INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES. Leçon à l École Normale Supérieure (4h), mars Introduction

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1 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES GAËTAN CHENEVIER Leçon à l École Normale Supérieure (4h), mars 205 Introduction Les formes modulaires sont des fonctions holomorphes sur le demi-plan de Poincaré qui se transforment de manière particulière sous l action du groupe modulaire SL 2 (Z). Elles interviennent de façon plus ou moins naturelle dans plusieurs domaines assez différents des mathématiques : théorie des fonctions elliptiques, théorie des formes quadratiques à coefficients entiers, théorie des représentations unitaires du groupe de Lie SL 2 (R), fonctions L et représentations du groupe de Galois absolu de Q... Elles ont aussi été ont été l objet de plusieurs conjectures célèbres, comme la conjecture de Ramanujan ou la conjecture de Shimura- Taniyama-Weil. Aborder chacun de ces thèmes dans une si courte leçon est bien entendu impossible. Aussi, l objectif que nous avons choisi est de montrer par des exemples que les coefficients de Fourier des formes modulaires renferment des informations arithmétiques intéressantes. En particulier, nous verrons comment utiliser des formes modulaires pour déterminer le nombre des représentations d un entier comme somme de 8 carrés (Jacobi). On rapporte qu Eichler aurait dit un jour que les formes modulaires constituent la 5ème opération de l arithmétique (après l addition, la soustraction, la multiplication et la division). Certains exemples, on l espère!, illustreront la pensée d Eichler. Table des matières Introduction. Action de SL 2 (Z) sur le demi-plan de Poincaré 2 2. Formes modulaires pour SL 2 (Z) 4 3. Sur les zéros des formes modulaires 5 4. Quelques q-développements 8 5. La fonction ϑ de Jacobi 0 6. Formes modulaires pour un sous-groupe de SL 2 (Z) 2 7. Le ϑ-groupe est de congruence 3 8. Sommes de 8 carrés 4 Références : R. Busam & E. Freitag, Funktionentheorie, Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d une ou plusieurs variables complexes, Jean-Pierre Serre, Cours d arithmétique, Goro Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions... Je remercie A. Minguez pour ses remarques sur ce texte. L auteur est financé par le CNRS.

2 2 GAËTAN CHENEVIER. Action de SL 2 (Z) sur le demi-plan de Poincaré.. Rappelons que pour tout corps K le groupe GL 2 (K) agit naturellement sur K 2, puis sur l ensemble P (K) des droites vectorielles de ce dernier. Une application linéaire préservant toutes les droites étant une homothétie, cette action se factorise en une action fidèle du groupe quotient PGL 2 (K) de GL 2 (K) par K. On pose K = K { }. Cet ensemble s identifie à P (K) en envoyant tout élément z K sur la droite engendrée par symbole sur celle engendrée par ( 0 sur K, que l on notera (γ, z) γz. Concrètement, si γ désigne l élément est tel que cz + d 0, on constate les égalités ( ) ( ) z az + b () γ = cz + d ) ( z ), et le. Par transport de structure, on en déduit une action de GL 2 (K) ( az+b = (cz + d) cz+d ( a b ) c d ), de GL 2 (K), et si z K et l on retrouve la formule bien connue γz = az+b cz+d. De plus, si on a c 0 (resp. c = 0) alors on a γ = a/c et γ ( d/c) = (resp. d 0 et γ = ). Ces bijections de K sont appelées homographies, et forment donc un sous-groupe isomorphe à PGL 2 (K). Par exemple et ( 0 0 ) à l inversion z /z. ( a b 0 ) correspond à l homographie affine z a z +b ( ) a b Pour utilisation future, mentionnons que l élément γ = de GL c d 2 (K) étant donné, l application z cz + d, K K, sera notée j(γ, z). La formule () ci-dessus montre la relation dite de cocycle : valable pour tout γ, γ GL 2 (K) et tout z K. j(γγ, z) = j(γ, γ z)j(γ, z),.2. Ces rappels s appliquent à K = C, auquel cas Ĉ n est autre que la sphère de Riemann. Le sous-groupe GL 2 (R) GL 2 (C) agit par restriction sur cette sphère, en préservant R, ainsi donc son complémentaire C R. Cet ouvert de C a deux composantes connexes, l une d elles étant l ouvert appelé demi-plan de Poincaré. Si γ est l élément et un calcul immédiat montre l égalité H = {τ C, Im τ > 0}, ( a b ) c d (2) Im γz = det γ de GL 2 (R), et si z C R, alors on a cz + d 0 Im z cz + d 2. En particulier, l action par homographies du groupe SL 2 (R) préserve le demi-plan de Poincaré. L action des homographies de la forme aτ + b avec a R >0 et b R, montre que l action de SL 2 (R) sur H est transitive. Nous n en aurons pas besoin, mais signalons que l on vérifierait sans difficulté que le stabilisateur de l élément i H est le sous-groupe SO 2 (R) usuel, et donc que γ γ i induit une bijection SL 2 (R)/SO 2 (R) H. Ces homographies ont des propriétés géométriques remarquables, particulièrement lumineuses lorsqu on les étudie du point de vue de la géométrie hyperbolique (où nous ne nous aventurerons pas!). Par exemple, notons C l ensemble des parties de H qui sont soit de la forme Re τ = a (droites verticales), soit un demicercle de centre dans R. Alors SL 2 (R) préserve C. Pour le voir, il suffit d observer que les éléments de C sont exactement les parties non vides de H de la forme α + β Re τ + γ τ 2 = 0 avec (α, β, γ) R 3 {0}. La vérification de l assertion précédente est alors un simple exercice ; il suffit même de le vérifier pour les homographies τ τ + λ et τ /τ, auquel cas c est immédiat.

