The first course, on asymptotic cones, will be given by Denis Osin (CUNY) and Mark Sapir, and the second one, on quasiisometric rigidity, by Alex Eskin (Chicago). The second workshop will take place on August 23 27, 2010, and is entitled Topics in Algorithmic and Geometric Group and Semigroup Theory. It will be organized by Olga Kharlampovich, Robert Gilman (Stevens Institute of Technology), Alexei Miasnikov, Benjamin Steinberg (Carleton) and Nicholas Touikan. As it has grown over the past 20 years, geometric group theory has developed many different facets, including perspectives from geometry, topology, analysis, and logic. The new, more geometric, perspectives have enabled rapid progress on many of these fronts. A tremendous solidification of previously disparate results has also occurred. In algorithmic group theory, in recent years, more and more interconnections between computer science and classical group and semigroup theory have been discovered. Automata theory has motivated the definition of new classes of groups, for instance, automaton groups and automatic groups. Techniques from rewriting theory, data compression, and automata theory are used to solve more efficiently word problems and other computational problems in (semi)group theory. The program of this workshop will capitalize on the recent surge of activity in both areas. Sergei Matveev (Cheljabinsk State University) will give a mini-course on algorithmic topology, and Benjamin Steinberg and Denis Serbin (Geneva) a mini-course on membership problems in groups. The third workshop will take place between August 30 and September 3, 2010, and is entitled Complexity and Groupbased Cryptography. It will be organized by Robert Gilman, Alexei Miasnikov, Vladimir Shpilrain (CUNY), and Alexander Ushakov (Stevens Institute of Technology). Building a solid mathematical foundation for the use of infinite groups in cryptography inevitably entails operating with various asymptotic and statistical aspects of infinite groups, and this is where modern group theory finds its important applications. One of the goals of this workshop is to foster exchanges between mathematicians working on the theoretical end of cryptography and the leading practitioners in government, finance and industry, so that each community can be more aware of the other s basic assumptions and priorities. The organizers plan to invite specialists in group and number theory, computer science, and cryptography. In particular, they will invite several computer scientists and cryptographers whose research is focused on complexity of algorithms and/or on cryptography based on (non-abelian) groups; their goal in doing so is to stimulate the exchange of ideas and methods between these areas and geometric and asymptotic group theory. Robert Gilman and Alexei Miasnikov will give a minicourse on algorithmic group theory and Vladimir Shpilrain and Alexander Ushakov a mini-course on probability distributions on infinite groups. The Aisenstadt Chairs Yuri Gurevich and Angus MacIntyre will give their Aisenstadt Chair lectures during this workshop. The fourth workshop, organized by Olga Kharlampovich, Alexei Miasnikov, and Denis Serbin, will take place on October 4 9, 2010; it is entitled Group Actions and Dynamics. In his seminal book, Trees, Serre laid down the fundamentals of the theory of groups acting freely on simplicial trees. In the following decade Serre s novel approach unified several geometric, algebraic, and combinatorial methods of group theory into a unique and powerful tool, known today as Bass Serre theory. Topologists became interested in R-trees with the work of Morgan and Shalen (1985), which generalized parts of Thurston s Geometrization Theorem. A joint effort of several researchers culminated in a description of finitely generated groups acting freely on R-trees, which is now known as Rips theorem. The key ingredient of the theory is the so-called Rips machine. The idea of the Rips machine comes from Makanin s algorithm (or elimination process) for solving equations in free groups. (continued on page 4) BULLETIN CRM 2

3 crm.math.ca Le prix CRM-SSC 2009 Hugh Chipman (Université Acadia) Le prix CRM-SSC est commandité conjointement par le CRM et la Résumé de la conférence du professeur Hugh Chipman Société statistique du Canada. En 2009, ce prix a été décerné à Hugh de Mylène Bédard (Université de Montréal) Chipman pour des contributions exceptionnelles à l inférence statisvendredi le 16 octobre 2009 tique bayésienne non paramétrique et à la régression non paraméeut lieu la présentation antrique par ondelettes, pour ses extensions de techniques statistiques nuelle du lauréat du prestibasées sur les arbres de classification et de régression et ses innovagieux prix attribué conjointetions en analyse discriminante et de regroupement, pour sa recherche ment par le CRM et la SSC. interdisciplinaire en bioinformatique et en apprentissage automatique Cette année, le professeur ainsi que pour la formation d étudiants aux cycles supérieurs. Hugh Chipman de l UniverHugh Chipman obtint son baccalauréat en mathématiques de l Unisité Acadia était l heureux réversité Acadia en 1990 et sa maîtrise et son doctorat en statistique de cipiendaire de ce prix et pour l Université de Waterloo (en 1991 et 1994, respectivement). Sa thèse ma part, je faisais partie de de doctorat fut rédigée sous la direction de C. F. J. Wu et M. S. Ha- l auditoire qui allait avoir la chance d assister à cette présenmada. Il fut ensuite nommé professeur adjoint à la Graduate School tation. La foule s y est présentée nombreuse, avec une bonne of Business de l Université de Chicago, et après un séjour de trois soixantaine d auditeurs provenant de différents domaines de ans à Chicago, il retourna à l Université de Waterloo, où il passa sept spécialisation. Le directeur du CRM, Peter Russell, a accueilli ans comme professeur adjoint et professeur agrégé. En 2004, Hugh la foule en soulignant les contributions du professeur Chipman Chipman obtint une Chaire de recherche du Canada de niveau 2 en au domaine de la statistique, ainsi qu aux domaines connexes modélisation mathématique à l Université Acadia, où il devint pro- tels la biostatistique et l apprentissage automatique. Ceci a oufesseur titulaire en En 2002, il fut professeur agrégé visiteur à vert la voie à une présentation sympathique, honnête, et surl Université Stanford. tout très intéressante du professeur Chipman. L auditoire était intéressé et les interventions ont été nombreuses, garantissant Depuis l obtention de son doctorat il y a 15 ans, le professeur Chipune présentation des plus interactives. man a apporté des contributions exceptionnelles à l application de l inférence statistique bayésienne en analyse des données. Ses travaux Le séminaire portait sur l apprentissage statistique avec arbres, sur la sélection bayésienne de variables en planification d expériences, un domaine qui a bénéficié énormément des contributions du sur le paradigme bayésien pour la régression non paramétrique par professeur Chipman. Plutôt que d expliquer les détails de cette ondelettes et sur une approche bayésienne pour la modélisation CART approche, le professeur Chipman a donné l idée générale sous(arbres de classification et de régression) sont fondamentaux. Ses ar- jacente à cette méthode et a partagé son intuition avec nous. ticles sont largement cités et ont un impact profond sur le développe- Grosso modo, ce séminaire traitait des recherches qu il a effecment de l analyse non paramétrique de données à l aide de techniques tuées au cours des quinze dernières années. qui utilisent l ordinateur de façon intensive. En 2006, ses travaux Les arbres peuvent être utilisés en modélisation statistique, ont été choisis pour une présentation orale complète au congrès anc est-à-dire pour reproduire la distribution de laquelle pronuel NIPS (Neural Information and Processing Systems). vient un jeu de données. Lorsqu un seul arbre est insuffile développement de l approche bayésienne selon le modèle CART est sant pour modéliser un jeu de données de manière efficace, une des réalisations majeures du professeur Chipman ; il a influencé le il est possible d avoir recours à plusieurs arbres ou à une fodomaine en pleine expansion des méthodes non paramétriques bayé- rêt d arbres. La modélisation statistique par arbres peut être siennes. En particulier, alors que le partitionnement récursif original comparée à une modélisation de régression, mais constitue de l approche CART était au départ un outil d analyse exploratoire de une méthode plus flexible que cette dernière. Supposons que données, il l a prolongé pour en faire un modèle, a développé des lois nous ayons un vecteur de n réponses y et que pour chaque vade probabilité a priori pour l espace de tous les modèles CART et a en- riable réponse, nous possédions p variables explicatives dénosuite mis en œuvre l approche MCMC (méthode Monte-Carlo basée tées x = ( x1,..., x p ). Nous supposons également que chaque sur des chaînes de Markov) pour calculer la loi a posteriori. D impor- variable réponse peut être obtenue à partir du modèle suitantes contributions suivirent, telles que la modélisation bayésienne vant : y = f (x) + ε, où la fonction explicative f et la distripar arbres et les arbres de régression bayésienne adaptative, un mo- bution du terme d erreur (dénoté ε) sont inconnues. Plutôt que dèle bayésien d apprentissage d ensemble qui s est révélé remarqua- d utiliser la régression afin de modéliser les variables réponses blement puissant pour la recherche de structures de petite dimension en terme des variables explicatives, il est possible de se serdans des données de grande dimension. vir d un arbre, qui est un modèle de partitionnement récursif. (suite à la page 4) Louis-Paul Rivest (Université Laval) Président du comité du prix CRM-SSC BULLETIN CRM 3

