Math 04 : Probabilités et Statistiques
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- Agathe Meunier
- il y a 8 ans
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1 Centre Universitaire Ain Témouchent Math 04 : Probabilités et Statistiques Dr. AISSA MAMOUNE Sidi Mohammed Département des Sciences et Technologie Institut des Sciences et Technologie aissa_mamoune@yahoo.fr
2 Intitulé du domaine Sciences et Technologie Année 2ème année Intitulé de la matière Maths 4 : Probabilités et Statistiques Annuel ou semestriel Semestriel Unité d enseignement UEM3 Méthodologie Volume horaire global 45 heures 1h30 /semaine Cours 1h30 /semaine TD Chargé de la matière Mr Sidi Mohammed AISSA MAMOUNE Nombre de crédits 4 2
3 Dr Sidi Mohammed AISSA MAMOUNE Département des Sciences et Technologie - Institut des Sciences et Technologie Centre Universitaire Ain Témouchent BP 284 (46000), Tel/Fax : aissa_mamoune@yahoo.fr Doctorat en Génie Civil UABB - FSI 2009 Algérie Certificate of Distance-Learning Methodologies Université Missouri Rolla (UMR) 2005 USA Magister en Génie Civil UABB - FSI 2002 Algérie Ingénieur d'etat en Génie Civil UABB - FSI 1999 Algérie 3
4 Objectifs du cours Le cours a pour but d initier les étudiants aux principes de base de la probabilité et statistique. Support pédagogique Il est mis à la disposition des étudiants un support pédagogique sur papier du Cours et des Travaux Dirigés (TD). Plateforme Elearning (l adresse vous sera transmise prochainement) 4
5 Notation et examens La note finale MOY est calculée sur la base de deux (02) notes : Epreuve finale Note1 Contrôle continu Note2 MOY=(2*Note1 + Note2) / 3 La note du contrôle continu (Note2) est calculée sur la base de deux (02) notes Epreuve T1 Assiduité T2 Note2= T1* T2*0.20 5
6 Organisation du Cours Partie A Partie B Partie C Introduction générale et organisation du cours Chapitre1 Traitement statistique de l information Chapitre2 à Chapitre 5 Traitement probabiliste de l information Chapitre6 à Chapitre 9 6
7 SOMMAIRE Chap. 1 : Introduction générale Chap. 2 : Collecte des données Chap. 3 : Chap. 4 : Distribution statistique à deux caractères Chap. 5 : Distribution statistique à plusieurs caractères Chap. 6 : Théorie de la probabilité Chap. 7 : Variable aléatoire Chap. 8 : Vecteurs aléatoires Chap. 9 : Transformation d une Variable Aléatoire 7
8 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours L incertain est-il notre quotidien???? Ce qui est sûr, c est que rien n est sûr 8
9 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours Probabilité et Statistiques : Outils au service de l engineering Place du cours dans votre futur métier - Analyse des données - Prédictions - Simulations (processus stochastiques) - Décisions (probabilités d occurrence et risque) - 9
10 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours La conception d un système donné nécessite trois étapes : 1. La compréhension du système : quelle est sa fonction 2. La modélisation du système : quel est le modèle à développer pour décrire ce système avec l identification de l input et l output de ce modèle 3. Le recours aux données : l utilisation de données nécessaires pour l utilisation du modèle. Ces données sont l input du modèle. 10
11 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours Considérons un exemple très simple Etape 1 Nul besoin de montrer le fonctionnement d un ressort dans un système mécanique (suspension de voiture, ) 11
12 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours Etape 2 Essayons maintenant de voir comment modéliser ce ressort. L input du modèle est: La force agissante, dans notre cas F Le ou les caractéristiques du ressort, dans notre cas K L output du modèle est par exemple la déformation du ressort, dans notre cas X. Une relation toute simple a été mise en place (modèle mathématique). F = K. X X = F K 12
