2 nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai Lectures graphiques (9 points) Les 2 parties sont indépendantes Partie A

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1 nde Corrigé de l évaluation n 3 de mathématiques Lundi 13 Mai 013 Lectures graphiques (9 points) Les parties sont indépendantes Partie A Tous les clients d un petit restaurant ont opté pour la formule à 45. La courbe C donnée ci-dessus modélise le coût de production (en euros) en fonction du nombre de repas, pour un nombre de repas compris entre 0 et 40. Les résultats seront donnés avec la précision permise par le graphique. 1. a) Quel est le coût de production de 30 repas? Le coût est de 115. b) Calculer la recette générée par ces 30 repas = 1350 La recette est de c) En déduire le bénéfice réalisé = 5 Le bénéfice réalisé est de 5.. Tracer dans le même repère, la représentation graphique de la recette. La recette pour 40 repas est égale à = 1800, de plus, elle est proportionnelle au nombre de repas, donc pour x repas elle est de 45 x, sa représentation graphique est donc une droite passant par l origine du repère. 3. Déterminer graphiquement le nombre de repas que doit servir le restaurant pour être rentable. Pour être rentable, la recette doit être supérieure au coût de production, le restaurant doit donc servir entre 3 et 37 repas inclus. Partie B Une entreprise fabrique des articles dont le prix unitaire est noté x (en euros). Sur le graphique sont représentées : la fonction «offre» f, qui à x associe la quantité d objets en milliers que les industriels sont prêts à fabriquer. la fonction «demande» g, qui à x associe la quantité d objets en milliers que les consommateurs sont prêts à acheter. En utilisant le graphique : a) Donner l expression de g(x) en fonction de x. La fonction g est une fonction affine, donc l expression de g(x) est du type : a x + b ; de plus C g passe par les points de coordonnées (4 ; 6) et (1 ; 4), donc a = = 8 = 1 4 g(x) = 1 4 (x 4) + 6 = 1 4 x g(x) = 1 4 x + 7 b) Donner le prix unitaire tel que l'offre soit égale à la demande. Le prix unitaire tel que f (x) = g(x) est 8.

2 QCM (14 points) 1 point par bonne réponse A FAIRE SUR LE SUJET Pour chaque ligne du tableau suivant, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Dans la dernière colonne du tableau, recopiez la lettre correspondant à la réponse choisie (10 x) est égal à : a) 6 (10 x) b) 60 6x c) autre réponse b. Si f (x) = x² + 7x, alors f ( 10) vaut : a) 8 b) 17 c) autre réponse b est égal à : a) 1 b) 3 c) 6 1 c 4. L expression développée de a) 3 ( x 4 ) ² 3 est : 36x² 144x b) 1x² c) 1x² 48x c 5. L expression factorisée de (x + 9)² 3x (x + 9) est : a) (x + 9) ( x + 9) b) (x + 9) (1 3x) c) autre réponse a La courbe ci-contre représente la fonction f. 6. L ensemble de définition de f est : a) [ 4 ; 7] b) [ 4 ; 3] c) [ 6 ; 7] c 7. Le nombre 1 a : a) 4 antécédents par f b) 1 antécédent par f c) antécédents par f a 8. Le tableau de signes de la fonction f est : a) b) c) b La trajectoire du ballon dégagé par un gardien de but est modélisée dans un repère par un arc de parabole. La parabole représente la fonction définie par : f (x) = x² 3 + x. 9. Répondre à la question «A quelle distance du gardien le ballon retombe-t-il?» revient à : 10. Répondre à la question «Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon?» revient à chercher : a) calculer f (0) a) résoudre f (x) = 0 b) résoudre f (x) = 0 b) l abscisse du sommet de la parabole c) chercher l abscisse du sommet de la parabole c) l ordonnée du sommet de la parabole b c 11. R, S et T sont 3 points distincts du plan. RS + TR est égal à : a) 0 b) TS c) TS b

