Statistiques Cours 4. Statistiques descriptives: méthodes numériques (1) Mesures de tendance centrale (1)

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Rachel Déry
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1 Statistiques Cours 4 Bachelor 1 ère année Unil, Ecole des HEC 1 Statistiques descriptives: méthodes numériques (1) Eléments de tendance centrale (moyenne, médiane, mode, quantiles, ) 2 Mesures de tendance centrale (1) Moyenne => mesure de tendance centrale «la plus importante» Echantillon x Population => µ Le numérateur est la somme des valeurs des n observations x i = x x2 x3 3 1

Mesures de tendance centrale (1) Moyenne => mesure de tendance centrale «la plus importante»

2 Moyenne d un échantillon: exemple (1) Taille moyenne des classes d un échantillon de 5 lycées x1 = 46 ; x 2 = 54 ; x3 = 42 ; x 4 = 46 ; x5 = 32 x + x x = + x + x n + x = = Sous Excell: insertion/fonction/moyenne 44 4 Moyenne d un échantillon: exemple (2) Salaire d un échantillon de diplômés Salaire mensuel d'un échantillon de 12 jeunes diplômés Diplômé Salaire mensuel Moyenne d un échantillon: exemple (2) Salaire d un échantillon de diplômés x i 12 x x1 + x = n 12 i i 1 x = = = = = = Sous Excell: 1-Insertion/fonction/moyenne puis indiquer la plage 2-Taper dans la cellule: =moyenne(a1;a10) 6 2

Diplômé Salaire mensuel 1 2350 2 2450 3 2550 4 2380 5 2255 6 2210 7 2390 8 2630 9 2440 10 2825 11 2420 12 2380 5 Moyenne d un échantillon: exemple (2) Salaire d un échantillon de diplômés x i

3 Moyenne de la population Même procédure que sur un échantillon Notations : n => N x => µ 7 Moyenne : propriétés 8 Moyenne pondérée On pondère par les fréquences relatives Exemple : Notes à un examen Effectifs Notes

propriétés 8 Moyenne pondérée On pondère par les fréquences

4 Moyenne pondérée (2) => Note moyenne = 4 10 Problème de la moyenne 11 Elément de tendance centrale (2): la médiane Autre mesure de tendance centrale Sépare les valeurs en deux parties égales On ordonne les données en ordre croissant => la médiane est la valeur centrale => si nb d obs impair : médiane = valeur centrale => si nb d obs pair : médiane = moyenne des 2 valeurs centrales 12 4

égales On ordonne les données en ordre croissant => la médiane est la valeur centrale => si nb d

La médiane: exemples (1) Cas de l échantillon de 5 classes de lycée: => taille médiane = 46 (2) Cas de l échantillon des 12 diplômés: 2390 + 2420 => salaire médian = 2405 ( ) 2 = 2405 Sous Excell:

5 La médiane: exemples (1) Cas de l échantillon de 5 classes de lycée: => taille médiane = 46 (2) Cas de l échantillon des 12 diplômés: => salaire médian = 2405 ( ) 2 = 2405 Sous Excell: 1-Insertion/fonction/médiane puis indiquer la plage 2-Taper dans la cellule: =médiane(a1;a10) 13 Illustration- Revenu mensuel des ménages suisses Médiane = 7522 ; Moyenne = Intérêt de la médiane La moyenne est la mesure de tendance centrale la plus utilisée. MAIS la médiane n est pas influencée par les valeurs extrêmes. Exemple des données sur le revenu ou sur la valeur foncière 15 5

Illustration- Revenu mensuel des ménages suisses Médiane = 7522 ; Moyenne = 8387 14 Intérêt de la médiane La moyenne est la mesure de tendance

6 Propriétés de la médiane 16 Elément de tendance centrale (3): le mode 17 Le mode (suite) Si les données ont deux modes => distribution bi-modale (multi-modales) 18 6

7 Le mode: exemples (1) Cas de l échantillon de 5 classes de lycée: => mode = 46 (2) Cas de l échantillon des 12 diplômés: => mode = 2380 Sous Excell: 1-Insertion/fonction/mode puis indiquer la plage 2-Taper dans la cellule: =mode(a1;a10) 19 Le mode: exemple (2) Mesure importante pour données qualitatives Boisson fréquence Coca-Cola 19 Pepsi-Cola 13 Coke light 8 Dr Pepper 5 Sprite 5 Total Elément de tendance centrale (4): la moyenne géométrique 21 7