3 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES 3.3. Analysons l action du sous-groupe Γ = SL 2 (Z) sur H. Deux éléments importants de ce groupe sont ( ) ( ) 0 S = et T =, 0 0 ) i.e. S τ = /τ et T τ = τ +. On a S 2 = I 2 et ST =, ainsi donc que l identité (ST) 3 = I 2. ( 0 On a S i = i et STρ = /(ρ + ) = ρ où ρ = e 2iπ/3. On pose F = {τ H, Re τ 2 et τ }. Figure. Le pavage de H par la Γ-orbite de F Théorème.4. (i) Pour tout τ H, l orbite Γτ rencontre F. (ii) Si τ et τ sont deux points distincts de F tels que Γτ = Γτ alors : soit Re τ = ± 2 et τ = τ ±, soit τ = et τ = /τ. (iii) Si τ F alors le stabilisateur de τ dans Γ est {±}, sauf si τ = i (resp. τ = ρ, ρ 2 ), auquel cas c est le sous-groupe engendré par S (resp. ST). Démonstration Soit τ H. La forme quadratique R 2 R, (c, d) c τ + d 2 est définie positive, elle admet donc un minimum sur Z 2 {0}. D après la formule (2), il y a donc un sens à considérer l ensemble E Γτ des éléments τ tels que Im τ est maximal. Il est invariant par τ τ +, de sorte qu il existe τ E tel que Re τ 2. Mais /τ Γτ et Im( /τ ) = Imτ, donc τ. Ainsi, τ Γτ F. τ 2 Observons que cette démonstration montre en fait Gτ F où G désigne le sous-groupe de Γ engendré par S et T. Pour montrer (ii) et (iii), considérons τ, τ F (non nécessairement distincts) tels que Im τ Im τ et tels que τ = γτ où ( ) a b γ = SL c d 2 (Z). On a alors c τ + d. En particulier, c Im τ et donc c. Si c = 0 alors d = a = ± et donc ±γ est une puissance de T et on est dans le premier cas du (ii). Sinon on peut supposer c =, quitte à remplacer γ par γ. On voit sur le dessin que τ + d entraîne τ =, et que l on est dans l un des cas suivants :. τ ρ, ρ 2 et d = 0. Dans ce cas, b = et τ = a /τ puis a = 0 car Re( /τ) < /2. Ainsi, γ = S et τ = τ = i. 2. τ = ρ et d = 0,. Si d = 0 on a encore b = et τ = a /ρ = a ρ 2. Cela montre que soit τ = ρ 2, a = 0 et γ = ±S, soit τ = τ, a = et γ = (ST) Le cas τ = ρ 2 et d = 0, se traite de manière similaire au cas 2.

4 4 GAËTAN CHENEVIER Soit E l ensemble des τ F tels que l on ait soit Re τ = 2, soit τ = et Re τ > 0. Soit F = F E. Les points (i) et (ii) du théorème ci-dessus montrent que pour tout τ H, l orbite Γτ rencontre F en un et un seul point. On dit aussi que F est un domaine fondamental de l action de Γ sur H. Corollaire.5. Γ est engendré par S et T. Démonstration Il ne serait pas difficile de démontrer ce corollaire de manière directe en utilisant des opérations sur les lignes et les colonnes. Déduisons-le plutôt du théorème. Soit G le sous-groupe de Γ engendré par S et T. Soit τ un point de l intérieur de F. Soit γ Γ. D après la démonstration du (i) ci-dessus (dernière remarque), il existe g G tel que g γτ F. Ainsi, g γ SL 2 (Z) fixe τ, c est donc ±I 2 d après le (iii). Au final, on a γ G car I 2 = S 2 G. 2. Formes modulaires pour SL 2 (Z) L application (f, γ) (τ f(γτ)) définit une action à droite du groupe SL 2 (R) sur le C-espace vectoriel des fonctions H C, c est même une représentation linéaire. Plus généralement, si k Z, f : H C et γ SL 2 (R), on définit une fonction f k γ : H C en posant f k γ (τ) = j(γ, τ) k f(γτ). Cela a un sens car j(γ, τ) 0 pour tout γ SL 2 (R) et tout τ H. On vérifie immédiatement que la relation de cocyle satisfaite par j équivaut à dire que (f, γ) f k γ est une action à droite de SL 2 (R) sur l espace des fonctions H C, appelée action de poids k. L action précédente en est alors le cas particulier k = 0. Proposition-Définition 2.. Une fonction f : H C est dite faiblement modulaire de poids k Z si f( aτ + b ( ) a b cτ + d ) = (cτ + d)k f(τ) τ H, SL c d 2 (Z) ou ce qui revient au même si f(τ + ) = f(τ) et f( /τ) = τ k f(τ) pour tout τ H. Démonstration Par définition, f est faiblement modulaire si f est fixée par Γ pour l action de poids k. Comme Γ est engendré par S et T (corollaire.5), il est équivalent de demander que f est fixée par S et T. Notons O(H) l espace vectoriel des fonctions holomorphes H C. Les homographies de H étant des transformations biholomorphes, l action de poids k de SL 2 (R) préserve le sous-espace O(H). Définition 2.2. Une forme modulaire de poids k Z est une fonction holomorphe f : H C telle que : (i) f est faiblement modulaire de poids k, (ii) f(τ) admet une limite finie quand Im τ + ; on la note f( ). L ensemble des formes modulaires de poids k est un sous-espace de O(H). Suivant Serre, nous le noterons M k. Les relations S 2 = I 2 et f k I 2 = ( ) k f montrent que si f M k alors f = ( ) k f, de sorte que M k = 0 si k est impair. Les fonctions constantes sont modulaires de poids 0 : nous verrons plus loin que ce sont les seules. Un premier exemple intéressant de forme modulaire est donné par les séries d Eisenstein. (mτ+n) k Proposition 2.3. Soit k 4 un entier pair. La série (m,n) Z 2 {0} est absolument convergente sur H ; on note G k (τ) sa somme. Alors G k M k et G k ( ) = 2ζ(k). En particulier G k 0. Démonstration Fixons A, B R >0 et notons D A,B l ensemble des τ H tels que Im τ > A et Re τ < B. Vérifions qu il existe un réel C > 0 tel que pour tout (µ, ν) R 2 {0} et tout τ D A,B alors µτ + ν > C sup( µ, ν ).

