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1 MATH-F-306 Optimisation examen de 1 e session année Prénom Nom Note Répondre aux questions ci-dessous en justifiant rigoureusement chaque étape, affirmation, etc. AUCUNE NOTE N EST AUTORISÉE. Question 1 : / 3 Question 2 : / 5 Question 3 : / 5 Question 4 : / 4 Question 5 : / 3 / 20 1

2 Question 1 On dit qu une matrice 0 1 possède la propriété des 1 consécutifs si pour toute colonne j, a ij = a i j = 1 avec i < i entraîne a lj = 1 pour tout i < l < i. Montrer qu une matrice A qui vérifie la propriété des 1 consécutifs est TU. 2

3 Question 2 Soit P ε R 2 le polyèdre défini par les inégalités linéaires suivantes : ε x 1 + (2 ε) x 2 4 x 1 3 x 2 0. (a) Pour tout ε R, déterminer et illustrer par un petit dessin, l espace de linéalité, le cône caractéristique, et la dimension de P ε. Discuter en fonction de la valeur de ε. (b) Considérer le problème d optimisation {max x 1 s.t. (x 1, x 2 ) P ε }, et soit w(ε) son coût optimal. Calculer w(ε) pour tout ε R. (c) Considérer maintenant le dual du problème d optimisation considéré en (b) et soit v(ε) son coût optimal. Déduire la valeur v(ε) des points précédents, pour tout ε R. (d) Soit le polyèdre entier P I = conv(p 0.5 Z 2 ). Dessiner P I et donner une représentation (extérieure) minimale de P I. (e) Décrire une égalité valide pour P I = conv(p 0.5 Z 2 ) qui coupe la solution optimale du problème {max x 1 s.t. (x 1, x 2 ) P 0.5 }. 3

4 Question 3 Une cargaison de 20 tonnes doit être transportée sur un trajet de cinq villes, dans l ordre 1, 2, 3, 4, 5, avec trois modes de transport au choix : rail, route, air. On peut changer de mode à chacune des villes intermédiaires, mais la cargaison doit emprunter un seul mode entre deux villes consécutives. Le tableau 1 donne les coûts de transport en Euros par tonne entre les paires de villes, le tableau 2 indique les coûts de changement de mode, également en Euros/t. (a) Donner une formulation linéaire en variables binaires pour le problème. (b) Rajouter une/des contrainte(s) et/ou variables imposant qu on ne puisse pas combiner Air et Rail. (c) Rajouter une/des contrainte(s) et/ou variables imposant que si Air est utilisé sur au moins un des tronçons, alors Route doit être utilisé également sur au moins un des tronçons. Table 1: Coûts de transport par mode Coût Paire de villes Rail Route Air Table 2: Coûts de changement de mode Coût de changement Rail Route Air de / vers Rail Route Air

5 Question 4 Rappelons-le problème de localisation d entrepôts. Une grande entreprise désire ouvrir des nouveaux entrepôts pour déservir ses centrales d achat. Chaque nouvelle implantation d un entrepôt a un coût fixe (c) et une capacité limitée (Cap) et permet de livrer les centrales d achat à proximité du site. Chaque livraison effectuée a donc un coût unique qui dépend de la distance à parcourir (coût unitaire k). On dispose n sites où l on peut potentiellement construire les entrepôts et de m centrales d achat à désservir. De plus, on connaît la demande de chaque client (d) de manière précise. Dans tous les cas, la demande des clients doit être satisfaite, mais une centrale d achat peut être livrée par plusieurs entrepôts. On se demande quels entrepôts ouvrir pour minimiser le coût total de leur construction et des livraisons qu ils devront assurer. Ce problème peut se formuler avec les variables suivantes: y i vaut 1 si on construit un entrepôt sur le site i, 0 sinon. x ij vaut la quantité de marchandise envoyée de l entrepôt i au client j. Nous obtenons le programme linéaire en variables mixtes suivant: min (P ) s.t. n n m c i y i + k ij x ij i=1 n x ij = d j i=1 i=1 j=1 m x ij Cap i j=1 y i {0, 1} j = 1,..., m i = 1,..., n i = 1,..., n x ij 0 j = 1,..., m. (a) Décrire une heuristique pour (P ). (b) Soit (D) le programme linéaire dual de la relaxation linéaire de (P ). Ecrire (D). 5

6 Question 5 Soit (P ) un programme linéaire en variables mixtes min s.t. c t x Ax b x R n Z m, et (D) le dual de la relaxation linéaire de (P ). (a) Expliquer l utilité de posséder une bonne valeur heuristique pour (P ) lorsque l on cherche à résoudre le problème par un algorithme de branch-and-bound. (b) Comparer les solutions optimales de (P ) et (D). (c) Soit α un vecteur réalisable pour (D) (pas obligatoirement optimal) et v(α) son coût pour la fonction objective de (D). Comparer v(α) avec la valeur fournie par une heuristique pour (P ). 6

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