Optique C Images optiques; mesures 2D et 3D Polycopié de cours 2002/2003

Transcription

1 Optique C Images optiques; mesures 2D et 3D Polycopié de cours 2002/2003 Conservatoire National des Arts et Métiers Yves Surrel, chaire d instrumentation

2 2

3 Table des matières I Diffraction et formation des images 11 1 Diffraction de Fraunhofer Amplitude complexe d une onde monochromatique Développement limité de l onde sphérique Transparence en amplitude - Cas de la lentille Principe d Huygens - Fresnel Diffraction de Fraunhofer Conditions d observation Amplitude diffractée Fente unique et fentes d Young Ouverture circulaire Réseaux Formation des images en éclairage cohérent Double diffraction Filtrage des fréquences spatiales Strioscopie Contraste de phase Détramage Reconnaissance de formes Fonction de transfert de modulation Formation des images en éclairage incohérent 41 II Mesures 2D et 3D 45 4 Traitement des franges et détection numérique de phase Introduction L importance de la phase Le décalage de phase Nombre d inconnues Principe

4 4 TABLE DES MATIÈRES Polynôme caractéristique Diagramme caractéristique Algorithme N-pas ou TFD Sources d erreur Algorithme TFD-fenêtré Bruit Méthodes géométriques de mesures Lumière structurée Le dépliement de phase Introduction Dépliement spatial Dépliement temporel Méthode de la grille Principe Petits déplacements, grands déplacements, déformations Mesure des deux composantes du déplacement Moiré Déflectométrie Méthodes interférométriques Vecteur sensibilité Rappel sur les interférences Interactions lumière-surface Vecteur sensibilité Interférométrie type Michelson Interférométrie holographique Principe de l holographie Interférométrie holographique Moiré interférométrique Réseau de diffraction Montage du moiré interférométrique Mise en œuvre Interférométrie différentielle Techniques basées sur le speckle laser Speckle objectif et speckle subjectif Interférométrie de speckle Corrélation de speckle (Speckle photography) Photoélasticimétrie Description de la lumière polarisée Déformations La photoélasticité Lames d onde et polariseurs

5 TABLE DES MATIÈRES Isochromatiques et isoclines Décalage de phase

6 6 TABLE DES MATIÈRES

7 Table des figures 1.1 Onde sphérique divergente Image d un point par une lentille Construction d Huygens Conditions d observation de la diffraction de Fraunhofer Calcul de l amplitude diffractée (diffraction de Fraunhofer) Diffraction par un trou rectangulaire, de hauteur deux fois plus grande que la largeur Amplitude diffractée par un système de deux fentes d Young, avec e = 5a Intensité diffractée par un système de deux fentes d Young, avec e = 5a Diffraction par deux trous rectangulaires, de hauteur b deux fois plus grande que la largeur a, et séparées par une distance égale à e = 5a Tache d Airy : figure de diffraction d un trou circulaire Amplitude diffractée par un réseau Intensité diffractée par un réseau Illustration du critère de Rayleigh Coupe d un réseau miroitant Intensité diffractée par un réseau miroitant, pour la longueur d onde pour laquelle il concentre la lumière dans l ordre Montage de double diffraction Tramage d une photographie Reconnaissance de formes FTM en éclairage cohérent Pupilles d entrée et de sortie Représentation de la fonction K(w) donnée par l équation (3.7) Représentation de la FTM en éclairage incohérent Diagramme caractéristique correspondant au polynôme 4.11 (a) Décalage de phase arbitraire b) Décalage de phase optimum Fenêtrage triangulaire opéré par l algorithme TFD fenêtré Principe de la profilométrie par projection de lumière structurée (a) Projection parallèle (b) Projection conique

