Université d Orléans - Licence Economie et Gestion Statistique Mathématique

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1 Université d Orléans - Licence Economie et Gestion tatistique Mathématique C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 9 Exercice Barème : 6 points. Ratio de harpe et tests paramétriques Question préliminaire A (.5 point) L hypothèse nulle H est l hypothèse dans laquelle on a le plus con ance ou celle à laquelle on souhaite le moins renoncer. Ce qui en l occurence est le cas, car un ratio de harpe de.5 est bien évidemment préferrable à un ratio de.. Question préliminaire B (.5 point) On a immédiatement : = m () Question ( point) Le test sur le ratio de harpe peut ici se ramener à un test paramétrique sur la variance du rendement du portefeuille puisque : E (r) = r f m = () Dès lors le test devient ici : H : = :5 (3) H : = : (4) H : = 4 (5) H : = 6:5 (6) Question (.5 point) On sait que sous l hypothèse de normalité : L (r ; ::; r ; ) = p Il s ensuit immédiatement que : L (r ; ::; r ; ) = p L (r ; ::; r ; ) L (r ; ::; r ; ) = t= t= rt t= m rt (r t m).5 point (7) m (r t m) t= (8) (9) Après simpli cation, il vient : L (r ; ::; r ; ) L (r ; ::; r ; ) = (r t m) t= :5 point ()

2 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 9 page Question 3 ( point) achant que = m = m :5 point () Il vient : L (r ; ::; r ; ) L (r ; ::; r ; ) = (r t m) m t=.5 point () Question 4 (3 points) La région critique du test H : = = :5 contre H : = = : est identique à celle du test H : = = contre l hypothèse alternative H : = = 6:5 (cf. question -.5 point). D après le lemme de Neyman Pearson, la région critique du test UPP de niveau de l hypothèse nulle H : = contre l hypothèse alternative H : = est de la forme : r ; ::; r j L (r ; ::; r ; ) L (r ; ::; r ; ) K.5 point (3) où K est une constante déterminée par le risque de première espèce. Il s ensuit que : ( r ; ::; r j ) (r t m) K.5 point (4) Il vient : t= (r t m) K (5) t= () (r t m) K avec K = ln t= () (r t m) K avec K = ln t= achant que > ; il vient : K: K: (6) (7) (r t m) A.5 point (8) t= avec A = K 3 = ( ) : On a donc : r ; ::; r j ( ) (r t m) A t=.5 point (9) achant que N est un estimateur convergent de m; on admet que pour N grand, la statistique P ( ) t= (r t m) converge (en loi) vers N : et donc cette région peut se réécrire sous la forme : r ; ::; r j ( ) (r t r) A.5 point () t=

3 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 9 page 3 Question 5 ( point) On sait que par dé nition du risque I : = Pr N A H vraie () Or, on sait que sous l hypothèse nulle, la variable N = ( ) suit un chi-deux à degrés de liberté. oit F (:) la fonction de répartition de la loi du chi-deux à degrés de liberté. On a donc : = Pr N ( ) A ( ) () D où : ou encore : A = F ( achant que = m = ; il vient : A = F ( ) ) (3).5 point (4) A = F ( ) m.5 point (5) Question 6 ( points) On considère le test unilatéral : H : = :5 (6) H : < :5 (7) La région critique de la question précédente est indépendante de la valeur de sous H : Par conséquent la région critique du test UPP de l hypothèse H : = contre l hypothèse alternative H : > ; est identique à celle du test de l hypothèse H : = contre l hypothèse alternative H : = avec < ( point). oit F (:) la fonction de répartition d une loi du chi-deux à 5 degrés de liberté. Le seuil critique du test unilatéral vaut : A = F ( ) m = 37: :5 = 6:44 (8) La région critique est donc : r ; ::; r j N 6:44 point (9) Question 7 ( point) Donc si N = 4:; pour un risque de première espèce de 5%, on ne peut pas rejetter l hypothèse nulle selon laquelle le ratio de harpe est égal à.5. Question 8 ( point) On sait que : P () = Pr N A H vraie = Pr N A < = Pr N ( ) A ( ) > (3).5 point (3) 3

4 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 9 page 4 Pour un niveau de risque I de %; on sait que : A = F ( ) m (3) Dès lors, on a : P () = F F ( ) m ( ) m (33) = F F ( ) 8 <.5 point (34) où F (:) désigne la fonction de répartition de la loi du chi-deux à degrés de liberté: Question 9 ( point) On a donc : P () = F F ( ) = F 37:65 : :5 = :537 point (35) Question ( points) La région d acceptation (RA) de ce test fondée correspond à l intersection des deux RA des deux tests unilatéraux H : = = m = contre H : < et H : = = m = contre H : > ; c est à dire (.5 point) : r ; ::; r j N A (36) H : = contre H : < : r ; ::; r j N A (37) H : = contre H : > : r ; ::; r j N B (38) outefois les seuils A et B doivent être déterminés pour un niveau de risque de =% a n de garantir un risque de première espèce de % pour le test bilatéral. oient (.5 point) : A = F (39) B = F (4) Dès lors, l intersection des deux RA nous donne pour le test bilatéral une RA dé nie par : ou encore r ; ::; r j F Ce qui implique que : r ; ::; r j F r ; ::; r j A < N < B < N < F m 4 < N < F.5 point (4) m.5 point (4)

5 C. Hurlin. Correction du Contrôle de Décembre 9 page 5 Question ( point) Commençons par dé nir la RA du test bilatéral sur : :5 r ; ::; r j F 3 5 :5 < N < F :5 3 5 :5 (43) r ; ::; r j :9 < N < 6:5.5 point (44) Dès lors, si N = 4:; on est dans la région d acceptation pour un niveau de risque de première espèce de 5 %. Pour un risque de première espèce de 5%, on ne peut pas rejetter on ne peut pas rejetter l hypothèse nulle selon laquelle le ratio de harpe est égal à.5 (.5 point). ======= Exercice est d Indépendance : Les e ets du tabac (exercice tiré du site Pratique des Biostatiques - Université de Namur). Barème : 4 points. : Grâce aux données fournies par l énoncé, il est possible de réaliser le tableau suivant (.5 point) n Y enfant malformé enfant normal otal mère fumeuse mère non fumeuse otal ableau des e ectifs théoriques (.5 points) : Distance du chi-deux : n Y enfant malformé enfant normal otal mère fumeuse mère non fumeuse otal D = P i P (n ij N p ij ) = :7.5 point (45) N p ij j ous l hypothèse d independance, cette statistique suit un chi-deux à r degrés de liberté où r = ( ) ( ) =.5 point (46) Le fractile à 9% d un chi-deux à degré de liberté est égal à.7, donc pour un risque de première espèce de % on ne peut pas rejetter l hypothèse nulle d indépendance entre les malformations des enfants et le fait que la mère fume (.5 point). Cela implique que les mères funeuses n ont pas plus ou moins de chance de donner naissance à un enfant anormal qu une mère non fumeuse. 5