4 Fall 2010 (continued from page 2) Actions on R-trees effectively cover all Archimedean actions, since every group acting freely on a Λ-tree for an Archimedean ordered abelian group Λ acts freely also on an R-tree. The case of non-archimedean free actions is wide open. Bass studied finitely generated groups acting freely on a (Λ Z)-tree with respect to the lexicographic order on Λ Z. Recently, Guirardel studied finitely generated groups acting freely on an R n -tree (with the lexicographic order). The main problem of the Alperin Bass Rips program, however, which asks for a description of finitely generated groups acting freely on Λ-trees, remains largely unsolved. One of the main goals of this workshop is to focus on the various approaches to this problem. In particular, the participants are going to study relations between the Makanin Razborov elimination process and symbolic dynamics, especially the methods of interval exchange theory. Another goal of the workshop will be to develop newly discovered connections between dynamical systems and the theory of groups acting on rooted trees. On the one hand, conformal dynamical systems yield a rich source of such groups, which have interesting algebraic, geometric, and spectral properties. On the other hand, such groups can be shown to yield conformal dynamical systems with remarkable geometric and measure-theoretic regularity. This connection is established by means of the theory of Gromov hyperbolic spaces. During this workshop, Mladen Bestvina (Utah) will give a mini-course on groups acting on R-trees, and Volodymyr Nekrashevich (Texas A&M) a mini-course on branch groups. The last workshop, organized by Olga Kharlampovich, Alexei Miasnikov, Ilya Kazachkov (Omsk), and Vladimir Remeslennikov (Omsk), is entitled Equations and First-order Properties in Groups and will take place on October 11 15, Solving equations is one of the main topics in mathematics. A more general and more difficult problem is to describe which formulas of first-order logic hold in a given group. Recent works on the Tarski s problems (Kharlampovich, Miasnikov, Sela) have opened a new direction of research called algebraic geometry over groups. The participants will discuss some methods and techniques used for the solution of these problems and developments in the algebraic geometry over groups, Lie Algebras, and other algebraic systems. Another research avenue is the theory of fully residually free and residually free groups. Finitely generated fully residually free groups (limit groups) play a crucial role in the theory of equations and first-order formulas over a free group. It is remarkable that these groups, which have been widely studied before, turn out to be the basic objects in newly developing areas of algebraic geometry and model theory of free groups. (continued on page 16) Hugh Chipman (suite de la page 3) La construction d un arbre consiste à déterminer plusieurs conditions portant sur les différentes variables explicatives et à associer à chaque ensemble de conditions une valeur spécifique de la variable réponse y. Le nombre de conditions, l ordre des conditions et les conditions elles-mêmes sont des éléments cruciaux pour la performance de la méthode. Comme pour la régression, la parcimonie est très importante dans la construction d arbres : il faut trouver un compromis entre le nombre de branchements (les interactions entre les variables explicatives) et la précision du modèle. Pour ce faire, de très grands arbres sont habituellement construits et sont par la suite élagués par validation croisée. Lorsqu on applique cette méthode, l inclusion de toutes les variables et interactions significatives est assurée. Dans un premier temps, une partie des données est utilisée pour construire les différentes branches de l arbre ; dans un deuxième temps, le reste des données est prédit à l aide du modèle construit. Les arbres peuvent constituer une option non paramétrique intéressante dans un contexte d inférence statistique. Le professeur Chipman utilise une approche bayésienne objective afin de sélectionner le modèle le plus adéquat pour un jeu de données. Un arbre étant défini par sa structure (branchements, conditions, ordre des conditions) ainsi que par la valeur de chacun de ses noeuds terminaux (c est-à-dire la valeur attribuée à y pour un ensemble de conditions données), une probabilité a priori est associée à chaque arbre. La probabilité a posteriori de chaque arbre, c est-à-dire la probabilité de chaque arbre étant donné les réponses y, est ensuite calculée. Le défi est d identifier les arbres ayant une probabilité élevée a posteriori, ce qui peut être réalisé à l aide de méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov. Lorsqu un seul arbre ne donne pas un modèle adéquat, il est possible d avoir recours à une forêt d arbres, c est-à-dire une combinaison linéaire d arbres, afin de modéliser un jeu de données. Dans le cas où le vecteur y est donné par la formule y = f (x) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + ε (par exemple), la modélisation par un seul arbre nécessite un grand arbre avec plusieurs branches. Ceci illustre donc le fait qu un arbre peut facilement modéliser les interactions, mais plus difficilement les modèles de type additif. La solution à ce problème est de recourir à plusieurs petits arbres ; par conséquent, une forêt d arbres peut être utilisée aussi bien pour les modèles avec interactions que pour les modèles additifs. La modélisation statistique par arbres permet non seulement de suggérer un modèle pour les données considérées, mais aussi de répondre à plusieurs questions spécifiques et de relaxer les hypothèses utilisées habituellement en régression. Par exemple, les arbres sont des instruments très utiles pour la (suite à la page 12) BULLETIN CRM 4

5 CRM Thematic Program on Probabilistic Methods in Mathematical Physics by John Harnad (CRM and Concordia University) 1. Introduction and overview This was one of the most ambitious CRM thematic programs ever held, covering a full year of activities, the first workshop beginning on June 2, 2008 and the last one ending on June 13, Preparatory courses for this thematic year were already in progress as of January It was also carefully correlated with the joint CRM PIMS joint program Challenges and Perspectives in Probability, which took place in the period May September The idea of a thematic program in Mathematical Physics was originally proposed in September 2005 by myself, as CRM Mathematical Physics Laboratory Director. This evolved, after careful outside consultation by then CRM Director François Lalonde, solicitation of proposals, input from a variety of sources, and joint discussions, into the Thematic Program on Probabilistic Methods in Mathematical Physics. Actual planning of the program began in early May 2006, with the selection of the Program Coordinators: Pavel Bleher (IUPUI), John Harnad (Concordia and CRM) and Steve Zelditch (Johns Hopkins). The full scientific committee of eleven members was assembled by the end of June 2006, at which time John Harnad assumed the role of Chairman of the Scientific Committee. Discussions also began in June regarding the detailed content of the thematic year, the topics of workshops and the potential organizers; coordination discussions with the organizers of the joint CRM PIMS 2009 program (Gordon Slade and David Brydges) also took place in the same period. The proposed workshop organizers were invited to submit detailed proposals in August In September 2006 the Aisenstadt Chairs were selected and discussions took place regarding the possible theme of the Séminaire de mathématiques supérieures (SMS). The submitted program for the Thematic Year was approved by the CRM International Scientific Advisory Committee in October During the subsequent year the actual planning for all 2008 workshops was carried out and the invitation lists prepared. In September 2007 two grant applications to the NSF were prepared and submitted, one (in mathematics) by Pavel Bleher and another (in physics) by Steve Zelditch. In October a further grant application, to help support distinguished long-term visitors, was prepared and submitted to the Clay Institute. Further funding to help support long-term visitors was approved in October 2007 by the CRM Mathematical Physics Laboratory. The program coordinators were assisted in the overall planning by the other members of the International Scientific Committee. This consisted of four Canadians (John Harnad, Pavel Winternitz and Yvan Saint-Aubin, both from CRM and the Université de Montréal, and David Brydges, from PIMS and the University of British Columbia), four researchers from the United States (Craig Tracy, from the University of California, Davis, Pavel Bleher, Charles Newman, from the Courant Institute, and Steve Zelditch), and three researchers from Europe (Jean-Bernard Zuber, from the Université Pierre et Marie Curie in Paris, Alice Guionnet, from the ENS in Lyon, and Herbert Spohn, from the Technische Universität München). Coordination with the CRM PIMS Joint Thematic Program Challenges and Perspectives in Probability was the responsibility of Yvan Saint-Aubin and David Brydges, who were on the scientific committees of both programs. The purpose of the Program on Probabilistic Methods in Mathematical Physics was to represent the state of the art in several currently very active areas of research within this broad domain, emphasizing the interactions between them. Besides providing a vehicle for communicating the most significant new research results in these areas, the principal objectives included: 1) giving an opportunity for cross-fertilization between the different specialties represented; 2) stimulating new ideas through such cross-fertilization; and 3) providing an environment in which young researchers might learn about and be encouraged to contribute to the exciting new developments in these domains. The program consisted of: ten research workshops between June 2008 and June 2009, each lasting one week, grouped so as to maximize constructive interactions between them; three Aisenstadt Chair lecture series coordinated with the workshops; twenty-three visits by long-term visitors staying at the CRM for durations of between two and ten weeks; several preparatory lecture courses for advanced graduate students and young researchers on topics related to the workshops; and five postdoctoral research fellowships for young mathematicians based at the CRM, working within the Mathematical Physics group during the program year (June 2008 June 2009). A further meeting on Random Matrices took place at the Banff International Research Station (October 5 10, 2008). Note that many participants in the Thematic Year were also involved in two further CRM based events that took place in June 2008: the 2008 Summer School (Séminaire de mathématiques supérieures) entitled Symmetries and Integrability of Difference Equations (June 9 21, 2008) and the SIDE 8 International Conference with the same title, which took place in Sainte- Adèle (June 22 28, 2008). The following describes in some detail the varied components of the Thematic Year. Much of the detailed descriptions below is based on summaries provided by the various events organizers, who are gratefully acknowl- BULLETIN CRM 5

6 edged both for their input and the excellent work they did to ensure that the events were of a very high scientific calibre. 2. Preparatory courses Three Special Preparatory Courses were offered at the CRM in 2008 as part of the CRM Thematic Program. The first, entitled Introduction to Tau functions and their applications, was given by John Harnad and lasted throughout the semester (from January to May 2008), with two further lectures given by Marco Bertola (Concordia and CRM). The second, entitled Modèles statistiques en deux dimensions, théorie des champs conformes, et équation de Schramm-Loewner, was given by Yvan Saint-Aubin twice weekly from January to April The third course, entitled Random Matrices and Exactly Solvable Models of Statistical Mechanics, was given by Pavel Bleher, one of the Coordinators of the Thematic Year (August and September 8 25, 2008). 3. Thematic Program workshops The following summarizes the content of the ten Thematic Program workshops that took place between June 2008 and June Mathematical Aspects of Quantum Chaos (June 2 7, 2008) The scientific organizers were: N. Anantharaman (Centre de Mathématiques Laurent Schwart École Polytechnique), S. Nonnenmacher (CEA-Saclay), Z. Rudnick (Tel Aviv) and S. Zelditch (Johns Hopkins). There were a total of 48 registered participants. The twenty-six speakers represented the broad orientations that are current in the domain of Quantum Chaos: the Picture by André Voros problem of unique quantum ergodicity; quantum graphs; spectral statistics and connections with random matrices; resonances and diffusion; zeros of eigenfunctions; weakly chaotic systems; arithmetic aspects; and numerical aspects. The speakers approached the subject from various points of view; some were more mathematical and others more physical. These differing points of view often gave rise to animated discussions at the end of the sessions. New questions were formulated by the physicists to be considered by the mathematicians, and vice versa. The participants made good use of the pauses between the sessions to engage in discussions. The numerous young participants especially benefited from these discussions and debates. There were also six poster presentations in the coffee room during the course of the workshop. The interested reader can find a more detailed account of this workshop in the Fall 2008 issue of Le Bulletin du CRM Integrable Quantum Systems and Solvable Statistical Mechanical Models (June 30 July 5, 2008) The scientific organizers were: A. Its (IUPUI), M. Jimbo (Tokyo), J.-M. Maillet (ENS, Lyon) and B. Nachtergaele (UC Davis). The number of registered participants was 68. During the last few years, various new developments have taken place in the field of quantum integrable systems. One of the major issues that stands out is the ex- Phase diagram for a random field Ising model act description of correlation functions. Important progress has been made in the long distance asymptotics for correlation functions in integrable spin chains. Understanding the short distance structure has advanced, and exact formulas have been derived for dynamical and finite temperature cases. Progress on correlation functions and form factors has resulted in direct applications to condensed matter systems. In integrable quantum field theory, important work has been carried out for the vacuum expectation values of local fields, and in the theory of Q-operators and its relation to ODE and classical integrable systems. Aside from these traditional topics, the emerging role of integrable systems in various other fields has been revealed, often in a quite unexpected manner. The relevant topics range over such diverse areas as quantum entanglement, combinatorics, integrable stochastic processes and growth models. Altogether, twenty-three one-hour invited lectures were given. There were also four contributed talks (each lasting 30 minutes) and a poster session. The topics of the lectures ranged over various aspects of integrable spin chains and field theory models, such as correlation functions, time dynamics, entanglement entropy, ordering of energy levels, loop models and combinatorics, quantum geometry and sinh-gordon field theory. The highlight of the workshop was a report on the long-awaited derivation of the long distance asymptotics of the spin-spin correlation functions of the XXZ model. This is a major breakthrough in this field of mathematics and attracted a great deal of attention from the audience. The atmosphere of the workshop was very friendly and interactive and the high-quality talks stimulated lively discussions among the participants Stochastic Loewner Evolution and Scaling Limits (August 4 9, 2008) The scientific organizers were: J. Cardy (Oxford), C. Newman (Courant Institute, NYU) and W. Werner (Paris-Sud). The number of registered participants was 57. In recent years, the most interesting developments in the theory of two-dimensional critical phenomena have emerged from a new field that might BULLETIN CRM 6

