Exercice 5. Calculer la somme des dix premiers termes de chacune des suites de l exercice 3

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1 Exercice. On considère les suites u, v et w définies sur N par : u n = n + ; v n = n n + ; w n = n + n Calculer les cinq premiers termes de chaque suite. Exercice. On considère les suites u, v et w définies sur N par : u : { { u0 = u n+ = u n +, n N ; v : v0 = v n+ = Calculer les cinq premiers termes de chaque suite. vn, n N ; w : v n+ { w0 = w n+ = w n + w n, n N Exercice.. Une suite arithmétique u est définie par son premier terme u 0 = et sa raison r =. Calculer u 9 et u 99.. Une suite arithmétique v est définie par son premier terme v 0 = et sa raison r =. Calculer v 5 et v 0.. Une suite arithmétique w est définie par son premier terme w = et sa raison r = 5. Calculer w 6 et w 0. Exercice 4.. Une suite arithmétique u est définie par ses deux premiers termes u 0 = et u =,5. Déterminer sa raison et l expression de son terme général en fonction de n.. Une suite arithmétique v est définie par les termes v 5 = et v 9 = 4. Déterminer sa raison, son premier terme v 0 et l expression de son terme général en fonction de n.. Une suite arithmétique w est définie par les termes w 0 = 4 et w 5 = 44. Déterminer sa raison, son premier terme w 0 et l expression de son terme général en fonction de n. Exercice 5. Calculer la somme des dix premiers termes de chacune des suites de l exercice Exercice 6.. Une suite géométrique u est définie par son premier terme u 0 = et sa raison q =. Calculer u 4 et u.. Une suite géométrique v est définie par son premier terme v 0 = 8 et sa raison q =. Calculer v 4 et v.. Une suite géométrique w est définie par son premier terme w = w 4 et w 9. 7 et sa raison q =. Calculer Exercice 7.. La suite géométrique u est définie par les termes u =,4 et u 0 = 07,. Déterminer la raison q, le premier terme u 0 et l expression de u n en fonction de n.. La suite géométrique v est définie par les termes v = 5 et v 6 = 0,04. Déterminer la raison q, le premier terme v 0 et l expression de v n en fonction de n.

2 Exercice 8. Calculer la somme des cinq premiers termes des suites de l exercice 6. Exercice 9. On considère la suite u définie sur N par. Calculer u, u, u.. La suite u est-elle arithmétique? géométrique? { u0 = u n+ = u n +, pour n N.. On définit la suite v par v n = u n pour tout n N. a. Calculer v 0, v, v. b. Déterminer la nature de la suite v. c. En déduire l expression de v n en fonction de n. 4. a. Exprimer u n en fonction de v n, puis en fonction de n. b. Calculer u 8. Exercice 0. On appelle rémunération d un capital les intérêts produits par le capital une fois placé. Le montant de cette rémunération dépend de la durée du placement, du montant du capital ainsi que de la catégorie des intérêts. Ceux-ci sont dits «simples» lorsqu ils sont proportionnels à la durée du placement. Ils sont dits «composés» lorsqu à la fin de chaque période(année, semestre, mois...) les intérêts produits sont ajoutés au capital. Ils produisent alors aux-mêmes des intérêts au cours des périodes suivantes.. Intérêts simples Antoine dispose de 500 e qu il place à intérêts simples au taux annuel de 6%. On note C 0 le capital de départ et C n la somme dont disposera Antoine au bout de n années de placement. a. Calculer C et C. b. Exprimer C n+ en fonction de C n. En déduire la nature de la suite (C n ). c. En déduire l expression de C n en fonction de n. d. De quelle somme disposera-t-il s il laisse son argent placé pendant 0 ans?. Intérêts composés Armand dispose de 500 e qu il place à intérêts composés au taux annuel de 5%. On note K 0 le capital de départ et K n la somme dont disposera Armand au bout de n années de placement. a. Calculer K et K. b. Exprimer K n+ en fonction de K n. En déduire la nature de la suite (K n ). c. En déduire l expression de K n en fonction de n. d. De quelle somme disposera-t-il s il laisse son argent placé pendant 0 ans?. Comparer les deux placements. Exercice. Romain décide de placer ses économies sur un compte rémunéré. Son banquier lui propose deux types de placement : placement W : rémunération à intérêts simples au taux annuel de 5% ; placement V : rémunération à intérêts composés au taux annuel de 4%.

