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1 CIGI 2011 Processus d accélératon de proets sous contrantes de ressources avec odes de chevaucheent LUCAS GREZE 1, ROBERT PELLERIN 1, PATRICE LECLAIRE 2 1 CHAIRE DE RECHERCHE JARISLOWSKY/SNC-LAVALIN EN GESTION DE PROJETS INTERNATIONAUX Ecole Polytechnque de Montréal C.P. 6079, succ. Centre-vlle Montréal (QC), Canada H3C3A7 2 INSTITUT SUPÉRIEUR DE MÉCANIQUE DE PARIS SUPMÉCA 3 rue Fernand Hanaut, Sant-Ouen, France Résué Le chevaucheent d actvtés est une pratque courante pour accélérer l exécuton de proets. Cette technque consste à exécuter en parallèle deux actvtés, noraleent séquentelles, en autorsant l actvté en aval à coencer avec des nforatons prélnares. Dans la pratque, le chevaucheent est étudé en prenant copte les contrantes de ressources, as ne prend pas touours en copte les nteractons entre actvtés, qu peuvent entraîner des retouches et des augentatons de coût. À l opposé, la lttérature scentfque coporte beaucoup d études sur les nteractons qu ne prennent pas en copte les contrantes de ressources. Dans ce paper, nous proposons un processus d accélératon de proet sous contrante de ressources à l ade du chevaucheent d actvtés. Le processus propose l dentfcaton des couples d actvtés chevauchables, l évaluaton des paraètres de chevaucheent, usqu à l ordonnanceent du proet. Nous consdérons c deux technques d ordonnanceent, sot un odèle de prograaton lnéare et un odèle heurstque. Ces deux approches ont été testées sur neuf nstances de proets pour llustrer et quantfer les gans obtenus. Les résultats obtenus llustrent l effcacté du chevaucheent en tant que technque d accélératon de proet. Nous présenterons auss les ltes d une éthode de résoluton exacte pour une approche ndustrelle et l effcacté des éthodes heurstques. Abstract Overlappng actvtes s wdely used to accelerate proect executon. Overlappng conssts n executng n parallel two sequental actvtes by allowng a downstrea actvty to start before the end of an upstrea actvty based on prelnary nforaton. In copanes, overlappng s exaned n resource constrants schedulng wthout consderng nteracton between actvtes and rewor caused by alteraton of nforaton exchanged untl fnalzed nforaton s avalable at the copleton of the upstrea actvty. By contrast, the lterature deals wth overlappng of couple of actvtes wthout consderng a whole proect wth resource constrants. We propose a process of acceleratng proect usng the overlappng of actvtes. Ths process descrbes the dentfcaton of overlappable couples of actvtes, the assessent of overlap paraeters and then the schedulng of the proect. We propose n ths paper two dfferent schedulng approaches, an nteger lnear prograng proble and a heurstc algorth. We appled ths process on nne nstances of proect to llustrate and quantfy the assocated gans. Results llustrate the effectveness of overlappng as a technque for acceleratng proect executon. We also present the ltatons of an exact resoluton of the RCPSP proble. Mots clés - Chevaucheent d actvté, ngénere sultanée, geston de proet, ordonnanceent de proet Keywords Actvty overlappng, concurrent engneerng, proect anageent, proect schedulng 1 INTRODUCTION Les problèes d ordonnanceent de proet avec contrantes de ressources (en anglas, RCPSP, Resource Constraned Proect Schedulng Probles), consttuent un doane d étude de prédlecton. Par les extensons étudées dans la lttérature, dfférentes pratques, dont le chevaucheent, la copresson et la substtuton d actvtés [Ger et Quass, 2008] ont été ses en avant pour rédure le teps d exécuton du proet afn de produre un échéancer ntal ou pour le odfer en cours d exécuton. Par les technques d accélératon préconsées lors de proets d ngénere, le chevaucheent d actvtés s avère être une technque prvlégée pour rédure le teps nécessare aux phases de développeent [Bogus et al., 2005]. En pratque, cette technque consste à déarrer une actvté avant de recevor l enseble des nforatons requses au préalable. Cela plque toutefos des tâches de retouche et des odfcatons sute à la récepton d nforatons copléentares transses après le déarrage de l actvté. Cette pratque génère dans ben des cas une charge de traval et un coût d exécuton suppléentares. Au fnal, l en résulte une réducton du teps total d exécuton du proet, représentée par