7 crm.math.ca be called Conformal Probability Theory, which complements the extensive work on Conformal Field Theory that started in the physics community in the 1970s. Substantial progress has been made in understanding the random fractal geometry of such two-dimensional systems as critical percolation and critical Ising models, and their relation with such classic probabilistic objects as the frontier of two-dimensional Brownian motion. Among the topics covered in this workshop were: SLE and its Extensions, Critical and Near-Critical Scaling Limits, Gaussian Free Field, Coulomb Gas Methods, Relation to Conformal Field Theory and Quantum Gravity. normal velocity of the growing boundary of a region is proportional to the gradient of a harmonic field on the exterior. This type of growth (called Laplacian growth) is unstable for nearly all initial configurations. Instabilities develop into fractal singular patterns. Similar instabilities occur in the hydrodynamics of immiscible fluids. The workshop attracted specialists from many areas of theoretical and applied mathematics and physics: complex analysis and approximation theory, random matrices, probability theory and SLEs, conformal field theory, integrable systems, fluid dynamics and condensed matter. The lectures covered a spectacular variety of topics, techniques and approaches. There were many discussions and interdisciplinary interactions during the workshop. There was also a strong degree of overlap, both in terms of interests and participants, between this workshop and Saffman Taylor fingering in a Hele subsequent workshops (on Shaw cell Random Matrices and Random Growth Processes, see Sections 3.5 and 3.6 below). Everyone present felt that this was one of the best workshops ever to have taken place on the exciting topic of SLE and scaling limits, with an excellent mixture of mathematicians, mathematical physicists and theoretical physicists. One of the most valuable participants in the meeting, Oded Schramm (the inventor of the Schramm Loewner evolution), gave two excellent talks and was very pleased with the workshop. Tragically, he died in an accident about three weeks later, while hiking on a mountain ridge, not far from his home in Washington State. This was a great loss for mathematics and it is with great regret that we note that our SLE workshop may have been the last international meeting he attended. Here is the list of participants who actually gave talks, in order of presentation (there were also some attendees who participated strongly without giving talks, and some attendees gave multiple talks): John Cardy, Greg Lawler, Tom Kennedy, Scott Sheffield, Oded Schramm, Yvan Saint-Aubin, Dapeng Zhan, Denis Bernard, Nikolai Makarov, Nam-Gyu Kang, Julien Dubedat, Stanislas Smirnov, Bertrand Duplantier, Benjamin Doyon, Vincent Beffara, Ilia Binder, Frederico Camia, Clément Hongler, Pierre Mathieu, Jacob Simmons, Pierre Nolin, Yves Le Jan, Kalle Kytölä, David Wilson, Thomas Alberts, Robert Bauer, Robert Masson and Alexi Morin-Duchesne. The scientific level of the talks was uniformly outstanding. Here are some major developments. Perez and Levine reported on their work concerning internal DLA and some other related probabilistic and dynamical models. They established rigorous connections with the problems of Laplacian growth, and immediately after the talk, Gustafsson and other experts in Laplacian growth recognized familiar structures and suggested important complementary results. Ameur and Hedenmalm, and Balogh and Harnad, have made substantial progress in the study of eigenvalues of random normal matrices. They provided mathematical proofs for several fundamental facts first discovered at the physical level by Wiegman and Zabrodin. Belyaev, Rohde and Zinsmeister talked about various growth models such as random snowflakes and a version of the Hastings Levitov model. They collectively presented new mathematical techniques that might turn out to be effective in the analysis of DLA-type growth Laplacian Growth and Related Topics (August 18 23, 2008) The scientific organizers of this workshop were N. Makarov (Caltech) and P. Wiegmann (Chicago). The number of registered participants was 57. The workshop was devoted to mathematical aspects of Laplacian growth. A broad class of non-equilibrium growth processes have a common law: the New aspects and several unexpected applications of Laplacian growth were discussed in the talks of Khavinson, Lawler, Putinar and Sodin. Zabrodin, Takebe and Tasaki presented their new results related to the connection between Laplacian growth and integrable dispersionless hierarchies. Teodorescu, Agam and Mineev discussed new applications of Laplacian growth in hydrodynamics. Especially noticeable are weak solutions and shocks in viscous Hele Shaw flow and Rayleigh Taylor instabilities on the boundary of evaporating thin films on a wet surface. Several important open questions and specific conjectures were formulated during the workshop, in particular, concerning general one-component plasma ensembles and zeros of orthogonal polynomials. This workshop was one BULLETIN CRM 7

8 crm.math.ca of the most representative and interesting events in Laplacian among participants, the workshop was preceded by the workgrowth in recent years. There are already several plans to or- shop on Laplacian Growth and Related Topics and followed by the workshop on Random Tilings, Random Partitions and ganize follow-up meetings. Stochastic Growth Processes, as well as the series of lectures 3.5. Random Matrices, Related Topics and Applications (Auby Fields medalist A. Okounkov. Several participants chose gust 25 30, 2008) to extend their stay to include all three of these events, or at least two Random Tilings, Random Partitions and Stochastic Growth Processes (September 1 6, 2008) The scientific organizers were: E. Basor (American Institute of Mathematics), M. Bertola (Concordia), B. Eynard (CEASaclay), A. Its (IUPUI) and K. McLaughlin (Arizona). The number of registered participants was 89. This workshop focused on recent advances in the asymptotic spectral theory of random matrices, connections with (multi-)orthogonal polynomials, Riemann Hilbert and d-bar methods, relations to random surface growth, beta ensembles, coupled chains of random matrices, computational methods, combinatorics and moduli space theory of Riemann surfaces, algebraic geometry, theory of isomonodromic deformations, number theory, Brownian motion, Airy and Pearcey processes, critical behaviour in non-intersecting path ensembles, gap probabilities, linear statistics, higher-order analogs of Tracy Widom distributions, simple exclusion processes, outpost colonization, entanglement, graphical enumeration, Fisher Hartwig asymptotics, fermionic representation of partition functions and correlators, and applications to diverse fields (zeros and moments of L-functions, growth processes, black holes, and QCD). The topics covered included: asymptotic spectral theory of random matrices (Akemann, Ehrhardt, Teodorescu, Lee, Duits) ; non invariant matrix models (Johannson, Bender); (multi)critical universality classes (Claeys, Lee); random matrix theory and high-energy physics (Akemann, Splittorf); asymptotics of determinants (Deift, Krasovsky); total integrals and statistical lattice applications (DiFranco, Buckingham, Mo); connection with (multi-)orthogonal polynomials (Wong, Duits, Chen) ; combinatorics (Ercolani); number theory (Snaith) ; numerical analysis (Dumitriu); Dyson processes (Adler, van Moerbeke, Kuijlaars); random surfaces (Borodin); discrete and continuous random processes (Widom, Adler, van Moerbeke, Kuijlaars); topological expansions (Chekhov, Prats-Ferrer). Thirty-seven talks were scheduled; accommodating all the speakers while maintaining a reasonable schedule was quite a challenge, leaving one afternoon only for spontaneous interaction. Reactions of the participants, speakers and non speakers, were extremely positive; several participants remarked on the uniformly high level of the lectures. To contribute to the cross-fertilization of ideas and foster exchanges BULLETIN CRM 8 The scientific organizers were: J. Baik (Michigan), A. Borodin (Caltech), B. Nienhuis (Amsterdam), N. Reshetikhin (Berkeley) and H. Spohn (Technische Universität München). The number of registered participants was 50. Tiling problems have a long tradition in combinatorics and in statistical mechanics. One of the central problems is to understand the statistical structure of the patterns obtained when tiling a large domain randomly. As noticed by N. Elkies and J. Propp a decade ago, random tilings of a large planar domain may exhibit phase segregation; the density of tiles has a smooth (non-constant) variation in some regions of the domain while in a so-called frozen region the density of tiles is constant. In the corresponding surface picture, the frozen region corresponds to a facet of constant slope, while its complement corresponds to a rounded surface. In a very influential paper of 1986, M. Kardar, G. Parisi and Y. C. Zhang introduced growth processes of random deposition type without surface diffusion. A particular and much studied one-dimensional model is the corner growth model with discrete time updating, which is isomorphic to the interface in the dimer tiling of the Aztec diamond. The stochastic growth of the line separating the frozen from the non-frozen region is induced by the random shuffling algorithm, which from a tiling of a domain of linear size N generates a corresponding tiling of a domain of linear size N + 1 with the correct statistical weight. During the last decade there has been enormous progress in elucidating the picture and this workshop gave an opportunity to present both an overview and a detailed account of many of these developments. One of these developments is the fact that for the random tiling of a domain in the triangular lattice by rhombi (dimer models on the hexagonal lattice), the limit shapes are algebraic curves (R. Kenyon, A. OkOkounkov cardioid (frozen boundary ounkov). In the non-frozen of the dimer model on a honeycomb region the fluctuations in lattice) such models have the statistics of a massless Gaussian free field (R. Kenyon). With the exception of singular points the borderline separating the frozen and non-frozen regions is governed by the Airy process (M.