5 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES 5 Soit τ D A,B. D une part, on a τ λ > A pour tout λ R. D autre part, le cône {λx, x D A,B, λ R} a pour frontière les droites vectorielles engendrées respectivement par B + ia et B + ia. En particulier, il existe δ > 0 tel que λτ + > δ pour tout λ R. Ainsi, C = Min(A, δ) convient. Si s, il y a exactement 8s couples (m, n) Z 2 tels que sup( m, n ) = s. On en déduit la majoration mτ + n k < 8s C k s k (m,n) Z 2 {0} pour tout τ D A,B. Ainsi, la série de l énoncé est normalement convergente sur D A,B. En particulier, G k (τ) est une fonction holomorphe de τ. Par convergence absolue de G k (τ), les bijections (m, n) (m, n + m) et (m, n) (n, m) de Z 2 {0} entraînent les identités G k (τ + ) = G k (τ) et G k ( /τ) = τ k G k (τ) pour tout τ H. Enfin, faisons tendre Im τ vers l infini quand τ D,. La fonction τ tend vers ou 0 selon (mτ+n) k n k que m = 0 ou non. Par convergence uniforme de G k sur D,, on peut intervertir limite et sommation et l on obtient que G k (τ) 2ζ(k). On conclut par -périodicité de G k. Si k 4 est pair, on pose E k = 2ζ(k) G k M k (série d Eisenstein normalisée ), de sorte que l on ait E k ( ) =. Bien entendu, cette définition a un sens puisque ζ(k) 0. L application M k C, f f( ), est une application linéaire. Son noyau, noté S k, est le sous-espace des formes modulaires paraboliques ( cuspidal en anglais). Si k 4, il est donc engendré par les éléments de la forme f f( )E k. Corollaire 2.4. Pour tout entier pair k 4, on a M k = S k C E k. Observons que si f M k et g M k alors fg M k+k. On peut donc fabriquer tout un tas de formes modulaires à l aide des séries d Eisenstein. Par exemple, si r et s sont des entiers 0 alors E r 4 Es 6 M 4r+6s. Théorème 2.5. Soit k Z. L espace M k admet pour base les E r 4 Es 6, avec (r, s) N2 vérifiant 4r + 6s = k. Observons d abord que si f M k alors f(i) = f k S (i) = i k f(i). Ainsi, f(i) = 0 si k 0 mod 4. De même f(ρ) = 0 si k 0 mod 3. En particulier, E 6 (i) = 0 et E 4 (ρ) = 0. Nous démontrerons E 4 (i) 0 dans la section suivante (pouvez-vous le démontrer directement?) et que la famille de l énoncé est génératrice : admettons-le pour l instant. Vérifions ici qu elle est libre. Soit A > 0 assez grand tel que E 4 et E 6 soient tous deux < pour tout τ dans l ouvert Ω = {τ H, Im τ > A}. Les fonctions E 4 et E 6 possèdent donc respectivement des racines 4èmes et 6èmes holomorphes sur cet ouvert, disons e et f, qui ne s annulent pas. Toute relation de dépendance linéaire 6 = 0 avec par convention λ r = 0 quand r 0 mod 4 ou entre les E r 4 Es 6 est de la forme k r=0 λ re r/4 4 E (k r)/6 k r 0 mod 6. Cela s écrit aussi k r=0 λ re r f k r = 0, puis k r=0 λ r( e f )r = 0. Si les λ r ne sont pas tous nuls, la fonction e/f ne prend donc qu un nombre fini de valeurs : elle est constante par connexité de Ω. En l élevant à la puissance 2 on trouve que E 3 4 et E2 6 sont (non trivialement) proportionnelles sur cet ouvert, et donc partout sur H, ce qui est absurde en regardant leurs valeurs en i. Définition 2.6. (Fonction de Jacobi) La fonction = 728 (E3 4 E2 6 ) est une forme modulaire parabolique de poids 2. L apparition du facteur 728 sera expliquée plus loin. D après ce que nous avons dit ci-dessus, 0 car (i) = 728 E 4(i) 3. s 3. Sur les zéros des formes modulaires 3.. q-développement d une forme modulaire. Observons que si z C alors e 2iπz = e 2πImz. Soit D = {z C, z < }. On considère l application q : H D {0}, τ e 2iπτ. Cette application induit une bijection T \H D {0}. Autrement dit, si f : H C est telle que f(τ + ) = f(τ), il existe une unique fonction f : D {0} C telle que f(τ) = f(q).

6 6 GAËTAN CHENEVIER Soit f : H C telle que f(τ + ) = f(τ). Observons que f est une fonction holomorphe si, et seulement si, f est une fonction holomorphe sur D {0}. En effet, pour tout τ0 H, l application q induit une bijection bi-holomorphe entre le voisinage ouvert {τ H, Re(τ τ 0 ) < /2} de τ 0 dans H, et le voisinage ouvert D R 0 e 2iπτ 0 (un inverse s obtient en considérant une branche du logarithme complexe). Si f est holomorphe il y a donc équivalence entre : f(τ) admet une limite quand Im τ, f(τ) est bornée sur {τ H, Im τ > }, f(q) est bornée au voisinage de q = 0, f se prolonge en une fonction holomorphe sur tout D, f admet un développement en série entière en 0 de rayon de convergence. (L implication assertion 3 assertion 4 est le lemme de prolongement de Riemann). Cela justifie à la proposition-définition suivante. Proposition-Définition 3.2. Soit f M k. La forme f admet un unique développement f(τ) = n 0 a n (f) q n, avec a n (f) C pour tout entier n 0, normalement convergent sur toute partie de H de la forme Im τ > A, A R >0. Ce développement est appelé développement de Fourier, ou q-développement, de la forme f, et les a n (f) sont ses coefficients de Fourier. On a a 0 (f) = f( ). Comme nous le verrons, et de manière un peu surprenante, la suite des coefficients de Fourier de chaque forme modulaire est en général d un intérêt arithmétique considérable Formule k/2. Soient f M k et P H. On note v P (f) l ordre d annulation de f au point P et e P le cardinal du stabilisateur de P dans SL 2 (Z)/{±I 2 }. Ces deux quantités, des entiers 0, ne dépendent que de la Γ-orbite de P (pour v P (f), cela vient de la non annulation des j(γ, τ) quand γ Γ et τ H). De plus, d après le théorème.4 (iii) on a e i = 2, e ρ = 3, et si P n est pas dans l orbite de i ou ρ alors e P =. On note aussi v (f) l ordre d annulation de f en 0. Proposition 3.4. (Formule k/2) Soient k Z et f M k non nulle. On a la relation v (f) + v P (f) = k e P 2. P Γ\H Il fait partie de l énoncé que la somme de gauche est en fait une somme finie (nécessairement 0). Le lecteur préférant voir d abord comment utiliser cette formule, et par exemple terminer la démonstration du théorème 2.5, peut commencer par lire la sous-section suivante. Démonstration Soit f M k non nulle. Rappelons que la Γ-orbite de tout zéro de f rencontre le domaine F. Si r est un réel > 0 posons Ω r = {τ H, Im τ > r}. La fonction f étant holomorphe en 0, il existe r > 0 tel que f n admet pas de zéro dans Ω r. La partie F Ω r étant compacte, la fonction holomorphe f n y admet qu un nombre fini de zéros (qui sont isolés). Cela montre que le nombre des Γ-orbites de points constituées de zéros de f est fini (et donc que la somme apparaissant dans la formule k/2 a tous ses termes nuls sauf au plus un nombre fini d entre eux). Considérons le contour C indiqué par la figure 2. Sur cette figure, les zéros éventuels de f qui sont dans F {i, ρ, ρ 2 } et de partie réelle /2 (resp. de module ) sont notés λ (resp. µ). En particulier, ce contour ne contient aucun zéro de f. On suppose que chaque portion de cercle dessinée est de rayon suffisamment petit de sorte que le disque bordé ne contienne que le point indiqué pour éventuel zéro (i.e i, ρ, ρ 2, l un des λ, λ +, ou l un des µ, /µ). Nous noterons γ XY le chemin portion de C allant de X à Y (dans ce sens). Le chemin γ D E est par définition le chemin T γ opp AB. De même, on a choisi γ C D = S γ opp. Enfin, on B C