13 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours Etape 3 Donc en se basant sur ce modèle mathématique, il est possible de connaître la déformation du ressort connaissant F et K En fait, il est possible de dire que la connaissance de l output (Déformation du ressort) est acquise. Est-ce vrai? NON 13
14 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours Pourquoi? 1. Le premier problème qui se pose est tout d abord: Est ce que le modèle mis en place est "exact"? 2. Le deuxième problème auquel on est confronté est la validité de l information de l Input. En d autres termes peut-on dire avec certitude que les valeurs de F et K sont exactes et connues 14
15 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours La statistique est un ensemble de méthodes permettant: de recueillir des données brutes ; de présenter, résumer ces données; de tirer des conclusions sur la population étudiée (sa structure, sa composition), d aider à la prise de décision; en présence de données dépendant du temps, de faire de la prévision. 15
16 Chapitre 1: Introduction générale et organisation du cours Les outils de la statistique et de la probabilité permettent de répondre à la question suivante: Comment déterminer la valeur de l Output si l Input et/ou le modèle mathématique du phénomène étudié ne sont pas connus 16
17 Chapitre 2: Collecte des données Population ou unité statistique et/ou échantillon Individu Caractère Modalités -Population: -Individu: -Caractère: -Modalités: Employés d une usine Un employé de cette usine Salaire 10000DA, 20000DA, 25000DA 17
18 Chapitre 2: Collecte des données -Population: -Individu: -Caractère: Ressorts Un ressort parmi ces ressort Rigidité K -Modalités: K [ 10,20] N / m 18
19 Chapitre 2: Collecte des données Caractère Qualitatif Exprimée par une description naturelle du langage (ex: une couleur) Discret Quantitatif exprimée par des nombres (ex: une taille) Réel 19
20 Chapitre 2: Collecte des données Exemple: On souhaite connaitre l état des maisons Choix entre les trois types de caractère -Population: Maisons (100) -Individu: -Caractère: -Modalités: Une maison parmi ces 100 maisons L état de la maison Petite, moyenne, grande Caractère qualitatif 20
21 Chapitre 2: Collecte des données -Population: Maisons (100) -Individu: -Caractère: Une maison parmi ces 100 maisons Nombre de pièces -Modalités: 1, 2, 3, 4, 5 Caractère quantitatif discret 21
22 Chapitre 2: Collecte des données -Population: Maisons (100) -Individu: Une maison parmi ces 100 maisons -Caractère: Surface (notée S) -Modalités: S [60, 200] m² Caractère quantitatif continu 22
23 Chapitre 2: Collecte des données Une compagnie achète ampoules électriques d un fabricant qui affirme que ses ampoules fonctionnent durant au moins heures (1 mois et 11 jours, sans arrêt). Cette compagnie vérifie 15 ampoules et, suite à ces résultats doit décider si elle garde ou non les ampoules. Identifier la population, l individu, le caractère et les modalités 23
24 Chapitre 2: Collecte des données Une compagnie achète ampoules électriques d un fabricant qui affirme que ses ampoules fonctionnent durant au moins heures (1 mois et 11 jours, sans arrêt). Cette compagnie vérifie 15 ampoules et, suite à ces résultats doit décider si elle garde ou non les ampoules. Population : l ensemble des ampoules achetées. Échantillon : les 15 ampoules vérifiées. Individu : une ampoule parmi les 15 Caractère : durée de fonctionnement de l ampoule Modalités : Durée en heures Variable statistique (VS) continue 24