8 8 TABLE DES FIGURES 5.2 Mise en œuvre de la profilométrie par projection avec un projecteur vidéo Propagation d une erreur de dépliement de phase. Le cercle est centré à l origine de l erreur (pixel bruité) Dépliement de phase par lissage spatial. À gauche, des coupes horizontales. (a) image de phase bruitée (b) image de phase après un lissage spatial (c) image de phase lissée dépliée (d) Image de phase bruitée et dépliée Numérotation des franges par projection de masques successifs Dépliement temporel de phase Dépliement de phase en utilisant le concept de longueur d onde synthétique Déplacements directs et inverses Translations du spectre dûs à l effet de moiré Augmentation des déformations par le moiré Déflectométrie : remplacement de la fente par une grille (l éclairage de l objet n est plus représenté) Cartographie du champ de pentes pour une pièce de germanium usinée avec un outil diamant Montage de déflectométrie, utilisant une fente. S : source ponctuelle, BS : lame semi-réfléchissante, FL : lentille de champ, IL : lentille d imagerie Différents modes d interaction de la lumière sur une surface Définition du vecteur sensibilité Principe de la mesure interférométrique de formes de surfaces Montage interférométrique de Twymann-green pour l étude interférométrique de la géométrie des surfaces réfléchissantes Image interférométrique d une cale étalon Carte des écarts d épaisseur pour la cale de la Fig Montage d enregistrement holographique Restitution holographique Deux états de la surface d un objet vibrant correspondant aux deux positions extrêmes de vibration Vecteurs sensibilité Intensité des franges de Bessel (trait plein) observées en temps moyenné. En pointillé, l intensité fictive correspondant aux franges d interférence entre les deux positions extrêmes des vibrations de la surface Diffraction par un réseau Principe du moiré interférométrique Vecteurs sensibilité pour le moiré interférométrique Effet de relief créé par la présence de grains métalliques aux endroits exposés Montage à trois miroirs pour le moiré interférométrique Techniques de dédoublement de l image Configuration de quatre vecteurs d onde d éclairage possibles Déplacement différentiel de deux points voisins

9 TABLE DES FIGURES Nouveaux vecteurs sensibilité résultant de combinaisons linéaires sur les cartes de phase Diffusion aléatoire de la lumière par la micro-rugosité d une surface Speckle subjectif Montage d interférométrie de speckle pour la mesure des déplacements hors plan Montage d interférométrie de speckle pour la mesure des déplacements plans Dépouillement ponctuel dans le cas d une mesure de déplacement par photographie de speckle Signification des composantes du tenseur des déformations Lame biréfringente sous incidence normale. Les directions 1 et 2 sont celles des directions principales simultanées du tenseur des déformations et du tenseur permittivité diélectrique Lame d onde Polariseur circulaire Passage de la lumière «circulaire» à la lumière «rectiligne» Directions de polarisation et directions principales de déformation

10 10 TABLE DES FIGURES

11 Première partie Diffraction et formation des images 11

12

13 Chapitre 1 Diffraction de Fraunhofer On considère dans tout ce chapitre que la lumière est monochromatique. 1.1 Amplitude complexe d une onde monochromatique Pour une lumière monochromatique, l expression du champ est : f r ( r, t) = R[f( r ) exp( i 2πνt)] (1.1) où f( r ) est l amplitude complexe de l onde (ce n est autre que le «vecteur de Fresnel» bien connu des électriciens). Une onde plane correspond à une amplitude complexe : f( r ) exp[i ( k. r + φ)] (1.2) où φ est un constante et où : 2π k = n (1.3) λ est le vecteur d onde ( n est le vecteur unitaire de la direction de propagation de l onde). La surface d onde (ou surface équiphase) est définie par la relation : k. r + φ = cte (1.4) ce qui est l équation d une famille de plans perpendiculaires à k. Si l on prend l origine des phases à l origine des coordonnées, on a φ = 0 dans les formules ci-dessus. Une onde sphérique divergente correspond à une amplitude complexe : f( exp[i kr + φ)] r ) (1.5) r où r est le rayon vecteur allant de la source de l onde vers le point d observation. Le flux lumineux de l onde varie en 1/r 2. Il y a donc conservation de l énergie à travers toute sphère centrée sur la source. Une onde convergente a l amplitude complexe conjuguée. Si l on prend l origine des phases à l origine des coordonnées, on a φ = 0 dans la formule ci-dessus. 13

14 14 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 1.2 Développement limité de l onde sphérique Pour mener à bien le calcul de la superposition des ondes sphériques émises par les sources secondaires d Huygens considérées sur l objet diffractant, il est utile au préalable de réaliser un développement limité de l amplitude complexe d une onde sphérique au voisinage de son axe (Figure 1.1) : PSfrag replacements α ξ, η M Σ C d P S Fig. 1.1 Onde sphérique divergente D après la formule (1.1), l amplitude complexe en M de l onde sphérique divergente représentée sur la Figure 1.1 est, si l origine des phases est prise en C : f( r ) = exp(i kr) r = exp(i k CM) CM (1.6) avec r = CM. Il est clair que la variation d amplitude due à la présence de CM au dénominateur est négligeable devant la variation de phase de l exponentielle complexe, puisque d λ. Au dénominateur, on posera donc CM d. Pour x et η très petits devant d, on peut poser pour le point M de coordonnées (ξ, 0) dans le plan frontal passant par P : et : Soit : CM = CP + P S = d + CM [1 cos(α)] d + d α2 2 α ξ d CM = d + ξ2 2d (1.7) (1.8) (1.9)

