Chapitre 5: La programmation dynamique

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1 Chaptre 5: La programmaton dynamque. Introducton La programmaton dynamque est un paradgme de concepton qu l est possble de vor comme une améloraton ou une adaptaton de la méthode dvser et régner. Ce concept a été ntrodut par Bellman, dans les années 50, pour résoudre typquement des problème d optmsaton. Pour la pette hstore, Bellman a chos le terme programmaton dynamque dans un souc de communcaton : son supéreur ne supportat n le mot «recherche» n celu de «mathématque». Alors l lu a semblé que les termes «programmaton» et «dynamque» donnaent une apparence qu plarat à son supéreur. En réalté, le terme programmaton sgnfat à l époque plus planfcaton et ordonnancement que la programmaton au sens qu on lu donne de nos ours. En un mot, la programmaton dynamque est un ensemble de règles que tout un chacun peut suvre pour résoudre un problème donné. La programmaton dynamque est smlare à la méthode dvser et régner en ce sens que, une soluton d un problème dépend des solutons précédentes obtenues des sous-problèmes. La dfférence sgnfcatve entre ces deux méthodes est que la programmaton dynamque permet aux sous-problemes de se superposer. Autrement dt, un sous-problèmes peut être utlsé dans la soluton de deux sous-problèmes dfférents. Tands que l approche dvser et régner crée des sous-problèmes qu sont complètement séparés et peuvent être résolus ndépendamment l un de l autre. Une llustraton de cette dfférence est montrée par la Fgure 5.. Dans cette fgure, le problème à résoudre est à la racne, et les descendants sont les sous-problèmes, plus facles à résoudre. Les feulles de ce graphe consttuent des sous-problèmes dont la résoluton est trvale. Dans la programmaton dynamque, ces feulles consttuent souvent les données de l algorthme. La dfférence fondamentale entre ces deux méthodes devent alors clare: les sous-problèmes dans la programmaton dynamque peuvent être en nteracton, alors dans la méthode dvser et régner, ls ne le sont pas. dvser et régner programmaton dynamque Une seconde dfférence entre ces deux méthodes est, comme llustré par la fgure c-dessus, est que la méthode dvser et régner est récursve, les calculs se font de haut en bas. Tands que la programmaton dynamque est une méthode dont les calculs se font de bas en haut : on

2 commence par résoudre les plus petts sous-problèmes. En combnant leur soluton, on obtent les solutons des sous-problèmes de plus en plus grands. Illustraton : On débute nos exemples par celu du calcul des nombres de Fbonacc. Le problème est de calculer le n premers nombres de Fbonacc donnés par la formule suvante : F(0) = ; F() = ; F( n) = F( n ) + F( n ) L algorthme mplantant cette formule est alors comme sut : Algorthme nt functon Fbo(nt n){ } f (n <= ) return ; else return(fbo(n-)+fbo(n-)) Nous avons vu que la complexté de cet algorthme est en exponentelle. La rason de cette neffcacté est due à la multplcté de calcul d un même nombre, comme le montre la fgure cdessous sur n =4. Fgure 5..

3 La clef à une soluton plus effcace est d évter la multplcté de résoluton du même sousproblème. On amélore de lon la complexté temporelle s, une fos calculé, on sauvegarde un résultat, par exemple dans une table. Et au beson, on le prend de cette table. Cette remarque nous amène à la soluton suvante : Algorthme nt functon Fb(nt n){ f (Fb(n) soluton est dans la table) return table[n] ; f (n<= ) return ; else { sol = Fb(n-) + Fb(n-) sauvegarder sol dans table comme soluton à Fb(n) ; return (sol) ; } } Cette approche de résoluton est connue sous le nom de fonctons à mémore, qu est très lée à la programmaton dynamque. On y revendra un peu lon. En suupprmant la récursvté, nous écrvons cet algorthme dans une forme typque de la programmaton dynamque. Algorthme 3 nt functon Fb(nt n){ F[] = ; F[] = ; For (= ; <=n ; ++) F[] = F[-] + F[-]; return (F[]); } Illustraton : Avançons un peu plus dans ce concept en prenant un autre exemple qu est celu du calcul du coeffcent bnomal. S on mplante drectement cette expresson sous cette forme, on obtent la foncton suvante : 3