2 la dfférence entre la pérode de chevaucheent et le teps suppléentare du aux retouches, et un coût suppléentare assocé. Par les études portant sur le suet, on note deux types de odèles de chevaucheent développés dans la lttérature. Le preer type consdère unqueent des couples d actvtés sans contrante de ressources pour établr le elleur copros entre chevaucheent et retouches. Krshnan et al. [Krshnan et al., 1997] ont ans ntrodut les concepts d évoluton de l nforaton et de sensblté de l actvté aval pour décrre les nteractons entre les actvtés. Le preer crtère décrt l évoluton de l nforaton utle pour l actvté en aval générée par l actvté en aont. La sensblté esure l pact sur l actvté en aval des changeents au sen de l actvté en aont. Plus l pact est portant, plus la sensblté est grande. A partr de ces concepts, Krshnan a défn dfférentes stratéges de chevaucheent adaptées. Le second type de odèle de chevaucheent consdère, non pas un couple d actvtés, as un proet dans sa globalté en supposant que la relaton entre la durée de chevaucheent et la durée de retouche nécessare est connue préalableent pour les actvtés chevauchables [Ln et al., 2009]. La plupart de ces odèles utlsent des atrces de décoposton ou DSM (Desgn Structure Matrx), ntrodutes par Steward [Steward, 1981] pour représenter les dépendances entre les actvtés, lter les rétroactons et dentfer les opportuntés de chevaucheent d actvtés [Maheswar et Varghese, 2005]. Par les odèles développés, Ger et Quass ont proposé un odèle lnéare analytque d accélératon de proet utlsant la copresson d actvté, le chevaucheent et la substtuton et en consdérant des contrantes de ressources. Wang et Ln [Wang et Ln, 2008] ont auss développé un odèle de sulaton consdérant des tératons et des probabltés de retouche. Par ces approches, aucune ne consdère des possbltés réalstes de chevaucheent. En effet, toutes les confguratons de chevaucheent ne sont pas acceptables dans la réalté. Elles dovent correspondre à un certan ode d exécuton du couple d actvtés qu correspond avec un échange d nforaton. L obectf preer de ce paper est de proposer un processus d accélératon de proet avec contrantes de ressources à l ade du chevaucheent d actvtés, applcable dans un leu ndustrel. Nous proposerons donc dans un preer teps une éthode perettant d obtenr des paraètres de chevaucheent acceptables. Pus dans un second teps nous proposerons dfférentes éthodes de résoluton du problèe d ordonnanceent dans ce contexte. La sute du paper est organsée de la façon suvante. La secton 2 décrt la éthodologe proposée pour le processus d accélératon de proet sous contrantes de ressources avec ode de chevaucheent. La secton 3 présentera le odèle de prograaton lnéare, les cas d études ans que les résultats assocés. La secton 4 présentera l approche heurstque et les résultats obtenus. Nous conclurons le paper par une coparason des dfférentes approches et une concluson dans la secton 5. 2 MÉTHODOLOGIE PROPOSÉE La fgure 1 llustre la éthodologe que nous proposons. Les preères étapes du processus consstent à dentfer les opportuntés de chevaucheent. Une fos ces opportuntés dentfées, l faut chosr des odes de chevaucheent pertnents et déterner les degrés de chevaucheent et les teps de retouches applcables à ces odes. Les odes de chevaucheent décrvent des possbltés dscrètes de chevaucheent. La déternaton de ces paraètres est crucale pour l applcaton du odèle par la sute. (1) Décoposer le proet en lots de traval (2) Identfer la séquence d actvtés (3) Identfer les couples actvtés chevauchables (4) Identfer les odes de chevaucheent possbles pour chaque couple (5) Identfer les teps de retouche nécessares assocés (6) Ordonnancer avec les odes de chevaucheent (7) Evaluaton de la foncton obectf Fn Fgure 1 : Méthodologe d'accélératon de proet En preer leu, l s agt de décoposer le proet en lots de traval. La talle des lots de traval consdérée dépend du nveau de détal exgé par la geston du proet. Les lots de traval dovent représenter des actvtés de coplexté et de durée coparables. C est à partr de ces actvtés que nous allons consdérer les possbltés de chevaucheent. Dans la pratque, c est l étude des nteractons entre les actvtés qu peret d dentfer les actvtés chevauchables. La plupart des éthodes de planfcaton de proet décrt les proets sous fore de réseaux, les nœuds représentant les actvtés (réseau «Actvty on Node») ou les relatons entre les actvtés (réseau «Actvty on Arc»). Ces réseaux décrvent la séquence d exécuton des actvtés. Cependant, ces réseaux ne perettent pas de décrre les nteractons entre les actvtés et de odélser les flux d nforaton entre les actvtés. Les atrces de décoposton (en anglas, Desgn Structure Matrx, DSM) perettent de odélser ces relatons suppléentares entre les actvtés [Brownng, 2001]. Les

