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1 Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice ** Détermier le rayo de covergece de la série etière proposée das chacu des cas suivats : l z z 3 l! z 4 ch + cos 4 z 5 C z 6 l! a z! b 7 a +b z, a,b R + Correctio [005745] Eercice Calculer les sommes suivates das leur itervalle ouvert de covergece après avoir détermié le rayo de covergece de la série proposée ** ** ** I 5 * 4 4! 6 ** ch 7 ** I 9 ** I 0 * 4 4 ** +! + 4 ** k k 7 +4!+ + + ** 3 *** a où a 0 a et N, a + a + + a 4 ** a où a est le ombre de couples,y d etiers aturels tels que + 5y + + Correctio [005746] Eercice 3 Développer e série etière les foctios suivates : * *** I t+, t R 3 * l ** arcta sia cosa, a ]0,π[ 5 ** p 6 *** I arcsi 7 * 0 cost dt 8 *** I dt t 4 +t + 9 ** cosch

2 Correctio [005747] Eercice 4 * I Pour réel, o pose f Correctio { si si 0 si 0 Motrer que f est ce classe C sur R [005748] Eercice 5 *** I Soiet P k0 X k k! et R > 0 doé Motrer que pour suffisammet grad, P a pas de racie das le disque fermé de cetre 0 et de rayo R Correctio [005749] Eercice 6 **** Iverse d ue série etière Soit a z ue série etière de rayo R > 0 et telle que a 0 ou plus gééralemet a 0 0 Motrer qu il eiste ue et ue seule suite b N telle que N, k0 a kb k δ 0, Motrer que la série etière b z a u rayo strictemet positif Correctio [005750] Eercice 7 *** I Pour N, o pose W π/ 0 cos t dt Rayo de covergece et somme de la série etière associée à la suite W N Correctio [00575] Eercice 8 *** Calculer cos π 3 Correctio pour das ],[ [00575] Eercice 9 *** I Calculer Correctio pour das ],[ et e déduire les sommes 4 et 4 4 [005753] Eercice 0 **** Pour etier aturel, o pose u gééral u Correctio + k0 4k+ Covergece et somme de la série umérique de terme [005754] Eercice *** Soit A ue matrice carrée complee de format p N Rayo de covergece et somme e foctio de χ A de la série etière TrA z Correctio [005755] Eercice *** Pour réel, o pose F e 0 et dt E développat F e série etière par deu méthodes différetes, motrer que pour tout etier aturel, k0 k k+k! k!! +!

3 Correctio [005756] Eercice 3 ** O pose a 0 et b 0 0 puis pour tout etier aturel, et b! Correctio { a+ a b b + 3a + 4b Rayos et sommes de a! [005757] Eercice 4 *** I Rayo de covergece et somme de Correctio C [005758] Eercice 5 *** I Soiet a N et b N deu suites de réels strictemet positifs telles que la suite a b ait ue limite N réelle k E particulier a ob si k 0 et a b si k O suppose de plus que la série etière associée à la suite a N a u rayo de covergece égal à et que la série de terme gééral a diverge Motrer que lim a b k Applicatios Correctio a Equivalet simple quad ted vers de l b Détermier lim p p où p est u etier aturel o ul doé [005759] Eercice 6 Soit a N ue suite à valeurs das {,} Pour réel o pose f a! O suppose que pour tout etier aturel p et tout réel positif, f p Détermier f Correctio [005760] Eercice 7 **** I Développemet e série etière de la foctio ta Pour ] π, π [, o pose f ta Motrer qu il eiste ue suite de polyômes P N telle que pour tout etier aturel, f P f et que les P sot à coefficiets etiers aturels Utiliser ta + ta E utilisat la formule de TAYLOR-LAPLACE, motrer que la série de TAYLOR à l origie de f a u rayo de covergece R supérieur ou égal à π 3 O ote a les coefficiets du développemet précédet et g la somme de la série etière associée à la suite a N Motrer que pour tout etier aturel o ul, +a + k0 a ka k E déduire que pour tout de ] π, π [, f g et que R π 4 Calculer a 0, a, a,, a 7 5 Vérifier que la foctio th est développable e série etière Préciser le rayo et la valeur des coefficiets e foctio des a Correctio [00576] Eercice 8 *** Développer e série etière F 0 e t sit dt et e déduire que pour tout réel, F e /4 0 et /4 dt Correctio [00576] 3