25 Chapitre 2: Collecte des données Population : l ensemble des ampoules achetées. Échantillon : les 15 ampoules vérifiées. Individu : une ampoule parmi les 15 Caractère : l état de l ampoule Modalités : Bon ou mauvais Caractère qualitatif 25
26 Chapitre 2: Collecte des données Un même individu peut il avoir plusieurs caractères???? Oui Population : l ensemble des ampoules achetées. Échantillon : les 15 ampoules vérifiées. Individu : une ampoule parmi les 15 Caractère : l état de l ampoule la durée de fonctionnement de l ampoule Modalités : Bon ou mauvais Durée en heures 26
27 Chapitre 2: Collecte des données Les notes des étudiants 8,75 6,00 3,75 11,25 11,50 7,00 11,75 10,50 5,00 6,75 7,50 11,75 8,75 16,25 12,00 10,50 15,25 12,50 11,00 9,50 7,75 8,50 12,50 4,00 16,00 7,50 9,00 11,00 13,50 8,00 13,00 10,75 12,75 5,50 9,00 9,25 0,00 8,75 10,75 6,50 7,00 12,00 7,00 9,50 15,25 11,50 10,75 5,25 11,50 9,25 9,75 9,75 14,75 6,00 15,25 10,50 11,00 4,75 13,25 11,50 12,00 12,00 12,00 9,00 4,25 7,00 9,00 9,50 13,25 15,25 8,00 12,25 10,75 7,25 9,50 7,50 10,25 14,75 15,50 10,50 10,25 13,50 9,50 5,00 5,50 9,50 5,50 5,75 6,50 1,25 14,75 16,50 11,75 5,75 4,50 7,50 16,25 6,50 17,75 6,50 2,00 14,00 13,50 11,00 10,75 9,50 0,00 15,50 10,75 4,50 6,50 7,00 8,75 7,75 16,75 11,50 8,50 10,25 12,75 10,00 2,75 Population : l ensemble des étudiants (121) Individu : un étudiant parmi les 121. Caractère : la note de l examen Modalités : les valeurs de la note [0,20] 27
28 Chapitre 2: Collecte des données Soit P une population formée de n individus (x i, i=1,..n). Soit C un caractère ayant k modalités c 1, c 2,,c k. Ce caractère peut être qualitative, quantitative (discret ou continu) Remarquez que n k Pourquoi???? 28
29 Chapitre 2: Collecte des données La collecte de l information relative au caractère C auprès de la population P consiste à observer pour chaque individu de P la modalité qui lui correspond. 29
30 Chapitre 2: Collecte des données Le résultat obtenu est la série statistique L individu n 1 identifié par x 1 présente une modalité parmi les k modalités (avec par exemple k=10). Les autres individus vont avoir les modalités suivantes: x 1 = c 3 x 2 = c 10 x 3 = c 3... x n = c 8 30
31 Chapitre 2: Collecte des données Le traitement de cette information élémentaire consiste à dénombrer pour chaque modalité c j, le nombre d individus de la population P n j qui présentent cette modalité. La distribution statistique est donc formée par les couples ( ) c, n j j j =1,2,..., k 31
32 Chapitre 2: Collecte des données Notion de fréquence Le nombre n j est dit effectif ou fréquence absolue de la modalité c i. Il est clair que : n j = =k = j= 1 n j Le nombre f j est dit fréquence de la modalité c j. f j = n n j j = k j= 1 f j = 1 32
33 Chapitre 2: Collecte des données Caractère ou variable statistique Qualitatif Exprimée par une description naturelle du langage (ex: une couleur) Discret Quantitatif exprimée par des nombres (ex: une taille) Réel k modalités c 1, c 2,,c k 33
34 Chapitre 2: Jours du mois de Janvier Climat Ensoleillé, pluvieux, orageux Collecte des données Population Caractère Modalité n=31. k=3 modalités c 1 =Ensoleillé c 2 =Pluvieux c 3 =Orageux Remarquez que n k 34
35 Chapitre 2: Série statistique Collecte des données Tableau statistique 35
36 Chapitre 2: Collecte des données Les 10 séismes recensés durant une année au niveau d une région Population Intensité Intensité I à XII n=10. k=12 modalités Caractère Modalité c 1 =1 c 2 =2 c 12 =12 36
37 Chapitre 2: Collecte des données Série statistique Tableau statistique 37