3 échanges d nforaton entre actvtés peuvent avor leu à dfférents oents de l avanceent de l actvté. Il peut s agr de plans, de données de densonneent ou de coandes de atérel, par exeple, nécessares à l exécuton de l actvté en aval. Une atrce de décoposton est une atrce carrée où les lgnes et les colonnes sont toutes deux assocées aux actvtés. Les DSM vsent à représenter les flux d nforaton entre les dfférentes actvtés, et perettent ans de repérer les retours d nforaton. Ces retours d nforaton sont coplqués à gérer au sen d un proet car ls plquent des changeents dans une actvté en cours ou ternée [Wang et Ln, 2008]. Les retours en arrère causent donc des odfcatons et du traval suppléentare dans l actvté en aont pour s accooder aux changeents plqués par l actvté en aval. De anère à évter les retours en arrère, on trangularse les DSM de anère à obtenr une séquence undrectonnelle de flux d nforaton. En derner recours, on chost d agréger les actvtés ou de les décoposer de anère à élner les retours en arrère. Ce processus nous peret d obtenr une séquence d exécuton des actvtés, où les relatons de précédence et les flux d nforaton sont orentés dans le êe sens. Dans la sute du paper, on suppose que des études prélnares ont été enées de anère à dentfer les relatons entre les actvtés et à élner les retours en arrère. Les proets consdérés sont donc coposés unqueent d actvtés dépendantes et ndépendantes et le flux d nforaton (entre actvtés dépendantes) est consdéré coe undrectonnel. La trosèe étape du processus consste à dentfer les couples d actvtés chevauchables. L étude des échanges d nforaton entre les actvtés à l ade des DSM est des données hstorques dsponbles peret de dfférencer les couples d actvtés en deux catégores : les couples chevauchables et les couples non chevauchables. Les preers représentent les cas où l actvté en aval peut coencer avec des nforatons prélnares et recevor durant son exécuton les nforatons fnales de l actvté en aont. De ce fat, on peut chevaucher les deux actvtés, l actvté en aval peut coencer avant que l actvté en aont ne sot fne. Les actvtés non chevauchables sont connectées par des relatons de précédence classques fn-début, alors que les actvtés chevauchables sont connectées par des relatons de type fndébut plus un retard, le retard étant le teps de chevaucheent. On autorsera les chevaucheents lorsque la sensblté sera fable. On rappelle que la sensblté défne l pact plus ou ons portant d une odfcaton apportée par l actvté en aont. Pour les couples d actvtés dont la sensblté est élevée, les changeents dans l nforaton délvrée par l actvté en aont plqueront de nobreuses retouches sur l actvté en aval. Le gan assocé sera donc ne [Krshnan, 1996]. Dans la pratque, cela se résue à autorser les chevaucheents entre des actvtés d ngénere peu sensbles aux changeents. A l nverse, on évtera de chevaucher tous les couples d actvtés coprenant des actvtés très sensbles aux changeents. Dans la sute du paper, nous noterons A et P l enseble des couples d actvtés chevauchables et non chevauchables respectveent. De êe nous noterons A() et P() l enseble des prédécesseurs de l actvté qu sont respectveent chevauchables et non chevauchables avec l actvté. Pred ( ) A( ) P( ) S Les quatrèe et cnquèe étapes consstent à dentfer les odes de chevaucheent et les durées de retouche assocés. La fgure 2 représente le processus de chevaucheent. L actvté coence avec des nforatons prélnares de l actvté. Le taux de chevaucheent assocé au ode, α, est expré coe une fracton de la durée de l actvté. Une durée de retouche est par alleurs aoutée pour s accooder de la se à our des nforatons transses lors de la réalsaton de l actvté. Le teps d exécuton des deux actvtés pour le ode de chevaucheent est donc égal à D expré coe sut : D d d *(1 ) r d Inforaton prélnare α. d D Inforaton fnale d Fgure 2 : Processus de chevaucheent de deux actvtés et pour le ode Les pourcentages de chevaucheent et les retouches assocées aux odes sont défns de anère dscrète. En