Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires. dans

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2 Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires dans Sommaire Sandrine CHARLES 1 Introduction Rappels sur les formes de Jordan réelles dans Deux valeurs propres réelles distinctes ( ) Deux valeurs propres réelles identiques ( ) Deux valeurs propres complexes conjuguées ( ) Typologie des solutions des systèmes récurrents linéaires dans A admet deux valeurs propres réelles distinctes A admet une valeur propre double (A non diagonale) A admet deux valeurs propres complexes conjuguées Un grand classique : la suite de Fibonacci Les systèmes de Lindenmayer Evolution d une population de bouquetins du «Grand Paradis» (Capra hircus)23 7 Propagation d une plante annuelle...24 Mise à jour du 22/09/10

3 Chapitre 2 : Les systèmes d équations récurrentes linéaires dans 1 Introduction Nous allons considérer maintenant des systèmes d équations récurrentes couplées, de la forme : De tels systèmes peuvent être linéaires : ou bien non linéaires, si f et g sont des fonctions non linéaires de x et de y. Nous verrons des exemples d application de ces systèmes : - En démographie avec les systèmes de Lindenmayer ; - Pour décrire les processus de ramification ; - Et enfin en dynamique des populations avec l étude d une population de bouquetin du «Grand Paradis» (Capra hircus). - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page3/25 -

4 2 Rappels sur les formes de Jordan réelles dans Proposition : Soit une matrice réelle carrée de dimension 2. Alors il existe une matrice réelle inversible telle que ait l une des formes suivantes : (a) (b) où (c) sont des réels. (d) On dit que la matrice J est semblable à A. La matrice est la forme de Jordan associée à. Les valeurs propres de la matrice (et de la matrice ) sont les valeurs solutions de l équation caractéristique : où est la trace de, et son déterminant. Démonstration (à voir si le temps) : Le discriminant de l équation caractéristique est. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page4/25 -

5 C est la nature des valeurs propres qui détermine la forme de Jordan associée à : 1. Réelles distinctes ( ) ; 2. Réelles égales ( ) ; 3. Complexes conjuguées ( ). 2.1 Deux valeurs propres réelles distinctes ( ) Les valeurs propres sont de la forme : et Si on appelle les vecteurs propres associés à : Mettre des flèches sur les vecteurs à l oral Alors, et est de la forme (a) : Démonstration : Exemple : Soit. et. L'équation caractéristique est donc avec. Les valeurs propres de sont alors : et. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page5/25 -

6 Le calcul des vecteurs propres associés à et conduit à et. On a alors : avec. On vérifie enfin que. 2.2 Deux valeurs propres réelles identiques ( ) On distingue deux cas. (i) est déjà diagonale : A est donc directement sous la forme de Jordan (b). En effet, quelle que soit la matrice de passage, on a ( est semblable à elle-même) :. Vérification : P 1 AP = P 1 λ 0 IP = λ 0 P 1 IP = λ 0 P 1 P = λ 0 I = A (ii) n est pas diagonale : Dans ce cas, et il n y a pas deux vecteurs propres linéairement indépendants. Soit un vecteur propre de. En choisissant un vecteur quelconque mais qui soit linéairement indépendant de, on a qui est une matrice inversible permettant de triangulariser : où c est un réel non nul et en général différent de 1. Pour retrouver la forme de Jordan (c), on définit une nouvelle matrice de passage : Alors. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page6/25 -

7 Exemple : Soit. et. L'équation caractéristique est donc. avec. Les valeurs propres de sont alors : Un vecteur propre associé à est par exemple. En choisissant le vecteur indépendant de, la matrice de passage s'écrit : ( ) = 1 1 P = u 0 m 2 avec 1 0 Le calcul de conduit alors à la matrice qui n'est pas sous la forme de Jordan souhaitée, c'est-à-dire avec. Il faut donc choisir une autre matrice de changement de base avec. On vérifie alors que. 2.3 Deux valeurs propres complexes conjuguées ( ) On peut écrire avec et. Les vecteurs propres associés à et sont également complexes conjugués et s écrivent où et sont des vecteurs réels de. Si on prend la matrice de passage, alors se met sous la forme de Jordan (d) : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page7/25 -