4 Eercice 9 *** Soit I le ombre d ivolutios de [[,]] Rayo de covergece et somme de la série etière associée à la suite I! N Correctio [005763] Eercice 0 *** I Déombremet de parethésages Soit E u esemble o vide mui d ue loi itere et a le ombre de parethésages possibles d u produit de éléméts de E a covetioellemet, a, a 3, a 4 5, Motrer que pour tout, a k a ka k Soit f la série etière associée à la suite a O suppose mometaémet le rayo R de cette série strictemet positif Motrer que pour tout de ] R,R[, f f Calculer R et f 4 E déduire a Correctio [005764] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7emathfr 4

5 Correctio de l eercice Soit z 0 Pour > e / z, o a z l > et doc la suite l z e ted pas vers 0 quad ted vers Aisi, pour tout ombre complee o ul z, la série proposée diverge grossièremet R 0 Soit z 0 Pour > z, o a z > et doc la suite z e ted pas vers 0 quad ted vers Pour tout ombre complee o ul z, la série proposée diverge grossièremet R 0 3 D après la formule de STIRLING l! l e π + l + l π l La série etière proposée a même rayo de covergece que la série etière associée à la suite l + Comme lim l +, la règle de l d ALEMBERT permet d affirmer que 4 4 l ch Doc ch + cos 4 R + cos 4 l o e/4 et 5 Pour N, posos a C R o a + +!! a! +! e a et doc lim + a 0 D après la règle de d ALEMBERT, R 6 O a vu que l! l Doc la série etière proposée a même rayo de covergece que la série etière associée à la suite l a Puis! b et doc, d après la règle de d ALEMBERT +l+ a /+! b l a /! b b si b > 0, R, si b 0, R et si b < 0, R 0 7 Si a 0, R O suppose a 0 Si b >, Si b, Si 0 b <, a +b a b a +b a Das tous les cas et doc R b a et R a a +b a et R a 5

6 R Ma,b a si a > 0 et R si a 0 Correctio de l eercice La règle de d ALEMBERT motre que la série proposée a u rayo de covergece égal à ère solutio Pour ],[, o pose f f est dérivable sur ],[ et pour das ],[, f l Puis, pour ],[, f f f tdt l + ème solutio Pour ], [, f l + l + ],[, l + l + La règle de d ALEMBERT motre que la série proposée a u rayo égal à Pour ],[\{0} l ],[, 3 + { l si ],[\{0} 0 si 0 3 La règle de d ALEMBERT motre que la série proposée a u rayo égal à Soit ]0,[ l + l argth Soit ],0[ ],[, + argth si ]0,[ si 0 arcta si ],0[ arcta 4 La règle de d ALEMBERT motre que la série proposée a u rayo égal à Pour réel, Si > 0, Si < 0, f f + +!!! +! +! + ch sh 6

7 f R,! +! cos + +! si ch sh si > 0 0 si 0 cos si si < 0 5 Immédiatemet R et R, 4 4! cos + ch e 6 ch et doc R e Pour das ] e, [ e, ch e + e ] e, e e + e [, ch ch ch+ e + e e + e + ch ch + 7 La série proposée est le produit de CAUCHY des séries etières et qui sot toutes deu de rayo Doc R Mais d autre part, pour tout etier aturel o ul, a k k et R Fialemet R De plus, pour das ],[, f l l ],[, k k l 8 La règle de d ALEMBERT motre que le rayo de covergece est égal à Pour etier aturel doé, +4! ! puis Doc, pour tout réel, f ++ +! ! 5 + +! + 5 Esuite f 0 et pour 0, +! f! + e + e 5 e R, +4!+! e +! + 5 +! e { e si R si 0 7

8 9 Pour N, a et doc R Pour das ],[, f Puis k kk k kk k0 k ],[, argth + k0 k+ k+ + k kk 0 R Pour réel o ul das ],[, f 4 l+4 4 et sio f 0 0 { ],[, 4 4 l+4 4 si 0 0 si 0 La règle de d ALEMBERT fourit R Pour das ], [, Pour, la suite + + est pas borée et doc R Mais la série coverge si < et R Fialemet R Pour das ],[, ],[, ère solutio Les racies de l équatio caractéristique z z 0 sot α + 5 et β 5 O sait qu il eiste deu ombres réels λ et µ tels que pour tout etier aturel, a λ µ 5 Les égalités 0 et fourisset { { λ + µ λ + µ + 5 λ + 5 µ λ + λ µ 5 5 µ 5 Fialemet, pour tout etier aturel, a Les séries etières respectivemet associées au suites + 5 respectifs + 5 5/ et 5/ rayo { λ µ et 5 ot pour rayos 5+ Ces rayos état disticts, la série proposée a pour 8