effet, dans la réalté, l ordonnanceent d un proet est établ sur la base de pérodes dscrètes (heures, ours, seanes, etc.). De plus, dans la pratque, l avanceent des actvtés est esuré à partr de la réalsaton de alons qu correspondent à des avanceents aeurs ou à la réalsaton de bens lvrables (spécfcatons, plan, coande de atère preère, etc.) défns dans la phase ntale du proet. Les nforatons prélnares nécessares au coenceent de l actvté en aval sont ssues de la réalsaton de ces alons. Chaque ode de chevaucheent est donc caractérsé par un pourcentage de chevaucheent et une quantté de retouche suppléentare à effectuer. Les valeurs de α sont déternées afn de correspondre avec la lvrason des bens lvrables aeurs de l actvté. Cette éthodologe peret de s assurer que les nforatons prélnares utlsées sont des nforatons fnalsées et approuvées. Le problèe de la déternaton du teps des retouches par rapport au teps de chevaucheent est traté dans de nobreux artcles de la lttérature [Ln et al., 2009.]. La défnton des odes de chevaucheent par rapport aux alons peret de se baser facleent sur des données hstorques. Par la sute, les actvtés chevauchables peuvent être exécutées de anère conventonnelle sans chevaucheent (ode 1), ou elles peuvent être chevauchées (ode > 1), vor fgure 3. On r Teps

4 suppose qu l n y a pas de restrcton concernant le nobre de prédécesseurs chevauchables pour une actvté. Dans ce cas, on consdérera le total de retouches à effectuer coe la soe de retouches assocées aux odes de précédences. Sute à l évaluaton des paraètres de chevaucheent, nous pouvons fare l ordonnanceent du proet. Nous avons abordé deux technques d ordonnanceent, l une à l ade d un odèle de prograaton lnéare, l autre à l ade de règle heurstque. Nous allons les présenter et coparer leurs résultats dans les sectons suvantes. retouches alon Fgure 3 : Dfférents odes d exécuton possbles pour le couple (,) Une fos l ordonnanceent terné, on copare l échéancer obtenu avec l échéancer obectf, en teres de coût et de durée d exécuton. S le teps d exécuton du proet ans que son coût assocé sont acceptables, alors l algorthe s arrête c. Le cas échéant, on recoence le processus à l étape ntale, en décoposant plus fneent les actvtés pour perettre de nouvelles opportuntés de chevaucheent qu perettront d obtenr un échéancer plus copressé. On recoence le processus usqu à obtenr une soluton acceptable. 3 RESOLUTION PAR PROGRAMMATION LINEAIRE 3.1 Notatons Un proet est défn par une lste d actvtés S, coprenant deux actvtés fctves 0 et n+1 avec une durée d exécuton nulle, qu correspondent respectveent au début et à la fn du proet. On note d le teps d exécuton de l actvté en consdérant que toute l nforaton nécessare des actvtés précédentes est dsponble au début de l actvté. Toutes les notatons sont présentées dans le tableau 1. Les dates de fn au plus tôt et au plus tard des actvtés correspondent en pratque aux dates désrées à pror pour l ordonnanceent et ne correspondent pas forceent aux dates de fn au plus tôt et au plus tard calculées par une éthode d ordonnanceent. Ces dates sont déternées par les pratcens et perettent avant tout de rédure le nobre de varables utlsées dans le odèle. 3.1 Le odèle de nsaton du teps d exécuton du proet avec prse en copte du coût ndut par le chevaucheent Le coût ndut par le chevaucheent est consdéré coe l addton des coûts suppléentares de coordnaton nduts par le chevaucheent des actvtés, et des coûts suppléentares de retouche. Dans notre paper, nous consdérons la durée et le coût de coordnaton respectveent coe nstantanée et néglgeable. Le coût des retouches est à l nverse égal au coût d utlsaton des ressources pour le 25%*d Fn de l actvté =4 =3 =2 =1 teps traval suppléentare. Nous supposons que les ressources plquées dans les retouches sont les êes, en quantté et en qualfcaton, que celles plquées dans la réalsaton de l actvté. Le coût total ndut par la stratége de chevaucheent sera donc égal à : C A tef 1 R X t Tableau 1 : Défnton des syboles Syboles S n d A * r * R * (1) La varable de décson du odèle présenté est la varable bnare X t. Elle est égale à 1 au teps t où l actvté, exécutée dans le ode, se terne. La varable est égale à 0 snon. Le odèle de prograaton lnéare est présenté c-dessous : Mnser Contrantes : 1 tef n 1 tefn 1 t X t X n 1, t,1 * C (2) t t d ( 1) r 1 tef X S, Pred ( ) (3) n R 2 1 