FONCTIONS AUTOMORPHES ET CORRESPONDANCES MODULAIRES

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1 330 FONCTIONS AUTOMORPHES ET CORRESPONDANCES MODULAIRES Par G ORO SHIMURA liest bien connu que le groupe modulaire de Siegel est le groupe de transformations pour les périodes des fonctions abéliennes, mais on sait peu de chose des relations entre les fonctions modulaires et les abéliennes, sauf au cas de dimension 1. L'objet de cette conférence est d'énoncer quelques idées et résultats à ce sujet. Nous démontrerons d'abord que les 'modules' des variétés abéliennes polarisées, regardés comme fonctions des périodes, engendrent les fonctions modulaires de Siegel, et que les fonctions modulaires par rapport aux groupes de congruence s'obtiennent à partir des points t sur les variétés abéliennes tels que qt = 0 pour un entier q. On peut appliquer le même procédé à d'autres types de fonction automorphe, par exemple, aux fonctions de Hilbert. Ce sont non seulement la généralisation de la fonction j(r) ou des e p-teilwerte', mais les outils dont on se sert pour attaquer les problèmes arithmétiques des fonctions automorphes. On voit en effet que les opérateurs T n, introduits par Hecke pour les formes modulaires elliptiques et généralisés par ses disciples pour divers formes automorphes, ne sont autres que les représentations de certaines correspondances algébriques, appelées correspondances modulaires, définies au moyen d'isogénies de variétées abéliennes. En se basant sur cette idée, on acquiert des formules de congruence pour les correspondances modulaires dans le cas d'une certaine classe de fonctions automorphes de dimension 1, que l'on rencontrera à la fin de cet exposé. Pour commencer, on va rappeler les notions de variété abélienne polarisée et de ses modules (Weil [7], Matsusaka [3], Shimura [6] ). Soient A une variété abélienne et X un diviseur sur A. On désignera par fé'(x) l'ensemble de tous les diviseurs X' sur A pour lesquels il existe deux entiers positifs m, m 1 tels que mx soit algébriquement équivalent à m'x'. fé"(x) s'appellera une polarisation de A si ^(X) contient un diviseur ample. On entendra par une variété abélienne polarisée une variété abélienne A sur laquelle est donnée une polarisationfé 7,désignée par (A,të). (A,^) est dit isomorphe à une autre variété abélienne polarisée (A',fé 7 ') s'il existe un isomorphisme de A sur A' qui envoie fé 7 sur fé". On dira que (A,fé 7 ) est défini sur un corps k si A est défini sur k et sifé 7 contient un diviseur X rationnel sur k. Ainsi, soit o* un isomorphisme

2 FONCTIONS AUTOMORPHES 331 de k sur un corps k'\ on désignera parfé" 0- la polarisationfé^x 0 ") de A". On peut démontrer qu'il existe un sous-corps K de k jouissant de la propriété suivante: pour qu'un isomorphisme o* de k soit l'identité sur K, il faut et il suffit que (A, < ) soit isomorphe à (A,fé 70 ").Si la caractéristique est 0, K est déterminé par cette condition, et s'appellera le corps de modules de (A,<ë). On l'obtient au moyen de points de Chow ainsi qu'il suit. Soient X un diviseur ample dansfé 7 et J.' l'image d'un plongement projectif de A donné par X; soient J.* la transformée de A' par une transformation projective générique sur k et z le point de Chow de J.