Spécialité ACOUSTIQUE. présentée par. pour obtenir le grade de DOCTEUR de l UNIVERSITÉ du MAINE. Sujet de thèse

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1 THÈSE de DOCTORAT de L UNIVERSITÉ DU MAINE Spécialité ACOUSTIQUE présentée par M. Thierry LE POLLÈS pour obtenir le grade de DOCTEUR de l UNIVERSITÉ du MAINE Sujet de thèse Modélisation des champs diffus en acoustique architecturale par la théorie des transports : application au milieu urbain Soutenance prévue le 8 avril 2003 devant le jury composé de M. C. BARDOS, Rapporteur, Professeur, Université de Paris VI M. M. BÉRENGIER, Directeur de Recherche, Laboratoire Central des Ponts et Chaussées M. C. DEPOLLIER, Professeur, Université du Maine M. J.-J. EMBRECHTS, Rapporteur, Chargé de cours, Université de Liège M. J. PICAUT, Chargé de Recherche, Laboratoire Central des Ponts et Chaussées M. L. SIMON, Maitre de conférence, Université du Maine

2 ii Je tiens particulièrement à remercier Judicaël Picaut, mon conseiller d étude qui m a encadré et conseillé tout au long de ce travail, pour sa disponibilité de tous les instants, sa gentillesse, sa patience et son regard critique toujours constructif.... Claude Bardos, pour m avoir dès le début offert ses compétences tant au niveau des mathématiques que de la théorie physique des tranports.... Michel Bérengier, mon directeur de thèse pour m avoir suivi et conseillé durant ces trois ans.... Philippe L Hermite pour son aide précieuse dans la préparation, l acquisition et le dépouillement des mesures. ainsi que toute l équipe de la section Acoustique Routière et Urbaine du LCPC avec qui j ai passé trois années merveilleuses dans une ambiance de travail toujours conviviale.... Abderahim mon collègue de bureau et ami sans qui ces trois années n auraient pas eu la même chaleur.... Renaud, Cédric, Ludivine, pour tous les bons moments passés ensemble. Enfin j ai une pensée profonde pour mes parents qui m ont toujours soutenu dans mes études et dans ma vie.... mes deux soeurs et mon beau frère pour leur aide, leur soutien et leur disponibilité.... Antoine et Clémentine pour le bonheur qu ils m apportent. A mes parents.

3 TABLE DES MATIÈRES iii Table des matières Table des matières Liste des tableaux Table des figures iii viii x 1 Introduction Contexte de l étude Présentation du document Etat de l art Introduction Les modèles classiques La théorie modale La théorie classique de la réverbération La méthode des sources-images La méthode du tracé de rayons La méthode de radiosité Les éléments de frontière et les éléments finis Synthèse et discussion L approche particulaire Le concept de particules sonores Particules sonores et méthodes numériques Particules sonores et méthodes analytiques Utilisation de l équation de BOLTZMANN Utilisation d un processus de MARKOV Utilisation d une fonction caractéristique Utilisation d une équation de diffusion Utilisation de la théorie des probabilités Synthèse et conclusion de l étude bibliographique Hypothèses d application du concept de particules sonores Limitations des modèles Notre point de vue

4 iv TABLE DES MATIÈRES 3 Modélisation du champ sonore Introduction L équation de transport Définition des variables La fonction de distribution à une particule L équation de transport Les conditions aux limites Etat de l art sur les lois de réflexion La situation actuelle Notre point de vue La normale au domaine Les coefficients d accommodation et d absorption Le coefficient d accommodation Le coefficient d absorption Les différents types de réflexion La réflexion spéculaire La réflexion non spéculaire Expression finale des conditions aux limites Conclusion Solutions asymptotiques Introduction Géométrie du milieu de propagation La diffusion normale Définition des variables et du système de coordonnées Modification d échelle La variable temporelle La variable d espace L équation de transport Les conditions aux limites Les conditions initiales De l équation de transport à l équation de diffusion Séparation des variables Vers une équation de diffusion Introduction de la fonction D (z,v,w) Expression finale de l équation de diffusion Calcul du coefficient de diffusion Expression analytique de la loi de réflexion Calcul de la fonctionφ (z,v,w) Calcul de la fonction D (z,v,w) Calcul final du coefficient de diffusion La diffusion anormale Définition des variables et du système de coordonnées La loi de LAMBERT L équation de transport et les conditions aux limites Trajet entre deux chocs suite à une réflexion de type LAMBERT... 74

5 TABLE DES MATIÈRES v Densité de probabilité pour le trajet horizontal Temps de vol Trajet entre deux réflexions successives de type LAMBERT Densité de probabilité pour le trajet horizontal Temps de vol Application du théorème centrale limite Définition Distribution du trajet horizontal Discussion et conclusion Simulations numériques Introduction Les méthodes de Monte Carlo Un peu d histoire Généralités sur les méthodes de Monte Carlo La simulation numérique du transport de particules Attentes des simulations numériques Le programme SPPS Propagation et densité locale des particules sonores La source sonore La propagation L atténuation atmosphérique La densité locale de particules sonores Simulation des conditions aux limites L absorption L accommodation Les lois de réflexion L algorithme du programme Tests de convergence Simulation de parois parallèles infinies Paramètres de référence La largeur l re f de référence Le coefficient d accommodation La longueur L re f de référence Nombre N re f de particules de référence Domaine de variation des paramètres Optimisation du nombre de particules Déroulement des tests Résultats des tests Optimisation de la longueur de la rue Déroulement des tests Résultats des tests Conclusion des tests de convergence Comparaisons analytique/numérique Solution analytique Validité des approches asymptotiques