9 Prähofer, H. Spohn, A. Okounkov, N. Reshetikhin). At singular points the fluctuations are described by the Pearcy process and similar determinantal processes (A. Okounkov, N. Reshetikhin). As noted by K. Johansson these stochastic processes are closely related to the asymptotics of discrete orthogonal polynomials. There has been an increased understanding of the deep connection (noted first by Johansson) between tilings of particular domains and one-dimensional KPZ growth. This discovery triggered an explosion of related results, in particular the central role of extended determinantal processes, of Dyson s Brownian motion and of low rank perturbations of random matrices. New results confirmed the expectation that the structure of fluctuations holds for a much wider class of models. Tiling problems are also closely related to the theory of random partitions and representation theory. This is particularly evident for tilings of domains on a triangular lattice by rhombi, developed and presented in the contributions of A. Borodin, A. Okounkov and G. Olshanski. The contents of this workshop were closely related to those of the two preceding ones (see Sections 3.4 and 3.5 above) and to the fascinating series of lectures by Aisenstadt Chair Andrei Okounkov (September 1 16, 2008) Quantum Many-Body Systems, Bose Einstein Condensation (September 29 October 4, 2008) The scientific organizers were: I. Michael Sigal (Toronto), Jan Philip Solovej (Copenhagen), Jakob Yngvason (Universität Wien) and Valentin Zagrebnov (Marseille). There were 55 registered participants. The physics of ultracold quantum gases and Bose Einstein condensation is currently a Solitons in a Bose Einstein condensate very active field of both experimental and theoretical research worldwide. Unveiling the fascinating properties of such quantum many-body systems by rigorous mathematical analysis is an important and difficult challenge for mathematical physics. Considerable progress has been made in recent years, involving a variety of mathematical techniques such as spectral theory of partial differential operators with a large number of variables, nonlinear partial differential equations, random walks on lattices and functional integration. Several of the most basic questions are still unanswered, however, and there is much to be learned. The workshop brought together experts with different backgrounds to review the current status of mathematical results in the field and to discuss new developments (where a mathematical approach is fruitful). The topics covered included ultracold atoms and Bose gases in low dimensions, variational methods, determinants bounds, applications to fermionic many-body systems, lattice models, spin chains, soft matter at high densities, probabilistic approaches to many-body systems, relations to random point fields, relations to random permutations, vortices in Bose Einstein condensates, the derivation of the Gross Pitaevskii equation, correlations in Bose Einstein condensates and applications to superconductors Random Functions, Random Surfaces and Interfaces (January 4 9, 2009) This workshop took place at the Hôtel Mont-Gabriel in Sainte-Adèle, Québec. The scientific organizers were: D. Bond (CITA, Toronto), M. Douglas (Stony Brook), S. Sheffield (Courant Institute, NYU), S. Shlosman (CNRS, Luminy) and S. Zelditch (Johns Hopkins). There were 28 registered participants. The workshop was interdisciplinary, with participants ranging from researchers in astrophysics to string theory to statistical mechanics to probability and geometry. It was mainly devoted to random fields such as Gaussian random fields. Motivated by such physical models as (i) the large scale matter distribution in the universe or (ii) landscape statistics in string theory or (iii) the random wave model in quantum chaos or (iv) limit shapes of phase interfaces in statistical mechanics, the workshop largely focussed on the zeros or critical points of random fields. Examples of random functions or random surfaces arising in nature include: the surface of the sea in heavy weather, the cosmic microwave radiation background, the electric field intensity of a laser speckle pattern and random noise in signals. The initial matter distribution of the universe was modelled as a Gaussian random function by Ya. B. Zeldovich in the 1970s. Random surfaces also play a central role in string theory and M-theory. They are also used to model the early universe in current string theory and quantum gravity. In another direction they arise as interfaces in statistical mechanics. For mathematicians, a focal point was the recent work of Duplantier Sheffield giving a rigorous definition of Polyakov s Liouville field theory and a proof of the so-called KPZ formula. (Liouville theory is a theory of random metrics on a Riemann surface.) The astrophysicists spoke largely about the distribution of matter in the universe. The evolution in time of the matter distribution is often modelled as the evolution of Gaussian random initial data under the Euler Poisson equation. The distribution seems to remain roughly Gaussian for a few hundred thousand years, but eventually gravitational attraction causes matter to clump in non-gaussian filamentary structures. Astrophysicists D. Bond, D. Pogosyan, R. van de Weygaert and S. F. Shandarin presented theoretical results, numerical simulations and data on the distribution of matter. Pogosyan presented a mathematically convincing picture whereby the ridges or filaments were concentrated along the directions where the gradient of the random field is an eigenvector of its Hessian. M. R. Douglas gave a survey of questions and results pertaining to the landscape problem in string theory and in chaotic inflation, BULLETIN CRM 9

10 which raises a number of problems he has studied with his collaborators S. Ashok, F. Denef, B. Shiffman and S. Zelditch. The talks by Richard Kenyon, Pavel Bleher and Senya Shlosman dealt with random surfaces arising in certain exactly solvable models. K. Khanin discussed problems related to directed polymers in quasi-stationary random potentials. Such potentials correspond to disordered systems interacting with a chaotic external field. Sergei Nechaev computed the asymptotic distribution of scaled height in various (1 + 1)- dimensional anisotropic ballistic deposition models. Finally there were several talks on the more geometric aspects of smooth random surfaces, such as those defined by random holomorphic polynomials or power series in several variables or by real Gaussian random fields on Riemannian manifolds. The interested reader can find a detailed account of this workshop in the Spring 2009 issue of Le Bulletin du CRM Interacting Stochastic Particle Systems (May 18 23, 2009) The scientific organizers were: Kostya Khanin (Toronto), Joel Lebowitz (Rutgers), Jeremy Quastel (Toronto) and Timo Seppäläinen (Wisconsin-Madison). There were 46 registered participants. Statistical mechanics provides the formalism of Gibbsian ensembles for computing properties of equilibrium systems from a knowledge of the microscopic interactions between the constituent particles. Our understanding of nonequilibrium situations is less satisfactory. In the field of interacting stochastic particle systems nonequilibrium questions are studied in simplified models that are amenable to mathematically rigorous analysis. This workshop brought together researchers from the field of interacting stochastic systems and related areas to survey recent successes and to map out promising directions. Among these are the universality classes of fluctuations in onedimensional driven interacting systems. In addition to exact limit distributions found in special models, the correct order of fluctuations has been identified for a general class of asymmetric exclusion processes. Another area of recent progress is the large deviation behavior of nonequilibrium stationary states in systems in contact with a reservoir. Interesting new constructions have been presented, such as multilayer systems that represent the stationary distributions of systems with several species of particles; direct connections between queueing models, random walks and combinatorial methods have been developed. The talks presented at the workshop covered many of the most active and important current research directions, such as: polymer models; fluctuations, second class particles, and large deviations for exclusion processes, and related last-passage models; condensation in zero range processes; queuing networks; nonequilibrium thermodynamics; and connections with integrable systems. The balance between scheduled talks and time for free discussions allowed for a good deal of interaction between the participants, many of whom made new acquaintances and had fruitful exchanges that are likely to lead to future collaborations Disordered Systems: Spin Glasses (June 8 13, 2009) The scientific organizers were: Gérard Ben Arous (Courant Institute, NYU), Erwin Bolthausen (Zürich), M. Mézard (Université Paris-Sud) and Daniel Stein (Courant Institute, NYU). There were 42 registered participants. The workshop brought together a few dozen of the leading international researchers in the theory of spin glasses and related systems. It was unusual in that it included scientists approaching the problem from three different perspectives: theoretical physics (in particular, the use of field theoretical techniques), numerical simulation and analysis, and rigorous mathematics. At their best the three approaches complement and reinforce one another, and each can provide insights for new directions in the other ones. This feedback was very much a part of the workshop, and a significant component of its success. Each day included talks on a variety of subjects, not only on spin glasses themselves but also topics related to spin glasses: structural glasses, jamming, random matrices, graph theory, branching random walks, and other topics. There were also long breaks between the talks, however, to allow for discussion and interaction. During these periods in particular some new collaborations began and new directions were discussed. A gratifying and positive feature of the workshop was that it served not only to bring information on the latest results to a large and representative sample of the spin glass/disordered systems community, but it also led to animated discussions and interactions among people whose approaches are fundamentally different. Such discussions and collaborations could provide new seeds for substantial progress in the field over the next few years. In particular, although the mathematical proof of the ultrametricity of Gibbs measures of some disordered systems is still missing, the workshop has shown that the framework for understanding the mathematical structure of Parisi s replica symmetry breaking might no longer be out of reach, and that substantial progress might be achieved in the not too distant future. 4. Other conferences, summer schools and workshops associated with the CRM Thematic Program 4.1. Séminaire de mathématiques supérieures (SMS): Summer School on Symmetries and Integrability of Difference Equations (June 9 20, 2008) This was the annual session of the international summer school Séminaire de mathématiques supérieures (SMS), which was BULLETIN CRM 10

11 correlated (in 2008) with the international conference SIDE 8 (see below). The Scientific Directors of the SMS were Pavel Winternitz, from CRM and the Université de Montréal, and Vladimir Dorodnitsyn, from the Russian Academy of Sciences in Moscow. The organizing committee consisted of: Vladimir Dorodnitsyn (Moscow), Véronique Hussin (CRM and Université de Montréal), François Lalonde (Université de Montréal), Decio Levi (Roma 3), Peter J. Olver (Minnesota), Pavel Winternitz (CRM and Université de Montréal), chairman of the committee. The SMS was attended by 48 registered participants. The speakers were: Alexei Borodin (Caltech), Vladimir Dorodnitsyn, Basile Grammaticos (Paris Diderot), Jarmo Hietarinta (Turku), Mourad Ismail (Central Florida), Alexander Its (IUPUI), Decio Levi (Roma 3), Sergey P. Novikov (Moscow and Maryland), Peter J. Olver (Minnesota), Jiří Patera (CRM and Université de Montréal), Yuri B. Suris (Technische Universität München) and Pavel Winternitz. The field of symmetries and integrability of difference equations is very dynamic and great progress has been made in it over the last 15 years. The key methods that have been developed in this area are based either on the inverse spectral approach or on the application of geometric and group theoretical techniques. The topics covered were the following: isomonodromy transformations of linear difference equations and the Painlevé hierarchy (Alexei Borodin); symmetry preserving discretization of ordinary and partial differential equations (Vladimir Dorodnitsyn); discrete Painlevé equations (Basile Grammaticos); definitions and predictions of integrability for difference equations (Jarmo Hietarinta); orthogonal polynomials and integrable systems (Mourad Ismail); discrete Painlevé equations and random matrices (Alexander Its); generalized Lie symmetries of difference equations (Decio Levi); complete integrability of discrete nonlinear systems (Sergey P. Novikov); moving frames in applications (Peter Olver); Lie group transforms in the interpolation of digital data (Jiří Patera); discrete differential geometry (Yuri Suris); and Lie point symmetries of difference equations (Pavel Winternitz) SIDE 8 International Conference: Symmetries and Integrability of Difference Equations (June 22 28, 2008) This conference took place at the Hôtel Mont-Gabriel, in Sainte- Adèle, Québec. The scientific organizers were: P. Winternitz (Chairman, CRM and Université de Montréal), J. Harnad (CRM and Concordia), V. Hussin (CRM and Université de Montréal), D. Levi (Roma 3), P. Olver (Minnesota) and L. Vinet (CRM and Université de Montréal). There were a total of 72 registered participants, of whom 56 were speakers. SIDE 8 was the eighth in a series of biennial conferences devoted to Symmetries and Integrability of Difference Equations and related topics: ordinary and partial difference equations, analytic difference equations, orthogonal polynomials and special functions, symmetries and reductions, difference geometry, integrable discrete systems on graphs, integrable dynamical mappings, discrete Painlevé equations, singularity confinement, algebraic entropy, complexity and growth of multivalued mappings, representations of affine Weyl groups, quantum mappings and quantum field theory on the space-time lattice. The 56 talks were divided into 8 sessions, corresponding to the following topics (with session organizers indicated within parentheses): geometry of discrete and continuous Painlevé equations (Masatoshi Noumi, Yasuhiro Ohta); discrete integrable systems and isomonodromy transformations (Alexei Borodin); Yang Baxter map (Alexander P. Veselov); algebraic aspects of discrete equations (Alexander Mikhailov, Frank Nijhoff); singularity confinement, algebraic entropy and Nevanlinna theory (Basile Grammaticos, Alfred Ramani); discrete differential geometry (Alexander Bobenko, Yuri Suris); special functions as solutions of difference and Q-difference equations (Mourad Ismail, Walter Van Assche); continuous symmetries of discrete equations, theory and computational application (Decio Levi, Pavel Winternitz) BIRS Workshop on Random Matrices, Inverse Spectral Methods and Asymptotics (October 5 10, 2008) This workshop took place at the Banff International Research Station (Banff, Alberta). The scientific organizers were: Estelle Basor (American Institute of Mathematics), Marco Bertola (CRM and Concordia), Betrand Eynard (CEA-Saclay), John Harnad (CRM and Concordia), Alexander Its (IUPUI) and Ken McLaughlin (Arizona). There were 25 registered participants. The objectives of the workshop were to: 1) give an opportunity to communicate the latest developments in the directions relating most closely to inverse spectral methods and large N asymptotics, and 2) bring together the top experts in the field, as well as promising young researchers to help stimulate new ideas and work. In particular, the following topics figured prominently in the workshop: 1) extensions of asymptotic and inverse spectral methods to the case of biorthogonal and multi-orthogonal polynomials, with applications to multimatrix models; 2) new results on universality properties within non-standard classes of matrix ensembles, and in multi-matrix systems; 3) new results relating to random processes, including processes involving the eigenvalues of random matrices (Dyson processes) on the real line or circle, as well as deterministic growth processes involving the support domains of complex eigenvalues of Normal Matrices; 4) other relations between random matrix techniques and random processes such as asymmetric exclusion processes, polynuclear growth, and asymptotics of random partitions; 5) new results relating the partition functions, gap probabilities and correlators to the tau function of integrable systems theory, and to the theory of isomonodromic deformations in the resonant and irregular singularities cases. The theme of the BIRS workshop was correlated with the more broadly based CRM workshop on random matrices (see Section 3.5 above) and many of the participants attended both events. 5. Aisenstadt Chair Lecture series BULLETIN CRM 11