td 1 r X bt Défnton Enseble des actvtés Nobre d actvtés réelles Durée d exécuton de l actvté Enseble des couples d actvtés chevauchables P Enseble des couples d actvtés non chevauchables A() Enseble des prédécesseurs de qu sont chevauchables avec l actvté P() Enseble des prédécesseurs de qu ne sont pas chevauchables avec l actvté Pred() = A() P() S Enseble des prédécesseurs de R R R α r T t = 0,..,T EF Enseble des ressources Quantté dsponble constante pour la ressource Nobre d untés ressource nécessare par pérode pour l exécuton norale de l actvté Coût horare de la ressource Nobre de ode d exécuton possble pour l actvté Pourcentage de la durée de chevaucheent entre les actvtés et dans le ode d exécuton, expré coe une fracton de d Durée des retouches assocées au ode d exécuton pour l actvté Durée axale d exécuton du proet Pérodes Date de fn au plus tôt de l actvté Date de fn au plus tard de l actvté b R, t 0,T, R (4) t

5 1 tef 1 tef t X t t 1 tef X t, A( ) (5) X 1, S (6) t 0 * C 1 X 0,1, S t, t 0,T, L obectf (2) nse la durée totale du proet tout en assurant une soluton à coût nal. Le facteur δ correspond au facteur de prorsaton de l obectf. La contrante (3) prend en copte les dfférents odes de précédence applcables. La contrante (4) défnt les contrantes de ressources. La contrante (5) peret de s assurer que l actvté en aval ne pusse se terner avant son prédécesseur, êe en cas de chevaucheent. En effet on suppose que l actvté en aval a beson des nforatons fnales du prédécesseur pour se terner. La contrante (6) s assure qu un seul ode de précédence est applqué pour chaque actvté et que chaque actvté est ternée à la fn du proet. La contrante (7) peret de chosr δ afn de prorser la foncton obectf : on nsera d abord le teps d exécuton du proet, pour lequel on recherchera ensute la soluton à coût nal. Enfn, la contrante (8) défnt la varable de décson bnare. 3.2 Cas d étude Nous avons utlsé le générateur de proet PROGEN développé par Kolsh [Kolsh et Sprecher, 1996] pour générer les proets. Les proets générés sont des proets de 30 actvtés plus deux actvtés fctves représentant le début et la fn du proet. Les relatons de précédence ans que les durées d actvtés sont générées par PROGEN. Les paraètres de chevaucheent (A,, α, r ) sont générés ensute. Nous rappelons que, pour les actvtés non chevauchables, un seul ode est réalsable et les taux de chevaucheent et les quanttés de retouches assocées sont nuls. Les odes de chevaucheent générés sont llustrés dans la fgure 3. On génère pour chaque couple d actvtés chevauchables, 4 odes de précédence, correspondant à des fractons de 0%, 25%, 50% et 75% de la durée d exécuton de l actvté en aval. Ce découpage est arbtrare et dans la pratque, les odes de précédences dovent correspondre aux dfférents alons délvrés par l actvté en aont coe explqué précédeent. Pour notre cas d étude, nous consdérons que la quantté de retouche nécessare est égale à 40% de la durée de chevaucheent. Afn de ettre en luère l portance de la prse en copte des contrantes de ressources nous avons, pour chaque proet étudé, généré tros degrés de sévérté des contrantes de ressources grâce au paraètre RS défn par Kolsch et al. de la façon suvante : R Q Round ( RS *( Q,ax Q, n )), n Q,n est la quantté nu acceptable pour la ressource, égale à la deande axale par les actvtés pour la ressource. Q,ax est égale à la deande axale observée (7) (8) pour la ressource lorsque l on exécute le proet sans consdérer les contrantes de ressources. RS représente fnaleent la force des contrantes de ressource, plus l est pett, plus le proet sera contrant. Les cas envsagés sont des contrantes sévères de ressources (RS=0,5), des contrantes oyennes (RS=0,75) et enfn l absence de contrante de ressources lorsque le proet est exécuté sans chevaucheent (RS=1), où les ressources dsponbles sont égales à la deande de ressource lors de l exécuton du proet sans chevaucheent. 