9 Pour das ] 5, [ 5, o a R Mi{ 5, } 5+ 5 a α 5 α β 5 β α 5 α β β α β 5 αβ α + β + ème solutio Supposos à priori le rayo R de la série proposée strictemet positif Pour das ] R,R[, o a f a + + a a + + a + a a les deu séries ot même rayo + + f + f Doc, écessairemet ] R,R[, f Réciproquemet, la fractio ratioelle ci-dessus admet pas 0 pour pôle et est doc développable e série etière Le rayo de covergece de la série obteue est le miimum des modules des pôles de f à savoir R 5 Notos b ce développemet Pour tout de ] R,R[, o a b et doc b b + b + ce qui s écrit ecore b b b Fialemet ] R,R[, b 0 + b b 0 + b b b Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, o a alors b 0 b et, b b + b O e déduit alors par récurrece que N, b a ] [ 5, 5, a Remarque E gééralisat le travail précédet, o peut motrer que les suites associées au développemets e série etière des fractios ratioelles sot justemet les suites vérifiat des relatios de récurrece liéaire 4 Pour tout etier aturel, a + Doc R O remarque que pour tout etier aturel, a k+5l La série etière proposée est doc le produit de CAUCHY des séries k0 k et l0 5l Pour das ],[, o a doc f k0 k l0 5l 5 Remarque De combie de faços peut -o payer 00 euros avec des pièces de,, 5, 0, 0 et 50 cetimes d euros, des pièces de et euros et des billets de 0 et 0 euros? Soit N le ombre de solutios N est le ombre de solutios e ombres etiers a,b, de l équatio a + b + 5c + 0d + 0e + 50 f + 00g + 00h + 500k + 000i j 0000 et est doc le coefficiet de 0000 du développemet e série etière de , La remarque est éamois aecdotique et il semble bie préférable de déombrer à la mai le ombre de solutios Les eercices 9 et 0 de cette plache fot bie mieu compredre à quel poit les séries etières sot u outil itéressat pour les déombremets 9

10 Correctio de l eercice 3 Das chaque questio, o ote f la foctio cosidérée f est développable e série etière à l origie e tat que fractio ratioelle admettat pas 0 pour pôle Le rayo du développemet est le miimum des modules des pôles de f à savoir Pour das ],[, f + f est développable e série etière à l origie e tat que fractio ratioelle admettat pas 0 pour pôle er cas Si t <, soit θ arccost O a doc θ ]0,π[ et t cosθ Pour tout réel, o a t + cosθ + e iθ e iθ, avec e iθ e iθ Les pôles sot de modules et le rayo du développemet est doc égal à Pour das ],[, cosθ + isiθ isiθ e iθ e iθ e iθ e iθ e iθ t ],[, ],[, t+ e iθ eiθ + isiθ e iθ e iθ e iθ si + θ siθ si+θ siθ où θ arccost ème cas Si t >, o peut poser t chθ où θ est u certai réel positif ou ul Plus précisémet, θ argcht lt + t ]0,[ Pour tout réel, o a t + chθ + e θ e θ, avec e θ e θ Le miimum des modules des pôles de f est e θ t+ t t t Le rayo du développemet est doc R t t Pour ] R,R[, chθ + shθ shθ e θ e θ e θ e θ e eiθ eθ + shθ e θ e θ θ 3ème cas Si t <, o applique ce qui précède à t et 4ème cas Si t, pour ],[, t+ e θ + sh + θ shθ Si t, e remplaçat par, o obtiet pour ],[, Pour tout réel, et doc si <, > 0 Pour ],[, l l + l3 l6 + l + l 3, et puisque pour das ],[, et 3 sot das ],[, l l6 + 3, et e particulier la foctio f est développable e série etière et le rayo du développemet est clairemet 0

11 4 Si cosa 0, la foctio f est défiie et dérivable sur D R et si cosa 0, f est défiie et dérivable sur D ] [ ], cosa cosa,[ Pour D, f sia sia cosa + cosa sia cosa+ D après, la foctio f est das tous les cas développable e série etière, le rayo du développemet est et pour das ],[ f si+a sia O sait alors que la foctio f est développable e série etière, que le développemet a même rayo de covergece et s obtiet e itégrat terme à terme Doc pour das ],[, f f f t dt si+a sia + 5 La foctio f est développable e série etière e tat que fractio ratioelle admettat pas 0 pour pôle Le rayo est le miimum des modules des pôles de f à savoir p p λ k k k avec λ k p k k!p k! p k k p! Ck p Par suite, pour das ],[ f p k p p! p k k p! Ck p k k p k+ck p k k p p! p k k+ C k p k 6 La foctio f est deu fois dérivable sur ],[ et pour das ],[, f arcsi puis Doc, pour das ],[, f arcsi + f + 3/ f f et f 0 f 0 0 O admettra que ces égalités détermiet la foctio f de maière uique Soit a ue série etière de rayo R supposé à priori strictemet positif Pour ] R,R[, o pose g a g est solutio de sur ] R,R[ ] R,R[, ] R,R[, ] R,R[, ] R,R[, ] R,R[, a et N, a + a a a + + a + a + a a a + + a + a a + + a par uicité des coefficiets d u DES E résumé, la foctio g est solutio de et sur ] R,R[ si et seulemet si a 0 a 0 et a et N, a + ++ a 3 puis