4 nt functon B(nt n,) { f ( = = 0) ( = = n) return else return(b(n-,-) + B(n-,); } \\ fn de foncton Voyons vor l exécuton de cette foncton sur un exemple de données: n = 5 et =. Remarquez le nombre de fos, par exemple que, le terme est calculé. n Exercce: montrer que la complexté temporelle de cette foncton est en θ. Pour évter de calculer pluseurs fos un nombre, l dée est de créer un tableau où on calcule tous les nombres de pettes talles, ensute, de talles de plus en plus grandes avant d arrver au nombre désré. Pour ce fare, on procède comme sut : 4

5 Pour calculer donc B(n,), on procède comme sut: for(=0 ; <=n ; ++) for (=0; <=mn{,}; ++) f (==0) (==) B[,] = ; else B[,] = B[-,-] + B[-,] return (B[n,]); On remplt le tableau B lgne par lgne comme sut Complexté de l algorthme : cette complexté est rédute au remplssage de la moté du tableau B. Comme le nombre d éléments de B est de n, la complexté de l algorthme est par conséquent en O (n). Remarque : Il est ntéressant de constater que seule la moté de la matrce B est utlsée pour calculer B[n,]. Autrement dt, un tableau à une dmenson suffrat pour fare ces calculs. On obtent alors l algorthme suvant : 5

6 . Quand et comment utlser la méthode de la programmaton dynamque La programmaton est un outl général de résoluton de problèmes. Toutefos, l n y pas de règle pour affrmer que la programmaton dynamque peut ou ne peut être utlsée pour résoudre tel ou tel problème. Le gros du traval, s on veut utlser cette méthode, résde tout d abord dans l obtenton de l expresson récursve de la soluton en foncton de celle des sous-problèmes (de talle plus pette). Notons que dans les problèmes d optmsaton, cette manère d obtenr la soluton optmale à partr des solutons optmales des sous problèmes s appelle le prncpe d optmalté de Bellman. Il est mportant de soulgner que ce prncpe, ben que naturel, n est pas touours applcable. Exercce : Trouver un exemple où ce prncpe n est pas applcable. Une fos cette expresson obtenue, on analyse ce qu se passe dans une mplantaton récursve naïve : s on se rend compte que la soluton de même problèmes est calculée pluseurs fos, on est alors dans le cadre de la programmaton dynamque. Le découpage du problème devrat naturellement condure à la défnton de la table (qu peut être de dmenson,,3, ). Remarquez qu une case de la table correspond à un sous-problème. Par alleurs, le nombre de sous-problèmes peut être très grand. La complexté obtenue, de l algorthme de programmaton dynamque, n est pas forcément polynomal. S on est dans le cadre de la méthode de la programmaton dynamque, les étape suves peuvent être résumées comme sut : a. obtenton de l équaton récursve lant la soluton d un problème à celle de sousproblèmes. b. ntalsaton de la table: cette étape est donnée par les condton ntale de l équaton obtenue à l étape. c. remplssage de la table: cette étape consste à résoudre les sous-problèmes de talle de plus en plus grandes, en se servant ben entendu de l équaton obtenue à l étape. 6