6 vi TABLE DES MATIÈRES Comparaisons entre solutions finies et infinies Comparaisons rés. num./approches asymptotiques Conclusion Etude et validation expérimentale Introduction Les expérimentations rue KERVÉGAN Principe des mesures La rue KERVÉGAN Les différentes configurations de mesure Le système expérimental Les mesures Traitement des mesures Calcul de la décroissance sonore Compensation de l atténuation atmosphérique TR et niveau sonore en régime permanent Résultats de la campagne de mesure Étude qualitative Introduction Sur l uniformité du champ sonore sur une section de la rue Temps de réverbération Niveaux sonores Evolution des écarts-types Conclusion sur l uniformité du champ sonore TR et niveaux sonores le long de la rue Profils de référence Profil de référence pour le TR Profil de référence pour l atténuation sonore Comparaisons avec le modèle Contexte des validations Solutions analytiques Comparaisons résultats exp./approches asymptotiques Les temps de réverbération L atténuation sonore Conclusion Conclusions et perspectives Conclusions Perspectives A Coefficient de diffusion pour la loi en w A.1 Expression analytique de la loi de réflexion A.2 Calcul de la fonctionφ(z,v,w) A.3 Calcul de la fonction D (z,v,w) A.4 Calcul final du coefficient de diffusionk

7 TABLE DES MATIÈRES vii B Coefficient de diffusion pour la loi en w B.1 Expression analytique de la loi de réflexion B.2 Calcul de la fonctionφ(z,v,w) B.3 Calcul de la fonction D (z,v,w) B.4 Calcul final du coefficient de diffusionk Bibliographie 173

8 viii TABLE DES MATIÈRES

9 LISTE DES TABLEAUX ix Liste des tableaux 2.1 Principales limitations des modèles classiques Les différents modèles analytiques Coefficients de diffusion pour différentes valeurs de k Les méthodes de Monte Carlo Paramètres de référence Temps de calcul Longueur équivalente Coefficient d échange pour différentes lois de réflexion Description du système d acquisition

10 x LISTE DES TABLEAUX

11 TABLE DES FIGURES xi Table des figures 2.1 La méthode des sources-images La méthode du tracé de rayons sonores Propagation de particules sonores Schématisation d une salle remplie d objets diffractants Schématisation d une aire péri-urbaine Marche aléatoire d un phonon Tracé de niveaux sonores Propagation des phonons dans une salle réverbérante Processus de MARKOV Exemple d un tracé de courbes d isovaleurs Test du modèle MARKOVIEN Atténuation du son dans une forêt Modèle de diffusion Modèle probabiliste Représentation du réseau de salles images Représentation de l espace des phases Représentation de la normale à la paroi et des sous-ensembles Γ Diagrammes polaires des lois de réflexion Représentation de la variation temporelle de l angleθ Représentation schématique de lois de réflexion Modélisation du milieu de propagation Organigramme du calcul du coefficient de diffusion Cône de réflexion Diagrammes polaires de différentes lois de réflexion Décomposition du trajet d une particule Coordonnées sphériques La variable ξ Trajet spéculaire/diffus Evolution du coefficient de diffusion en 3D en fonction de d Représentation en trois dimensions du coefficient de diffusion Exemple de maillage rectangulaire Interface du programme de simulation SPPS Simulation d une source omnidirectionnelle

12 xii TABLE DES FIGURES 5.4 Représentation des anglesθetφ Schématisation de la propagation de deux phonons Représentation de lois de réflexion en trois dimensions Organigramme du programme de simulation SPPS Simulation de parois paralléles Moyennage des résultats Illustration de l effet de la rétro-diffusion Temps de calcul : nombre de particules Test du nombre de particules : cas spéculaire Test du nombre de particules : loi en w, d= Test du nombre de particules : loi en w 2, d= Test de longueur : cas spéculaire Test de longueur : loi en w, d= Test de longueur : loi en w 2, d= Comparaison analyt./num. (l=10 m, d= 0, loi en w) Comparaison analyt./num. (l=7 m, d=0, loi en w) Comparaison analyt./num. (l=4 m, d=0, loi en w) Comparaison analyt./num. (l=10 m, d= 0, loi en w 2 ) Comparaison analyt./num. (l=7 m, d=0, loi en w 2 ) Comparaison analyt./num. (l=4 m, d=0, loi en w 2 ) Comparaison analyt./num. (d=0,3; 0,5; 0,7, l=10 m, loi en w 2 ) Comparaison analyt./num. (d=0,3; 0,5; 0,7, l=10 m, loi en w 2 ) La rue KERVÉGAN Configurations de mesure Disposition des microphones Vue du système expérimental Source sonore et microphone de référence Traitement d une réponse impulsionelle Compensation de l excès d atténuation atmosphérique Interface du programme de traitement des mesures TR et niveaux sonores en régime permanent Représentation de l écart type moyen Evolution du champ sonore à 500 Hz Evolution du champ sonore à 2000 Hz Evolution du champ sonore à 5000 Hz Evolution des écarts-types associés au TR Evolution des écarts-types associés au TR Evolution du champ sonore Profils de référence (temps de réverbération) Estimation du champ direct Profils de référence (atténuation sonore) Comparaison analyt./exp. pour les TR Comparaison analyt./exp. pour l atténuation sonore