7 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES 7 suppose que γ EA est de partie imaginaire r suffisament grande de sorte qu aucun zéro de f ne soit de partie imaginaire > r. L existence d un tel contour est justifiée par le paragraphe précédent (zéros isolés). Figure 2. Le chemin d intégration dans la démonstration de la formule k/2 La formule des résidus appliquée à la -forme méromorphe df f f (τ) 2iπ C f(τ) dτ = P = f (τ) f(τ) dτ s écrit donc v P (f) la somme portant sur les Γ-orbites de zéros de f ne contenant ni i ni ρ. Examinons maintenant les contributions des diverses portions du contour. Les fonctions f et f étant T-invariantes on observe d abord f (τ) γ AB f(τ) dτ = f (τ) T γ AB f(τ) dτ = f (τ) γ D E f(τ) dτ. Le chemin ω(t) := e 2iπγEA(t) est un cercle de centre 0 dans D faisant un tour dans le sens indirect. On a alors f (τ) 2iπ γ EA f(τ) dτ = f (q) 2iπ ω f(q) dq = v (f). En effet, la première égalité est un simple changement de variables, et la seconde est le théorème des résidus appliqué à f, sachant que par hypothèse 0 est le seul zéro éventuel de f dans le disque de D bordé par ω. De plus, par modularité de f on a f f = k τ + (f S) f S, de sorte que f (τ) 2iπ γ B C f(τ) dτ = k 2iπ γ B C τ dτ + f (τ) S γ B C f(τ) dτ, avec rappelons-le S γ B C = γ opp C D. Lorsque le point B tend vers ρ, C tend vers i, et lorsque les portions de cercles autour des points notés µ sont de rayon tendant vers 0, alors l intégrale de chemin dτ i γ B C τ tends vers l angle orienté défini par ρ, 0 et i, i.e. ( 2π 3 2π 4 ) = π 6. De même, lorsque B et B tendent vers ρ alors l intégrale de chemin f (τ) i γ BB f(τ) dτ tend vers l angle orienté B ρ B = π 6 multiplié par v ρ(f). Enfin, lorsque C et C tendent vers i alors l intégrale de chemin f (τ) i γ CC f(τ) dτ tend vers πv i(f). On conclut en mettant toutes ces identités bout à bout.

8 8 GAËTAN CHENEVIER 3.5. Conséquences de la formule k/2. La première conséquence évidente de la formule k/2 est l annulation M k = 0 si k < 0. De plus, on a S k = 0 si k < 2, car v (f) si f S k {0}. En particulier, on a donc M 0 = C (les constantes). Séparant les orbites de i et ρ des autres, la formule k/2 s écrit aussi (3) v (f) + 2 v i(f) + 3 v ρ(f) + P v P (f) = k 2, la somme portant sur les Γ-orbites de points de H distinctes de Γi et Γρ. En particulier on a M 2 = 0 car chaque terme de gauche est soit > /6, soit nul. On a donc montré le : Corollaire 3.6. (i) Si k < 0 ou k = 2 alors M k = 0. (ii) M 0 = C et si k = 4, 6, 8, 0 alors M k = C E k. Appliquons la formule (3) à k = 4 et f = E 4. Dans ce cas on a k 2 = 3, mais l annulation évidente E 4 (ρ) = 0 entraîne 3 v ρ(f) /3. Ainsi, la seule Γ-orbite de points qui sont des zéros de E 4 est celle de ρ. En particulier, cela démontre la non-nullité annoncée E 4 (i) 0, puis 0 car on a (i) = 728 E 4(i) 3. Appliquant maintenant (3) à k = 2 et f =, on en déduit que ne s annule pas sur H et que l inégalité v ( ) est une égalité. En particulier, si k est quelconque et si f S k alors la fonction f est une forme modulaire de poids k 2. On a démontré le corollaire suivant. Corollaire 3.7. (i) La fonction ne s annule pas sur H et l on a v ( ) =. (ii) Si k Z alors S k = M k 2. En particulier, S 2 = C est de dimension. Démontrons enfin que M k est engendré par les E r 4 Es 6, où r, s sont des entiers 0 tels que 4r + 6s = k. D après le corollaire 3.6, on peut supposer k 4. On procède par récurrence sur k. Observons que k étant pair 4, il existe des entiers positifs r, s tels que k = 4r + 6s : on a soit k 0 mod 4, soit k 6 mod 4 et k 6. Un tel couple (r, s) étant fixé, observons que pour tout f M k alors f f( )E r 4 Es 6 S k. Mais S k = M k 2 d après le corollaire 3.7, et = 728 (E3 4 E2 6 ). Cela termine la démonstration, ainsi donc que celle du théorème 2.5. Les corollaires 3.6 et 3.7 entraînent également immédiatement le corollaire suivant : Corollaire 3.8. Supposons k 0 pair. La dimension de S k vaut [k/2] si k 2 mod 2, [k/2] sinon. 4. Quelques q-développements 4.. Séries d Eisenstein. Si k Z et n est un entier, on pose σ k (n) = d n dk. On rappelle que les t nombres de Bernoulli sont définis par la série formelle e t = n 0 Bn n! tn. L identité suivante est essentiellement due à Euler. Proposition 4.2. Soit k un entier pair 4. On a E k = 2k B k n 0 σ k (n)q n. Démonstration (4) Rappelons qu Euler a démontré que pour tout z C Z, on a π tan πz = z + ( z n + n ) n Z {0} Justifions brièvement cette identité. Notons g(z) la série de fonctions de droite et posons f(z) = z r et n > r alors l inégalité z n + n = z n z n r n ( n r) π tan πz. Si montre que la série de fonctions méromorphes g(z) converge normalement sur tout compact de C. C est donc une fonction méromorphe sur C, holomorphe sur C Z, dont les pôles en les entiers sont simples de résidu. La fonction f a les même propriétés que g, de sorte que f g est holomorphe sur C. Mais f et