3.3 Résultats Le odèle de prograaton lnéare est résolu à l ade d AMPL Studo en utlsant le solveur CPLEX. La fgure 4 llustre les dfférents gans obtenus sute à l optsaton du plannng de proet en prenant en copte les odes de chevaucheent. On peut observer que plus les contrantes de ressources sont sévères, ons l pact du chevaucheent sur le teps d exécuton du proet est portant. Pour le proet 3 par exeple, le gan vare de 15% pour des contrantes de ressources fables à 4% pour des contrantes de ressources fortes. La fgure llustre auss l augentaton du coût d exécuton du proet, assocé au chevaucheent d actvtés. On observe que l augentaton du coût n est pas lnéare vs-àvs de la réducton du teps d exécuton du proet, ce qu état prévsble du fat de l aspect cobnatore du problèe d ordonnanceent avec contrante de ressources. Dans le tableau 2, on observe que les teps de résoluton dépendent en grande parte de la sévérté des contrantes de ressources et du réseau d actvtés consdéré. Les teps de calculs observés sont trop portants et trop aléatores pour que l on pusse envsager une applcaton du odèle à des proets ndustrels coprenant des centanes d actvtés. En effet, le problèe RCPSP est un problèe NP dffcle et on peut s attendre à une augentaton sgnfcatve des teps de calculs avec l augentaton de la talle des problèes. De plus, dans un contexte de re-planfcaton, le teps de calcul se dot d être lté au axu afn de perettre une prse de décson rapde. 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% RS Réseau 1 0,75 0,5 1 0,75 0,5 1 0,75 0, Gan optal sur le teps d'exécuton ntal Augentaton du cout d'exécuton du proet Fgure 4 : Gan et coût assocés à la résoluton du odèle de prograaton lnéare en nobre enter

6 Tableau 2 : Teps de calculs assocés RS Tps CPU (s) RS Tps CPU (s) RS Tps CPU (s) , , ,75 7 0,5 93 0,5 >3600 0,5 21 A partr de ce constat, nous avons développé une approche heurstque qu vse à obtenr une bonne soluton dans un teps de calcul rasonnable. 4 RÉSOLUTION PAR APPROCHE HEURISTIQUE 4.1 Présentaton de l algorthe La fgure 5 présente l algorthe nspré des éthodes de copresson d actvté. La preère étape consste à ordonnancer le proet sans chevaucheent d actvtés afn d obtenr un plan de référence. Ensute on chevauche de anère ncréentale les actvtés selon un ordre de prorté. A chaque étape, on prend une décson par rapport au teps d exécuton du proet actf : s celu-c est strcteent nféreur au plan de référence, alors le plan actf devent le nouveau plan de référence. Snon, on suppre l actvté de la lste des actvtés chevauchables. L algorthe s arrête lorsque qu l n y a plus d opportunté de chevaucheent dans la lste Les actvtés chevauchables sont prorsées selon tros règles hérarchsées. Tout d abord, les actvtés sont classées en foncton de leur arge totale ; celles qu ont les arges totales les plus pettes sont placées en preer. La arge totale est la dfférence des dates de fn d une actvté entre la planfcaton au plus tard et la planfcaton au plus tôt des actvtés. Les actvtés dont la arge totale est nulle sont les actvtés crtques du proet, elles ont une nfluence drecte sur le teps d exécuton du proet. On ne peut cependant pas dentfer de chen crtque du fat de la prse en copte des contrantes de ressources. En cas d égalté de la arge totale entre pluseurs actvtés, on prorse les actvtés dont la quantté de ressource nécessare à leur réalsaton est la plus fable. Les actvtés oblsant le ons de ressources sont en effet celles qu auront le ons d pact sur les contrantes de ressources. Enfn, en cas d égalté, on classe les actvtés en foncton de leur nobre de successeurs, plus celu-c est portant, plus les actvtés seront se en avant. La lste de prorté est actualsée et se à our à chaque tératon. On rappelle que la foncton d évaluaton de l algorthe est la coparason entre le teps d exécuton du plan actf et le teps d exécuton du plan de référence. Le plan actf devent le plan de référence s le teps d exécuton actf est strcteent nféreur au teps d exécuton de référence. Nous avons pléenté l algorthe dans un progcel de geston de proet, c MS Proect MS Proect est un Ordonnancer les actvtés pour établr le plan T Durée D(T) Prorser la lste des actvtés chevauchables Sélectonner la preère actvté de la lste et chevaucher au ode supéreur Ré-ordonnancer pour défnr le nouveau plan T Durée D(T ) D(T )<D(T) ou non Conserver T coe plan actf et supprer l actvté de la lste T devent le nouveau plan actf T ou Autres actvtés chevauchables? non Fn Fgure 5 : Algorthe de résoluton