=mode(a1;a10) 19 Le mode: exemple (2) Mesure importante pour données qualitatives Boisson fréquence Coca-Cola 19

8 Moyenne Géometrique- Application à un taux de rentabilité moyen Soit un investissement Investissement initial C 0 n périodes Taux de rendement moyen r? C n n n n 0 (1 + r i i ) = C + r + r = + r = 0 (1 ) 1 (1 1 i= 1 i ) 22 Moyenne Géometrique- Application à un taux de rentabilité moyen année capital initial rendement % Valeur finale Si moyenne arithmétique => 20% : FAUX!!! Si moyenne géométrique => 19,58% = 2 (1 + 0,3) * (1 + 0,1) 1 Sous Excell: 1-Insertion/fonction/moyenne.geometrique puis indiquer la plage 2-Taper dans la cellule: =moyenne.geometrique(a1;a10) 23 Moyenne Géométrique Exercice Soit les données suivantes sur le rendement du Swiss Performance Index entre 2002 et 2005 Rendement SPI (%) , , , ,65 1- quel est le rendement moyen sur la période? 2- Le SPI s élevait à 4382,94 en 2001 => en 2005? 24 8

130 10 143 Si moyenne arithmétique => 20% : FAUX!!! Si moyenne géométrique => 19,58% = 2 (1 + 0,3) * (1 + 0,1) 1 Sous Excell: 1-Insertion/fonction/moyenne.

9 Moyenne Géométrique Exercice (2) 1- quel est le rendement moyen sur la période? 2- Le SPI en 2005? 4382,94 x1, = 5742,99 25 Elément de tendance centrale (5): la moyenne harmonique Peu utilisée Cas du calcul des vitesses moyennes 26 Moyenne harmonique- exemple Un conducteur roule à 80km/h pendant 120km puis à 120km/h pendant encore 120km Quelle a été sa vitesse moyenne durant son trajet? 27 9

Cas du calcul des vitesses moyennes 26 Moyenne harmonique- exemple Un conducteur roule à 80km/h

10 Moyenne harmonique- exemple (2) 28 Elément de tendance centrale (6): les quantiles Division de la série ordonnée en : 4 parties égales => quartiles 5 parties égales => quintiles 10 parties égales => déciles 100 parties égales => centiles 29 Les quantiles (2) Le p-ième (per)centile est une valeur telle qu au moins p pour cent des observations ont une valeur inférieure ou égale à cette valeur, et au moins (100 p) pour cent des observations ont une valeur supérieure ou égale à cette valeur 30 10

quantiles (2) Le p-ième (per)centile est une valeur telle qu au moins p pour cent des observations ont une valeur inférieure

11 Les quantiles (3) Calculer le p-ième centile 1- Classer les données en ordre croissant 2- Calculez un indice i p i = ( ) * n 100 p le centile considéré et n le nombre d observations 3- (a) si i n est pas un nombre entier, l arrondir. La position du p-ième centile correspond à l entier supérieur à i 3- (b) si i est un nombre entier, la position du p-ième centile correspond à la moyenne des valeurs des observations i et i+1 31 Les quantiles : exemple Salaire mensuel d'un échantillon de 12 jeunes diplômés Diplômé Salaire mensuel Calculer le 85 ème centile? La médiane? Les 1 er et 3 ème quartile? 32 Les quantiles : exemple (2) 1- ordonner les données Salaire mensuel

La position du p-ième centile correspond à l entier supérieur à i 3- (b) si i est un nombre entier, la position du p-ième centile correspond à la moyenne des valeurs des observations i et i+1 31 Les

12 Les quantiles : exemple (3) 2- le 85 ème centile 85 i = ( )*12 = 10, i n est pas un nombre entier => on arrondit au nombre entier au-dessus => 11 ème position => le 85 ème centile est Les quantiles : exemple (4) 2- le 50 ème centile (la médiane) 50 i = ( )*12 = i est un nombre entier on prend la moyenne des 6 et 7 ème observations ( )/2 = Les quantiles : exemple (5) 2- le 25 ème centile = le 1 er quartile 25 i = ( )*12 = i est un nombre entier on prend la moyenne des 3 ème et 4 ème observations ( )/2 =

100 3- i est un nombre entier on prend la moyenne des 6 et 7 ème observations (2390+2420)/2 = 2405 35 Les quantiles : exemple (5) 2- le 25 ème

13 Les quantiles : exemple (6) 2- le 75 ème centile = le 3 ème quartile 75 i = ( )*12 = i est un nombre entier on prend la moyenne des 9 ème et 10 ème observations ( )/2 =

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