9 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES 9 g, et donc f g, sont -périodiques et impaires (c est un exercice pour g). Pour en déduire que f g est nulle il suffit d après Liouville de montrer que f et g restent bornées quand Imτ. C est clair pour f. Pour g, on observe que q g(τ) 0 quand Im(τ) +, d où l on tire que g est holomorphe en 0 (lemme de prolongement de Riemann), ce qui conclut. π q+ Si τ H on a le développement évident tan πτ = iπ q = iπ + 2iπ n 0 qn. Soit k. En dérivant k fois par rapport à τ la formule d Euler, on trouve l identité (2iπ) k n 0 n k q n = ( ) k (k )! n Z (τ + n) k. Supposons k pair 4. On applique cette identité à mτ pour tout m entier, ce qui a pour effet de remplacer q par q m, et on fait la somme (la convergence absolue du terme de droite ayant déjà été vérifiée). On en déduit, pour k 4 pair : 2 G k(τ) = ζ(k) + (2iπ)k (k )! Pour conclure, on utilise une identité fameuse due à Euler : σ k (n)q n. n 0 ζ(k) = (2iπ)k B k. 2k! En fait, cette formule est aussi conséquence de l identité (4). En effet, cette dernière dérivée k fois s écrit Par définition des nombres de Bernoulli on a conclut par évaluation en z = 0. 2iπ ( e 2iπz z )(k ) = ( ) k (k )! (z + n) k. n 0 2iπ e 2iπz z = Bn n (2iπ)n n! zn au voisinage de z = 0. On Observons que le q-développement de E k est à coefficients dans Q. Mieux, E 4 et E 6 sont à coefficients entiers, comme le montre le tableau suivant. Ainsi, le théorème 2.5 entraîne que S k possède une C-base constituée de formes modulaires à coefficients entiers, un phénomène inattendu. k k B k / / La magie des formes modulaires. En guise d exemple, considérons E 2 4. C est un élément de M 8 = C E 8 (Corollaire 3.6). Comme E 2 4 ( ) = E 8( ) =, on a nécessairement E 2 4 = E 8. Cette identité est tout à fait non triviale! En effet, une fois les coefficients de Fourier égalisés elle s écrit σ 7 (n) = σ 3 (n) + 20 n m= σ 3 (m)σ 3 (n m), n. Par exemple, = 29 = Cette méthode de raisonnement est de portée très générale, et nous en verrons d autres applications spectaculaires dans la suite.

10 0 GAËTAN CHENEVIER 4.4. La fonction. La formule = 728 (E3 4 E2 6 ), combinée aux q-développements de E 4 et E 6, permet d exprimer les coefficients de Fourier de. On trouve (en notant 728 = ) Théorème 4.5. (Jacobi) = q n ( qn ) 24. = q 24 q q 3 + Pour une démonstration, voir le livre de Serre référencé. Les coefficients de Fourier a n ( ) de sont notés τ(n) : c est la fonction τ de Ramanujan. Elle possède une riche histoire, sur laquelle nous reviendrons dans les exposés. 5. La fonction ϑ de Jacobi 5.. L identité de Poisson. Considérons la fonction d une variable réelle t > 0 définie par la somme θ(t) = n Z e tπn2. Cette série (à termes positifs) est bien évidemment convergente, et fonction décroissante de t > 0. Elle satisfait l équation fonctionnelle curieuse suivante, due à Poisson, que nous allons d abord démontrer. Proposition 5.2. Pour tout réel t > 0 on a θ(/t) = t θ(t). On rappelle que l espace de Schwartz S(R) est l espace des fonctions f : R C de classe C telles que pour tous entiers n, m, on ait x n f (m) (x) 0 quand x. Si f S(R), f est en particulier sommable de sorte que sa transformée de Fourier f : R C, y R f(x)e 2iπxy dx, est bien définie. Lemme 5.3. (Formule de Poisson) Pour tout f S(R) on a l égalité de séries absolument convergentes f(n). n Z f(n) = n Z Démonstration Soit ψ(x) = m Z f(x + m). Cette série de fonctions converge normalement sur tout segment, ainsi que toutes ses dérivées, par hypothèse sur f. Elle définit donc une fonction C et -périodique de la variable réelle x. Ses coefficients de Fourier sont donnés par la formule c n = ψ(x)e 2iπnx dx = m+ f(x)e 2iπnx dx = f(n). 0 m Z m L intervertion somme/intégrale est bien sûr loisible car f est sommable sur R. La fonction ψ étant C, sa série de Fourier f(n)e n Z 2iπnx est absolument convergente vers ψ(x) pour tout x R. On conclut en prenant x = 0, et montre au passage que les deux sommes de l énoncé sont absolument convergentes. Lemme 5.4. Si t R >0, la fonction x f t (x) = e πtx2 est dans S(R), et vérifie f t (y) = t f /t (y) y R. Démonstration L assertion f t S(R) est facile, et laissée au lecteur. Un simple changement de variables montre f t (y) = f t (y/ t). Il suffit donc de démontrer f = f, i.e. que x e πx2 est égale à sa tranformée de Fourier. C est un fait bien connu dû à Gauss. Donnons un argument. On constate que y f (y) = i (e πx2 ) e 2iπxy dx = 2πy f (y) R d où l on tire f (y) = e πy2 I, avec I = f (0) = R e πx2 dx. Mais Gauss a démontré I = : par exemple par passage aux coordonnées polaires on a l identité I 2 = 2π 0 dθ 0 e πr2 rdr =, et I > 0. Pour conclure la démonstration de la proposition 5.2, il suffit d appliquer la formule de Poisson à la fonction f t. Mentionnons que cette identité de Poisson est l ingrédient clé dans la démonstration par Riemann de l équation fonctionnelle de la fonction ζ(s).