13 1 Chapitre 1 Introduction 1.1 Contexte de l étude Le bruit est classé depuis déjà plusieurs années, par nos concitoyens, comme pollution numéro un, bien avant la pollution de l air. Les pouvoirs publics, avec la «Loi Bruit» du 31 décembre 1992, se sont dotés d un arsenal législatif qui vient dorénavant appuyer leurs choix en matière d aménagement urbain. Devant la multiplicité des sources sonores (sources mécaniques : véhicules légers, poids lourds... ; sources humaines : places de marché, écoles, sorties de bars... ) et devant la complexité de la morphologie urbaine, le recours à des outils prévisionnels adaptés à la «spécificité» urbaine, est devenu indispensable. Dans ces conditions, il s avère nécessaire de développer de nouveaux outils capables de prédire les champs sonores et les ambiances sonores en milieu urbain, où les nuisances sonores touchent une population très nombreuse. La mise au point de modèles de propagation intégrant la morphologie du milieu de propagation et notamment la caractérisation de la géométrie des façades devient, à ce titre, un domaine d étude plein d intérêts. Ce travail de thèse s inscrit dans le cadre de cette problématique. Notre objectif est de mettre au point un nouveau modèle de propagation des champs diffus en acoustique architecturale qui permette une prise en compte analytique, rigoureuse et complète de l ensemble des phénomènes mis en jeu, tels que la réflexion diffuse, l absorption par les parois, la diffraction par des objets au sein du milieu de propagation (voitures, mobilier... ), les effets atmosphériques et météorologiques... Face à la complexité de cette tâche, nous nous limiterons ici uniquement à la prise en compte des conditions aux limites au niveau des parois et notamment à l intégration des phénomènes de réflexion diffuse qui constitue à notre avis la plus grande difficulté. Néanmoins, nous montrerons que le modèle développé peut facilement être étendu. Cette thèse prend la suite des travaux déjà entamés par PICAUT [93], lors de son doctorat 1 de troisième cycle universitaire. L approfondissement et la généralisation de son approche, ont été les éléments précurseurs à la mise au point de ce nouveau modèle de propagation de l énergie sonore, applicable sur le principe, aussi bien en acoustique des salles 1. Thèse effectuée au Laboratoire d Acoustique de l Université du Maine (UMR CNRS 6613), soutenue le 30 Mars 1998

14 2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION qu en milieu urbain. Plus globalement, cette thèse s inscrit dans le programme de recherche du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (LCPC), au sein de l opération de recherche «Aménagement et Ambiances Urbaines». 1.2 Présentation du document La réalisation d un état de l art sur les différentes approches déjà développées en acoustique architecturale constituera le point de départ de notre travail (Chapitre 2). Nous montrerons ainsi que les effets de la réflexion diffuse sont, la plupart du temps, ignorés des démarches usuelles. A l inverse, une nouvelle étude bibliographique montrera que l approche particulaire semble bien adaptée pour modéliser les phénomènes complexes de diffraction et de diffusion, tout en permettant une approche analytique rigoureuse de la propagation de l énergie sonore. Dans le chapitre 3, nous montrerons ainsi que ce concept permet d appliquer des outils mathématiques rencontrés dans la théorie des transports et notamment la fonction de distribution à une particule. A travers cette approche rigoureuse, la variation spatiale et temporelle de la densité d énergie sonore sera alors régie par une équation de transport analogue à l équation du flux moléculaire libre. Des conditions aux limites seront également développées sous la forme de conditions de flux locaux au niveau des parois du domaine de propagation. Le problème tel qu il est posé dans le chapitre 3, n admettant pas, à ce jour, de solution analytique exacte, nous choisirons d utiliser des approches asymptotiques réalisées dans le cadre de milieux étroits (Chapitre 4). Ces développements amèneront à un résultat fondamental, à savoir que l équation de diffusion peut être considérée comme la limite de l équation de transport dans le cas de milieux étroits et fortement diffractants. Dans le cinquième chapitre, nous proposerons une validation numérique des approches asymptotiques grâce à l utilisation de méthodes de Monte Carlo. Nous comparerons alors les solutions analytiques de l équation de diffusion obtenues au chapitre 4, avec les résultats des simulations réalisées pour différentes configurations du milieu de propagation. Au terme de cette validation numérique, nous présenterons dans le chapitre 6, une campagne de mesure effectuée dans une rue de Nantes. Nous détaillerons le principe des mesures ainsi que le traitement des résultats qui nous a permis d obtenir des courbes de référence auxquelles notre modèle a été comparé et en partie validé. Le dernier chapitre conclura sur les principaux résultats obtenus et détaillera les perspectives de ce travail.