15 1.3. TRANSPARENCE EN AMPLITUDE - CAS DE LA LENTILLE 15 Pour un point M de coordonnées (ξ, η), on trouve de même : CM = d + ξ2 + η 2 L amplitude complexe de l onde au point M est donc : ) exp(i kd) f(ξ, η) exp (i k ξ2 + η 2 d 2d En appelant ρ le vecteur de coordonnées (ξ, η), on a : f( ρ ) = exp(i kd) d 2d exp ) (i k ρ2 2d (1.10) (1.11) (1.12) Le premier facteur du deuxième membre de l équation (1.12) est l amplitude complexe d un plan d onde Π, affecté d un coefficient de décroissance dû à la distance d. Le deuxième terme est un facteur de phase quadratique, caractéristique de l onde sphérique. Il est facile de voir qu une onde convergente aura un facteur de phase quadratique conjugué. En général, le terme de propagation exp(i kd) est de peu d intérêt. On prend alors l origine des phases au niveau de l axe où l on travaille, c est-à-dire en P sur la Figure 1.1. Dans ce cas, l amplitude complexe d une onde sphérique divergente se réduit à : f( ) ρ ) = exp (i k ρ2 (1.13) 2d et celle d une onde sphérique convergente à : f( ρ ) = exp ) ( i k ρ2 2d (1.14) 1.3 Transparence en amplitude - Cas de la lentille L effet d une lentille convergente ou divergente peut se décrire très simplement dans le cadre de ces approximations. Tout d abord, considérons un objet plan transparent éclairé par une onde incidente d amplitude complexe f i. Appelons f e l amplitude complexe de l onde émergente. Les fonctions f i et f e désignent ces amplitudes respectivement juste avant et juste après l objet. On appellera transparence en amplitude de l objet et l on notera t le rapport : de sorte que l onde émergente a l amplitude complexe : t = f e f i (1.15) f e = t f i (1.16)

16 16 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER Une lentille divergente transforme une onde plane en une onde divergente. Si l on prend l origine des phases au niveau du plan de la lentille, l amplitude complexe d une onde incidente plane est : f i = 1 et l amplitude complexe de l onde émergente est : ) f e = exp (i k ρ2 2f (1.17) où f est la distance focale de la lentille. Donc, la transparence en amplitude d une lentille divergente est : ) t(ρ) = exp (i k ρ2 (1.18) 2f De la même façon, celle d une lentille convergente est : ) t(ρ) = exp ( i k ρ2 2f (1.19) Prenons maintenant une lentille convergente éclairée par une onde sphérique issue d un point source A (Figure 1.2) situé à une distance d avant la lentille. L amplitude complexe PSfrag replacements A d d B Fig. 1.2 Image d un point par une lentille de l onde incidente est, dans le plan de la lentille : f i (ρ) = exp et celle de l onde émergente est égale à : ) (i k ρ2 2d ) f e (ρ) = exp ( i k ρ2 2d (1.20) (1.21)