38 Chapitre 2: Collecte des données Les 10 séismes recensés durant une année au niveau d une région Population Magnitude de Richter Caractère Valeur de la Magnitude Modalité Les valeurs de la magnitude sont réels n=10. k=???? Comment construire le tableau statistique??? 38
39 Chapitre 2: Collecte des données Série statistique Du moment que le caractère est quantitatif continu alors l idée consiste à établir des classes et ce pour mettre en place le tableau statistique 39
40 Chapitre 2: Collecte des données Est-ce qu il y a un seul tableau statistique? NON 40
41 Chapitre 2: Collecte des données 41
42 Chapitre 2: Collecte des données Donc Pour un pas de 1 on a 7 classes Pour un pas de 1.5 on a 5 classes Pour un pas de 3 on a 3 classes Questions : Est-ce que le choix du pas a une importance dans le traitement des données? Quel pas choisir? Cette question peut être posée autrement Quel est le nombre de classes que l on doit choisir 42
43 Chapitre 2: Collecte des données Soit k le nombre de classes STURGE k =1+ 3.3log10 ( n) YULE k = n 43
44 Chapitre 2: Collecte des données 20 4 Nombre de classes 10 0 k (Yule) k (Sturge) k (Yule)-k (Sturge) Nbre classe (Yule)-Nbre classe (Sturge) 0-1 k Nombre d'individus ( 10) 4. 3 = log10 = k = 5 44
45 Chapitre Description graphique 3.2 Description numérique Caractéristique de tendance centrale Caractéristique de dispersion 3.3 Caractéristiques de formes 45
46 3.1 Description graphique Variable quantitative continue La série statistique 46
47 Histogramme Longueur (m) 10,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0, Poutre Exploitation difficile 47
48 Histogramme 10,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 48 Longueur (m) Poutre L Exploitation devient plus difficile si le nombre d individu augmente Dans le présent cas de 15 à 62
49 Histogramme Longueur (m) Poutre Avec un nombre d individu qui avoisine les 600 individus, l exploitation devient pratiquement impossible 49
50 20 4 Nombre de classes 10 k (Yule) k (Sturge) k (Yule)-k (Sturge) Nbre classe (Yule)-Nb bre classe (Sturge) Nombre d'individus 50
51 Nombre de classes Nombre d'individu 51
52 Établissement du tableau (ou distribution) statistique n =15 k = log10 ( 15) = 4.88 k = 5 V max = 8.9 m V min =1.50 m 52
53 Pas = V max k V min Pas = = 1.48 m Pas =1.50 m 53
54 54
55 Fréquence X (m) 55
56 56
57 57
58 58
59 59
60 60
61 Symétrique Fré équence Modalité 61
62 Asymétrique Fré équence Modalité 62
63 Tendance à gauche Fré équence Modalité 63
64 Tendance à droite Fré équence Modalité 64
65 Fré équence Tendance unimodale Modalité 65
66 Fré équence Aplatie Modalité 66
67 Fré équence Uniforme Modalité 67
68 Quel est le nombre d individus ayant une valeur (modalité) inférieure à une certaine valeur (par exemple 6) Fonction cumulative 68
69 Il suffit pour cela de sommer le nombre de séismes dont la magnitude est inférieure à 6. Ce nombre divisé par le nombre d individus de la population s appelle Fréquence cumulée. 69
70 Pour chaque valeur, il existe une fréquence cumulée. 70
71 Le tracé des couples (valeur,fréquence cumulée) donne ce qu on appelle la Fonction cumulative. 71
72 Déterminer le nombre de séismes dont la magnitude est inférieure à sur 10 soit 0.80 ou 80% 72
73 Question : Déterminer le nombre de séismes dont la magnitude est inférieure à sur 10 soit 0.50 ou 50% 73
74 Question : Déterminer le nombre de séismes dont la magnitude est inférieure à sur 10 soit 0.70 ou 70% 74
75 Soit 0.60 ou 60% 7 sur 10 soit 0.70 ou 70% 75
76 3.1 Description graphique Variable quantitative discrète La série statistique 76
77 La distribution statistique 77
78 2 Effe ectif Intensité du séisme (Modalité) Représentation par bâtonnet 78
79 Intensité (Modalité) Effectif Fréquence de la modalité Fréquence cumulée