7 d. lecture de la soluton : l étape 3 ne condut qu à la valeur (optmale) du problème de départ. Elle ne donne pas drectement la soluton condusant à cette valeur. En générale, pour avor cette soluton, on fat un traval nverse en lsant dans la table en partant de la soluton fnale et en fasant le chemn nverse des calculs effectués en à l étape Étude de quelques exemples. Dans cette secton, l sera queston de vor en acton la méthode de la programmaton dynamque sur des problèmes essentellement d optmsaton. 3.. Détermner le plus court chemn dans un graphe algorthme de Floyd Sot un graphe G = ( X, V ) ayant X comme ensemble de sommets et V comme ensemble d'arcs. Le pods de l arc a est un enter naturel noté l (a). La longueur d'un chemn est égale à la somme des longueurs des arcs qu le composent. Le problème consste à détermner pour chaque couple ( x, x ) de sommets, le plus court chemn, s'l exste, qu ont x à x. Nous commençons par donner un algorthme qu détermne les longueurs des plus courts chemns notées δ ( x, x ). Par conventon, on note δ ( x, x ) = s'l n'exste pas de chemn entre x et x (en fat l sufft dans la sute de remplacer par un nombre suffsamment grand par exemple la somme des longueurs de tous les arcs du graphe). La constructon effectve des chemns sera examnée ensute. On suppose qu'entre deux sommets l y a au plus un arc. En effet, s'l en exste pluseurs, l sufft de ne retenr que le plus court. Les algorthmes de recherche de chemns les plus courts reposent sur l'observaton très smple (mas comben mportante) suvante: Remarque S f est un chemn de longueur mnmale ognant x à y et qu passe par, alors l se décompose en deux chemns de longueur mnmale l'un qu ont x à z et l'autre qu ont z à y. Dans la sute, on suppose les sommets numérotés x, x,..., xn et, pour tout > 0, on consdère la proprété P suvante pour un chemn: P ( f ) : Tous les sommets de f, autres que son orgne et son extrémté, ont un ndce strctement nféreur à. On peut remarquer d une part qu'un chemn vérfe P s, et seulement s, l se compose d'un unque arc. D autre part la condton P n+ est satsfate par tous les chemns du graphe. Notons par δ ( x, x ) la longueur du plus court chemn vérfant la proprété P et qu a pour orgne x et pour extrémté x. Cette valeur est s aucun tel chemn n'exste. Ans δ ( x, x ) = s'l n'y a pas d'arc entre x et x, et vaut l (a), s a est cet arc. D'autre part δ n = δ. + 7

8 Le lemme suvant permet de calculer les δ + connassant les δ ( x, x ). On en dédura un algorthme tératf. Lemme Les relatons suvantes sont satsfates par les δ : Preuve δ ( x, x ) = mn( δ ( x, x ), δ ( x, x ) + δ ( x, x + Sot un chemn de longueur mnmale satsfasant P +, ou ben l ne passe pas par x et on a la relaton suvante qu est vérfée : δ ( x, x ) = δ ( x, x + ou ben l passe par x et, d'après la remarque c-dessus, l est composé d'un chemn de longueur mnmale ognant x à x et satsfasant P et d'un autre mnmal auss ognant x à x. Ce chemn est donc de longueur : δ x, x ) + δ ( x, x ). ( L'algorthme suvant pour la recherche du plus court chemn met à our une matrce delta[,] qu a été ntalsée par les longueurs des arcs et par un enter suffsamment grand s'l n'y a pas d'arc entre x et x. À chaque tératon de la boucle externe, on fat croître l'ndce du P calculé. for := to n for := to n for := to n delta[,] := mn(delta[,], delta[,] + delta[,]) Sur l'exemple du graphe donné sur la Fgure 5.3, on part de la matrce δ donnée par ) )) 8

9 Fgure 5.3: Un graphe aux arcs valués Après le calcul on obtent: Pour le calcul effectf des chemns les plus courts, on utlse une matrce qu content suv[,], le sommet qu sut dans le chemn le plus court qu va de à. Les valeurs suv[,] sont ntalsées à s'l exste un arc de vers et à snon ; suv[,] est lu ntalsé à. Le calcul précédent qu a donné peut s'accompagner de celu de en procédant comme sut: for := to n for := to n for := to n f delta[, ] > (delta[, ] + delta[, ]) then begn delta[, ] := delta[, ] + delta[, ]; suvant[, ] := suvant[, ]; end; Une fos le calcul des deux matrces effectué, on peut retrouver le plus court chemn qu ont à, à l ade la procédure c-dessous: 9