15 3 Chapitre 2 Des modèles classiques à l approche particulaire 2.1 Introduction Le chapitre précédent a présenté nos attentes face à la mise au point d un nouveau modèle général de prédiction de la répartition de l énergie sonore en acoustique urbaine et en acoustique des salles. Avant d aborder ce travail, il nous a ainsi paru nécessaire de parcourir la littérature afin de référencer les différents modèles rencontrés dans ces deux domaines de l acoustique mais également d étudier le cadre d application des différentes approches et de déceler leurs principales limitations. De plus, dans la mesure où le concept de particules sonores nous a paru intéressant pour la suite de notre étude, une présentation des différents développements particulaires s est imposée. La section 2.2 débute donc ce chapitre par la présentation des modèles couramment utilisés en acoustique des salles et en acoustique urbaine. Elle est suivie, dans la section 2.3 du détail de l utilisation du concept de particules sonores dans les modèles numériques et dans les modèles mathématiques. La section 2.4 conclut ce chapitre sur l intérêt de la description particulaire du champ sonore, dans le cadre général de l acoustique architecturale. 2.2 Les approches classiques de prédiction du champ sonore La modélisation du champ sonore en acoustique des salles et en acoustique urbaine devient vite un problème très ardu. En effet, que ce soient la répartition de l absorption au niveau des surfaces [30], la forme des salles ou des rues, les problèmes de couplage entre différentes enceintes [5, 91, 119], la prise en compte d ouvertures, ou encore les effets de diffraction et d interférences sur les parois du domaine de propagation [82, 107, 120, 22, 21], l ensemble de ces phénomènes concourent à donner naissance à un champ sonore très complexe. Le milieu de propagation est alors le siège d un grand mélange énergétique à l origine de la perception auditive du lieu [111]. Depuis les premiers travaux de W. C. SABINE [8, 104] qui posent, dès le début du XX eme siècle, les bases scientifiques de l acoustique des salles, les acousticiens s attachent à dé-

16 4 CHAPITRE 2. ETAT DE L ART crire au mieux les différents phénomènes physiques qui interviennent lors de la propagation du son dans des milieux clos ou semi-clos. Les approches sont multiples et il paraît donc nécessaire de les détailler sommairement pour mieux appréhender leurs limitations ainsi que les difficultés rencontrées lors de leur mise en oeuvre La théorie modale La méthode de décomposition modale [24, 14, 13, 85, 88, 9, 85], couramment employée pour la recherche de solutions à l équation des ondes dans des milieux clos, est difficile à appliquer en acoustique des salles et en acoustique urbaine. En effet, cette démarche qui consiste à décomposer le champ sonore sur les modes propres de l enceinte, est utilisée uniquement pour des géométries simples (souvent rectangulaires) et des caractéristiques d absorption, uniformes au niveau de surfaces. De plus, les longueurs d ondes doivent être de l ordre des dimensions de la cavité considérée [69, 88]. Cependant, en acoustique architecturale, les longueurs d onde rencontrées sont petites par rapport aux dimensions du milieu de propagation. Dans ces conditions, cette théorie ne convient plus en raison du nombre trop important de modes à prendre en compte pour décrire le champ sonore de manière précise [12] La théorie classique de la réverbération La théorie classique de la réverbération, dont les fondements datent des travaux de W. C. SABINE [104, 88, 69], est couramment employée en acoustique des salles. Elle décompose la densité d énergie w du champ sonore, en deux parties : le champ direct w d et le champ réverbéré w r, tels que W 4W w=w d + w r = 4πcr 2+ ca, (2.1) où W est la puissance de la source, r la position du récepteur par rapport à la source, A l aire d absorption moyenne et c la vitesse du son. Dans le cas d une enceinte de volume V et de temps de réverbération 1 T, cette théorie suppose qu autour de la source et plus précisément pour r<r h, avec V r h = 0,1 π T, (2.2) le champ direct domine et n est pas affecté par les limites du domaine. Cette partie du champ est caractérisée par une décroissance, liée au caractère sphérique de l onde (loi en 1/r 2 ), de 6 db par doublement de distance. Pour des distances r>r h, les multiples réflexions des ondes sonores par les surfaces de l enceinte sont à l origine de la création d un champ sonore diffus quasi-stationnaire, qui ne varie donc pas avec la distance source/récepteur. En régime impulsionnel, l évolution temporelle du champ diffus montre une décroissance logarithmique linéaire proportionnelle au volume de la pièce et inversement proportionnelle à son absorption totale, résultat de l absorption par les surfaces 2 et de l absorption 1. Le temps de réverbération de la salle est classiquement donné par la formule T= 0,16V/A. 2. L absorption par les surfaces est caractérisée par le coefficient d absorption en champ diffus.

17 2.2. LES MODÈLES CLASSIQUES 5 atmosphérique. Cependant, les limites de la théorie classique de la réverbération sont vite atteintes. En effet, l hypothèse d un champ diffus n est souvent pas vérifiée [76]. D autre part, les résultats obtenus par cette théorie divergent des observations expérimentales à mesure que la forme de la salle s écarte d une géométrie cubique [39]. Son utilisation est également restreinte à des milieux de propagation qui présentent une absorption faible et uniforme [47, 49, 50]. De plus, l utilisation de cette approche considère des décroissances temporelles linéaires du champ sonore qui ne sont pas toujours rencontrées en pratique et notamment dans le cas de salles couplées [119] où apparaissent des courbes de décroissance à double pente. Enfin, pour généraliser la théorie classique de la réverbération certains auteurs [69] ont introduit le concept de libre parcours moyen. Néanmoins, en présence d ouvertures (salles ouvertes, rue) cette quantité n est plus définie, ce qui rend impossible l utilisation de cette dernière approche La méthode des sources-images La méthode des sources-images 3 [69, 48, 82, 3, 57, 11], issue de l acoustique géométrique, permet de calculer la densité d énergie sonore dans un milieu de propagation clos ou partiellement clos. Elle est basée sur la construction de sources-images qui simulent l effet des réflexions successives de l énergie sonore sur les parois de l enceinte (fig. 2.1). Ces sources-images sont construites de manière géométrique par symétrie par rapport aux parois du domaine [110]. Leur contribution en terme énergétique à un point de réception fixé, est celle habituellement rencontrée dans le cas de la propagation en champ libre et suit alors une loi en 1/r 2. Les effets d absorption au niveau des murs sont simulés par une diminution de l amplitude des sources-images proportionnelle au coefficient d absorption des surfaces. Cette approche, principalement numérique, est réductrice car les réflexions sur les parois du domaine sont traitées intégralement de manière spéculaire. Les effets de diffraction et de diffusion sont donc omis. De plus, l application de cette méthode est très difficile dans le cas de salles couplées [5] et en milieu urbain de type centre ville où la détermination des sources images est très lourde. Pour ce type d environnements complexes, les tests de visibilité 4 entraînent des temps de calcul importants. La présence de parois courbes augmente également considérablement le nombre de sources-images à construire car les surfaces doivent être discrétisées en un nombre fini de parois planes. Pour des raisons pratiques, l ordre des réflexions 5 à prendre en compte devient, dans ces conditions, vite limité. La longueur de la réponse impulsionnelle calculée est donc courte, ce qui rend pratiquement impossible la simulation de la phase d extinction du son pourtant nécessaire au calcul du temps de réverbération. Pour traiter ce dernier point, des méthodes d extension ou de 3. Il existe aussi la méthode des récepteurs-images qui n est autre que la réciproque de la méthode des sources-images. 4. Les tests de visibilité ont pour but de déterminer la réalité physique des sources-images. 5. L ordre de réflexions fixe le nombre maximum de réflexions de l onde sonore à considérer lors des simulations. Ce choix est arbitraire et fixé par la précision des résultats.