12 The Aisenstadt Chair lecturers in the period June September 2008 were Wendelin Werner (Paris-Sud) and Andrei Okounkov (Princeton), both of whom are Fields Medalists. Okounkov s series of lectures (September 1 16, 2008) was entitled The Algebra and Geometry of Random Surfaces. It strongly overlapped, in its focus, with the workshop on Random Tilings, Random Partitions and Stochastic Growth Processes (see Section 3.6). Wendelin Werner s series of lectures, entitled Transitions de phases et invariance conforme en mécanique statistique bidimensionnelle (August 1 12, 2008) was closely related to the topics of the workshop on Stochastic Loewner Evolution and Scaling Limits (see Section 3.3). The reader may find detailed reports on their respective lecture series in the Fall 2008 issue of Le Bulletin du CRM. The third Aisenstadt Chair lecture series relating to the Thematic Program on Probabilistic Methods in Mathematical Physics was given in March 2009 by Craig Tracy (UC Davis), winner of the SIAM Pólya Prize and the AMS SIAM Norbert Wiener Prize. Professor Tracy was also present at the workshop on Random Matrices (see Section 3.5), an area in which he has been a pioneering contributor. His Aisenstadt Chair Lectures were on the general theme The Asymmetric Simple Exclusion Process and Integrable Models in Statistical Physics. The titles and dates of his three lectures are: The Asymmetric Simple Exclusion Process: Integrable Structure and Limit Theorems. I (March 3, 2009); The Asymmetric Simple Exclusion Process: Integrable Structure and Limit Theorems. II (March 5, 2009); Integrable Models in Statistical Physics and Associated Universality Theorems and Conjectures. (March 6, 2009). Craig Tracy was Professor at Dartmouth College before joining the University of California at Davis in He is currently Distinguished Professor of Mathematics. In his joint work with Wu, McCoy and Barouch, he discovered an important connection between exactly solvable statistical models, like the Ising model, and classical integrable systems, in particular the Painlevé transcendants. In more recent years, in collaboration with Harold Widom, he obtained many crucial results on the theory of Fredholm and Toeplitz determinants, and random matrix theory. They introduced a new class of distributions, now called the Tracy Widom distributions, governing the eigenvalues at the edge of the spectrum in the large N limit. These turned out to be universal in the sense that they also underlie the statistics of the longest increasing subsequence problem, several tiling problems, and various growth models. In 2002 he shared the George Pólya Prize with his long-time collaborator Harold Widom, and in 2007 he shared the AMS SIAM Norbert Wiener Prize with the same collaborator. He is a member of the American Academy of Arts and Sciences. 6. Long-term visitors at the CRM associated to the Thematic Program A striking feature of the Thematic Program was the number of visitors who spent extended periods of time at the CRM in BULLETIN CRM 12 order to benefit from the activities of the Program. Their visits provided a wonderful opportunity for the CRM members, in particular the members of the Mathematical Physics Laboratory and their students and postdoctoral fellows. Here is a list of the visitors in 2008: Pavel Bleher (IUPUI): August 2 October 4, 2008; Alexei Borodin (Caltech, Clay Institute Emissary): June 9 28 and August 25 September 6, 2008; Robert Coquereaux (CPT, Marseille): November 29 December 13, 2008; Benjamin Doyon (Durham): August 3 22, 2008, August 26 September 11, 2009; Ilya Gruzberg (Chicago): August 3 September 7, 2008; Greg Lawler (Chicago, Clay Institute Emissary): August 1 31, 2008; Decio Levi (Roma 3): June 9 28, 2008; Karl Liechty (IUPUI, Student Long-term Visitor): August 2 September 25, 2008; Igor Loutsenko (SISSA, Trieste): August 19 29, 2008; Jean-Michel Maillet (Lyon): June 23 July 5, 2008; Nicholas Makarov (Caltech) : August 3 30, 2008; Barry McCoy (SUNY, Stony Brook): June 29 July 12, 2008; Kenneth McLaughlin (Arizona): August 17 September 6, and September 13 28, 2008; Jason Newport (North Carolina, Student Long-term Visitor): August 25 September 28, 2008; Stéphane Nonnenmacher (CEA-Saclay): April 1 June 10, 2008; Andrei Okounkov (Princeton, Aisenstadt Chair): September 1 16, 2008; Alexandre Orlov (Oceanology Institute, Moscow): August 22 September 20, 2008; Herbert Spohn (Technische Universität München): August 19 September 9, 2008; Razvan Teodorescu (Los Alamos): August 18 September 6, 2008; Craig Tracy (UC Davis, Aisenstadt Chair): August 26 31, 2008, and March 3 6, 2009; Wendelin Werner (Paris-Sud, Aisenstadt Chair) : July 31 August 12, 2008; Anton Zabrodin (ITEP, Moscow): August 17 30, 2008; Valentin Zagrebnov (Marseille): September 21 October 10, In 2009 there were three more visitors: Louis-Pierre Arguin (Courant Institute, NYU): June 7 14, 2009; Alexandre Orlov (Oceanology Institute, Moscow): May 17 June 15, 2009; Alexander Tovbis (Central Florida): May 21 28, Hugh Chipman (suite de la page 4) sélection de variables. En effet, la méthode de construction d un arbre nous permet de cibler les variables explicatives les plus influentes ; il suffit simplement de traiter cette information de façon appropriée. Les arbres peuvent également être utilisés dans la détermination de plans séquentiels. L idée sous-jacente à cette approche est de reconstruire le modèle alors que les données sont recueillies, et de l utiliser pour décider où concentrer l échantillonnage de données supplémentaires. Les arbres permettent aussi de traiter des distributions d erreurs non paramétriques, ce qui est pratique lorsque l hypothèse habituelle de variables suivant une même distribution normale n est pas vérifiée. L apprentissage statistique par arbres est une méthode qui comporte des avantages et des inconvénients, comme toute méthode statistique. Parmi ses points forts, notons sa flexibilité, sa bonne performance en termes de prévision et sa robustesse par rapport aux distributions a priori.

13 Grande Conférence du CRM Les codes secrets à travers les âges Gilles Brassard (Université de Montréal) d Yvan Saint-Aubin (Université de Montréal) Le professeur Gilles Brassard est bien connu de la communauté, tant pour ses travaux que pour ses talents de communicateur. Au moins deux de ses créations seront connues de tout scientifique : la cryptographie quantique (inventée avec C.H. Bennett en 1983) et la téléportation quantique (inventée avec C.H. Bennett, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres et W.K. Wootters en 1992). Ses distinctions sont nombreuses. Parmi les plus récentes mentionnons les suivantes : il est ou a été le «Distinguished Lecturer» de l IACR (2008), trois fois finaliste de la Médaille d or Herzberg du CRSNG (2006, 2007 et 2008), Fellow de l International Association for Cryptologic Research (2006) et de l Institut canadien de recherche avancée (2002), et membre de l Académie des sciences de la Société royale du Canada (depuis 1996). Gilles Brassard a obtenu le Prix d excellence du CRSNG (2006), le Prix Marie-Victorin du Gouvernement du Québec (2000), une Bourse de recherche Killam (1997), le Prix Steacie (1994) et le Prix Urgel-Archambault de l ACFAS (Association francophone pour le savoir, 1992). Il détient depuis 2001 la Chaire de recherche du Canada en informatique quantique. Son Prix de l enseignement de l Université de Montréal (1993) ainsi que les quelque soixante étudiants à la maîtrise, au doctorat ou au postdoctorat qu il a supervisés sont autant de témoins de ses talents de pédagogue, d autant plus que presque une vingtaine d entre eux sont devenus professeurs universitaires. C est à une vaste fresque historique que nous conviait Gilles Brassard lors de cette Grande Conférence du CRM consacrée aux codes secrets à travers les âges. On pourrait croire que la géométrie et la théorie des nombres sont les seules sciences à pouvoir revendiquer l honneur d avoir occupé plusieurs civilisations depuis plus de deux mille ans. Cette Grande Conférence permet de se demander si la cryptographie n en serait pas une autre. Il nous sera impossible de relater toutes les étapes historiques que notre conférencier a décrites. Permettezmoi d en choisir quelques-unes. Rendre à César... Une personne, Madame A, désire transmettre un message confidentiel (dit aussi le texte clair) à une seconde personne, Monsieur B. Pour s assurer que le message ne puisse être compris s il tombe entre les mains d une troisième personne, Madame A transforme le message selon des règles convenues à l avance entre elle et Monsieur B. À la réception du message chiffré, Monsieur B pourra utiliser certaines règles pour récupérer le message original. Les chiffres, c est-à-dire les règles qui permettent de transformer de façon sécuritaire un message, et les techniques pour les percer sont l objet d étude de la cryptologie. L histoire relate plusieurs exemples de transmission d un message chiffré. Selon Suétone, auteur de la Vie des douze Césars, Jules César aurait utilisé le chiffre suivant. Il s agit d un chiffrement par décalage où chacune des lettres du message original est remplacée par une autre obtenue selon le diagramme cidessous. Pour obtenir ce diagramme, un entier n est d abord choisi (ici le nombre 3) ; puis l alphabet complet est écrit deux fois sur des lignes horizontales, la seconde étant obtenue en décalant la première n fois vers la gauche. Pour chiffrer, on remplace chacune des lettres du message original en l identifiant dans la ligne du haut et en la remplaçant par la lettre qui est sous elle. Pour que Madame A et Monsieur B puissent communiquer, il suffit qu ils se soient entendus pour utiliser ce chiffre et choisir l entier n.... W X Y Z A B C D E Z A B C D E F G H... Ce système n offre évidemment aucune protection sérieuse contre quiconque souhaite vraiment comprendre le contenu du message, mais une simple modification rend la tâche de l espion nettement plus ardue. Si Madame A choisit une permutation aléatoire des 26 lettres de l alphabet, telle JAROC... DGSNL, et qu elle partage secrètement cette «clef» avec Monsieur B, elle peut chiffrer un message clair en remplaçant systématiquement A par J, B par A,..., Z par L. Il est alors facile pour Monsieur B de renverser le processus puisqu il connaît la clef. Mais alors qu il suffisait à l espion d essayer 26 clefs possibles (dont une triviale) pour briser le chiffre de César, la sécurité apparente de cette substitution monoalphabétique repose sur le grand nombre (26! > ) de clefs possibles. La substitution monoalphabétique serait-elle donc invulnérable même contre un super-ordinateur? En fait, non, surtout si nous disposons d un message chiffré assez long et connaissons la langue du message original. Il aura fallu plusieurs siècles avant que le génie universel Abu Yusuf Ya qub ibn Ishaq ibn as-sabbah ibn Oòmran ibn Ismaïl AL-KINDI, auteur de 290 manuscrits, découvre au IXe siècle l art de mettre à profit notre connaissance de la fréquence de chacune des lettres de la langue employée. En français, la lettre e est celle dont la fréquence est la plus élevée, suivie des lettres a et s. Un premier essai de déchiffrement consiste donc à remplacer la lettre qui apparaît le plus grand nombre de fois dans le message intercepté par un e, la seconde plus fréquente par un a, et ainsi de suite. Il BULLETIN CRM 13