11 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES 5.5. La fonction Θ de Jacobi. Jacobi a introduit une variante à deux variables de la fonction θ : si z C et τ H, il pose Θ(z ; τ) = n Z e iπτn2 +2iπnz. Cette série est manifestement normalement convergente sur toute partie de C H de la forme {(z, τ), Im z > A, Im τ > B}, où A R et B R >0. Cela justifie la définition, et montre que la fonction (z, τ) Θ(z ; τ) est holomorphe en chacune de ses variables, l autre étant fixée (et même en les deux variables si l on sait ce que cela signifie). On observe que si t > 0 alors Θ(0, it) = θ(t) : on retrouve la fonction précédente sur l axe imaginaire, quand z = 0. Des manipulations évidentes montrent que la fonction Θ(z ; τ) satisfait les équations fonctionnelles suivantes : Θ(z + ; τ) = Θ(z ; τ) et Θ(z + τ ; τ) = e iπτ 2iπz Θ(z ; τ). Ainsi, à τ fixé, ces formules expriment le comportement de la fonction z Θ(z ; τ) par rapport au réseau Z + τz de C ; leur application originale est d ailleurs à la construction de fonctions méromorphes sur C invariantes par un tel réseau. Leur dépendance en la variable τ, que l on peut voir comme paramétrant le réseau Z + τz, est encore plus remarquable : Théorème 5.6. Pour tout z C et tout τ H, on a les relations Θ(z ; τ + 2) = Θ(z ; τ) et Θ(z ; /τ) = iτ e iπτz2 Θ(τz ; τ). Dans cette formule la notation iτ désigne la racine carrée de iτ dont la partie réelle est > 0. Démonstration L identité Θ(z ; τ + 2) = Θ(z ; τ) est immédiate. Pour la seconde, on applique la formule de Poisson à la fonction du lemme suivant, dans lequel le complexe iτ pour τ H est à prendre au même sens que dans l énoncé du théorème. On obtient Θ(z ; τ) = ( iτ) /2 e iπz2 /τ Θ(z/τ ; /τ). On conclut en remplaçant z par τz. Lemme 5.7. Si z C et τ H, la fonction x e iπτx2 +2iπzx est dans S(R), et de transformée de Fourier y iτ e iπ τ (x z)2. Démonstration Posons g τ (x) = e iπτx2. La transformée de Fourier de x g τ (x)e 2iπzx étant y ĝ τ (y z), on peut supposer z = 0. Fixons y R. On veut démontrer l égalité ĝ τ (y) = iτ g /τ (y). Lorsque τ = it avec t réel > 0, c est exactement le lemme 5.4. D après le principe des zéros isolés, il suffit donc de vérifier que les deux termes de cette égalité sont des fonctions holomorphes de la variable τ dans H. C est clair pour τ g /τ (y) et τ iτ (cette dernière est une racine carrée continue de la fonction τ iτ qui ne s annule pas sur H). En ce qui concerne l intégrale à paramètre τ g τ (y), cela se déduit de l holomorphie de τ g τ (x) pour tout x R et de l inégalité e iπτx2 e π Im τ x La fonction ϑ. Notons J SL 2 (Z) le sous-groupe engendré par les éléments T 2 et S. Certains auteurs, comme Busam & Freitag, appellent J le ϑ-groupe. Notons ϑ : H C la fonction ϑ(τ) = Θ(0 ; τ) = n Z e iπτn2. Elle est non identiquement nulle car ϑ(it) = θ(t) > 0 si t est un réel > 0. Corollaire 5.9. Il existe un unique morphisme de groupes χ : J {±, ±i} tel que χ(s) = i et χ(t 2 ) =. De plus, pour tout γ J on a la relation ϑ 2 γ = χ(γ) ϑ 2.

12 2 GAËTAN CHENEVIER Démonstration Le Théorème 5.6 entraîne ϑ 2 S = i ϑ 2 et aussi ϑ 2 T 2 = ϑ 2. Autrement dit, la fonction ϑ 2 est vecteur propre pour l action de poids de S et T 2, de valeurs propres respectives i et. Ces éléments engendrant J, on en déduit d une part l existence et l unicité de χ comme dans l énoncé, et d autre part la seconde assertion. Observons que l existence même d un morphisme χ : J C tel que χ(s) = i et χ(t 2 ) = n était pas du tout évidente à priori! Ainsi, la fonction ϑ 2 apparaît comme une forme modulaire généralisée, en un sens que nous préciserons dans la partie suivante. Avant d en arriver là, observons que l on a manifestement ϑ(2τ) = n Z qn2, de sorte que pour tout entier k on a la relation ϑ k (2τ) = + +n2 k = r k (n)q n (n,...,n k ) Z k q n2 où r k (n) désigne le nombre de k-uples (n,..., n k ) Z k tels que n = k i= n2 i. Autrement dit, comme série en q, la fonction ϑ k (2τ) n est rien d autre que la série génératrice du nombre des façons d écrire un entier n 0 comme somme de k carrés d entiers. C est le point de départ du lien entre formes quadratiques entières et formes modulaires et ses compagnons ϑ et ϑ. Jacobi a également introduit les fonctions H C : ϑ(τ) = n Z( ) n e iπτn2 et ϑ(τ) = n Z n 0 e iπτ(n+/2)2 = e iπτ 4 n Z q n(n+) 2. Par définition, on a donc ϑ(τ) = Θ(/2 ; τ) et ϑ(τ) = e iπτ 4 Θ(τ/2 ; τ). Elles sont reliées à ϑ par les formules ϑ(τ) = ϑ(τ + ) et ϑ(τ) = iτ ϑ( /τ). (Pour la première utiliser n 2 n mod 2 et pour la seconde appliquer l identité de Jacobi à z = /2.) 6. Formes modulaires pour un sous-groupe de SL 2 (Z) Dans cette partie, Γ désigne un sous-groupe de SL 2 (Z). Un caractère de Γ est un morphisme de groupes Γ C. Définition 6.. Soient k Z et χ un caractère de Γ. Une forme modulaire de poids k et de caractère χ pour le groupe Γ est une fonction holomorphe f : H C telle que : (i) f k γ = χ(γ)f pour tout γ Γ, (ii) pour tout γ SL 2 (Z), la fonction (f k γ)(τ) admet une limite finie quand Im τ. Lorsque χ est le caractère trivial, on parle simplement de forme modulaire de poids k pour le groupe Γ. On note M k (Γ, χ) O(H) le sous-espace des formes modulaires de poids k et caractère χ ; on pose aussi M k (Γ) = M k (Γ, ). Par exemple, M k = M k (SL 2 (Z)). Discutons un peu la seconde condition. Observons que si une fonction f satisfait la condition (i), alors pour tout γ Γ, γ SL 2 (Z), et m Z on a (f k ± γ γt m )(τ) = ±χ(γ ) (f k γ) (τ + m). Ainsi, f k ±γ γt m admet une limite quand Im τ + si, et seulement si, f k γ a cette propriété. Autrement dit, pour vérifier la condition (ii) il suffit de le faire pour un ensemble de représentants γ des doubles classes Γ\SL 2 (Z)/ ±I 2, T. Remarque 6.2. Bien que nous ne l utiliserons pas, mentionnons que la condition (ii) admet une signification plus claire s il on introduit les pointes de H ( cusps en anglais). Ce sont les éléments de Q. On vérifie que le groupe SL 2 (Z) agit transitivement sur Q, avec T, ±I 2 pour stabilisateur de. L ensemble Γ\SL 2 (Z)/ ±I 2, T s identifie alors à l ensemble des orbites de Γ sur Q. La condition (ii) précise le comportement de f(τ) lorsque τ tend vers chacune des pointes selon le filtre des disques tangents à la pointe.