10 procedure PlusCourtChemn(, : nteger); var : nteger; begn := ; whle <> do begn wrte (, ' '); := suvant[, ]; end; wrteln(); end; Sur l'exemple précédent, on obtent la matrce suvante: 3.: Multplcaton chaînée de matrces Sot n matrces M, M,..., M n ; chaque matrce M possède d lgnes et d colonnes. Le problème est d effectuer M... n en un mnmum d opératons de multplcatons. Rappels a. Pour fare le produt M, l est nécessare que le nombre de colonnes de M sot égal au nombre de lgne de M b. Le nombre de multplcatons engendrées par M, de dmenson respectvement de ( d d ) et ( d d ) est égal à d d d. Parce que la multplcaton est une opératon assocatve ( M ( M 3) = ( M ) M 3, l exste une multtude de manères d effectuer le produt entre les matrces. Par exemple, sot les tros matrces suvantes : A ( 3 5) ; B ( 5 89) ; C ( 89 3); D ( 3 34) 0

11 Effectuons les calculs des combnasons de produt suvants : M = (( A B) C) D AB : = 5785 multplcatons ( AB ) C : = 347 multplcatons (( AB ) C) D : = 36 multplcatons multplcatons (( AB ) C) D : 058 multplcatons ( AB )( CD) : 50 multplcatons ( A ( BC)) D : 856 multplcatons A (( BC) D) : multplcatons A ( B( CD)) : 6 48 multplcatons Idée : la méthode brute: On nsère les parenthèses de toutes les manères possbles et ensute, pour chacune d elle, on compte le nombre de multplcatons engendrées. Procédons comme pour dvser et régner en subdvsant le problème en deux sous-problèmes comme sut : M = M... )( M ) () ( n S t (n) est le coût pour effectuer le produt c-dessus, alors t () va représenter le coût du produt ( M... ) et t( n ) celu de ( M n ). Alors, pour un donné, le coût du produt est clarement t( n ) t (). Comme l ndce de séparaton peut être à n mporte laquelle des postons,,,n-, alors la relaton entre t (n), t () et t( n ) est comme sut : n t( n) = = Exercce : résoudre l équaton récurrente c-dessus. Idée : la programmaton dynamque t( ) t( n ) t ( ) = (pourquo donc?). caractérser la structure d une soluton optmale s m ; n : soluton optmale pour le fare le produt ( M ), alors la soluton du problème est le calcul de m n

12 M M... )( M... = ( + + n ) soluton optmale m soluton optmale m + n. défnr récursvement la valeur d une soluton optmale en foncton des soluton optmales des sous-problèmes. Les sous-problèmes : Détermner le coût mnmum d un parenthétsage de ( M +... ) = : aucune multplcaton : m = 0 < : m = coût mnmum pour calculer le produt ( M +... ) + coût mnmum pour calculer le produt ( M ) + coût pour multpler les deux matrces d d d Comme, on ne sat pas à pror où placer l ndce, on dot essayer toutes les postons et prendre celle qu engendre le mons de multplcatons. Cela donne donc : m 0; = = mn{ m < + m + d + d d ; < Exercce : mplanter l équaton récursve c-dessus, et détermner sa complexté temporelle et spatale. 3. Au leu de calculer la récurrence drectement (autrement dt, d une manère descendante), on utlse l approche ascendante de la programmaton dynamque comme sut : Constructon de la table dagonale par dagonale. La dagonale s content les éléments m tel que = s ; pour s= 0,,,3,,n-, c est-à-dre pour les dfférences d ndce de plus en plus grandes.