18 6 CHAPITRE 2. ETAT DE L ART S 14 S 1 S 21 1 S 4 4 S R 2 S 2 3 S 34 S 3 S 32 FIG. 2.1 Modélisation de la réflexion de l énergie sonore en deux dimensions à l aide de la méthode des sources-images. S désigne la source sonore et R le récepteur. Les parois sont numérotées de 1 à 4 pour indexer les sources-images. Les sources-images S 1 à S 4 (en rouge) simulent les réflexions du premier ordre (1 réflexion). Les sources-images S 14 à S 34 (en bleu) simulent les réflexions du second ordre (2 réflexions). Les sources-images d ordre supérieur à 2 ne sont pas représentées ici. compensation [118] de la réponse impulsionnelle peuvent être utilisées, mais elles sont basées sur des décroissances linéaires de l énergie, c est à dire sur les hypothèses de la théorie classique de la réverbération. Elles présentent donc les mêmes limitations (cf ) La méthode du tracé de rayons Cette méthode [65, 62, 57, 51] très démocratisée a donné naissance à de nombreux logiciels de prédiction du champ sonore aussi bien en acoustique des salles (Rayscat 6, Odeon 7, CATT Acoustics 8 ) qu en propagation extérieure (Mithra 9, SoundPLAN 10 ). Cette approche suppose que l énergie sonore est distribuée à un certain nombre de rayons rectilignes émis à partir d une source S et déviés de manière spéculaire lors de leur rencontre avec les parois du milieu de propagation (fig. 2.2). Le calcul de l énergie sonore au niveau d un volume récepteur V, centré en un point M, est réalisé par comptage du nombre de rayons qui le traversent. Le problème majeur réside dans la définition de la taille de ce volume, le plus souvent une sphère. En effet, il doit être représentatif du récepteur réel mais doit également permettre de comptabiliser suffisamment de rayons sonores pour déterminer le niveau d énergie de manière précise [37]. 6. Logiciel réalisé par l Institut National de la Recherche et de la Sécurité (INRS) pour la prévision des niveaux sonores dans les locaux industriels encombrés ( 7. Logiciel développé par Technical University of Danemark (DTU) et distribué par Brüel & Kjær. 8. Logiciel développé et commercialisé par la société CATT (Suède, 9. Logiciel développé par le CSTB ( 10. Logiciel développé par les sociétés Braunstein et Berndt GmbH (Allemagne,

19 2.2. LES MODÈLES CLASSIQUES 7 M V (4) S (3) (2) (1) FIG. 2.2 Tracé de rayons sonores à partir de la source S. L énergie au point M est calculée en comptabilisant le nombre de rayons qui traversent le volume récepteur V. Dans cet exemple, seuls les rayons (2) et (3) sont comptabilisés. Dans certains cas, à partir d un nombre de réflexions spéculaires fixé, les effets de diffusion par les surfaces peuvent être simulés par un tirage aléatoire de la direction du rayon réfléchi [73]. Le plus souvent ce tirage est conforme à la loi de LAMBERT. Cependant, comme nous le verrons au 3.3.1, cette loi n a pas vraiment de réalité physique dans le cadre de l acoustique architecturale. Les méthodes hybrides [61, 112, 78] qui correspondent au couplage de la méthode du tracé de rayons et de la méthode des sources-images, permettent une diminution des temps de calcul par rapport à la méthode des sources-images seule, en réduisant les tests de visibilité des sources. Cependant, ces approches ne tiennent pas compte des effets de diffraction au niveau des parois car les réflexions y sont toujours traitées de manière spéculaire La méthode de radiosité Dans la méthode de radiosité [69, 68, 70, 16], l énergie sonore reçue par un élément de surface, délimitant un domaine, est restituée au milieu de propagation selon le principe du rayonnement de la chaleur. Ce modèle néglige donc les réflexions spéculaires pourtant primordiales dans la caractérisation du champ sonore précoce. Les échanges énergétiques entre les différents éléments de surface sont exprimés au travers de facteurs de forme. A l échelle d une salle, le bilan énergétique est décrit par une équation intégrale qui n a malheureusement aucune solution analytique exacte. Le calcul est alors effectué de manière numérique en discrétisant les différentes parois du domaine en un nombre fini de surfaces planes, assimilées à des noeuds. Ces derniers forment un réseau dans lequel s établit un transfert énergétique. Néanmoins, cette approche est limitée à des géométries simples. En effet, dans le cas de parois complexes, la discrétisation des surfaces et le calcul des facteurs de forme correspondant, entraînent des temps de calculs très longs. Cette méthode seule ou bien son couplage avec la méthode du tracé de rayons [78], permet de simuler la diffusion par les surfaces. Néanmoins la taille du récepteur reste toujours