3 Sur la figure ci-contre, ABCDEFGH est un pavé droit. I, J et M sont respectivement les milieux des segments [DH], [CG] et [DC]. L [AB] et K [BC]. 1. Les droites (LK) et (EF) sont : a) sécantes b) non coplanaires c) parallèles b 13. Les droites (MJ) et (AF) sont : a) sécantes b) non coplanaires c) parallèles c 14. Les droites (JK) et (GF) sont : a) sécantes b) non coplanaires c) parallèles a Echantillonnage (5 points) Exposition au Louvre Depuis 1996, l accès au musée du Louvre est gratuit le premier dimanche de chaque mois. La proportion de visiteurs français ces jours-là est de 0,59. Une toute nouvelle exposition est proposée. On souhaite connaître son impact sur la fréquentation des visiteurs français les jours de gratuité. Sur un échantillon de visiteurs un jour de gratuité, 67% sont français. 1. Décider si la nouvelle exposition a eu un impact si l échantillon comporte : La proportion de visiteurs français un jour de gratuité est de 0,59, donc p = 0,59. On a bien 0, p 0,8. Lors de la nouvelle exposition, un jour de gratuité, 67% des visiteurs sont français donc f = 0,67. a) 50 visiteurs. n = 50, on a bien n 5 p 1n = 0, ,45 p + 1n = 0, ,73 L intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est [0,45 ; 0,73]. f [0,45 ; 0,73], donc on peut conclure que la nouvelle exposition n a pas eu d impact. b) 500 visiteurs. n = 500, on a bien n 5 p 1n = 0, ,55 p + 1n = 0, ,63 L intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est [0,55 ; 0,63]. f [0,55 ; 0,63], donc on peut conclure que la nouvelle exposition a eu un impact, avec un risque d erreur de 5 %.. Quel commentaire vous inspire ces résultats? Lorsque la taille de l échantillon, n, augmente, l amplitude de l intervalle de fluctuation au seuil de 95 % diminue.

4 Vecteurs (1 points) Dans le plan muni d un repère orthonormé (O ; i, j ), on donne les points : A( 6 ; 5), B(7 ; ), C(3 ; 4), D et E( ; 7). 1. Placer les points A, B, C, D et E.. Montrer que ACBE est un parallélogramme. AC 3 ( 6) 4 ( 5) 9 AC 9 EB 7 ( ) ( 7) 9 EB 9 Comme AC = EB alors ACBE est un parallélogramme. 3. a) Placer le point M (4 ; 5). b) Démontrer que les points A, C et M sont alignés. CM CM 1 et AC 9 AC = 9 CM donc les vecteurs AC et CM sont colinéaires, On en déduit que les points A, C et M sont alignés. 4. N est le point vérifiant : NE + 8 NB = 0. a) Déterminer par le calcul les coordonnées de N. Soit N (x ; y). NE x 7 y et NB 7 x y b) Placer le point N. NE + 8 NB x x 7 y y NE + 8 NB = x = 0 9 9y = 0 x = 6 y = 1 5. a) Calculer les coordonnées du point K milieu de [BC]. x K = x B + x C y K = y B + y C xk = x K = 5 y K = + 4 y K = 3 b) Placer le point K. c) Démontrer que le point K est le milieu de [MN]. Soit L le milieu du segment [MN] : x L = x M + x N y L = y M + y N xl = y L = x L = 5 y L = 3 donc 8 NB 8(7 x) 8( y) NE + 8 NB Donc K (5 ; 3) Donc L (5 ; 3) Par conséquent L et K sont confondus, donc K est bien le milieu de [MN]. 6. a) Construire le cercle C de diamètre [BC]. b) Calculer son rayon. 54 9x 9 9y NB 56 8x 16 8y 8 donc N (6 ; 1) Soit r le rayon, r = BC = BK = (x K x B )² + (y K y B )² = (5 7) + (3 ) r = 5 c) Le point D appartient-il au cercle C? Justifier. On calcule la longueur DK : DK = (3 3) = 4 DK 5, donc le point D n appartient pas au cercle C. 9 9 = 4 4 DK =,5