17 1.4. PRINCIPE D HUYGENS - FRESNEL 17 mais elle est aussi égale à : f e (ρ) = t(ρ) f i (ρ) = exp ) ( i k ρ2 exp 2f ) (i k ρ2 2d (1.22) On en déduit que nécessairement : 1 f = 1 d + 1 (1.23) d ce qui n est rien d autre que la loi de conjugaison des lentilles simples. 1.4 Principe d Huygens - Fresnel C est en 1818 qu Augustin Jean Fresnel ( ) remporte le prix de l Académie des Sciences de Paris avec un mémoire où, pour expliquer les phénomènes de diffraction qui constituaient le thème du concours, il fait la synthèse du principe de construction de surfaces d ondes d Huygens et du principe d interférences d Young. Le principe d Huygens pose que tout élément d une surface d onde Σ(t) peut être considérée comme une source élémentaire émettant des ondelettes sphériques centrées sur cet élément, et que la surface d onde Σ(t + dt) à un instant ultérieur n est autre que l enveloppes de ces ondelettes élémentaires à cet instant (Figure 1.3). Le principe d interférences d Young est simple- Σ(t) P Σ(t + dt) M Fig. 1.3 Construction d Huygens ment le fait que les champs émis par les différentes ondelettes vont interférer, c est-à-dire s ajouter. Nous nous bornerons ici à l énoncé du «principe» d Huygens-Fresnel énoncé de la manière suivante : un élément ds centré au point P de la surface d onde Σ(t) où la champ incident a l amplitude A émet une onde sphérique dont l amplitude du en un point M de la surface d onde Σ(t + dt) est : du = i λ exp(i kr) r K(θ) A ds (1.24) où K(θ) est un facteur d inclinaison dépendant de l angle entre la normale à Σ(t) en P et la direction du vecteur P M et où r = P M. L interférence (c est-à-dire la somme) de toutes ces ondes reconstitue les surfaces d ondes ultérieures. On supposera en outre que le facteur d inclinaison K(θ) est très voisin de 1 quand θ est petit.

18 18 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 1.5 Diffraction de Fraunhofer Nous allons maintenant retrouver à l aide de ce principe que dans le cas des conditions de Fraunhofer, il existe une relation de transformée de Fourier entre la transparence en amplitude de l écran diffractant et l amplitude diffractée Conditions d observation Pour observer une figure de diffraction de Fraunhofer, if faut que la source soit ponctuelle, c est-à-dire que l on soit dans le cas de cohérence spatiale parfaite. Dans ce cas, on observe la diffraction de Fraunhofer : soit lorsque l onde d éclairage est plane et l observation de la figure de diffraction se fait à une distance grande devant la taille de l ouverture diffractante (Figure 1.4 haut) ; soit lorsque l on observe dans un plan où se forme l image de la source, c est-à-dire au niveau d un point de convergence du faisceau (Figure 1.4 bas) ; Onde plane plan diffractant ξ M α d «grande» PSfrag replacements Onde sphérique plan diffractant ξ M α d Fig. 1.4 Conditions d observation de la diffraction de Fraunhofer

19 1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 19 On a dans ces cas : α ξ (1.25) d et les formules respectives avec les variables β et η définies dans le plan perpendiculaire à celui de la Figure 1.4 contenant l axe optique. On suppose que les angles α et β sont petits devant 1. Le premier cas où intervient une onde plane nécessite évidemment une source ponctuelle ; en effet, une onde plane s obtient en mettant une source ponctuelle au foyer d une lentille Amplitude diffractée Appelons r le vecteur de coordonnées (x, y) dans le plan de l objet diffractant, et t( r ) la fonction de transparence en amplitude de celui-ci, à support borné. Supposons cet objet éclairé par une onde sphérique convergeant au centre Ω du plan d observation (Q) (Figure 1.5). Ceci correspond aux conditions de Fraunhofer de la Figure 1.4c. r() x y (P) C O M (Q) ρ() ξ η Ω d Fig. 1.5 Calcul de l amplitude diffractée (diffraction de Fraunhofer) L amplitude complexe incidente f i sur le plan (P ) où se trouve l objet diffractant est, si l on prend l origine des phases en O : f i ( ( ) r 2 r ) exp i k (1.26) 2d L amplitude émergente au niveau de (P ) est donc : f e ( r ) t( ( ) r 2 r ) exp i k 2d (1.27) Les sources élémentaires d Huygens de surface ds = dx dy vont émettre des ondes sphériques d amplitude du xy proportionnelles à ds et à f e (formule (1.24) : du xy ( ρ ) i exp(i ks) K(θ) t( ( ) r 2 r ) exp i k ds (1.28) λ s 2d