14 est bien possible que les fréquences des lettres du message original ne soient pas exactement celles des lettres dans Les Trois Mousquetaires, par exemple, mais il sera sans doute possible de déchiffrer quand même le message si on utilise d autres informations, par exemple le fait qu en français les mots de deux lettres ne sont pas très nombreux : le, la, de, en, un,... Un saut à la Renaissance... La grande faiblesse de la substitution monoalphabétique est le fait qu une lettre donnée de l alphabet est toujours remplacée par la même lettre. Comme nous venons de le voir, l utilisation des fréquences des lettres permet alors de percer le chiffre. Le chiffre de Vigenère corrige cette faiblesse! Blaise de Vigenère était un diplomate français ( ), et à ses heures cryptologue. Même si le chiffre que nous allons décrire porte son nom, il aurait été inventé en 1553 par Giovan Battista Bellaso, né en 1505 (la date de son décès n est pas connue). Plutôt qu un entier déterminant le décalage, le chiffre de Vigenère nécessite un mot-clé que A et B choisiront et garderont secret. Madame A et Monsieur B auront également besoin du «carré de Vigenère», que voici. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i k l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j l m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k m n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l n o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m o p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n p q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o q r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p r s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q s t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r t u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s u v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t v w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u w x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v x y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w y z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x z a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y Comme dans le chiffre de César, Madame A cherchera pour une lettre donnée du message original sa position dans la ligne supérieure de cette table et elle la remplacera par la lettre de la même colonne dans une ligne qui sera déterminée par le mot-clé. Supposons que le mot-clé convenu soit maths. Alors Madame A utilisera la ligne vis-à-vis la lettre m pour chiffrer la première lettre du message original, puis la ligne vis-à-vis la lettre a pour la seconde lettre, puis la ligne t pour la troisième, et ainsi de suite. Après avoir utilisé les cinq lignes m, BULLETIN CRM 14 a, t, h, s, la sixième lettre du message original sera chiffrée en utilisant à nouveau la ligne m, puis la septième en utilisant la ligne a, etc. Dans ce type de chiffre dit polyalphabétique, les lettres e du message original ne seront pas toutes remplacées par la même lettre dans le message chiffré. Ce chiffre ne peut donc pas être brisé aussi simplement à l aide des fréquences des lettres. En fait, il résista longtemps à l assaut des perceurs de chiffres. C est Charles Babbage qui, en 1854, proposa le premier une méthode efficace pour le percer ans après son invention par Bellaso! Enigma, Bletchley Park et le Colossus... Plusieurs autres idées nous seront décrites pendant cette conférence, mais permettez-moi de faire maintenant un saut énorme nous amenant à la seconde guerre mondiale. Le chiffre sousjacent à la machine Enigma, utilisée par l armée nazie, est trop compliqué pour être décrit en profondeur durant une conférence tout public. Pourtant, le succès des cryptanalystes britanniques de Bletchley Park qui, reprenant les travaux commencés par leurs collègues polonais, purent percer la majorité des messages allemands, demeure un haut fait de cette guerre et, de plus, un des grands succès mathématiques du XX e siècle. Le Professeur Brassard a donc su parler de l effort humain des cryptanalystes et, également, du développement du premier ordinateur électronique programmable, le Colossus. Le secret autour de cet ordinateur a été si bien gardé que l ENIAC, construit aux États-Unis à la fin de la guerre, a longtemps été considéré comme le premier ordinateur électronique programmable... alors qu il n était que le onzième (il y a eu dix Colossus de construits!). Mais les rapports techniques de l époque, dont le Public Record Office britannique a levé le secret en octobre 2000, permettent de redonner au Colossus la place qui lui revient. Inventeurs de codes, briseurs de codes... Des idées modernes de cryptologie seront introduites durant cette courte heure, telles les notions de clé asymétrique et de clé publique. Et l impact de cette science sur la vie quotidienne sera aussi décrit. Mais il faut conclure. Edgar Allan Poe (suite à la page 18)

15 Grande Conférence du CRM Questions arithmétiques soulevées par des lapins, des vaches et le Code Da Vinci Michel Waldschmidt (Université Pierre et Marie Curie) de Claude Levesque (Université Laval) Vendredi soir, le 25 septembre 2009, une Grande Conférence du CRM se donnait à la magnifique salle Hydro-Québec de l Université Laval, et le conférencier invité était le professeur Michel Waldschmidt de l Université Pierre et Marie Curie. L exposé portait sur des questions arithmétiques soulevées par des lapins, des vaches et le Code Da Vinci. Vous l avez deviné, on parlait en particulier de la suite {F n } n N des nombres de Fibonacci, pour laquelle F n+2 = F n+1 + F n avec F 0 = 0 et F 1 = 1. D entrée de jeu, je vous confirme que l exposé du professeur Waldschmidt fut une excellente conférence tout public. La publicité parue dans Le Soleil et dans Le Journal de Québec, de même que les jolies affiches du CRM mettant en vedette le professeur Waldschmidt sous une flopée de lapins blancs, ont eu de l effet. Comme pour la grande conférence du professeur Yvan Saint-Aubin l année dernière, la salle était remplie : au moins 250 personnes étaient présentes. Sur l affiche, on mentionnait ce qui suit : Fibonacci a étudié la croissance d une population de lapins qui se reproduisent selon la loi suivante. Chaque couple atteignant l âge de 2 ans donne naissance chaque année à un nouveau couple. La suite de Fibonacci (à partir de l indice 1) est donc : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,... Dans le Code Da Vinci, les huit premiers nombres de cette suite, à savoir , sont utilisés comme mot de passe. Les suites d entiers, que ce soient celles qui comptent les lapins de Fibonacci, les spirales d un tournesol ou les vaches de Narayana, ou d autres suites définies de façon analogue, soulèvent un certain nombre de questions d arithmétique, dont quelques-unes ont été résolues récemment alors que d autres posent des défis aux mathématiciens contemporains. Ceux-ci y travaillent pour «l honneur de l esprit humain»! Michel Waldschmidt introduisit tout d abord le problème des vaches de Narayana. Narayana est un mathématicien indien du quatorzième siècle qui posa le problème suivant : Chaque année, une vache met au monde un veau. À partir de la quatrième année, chaque veau donne, à son tour et au début de chaque année, naissance à un veau. Quel est le nombre de vaches et de veaux au bout d une période de 17 ans? Le conférencier décrivit ce qui se produit chaque année pour en conclure qu à un moment donné, le nombre de vaches et de veaux est égal à celui de la dernière année plus celui de Le s Gr a n d e s Co n f é r e n c e s d u CRM Qu e s t i o n s a r i t h m é t i q u e s s o u l e v é e s p a r d e s l a p i n s, d e s v a c h e s e t l e Co d e Da Vi n c i Conférencier: Michel Waldschmidt (U. Paris VI) En 1202 Fibonacci a étudié la croissance d une population de lapins qui se reproduisent suivant la loi suivante.chaque couple atteignant l âge de 2 ans donne naissance chaque année à un nouveau couple. La suite de Fibonacci est donc 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,... Dans le Code Da Vinci, les huit premiers nombres de cette suite, à savoir , sont utilisés comme mot de passe. Les suites d entiers, que ce soient celles qui comptent les lapins de Fibonacci, le nombre de spirales d un tournesol, les vaches de Narayana, ou d autres suites définies de façon analogue, soulèvent un certain nombre de questions d arithmétique, dont certaines ont été résolues récemment, tandis que d autres restent des défis pour les mathématiciens contemporains et «l honneur de l esprit humain». Le vendredi 25 septembre 2009 (20h00 à 21h30) Salle Hydro-Québec, Pavillon Desjardins, Université Laval (Stationnement gratuit au pavillon Desjardins à partir de 19 h 30) Entrée gratuite Amuse-gueules après l exposé RENSEIGNEMENTS Claude Levesque l avant-avant-dernière année. Il prit bien soin de ne pas écrire explicitement que nous sommes en présence d une récurrence linéaire {v n } n N d ordre 3 avec v 1 = v 2 = v 3 = 1. Il mentionna l œuvre pour piano composée par Tom Johnson à partir de cette suite de Narayana. L œuvre de Johnson est composée comme suit : à une vache correspond un son long et à un veau correspond un son court ; à chaque étape, la pièce est formée de la partition de la dernière étape suivie de la partition de l avantavant-dernière étape. Le conférencier fit entendre ce que cela donnait comme musique, et on peut présumer que le résultat musical ne recueillit pas les suffrages de tous les membres de l auditoire, mais au moins avons-nous eu la satisfaction de savoir comment Tom Johnson compose sa musique! Waldschmidt passa ensuite au problème des taureaux d Archimède, une devinette en forme d épigramme qui invite à calculer le nombre de têtes dans le troupeau du dieu Soleil. L audi- BULLETIN CRM 15