*. Le lieu #" de z sur & ne dépend que de A et dex; onappellera J^ la famille projective de (A,X). (A,^) est isomorphe à (J/,fé(X')) si et seulement si les familles projectives de (A, X) et de (Ä', X') coïncident, où l'on suppose que les dimensions des systèmes linéaires définis par X et X' soient les mêmes. Il en résulte que le corps de modules de (A, X) est engendré sur Ot P ar I e point de Chow de 3F', qui peut être donc considéré comme un 'module' de (A,fé). On peut définir de même les 'modules' au cas de caractéristique #= 0; mais on n'en s'occupera pas dans cet exposé. On va maintenant étudier les fonctions modulaires et para-modulaires. Soient S l9..., S n n entiers positifs tels que #i=l> *i *m (K*<n-Ï); soient S la matrice diagonale ayant pour éléments les 8 i9 et * - G ".') M 1 «" % où l n est la matrice unité de degré n. On désignera par T'(ô) le groupe composé des matrices T de degré 2n à coefficients entiers telles qu'on ait l TET = E. On voit que le groupe T(Ô) = {F-^T^F T T'(â)} est un sous-groupe du groupe symplectique. T(l n ) = r'(l^) est le groupe modulaire de Siegel. Les éléments de T(8) opèrent d'une manière ordinaire sur l'espace de Siegel S n. Soit D d (z) un lattice de l'espace numérique complexe O engendré par les colonnes de la matrice (z â) sur Z. Si z est un point de S n, le tore complexe C n jd 8 (z) a une structure de variété abélienne; la matrice alternée E donne une forme de Riemann sur C n \D 8 (z), pour ainsi dire, la matrice (z 8) détermine une structure de f On désignera par Z, O, R t G l'anneau des entiers rationnels, les corps des nombres rationnels, réels et complexes.

3 332 GORO SHIMURA variété abélienne polarisée, qui est réalisée comme une variété projective A s (z) par les fonctions thêta correspondant à la matrice me pour un entier m ^ 3. Fixons désormais un tel entier m, et désignons par ^8(z) la famille projective de A ô (z) pour chaque z. Tandis que A 8 (z) dépend du choix d'une base des fonctions thêta, ^8(z) ne dépend que de z (et de m). On vérifie facilement que les &> b (z) pour zes n sont toutes de même dimension. Il existe, de plus, un sous-ensemble analytique Y de S n de co-dimension 1 et des fonctions méromorphes <^±(z),...,<f) x (z) sur S n jouissant des propriétés suivantes: (m 1) les êf 8 (z) pour z e S n Y sont de même degré; (m2) pour chaque zes n Y, (1,^(2),...,<j) x (z)) donne le point de Chow de la variété ^8(z). Soient T un élément du groupe Y'(S) et U = F^T^F. La relation l TET = E entraîne que deux variétés A 8 (z) et A 8 (U(z)), polarisées par les sections hyperplanes, sont isomorphes; d'où résulte ^8(z) = êf 8 (JJ(z)). Réciproquement, on peut démontrer que si l'on a lf 8 (z) = 3F 8 (z'), il existe un élément U de Y(à) tel que z' = U(z). On déduit de ceci, en vertu du théorème de plongement projectif de l'espace quotient SJT(S) (Baily [1], Satake et Cartan [4] ), le théorème suivant: Théorème 1. Si n > 1, le corps C(^) est le corps des fonctions méromorphes sur 8 n invariantes par T(S). En d'autres termes, les fonctions automorphes par rapport à T(ô) sont engendrées par les modules des variétés abéliennes polarisées 'de la famille '; en effet, d'après ce qu'on a vu plus haut, pour chaque point z' de S n, le corps Q(ç^(z')) est le corps de modules de la variété A à (z'). Désignons par L(ô) le corps C(^); le corps L(l n ) est le corps des fonctions modulaires de Siegel, même si n = 1. Considérons maintenant les points t sur A 8 (z) tels qu'on ait qt = 0 pour un entier q; ils engendreront les fonctions automorphes par rapport aux groupes de congruence. Pour avoir ce résultat il faut rappeler la notion de variété de Kummer introduite par Weil C7]. Soit G le groupe des automorphismes d'une variété abélienne polarisée (A,^); on sait que G est d'ordre fini. On entendra par une variété de Kummer de (A,^) une variété quotient TF de J. par rapport à G. Bien entendu, W n'est pas uniquement déterminé; mais on peut construire, en vertu des résultats de Weil [8], une variété de Kummer W dans un espace projectif ainsi qu'une application naturelle h de A sur W satisfaisant aux conditions suivantes: (Wl) TT est défini sur le corps K de modules de (A, fé).