13 s = 0; m = 0; =,,..., n; s = ; m d d d ; =,,..., n ; s < n; + = + < { m + m d d d } mn =,,..., n s; m s = s + s < + s L algorthme sera alors comme sut :. for (=; <=n; ++) m[,]=0 ;. for ( =; <=n-; ++) m[,+] = d[-]*d[]*d[+]; 3. for (s =; <= n-; s++) for(=; <= n-s; ++) m[,+s] = mn { m[,]+m[+,+s]+d[-]*d[]*d[+s]}; < + s Complexté : Clarement, elle est en O ( n 3 ) : les deux boucles for mbrquées sont exécutées en O ( n ) multplées par le calcul du mnmum qu s exécute en O (n). Illustraton Reprenons l exemple précédent à savor : A ( 3 5) ; B ( 5 89) ; C ( 89 3); D ( 3 34) s = : m = 5785 ; m ; 3 = 335 m 34 = 9087; s = : m 3 = mn{ m + m ; m + m } = 530 m 4 = mn{ m + m ; m3 + m } = 845 s = 3 ; m4 = mn{ m + m ; m + m ; m3 + m } = 856. Pour détermner l ordre dans lequel les matrces sont multplées, on procède comme sut en lsant les valeurs de de la fn vers le début. Ans, m 4 est donné par =3 ; m est donné par = ; 3 Ce qu sgnfe que le produt dot être fat comme sut : (( M ) 3) M 4 3

14 3.3. Problème du sac à dos en nombres enters Nous avons ntrodut au chaptre précédent le problème du sac à dos. Rappelons la défnton de ce problème. =, et un sac à dos pouvant contenr un pods maxmal de W. Chaque obet a un pods w et un gan v. Le problème consste à chosr un ensemble d'obets parm les n obets, au plus un de chaque, de telle manère que le gan total sot maxmsé, sans dépasser la capacté W du sac. Dans cette verson que nous présentons dans ce chaptre, un obet est sot chos sot gnoré. Autrement dt, les obets sont ndvsbles, et de ce fat nous ne pouvons pendre une porton d un obet dans le sac. Sot un ensemble de n obets N {,,..., n} En termes mathématques, nous avons ce qu sut : max = n w x v x W x = 0,. L ntégralté des obets rend ce problème dffcle à résoudre. La stratége vorace proposée dans le chaptre précédent ne fonctonne plus dans ce cas. Exercce : Donner un exemple où les dfférentes stratéges voraces auxquelles vous pourrez penser ne génèrent pas la soluton optmale. Exercce : un smple algorthme pour ce problème est de générer toutes les solutons possbles (un obet est sot chos sot gnoré). Concevor l algorthme basé sur cette stratége. Montrer que sa complexté est en O ( n ) Proprété récursve du problème : La programmaton dynamque peut être développée en dvsant le problème en deux sousproblème comme sut : P, désgne le gan maxmum généré par le chox des premers obets dont la somme des pods ne dépasse pas W, alors résoudre le problème revent à trouver la valeur de P n, W. En calculant P, la séquences d obets peut être dvsée en deux : les ( ) premers obets et l obet. L obet est sot chos sot gnoré dans P,. 4

15 s l obet est chos, avant de l nclure, on dot s assurer que son pods ne dépasse pas la capacté du sac à dos. S tel est le cas, alors l contrbue à la soluton optmale par le gan v. Par conséquent, nous avons ben P = P + v, w S l obet n est pas chos dans la soluton optmale. Dans ce cas, nous avons la capacté du sac nchangée. Il suffrat donc de trouver la soluton optmale parm les premers obets, sot P,. Ben entendu, pour trouver chos ou gnoré. P,, l suffrat de prendre le maxmum entre le cas où l obet est Les cas de base sont : P, = 0 pour = 0 ou = 0 (pourquo donc?) Cela nous amène aux relatons récursves suvantes : P 0; = 0... ou... = 0 = p, ; < w ; > 0 max{ p,, p, w + v } L algorthme de programmaton dynamque est alors comme sut :. For (= ;<=n ; ++) P[,0] = 0;. For (= ;<= ; ++) P[0,] = 0; 3. For (= ;<=n ; ++) For (= ;<= ; ++){ P[,]=P[-,]; f ( >= w ){ f (P[-,- w ]+ v >P[-,]) P[,] = P[-,- w ]+ v ; } } Complexté: Il est clar que cette complexté est domnée par les deux boucles «for» mbrquées l une dans l autre : une est térée fos et l autre est térée n fos. Par conséquent, la complexté de tout l algorthme est en O (n). 5