80 Le nombre de séismes dont l intensité est inférieure à 5. Ce nombre divisé par le nombre d individus de la population s appelle Fréquence cumulée. 80
81 Fréquen nce cumulée Fonction cumulative Intensité
82 3.1 Description graphique Variable qualitative Représentation par diagramme 82
83 Ensoleillé 9 29% Pluvieux 15 48% Orageux 7 23% Représentation Diagrammes circulaires 83
84 Chapitre 2: Collecte des données Les notes des étudiants ,25 3,75 6,25 8,75 11,25 13,75 16,25 18,75 84
85 Est-ce la description graphique est suffisante? Les modèles mathématiques nécessitent l introduction d une valeur et non l appréciation sur la variation des modalités 85
86 3.2 Description numérique Caractéristique de tendance centrale Exemple: X=F/K F: Force (mesurée en Newton) et K: Raideur: Connue=10 N/cm F: Force (mesurée en Newton)
87 n =10 k = ( 10) log = 10 Individus Force (Modalité) N k = V min =10 N V V max = 26 N Pas = = 3.2 N Pas = 4 N 87
88 88
89 89
90 Fréque ence (%) Force (N) 90
91 Fréque ence (%) Force (N) 90
92 10 valeurs de F sont observées. Question: Quelle valeur de F doit-on utiliser dans l équation X=F/K La plus petite? La plus grande? La plus significative 91
93 Que recherche le concepteur Réduire un ensemble de données Conserver une partie de l'information Résumer l'ensemble des valeurs par une seule valeur Parfois c est difficile à accepter 92
94 Caractéristique de tendance centrale Elle décrit l ordre de grandeur des valeurs et aussi la valeur centrale autour de laquelle se regroupent les observations. 93
95 Caractéristique de tendance centrale (paramètres de position) Choisir Série statistique Tableau statistique 1. Mode 2. Médiane 3. Moyenne (s) 4. Quantile 94
96 Mode Le mode, noté Mo, est la modalité qui admet la plus grande fréquence : Il est parfaitement défini pour une variable qualitative ou une variable quantitative discrète. Pour une variable quantitative continue nous parlons de classe modale : c'est la classe dont la densité de fréquence est maximum. 95
97 Variable qualitative Mo= Pluvieux 96
98 Variable quantitative discrète Fr réquence (%) Nombre de pièces dans une maison Mo=3 pièces 97
99 Variable quantitative continue Fréquence Magnitude de Richter Milieu de la classe dont la fréquence est la plus grande Mo=
100 Variable quantitative continue Fréquence Magnitude de Richter Milieu de la classe dont la fréquence est la plus grande Mo=
101 Variable quantitative continue Fréquence Magnitude de Richter Milieu de la classe dont la fréquence est la plus grande Mo=
102 Variable quantitative continue 0.4 Fréquence Magnitude de Richter Mo=6.75 Le même résultat a été obtenu pourtant les deux distributions ne sont pas identiques 101
103 Fréquence (%) Force (N) Fréquence (%) Mode Force (N) 102
104 103
105 Fréquence Magnitude de Richter 104
106 0.4 Fréquence Magnitude de Richter 105
107 40 35 Mode 30 Fréquence (%) Force (N) F=12 N X=12/10=1.2cm 106
108 Médiane La médiane Me est telle que l'effectif des observations dont les modalités sont inférieures à Me est égal à l'effectif des observations dont les modalités sont supérieures à Me. Utilise la notion de fonction cumulative 107
109 Quantitative discret 108
110 Quantitative continue 109
111 Fréquence (%) Force (N) F=18 N X=18/10=1.8cm 110
112 Médiane Avantage: simple à calculer Prend en compte une partie des valeurs Inconvénient: ne tient pas compte de la distribution des modalités supérieures à la médiane 111
113 Fréque ence (%) Force (N) 112
114 Fréque ence (%) Force (N) 113
115 Valeur de tendance centrale Médiane=18 N Mode=12 Nm 114
116 Quantile α% P α 115
117 Quantile Le quantile α est la valeur P α qui laisse α% des observations endessous et (1 α)% des observations au-dessus d elle. Les deux quartiles les plus importants sont P 25 (qui laisse 25 % des observations en-dessous) et P