20 8 CHAPITRE 2. ETAT DE L ART un problème majeur (cf ) Les éléments de frontière et les éléments finis Les méthodes numériques des éléments de frontière [19] et des éléments finis [28] s avèrent, en pratique, impossibles à appliquer aux gammes de fréquence étendues rencontrées en acoustique architecturale ( Hz) [22]. De plus, la description numérique de la morphologie des façades ou des parois d une salle nécessiterait la création d un maillage complexe. Dans ce cas, le nombre de noeuds deviendrait extrêmement élevé et conduirait à des temps de calcul très longs ou à la nécessité de recourir à des ordinateurs aux capacités énormes Synthèse et discussion Au terme de la première partie de cette recherche bibliographique, plusieurs points importants ont été relevés et sont résumés dans le tableau 2.1. En plus des limitations propres à chacune des méthodes, il faut aussi noter que ces techniques sont souvent spécifiques à des milieux de propagation particuliers. Par exemple, le traitement des locaux plats [66] fait appel à une méthode différente de celle utilisée pour le traitement des couloirs [52, 58, 23] ou des chambres réverbérantes [71, 90]. Il n existe donc aucune approche générale qui puisse être appliquée simultanément dans l ensemble des espaces rencontrés en acoustique des salles et en acoustique urbaine. D autre part, les effets de diffraction au niveau des parois de l enceinte, phénomènes capitaux dans la répartition de l énergie sonore, sont dans la majorité des cas absents des modèles ou au mieux traités par la loi de LAMBERT. Enfin, la présence d ouvertures n est pas prise en compte ou entraîne des problèmes insolubles. 2.3 L approche particulaire Le concept de particules sonores Les approches précédentes, couramment employées en acoustique architecturale et qui peuvent être considérées comme déterministes, se heurtent vite à la complexité des phénomènes de diffraction et de diffusion rencontrés sur les parois du domaine et les objets présents dans les salles, les rues ou les halls industriels... Cependant, leur prise en compte est primordiale pour obtenir des résultats précis [82, 59]. La prévision de la répartition de l énergie sonore en acoustique urbaine et en acoustique des salles nécessite donc de modéliser la morphologie des parois à l origine de la diffusion du son. Néanmoins, la description, en termes physique et analytique, de la géométrie des surfaces devient vite compliquée et fastidieuse. Le recours à une approche probabiliste semble donc le moyen le plus simple pour traiter la réflexion du son. Dans ces conditions et comme nous le confirmerons par la suite, l utilisation du concept de particules sonores est sans doute la démarche la plus adaptée.

21 2.3. L APPROCHE PARTICULAIRE 9 TAB. 2.1 Principales limitations des modèles classiques de prédiction des champs sonores rencontrés dans la littérature. MODÈLE ACOUSTIQUE LIMITATIONS THÉORIE MODALE application réduite à des géométries simples ; caractéristiques de surface uniformes ; longueur d onde de l ordre des dimensions de la cavité ; absence de prise en compte des ouvertures. THÉORIE CLASSIQUE DE LA RÉVERBÉRATION application réduite à des milieux clos ; application réduite à des géométries quasicubiques ; valide pour des absorptions faibles. MÉTHODE DES SOURCES-IMAGES application réduite à des géométries basiques (pièces rectangulaires, locaux plats de petit volume) ; temps de calcul longs à cause des tests de visibilité pour des géométries complexes ; difficulté de simulation de la phase d extinction du son : temps de réverbération approximatif ; diffusion par les surfaces non traitée ; réflexions uniquement spéculaires. MÉTHODE DU TRACÉ DE RAYONS taille du volume récepteur ; effets de diffraction traités uniquement par une loi de LAMBERT ; temps de calcul longs pour des géométries complexes (salles couplées... ). MÉTHODE DE RADIOSITÉ temps de calcul longs dus à la discrétisation du milieu de propagation pour des géométries complexes ; effets de diffraction traités principalement par une loi de LAMBERT pour le calcul des facteurs de formes ; pas de réflexion spéculaire. ELÉMENTS DE FRONTIÈRE ET ÉLÉMENTS FINIS complexité du maillage du milieu de propagation : temps de calcul élevé ; application réduite à des gammes de fréquences limitées.