16 Exemple: Soent les données suvantes relatves aux obets. La capacté maxmal du sac est : tem valeur pods En applquant l algorthme c-dessus, on obtent la table P suvante : La soluton optmale est donc donnée par P[5,] = 40. Pour retrouver les obets fasant parte de la soluton optmale, on procède comme sut : - P[5,] est donné par P[4,], car lors du calcul de P[5,] = mn{p[4,],p[4,- w 5 ]+ v 5 } = P[4,]}. Cela sgnfe que l obet 5 ne fat parte de la soluton optmale. - Ensute P[4,] est donné par P[3, - w 4 ] + v 4 = P[3,5]. Autrement dt, l obet 4 est chos. - Ensute P[3,5] est donné par P[,5- w3 ]+ v 3 = P[,0]+8. L obet 3 est chos. - En contnuant de la sorte, on trouve que P[,0] = P[,0]=P[0,0]. Les obets fasant parte de la soluton optmale sont don : l obet 4 et l obet 3. Exercce : Écrre un algorthme qu détermne la composton de la soluton optmale. 3.4 : Problème du voyageur de commerce Défnton : Étant un graphe valué G = ( X, V ). Le problème du voyageur de commerce consste, en partant d un sommet donné, de trouver un cycle de pods mnmum passant par tous les sommets une et ne seule fos, et retournant au sommet de départ. Sans perte de généralté, on dentfe les n sommets par les enters {,,..., n}, et on suppose que le cycle commence au sommet. La dstance entre deux sommets et est notée par d. Pour obtenr l équaton de récurrence résolvant ce problème, procédons comme sut : 6

17 Il est clar que tout cycle est consttué d un arc (,) et d un chemn smple (partant de et passant une et une seule fos par tous les sommets de V-{,}. Sot donc D[,S] la dstance d un plus court chemn partant de, passant par tous les ponts de S, une et seule fos, et se termnant au sommet. La relaton suvante n est donc pas dffcle à établr : D { } [ S] = mn d + D[, S { }], (a) La soluton optmale est donc donnée par D[,V-{}]. Il est clar que D[, ]= d. D S { } [, V { } ] = mn d + D[, V {, } ] n Nous avons donc à parttonner l ensemble V-{}. Le nombre de sous-ensemble qu on en générer est donc n. Par conséquent, la dmenson de la table à construre est ( n ) par n. Par exemple pour n = 4, on aura à construre la table suvante : 3 {} {} {3} {4} {,3} {,4} {3,4} Illustraton : Sot donc le graphe suvant : Nous avons donc : D[, ] = 5 ; D[3, ] = 6 ; D[4, ] = 8 ; D[,{3} ] d + D[3, ] =5 ; D [,{3} ] = 8; = 3 D [ 3,{}] = 8; D [ 3,{4}] = 0; D [ 4,{}] = 3; D [ 4,{3} ] = 5; 7