4 FONCTIONS AUTOMORPHES 333 ( W 2) h est défini sur tout corps de définition pour (A, fé) contenant K. (TF 3) Si o* est un isomorphisme d'un corps de définition pour (A, fé 7 ) contenant K, et si À est un isomorphisme de (A, fé) sur (A*,^*), on a A = A *oà. On construit pour A 8 (z) un couple (Tf,A) jouissant des propriétés (Wl-W3). Soit d(u) l'isomorphisme de G n jd 8 (z) sur A 8 (z) où uec n. Soit b un vecteur de K 2n (une matrice à 2n lignes et une colonne). On peut considérer, en gros, le point h(8(o) 8 (z)b)) comme une fonction de z. Il est difficile d'éclaircir la situation pour tout point de S n, puisqu'on ignore comment fabriquer (W, h) comme fonction de z. De toute façon, nous pouvons obtenir des fonctions méromorphes g a (z, b) sur S n dont les valeurs en z donnent les coordonnées du point h(6(o) 8 (z) b)) pour 'presque tout' point z de S n. Ces fonctions satisfont à l'équation ( ) i- a {U{z), Tb)mU(z), Tb) = U», m fi (z, b), où U est un élément de T(8) et T = F-^U^F. C'est une conséquence de la propriété (TF3). Soit q un entier positif; on désignera par Y'(8,q) le sous-groupe formé des éléments T de Y'(8) tels que T = ± \ 2n (mod g), et par Y(8,q) le sous-groupe {F-^T^F \ T e Y'(S,q)} de Y(8). Soient a i (1 < i < q 2n ) les vecteurs de R 271 tels que les coordonnées de qa i soient des entiers non-négatifs < q. D'après la relation (g), on voit qu'un élément U de Y(8) laisse invariantes les fonctions a (z, a^fé^z, a t ) si et seulement si U est contenu dans Y(S,q). Il s'ensuit de là le théorème suivant. Théorème 2. Sin > \,le corps engendré sur G par les <^> i et les est le corps des fonctions méromorphes sur S n invariantes par Y(8, q). Dans le cas n = 1, les fonctions qu'on vient de construire engendrent les fonctions modulaires elliptiques de 'Stufe' q. Les systèmes {A 8 (z) \ z e S } sont les plus grands systèmes de variétés abéliennes polarisées; et chaque membre générique de ces systèmes n'a pas de multiplication complexe, c.-à-d. son anneau des endomorphismes est isomorphe à Z. En considérant les variétés abéliennes dont les anneaux d'endomorphismes contiennent un certain anneau donné, on obtient un système de variétés abéliennes polarisées, auquel notre méthode est applicable également. Il vaudrait mieux, dans ce cas, généraliser quelque peu la notion de corps de modules ainsi qu'il suit. On se bornera au cas de caractéristique 0. Soit x un anneau; on entendra par une variété abélienne polarisée de type x, une variété abélienne polarisée (A,^) pour laquelle est donné un isomorphisme TJ de x dans

5 334 GORO SHIMURA l'anneau des endomorphismes de A; on la désignera par (A,fé 7,TJ). Un isomorphisme À de (.4,fé 7 ) sur (A,( ë') s'appellera un isomorphisme de (A,fé 7,ri) sur (A', fé", rf) si l'on a Xrj(r) = ^'(r) À pour tout r ex. Soit & un corps de définition pour (A,fé 7 ) par rapport auquel tout élément de rj(x) est défini; et soit o* un isomorphisme de k sur un corps k*. On obtient alors une variété abélienne polarisée (A*,fé 0 ",rf) de type r, en posant rf(r) = 77(r) 0 ". On peut démontrer qu'il existe un sous-corps K' de k pour lequel cr est l'identité sur K' si et seulement si (A,fé 7,9/) est isomorphe à (A*, c ë a, TJ 0 "). On appellera K' le corps de modules de (J.,^,?