22 10 CHAPITRE 2. ETAT DE L ART S Objet diffractant (machine, bureau,...) Paroi réfléchissante (avec ou sans diffraction) ouverture trajet d une particule sonore FIG. 2.3 Exemple de propagation de particules sonores émises depuis une source S dans une enceinte quelconque. Entre deux collisions successives, les phonons effectuent un parcours en ligne droite à la vitesse du son c. Lors d une réflexion, les particules sont réfléchies soit de manière spéculaire, soit de manière non spéculaire. Depuis les premiers travaux de W. B. JOYCE [55, 56] sur la définition de la notion de particules sonores, un certain nombre d auteurs a proposé différentes applications de ce concept, au travers de différents modèles. Dans le cadre de notre travail, il nous a semblé opportun de présenter chacune de ces approches en insistant sur leurs intérêts et leurs limitations. A ce propos, il est important de remarquer que ce travail bibliographique constitue, à notre connaissance, l état de l art le plus complet sur ce sujet. A l inverse de la théorie acoustique classique où l étude du champ sonore s appuie sur la propagation d une onde dans un milieu matériel continu, l approche utilisée dans ces modèles est particulaire [54, 55]. Le champ sonore y est décomposé en une multitude de particules élémentaires, les particules sonores ou phonons, sans interactions mutuelles et porteuses d une énergie infinitésimale constante et égale à e. Elles se propagent en ligne droite, à la vitesse du son c, entre deux chocs successifs avec les obstacles du milieu de propagation (façades, machines, voitures) (cf. fig 2.3). Lors d une collision, elles peuvent être absorbées ou réfléchies. Dans le dernier cas, leur direction est déviée et elles recommencent un nouveau trajet. L acoustique géométrique devient ainsi un cas particulier de la dynamique des particules où l énergie du champ sonore peut être assimilée à un gaz de particules sonores. Dans ces conditions, la répartition de l énergie du champ sonore est assimilée à la répartition des particules sonores. La densité locale d énergie sonore est donc égale à la densité locale de phonons. La mise au point de modèles particulaires aura pour idée directrice de trouver des méthodes qui permettent d estimer de manière numérique ou analytique cette densité locale de particules sonores.

23 2.3. L APPROCHE PARTICULAIRE Utilisation du concept de particules sonores dans les méthodes numériques Les méthodes numériques qui utilisent le concept de particules sonores, simulent le transport des phonons. Le milieu est maillé de manière simple pour réaliser un comptage du nombre de particules sonores, permettant ensuite de remonter à la densité locale d énergie sonore et de réaliser des cartographies du champ sonore. Ces méthodes ont l avantage de pouvoir simuler les effets de diffraction aussi bien sur les parois du domaine que sur des objets présents au sein du milieu de propagation grâce au tirage aléatoire de l angle de réflexion du vecteur vitesse du phonon. Dans ces conditions, les simulations de la propagation de particules sonores sont assimilables à des méthodes de Monte Carlo classiques [75]. En pratique, ces approches ont notamment été utilisées pour étudier la répartition de l énergie sonore dans des zones remplies d objets diffractants comme des aires péri-urbaines [72], des forêts [77] ou des chambres réverbérantes [73]. La démarche générale s appuie sur la simulation d une marche aléatoire de phonons. Tout d abord, le tirage d un premier nombre aléatoire permet de calculer la distance parcourue par la particule avant d effectuer une collision sur un des objets présents dans le milieu de propagation. Ensuite, pour traiter le choc du phonon, un deuxième nombre est tiré aléatoirement pour déterminer si la particule est absorbée ou non. Dans ce dernier cas, deux autres nombres sont, à nouveau, tirés de manière aléatoire pour fixer la direction de propagation de la particule après la collision et un nouveau cycle recommence alors... Des simulations utilisant le concept de particules sonores ont également été mises en oeuvre pour l étude du champ sonore dans des salles de concert supposées vides [105, 43, 44, 108, 109]. Un autre élément intéressant tient au fait que ces méthodes de simulation sont très peu affectées par l augmentation du nombre de sources dans le milieu, à l inverse de la méthode des sources-images. De plus, ces méthodes sont simples à mettre en oeuvre dans des domaines aux formes complexes et permettent de prendre en compte un ordre de réflexions élevé [110]. Curieusement, bien que d intérêt indéniable, notamment pour la prise en compte des phénomènes de diffraction et de diffusion, il faut pourtant reconnaître que l utilisation pratique du concept de particules sonores dans des logiciels commerciaux reste marginale et est de loin devancée par les méthodes basées sur les rayons sonores (cf ) Utilisation du concept de particules sonores dans les méthodes analytiques Parallèlement à ces modèles numériques, quelques modèles mathématiques particulaires ont également été développés pour obtenir des expressions analytiques de la répartition de l énergie sonore. Une étude approfondie de la littérature a permis de classer ces modèles en 5 catégories correspondant à 5 développements mathématiques différents utili-

24 12 CHAPITRE 2. ETAT DE L ART S 4 S 3 S 34 S 3 FIG. 2.4 Schématisation d une salle remplie d objets diffractants. Le champ sonore créé par ces objets est calculé à l aide d un modèle mathématique utilisant le concept de particules sonores. Les réflexions sur les parois du domaine sont gérées par la méthode des sources-images (fig. 2.1). sant : une équation de BOLTZMANN [72, 71] ; un processus de MARKOV [64, 63] ; une fonction caractéristique [67] ; une équation de diffusion [15, 79, 93] ; la théorie des probabilités (théorie centrale limite)[81, 80]. La plupart du temps, ces modèles sont appliqués, pour décrire le champ sonore produit par une distribution aléatoire d objets diffractant présents au sein du domaine de propagation (fig. 2.4). Ces objets diffractants peuvent être, selon les cas, des habitations, des diffuseurs placées dans des salles réverbérantes, des arbres ou encore des machines placées dans des halls industriels. Les effets de diffraction sur les parois, considérées planes, ne sont pas pris en compte. La réflexion y est traitée de manière spéculaire à l aide de la méthode des sources-images Approches analytiques basées sur l utilisation de l équation de BOLTZMANN L utilisation de l équation de BOLTZMANN permet de décrire le champ sonore en termes de densité locale de particules. Son application à l acoustique architecturale a été traitée uniquement par KUTTRUFF [72, 71] et permet une description analytique précise du phénomène de transport des particules sonores Le modèle de KUTTRUFF pour la propagation du son en zone péri-urbaine [72] Cet article traite de l étude de la propagation du son dans des banlieues ou des aires péri-urbaines, formées de petites maisons ou d immeubles bas séparés par des jardins ou des ruelles, qui sont le siège de multiples réflexions et de nombreux effets de diffraction.