20 20 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER avec s = CM. Les variations de l angle θ entre la normale à la surface d onde primaire et la direction d observation sont supposées être suffisamment faibles dans les conditions de Fraunhofer pour que les variations de K(θ) soient négligées. On posera donc K(θ) 1. Au voisinage du point M, l amplitude complexe reçue est, en faisant le développement limité (1.12) de l onde sphérique et en appelant ρ le vecteur de coordonnées (ξ, η) : du xy ( ρ ) i λd t( r ) exp(i kd) exp [i k ( r ] ( ρ ) 2 ) r 2 exp i k ds 2d 2d = i ) ( (i k ρ2 r. ) ρ exp i k ds (1.29) λd t( r ) exp(i kd) exp = i λd t( r ) exp(i kd) exp 2d (i k ρ2 2d ) exp ( i 2π d r. ρ λd ) ds Si l on pose : exp(iφ) = exp ) (i k ρ2 2d l amplitude totale recueillie en M peut alors s écrire : u( ρ ) = (P ) du xy( ρ ) i λd exp(i kd) exp(iφ) t( r ) exp (P ) = i ( ρ ) λd exp(i kd) exp(iφ) t λd ( r. ) ρ i 2π dx dy λd (1.30) (1.31) On retrouve donc le fait que l amplitude diffractée est proportionnelle à la transformée de Fourier de la transparence de l objet diffractant. Il y a en plus un facteur de phase d onde sphérique centrée sur l objet diffractant, accompagné d un facteur d amplitude d onde sphérique en 1/d, un facteur de phase de quadrature avance (le facteur i), et un facteur de phase exp(i kd) introduit par la propagation de l onde sur une distance d. Si l on ne tient compte que des variations en fonction de ρ, on obtient finalement : ( ρ ) u(ρ) exp(iφ) t λd (1.32) Si l on travaille avec les coordonnées, donc avec une fonction transparence t(x, y), l amplitude diffractée au point (ξ, η) s écrit de façon analogue : ( ) ξ u(ξ, η) exp(iφ) t λd, η λd (1.33) Cette formule s étend naturellement aux autres cas de diffraction de Fraunhofer signalés sur la Figure 1.4. De manière plus générale, on peut dire que :

21 1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 21 l amplitude diffractée, débarrassée du facteur de phase d onde sphérique divergente, est la transformée de Fourier de l amplitude émergente f e ( r ) débarrassée du facteur de phase d onde sphérique convergente Fente unique et fentes d Young Il est maintenant très simple d obtenir les figures de diffraction créées par quelques objets diffractants simples. Une fente de largeur a et de hauteur b a une fonction de transparence : ( x ) ( y ) t(x, y) = Π Π (1.34) a b où Π est la fonction rectangle définie par : Π(u) = 1 si 1 2 u 1 2 Π(u) = 0 sinon (1.35) L amplitude diffractée en un point de coordonnées (ξ, η) d un plan situé à une distance d est, compte non tenu du facteur de phase sphérique (n intervenant pas dans l intensité) : ( ) ( ) ( ) ξ f(ξ, η) t λd, η aξ bη = ab sinc sinc (1.36) λd λd λd Le carré du module de cette expression, c est-à-dire l intensité diffractée est : ( ) ( ) aξ bη I(ξ, η) = I(0, 0)sinc 2 sinc 2 λd λd (1.37) Cette intensité ressemble à un «pavage» dont l allure est représentée sur la Figure 1.6. L annulation de la fonction sinus cardinal se faisant pour les arguments entiers, les abscisses ξ k d intensité nulle sur l axe des ξ sont : ξ k = k λd a et les ordonnées η m d intensité nulle sur l axe des η sont : η m = m λd b k Z (1.38) m Z (1.39) La tache centrale est donc deux fois plus large et haute que les taches secondaires. D autre part, plus la fente est allongée dans une direction, plus la figure de diffraction sera allongée dans la direction orthogonale. Le cas de deux fentes parallèles décalées d une quantité e s en déduit. La transparence de l objet diffractant est dans ce cas : t(x, y) = [ Π ( x ) ( y )] Π a b [ ( δ x e ) ( + δ x + e )] 2 2 (1.40)

22 22 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER Fig. 1.6 Diffraction par un trou rectangulaire, de hauteur deux fois plus grande que la largeur. L amplitude diffractée par une fente est donc simplement multipliée par la transformée de Fourier (pour la variable ξ/λd) de la somme de fonctions de Dirac apparaissant dans le deuxième facteur de cette expression, soit : ( exp i 2π e 2 ) ( ξ + exp i 2π e λd 2 ) ( ξ = 2 cos π eξ ) λd λd (1.41) On obtient donc pour l amplitude diffractée : ( f(ξ, η) = f(0, 0) cos π eξ ) sinc λd ( ) ( ) aξ bη sinc λd λd (1.42) Une coupe de cette amplitude pour η = 0 est représentée sur la Fig. 1.7.