12 4 3 N, a + 0 et a 0 0, a et, a 4 3 a a 0 0 et N, a + 0 et N, a! E résumé, sous l hypothèse R > 0, la foctio g est solutio de et sur ] R,R[ si et seulemet si ] R,R[, g C Réciproquemet, calculos le rayo de la série etière précédete Pour réel o ul, +! + +!!!! 4 ++ D après la règle de d ALEMBERT, la série proposée coverge absolumet pour < et diverge grossièremet pour > Le rayo de la série proposée est doc > 0 ce qui valide les calculs précédets Par uicité de la solutio de et sur ],[, f est développable e série etière et ],[, arcsi C 7 Pour tout réel, cos 4! le rayo est ifii O sait alors que la foctio f est développable e série etière, que le rayo du développemet est ecore ifii et que l o peut itégrer terme à terme pour obteir e teat compte de f 0 0 R, ! 8 Les zéros du polyôme t 4 +t + sot j, j, j et j Doc la foctio t est développable t 4 +t + e série etière e tat que fractio ratioelle admettat pas zéro pour pôle et que le rayo de la série obteue est Puis pour t das ],[, t 4 +t + t t 6 t t6 t6 t6+ t +t 6 t 8 +t t 4 + La foctio t t 4 +t + est cotiue sur ],0] et égligeable devat t foctio t est doc itégrable sur ],0] t 4 +t + Par itégratio terme à terme licite, o obtiet pour das ],[, f 0 t 4 +t + dt + 0 t 4 +t + dt 0 Calcul de I 0 dt Par parité et réalité, t 4 +t + avec a 4 j 3 + j + j + j + j+ j j 6 Puis Par suite, dt + t 4 +t + t 4 +t + a t j + a a t j t+ j a, t+ j quad t ted vers La t t t 4 +t + j 6 t j + j t j j t + j j t + j 3t t +t + + 3t + 3 t t + t + 4 t +t + + t +t + t t t + + t t + t + 4 t +t t + t t t t +

13 0 t 4 +t + dt [ t +t + l 4 t + arcta t + + arcta t ] 0 π t π π 3 E résumé, ],[, t 4 +t + dt π + t t f est développable e série etière sur R e tat que produit de foctios développables e série etière sur R Pour réel, cosch e +i + e i + e +i + e i p0 e iπ/4 + e iπ/4 + e 3iπ/4 + e 3iπ/4 π cos 4 pπ p p cos 3π + cos 4 k0 + i + i + + i + i! π cos! π cos 4! 4! p p! 4 kπ 4k k 4k cos 4k! k k 4k 4k! R, cosch k0 k k 4k 4k! k0 Correctio de l eercice 4 Pour réel o ul, f +! ce qui reste vrai pour 0 La foctio f est doc développable e série etière sur R et e particulier, la foctio f est de classe C sur R Correctio de l eercice 5 Soit R > 0 Notos D R le disque fermé de cetre 0 et de rayo R Soiet z D R et u etier aturel P z e z e z P z e z e z P z e R e z P z O sait que la suite de polyômes P N coverge uiformémet vers la foctio epoetielle sur D R Doc il eiste u etier 0 tel que pour tout z D R et tout etier 0, e z P z e R Pour 0 et z D R, P z e R > 0 et P e s aule pas das D R Correctio de l eercice 6 O cherche ue série etière b de rayo R strictemet positif telle que a b pour élémet d u certai itervalle ouvert o vide de cetre 0 a 0 b 0 a 0 b + a b 0 0 a 0 b + a b + a b 0 0 Cette égalité impose à la suite b de vérifier le système d équatios a 0 b + a b + + a b + a b 0 3