7 progcel de geston de proet très répandu dans l ndustre. Les perforances de son outl d ordonnanceent sont ltées [Kolsch, 1999] as nous perettent de tester notre heurstque sur un outl utlsé dans la pratque. L algorthe de résoluton et les règles heurstques ont été plantés à l ade d une acro Vsual Basc lant un fcher de calcul Excel avec le logcel de planfcaton MS Proect. Les résultats obtenus et leurs coparasons avec les résultats optaux seront présentés dans la secton suvante. 4.2 Résultats Les teps de références, correspondant aux teps d exécuton du proet sans chevaucheent d actvté, donné par MS Proect ne sont pas les teps d exécuton optaux. Pour chaque proet nous allons donc évaluer le gan par rapport au teps de référence donné par MS Proect et non pas par rapport à l optal. La fgure 6 llustre les dfférents gans et coûts assocé aux proets sute à l exécuton de l algorthe précédeent décrt. On observe sur la fgure 6 que les gans obtenus sur le teps d exécuton du proet sont ons portants en oyenne (10% au leu de 12%) et plus aléatores que les gans obtenus par la éthode précédente alors que les coûts sont coparables. Le nobre d tératons nécessares à l obtenton des résultats est nféreur à 150 pour l enseble des nstances consdérées ; chaque tératon plquant le calcul d un ordonnanceent du proet. Cette preère constataton nous peret de confrer l effcacté de l algorthe pour accélérer l exécuton du proet et cela en un teps de calcul rasonnable. 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% RS Réseau 1 0,75 0,5 1 0,75 0,5 1 0,75 0, Gan de l'heurstque sur le teps d'exécuton ntal Augentaton du cout d'exécuton du proet Fgure 6 : Gan et coût assocés à l exécuton de l algorthe Cependant la fgure 6 ne nous peret pas d évaluer la qualté des solutons obtenues. En effet, pour certanes nstances on rearque que le gan sur le teps d exécuton peut être plus portant avec l heurstque, par exeple pour l nstance 2 avec RS=0,5, le gan observé est de 17% contre 7% à l optal. Cela s explque par la valeur du teps de référence donnée par MS Proect. Les gans observés précédeent ne sont pas coparables aux gans de la preère éthode car ls ne se basent pas sur le êe teps de référence. Dans la fgure 7, nous allons donc observer la qualté des solutons en les coparants aux solutons optales. Une valeur de 0% sgnfe que la valeur trouvée par l heurstque est égale à la valeur optale. Une valeur supéreure à 0% llustre la arge d erreur entre la valeur optale et la valeur obtenue à la sute de l exécuton de l algorthe. La fgure 7 llustre les arges d erreur des teps de référence et des solutons données par l algorthe. On observe tout d abord que pour les teps de référence, l erreur est d autant plus portante que les contrantes de ressources sont sévères. Cela s explque par la fable perforance de l outl d ordonnanceent utlsé (MS Proect). La oyenne d erreur pour les teps de référence est de 5% par rapport à l optal. Cette valeur est coparable avec les résultats donnés dans des études précédentes [Kolsch, 1999]. L erreur observée s explque par l utlsaton par MS Proect de règles heurstques sples perettant l élaboraton rapde d un échéancer de proet quelles que sot les contrantes posées. La qualté observée des solutons sute à l applcaton de l algorthe est varable, et la arge d erreur oyenne par rapport à l optal est de 6%. En coparason avec les teps de référence, l n y a donc qu un pourcent d erreur suppléentare ndut par l utlsaton de l algorthe pour l obtenton d un échéancer accéléré prenant en copte les odes de chevaucheent et les teps de retouche assocés. 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% RS Réseau 1 0,75 0,5 1 0,75 0,5 1 0,75 0, Marge d'erreur sur le teps de référence Marge d'erreur sur la soluton Fgure 7 : Marges d erreur assocées à l heurstque On rearque auss que l utlsaton de l algorthe peret dans certans cas de copenser la fable perforance de l outl d ordonnanceent de proet, coe par exeple pour l nstance 2 avec RS=0,5. La arge d erreur observée passe de 16% pour le teps de référence à 6% pour la soluton. Auss, dans nos résultats, l utlsaton de l algorthe ndut une erreur coprse entre 3% et 10% par rapport à l optal. Le tableau 3 llustre le nobre d tératons nécessares pour attendre la elleure soluton à l ade de l algorthe. Chaque tératon correspond à un ordonnanceent de proet. On observe que le nobre d tératon est assez fable et aléatore. Auss, l applcaton d une heurstque nous peret de s affranchr de la coplexté du problèe RCPSP ultode, le teps de résoluton ne sera pas drecteent lé avec la talle de problèe. L applcaton de l heurstque nous peret donc d obtenr une soluton de bonne qualté dans un teps rasonnable.