23 1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 23 1 Amplitude diffractée aξ/λd Fig. 1.7 Amplitude diffractée par un système de deux fentes d Young, avec e = 5a L intensité détectée sera, elle, multipliée par le carré de cette fonction, donc : [ ( I(0, 0) I(ξ, η) = 1 + cos 2π eξ )] ( ) ( ) aξ bη sinc 2 sinc 2 2 λd λd λd Une coupe de cette intensité pour η = 0 est représentée sur la Fig Intensité diffractée aξ/λd Fig. 1.8 Intensité diffractée par un système de deux fentes d Young, avec e = 5a Elle montre des battements dont la période égale à λd/e. L aspect de la figure de

24 24 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER diffraction est représenté sur la Fig. 1.9 ; la Fig. 1.8 correspond à une coupe horizontale au centre. Fig. 1.9 Diffraction par deux trous rectangulaires, de hauteur b deux fois plus grande que la largeur a, et séparées par une distance égale à e = 5a. Si la largeur des fentes tend vers 0, la largeur du sinus cardinal dépendant de ξ tend vers l infini, et le résultat pour la figure de diffraction devient ce que l on trouve lorsque l on traite le problème dans le cadre des interférences. En effet, si les fentes sont infiniment étroites, il n y a plus «que deux ondes», et le traitement général des interféromètres à deux ondes s applique. Il faut remarquer l espèce de superposition qui existe entre la figure de diffraction d une fente unique et les franges d interférence liées à la présence de deux objets identiques décalés, qui modulent cette figure de diffraction Ouverture circulaire La transparence t(x, y) d une ouverture circulaire de rayon a est la suivante : ( x t(x, y) = D a, y a) (1.43) où la fonction D est la fonction disque définie par : D(x, y) = Π( x 2 + y 2 /2) (1.44) où Π est la fonction rectangle définie par (1.35), page 21. L amplitude diffractée dans les conditions de Fraunhofer par une telle ouverture est : f(ξ, η) 2J 1(Z) Z (1.45)

25 1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 25 avec : Z = 2π a ρ avec ρ = ξ λd 2 + η 2 (1.46) La tache de diffraction ayant une symétrie circulaire, elle se présente donc comme une série d anneaux concentriques, appelée tache d Airy. L allure de la figure de diffraction est représentée sur la Fig Fig Tache d Airy : figure de diffraction d un trou circulaire. Signalons pour terminer que la figure de diffraction de deux trous d Young est une tache d Airy modulée par des franges d interférence dont la direction est orthogonale au vecteur déplacement permettant de passer d un trou à l autre, et la période égale à λd/e, où e est l écartement entre les trous. La démonstration et les calculs sont identiques à ceux effectués dans le cas des franges d Young au paragraphe précédent Réseaux Introduction En tant qu éléments dispersifs, les réseaux présentent par rapport aux prismes l avantage d être plus dispersifs s ils sont utilisés dans un ordre élevé ; par contre ils ont eu longtemps l inconvénient d être moins lumineux. Aussi pendant longtemps les astronomes ont-ils préféré étudier les spectres des sources lumineuses peu intenses avec des spectromètres à prisme. Maintenant les réseaux miroitants («blazés») pallient cet inconvénient et tendent à remplacer de plus en plus les prismes puisqu ils sont à la fois plus dispersifs et aussi lumineux. Un réseau est un objet diffractant dont la transparence est périodique. La période p s appelle le pas du réseau. L inverse du pas est la fréquence spatiale du réseau ; celle-ci s exprime souvent en «traits par millimètre», ce qui correspond à l unité : mm 1. Bien sûr, du fait de la largeur finie L de cet objet, la périodicité n existe qu à l intérieur d une