8 Exemple : Soit. et. L'équation caractéristique est donc avec. Les valeurs propres de sont alors :. Le calcul des vecteurs propres conjugués associés à et conduit à, d'où la matrice de passage avec On vérifie enfin que. Compte tenu de ce qui précède, tout système récurrent dans du type, peut être transformé en un système différentiel canonique équivalent,, où est la forme de Jordan associée à et. 3 Typologie des solutions des systèmes discrets linéaires de Nous considérons donc des systèmes récurrents de la forme suivante : On suppose que la matrice A est inversible. Au passage, de tels systèmes peuvent aussi s écrire sous la forme d une équation récurrente d ordre 2 : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page8/25 -

9 Le seul point fixe de ce type de système est l origine, sauf si A n est pas inversible.. L utilisation des formes de Jordan semble naturelle dans la mesure où : Or, donc. La résolution des systèmes linéaires se ramène donc au calcul de la matrice. 3.1 A admet deux valeurs propres réelles distinctes Dans la base de Jordan, on a : avec Remarque : On retrouve ici un résultat bien connu issu de la résolution des équations récurrentes d ordre 2. ATTENTION sur les graphiques, il faut appliquer les correspondances suivantes : La représentation graphique des solutions se fait classiquement dans le plan. La nature du point fixe dépend du signe et de la valeur de et. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page9/25 -

10 Figure 7 : (a) Nœud asymptotiquement stable (, on converge plus vite en y 2 qu en y 1 ) ; (b) Nœud instable ( ). Figure 8 : Point selle ( ). Figure 9 : Nœud dégénéré ( ). Exemple : Résoudre le système suivant : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page10/25 -

11 l équation caractéristique de A est : : et On a donc un point selle. Le premier vecteur propre associé à de coordonnées vérifie :, ce qui conduit à :. Donc on peut prendre. Le deuxième vecteur propre associé à de coordonnées vérifie :, ce qui conduit à :. Donc on peut prendre. Ainsi avec et. Dans la base de Jordan la solution est :. La solution du système est donc :. Figure 10 : Représentation de la solution du système précédent dans la base de Jordan. Il s agit ici d un point selle. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page11/25 -

12 Figure 11 : Représentation de la solution du système précédent dans la base de départ. 3.2 A admet une valeur propre double (A non diagonale) Dans la base de Jordan, on a : avec Donc on a - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page12/25 -

13 Rq : Démonstration (par Cédric BAJARD) : Etude de la suite u n = nλ n avec λ R 1- Rappels sur la fonction exponentielle (croissance comparée) - L étude de la fonction l inégalité e x x pour tout x réel. f x - De là on déduit que, pour x positif, ( ) = e x x (dérivée et tableau de variation) nous donne e x x2 4 puis e x x x e x, ce qui nous permet de trouver lim 4 x + x = +. x - Il s ensuit alors, en prenant l inverse, que lim x = 0, c est-à-dire x + e 2- Retour à la suite x e 2 x, et donc en élevant au carré, il vient 2 lim x + xe x = 0. Il suffit alors d écrire que u n = n λ n = ne n log n. - Si λ 1, alors log λ 0 et donc u n = n λ n + - Si λ <1, alors log λ < 0 et donc u n = n λ n 0 (grâce à la formule encadrée) Figure 12 : Nœud asymptotiquement stable ( ). Figure 13 : Cas dégénéré ( ). - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page13/25 -

14 3.3 A admet deux valeurs propres complexes conjuguées avec. Alors avec. Dans la base de Jordan, on a donc : Par mesure de simplification, mais surtout pour calculer J n, on utilise la notation des complexes en module et argument : et. On peut aisément démontrer que et que. Ainsi, avec la matrice de la rotation d angle et de centre (0,0). Pour trouver la solution du système dans la base de Jordan, on a besoin de : En effet, concernant J 2, quand on compose deux rotations, on obtient une nouvelle rotation dont l angle est la somme des deux composées. Les termes en et sont responsables de la rotation dans le plan, tandis que le terme est responsable de l évolution avec n de la distance au point. Ainsi, la nature du point dépend de la position de par rapport à 1 : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page14/25 -

15 Si, alors, on se rapproche de en tournant autour : on a un foyer asymptotiquement stable. Si, alors, on s éloigne de en tournant autour : on a un foyer instable. Si, alors, on reste toujours à la même distance de en tournant autour : on a des centres. Figure 14 :, foyer asymptotiquement stable. Figure 15 :, foyer instable. Figure 16 :, centre. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page15/25 -