8 Tableau 3 : Nobre d tératons nécessares à l obtenton de la soluton RS Nobre d'tératon Réseau , , Nous avons auss envsagé une autre règle de prorsaton des actvtés. On classe les actvtés en foncton de leurs arges totales, de leurs nobres de successeurs et enfn de la quantté de ressources nécessare à l exécuton norale de l actvté. Les résultats obtenus sont slares aux résultats obtenus précédeent, seule une nstance donne un résultat supéreur au résultat précédent, les autres étant égales. Cependant cette seconde confguraton a une nfluence sur le teps de résoluton, augentant en général le nobre d tératon nécessares à l obtenton la soluton. Cette rearque nous ontre l portance du chox des règles de prorté, et l portance d envsager pluseurs règles dans des travaux futurs afn d obtenr des résultats de elleure qualté. 5 CONCLUSION Le chevaucheent d actvtés est une des stratéges d accélératon de proet les plus utlsées, que ce sot lors de la planfcaton ntale, ou lors d une re-planfcaton sute à des retards durant l exécuton du proet. Le chevaucheent coprend des rsques car l actvté en aval ne coence pas avec des nforatons confrées et fnalsées. Cependant, en pratque, les retouches nécessares pour s accooder au changeent dans l nforaton transse par l actvté en aont ne sont pas touours prses en copte. La lttérature a beaucoup étudé la relaton entre la durée de chevaucheent et la durée de retouche nécessare en foncton des caractérstques d un couple d actvtés as peu d artcles ont ncorporé le chevaucheent au problèe d ordonnanceent. Cependant la résoluton d un problèe de type RCPSP nécesste un teps de calcul conséquent pour des problèes coplexe, ce paper propose donc d utlser une éthode heurstque pour obtenr une soluton de qualté acceptable en un teps rédut. Nous avons ont le chevaucheent d actvtés à l ordonnanceent de proet avec les hypothèses suvantes : (1) les actvtés chevauchables sont dentfées préalableent, (2) les échanges d nforaton sont undrectonnels, (3) les échanges d nforaton sont gratuts et nstantanés, (4) les durées des chevaucheents possbles sont défnes par des odes (de anère dscrète) et (5) les retouches sont estées au préalable pour chaque ode de chevaucheent. La contrbuton prncpale de ce paper est de présenter un processus d accélératon de proet et une heurstque perettant d obtenr une soluton de qualté acceptable en un teps rédut. L heurstque développée s nspre des éthodes de copresson d actvtés et a été plantée dans un progcel de geston de proet, MS Proect. Nous avons auss développé un odèle de prograaton lnéare qu nous peret de coparer et d évaluer la qualté des solutons obtenues. pertnence d une approche heurstque. Il serat ntéressant par la sute de tester pluseurs règles de prorté pour l algorthe afn de sélectonner la elleure soluton. Une plantaton sur des proets réels de grande envergure perettrat d évaluer avec plus de certtude l applcablté de notre processus et l effcacté de l heurstque proposée. Enfn, le développeent de étaheurstques perettrat de s affranchr des problèes de nu local et d obtenr ans des solutons de elleure qualté. 6 RÉFÉRENCES Bogus S. M., Molenaar K. R., Deann J. E., (2005) Concurrent engneerng approach to reducng desgn delvery te, Journal of Constructon Engneerng and Manageent-Asce, 131(11), pp Brownng, T.R., (2001) Applyng the desgn structure atrx to syste decoposton and ntegraton probles: a revew and new drectons, IEEE Transactons on engneerng anageent, 48(3), pp Ger J. E. V., Qass R. Y., (2008) Proect Acceleraton va Actvty Crashng, Overlappng, and Substtuton, Ieee Transactons on Engneerng Manageent, 55(4), pp Kolsch, R., Sprecher, A., (1996) PSPLIB A proect schedulng proble lbrary, European Journal of Operatonal Research, 96(1), pp Kolsch, R., (1999) Resource allocaton capabltes of coercal proect anageent software pacages, Interfaces, 29(4), pp Krshnan V., Eppnger S. D., Whtney D. E., (1997) A odelbased fraewor to overlap product developent actvtes, Manageent Scence, 43(4), pp Krshnan, V., (1996) Managng the sultaneous executon of coupled phases n concurrent product developent, IEEE Transactons on Engneerng Manageent, 43(2), pp Ln J., Cha K. H., Brobacher A. C., Wong Y. S., (2009) Optal overlappng and functonal nteracton n product developent, European Journal of Operatonal Research, 196(3), pp Maheswar J. U., Varghese K., (2005) Proect Schedulng usng Dependency Structure Matrx, Internatonal Journal of Proect Manageent, 23(3), pp Steward D. V., (1981) The Desgn Structure Syste: A Method for Managng the Desgn of Coplex Systes, Ieee Transactons on Engneerng Manageent, EM-28(3), pp Wang, J. T., Ln, Y. I., (2009) An overlappng process odel to assess schedule rs for new product developent, Coputers & Industral Engneerng, 57(2), pp Nos résultats ontrent les ltes d un odèle de résoluton lnéare pour une applcaton ndustrelle et llustrent la

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