/); le corps de modules de (A, fé) est un sous-corps de K f \ ils coïncident si x = Z; la réciproque n'est pas nécessairement vrai. Considérons par exemple le cas de fonctions de Hilbert. Soit t un corps totalement réel de degré n > 1 sur O, et soit r l'anneau des entiers de ï. On désignera par a (1),..., a (n) les conjugués de a e ï. Soit a un idéal de x ; désignons par Y(a) le groupe des transformations r -> (ar + &)/(cr + d) où a, 6, c, d sont quatre éléments tels que a e ï, 6 a, c e a -1, d e x et que ad bc= 1. T(a) opère sur l'espace produit H n de n demi-plans complexes Im(r) > 0. Soit (r) = (r ly...,r w ) un point de H n ; soit D(r,a) le lattice de G^ composé des vecteurs {ap-^ + U 1 *,...,a (7l) r w + 6 (7l) ) où a et, be a. Le tore C 7l /D(r, a) a une structure de variété abélienne, sur laquelle toute forme de Riemann correspond à un nombre y de ï tel que y < 0 pour tout i; chaque élément a de r définit un endomorphisme de G n ID(r, a) donné par la matrice diagonale ayant pour éléments les a. On obtient ainsi les systèmes de variétés abéliennes polarisées A(r, a, y) de type t. Nous pouvons démontrer qu'il existe des fonctions méromorphes ^v(r) sur H n telles que Q(^V(T')) soit le corps de modules de A(T',a,y) pour presque tout point r' de H n. De plus, ces fonctions engendrent sur G toutes les fonctions méromorphes sur H n invariantes par T(a). Si l'on ne tient pas compte des endomorphismes, on se procure un certain sous-corps de ce corps de fonctions comme ' corps de modules absolus'; pour qu'ils soient les mêmes, il faut et il suffit qu'on ait (yay =t= ya pour tout automorphisme cr =)= 1 de ï. On se propose maintenant d'étudier les corps de définition pour les corps de fonctions automorphes. Supposons qu'on ait défini un système {A(s)} de variétés abéliennes polarisées de type 0, où 0 est un anneau, dont les membres dépendent d'une manière convenable de points s sur un sous-ensemble S ouvert connexe de C m ; on obtient alors des fonctions méromorphes Xv sur & telles que Q(x v { s ')) so^ I e corps de modules de A (s') pour presque tout s'e S. Soit k un sous-corps dênombrable de G. Le système est dit complet par rapport à k s'il satisfait à la condition suivante :

6 FONCTIONS AUTOMORPHES 335 Soit s 0 un point de S tel que tout A(s) soit une spécialisation de A(s Q ) sur k. Si B est une spécialisation générique de A(s 0 ) sur k, il existe un point s x tel que deux variétés abéliennes polarisées A(s 1 ) et B de type o, soient isomorphes. Notre critérium de corps de définition s'énonce: Théorème 3. Si le système {A (s)} est complet par rapport à un corps dênombrable k, le corps k(x v ) est une extension régulière de k et Von a àim k k(x v ) = dim Q C(x v )- On vérifie facilement que les systèmes {A 8 (z)} et {A(r, a, y)} sont tous complets par rapport à O- Ce théorème est applicable même au cas de domaine fondamentale compact, où l'on ne peut pas se servir de série de Fourier. On sait à titre d'exemple une classe de fonctions automorphes de dimension 1 définie pour la première fois par Poincaré, qui sont en rapport avec une forme quadratique ternaire indéfinie, et qu'on trouve dans le livre de Fricke et Klein. Les recherches sont 'peu développées', comme Eichler a dit, dans l'arithmétique de ces fonctions. On va maintenant s'occuper de cette classe. Soit 21 une algèbre de quaternions sur O dont la norme est une forme quadratique indéfinie, et soit o un ordre maximal de %. Comme 91 contient un corps quadratique réel, 91 a une représentation de degré 2 à coefficients dans, que l'on désignera par M. Soit y un unité de o tel que det M (y) = 1; y donne