16 Exemple : Étudier le système avec. Les vecteurs propres sont, d où la matrice de passage. Par conséquent : et. On a donc, il s agit d un foyer instable. ce qui implique que Dans la base de Jordan la solution est :. La solution du système est donc : avec la condition initiale x( 0) = y( 0) =1, on obtient w 0 =1 et z 0 = 1. Donc la solution finale 3 s écrit : x n y n π 3sin n = 2 n 3 + cos n π 3 cos n π in n π 3 - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page16/25 -

17 4 Un grand classique : la suite de Fibonacci - ou la folle épopée des lapins Ce problème est apparu pour la première fois en 1202 dans le «Liber abaci» (Livre du calcul ou Livre de l'abaque), un livre écrit par le célèbre mathématicien italien Leonardo de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci. Fibonacci présente dans ce livre les chiffres arabes et le système d'écriture décimale positionnelle. Énoncé : Supposons que tout couple de lapins ne se reproduit que deux fois, quand les lapins sont âgés de 1 et 2 mois, et que chaque fois la reproduction donne lieu à un couple de lapins. On suppose également que tous les lapins survivent. En partant d un couple de lapins à la première génération (1 couple de lapins âgés de 1 mois à ), combien y aura-t-il de couples de nouveaux-nés à la génération? On suppose dans ce problème qu il n y a que deux évènements de reproduction par couple. On définit : = nombre de couples de nouveau-nés à la génération, = nombre de couples âgés de 1 mois à la génération, = nombre de couples âgés de 2 mois à la génération. On montre alors que. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page17/25 -

18 Puis, en partant de et, on peut donner le nombre de couples de nouveau-nés, de couples âgés de 1 mois et de couples âgés de 2 mois à la génération. On place le pas de temps juste après la reproduction (les jeunes de l année t sont issus des individus reproducteurs de la même année t) ; on est dans le cas (2) évoqué au chapitre : On pose 0 x t = R t 1 et x t = y t 1 0 y t = R t 2 y t = R t 0. Alors : 0 + R t 1 = x t 1 + y t 1 L équation caractéristique de A est λ 2 λ 1= 0 avec donc. Les vecteurs propres associés sont : avec X t = x t Δ = 5. Les valeurs propres de A sont y t D où la solution générale qui s écrit donc : avec α et β des constantes. On en déduit : on obtient : 0 R t 1 = α 1+ 5 t + β 1 5 t. En tenant compte du fait que et, Pour t = 1, R 0 0 = 0 = α β 1 5 (1) Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page18/25 -

19 - Pour t = 2, R 0 1 =1= α β (2) 2 2 D après (1), α = β et en réinjectant dans (2), on obtient finalement : 2 2 α = et β = Ainsi 0 R t 1 = 1 1 t = t t 1 t soit R 0 t = t 1 t On peut remarquer que. En effet,. Ce nombre est appelé le nombre d or ; il est supposé représenter le rapport des côtés du rectangle le plus esthétique aux yeux de l homme! 1 5 Les systèmes de Lindenmayer Lindenmayer A. (1971) Developmental Systems without Cellular Interaction, their Language and Grammars. Journal of Theoretical Biology, 30, Pavé (1994) propose les systèmes de Lindenmayer comme une application des systèmes récurrents linéaires. Lindenmayer a proposé une formalisation des règles de reproduction 1 Le nombre d'or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l'unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+b) sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c'est-à-dire lorsque (a+b)/a = a/b. Le nombre d'or est maintenant souvent désigné par la lettre φ en l'honneur du sculpteur Phidias qui l'aurait utilisé pour concevoir le Parthénon. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page19/25 -

20 d éléments biologiques qui a entre autres permis de modéliser l évolution morphologique (ou morphogénèse) de systèmes ramifiés tels que les arbres. Je vous propose d étudier cette formalisation (Pavé, p180). On considère une population cellulaire dont on veut étudier la croissance. On distingue dans la population deux catégories de cellules : - Des cellules jeunes et immatures, notées a, qui ne se divisent pas ; - Des cellules matures, notées b, susceptibles de se diviser. On fait de plus les hypothèses suivantes : - La reproduction a lieu à intervalles de temps discrets ; - Les cellules b se divisent en un pas de temps en une cellule a et une cellule b : ; - D un pas de temps à l autre les cellules a deviennent matures :. Sur plusieurs pas de temps, en partant d une unique cellule a, on peut alors construire le schéma de croissance comme suit : Soit le nombre de cellules a au temps t, et le nombre de cellules b au temps t : t On peut alors établir la formule de récurrence suivante : On obtient la même matrice que pour la suite de Fibonacci, l évolution de la population de cellules sera donc identique à celle de la population de lapins : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page20/25 -