118 Moyenne (s) La moyenne ne se définit que pour une variable statistique quantitative. 117
119 Moyenne arithmétique dite par abréviation MOYENNE Individus Force (Modalité) N F = i = 1 Fi 10 = 10 i= F i = 16.97N
120 j j j = 1 = 2 = 3 Limites des classes (N) Limite inf Limite sup Fj Centre de classe (N) Effectif Fréquence (%) j = j = f j f jf j F 5 = j= 1 f j F j = ( ) = 18.4N 119
121 Série statistique: Moyenne arithmétique=16.97 N Tableau statistique: Moyenne arithmétique=18.40 N DIFFERENCE????????????? 120
122 F = N F =18. 4N 121
123 Valeur de tendance centrale F Existe-t-il une seule moyenne R j = k = j= 1 1 [ ( ) ] R R f F j j 122
124 R=1---- Moyenne arithmétique F j = = = k 1 [ ( ) ] 1 1 f F 1 j j j= 1 F 1 j = = j = k 1 [ ] f j F j 123
125 R=0---- Moyenne géométrique F j = = = k 1 [ ( ) ] 0 0 f F 0 j j j= 1 log j k ( ) ( ) F f = = j= 1 j F j 0 log 124
126 R= Moyenne harmonique F 1 j = k = j= 1 [ ( ) ] 1 f j F j F 1 = j = k j= 1 f j 1 F j 125
127 R=2---- Moyenne quadratique F j = = = k 1 [ ( ) ] 2 2 f F 2 j j j= 1 F 2 = j = k j= 1 [ ( ) ] 2 f j F j 126
128 Quelle moyenne choisir???? Etude comparative entres les moyennes et la moyenne réelle obtenue directement du tableau brut R=-3 R=-2 R=-1 Moyenne R=0 R=1 R=2 R=3 Mode Médiane 127
129 Démontrer que ( ) [ ] 0 1 = = = k j j j j F F f Chapitre 3: ( ) ( ) [ ] ( ) = + = k j a F F F f a 2 2 φ 128 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] = = = = + = k j j j j j j j a F f a F F F f a φ
130 Est-ce la réduction d un ensemble de valeurs à un seule valeur est une étape suffisante Réduire un ensemble de données Conserver une partie de l'information 129
131 On souhaite donner un prix: Meilleur classe Critère de classement: Moyenne Pour faire simple, on suppose que deux classes sont candidates pour ce prix et que chacune des deux classes est composée de 10 élèves 130
132 ,5 9, CLASSE A CLASSE B- MOYENNE=10 Qui mérite de recevoir le prix???? 131
133 Question Est-ce que les caractéristiques de tendance centrale sont suffisantes pour identifier une valeur de F à utiliser Tableau n 1 Tableau n 2 Les deux tableaux présentent la même moyenne arithmétique=16.97 N 132
134 Question: Est-ce que les deux tableaux sont identiques Trouver une valeur qui reflète au mieux La dispersion des valeurs de notre échantillon Valeur de dispersion 133
135 3.2 Description numérique Caractéristique de dispersion Caractéristique de dispersion Choisir Série statistique Tableau statistique 1. Etendue 2. L intervalle inter-quartiles 3. Ecart moyen 4. Ecart type 134
136 Tableau n Tableau 2 Tableau 1 Moyenne Tableau n 2 135
137 Caractéristiques de dispersion Mesurer la différence qui existe entre la valeur max et min ETENDUE Tableau n 1 ETENDUE= =9.15 N Tableau n 2 ETENDUE=26-10=16.0 N 136
138 Caractéristiques de dispersion ETENDUE (Tableau 1)= 9.15 N ETENDUE (Tableau 2)= 16.0 N ETENDUE (Tableau 2)>ETENDUE (Tableau 1) C est logique mais attention cette valeur peut vous fausser l interprétation car elle se base sur les valeurs extrêmes 137
139 Tableau n 1 Moyenne= N et ETENDUE= =9.15 N Tableau n 2 Moyenne= N et ETENDUE=26-10=16.0 N Tableau n 3 Moyenne= N et ETENDUE=26-10=16.0 N 138
140 Tableau n 1 Moyenne= N et ETENDUE= =9.15 N
141 Tableau n 2 Moyenne= N et ETENDUE=26-10=16.0 N
142 Tableau n 3 Moyenne= N et ETENDUE=26-10=16.0 N
143 Tableau 1 Tableau 2 Tableau
144 Caractéristiques de dispersion L intervalle inter-quartiles H = P 75 P 25 Fréquence e P 25 = P 75 =80 143
145 Caractéristiques de dispersion Mesurer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne Estimer la différence entre les valeurs observées Et la moyenne 144