3 On note respectivement w n et v n les capitaux disponibles au bout de n années de placement aux placements W et V. Romain disposant de 5000 e, on notera w 0 = v 0 = a. Calculer w et w. b. Quelle est la nature de la suite (w n )? c. En déduire l expression de w n en fonction de n.. a. Calculer v et v. b. Quelle est la nature de la suite (v n )? c. En déduire l expression de v n en fonction de n.. Combien d années Romain doit-il placer son argent afin : a. que le placement V soit plus avantageux que le placement W? b. d avoir un capital disponible supérieur à 000 e? 4. Son banquier lui affirme que son capital peut augmenter de plus de 5% en ans. A t-il raison? Justifier. Exercice. Partie A Une balle élastique est lâchée d une hauteur de 00 cm au-dessus d une table ; elle rebondit plusieurs fois. On appelle h n la hauteur en centimètre du n e rebond, et h 0 vaut 00. La hauteur atteinte à chaque rebond est égale 9/0 de la hauteur du rebond précédent.. Calculer h, h, h et h 4.. Exprimer h n en fonction de l entier n. Quelle est la nature de la suite?. Calculer à 0 près la hauteur du 0 e rebond. 4. A partir de quel rebond la hauteur deviendra-t-elle inférieure à cm? Partie B A chaque rebond, la balle ne rebondit pas exactement au même endroit. La distance entre le premier rebond et le deuxième est de 0 cm, on appelle d cette distance. A chaque nouveau rebond, la distance parcourue vaut les / de la distance parcourue au rebond précédent. On considère la suite (d n ) des distances entre chaque rebond. On appelle l n la distance horizontale parcourue par la balle après n + rebonds.. Quelle est la nature de la suite (d n )? Exprimer d n en fonction de n.. a. Calculer l, l, l et l 4. b. Exprimer l n en fonction de n. c. Calculer à 0 près la valeur de l 0.. Le premier rebond à lieu 8 cm du bord de la table et la balle se dirige droit sur lui, tomberat-elle? Si oui, après quel rebond? 4. À quelle distance du bord de la table, au moins, doit se situer le premier rebond pour que la balle ne tombe pas?

4 Solutions des exercices Corrigé de l exercice. u 0 =, u = 4, u = 7, u = 0 et u 4 =. v 0 = 0, v =, v =, v = 4 et v 4 = 4 5. w 0 =, w = 0, w =, w = 4 et w 4 = 9. Corrigé de l exercice. u 0 =, u = 7, u =, u = 67 et u 4 = 0. v 0 =, v =, v = 5, v = 7 et v 4 = 9. w 0 =, w =, w = 4, w = 5 et w 4 = 676. Corrigé de l exercice.. u 9 = u 0 + (9 0) = 5 et u 99 = u = 95.. v 5 = + 5 ( ) = 9 et v 0 = 9.. w 6 = = 4 et w 0 = = 44. Corrigé de l exercice 4.. r = u u 0 =,5 et pour n N on a u n = +,5n.. v 9 = v 5 +(9 5) r donc r = v 9 v 5 =. Donc pour n N on a v 4 n = v 5 +(n 5) = +n.. De même, r = 6, w 5 0 = et w n = + 6 n pour n N. 5 Corrigé de l exercice 5. Pour les suites u et v : S = u 0 + u + + u 9 = 0(u 0+u 9 ) donc : S u = 5, S v = 80. Pour la suite w : S w = 0 (w +w 0 ) = 40. Corrigé de l exercice 6.. u 4 = u = 6 et u = u 0 q = v 4 = v 0 ( ) 4 = 8 et v = v 0 ( ) =. 6. w 4 = w q 4 = et w 9 = w q 8 = 4. Corrigé de l exercice 7.. On a u 0 = u q 0 donc q 7 = 07, = 8. On cherche un nombre q tel que q 7 = 8 ; avec,4 la touche y x de la calculatrice, on obtient q =. Ainsi, u = u 0 et donc u 0 =,4 = 0, et 8 finalement, pour n N on a u n = 0, n.. De même on a v 6 = v q 6 donc q 4 = 0,04 5 = 0,00 6. Donc q = 0,. De plus, v = v 0 0, donc u 0 = 5 0, = 65.