21 Les conditions initiales N a ( 0) =1 et N b ( 0) = 0 conduisent à la solution suivante : Ce qui nous intéresse c est le devenir de la population lorsque t est grand ( ) : car et Numériquement, on obtient : Le vecteur contient les proportions relatives des cellules a et b lorsque t est grand : 38.2% de cellules a et 61.8% de cellules b. On en déduit que les proportions relatives des cellules a et b resteront les mêmes, à partir d un certain t suffisamment grand, quelle que soit la distribution initiale. Lorsque t est grand, la croissance de la population de cellules est de type exponentiel : avec et - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page21/25 -

22 Figure 17 : Représentation au cours du temps des proportions relatives des cellules a et b. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page22/25 -

23 6 Evolution d une population de bouquetins du «Grand Paradis» (Capra hircus) Lebreton J.-D. et Millier C. (1982) Modèles Dynamiques Déterministes en Biologie. Masson (eds.), Paris. Cet exemple tiré de Pavé (1994, p192) montre l utilisation des modèles récurrents linéaires dans pour la modélisation de la dynamique d une population naturelle de bouquetins du «Grand Paradis». La biologie connue de cette espèce suggère les règles de fonctionnement simplifiées suivantes : (i) Un jeune animal devient adulte deux ans après sa naissance ; si c est une femelle, il peut alors donner naissance à un jeune cette même année. (ii) Une femelle adulte produit un et un seul animal tous les deux ans ; (iii) Le sex-ratio est supposé égal à 1 (i.e., un animal jeune est une femelle avec une probabilité de 0.5). (iv) On note p la probabilité annuelle de survie d un animal (jeune ou adulte). On désigne par J un individu jeune et par A un adulte ; désigne un adulte femelle ; Si on ne tient compte que des femelles adultes, on peut schématiser le fonctionnement de cette population de la manière suivante : On écrit donc : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page23/25 -

24 Ainsi, en posant, il vient : Soit (nombre total d individus). On a alors : Compte tenu de la relation précédente, on peut écrire : La croissance de la population est donc de type exponentiel. Il y aura décroissance si et seulement si, c est-à-dire si, soit. Assurer le maintien de cette population nécessite donc que (biologiquement cette valeur semble énorme). 7 Propagation d une plante annuelle (exercice à faire à la maison) L objectif ici est de développer un modèle mathématique qui permette de connaître le nombre de plantes à une génération n quelconque. Les plantes produisent des graines à la fin de leur période de croissance, lorsqu elles arrivent à maturité (en août généralement) ; après quoi elles meurent. Seule une fraction de ces graines passe l hiver, et celles qui survivent germent au début de la saison en mai pour donner naissance à une nouvelle génération de plante. Certaines graines peuvent ne germer que l année suivante ; on distingue donc les graines d une année et les graines de deux années. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page24/25 -

25 On désigne par : -, le nombre de graines produites par plante en août ; -, la fraction de graines d une année qui germent en mai ; -, la fraction de graines de deux années qui germent en mai ; -, la fraction de graines qui passe un hiver. Si on note le nombre de plantes à la génération n, on peut écrire : (1) où et sont les nombres de graines de une et deux années en avril de la génération n (avant la germination). On place le pas de temps juste avant la germination, en avril. Le fait que certaines graines restent après la germination peut se traduire par : Où et sont les nombres de graines de une et deux années restant en mai après que certaines aient germé. Le nombre de nouvelles graines produites à la génération n est fonction du nombre de plantes : Après l hiver, ces graines, nouvelles à la génération n, deviennent des graines d une année la génération suivante et il en reste une fraction : (2) De manière analogue, on peut écrire : (3) En remplaçant (2) et (3) dans (1), il vient : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page25/25 -

26 Pour résoudre cette équation selon le formalisme présenté dans ce chapitre 2, on pose : Ainsi : avec. Les valeurs propres sont solutions de : Il y a donc deux valeurs propres réelles distinctes : On constate que et (car 1 α > 0). Compte tenu du fait que (elle occasionne des oscillations), il y a croissance de la population de plantes si et seulement si : - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page26/25 -

27 Si on suppose que, ce qui correspond à supposer qu aucune graine de deux années ne germent en mai il vient :. Sans plus d informations biologiques, il est impossible d aller plus loin. - Chapitre 2 : Systèmes récurrents linéaires dans - page27/25 -

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