146 F =16, F 10 =14,50 F 1 =10 F5 F 1 F F 145
147 Valeur de dispersion Cette valeur DOIT être très petite V ( F F ) + ( F F ) + + ( F F ) = ( ) F F F F V = V ( ) = 0 = F F 146
148 Valeur de dispersion Cette valeur DOIT être très petite V ( F F ) + ( F F ) + + ( F ) 0 = F = Or cette valeur est en fait nulle et ne peut donc mesurer la dispersion Autre méthode 147
149 Valeur de dispersion V = F F + F F F F Cette valeur permet d estimer la différence La valeur absolue est une fonction mathématique difficilement dérivable 148
150 Valeur de dispersion V = ( ) 2 ( ) ( ) 2 F F F F... F F Cette valeur est toujours positif et permet d estimer la différence entre les valeurs observées et leur moyenne 149
151 Valeur de dispersion Mesurer la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne V 10 i= 1 ( ) R F F et R pair = i 150
152 Série statistique Tableau statistique Moyenne F = i F = F = i=1 n j= j k 1 f jf j EM F = 10 i= 1 1 n F i F Écart moyen EM F = j = k j= 1 [ ] f F F j j 151
153 Série statistique Tableau statistique Variance ( σ ) F 2 = i=1 ( F F ) i n 2 j = k j= 1 [ ] 2 ( ) 2 σ = f ( F F ) F j j Ecart type σ F 152
154 Tableau statistique Série statistique Différence d ordre R 1 Chapitre 3: [ ] 1 ( ) R n i i R i R F F n V = = = ( ) [ ] R k j j R j j R F F f V 1 1 = = = 153
155 Exercice: Déterminer l Ecart Moyen et l Ecart type Limites des classes (N) Limite inf Limite sup Centre de classe (N) Effectif Fréquence (%)
156 155
157 156
158 157
159 158
160 j = k j= 1 [ ( )] f F F = 0 j j 159
161 V j=k = = j= 1 f j Fj F = 4. 8N Ecart Moyen= 4.8 N 160
162 161
163 162
164 Tableau n 1 = = j= 1 ( ) 2 ( ) σ f F F 6.28 N ² Tableau n 2 j k 2 = j j j k = = j= 1 2 = j j ( ) 2 ( ) σ f F F N ² 163
165 3.3 Caractéristiques de formes 1. Coefficient de variation 2. Coefficient de symétrie 3. Coefficient d aplatissement Coefficient de variation (noté CV)=Ecart type / Moyenne 164
166 165
167 Coefficient de symétrie (Cœfficient of Skewness) i n 1 ( ) F F i 3 η = = i= 1 n ( σ ) F 3 η = j = k j= 1 f j ( ) F F j ( σ ) F
168 Coefficient de symétrie (Cœfficient of Skewness) 167
169 Coefficient d aplatissement (Cœfficient of Kurtosis) généralement comparé à la valeur de 3 qui est celui de la distribution κ = ( ) F F i i = n 1 n σ i = 1 F ( σ ) 4 4 κ = j = k j= 1 f j ( ) F F j ( σ ) F
170 Coefficient d aplatissement (Cœfficient of Kurtosis) généralement comparé à la valeur de 3 qui celle d une distribution normale 169
171 Exemple: κ 3 = 0,5 < 0 170
172 Exemple: La distribution normale est symétrique κ 3 = 2 > 0 171
173 Chapitre 2: Collecte des données Les notes des étudiants ,25 3,75 6,25 8,75 11,25 13,75 16,25 18,75 172
174 Chapitre 4 Distribution statistique à deux caractères 4.1 Introduction 4.2 Description numérique 4.3 Principe de la méthode des moindres carrées "Least Square method» 4.4 Covariance 173
175 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Caractère ou variable statistique Qualitatif Exprimée par une description naturelle du langage (ex: une couleur) Discret Quantitatif exprimée par des nombres (ex: une taille) Réel k modalités c 1, c 2,,c k 174
176 Chapitre 4: 4.1 Introduction Distribution statistique à deux caractères Un même individu peut il avoir plusieurs caractères???? Oui Individu Maison Caractère 1 Surface habitable (notée X) Caractère 2 Surface non habitable (notée Y) Surface non habitable: Le jardin et autres Ce qui est recherché c est De possibles relations entre le caractère 1 et le caractère
177 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Maison X (m²) Y (m²) 1 200,1 75, ,3 41, ,7 40, ,3 13, , ,3 32, ,8 35,3 176
178 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Y (m²) X (m²) 177