14 Motros par récurrece que N, b eiste et est uique Puisque a 0, a 0 b 0 b 0 Ceci motre l eistece et l uicité de b 0 Soit N Supposos avoir démotré l eistece et l uicité de b 0, b,, b Alors a 0 b + +a b ++a b +a + b 0 0 b + a b a b a + b 0 Ceci motre l eistece et l uicité de b + O a motré par récurrece que la suite b eiste et est uique Il faut alors vérifier que la série etière associée à la suite b N a u rayo de covergece strictemet positif Soit R > 0 le rayo de la série associée à la suite a N et soit r u réel tel que 0 < r < R O sait que la suite a r N est borée et il eiste M > 0 tel que pour tout etier aturel, a M r b 0 puis b a b 0 M r puis b a b 0 a b M r + M r M r MM+ r b 3 a 3 b 0 a b a b M r 3 + M r + M r + M r MM+ r Motros alors par récurrece que N, b MM+ r C est vrai pour Soit, supposos que k [[,]], b k MM+k Alors r k b + a + b 0 + a b + + a b M r + + k M r + + M M + k k MM +M+ r 3 M r + + M M + M + puis MM+ r 3 MM + k r k M r + k MM + r + O a motré par récurrece que pour tout etier aturel o ul, b MM+ E particulier, le r + rayo R de la série etière associée à la suite b N vérifie R r M+ > 0 Ceci valide les calculs iitiau sur ] ρ,ρ[ où ρ MiR,R > 0 et doc l iverse d ue foctio f développable e série etière à l origie et telle que f 0 0 est développable e série etière à l origie Correctio de l eercice 7 O a déjà vu que W π et la règle de d ALEMBERT fourit R Soit ],[ Pour tout t [ 0, π ] et tout etier aturel, cos t Comme la série umérique de terme gééral, N, coverge, la série de foctios de terme gééral t cos t est ormalemet et doc uiformémet covergete sur le segmet [ 0, π ] D après le théorème d itégratio terme à terme sur u segmet, W π/ π/ cos t dt 0 0 du u +u π/ cos t dt 0 cost dt t 0 + u e posat u ta 0 + u + du + arcta u + + arcta + 0 ],[, W arcta + 4

15 Correctio de l eercice 8 Pour tout etier aturel o ul, a et doc R Mais si >, la suite cos π 3 est pas borée comme o le voit e cosidérat la suite etraite des termes d idices multiples de 3 et doc R Pour das ],[, f Re Le problème est alors de e pouvoir écrire l j Il faut j s y predre autremet f est doc dérivable sur ],[ et pour das ] ;[, f cos π 3 Re j Re j j Re j j ++ Par suite, pour ],[, f f f t dt l + + ],[, cos π 3 l Correctio de l eercice 9 Le rayo de la série cosidérée est égal Soit ],[ Si est das ]0,[, f Si est das ],0[, f f l arcta f 0 Maiteat, la somme est e fait défiie sur [, ] car les séries umériques de termes géérau et 4 4 coverget Vérifios que la somme est cotiue sur [,] Pour das [,] et N, 4 qui est le terme gééral d ue série umérique covergete La 4 série etière cosidérée coverge doc ormalemet sur [, ] O e déduit que cette somme est cotiue sur [,] Doc 4 f lim < f lim < + l l Remarque 4 lim k0 k k+ lim + série télescopique 5

16 O a aussi 4 f lim > f lim > + arcta π 4 + arcta Correctio de l eercice 0 Pour tout etier aturel, a Pour tout etier aturel, k0 + et doc la série proposée e coverge pas absolumet + k0 + u u + + 4k k k0 4k k > 0 k0 La suite u N est doc décroissate De plus, pour tout etier aturel o ul, k0 4k+ 4+ k k + k 4+ k k t dt + l4 + et doc u +l4+ + O e déduit que lim u 0 Fialemet, la série proposée coverge e vertu du critère spécial au séries alterées Cosidéros la série etière u + La série de terme gééral a coverge et doc R mais puisque la série de terme gééral a diverge et doc R Fialemet, R Pour ],[, posos f u + Pour das ],[, f k k + k0 4k + produit de CAUCHY de deu séries umériques absolumet covergetes Doc, pour das ]0,[, f gh où h + puis g Maiteat, e posat kx X 4+ pour X das ],[, k X X 4 X 4 + Esuite, e posat ω e iπ/4, par réalité et parité où a ω 4ω 3 4 Il viet alors ω X X 4 + a X ω + a X ω X ω + ω X ω ω X + ω ω X + ω X + X + X + X X X + 4 X + X + X + + a X+ω X + + E teat compte de k0 0, o obtiet doc pour X ],[, a X+ω X 4 X X + + X + X + X + X X X + + X + 6