26 26 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER «fenêtre» de largeur L. On appelle motif la description de la transparence de l objet sur une longueur égale au pas. La transparence τ(x) du réseau est donc la répétition périodique du motif, tronquée par une fonction rectangle de largeur L : [ τ(x) = m(x) 1 ( )] x ( x p pgn.π (1.47) p L) où la fonction Π(s) vaut 1 si s est compris dans l intervalle [ 1/2, 1/2] et 0 sinon. Il est important de voir que la fonction motif m(x) est identiquement nulle en dehors d un intervalle de largeur p. Le motif peut être «plus étroit» que p. Par exemple, si le réseau est constitué d un ensemble de fentes fines parallèles de largeur a < p, le motif est : ( x m(x) = Π (1.48) a) Si la transparence du réseau a un profil sinusoïdal, le motif est : m(x) = 1 2 [ ( 1 + cos 2π x )].Π p ( ) x p (1.49) Le pas p est en général très inférieur à la longueur L. Le motif peut modifier l amplitude ou la phase de la lumière incidente, ou encore les deux à la fois. Dans le premier cas, on dit que le réseau est un réseau d amplitude ; la fonction τ(x) est réelle. Dans le second cas, on parle de réseau de phase ; la transparence τ(x) est à l intérieur de la fenêtre de largeur L une fonction complexe unimodulaire : τ(x) = exp[i φ(x)]. Le nombre de motifs par millimètre dans un réseau est toujours élevé, il est couramment de l ordre de 100 à mais il peut atteindre pour des réseaux holographiques utilisés dans l ultra-violet. Amplitude et intensité diffractée Dans le conditions de Fraunhofer, l amplitude diffractée f(u) est la transformée de Fourier de la transparence de l objet diffractant. Pour le cas d un réseau dont la transparence est décrite par l équation (1.47), on obtient : f(u) τ(u) = [ m(u) pgn(pu)] L sinc(lu) (1.50) où u est la variable de Fourier conjuguée à x, qui peut être : α/λ si l on fait une observation à l infini dans la direction repérée par l angle α par rapport à l axe du faisceau d éclairage du réseau ; x/λf si l on fait une observation au foyer d une lentille de distance focale f, le réseau étant placé dans le faisceau de lumière parallèle avant la lentille ; x/λd si le réseau est éclairé en lumière convergente et qu on observe au niveau du point de convergence situé à la distance d. Cette équation donne en toute généralité l amplitude diffractée par un réseau (Fig. 1.11). On y voit apparaître les principales caractéristiques de cette figure de diffraction.

27 1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 27 τ(u)/ τ(0) m(u) 2/p 1/p 0 1/p 2/p u Fig Amplitude diffractée par un réseau 1. La périodicité du réseau génère une périodicité au niveau du spectre, décrite par la fonction pgn(pu) dans l équation (1.50). Les différents maxima d amplitude que l on observe sont appelés les ordres. 2. La répartition de l amplitude dans les différents ordres dépend de la fonction ˆm(u), donc du profil du motif. En jouant sur la fonction m(x), il est possible de jouer sur cette répartition (cf ci-dessous, réseau miroitant). 3. Au niveau de chaque ordre, la figure de diffraction observée est celle du diaphragme limitant le réseau, sinc(lu). C est cette figure de diffraction qui va déterminer principalement le pouvoir de résolution d un spectromètre à réseau. L intensité diffractée est la carré du module de l amplitude (1.50). En faisant l hypothèse que les amplitudes des différents ordres ne se recouvrent pas, autrement dit : en négligeant au voisinage de l ordre k les amplitudes correspondant aux ordres k k, on peut obtenir : f(u) 2 [ m(u) 2 pgn(pu) ] L 2 sinc 2 (Lu) (1.51) Pour l amplitude représentée sur la Fig. 1.11, on obtient l intensité représentée sur la Fig Pouvoir de résolution Si la lumière incidente est composée de deux radiations λ et λ = λ + λ, les maxima du k eme ordre se trouvent respectivement en α k = kλ et p α k = kλ. p Suivant le critère de Rayleigh, on considère que deux raies de longueur d onde λ et λ sont séparées l une de l autre dans l ordre k si le maximum de l une des taches de diffraction coïncide avec le minimum de l autre (Fig. 1.13). Les positions angulaires des maxima de cet ordre doivent donc vérifier :

28 28 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER m(u) 2 τ(u)/ τ(0) /p 1/p 0 1/p 2/p u Fig Intensité diffractée par un réseau k p (λ λ ) λ L À la limite de résolution, le plus petit écart en longueur d onde correspond à : d où un pouvoir de résolution : (λ λ ) min = p λ L k R = λ (λ λ ) min = kn N représentant le nombre total de motifs du réseau. Le pouvoir de résolution augmente avec l ordre k et le nombre de motifs. Deux réseaux de même pas p peuvent ne pas avoir le même pouvoir de résolution. Celui de plus grande dimension aura une meilleure résolution, N étant plus grand. Pour un réseau de longueur L, il n est pas possible d augmenter infiniment la résolution en diminuant le pas p. En effet pour un réseau éclairé par une onde plane d incidence α i la relation entre l angle d incidence α i et les angles diffractés α d : sin α d sin α i = k λ d donne les positions angulaires α d des maxima lumineux en fonction des caractéristiques du réseau. Or la différence des sinus est au plus égale à 2 (1 si α i = 0). Le pouvoir de résolution est donc borné par :