5 Algorithme (7 points) Un récipient est formé d un cube surmonté d un parallélépipède rectangle à base carrée. On le remplit de liquide et on appelle x la hauteur de ce liquide (en cm) et V (x) le volume (en cm 3 ) de ce liquide correspondant. L algorithme ci-dessous permet à partir de x de calculer la valeur de V(x). Compléter le tableau de valeurs en utilisant cet algorithme x V(x) = = = 115 non défini Quel est l ensemble de définition de V? [0 ; 30] Bonus : Donner le côté du cube et la hauteur du parallélépipède rectangle? La formule de calcul du volume change lorsque x est supérieur à 10, donc le côté du cube mesure 10 cm. x La valeur maximale de x pour laquelle le volume est défini, est 30, donc la hauteur du parallélépipède rectangle est égale à = 0 cm. Logique (3 points) Pour chacune des propositions ci-dessous : - dire si elle est vraie ou fausse - justifier votre réponse dans le cas où elle est fausse 1. f est une fonction définie sur l intervalle [ 4 ; 4] dont voici le tableau de variation. a) Il existe un nombre réel de l intervalle [ 4 ; 4] qui a une image strictement négative par f. Vraie b) Tous les nombres réels de l intervalle [ 4 ; 4] ont une image strictement inférieure à par f. Fausse 1 a pour image. u et v sont deux vecteurs. Si u et v sont colinéaires, alors u = v Fausse v = u, donc u et v sont colinéaires, mais ils ne sont pas égaux.

6 Statistiques (6 points) Un apiculteur amateur a fait le bilan de sa production de miel de ses ruches pour l année 01. Pour chacune d elles, il note la quantité de miel produite (en kg). Il obtient les résultats suivants : Production de miel (en kg) Nombre de ruches Effectifs cumulés croissants Déterminer la médiane et les quartiles de cette série. Médiane : l effectif total est pair : N = N = 11 donc la médiane est la demi-somme du 11ème terme et du 1 ème terme de la série rangée 1 + dans l ordre croissant : Me = = 1,5 Premier quartile : on a N 4 = 5,5 donc Q 1 est la 6 ème valeur de la série rangée dans l ordre croissant donc Q 1 = 0 Troisième quartile : on a 3N 4 croissant donc Q 3 = 4 = 16,5 donc Q 3 est la 17 ème valeur de cette série rangée dans l ordre. Calculer la production moyenne par ruche (on arrondira au dixième). x = La production moyenne de miel est égale à environ,3 kg par ruche = 490,3 3. L apiculteur cherche à estimer sa production en 013. Il fait l hypothèse, vu les problèmes actuels de maladies dans les essaims, que la production de chacune des ruches diminue de 3kg. Pour chacune des questions, déterminer la bonne réponse parmi les réponses A, B et C. Question Réponse A Réponse B Réponse C La moyenne de la série ne change pas diminue de (3/) diminue de 3 La médiane de la série ne change pas diminue de (3/) diminue de 3

7 Probabilités (10 points) Dans le cadre d une campagne publicitaire, une grande surface organise une loterie. Le candidat sélectionné pour la phase finale doit tirer au sort successivement et sans remise jetons dans une boîte qui comporte jetons blancs et 4 rouges. Tous les choix sont équiprobables. 1. A l aide d un arbre, schématiser l expérience aléatoire précédente et les issues possibles B 1 R B R B B R B 1 : «le jeton tiré au 1 er tirage est blanc» R 1 : «le jeton tiré au 1 er tirage est rouge» B : «le jeton tiré au nd tirage est blanc» R : «le jeton tiré au nd tirage est rouge». Le règlement de la loterie est le suivant : Le candidat gagne le voyage s il tire un jeton blanc en premier. Le candidat gagne un ordinateur s il tire deux jetons de couleurs différentes. Ces deux lots sont cumulables. Si le candidat ne gagne ni le voyage, ni l ordinateur, il reçoit un bon d achat de 00. On considère les événements suivants : V : «le candidat gagne le voyage» O : «le candidat gagne l ordinateur» A : «le candidat gagne le bon d achat» a) Calculer p(v) ; p(o) ; p(v O). p(v) = p(b 1 ) = 6 = 1 3 p(o) = p(b 1 R ) + p(r 1 B ) = = = = 8 15 p(vo) = p(b 1 R ) = = 8 30 = 4 15 b) Définir par une phrase l événement V O puis calculer p(v O). VO : «le candidat gagne le voyage ou l ordinateur» p(vo) = p(v) + p(o) p(vo) p(vo) = p(vo) = 9 15 c) Définir par une phrase l événement contraire de V O puis calculer sa probabilité. VO : «le candidat ne gagne ni le voyage, ni l ordinateur» p( VO) = 1 p(v O) = = 6 15