16 toire prit plaisir à entendre qu une sphère du diamètre de la Voie Lactée, que la lumière prend dix mille ans à traverser, ne contiendrait qu une partie infime de ce troupeau, à supposer même que la taille de chaque animal ne dépassât point celle de la plus minuscule bactérie. Après avoir expliqué ce qu est la suite exponentielle 2 n en calculant le nombre des ancêtres d une personne donnée, il passa au problème des abeilles dont les naissances sont assujetties à la règle suivante : Les mâles ont seulement une mère, les femelles ont une mère et un père. Il s avère que le nombre d abeilles, à une étape donnée, est égal à celui de l étape précédente plus celui de l avant-dernière étape. Le tout était agrémenté de diapositives permettant de visualiser l évolution de l essaim d abeilles d une génération à l autre, et ce pour le plus grand plaisir de l auditoire. C est le cas de le dire, on aurait pu entendre voler une abeille! Vinrent ensuite les lapins de Fibonacci, avec toujours des images à l appui pour suivre l évolution de la population, chaque image valant à elle seule mille mots. Le professeur Waldschmidt n a pas eu besoin d une formule de récurrence pour introduire les nombres de Fibonacci! Il en profita pour mentionner que d après la théorie des populations stables d Alfred Lotka, si chaque couple engendre un couple les deux premières saisons seulement, alors le nombre de couples qui naissent chaque année suit encore la loi de Fibonacci. Il passa ensuite à la phyllotaxie, c est-à-dire l ordre dans lequel sont implantés les feuilles ou les rameaux sur la tige d une plante, ou, par extension, la disposition des éléments d un fruit, d une fleur, d un bourgeon ou d un capitule (d après Wikipédia). Un des points forts de la conférence fut En effeuillant la marguerite. Il s agit d enlever un pétale à la fois d une marguerite tout en disant (de manière cyclique!) (1) Je t aime, (2) Un peu, (3) Beaucoup, (4) Passionnément, (5) À la folie, (6) Pas du tout, et de savoir à quelle case on aboutit lorsqu on enlève le dernier pétale. Comme le nombre de pétales est souvent un nombre de Fibonacci, ceci revient à considérer la suite des restes de la division par 6 des nombres de la suite de Fibonacci. Comme cette suite commence par 1, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5,... et que le premier multiple de 6 (dans la suite de Fibonacci) est le nombre 144, il est peu probable que le dernier pétale aboutisse sur la case 6. Il n y a qu un pas à franchir pour conclure que les marguerites nous enseignent que nous sommes amoureux de presque tout le monde..., ou du moins que nous devrions l être. Arriva dans le décor le code secret de coffre à huit nombres du Code Da Vinci : , à savoir les huit premiers nombres de la suite de Fibonacci qu il s agissait de remettre dans l ordre. Le conférencier enchaîna ensuite avec le rectangle d or et le nombre d or. Puis vinrent les pavages de Penrose, le tout accompagné d images plus belles les unes que les autres... Dans les dernières minutes de son exposé, le professeur Waldschmidt mentionna le problème non résolu suivant : Y a-t-il une infinité de nombres de Fibonacci qui soient premiers? Le professeur Michel Waldschmidt conclut en mentionnant que dans une lettre du 2 juillet 1830 adressée à Legendre, Jacobi écrivit : «M. Fourier avait l opinion que le but principal des mathématiques était l utilité publique et l explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c est l honneur de l esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu une question du système du monde.» Les membres de l auditoire auraient certainement aimé poser des questions, mais l organisateur jugea que tous méritaient bien un répit après un contact aussi coloré avec la faune et la flore. C est alors que le lait des vaches et le miel des abeilles se transformèrent miraculeusement en un vin offert par le CRM. On suggéra aux membres de l auditoire de poser leurs questions autour d une table sur laquelle se trouvaient amusegueules et verres de vin ou de jus : Carpe diem. In vino veritas! Fall 2010 (continued from page 4) These groups are exactly the coordinate groups of irreducible algebraic varieties over a free group, and they have the same existential theory as a non-abelian free group. They are relatively hyperbolic and have many properties similar to those of free groups. Many algorithmic problems are solved in this class. Residually free groups are subgroups of direct products of finitely many fully residually free groups; this characterization enables us to study their properties. The activity in this field has been growing incredibly fast, and huge advances have been made, but a lot of work remains to be done. During the last workshop, the Aisenstadt Chair Alexander Razborov will give his Aisenstadt Chair lectures, and there will be three mini-courses. Yuri Matiyasevich (St. Petersburg) will give a mini-course on equations in monoids, Nikolai Romanovskii (Novosibirsk) a mini-course on equations in solvable groups, and Igor Lysenok (Steklov Institute, Moscow) a mini-course on the complexity of the Diophantine problem in a free group. In addition to mini-courses during each workshop, there will be two semester-long courses in support of the Thematic Semester. The first will be a course on group actions, and the second a course on equations in groups. Both courses will be aimed at beginning graduate students and will assume little prior background. Interested graduate students may apply for financial support. BULLETIN CRM 16

17 crm.math.ca Grande Conférence du CRM Le théorème du point fixe de Brouwer : un caméléon mathématique Jean Mawhin (Université catholique de Louvain) de Christiane Rousseau (Université de Montréal) Le 8 octobre 2009 les Grandes Conférences du CRM accueillaient Jean Mawhin, professeur émérite de l Université catholique de Louvain, qui a donné une conférence au titre accrocheur : «Le théorème du point fixe de Brouwer : un caméléon mathématique». La conférence commença sous forme de radio-journal avec les nouvelles brèves en économie, en sciences, en culture et loisirs, ainsi que la météo pour les vacances, le tout agrémenté de notes de la rédaction! Voici par exemple une nouvelle brève en économie : «Dans un jeu non coopératif à un nombre quelconque de joueurs, il y a toujours un équilibre social», et une sur la météo : «À chaque instant, il existe sur Terre au moins deux points antipodaux ayant même pression atmosphérique et même température.» Le thème commun de toutes ces nouvelles était, on l aura deviné, le théorème du point fixe de Brouwer. lequel si n est pair, toute transformation de la sphère Sn dans elle-même admet, soit un point fixe, soit un point dont l image est son antipode. Le public eut ensuite droit à toutes les formulations équivalentes possibles, dont celle-ci : on peut coiffer une sphère en brosse, mais si on essaie de peigner sagement les cheveux, il y aura toujours un cheveu rebelle! La nouvelle brève sur la météo des vacances fut démontrée à l aide du théorème de Borsuk-Ulam : «pour toute transformation de Sn dans Rn, il existe une paire de points antipodaux sur lesquels la transformation prend la même valeur». Comme autre application, le conférencier a ensuite parlé en détail du partage équitable, en un seul coup de couteau, d un sandwich ou de deux crêpes. Le public joua ensuite au jeu de Sperner avec le conférencier et vérifia avec lui que ce jeu est inéquitable pour celui qui commence. La généralisation en dimension n fut présentée, ainsi que le fait que ce jeu est équivalent au théorème du point fixe de Brouwer. Le public eut alors droit aux applications de ce théorème en économie mathématique, via les jeux non coopératifs, les équilibres de Nash et le célèbre théorème de Nash assurant que tout jeu non coopératif à n joueurs admet un équilibre ; ce dernier résultat est une des contributions qui valurent le prix Nobel d économie à John Nash en Le public put laisser courir son imagination en entendant parler des généralisations en dimension infinie, de ce qui n est plus vrai et de ce Le conférencier définit ensuite la notion de point fixe d une qui l est toujours en dimension infinie, et du caractère étrange transformation et l illustra abondamment à l aide d exemples des tambours de dimension infinie. de transformations géométriques usuelles : symétries, rotations, etc. Il montra l importance de l hypothèse que la trans- Jean Mawhin poursuivit en faisant l historique des généralisaformation est continue. Il fit aussi ressortir l importance de la tions du théorème du point fixe de Brouwer en dimension infi«topologie» de l ensemble, puisqu une rotation du cercle dans nie (dont les théorèmes de Schauder et de Tikhonov), et explilui-même n a pas de point fixe. Le théorème du point fixe de qua que le théorème du point fixe de Brouwer est au confluent Brouwer affirme que toute transformation continue de la boule de plusieurs disciplines mathématiques et a de multiples apunité, Bn, dans elle-même admet un point fixe. Jean Mawhin plications en mécanique, physique, chimie, biologie, économie donna l idée sous-jacente à la preuve dans les cas n = 1 et et démographie. Il confia aussi au public le soin de trouver n = 2 avant de passer à l histoire de la découverte du théo- les prochaines applications! Le professeur Mawhin conclut sa rème. Il définit ensuite les notions de rétraction et de rétracte conférence colorée en rappelant que la théorie des points fixes d un ensemble, qu il illustra abondamment avant d expliquer est un mélange de questions d apparence futile et d apparence que le théorème du point fixe de Brouwer est équivalent au sérieuse et que «leur étude a indifféremment contribué à l honthéorème de Borsuk («Sn n est pas un rétracte de Bn+1»). neur de l esprit humain et à la connaissance de la nature». La Le professeur Mawhin expliqua aussi comment les rotations d un espace dans lui-même peuvent détecter la parité de cet espace, grâce à un autre grand théorème de Brouwer, d après soirée se termina par un vin d honneur très animé. BULLETIN CRM 17

18 Rubrique des crm.math.ca Nouvelles brèves André Bandrauk, Michel Delfour et Michael C. Mackey nommés Fellows de la SIAM La grande société américaine de mathématiques appliquées (Society for Industrial and Applied Mathematics, dont l acronyme est SIAM) a récemment créé un programme de Fellows pour rendre hommage aux membres de la SIAM ayant fait des contributions exceptionnelles au domaine de cette société. Le Centre de recherches mathématiques est fier d annoncer que trois André Bandrauk de ses membres, le professeur André Bandrauk de l Université de Sherbrooke, le professeur Michel Delfour de l Université de Montréal et le professeur Michael C. Mackey de l Université McGill, ont été nommés Fellows de la SIAM lors de la première sélection de ceux-ci. André Bandrauk détient une Chaire de recherche du Canada en chimie computationnelle et photonique moléculaire et vient d organiser (en collaboration avec M. Y. Ivanov, C. Le Bris et B. Schneider) un atelier sur l imagerie dynamique quantique, dans le cadre du semestre thématique sur les problèmes mathématiques en imagerie Michel Delfour (automne 2009). Michel Delfour est un des premiers chercheurs à s être joints au CRM et est professeur titulaire au Département de mathématiques et de statistique. Il a organisé de nombreuses activités au CRM, en particulier les 6 es journées Michael C. Mackey montréalaises de calcul scientifique, du 4 au 6 mai 2009 (en collaboration avec A. Fortin et T. Wihler). Michael C. Mackey est le professeur «Joseph Morley Drake» de physiologie à l Université McGill et le directeur du Centre for Nonlinear Dynamics in Physiology and Medicine. Au CRM, il a en particulier organisé l Atelier sur la décomposition des réseaux biochimiques (du 24 au 28 septembre 2007), en collaboration avec Peter Swain et Brian Ingalls et dans le cadre du Semestre thématique sur les systèmes dynamiques appliqués. Prix spécial décerné à Accromαth BULLETIN CRM 18 Un prix spécial de la ministre de l Éducation, du Loisir et du Sport a été décerné à la revue Accromαth, une revue de vulgarisation scientifique de haut niveau dont le rédacteur en chef est André Lauzon, professeur retraité du Cégep de Lévis- Lauzon. Accromαth est publiée par l Institut des sciences mathématiques et le Centre de recherches mathématiques. La revue avait été soumise à la ministre dans la catégorie «ouvrage didactique», où elle ne s insérait pas tout à fait, et même si le comité de sélection ne pouvait décerner un prix dans cette catégorie, les membres du comité ont demandé que soit créé un Prix spécial de la ministre de l Éducation, du Loisir et du Sport, lequel a été remis au rédacteur en chef d Accromαth. Le comité a été frappé par la qualité de l édition de la revue et son graphisme exemplaire, et encore plus frappé par le concept même de la revue, qui vise à susciter l intérêt des jeunes pour les carrières scientifiques et à leur faire découvrir les mathématiques. Accromαth est une revue innovatrice et polyvalente, qui peut être utilisée aux niveaux collégial et universitaire et à laquelle collaborent plusieurs scientifiques des collèges et universités. π La plus belle propriété du nombre Garder ses distances Autresarticles Elle est publiée à exemplaires, distribuée gratuitement aux abonnés et aux établissements d enseignement et en plus diffusée électroniquement grâce à son site Web (http:// accromath.ca). Gilles Brassard (suite de la page 14) était passionné de cryptanalyse. Il y voyait un jeu entre deux équipes adverses, celle des scientifiques qui inventent de nouveaux chiffres, et celle des «espions» qui les percent. Pour Poe comme pour plusieurs scientifiques, il ne fait aucun doute que tout chiffre peut être percé par l esprit humain si suffisamment de temps lui est donné. Mais le Professeur Brassard nous invite à réfléchir à cet énoncé. Est-ce si évident? Les ordinateurs ne pourraient-ils pas être utilisés pour mettre en œuvre des chiffres qu aucun esprit ou qu aucune machine ne pourrait percer en un temps raisonnable? Si c était le cas, l équipe des perceurs de chiffres, en inventant le Colossus pour gagner une manche, aurait perdu la partie! Le grand public était au rendez-vous. Il était captivé. Ceux d entre nous qui savent que Gilles est un des pères de la cryptographie quantique ont été étonnés de voir ce sujet important (presque) passé sous silence. Modestie? «Non, il aurait fallu trop de temps pour bien expliquer ce sujet», nous a répondu Gilles. Il faudra inviter à nouveau ce brillant conférencier!