17 kx 4 lx + X + lx X + + arctax + + arctax Esuite, pour tout réel ]0,[, f k + k k et doc f f k k0 k lx + X + lx X + + Quad ted vers, f ted vers 3 l + + arcta + + arcta 3 car arcta + + arcta arcta + + arcta + π arctax + + arctax l3 + + π Efi, pour das [0,] et das N, u u + + u u + 0 et la série umérique de terme gééral u est alterée D après ue majoratio classique du reste à l ordre d ue telle série, pour tout etier aturel et tout réel de [0,], R k+ u k k u + + u +, et doc Sup R a + 0 La covergece est uiforme sur [0,] et o e déduit que la somme est [0,] cotiue sur [0,] E particulier u f lim f 3 < l3 + + π + k0 4k+ 3 l3 + + π Correctio de l eercice Posos Sp C A λ,,λ p O sait que pour tout etier aturel, TrA λ + + λ p Soit λ u ombre complee Si λ 0, la série etière associée à la suite λ N est de rayo ifii et pour tout ombre complee z, λ z λz Si λ 0, la série etière associée à la suite λ est de rayo λ et pour z < λ, λ z λz Soit ρ Ma λ,, λ p ρ est le rayo spectral de la matrice A et R ρ si ρ 0 et R si ρ 0 Pour z < R, TrA z p k p k λ k z λ k z p k λ k z somme de p séries covergetes Il est alors clair que R est le rayo de covergece de la série etière proposée développemet e série etière d ue fractio ratioelle Si de plus, 0 < z < R, TrA z z p k χ A z P z λ décompositio usuelle de k z χ A z P Correctio de l eercice Pour réel, o sait que F e 0 et dt! +!+ La foctio F est impaire doc les coefficiets d idices pairs sot uls D autre part, pour N, le coefficiet de + du produit de Cauchy des deu séries précédetes vaut 7

18 k0 k!k+ k k! La méthode choisie fourit classiquemet ue epressio compliquée des coefficiets O peut aussi obteir F comme solutio d ue équatio différetielle liéaire du premier ordre F est dérivable sur R et pour tout réel, F e 0 et dt + F + F est uiquemet détermiée par les coditios F + F et F0 0 * F est développable e série etière sur R d après le début de l eercice et impaire Pour réel, posos doc F a + R, + a + a + R, a a + a a 0 et, + a + a 0 a 0 et, a + a a 0 et, a + a 0 N,! +! O a motré que pour tout réel, F N, o obtiet e particulier, N, k0! +! + Par uicité des coefficiets d ue série etière, k!k+ k k!! +! Correctio de l eercice 3 Pour tout etier aturel, a + + b + a + b et 3a + + b + 3a + b rappel : ces combiaisos liéaires sot fouries par les vecteurs propres de t A si o e les devie pas O e déduit que pour tout etier aturel, a + b a 0 + b 0 et 3a + b 3a 0 + b 0 3 Fialemet, N, a 3 + et b 3 Les deu séries proposées sot alors clairemet de rayos ifii et pour tout réel, f 3e e et g 3e e O peut avoir d autres idées de résolutio, plus astucieuses, mais au bout du compte mois performates Correctio de l eercice 4 Pour, posos a C Pour N, a + a +! +! +!! + Par suite, a + a 4 et d après la règle de d ALEMBERT, le rayo de la série etière cosidérée est R 4 Pour ] 4,4[, posos f a Les relatios s écrivet ecore N, 4 + a + a + a Soit ] 4,4[ O multiplie les deu membres de l égalité précédete par + et o somme sur O obtiet 4 + a + a + + a, ou ecore f 4 f a f a ou ecore 4 f + f deu itervalles ] 4,0[ ou ]0,4[Sur I, l équatio E s écrit : E Soit I l u des f + 4 f 4 8

19 Ue primitive sur I de la foctio a : 4 est la foctio A : l 4 l l 4 f solutio de E sur I I, f + 4 f 4 I, e A f + ae A f 4 I, e A f 4 4 Détermios ue primitive de la foctio sur I 4 Si I ]0,4[, 4 4 arcsi Puis 4 et ue primitive de la foctio sur I est la foctio 4 f solutio de E sur I C R/ I, e A f arcsi +C C R/ I, f arcsi +C 4 Si I ] 4,0[, 4 4 foctio argch Puis 4 et ue primitive de la foctio sur I est la 4 f solutio de E sur I C R/ I, e A f argch +C C R/ I, f argch +C 4 f doit être défiie, cotiue et dérivable sur ] 4,4[ et e particulier dérivable e 0 Ceci impose lim 0 + arcsi + C 0 car sio f C et doc C π 0 + Pour ]0,4[, o a alors f π 4 arcsi 4 arccos ce qui reste vrai pour 0 par cotiuité De même, lim 0 argch +C 0 et doc C 0 O a motré que ] 4,4[, C 4 arccos si [0,4[ 4 argch si ] 4,0] Correctio de l eercice 5 Soiet A et B les sommes des séries etières associées au suites a et b sur ],[ La foctio B est strictemet positive sur ]0,[ et e particulier e s aule pas sur ]0,[ La suite a est positive doc la foctio A est croissate sur [0,[ et admet aisi ue limite réelle ou ifiie quad ted vers par valeurs iférieures De plus, pour N etier aturel doé et [0,[, o a a N a et doc N N, lim A, < N lim, < a N a 9