5 Corrigé de l exercice 8. On a u 0 + u + u + u + u 4 = u 0 q u 4 = 4 =. q De même, v v 4 = 48 et w +... w 5 = 7. Corrigé de l exercice 9.. u = + = 7 et de même, u =, u 9 = On a u u 0 = et u u = donc u n est pas arithmétique. 9 De même, u u 0 = 7 et u 6 u = donc u n est pas géométrique. Attention : cette méthode n est à utiliser que pour montrer qu une suite n est pas arithmétique ou géométrique (on écrit un contre-exemple) ; si on avait trouvé que uu u = u u 0 on n aurait pas pu conclure que la suite est arithmétique.. a. v 0 = u 0 = et de même, v = u = et v = u = 4. On peut conjecturer 9 que v est géométrique de raison. b. Montrons la conjecture précédente. Pour tout n N on a : v n+ = u n+ = u n + = u n = u n = (u n ) = v n Donc v est bien géométrique de raison et de premier terme v 0 =. c. On a donc pour n N, v n = ( ) ( ) n. 4. On a pour n N, v n = u n donc u n = v n + = ( ) n. 5. On a donc u 8 = ( ) 8 = Corrigé de l exercice 0. Corrigé de l exercice.. a. On a w = = 5 50 et w 00 = = b. On a pour tout n N, w n+ = w n + 50 donc la suite (w n ) est arithmétique de premier terme w 0 = et de raison 50. c. On a donc pour n N, w n = n.. a. On a v = ( ) = 5 00 et v = 5 00 ( ) = b. Pour tout n N, on a v n+ = v n ( ) =,04vn ; donc v est une suite géométrique de premier terme v 0 = et de raison,04. c. Ainsi, pour n N, on a v n = 5 000,04 n.. a. On a v = 7 697,7 < w = et v = 8 005,6 > w = ; donc le placement V est plus intéressant à partir de la douzième année. b. On a v 0 < 000 et v > 000 donc c est à partir de la vingt-et-unième année. 4. Après onze ans, en choisissant le placement W, Romain peut avoir e Soit = 0,55 = 55% de plus qu au départ

6 Corrigé de l exercice. Partie A. On a h = 9 00 = 90 cm ; h 0 = 9 90 = 8 cm ; Pour tout n N, on a h n+ = 9 h 0 n ; donc la suite est géométrique de premier terme h 0 = 00 et de raison q = 9. 0 ) 0 4,87 cm.. La hauteur du 0 e rebond est h 0 = h 0 ( Avec la calculatrice ou le tableur, on obtient h 4,07 et h 44 0,97 donc c est à partir du 44 e rebond que la hauteur est inférieure à cm. Partie B. Pour tout n N, on a d n+ = d n donc d est géométrique de premier terme d = 0 et de ) n. raison. On a donc pour n N, d n = 0 (. a. On a l qui est la distance (horizontale) de la balle parcourue après le e rebond ; donc l = d = 0. De même on a l = l + d = = 50, l = l + 0 ( b. l n est la somme des n premiers termes de la suite d : pour n N on a l n = d dn c. l 0 9,65. = 0 0( ) n = 0 ( ( ) n ).. La balle tombrea après le 6 e rebond car l 5 < 8 et l 6 > 8. ) = 90 9, Le premier rebond doit se situer à plus de 0 cm du bord de la table ; en effet, pour n N, on a ( ) n qui se rapproche de en étant inférieur à ; donc ln se rapproche de 0 sans jamais l atteindre.