une transformation r_> d u demi-plan complexe H, où M (y) = l I. Désignons par Y(o) le groupe des transformations ainsi obtenues; si 2ï n'a pas de diviseur de zéro, le domaine fondamental est compact. Soient r un point de H et D(T) le lattice de C 2 composé des vecteurs M (a) I J pour a o. On obtient sur le tore C 2 /D(r) une forme de Riemann correspondant à un élément w de 9ï tel que w 2 soit un nombre négatif de Q. La matrice M (a) pour aeo donne un endomorphisme de C 2 /D(r). On peut ainsi définir un système {A(r)} de variétés abéliennes polarisées de type o. Le corps de modules de A(r) est donné par les valeurs de certaines fonctions méromorphes g^r) sur H, qui engendrent toutes les fonctions automorphes par rapport à Y(o). On vérifie que {A(T)} est complet par rapport à Q, de sorte que le corps Q(fl^) est une extension régulière de Q de dimension 1. Par suite il existe une courbe algébrique définie sur le corps rationnel donnant un modèle du corps des fonctions automorphes par rapport à T(o). Commençons la théorie des correspondances modulaires par l'étude

7 336 GORO SHIMURA du groupe Y(o,q) composé des transformations obtenues à partir des unités y e o tels que y = ± 1 mod g, où q est un entier positif. Dans ce but, on modifie, eu égard aux endomorphismes, la définition de variété de Kummer et les propriétés (W 1-W 3). Soient W une variété de Kummer de A(T) et h une application de A(T) sur W ayant les propriétés modifiées. Les coordonnées du point h(t), où t est un point sur A(r) tel que qt = 0, regardées comme fonctions de r, donnent des fonctions méromorphes fa sur H, qui engendrent, avec les g iy toutes les fonctions automorphes par rapport à Y(o, q). Prenons un point r 0 sur H tel que tout A(r) soit une spécialisation de A(T 0 ) sur Q, et posons K q = Q(gi(T 0 ),fa(t 0 )). K q est une extension galoisienne de K x dont le groupe de Galois est isomorphe au groupe G des éléments réguliers de l'anneau o/qo. Ç q étant une racine primitive g-ième d'unité, Q(Ç a ) est algébriquement fermé dans K q, Ki(Çq) correspond à un sous-groupe des éléments a tels que det M (a) = 1 mod q. Un élément a donne un automorphisme Ç q -> Ç sur Q(Ç q ), où m = det M (a). Si q est premier avec le discriminant de l'algèbre 9Ï (ce que l'on suppose dans ce qui suit), K q contient un sous-corps K q tel que K q = K' q (Ç q ) et K q n Q(Ç q ) = O; il existe donc une courbe algébrique C q définie sur Q, dont le corps des fonctions est le corps des fonctions automorphes par rapport à Y(o,q). Soit p un nombre premier. Les points u sur A(T 0 ) tels que pu = 0 forment un groupe g d'ordre p* invariant par o. Il existe exactement p +1 sous-groupes de g d'ordre p 2, invariants par o, qu'on notera par g l9..., Q p+1. Chaque g correspond à un idéal ooc v de norme p de telle façon qu'il existe un homomorphisme À de A(TQ) sur A(T V ) dont le noyau est g,,, où On définit un isomorphisme cr v de K q par ^(TO) 0 *" = gi(r v ) et h(ty v = h v (X v t) pour qt = 0, où h v est l'application naturelle de A(T V ) sur sa variété de Kummer. Soit x un point générique de G q et soit X p le lieu de x x.afi par rapport à O; X p s'appellera la correspondance modulaire de degré p sur C q. Soit P un diviseur premier dep dans une clôture algébrique de K q, on indiquera par la barre la réduction modulo P. La réduction modulo P donne un homomorphisme de g sur le groupe g des éléments û sur A(T 0 ) tels quepü = 0. Comme g est d'ordre^2, le noyau de cet homomorphisme est un des g, mettons Q V On voit alors que le noyau de À est g ou {0} selon que v > 1 ou v = 1. Désignons par {i y l'homomorphisme de A(T V ) sur A(T 0 ) tel que ji v X v = p; le noyau des ~ji v est d'ordre 1 ou p 2 selon que v > 1 ou v = 1. On en déduit que -4(r x ) est isomorphe à A(T 0 ) P et que

