Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012

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1 Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 2012 Mathématiques - Terminale E Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths 16 mai 2012 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications entrent pour une large part dans l appréciation des copies, sauf mention explicite du contraire dans l énoncé. Le barème est donné à titre indicatif. Obligatoire Les calculatrices sont autorisées. Aucune sortie définitive n est autorisée avant 11h00. 1

2 TE 1 et 3 Bac Blanc Page 2 Exercice 1 (4 points). oit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle ] ; 6[. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l intervalle ] ; 6[ et C f la courbe représentative de f dans un repère du plan. On donne le tableau de variations de la fonction f ci-dessous. x f Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant la réponse. 1. Pour tout nombre de l intervalle ] ; 1], on a f (x) La courbe C f admet une asymptote parallèle à l axe des ordonnées. 3. La droite d équation y = 5 est tangente à la courbe C f. 4. i h est la fonction définie sur ] ; 6[ par h(x) = e f(x), on a lim x 6 h(x) =. Exercice 2 (5 points). À l occasion d un festival culturel, une agence de voyages propose trois types de transport pour permettre à chaque client de se rendre dans la ville organisatrice afin d assister à la cérémonie d ouverture. Les trois moyens de transport proposés sont l avion, le train ou le car. À chacun des clients qui achètent un billet de transport, l agence propose de souscrire une assurance multirisque qui permet, sous certaines conditions, une indemnisation en cas de retard ou de vol de bagages. Une enquête montre que 55 % des clients choisissent l avion, que 40 % choisissent le train et que les autres choisissent le car. De plus, parmi les clients ayant choisi l avion, 20 % ont souscrit l assurance multirisque ; ils sont 8 % à choisir cette assurance parmi ceux qui ont choisi le voyage en train et seulement 4 % parmi ceux qui ont choisi le car. On prend au hasard le dossier d un client qui se rendra à la cérémonie d ouverture du festival, chaque dossier ayant la même probabilité d être choisi. On note : A l évènement : «Le client a acheté un billet d avion» ; T l évènement : «Le client a acheté un billet de train» ; C l évènement : «Le client a acheté un billet de car» ; l évènement : «Le client a souscrit une assurance multirisque» et son évènement contraire. 1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 2. Calculer la probabilité que le dossier choisi soit celui d un client qui voyagera en train et qui a souscrit une assurance multirisque. On donnera la valeur exacte de cette probabilité. 3. Montrer que la probabilité de l évènement est égale à 0, On prend un dossier au hasard parmi les clients n ayant pas souscrit une assurance multirisque. Calculer la probabilité que ce dossier soit celui d un client voyageant en train. Le résultat sera donné arrondi au millième.

3 TE 1 et 3 Bac Blanc Page 3 5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On choisit trois dossiers au hasard, indépendamment les uns des autres. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu au moins deux des dossiers concernent un client ayant souscrit l assurance multirisque. Exercice 3 (6 points). Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et oit f la fonction définie sur l intervalle [0,5 ; 25] par f(x) = 18 ln x x x 15. i x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que f(x) représente le bénéfice mensuel de l entreprise, en milliers d euros. On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f sa fonction dérivée. PARTIE A 1. Calculer f (x). Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l intervalle [0,5 ; 25], on a : f (x) = 2x2 + 16x + 18 x 2. Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction f sur l intervalle [0,5 ; 25]. 3. a. Calculer f(1). b. Montrer que sur l intervalle [18 ; 19] l équation f(x) = 0 admet une solution unique α. Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10 2 près. c. En déduire le signe de f(x) pour tout x appartenant à l intervalle [0,5 ; 25]. 4. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire? 5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de e? Justifier la réponse. PARTIE B 1. On admet que la fonction G définie sur l intervalle ]0 ; + [ par G(x) = x ln x x est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l intervalle ]0 ; + [. En déduire une primitive F de la fonction f sur l intervalle [0,5 ; 25]. 2. Rappel : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b], où a < b. La valeur moyenne de la fonction f sur l intervalle [a ; b] est le nombre réel m défini par m = 1 b f(x) dx b a a Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l entreprise, arrondie à la centaine d euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et panneaux solaires.

4 TE 1 et 3 Bac Blanc Page 4 Exercice 4 (5 points). Le plan est muni d un repère orthonormal (O; i, j) d unité graphique 2 cm. On s intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l ensemble des réels R par f(x) = 1 + xe x. On note C sa courbe représentative dans le repère (O; i, j). 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +. b. Déterminer la limite de la fonction f en. Interpréter graphiquement cette limite. (On rappelle le résultat : lim x xex = 0) 2. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f sa fonction dérivée. a. Montrer que, pour tout nombre réel x on a f (x) = (x + 1)e x. b. Dresser le tableau de variations de la fonction f (la valeur de l extremum sera arrondie à 10 2 ). 3. Justifier que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [0 ; 1]. Donner un encadrement de α d amplitude Démontrer qu une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0 est y = x Dans le repère (O; i, j) tracer la droite T et la courbe C.