20 Puisque la série de terme gééral positif a diverge, quad N ted ted vers, o obtiet lim A, < et doc lim A Il e est de même pour B car la série de terme gééral b diverge quelque, < soit la valeur de k O veut alors motrer que A kb ob Soit ε > 0 Par hypothèse, a kb o b et doc il eiste u etier aturel N tel que pour N, a kb ε b Soit [0,[ A kb a kb N a kb + ε N+ b N a kb + ε B Maiteat, B ted vers quad ted vers par valeurs iférieures Doc il eiste α ]0,[ tel que pour ] α,[, B > ε N a kb Pour ] α,[, o a alors A kb < ε B + ε B εb O a motré que ε > 0, α ]0,[/ ] α,[, A kb < εb et doc lim A B k a La série etière proposée «vérifie»les hypothèses du et de plus, l Doc f k k l b Soit p p l l p Comme les deu suites p et p vérifiet les hypothèses du p + p + p p p! p Par suite, lim p p p! Correctio de l eercice 6 Supposos qu il eiste u etier aturel p tel que a p a p+ Le développemet limité à l ordre de f p e 0 s écrit f p 0 f p 0 + f p+ 0 + o a p + + o et o e déduit f p a p + o + o + sur u voisiage poité de 0 à droite + > sur u voisiage poité de 0 à droite Doc si deu termes cosécutifs sot égau, f e vérifie pas les coditios de l éocé ou ecore si f vérifie les coditios de l éocé, alors p N, a p+ a p puis a p p a 0 Mais alors, écessairemet pour tout réel, f e ou pour tout réel, f e Réciproquemet, ces deu foctios sot clairemet solutios du problème posé Correctio de l eercice 7 La foctio f est de classe C sur ] π, π [ e tat que quotiet de foctios de classe C sur ] π, π dot le déomiateur e s aule pas sur ] π, π [ et de plus f + f Motros par récurrece que pour tout aturel, il eiste u polyôme P à coefficiets etiers aturels tel que f P f ou ecore ] π, π [, ta P ta C est vrai pour 0 avec P 0 X et pour avec P + X Soit Supposos que pour tout k [[0,]], il eiste u polyôme P k à coefficiets etiers aturels tel que f k P k f D après la formule de LEIBNIZ, 0 [

21 f + + f f k0 et le polyôme P + k0 f k f k k0 k P k P k f k P k P k est u polyôme à coefficiets etiers aturels tel que ta + k P + f Remarque O aurait pu aussi dériver l égalité f P f pour obteir f + f P f P P f mais o a déjà das l idée ue relatio de récurrece sur les coefficiets du développemet de ta qui est pas fourie par cette derière égalité Soiet [ 0, π [ et N La formule de TAYLOR-LAPLACE à l ordre e 0 fourit f k0 f k 0 k! k + t 0! f + t dt Le motre que pour tout réel t de [ 0, π [ et tout etier aturel k, f k t P k tat 0 Doc, d ue part f k 0 k! k 0 et d autre part, k0 f k 0 k! k f t 0! f + t dt La suite des sommes partielles de la série de terme gééral f k 0 k! k 0 est majorée et doc la série de terme gééral f k 0 k! k coverge Aisi, la série de TAYLOR de f à l origie coverge pour tout réel de [ 0, π [ So rayo de covergece R est doc supérieur ou égal à π et doc la série de terme gééral f k 0 k! k coverge aussi pour ] π,0] Il y a par cotre aucue raiso pour le momet pour que sa somme soit f 3 Pour etier aturel doé, posos a f 0! puis pour das ] π, π [, posos g a O a vu que N, P + k0 P kp k O divise les deu membres de ces égalités par! et o pred la valeur e 0 ta0 O obtiet Doc, pour ] π, π [, N, + a + a k a k et aussi a 0 0 et a g + a g k0 a k a k + k0 a k a k + a De plus, g0 a 0 0 Pour ] π, π [ ], posos alors h arctag La foctio h est dérivable sur π, π [ et pour ] π, π [ h g puis h h g Aisi, pour tout ] π, π [, g ta f Ceci motre déjà que f est développable e série etière sur ] π, π [ Mais quad ted vers π par valeurs iférieures, g f ted vers et doc R π puis R π E résumé, la foctio tagete est développable e série etière sur ] π, π [ ] et pour π, π [, ta a où a 0 0, a et N, + a + k0 a ka k De plus, N, a 0 puisque la foctio tagete est impaire 4 a 0 a a 4 a 6 0 puis a 3a 3 a 0 a + a + a a 0 et doc a 3 3 5a 5 a a 3 3 et doc a 5 5 7a 7 a a 5 + a et a