179 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères La distribution des valeurs (X et Y) Y (m²) X (m²) 178
180 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères 65 Voilà ce que prévoit les codes de l urbanisme (Y=0.30*X) Y (m²) X (m²) 179
181 Chapitre 4: 4.2 Description numérique Distribution statistique à deux caractères Individu X Y 1 x 1 y 1 2 x 2 y 2... e x e y e... n x n y n Il est possible de passer de la série statistique vers le tableau statistique Comment? 180
182 Chapitre 4: Tableau statistique Distribution statistique à deux caractères Classe X Classe Y (1) [CY 1, CY 2 [... (j) [CY j, CY j+1 [ (k) [CY k, CY k+1 [ Y 1 Y j Y K (1) [CX 1, CX 2 [ X 1 n 11 n 1j n 1k. (i) [CX i, CX i+1 [ X i n i1 n ij n ik. (m) [CX m, CX m+1 [ X m n m1 n mj n mk n 11 : l ensemble des individus ayant la modalité X 1 de X et Y 1 de Y n i = m j= k = n ij i= 1 j= 1 181
183 Chapitre 4: Tableau statistique Distribution statistique à deux caractères Classe X Classe Y (1) [CY 1, CY 2 [... (j) [CY j, CY j+1 [ (k) [CY k, CY k+1 [ Y 1 Y j Y K (1) [CX 1, CX 2 [ X 1 f 11 f 1j f 1k. (i) [CX i, CX i+1 [ X i f i1 f ij f ik. (m) [CX m, CX m+1 [ X m f m1 f mj f mk f 11 : Fréquence des individus ayant la modalité x 1 de X et y 1 de Y f ij = n ij n 182
184 Individu X Y 1 x 1 y 1 2 x 2 y e x e y e Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères n x n y n = = = n e e n n x X 1 = = = n e e n n y Y 1 ( ) = σ = = n e e i X X x n ( ) = σ = = n e e i Y Y y n 1 2 1
185 Chapitre 4: Fréquence marginale Distribution statistique à deux caractères Y 1 Y j Y K X 1 f 11 f 1j f 1k f 1... X i f i1 f ij f ik f j. X m f m1 f mj f mk f m. f.1 f.j f.k f.1 : Fréquence des individus ayant la modalité y1 de Y f.1 i = m = i= 1 f i 1 184
186 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Fréquence conditionnelle Répond à la question suivante: Quelle la fréquence des individus ayant la modalité x 1 de X sachant que Y=y 1 185
187 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Y 1 Y j Y K X 1 f 11 f 1j f 1k f 1... X i f i1 f ij f ik f j. X m f m1 f mj f mk f m. f.1 f.j f.k 186
188 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Y 1 X 1 f 11. X i f i1. X m f m1 f.1 187
189 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères f f 11.1 n11 = n n = 11 i= m i = m n n i 1 i= 1 i= 1 i 1 n 188
190 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères 4.3 Principe de la méthode des moindres carrées "Least Square method» 189
191 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Y (m m²) X (m²)
192 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Y (m²) X (m²) 191
193 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Y (m²) X (m²) 192
194 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Problème étudié: Chercher une relation de corrélation entre deux variables statistiques X et Y. Quelles sont nos données: On connaît l ensemble des couples (x i,y i ) i=1,..,n Comment faire: Utiliser la méthode des moindres carrés 193
195 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères Y (m²) ( x, ˆ ) X (m²) i y i ( x i, y i ) er i ˆ = yi yi Soit très petite 194
196 Chapitre 4: En considérant une régression linéaire: La méthode des moindre carrés vous permet d écrire la relation: y=ax+b Distribution statistique à deux caractères Et de ce fait vous permet de déterminer les coefficients a et b (la démonstration sera donnée au niveau du cours) Une corrélation n a de valeurs que s il y a détermination du coefficient de corrélation 195
197 Chapitre 4: Distribution statistique à deux caractères 4.4 Covariance Cov Cov i m j= k ( ) ( )( ) X, Y f x X y Y = = i= 1 j= 1 ij i n ( ) 1 ( )( ) X, Y x X y Y = = i= 1 n i i i j 196
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