18 Ensute, on calcule [ S] D D D D, avec S = ; ; S. [,{3,4} ] = mn{ d + D[ 3, {} 4 ]}, d + D[ 4,{3} ] = [,{,4}] = mn{ d + D[, {} 4 ]}, d + D[ 4,{} ] = [,{,3} ] = mn{ d + D[, {} 3 ]}, d + D[ 3,{} ] = Fnalement, on obtent : [,{,3,4} ] = mn{ d + D[,{3,4} ], d + D[ 3,{,4} ], d [ 4,{,3} ]} 3 4 D D + = { 35,40,43} = 35. La valeur de la soluton optmale est donc 35. Pour le parcours à fare ayant la valeur optmale de 5, on procède de la manère suvante: pour chaque D [, S], on retent l ndce mnmsant le membre drot de l équaton (a), en commençant touours à partr de la valeur de la soluton optmale et en rebroussant chemn usqu à trouver la soluton complète. Ans, dans notre exemple, nous avons L ndce mnmsant D [,{,3,4} ] est. Le cycle donc commence par et dot passer par le sommet. Le reste du cycle peut être obtenu à partr de D [,{3,4} ]. L ndce mnmsant cette expresson est 4. Par conséquent, le cycle devra ensute passer par le sommet 4. Le reste du cycle peut être obtenu de D [ 4,{3} ]. L ndce mnmsant cette expresson ne peut être que 3. Le cycle est donc Complexté : On dot remplr tout le tableau de dmenson ( n ) par n. De Plus, le calcul de chaque D[,S] nécesste l examen de S autres cases (pour détermner le mnmum). Par conséquent, la complexté de cet algorthme est en O ( n n ). Exercce : détermner la complexté spatale de cet algorthme. 4. Les fonctons à mémore Tout comme la méthode dvser et régner calcule des valeurs pluseurs fos, la programmaton dynamque peut calculer elle auss des valeurs nutles. En effet, on fasant les calculs de bas en haut, on est amener à calculer des valeurs qu peuvent ne pas être utlser par la sute: on calcule tous les sous-problèmes de pette talle, ensute de talle un peu plus grande et ans de sute, sans se soucer s ces valeurs vont entrer dans le calcul de la valeur optmale du problème de départ. La technque de la foncton mémore permet de combner l élégance de la méthode dvser et 8

19 régner (de la récursvté) avec l effcacté de la programmaton dynamque. L dée donc est d utlser un tableau T avec la foncton récursve f exprmant la résoluton du problème donné. Foncton f(x,x,,xn) { s T[x,x,,xn] la valeur d ntalsaton alors retourner T[x,x,,xn] ; snon { s = f(x,x,,xn) ; T[x,x,,xn] = s ; retourner s ; } } De ce fat, on gagne à ne pas calculer nutlement certanes cases. Remarque : Le premer exemple qu on a vu est celu du calcul des nombre de Fbonacc. Prenons comme deuxème exemple celu du voyageur de commerce. S on veut mplanter notre soluton d une manère ascendante, nous rencontrons le problème évoqué au début du ce chaptre : certanes valeurs de D[,S] sont recalculées pluseurs fos et l algorthme est très neffcace. Exercce : Montrer que L,mplantaton ascendante de la foncton (a) c-dessus génère une complexté en O(n!). Pour calculer D[,S] d une manère ascendante, nous avons beson de générer tous les ensembles vdes, pus contenant un élément, pus deux, etc. La concepton d un tel générateur n est certanement pas dffcle mas elle est certanement fastdeuse. L utlsaton d une foncton à mémore consste à adondre à la foncton récursve une table de talle suffsante. Intalement, tous les éléments de cette table ont une valeur spécale ndquant qu ls ne sont pas encore défns. Ensute, chaque fos qu on appelle la foncton, on regarde dans la table pour vor s cette valeur a été déà calculée sur les même paramètres. S c est le cas, on retourne la valeur stocée dans la table. Autrement, on procède au calcul de la foncton. Avant de retourner la valeur de la foncton, on la stoce dans la table à l endrot appropré. De cette manère, on n aura pas à calculer la foncton plus d une fos. Pour les mêmes valeurs des paramètres. Cela nous donne l mplantaton suvante : On ntalse les éléments de tab à (une dstance ne peut être négatve). 9

20 foncton D(nt, set S){ s S = retourner d ; s tab[,s] 0 retourner tab[,s]; pettshort = un grand nombre; pour S fare dstance = d + D(, S { }); s dstance < pettshort petshort = dstance ; tab[,s] = pettshort ; retourner pettshort; La foncton D alle la clarté de la concepton dvser et régner (récursve) avec l effcacté de la programmaton dynamque. Exercce : Montrer comment calculer le coeffcent bnomal en utlsant une foncton à mémore. Sources. G. Brassard, P. Bratley (996): Fundamentals of algorthmcs, Prentce Hall. E. Horowtz, S. Sahn, S., Raasearan (997): Computer algorthms, Computer Scences Press. 3. J.J. Levy: Notes de cours d algorthmque, École Polytechnque, France. 0