8 Fonctions et calculatrice Partie A (14 points) Soit la fonction f définie sur IR par f (x) = 1 4 x + 8 x. 1. En utilisant la calculatrice : a. Faire une ébauche du tracé de la représentation graphique de f sur l intervalle [ 10 ; 40]. Vous indiquerez les réglages utilisés. b. Conjecturer les solutions éventuelles de l inéquation f (x) > 15. Vous expliquerez votre méthode. On utilise le solveur graphique, après avoir tracé la droite d équation : y = 15. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe de f, situés strictement au-dessus de la droite, il semble que ce soit : S = ] ; 30[. Etablir, en les justifiant, les variations de la fonction f. Vous dresserez le tableau de variation de f f (x) = 1 4 x + 8 x donc f est une fonction polynôme du second degré De plus, le coefficient de x est strictement négatif ( a = 1 4 croissante, puis décroissante. ) donc la fonction f est d abord Pour trouver la valeur de x pour laquelle f atteint son maximum, c est-à-dire l abscisse de son sommet S, on résout l équation f (x) = x + 8 x = 0 x ( 1 4 x + 8) = 0 x = 0 ou 1 4 x = 8 x = 0 ou x = 3 d où x S = = 16 On cherche ensuite l ordonnée du sommet : y S = f (16) = = 64 On en déduit le tableau de variation de V x Variations de f

9 Partie B Les tuyaux utilisés en plomberie s entartrent au fil du temps au contact de l eau. Pour un type de tuyau, une épaisseur de tartre x (en mm) entraîne une augmentation de y % de la consommation d énergie pour produire la même quantité d eau chaude, avec : y = f (x) pour x [0 ; 14], la fonction f étant celle étudiée dans la partie A : f (x) = 1 4 x + 8 x. 1. A l aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant : (Vous indiquerez les réglages utilisés) x f (x) On cherche à déterminer les épaisseurs de tartre qui, pour la même production d eau chaude, feraient augmenter la consommation d énergie de plus de 15%. Un élève propose la démarche suivante : Je résous dans IR, l inéquation : 1 4 x + 8 x 15 > 0 C est-à-dire : x + 3 x 60 > 0 En utilisant un logiciel de calcul formel, j obtiens : x + 3 x 60 = ( x) (x 30) donc je résous l inéquation ( x) (x 30) > 0, à l aide d un tableau de signes. a. Justifier les premières étapes de la démarche. Il s agit de résoudre l inéquation : y > 15, c est-à-dire f (x) > x + 8 x > x + 8 x 15 > 0 En multipliant les deux membres de cette inéquation par 4 (nombre positif), on obtient : x + 3 x 60 > 0 b. Démontrer l égalité de la 3 ème étape. Pour tout réel x, ( x) (x 30) = x 60 x + 30 x = x + 3 x 60 c. Résoudre l inéquation obtenue par la méthode proposée par cet élève. Signe de x : Signe de x 30 : x 30 + x = 0 x 30 = 0 x = x = 30 Signe de x + 0 a = 1 a = 4 a < 0 a > 0 Signe de x Signe du produit ( x) (x 30) L ensemble solution de l inéquation ( x) (x 30) > 0 est : S = ] ; 30[ d. Cette démarche vous semble-t-elle correcte? Justifier. Dans ce problème concret, x [0 ; 14], donc le raisonnement doit être fait sur cet intervalle et non sur IR e. Répondre alors au problème posé. Est-ce cohérent avec la partie A? Si on résout l inéquation sur [0 ; 14], on obtient : S = ] ; 14], car x [0 ; 14] ] ; 30[, donc pour une épaisseur de tartre supérieure à mm, la consommation d énergie augmente de plus de 15%. Cela est cohérent avec la partie A, car on retrouve bien la conjecture faite avec la calculatrice au 1b.

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