19 Mot du directeur (suite de la page 20) d analyse mathématique) de faire des propositions dans les domaines de l analyse, la géométrie et la topologie. Les laboratoires se mirent au travail avec enthousiasme et proposèrent un semestre thématique en analyse géométrique (pour le printemps 2012) et une année thématique sur les espaces de modules, l extrémalité et les invariants globaux (pour l automne 2012 et le printemps 2013). Ces propositions d activités thématiques sont prêtes et ont été présentées au Comité scientifique international lors de sa réunion en novembre. Dans le cadre du Séminaire de mathématiques supérieures (SMS), le CRM et le département de mathématiques et de statistique de l Université de Montréal organisèrent une école d été sur les formes automorphes et fonctions L et leurs aspects algorithmiques (du 22 juin au 3 juillet 2009). Toujours dans le cadre du SMS, une école en informatique quantique est prévue pour l été 2010 et une proposition d école en analyse géométrique sur les espaces métriques-mesurés a été faite pour l été Si cette école a lieu, ce sera la 50 e école d été dans le cadre du SMS. Lorsque le Canada proposa d être l hôte du CIM (Congrès International des Mathématiciens), Christiane Rousseau suggéra un programme relié à ce congrès et intitulé «Mathématiques de la planète terre». Malgré ses grandes qualités, la proposition canadienne pour le CIM ne fut pas retenue, mais la suggestion d organiser des activités sur le thème des mathématiques de la planète terre fut adoptée par le CRM et d autres instituts d Amérique du Nord. Par exemple, le semestre thématique de statistique, en 2011, inclura des activités sur ce thème, et d autres activités seront organisées par le CRM. Je conclus en mentionnant que la demande d équipement faite au CRSNG l année dernière a été partiellement agréée, et qu une nouvelle demande vient d être présentée au CRSNG pour satisfaire les besoins restants. Word of the Director (continued from page 20) Peter Russell A summer school on Automorphic Forms and L-functions, Computational Aspects, was held this summer in the Séminaire de mathématiques supérieures (SMS) series. For 2010 another SMS school is planned in Quantum Information, and there is a proposal for one on Geometric Analysis on Metric-Measure Spaces as part of the Analysis Thematic Semester. It would be the 50th in the SMS series. As part of the strong (but in the end not successful) Canadian bid for an ICM meeting Christiane Rousseau had launched a one-year initiative on Mathematics of Planet Earth (MPE), to be organized jointly by the North American Mathematics institutes. This initiative has been retained in various forms by the CRM and other institutes. Part of the Statistics Thematic Semester in 2011, for instance, fits in the MPE framework, and other activities for 2011 and later are in the planning stage. To conclude let me mention that an equipment grant application made to NSERC last year has been partially successful, and that a new request for what has not yet been granted has been submitted this fall. Peter Russell Le Bulletin du CRM Volume 15, N o 2 Automne 2009 Le Bulletin du CRM est une lettre d information à contenu scientifique, faisant le point sur les actualités du Centre de recherches mathématiques. ISSN Le Centre de recherches mathématiques (CRM) a vu le jour en Présentement dirigé par M. Peter Russell, il a pour objectif de servir de centre national pour la recherche fondamentale en mathématiques et leurs applications. Le personnel scientifique du CRM regroupe plus d une centaine de membres réguliers et de boursiers postdoctoraux. De plus, le CRM accueille chaque année entre mille et mille cinq cents checheurs du monde entier. Le CRM coordonne des cours de cycles supérieurs et joue un rôle prépondérant (en collaboration avec l ISM) dans la formation de jeunes chercheurs. On retrouve partout dans le monde de nombreux chercheurs ayant eu l occasion de perfectionner leur formation en recherche au CRM. Le Centre est un lieu privilégié de rencontres où tous les membres bénéficient de nombreux échanges et collaborations scientifiques. Le CRM tient à remercier ses divers partenaires pour leur appui financier à sa mission : le Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada, le Fonds québécois de la recherche sur la nature et les technologies, la National Science Foundation, le Clay Mathematics Institute, l Université de Montréal, l Université du Québec à Montréal, l Université McGill, l Université Concordia, l Université Laval, l Université d Ottawa, l Université de Sherbrooke, ainsi que les fonds de dotation André-Aisenstadt et Serge-Bissonnette. Directeur : Peter Russell Directeur d édition : Odile Marcotte Conception et infographie : Félix Labrecque-Synott et André Montpetit Centre de recherches mathématiques Pavillon André-Aisenstadt Université de Montréal C.P. 6128, succ. Centre-ville Montréal, QC H3C 3J7 Téléphone : Télécopieur : Courriel : Le Bulletin est disponible au crm.math.ca/docs/docbul_fr.shtml. BULLETIN CRM 19

20 Mot du directeur crm.math.ca Word of the Director Mon mandat comme directeur du CRM a commencé il y a presque six mois. J aimerais remercier les membres et les employés du CRM de leur accueil chaleureux et de leur aide précieuse au cours de cette première période. Ce mot me donne l occasion de vous présenter rapidement les activités du CRM pendant l été et l automne 2009, et les activités prévues pour les années qui vont suivre. Le programme conjoint CRM-PIMS «Défis et perspectives en probabilités» ( ) eut lieu au CRM et en plusieurs localités de l Ouest pendant le printemps et l été et connut un très grand succès. En plus des ateliers, il comporta un symposium en l honneur de David Brydges et Joel Feldman (en juillet 2009) et des conférences Aisenstadt données par Svante Janson en octobre L étendue des activités scientifiques du CRM a été démontrée une fois de plus par les quatre ateliers interdisciplinaires du Semestre thématique sur les problèmes mathématiques en imagerie (pendant l automne 2009). Pendant ce semestre, les titulaires de la Chaire Aisenstadt étaient Stéphane Mallat et Claude Le Bris. Quatre Grandes Conférences du CRM se sont tenues récemment, dont une à l Université Laval. Elles furent données respectivement par Gilles Brassard, Michel Waldschmidt, Jean Mawhin et Jeffrey Rosenthal. De nombreux congrès et ateliers furent organisés ou soutenus par le CRM ; parmi eux mentionnons CanaDAM 2009 (un congrès sur les mathématiques discrètes et algorithmiques), deux ateliers en l honneur de membres du CRM (M. Makkai et P. Russell), ICML 2009 (un congrès sur l apprentissage automatique), le 1 er Atelier de Montréal sur les mathématiques idempotentes et les mathématiques tropicales, le 15 e Congrès IAPR sur la géométrie discrète et l imagerie et le Troisième atelier de résolution de problèmes industriels de Montréal (une activité CRM-MITACS). La programmation thématique jusqu en 2011 avait déjà été approuvée par le Comité scientifique international du CRM en Les prochains semestres thématiques porteront sur les thèmes suivants : théorie des nombres, science expérimentale et appliquée (hiver et printemps 2010), aspects géométriques, combinatoires et algorithmiques de la théorie des groupes (été et automne 2010), statistique (hiver et printemps 2011) et informatique quantique (été et automne 2011). Notre Comité scientifique local, récemment constitué, se réunit pour la première fois au début du mois d octobre et demanda à deux laboratoires (le CIRGET et le Laboratoire (suite à la page 19) It is almost half a year already since the beginning of my term as director of the CRM. I would like to thank the members and the staff of the CRM for the warm welcome they have given me, and for their tremendous help during the inevitable learning period. I take this opportunity to give you a brief run-down on what happened at the CRM this summer and fall, and what is planned for the future. The very successful Joint CRM PIMS Thematic Program on Challenges and Perspectives in Probability took place during spring and summer at the CRM and various western locations. It included a symposium in honour of David Brydges and Joel Feldman. The associated Aisenstadt Chair lectures had already been given by Svante Janson in In a good demonstration of the wide scope of our activities we had four very interdisciplinary workshops during the Fall 2009 Thematic Semester on Mathematical Problems in Imaging Science, from the Neuronal to the Quantum world. Stéphane Mallat and Claude Le Bris were Aisenstadt lecturers for this Thematic Semester. Four Grandes Conférences du CRM were presented to the general public, one of them at Université Laval. The speakers were Gilles Brassard, Michel Waldschmidt, Jean Mawhin and Jeffrey Rosenthal. A considerable number of conferences and workshops were organized or supported by the CRM, among them CanaDAM 2009 (on discrete and algorithmic mathematics), two conferences in honour of CRM members (M. Makkai and P. Russell), ICML 2009 (on machine learning), the 1st Montreal Workshop on Idempotent and Tropical Mathematics, the 15th IAPR International Conference on Discrete Geometry for Computer Imagery and the 3rd CRM MITACS Montreal Industrial Problem Solving Workshop. Future thematic programming had, at least tentatively, been approved in 2008 already by our International Scientific Advisory Committee (ISAC) through the fall of The upcoming thematic semesters are: Number Theory as Experimental and Applied Science (Winter Spring 2010), Geometric, Combinatorial and Computational Group Theory (Summer Fall 2010), Statistics (Winter Spring 2011) and Quantum Information (Summer Fall 2011). Our newly constituted Local Scientific Committee met for the first time early in October and decided to ask the relevant laboratories for proposals in the areas of Analysis and Geometry Topology. The response was enthusiastic and rich proposals for a thematic semester in Geometric Analysis and Spectral Theory (Spring 2012) and a thematic year in Moduli Spaces, Extremality and Global Invariants (Fall 2012 and Spring 2013) have been readied for presentation to the ISAC at its meeting this month. (continued on page 19) BULLETIN CRM 20

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