8 FONCTIONS AUTOMORPHES 337 A(r ö ) est isomorphe à A(T V ) P pour v > 1; les homomorphismes X x et ~fi v pour v > 1 sont équivalents aux homomorphismes de p-ième puissance. Nous pouvons démontrer, d'après ces relations, deux formules de congruence pour la correspondance modulaire x p = n + WoY p, WOY P = Z, OïI, OZ sur G q pour presque tous p, où II est la correspondance x -> %P sur G q, Y p est la correspondance birationnelle de G q donné par h(t) -> h(pt), Z est une certaine correspondance birationnelle de C q et ' désigne l'antiautomorphisme de Rosati. Ces formules sont des généralisations de celles qui ont été obtenues pour les fonctions modulaires elliptiques (Eichler [2], Shimura [53 ), puisque nos fonctions automorphes coïncident avec les fonctions modulaires elliptiques de 'Stufe' q, si o est l'ensemble des matrices de degré 2 à coefficients entiers. La représentation de X p par les formes différentielles de première espèce, n'est autre que l'opérateur T p de Hecke, pour les formes paraboliques de poids 1. Par suite la fonction de la courbe G q s'exprime sous la forme C(s ) q r ) = r( S )^)C(s-l)<Ê>(5)- 1 où Ç(s) est la fonction de Riemann, r(s) est une fonction rationnelle de p~ s et (s) désigne un produit d'euler du type introduit par Hecke. D'après un résultat de Weil, on constate que les valeurs absolues des racines caractéristiques de l'opérateur T p pour les formes paraboliques de poids 1 ne dépassent pas 2 Jp pour presque tous les nombres premiers p. On signale que les formules de congruence sont démontrées pour les correspondances elles-mêmes non seulement pour les classes de correspondances. Ce fait nous semble bien significatif pour les formes automorphes de poids > 1. On peut définir, de la même manière que ci-dessus, les correspondances modulaires pour les fonctions automorphes de plusieurs variables au moyen des isogénies de variétés abéliennes; on obtiendra alors les formules de congruence pour ces correspondances. Et il est à souhaiter en déduire quelque chose d'intéressant; le conférencier regrette qu'il n'a rien à dire sur ce que signifient ces formules. BIBLIOGRAPHIE [1] Baily, W. L. Satake's compactification of V n. Amer. J. Math. 80, (1958). [2] Eichler, M. Quaternäre quadratische Formen und Riemannsehe Vermutung für die Kongruenzzetafunktion. Arch. Math. 5, (1954).

9 338 GORO SHIMURA [3] Matsusaka, T. Polarized varieties, fields of moduli and generalized Kummer varieties of polarized abelian varieties. Amer. J. Math. 80, (1958). [4] Satake, I. et Cartan, H. Exposés du Séminaire H. Cartan, 10 ( ). [5] Shimura, G. Correspondances modulaires et les fonctions de courbes algébriques. J. Math. Soc. Japan, 10, 1-28 (1958). [6] Shimura, G. Modules des variétés abéliennes polarisées et fonctions modulaires. Séminaire H. Cartan, 10 ( ). [7] Weil, A. On the theory of complex multiplication. Proc. Int. Symp. Alg. number theory. Tokyo-Nikko, Tokyo, Science Council of Japan, 9-22 (1956). [8] Weil, A. The field of definition of a variety. Amer. J. Math. 78, (1956).

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