13 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES 3 Lorsque l on suppose que le groupe Γ est d indice fini dans SL 2 (Z), et que le caractère χ est d image finie, on dispose d une majoration intéressante de la dimension de M k (Γ, χ). Si le caractère χ est d image finie, on appelle ordre de χ le plus petit entier e tel que χ e =. Tout sous-groupe fini de C étant cyclique, on a bien sûr e = χ(γ). Proposition 6.3. Supposons Γ d indice fini m dans SL 2 (Z) et le caractère χ d image finie. On a dim M k (Γ, χ) k m 2 + pour tout entier k 0. De plus, on a M k (Γ, χ) = 0 si k < 0. Commençons par quelques remarques. La formule évidente f k γ g γ = (fg) k k+k γ entraîne que si f M k (Γ, χ) et g M k (Γ, χ ) alors fg M k+k (Γ, χχ ). On en déduit que si χ e = et f M k (Γ, χ) alors f e M ke (Γ). Pour la même raison, on constate que si f M k (Γ) et γ SL 2 (Z), alors f k γ ne dépend que de la classe γ de γ dans Γ\SL 2 (Z), nous la noterons f k γ. En particulier, si f M k (Γ) il y a un sens à poser Norme f = f k x. x Γ\SL 2 (Z) Lemme 6.4. Supposons Γ d indice fini m dans SL 2 (Z), k Z et f M k (Γ). Alors Norme f M km. De plus, Norme f = 0 si, et seulement si, f = 0. Démonstration Norme f est une fonction holomorphe sur H, qui admet une limite quand Im τ par hypothèses sur f. Si γ SL 2 (Z), la multiplication à droite par γ sur l ensemble fini Γ\SL 2 (Z) est bien entendu bijective, de sorte (Norme f) mk γ = Norme f. On a montré Norme f M mk. Par intégrité de l anneau des fonctions holomorphes sur le connexe H (i.e. par le principe des zéros isolés), Norme f = 0 entraîne qu il existe γ SL 2 (Z) tel que f k γ = 0, puis f = (f k γ) k γ = 0. Démonstration (de la proposition 6.3) Soit N un entier 0 tel que N > mk 2. Soit P F o une partie arbitraire de l intérieur de F telle que P = N. Considérons l application linéaire M k (Γ, χ) C P, f (f(p)) p P. Il suffit de démontrer qu elle est injective pour en déduire la proposition. Soient f dans son noyau et e l ordre de χ. D après le lemme ci-dessus, la fonction g = Norme f e est dans M ekm. De plus, g est produit de f e par une fonction holomorphe, et s annule donc en chacun des N points de P avec un ordre d annulation e. La formule k/2, appliquée à la forme g de poids ekm, montre donc g = Norme f e = 0, puis f e = f = 0. Remarque 6.5. Lorsque k, le théorème de Riemann-Roch permet de donner une formule exacte pour la dimension de M k (Γ), en fonction d un petit nombre d invariants associés à Γ : voir le livre de Shimura référencé. Il n existe pas en revanche de description générale des M k (Γ) qui soit aussi explicite que celle obtenue pour Γ = SL 2 (Z) et χ = : chaque groupe Γ a son histoire. Nous examinerons ci-après le cas Γ = J. 7. Le ϑ-groupe est de congruence Si N est un entier on dispose d un morphisme de groupes ε N : SL 2 (Z) SL 2 (Z/NZ) obtenu en réduisant les coefficients modulo N. Le noyau de ce morphisme est un sous-groupe noté Γ(N) et appelé sous-groupe de congruence principal de niveau N. Il est un distingué et d indice fini dans SL 2 (Z). On dit qu un sous-groupe Γ SL 2 (Z) est de congruence s il existe un entier N tel que Γ(N) Γ. Il ne serait pas difficile de démontrer que ε N est surjectif, et qu il induit donc un isomorphisme SL 2 (Z)/Γ(N) SL 2 (Z/NZ). Vérifions-le pour N = 2. L ensemble Ẑ/2Z = {0,, } a trois éléments, et l on dispose d un homomorphisme h : SL 2 (Z/2Z) S(Ẑ/2Z) donné par l action par homographies (.). Il injectif car la seule homothétie de SL 2 (Z/2Z) est I 2. Les éléments h ε 2 (S) et h ε 2 (T) sont deux transpositions, la première fixant le point, la seconde le point. Ces dernières engendrant S(Ẑ/2Z), on en déduit que h est un isomorphisme et que ε 2 est surjectif.

14 4 GAËTAN CHENEVIER Proposition 7.. (i) J = Γ(2) S Γ(2). En particulier, on a Γ(2) J, et J est de congruence. (ii) Les éléments, T et TS forment un système de représentants de J\SL 2 (Z). En particulier, J est d indice 3 dans SL 2 (Z). (iii) Pour tout τ H, il existe g J tel que gτ F TF TSF. Démonstration Vérifions d abord le (iii). Observons que F T F TS F est l ensemble des τ H tels que /2 Re τ 3/2, τ et τ 2 (figure.3). Comme les élément S et ST 2, d homographies associées τ /τ et τ /(τ 2) sont dans J, l argument de maximalité donné dans la démonstration du théorème.4 (i) démontre le (iii). Montrons maintenant le (ii). Choisissons un point τ dans l intérieur de F (ou simplement, qui n est pas dans la SL 2 (Z)-orbite de i ou ρ). Rappelons que d après le théorème.4, les seuls éléments γ SL 2 (Z) tels que γτ F sont ±I 2. Soit γ SL 2 (Z). D après le (iii) appliqué à γτ, il existe g J tel que gγτ soit dans F, T F ou TS F. Ainsi, le théorème.4 entraine ±gγ = I 2, T ou TS. Comme I 2 = S 2 J on a montré SL 2 (Z) = J J T J TS. Cette réunion est disjointe. En effet, si g J (resp. JT, JTS) alors ε 2 (g ) envoie Ẑ/2Z sur (resp. 0, ). Cela termine la démonstration du (ii), et démontre que J est l ensemble des éléments γ SL 2 (Z) tels que ε 2 (γ) fixe. Autrement dit, on a J = Γ(2) S Γ(2). Figure 3. Le domaine F T F TS F 8. Sommes de 8 carrés Observons que d après la proposition 7., les classes des éléments et ( ) TS = 0 recouvrent J\SL 2 (Z)/ ±T. Ainsi, si une fonction holomorphe f : H C satisfait la condition (i), elle satisfait (ii) si et seulement si les fonctions f(τ) et (f k TS)(τ) = τ k f( /τ) admettent toutes deux des limites quand Im τ. Pour des raisons de clarté, et tout en s imposant une certaine prudence, ces limites seront notées respectivement f( ) et f(), si elles existent. Soit χ : J C le caractère introduit au 5.8. Proposition 8.. La fonction ϑ 2 est modulaire de poids et caractère χ pour J. De plus, on a ϑ 2 ( ) = et ϑ 2 () = 0. Plus précisément, ϑ 2 TS (τ) = i e iπτ 2 ( n Z q n2 +n 2 ) 2 = i ϑ(τ) 2.