5 TE 1 et 3 Bac Blanc Page 5 Corrigés des exercices Corrigé de l exercice Faux : car f est décroissante sur ] ; 2] donc f (x) 0 sur cet intervalle. 2. Vrai : la droite d équation x = 6 car lim x 6 f(x) =. 3. Vrai : car f est dérivable en 1 et qu en ce point, il y a un changement de signe de la dérivée donc f (1) = 0 et de plus f(1) = 5 donc T 5 : y = Faux : on a vu que lim x 6 f(x) = ; de plus lim X e X = 0 donc lim x 6 e f(x) = 0 (composition de limites). Corrigé de l exercice Ω 0,55 0,4 A T 0,2 0,8 0,08 0,92 0,05 C 0,04 0,96 2. On cherche p(t ) = p(t ) p T () = 0,4 0,08 = 0, D après la formule des probabilités totales, on a :p() = p(t ) + p(a ) + p(c ) = 0,11 + 0, ,002 = 0, On cherche p (T ) = p( T ) p() = 0,4 0,92 1 0,144 0, On répète trois fois la même expérience aléatoire ayant deux issues : ou. Il s agit donc d une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,144. En dressant un arbre des possibilités, on constate que trois branches aboutissent à deux et une seule à trois. On a donc la probabilité cherchée qui vaut : 3 0,144 2 (1 0,144) + 1 0, ,056 Corrigé de l exercice 3. Partie A 1. Pour x [0,5; 25] on a f (x) = x + 16 = 18 2x2 +16x = 2x2 +16x+18. x x x 2. ur [0,5; 25] on a x > 0 donc f (x) est du signe de 2x x + 18 dont le discriminant vaut = 400 > 0. Ce trinome a donc deux racines : x 1 = = 9 et x 4 2 = 1. On

6 TE 1 et 3 Bac Blanc Page 6 obtient donc : 3. a. f(1) = 0. x 0, f (x) ,6 f 19,7 182 b. ur [18; 19] la fonction f est strictement décroissante et continue (car dérivable) de plus f(18) 1,03 > 0 et f(19) 19 < 0 donc d après le théorème de la valeur intermédiaire, l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [18; 19]. En utilisant la calculatrice, on obtient : 18 < α < 18,1 puis 18,05 < α < 18,06 et enfin 18,053 < α < 18,054 donc α 18,05. c. En utilisant les résultats des deux questions précédentes, on obtient : x 0,5 1 α 25 f(x) Pour que l entreprise réalise du bénéfice (éventuellement nul), on doit avoir f(x) 0 soit x [1; α]. L entreprise doit donc produire et vendre entre 100 et panneaux solaires. 5. L entreprise réalise un bénéfice de e si f(x) = 100. Or d après les variations de f, son maximum est environ 87,6. Il n est donc pas possible de réaliser un bénéfice supérieur à e. Partie B 1. Une primitive de f sur [0,5; 25] est la somme de G et d une primitive de la fonction polynome x x x 15 ; on peut donc prendre : F (x) = 18x ln(x) 18x 1 3 x3 + 8x 2 15x = 18x ln(x) 1 3 x3 + 8x 2 33x 2. On a : m = 1 18 f(x)dx = 1 17 [F (x)]18 1 = 1 (F (18) F (1)) 17 59,8 Le bénéfice moyen mensuel de l entreprise pour une production (vendue) entre 100 et panneaux solaires est donc de e.

7 TE 1 et 3 Bac Blanc Page 7 Corrigé de l exercice a. lim x + xex = + donc lim f(x) = +. x + b. On a lim x xex = 0 donc lim f(x) = 1. Donc la droite d équation y = 1 est x asymptote horizontale à C en a. Pour x R on a f (x) = e x + x e x = (x + 1)e x. b. Pour tout x R on a e x > 0 donc f (x) est du signe de x + 1 : x 1 + f (x) f 1,37 3. La fonction f est strictement croissante sur [0; 1] et continue (car dérivable) de plus f(0) = 1 < 0 et f(1) = 1 + e 1,7 > 0 donc d après le théorème de la valeur intermédiaire l équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [0; 1]. Avec la calculatrice on obtient 0,56 < α < 0, T : f (0)(x 0) + f(0). Or f (0) = 1 et f(0) = 1 donc T : y = x C j i T

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