22 ] π, π [, ta Pour tout réel, th tai et doc pour ] π, π [, th i a +i + a + + Cette série etière a aussi pour rayo de covergece π Correctio de l eercice 8 Soit R La foctio t e t sit est cotiue sur [0,[, égligeable devat t quad t ted vers et est doc itégrable sur [0,[ La foctio F est doc défiie sur R et impaire Soit R Pour tout réel t, posos f t e t sit Pour t R, o a e t sit + +! t+ e t Pour N et t R, posos f t + +! t+ e t Chaque foctio f, N, est cotiue puis itégrable sur [0,[ car égligeable devat quad t ted t vers La série de foctios de terme gééral f, N, coverge simplemet vers la foctio f sur [0,[ Esuite, 0 f t dt 0 t + e t dt Pour N, posos I 0 t + e t dt + +! Soit N Soit A u réel strictemet positif Les deu foctios t t et t e t sot de classe C sur le segmet [0,A] O peut doc effectuer ue itégratio par parties et o obtiet A 0 A [ t + e t dt t te t dt ] A A 0 t e t + t e t dt 0 0 A e A + A 0 t e t dt Quad A ted vers, o obtiet I I E teat compte, de I 0 0 te t dt I! puis o a doc N, Soiet N et R +! +3 +3!! + +! 0 f t dt! + +! et doc lim +! +3 +3!! + +! 0 D après la règle de d ALEMBERT, la série umérique de terme gééral! + +! coverge E résumé, pour tout réel, Chaque foctio f, N, est cotiue puis itégrable sur [0,[ car égligeable devat quad t ted t vers La série de foctios de terme gééral f, N, coverge simplemet vers la foctio f sur [0,[ 0 f t dt < D après u théorème d itégratio terme à terme, pour tout réel, 0 e t sit dt 0 f t dt!+ +! R, 0 e t sit dt!+ +! F est dérivable sur R et pour tout réel,

23 F!!!! F Par suite, pour tout réel, e /4 F + e /4 F e /4 et doc F F0 + e /4 0 et /4 dt e /4 0 et /4 dt R, 0 e t sit dt e /4 0 et /4 dt Correctio de l eercice 9 O a I 0 0, I et I l idetité et la traspositio τ, Soit N Il y a I + ivolutios σ de [[, + ]] vérifiat σ + + car la restrictio d ue telle permutatio à [[, + ]] est ue ivolutio de [[, + ]] et réciproquemet Si σ + k [[, + ]], écessairemet σk + puis la restrictio de σ à [[, + ]] \ {k, + } est ue ivolutio et réciproquemet Il y a I ivolutios de [[, + ]] \ {k, + } et + choi possibles de k et doc + I ivolutios de [[, + ]] telles que σ + + E résumé, N, I + I I Le rayo R de la série etière associée à la suite I est supérieur ou égal à car N, I N! Pour das ] R,R[, posos f I! f est dérivable sur ] R,R[ et pour ] R,R[! f I + +! + + I! + I! I + +! f + f f I I + +! Doc, pour ] R,R[, f + + f + ou ecore e + f + + e + f + e + Par suite, pour ] R, R[, e + f f 0 t 0 t + e +t dt e +, et puisque f 0 0, ] R,R[, f e + Réciproquemet, la foctio précédete est développable e série etière sur R e vertu de théorèmes géérau e e et les coefficiets de ce développemet vérifiet les relatios défiissat I! de maière uique Doc, ces coefficiets sot les I! ce qui motre que R R, I! e + Correctio de l eercice 0 Soiet puis k [[, ]] O met ue parethèse autour de X X k et ue autour de X k+ X Esuite, pour chacu des a k parethésages de XX k, il y a a k parethésages possibles de X k+ X Fialemet, e faisat varier k de à, o a motré que, a k a ka k 3

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