15 INTRODUCTION AUX FORMES MODULAIRES 5 Démonstration Compte tenu du corollaire 5.9, la seule chose qu il reste à démontrer est l assertion sur les limites. Il est évident que ϑ(τ) quand Im τ +. Par définition, on a ϑ 2 TS(τ) = τ ϑ 2 ( /τ). On conclut par la relation déjà vue au 5.0 : ( iτ) /2 ϑ( /τ) = ϑ(τ). Corollaire 8.2. (i) Pour tout entier k 0, on a ϑ 2k M k (J, χ k ). (ii) (Jacobi) On a l identité (ϑ ϑ ϑ) 8 = 2 8. En particulier, ϑ ne s annule pas sur H. Démonstration D après la proposition 8., ϑ 2 M (J, χ). Le (i) en est une conséquence immédiate. Pour le (ii), on constate que le terme de gauche est Norme ϑ 8 au sens du 5.0. On observe que c est un élément non nul de S 2 dont le coefficient de Fourier en q est 2 8 ; la présence du 2 vient de la relation ϑ(τ) = 2 e iπτ 4 + O(e iπτ 2 ) quand Im τ. D après la proposition 3.7, c est nécessairement 2 8. On a E k M k (J) car M k M k (J) pour tout k Z. Comme E k = E k k TS, on a de plus E k ( ) = E k () =. La construction de séries d Eisenstein effectuée pour SL 2 (Z) admet des variantes pour les groupes de congruences. Nous nous contenterons d illustrer ce phénomène dans le cas du groupe J. (mτ+n) k Proposition 8.3. Soit k 4 un entier pair. La série (m,n) Z 2 {0},m n mod 2 est absolument convergente sur H ; on note G k (τ) sa somme. On a G k M k(j), G k ( ) = 2 k ζ(k) et G k () = 2ζ(k). Enfin, on a 2 k 2k ζ(k) G k (τ) = ( ) n σ k (n) e iπnτ. B k n Démonstration On procède de manière strictement identique à la démonstration de la proposition 4.2. La convergence absolue de G k (τ) ainsi que son invariance par l action de poids k de J est claire. De même, G k (τ) tend vers 2 k ζ(k) quand Im τ. On constate enfin que τ k G k ( /τ) = (m,n) Z 2 {0},m n mod 2 ((m + n)τ m) k = (m,n) Z 2 {0} (2mτ + n) k, qui tend vers 2ζ(k) quand Im τ +. Pour le dernier point, on peut procéder comme dans la démonstration de la proposition 4.2. Mieux, on peut le déduire du q-développement de E k en observant la relation (immédiate!) G k (τ) = 2 k G k ( τ+ 2 ). Si k est pair > 2, on pose E k = 2k ζ(k) G k. On considère également u : M k(j) C C, f (f( ), f()) ; c est une application linéaire. Proposition 8.4. (i) Si k > 2 est pair, l application u est surjective. (ii) M 4 (J) est de dimension 2 engendré par E 4 et E 4. Démonstration La proposition précédente entraîne u(e k ) = (, ) et u(e k ) = (, 2k ), d où la surjectivité de u. Le groupe J est d indice 3 dans SL 2 (Z) (Prop. 7.). La proposition 6.3 entraîne que M 4 (J) est de dimension 2. On conclut car il contient E 4 et E 4, et u(e k) et u(e k ) ne sont pas proportionnels.

16 6 GAËTAN CHENEVIER Théorème 8.5. (Jacobi, 829) On a l identité ϑ 8 = 5 (6 E 4 E 4 ). En particulier, si r 8(n) désigne le nombre de (n,..., n 8 ) Z 8 tels que 8 i= n2 i = n, on a la relation r 8 (n) = 6 d n ( ) n d d 3. Démonstration On trouve (a, b) = ( 6 Les propositions 8. et 8.4 montrent qu il existe a, b C tels que ϑ 8 = ae 4 + be 4 et 5, 5 u(ϑ 8 ) = (, 0) = (a + b, a + 6b). ). Étant donné que 240 = 5 6, on a donc σ 3 (n)(6 q 2n ( ) n q n ). n 0 r 8 (n)q n = ϑ 8 (2τ) = + 6 n Si n est impair, le coefficient de q n dans la somme ci-dessus est σ 3 (n). Si n est pair, il s agit plutôt de σ 3 (n) + 6 σ 3 (n/2). Mais comme dans ce cas on a 6 σ 3 (n/2) = 2 2 d n d3, on a aussi la relation σ 3 (n) + 6 σ 3 (n/2) = d n ( )d d 3. En particulier, si p est un nombre premier impair on a simplement r 8 (p) = 6 (p 3 + ). Par exemple pour p = 3 on a r 8 (3) = 2 3 C 3 8 = qui vaut bien De même, 2 5 C = 206 = 6 (5 3 + ) (!). On obtient bien d autres formules fabuleuses pour les sommes de 8k carrés en étudiant plus généralement M 4k (J). Un ingrédient clé, maintenant à notre portée, est alors le suivant : Théorème 8.6. (i) Si k 0 mod 4, l espace M k (J) est de dimension k 4 +. Il admet pour base les Er 4 (E 4 )s avec r + s = k/4. (ii) Si k 0 mod 4 alors M k (J, χ k ) = ϑ 2 M k (J, χ k ). Démonstration Montrons le (i). La famille de l énoncé est libre par un argument semblable (en plus simple) à celui de la proposition 2.5. Elle est de cardinal k 4 +. On conclut car dim M k(j) k 4 + d après la proposition 6.3, le groupe J étant d indice 3 dans SL 2 (Z). Pour démontrer le (ii), il suffit de démontrer que si f M k (J, χ k ) avec k 0 mod 4 alors g(τ)e iπτ/2 admet une limite quand Im τ tends vers +, où g = f k TS. En effet, étant donné que ϑ(τ) ne s annule pas dans H (Corollaire 8.2 (ii)), la proposition 8. permet de conclure f/ϑ 2 M k (J, χ k ). Mais TSTS T = ST SS T = ST 2 est un élément de J de caractère i, et de sorte que g(τ + ) = i k g(τ), ce qui conclut. Pour aller plus loin, il nous resterait à définir une série d Eisenstein vivant dans M k (J, χ k ) avec k non nécessairement 0 mod 4. C est particulièrement difficile pour des raisons de convergence lorsque k = 2, et pire encore lorsque k =. Cela permettrait de démontrer par exemple les formules célèbres, valables pour tout n, r 2 (n) = 4 ψ(d), r 4 (n) = 8 d 3. d n 4 d m La première est due à Gauss ; dans cette formule ψ(d) vaut par définition 0 si d est pair, si d mod 4 et sinon. Il en existe une autre une preuve très simple utilisant l arithmétique de Z[i]. La seconde est due à Jacobi. De même, il en existe une preuve relativement transparente utilisant l arithmétique des quaternions de Hurwitz. Signalons que Gauss a également trouvé une formule pour r 3 (n), d apparence assez différente, dont l établissement pourrait par exemple être obtenu par les principes étudiés ici si l on avait introduit les formes modulaires de poids demi-entier. Enfin, il existe des formules raisonnablement simples pour r k (n) pour tout k 0 pair...