25 2.3. L APPROCHE PARTICULAIRE 13 L énergie sonore totale est considérée comme la somme de l énergie du son direct et de l énergie du champ sonore diffractée par les constructions, cette dernière étant assimilée à la densité locale de particules sonores. Dans cette approche, KUTTRUFF montre que la variation temporelle et spatiale de cette densité de phonons est régie en milieu infini par une équation de transport Les variables d espace et de vitesse La position de la particule sonore est représentée par les coordonnées cylindriques (r,θ,z) (fig. 2.5). La position des objets diffractants et le trajet des particules étant aléatoires, le problème est axisymétrique par rapport à l axe z et donc indépendant de l angleθ. La position de la particule peut alors être repérée uniquement par les coordonnées (r,z). Le vecteur vitesse 11 de la particule intervient dans la mise en équation d une marche aléatoire pour les phonons dans le plan z=0. Ce vecteur est repéré par l angleϕentre la direction de la vitesse et l axe polaire r (fig. 2.5) Calcul de la densité moyenne d énergie du champ direct Le champ direct est émis par une source sonore sphérique de puissance W, placée sur le sol totalement réfléchissant en r=z=0et qui rayonne dans le demi plan z 0. En un point r, l intensité de ce champ est décrite, pour 0 z h où h est la hauteur moyenne des bâtiments, par l expression W I d (r,z)= 2π(r 2 + z 2 exp( r/λ), (2.3) ) où λ représente le libre parcours moyen des particules et exp( r/λ) la probabilité que les particules n aient subi aucun choc lors de leur trajet sur la distance r. Dans la suite des développements, le problème en trois dimensions est ramené à un problème en deux dimensions dans le plan z=0. Cette réduction de dimension est réalisée en ramenant la propagation de l énergie sonore sur la hauteur moyenne h des immeubles, à la propagation dans le plan z = 0, de l énergie moyenne sur cette même hauteur h. La densité moyenne de l énergie du son direct s écrit alors u d ( r)= 1 h c I d (r)= 1 h c h 0 I d (r) dz= W arctan(h/r) exp( r/λ). (2.4) 2πh c r Calcul de la puissance de la source équivalente au champ diffracté Les constructions sont assimilées à des objets diffractants de hauteur moyenne h et représentées par leur section diffractante Q, telle que Q= P s I (2.5) d (r), avec P s la puissance sonore réfléchie par l objet et I d (r) l intensité moyenne du son incident sur l objet. 11. La norme du vecteur vitesse est égale à la célérité du son c.

26 14 CHAPITRE 2. ETAT DE L ART z x S θ r v ϕ y FIG. 2.5 Schématisation d une aire péri-urbaine. S est une source sonore de puissance W. L angleϕest l angle formé par le vecteur vitesse v et l axe polaire r, dans le plan z=0. Les objets diffractants sont assimilés, par la suite, à des sources secondaires omnidirectionnelles de puissance P s = Q I d (r). Il est alors possible de définir la densité moyenne de puissance q s de l énergie diffractée. Cette densité correspond à la part de l énergie non absorbée et est proportionnelle à la densité n d objets diffractants, tel que q s = n (1 α) Q I d (r)=(1 α)h c λ u d( r)=(1 α) W exp( r/λ), (2.6) 2πλr avec α le coefficient d absorption des objets diffractants. Pour effectuer le calcul de la densité moyenne d énergie du champ diffracté, l auteur ramène toutes les sources secondaires réparties dans le plan horizontal à une seule source placée en r=0 de puissance P cd = q s ds= h [0,423 ln (h/λ)],pour h λ, (2.7) λ qui émet la totalité du champ diffracté La propagation de l énergie du champ diffracté La propagation de l énergie sonore du champ diffracté est modélisée par le trajet de particules sonores dans un milieu rempli de particules cibles 12 sur lesquelles les phonons expérimentent des collisions. Ce processus est assimilé à une marche aléatoire dans le plan z=0(fig. 2.6). La mise en équation de cette marche aléatoire nécessite d introduire la fonction de distribution à une particule (FDP) f (r,ϕ). Cette fonction est telle que f (r,ϕ) dr dϕ représente le nombre de particules dans le volume dr centré en r et dont la vitesse forme un angleϕàdϕ près avec l axe polaire r. Cette FDP permet de définir la densité locale de particules ρ (r)= 2π 0 f (r,ϕ) dϕ. (2.8) Le processus de transport des phonons qui correspond à la variation spatiale et temporelle de la densité de particules est régi, en coordonnées polaires et pour un processus stationnaire 13, 12. Les particules cibles sont assimilées aux constructions présentes dans le milieu de propagation. 13. Le processus stationnaire correspond à f/ t = 0.