29 1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER 29 Intensité somme α PSfrag replacements λ λ kλ p kλ Fig Illustration du critère de Rayleigh p α ou kλ p + λ L R max = 2L λ Avec un réseau donné, pour augmenter le pouvoir de résolution on a intérêt à choisir un ordre d interférence k élevé mais dans ce cas l intensité de la lumière analysée chute très rapidement (Fig. 1.12). Un compromis «pouvoir de résolution - luminosité» est donc à faire. Pour remédier à cet inconvénient on utilise des réseaux miroitant où pratiquement toute l énergie lumineuse diffractée est concentrée dans un seul ordre. Ces réseaux sont des réseaux de phase. En effet, on montre facilement qu avec un réseau d amplitude, l intensité diffractée ne peut être maximum ailleurs que pour u = 0. Réseaux miroitant Ces réseaux (appelés souvent réseaux «blazés», de l anglais to blaze : scintiller, miroiter) sont constitués par exemple d une succession de petits prismes d indice n et de hauteur p (Fig : 1.14). La section droite d un de ces prismes est un triangle rectangle d angle au sommet ψ faible. Il existe un déphasage ϕ entre le rayon passant au sommet d un des prismes et le rayon situé à l abscisse x du sommet de ce même prisme : ϕ = 2π λ (n 1)xψ = 2πu 0x

30 30 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER x A 0 A D PSfrag replacements Onde incidente p ψ Rayon réfracté z Fig Coupe d un réseau miroitant avec : u 0 = La fonction décrivant le motif est donc : (n 1)ψ λ m(x) = exp(i 2πu 0 x).π ( ) x p (1.52) donc l enveloppe de l intensité diffractée dans les différents ordres est : ˆm(u) 2 sinc 2 [p(u u 0 )] C est précisément une enveloppe de ce type qui a été utilisée pour tracer les Figs et 1.12, avec u 0 = 1, 5/p. On remarque que si on choisit l indice n et l angle ψ du prisme de telle façon que : u 0 = (n 1)ψ λ = k p alors pratiquement toute l intensité diffractée est concentrée dans le seul ordre d interférence k ; on obtient ainsi simultanément une bonne résolution et une grande luminosité. La Fig montre l intensité obtenue dans la figure de diffraction pour k = 2. Il faut cependant noter que cette condition dépend de la longueur d onde. Un réseau miroitant est prévu pour être utilisé au voisinage d une longueur d onde précise.

31 1.5. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER m(u) 2 τ(u)/ τ(0) /p 1/p 0 1/p 2/p u Fig Intensité diffractée par un réseau miroitant, pour la longueur d onde pour laquelle il concentre la lumière dans l ordre 2

32 32 CHAPITRE 1. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER

33 Chapitre 2 Formation des images en éclairage cohérent 2.1 Double diffraction En éclairage temporellement et spatialement cohérent, c est-à-dire si la source est ponctuelle et monochromatique, on a vu au paragraphe précédent que l amplitude diffractée par un objet placé dans le faisceau est proportionnelle à la transformée de Fourier de la transparence en amplitude de cet objet. Or, la transformation de Fourier et son inverse sont très semblables. N est-il pas possible d illustrer ceci en faisant une double diffraction? La réponse est que cette double diffraction n est autre que le montage élémentaire de projection d un objet à travers une lentille simple (Figure 2.1). Un objet de transparence t( r ) est situé dans un faisceau convergent. Dans le plan du point de convergence, on a pour l amplitude complexe de l onde : f( ( ρ ) ) ρ ) t exp (i kρ2 (2.1) λd 2d où l on a fait apparaître le facteur de phase sphérique d onde divergente centrée au centre de l objet. La lentille de projection, de distance focale f, va modifier cette onde sphérique divergente en une onde sphérique convergente selon la loi bien connue de l optique géométrique (cf 1.3, page 15) : 1 f = 1 d + 1 d (2.2) L amplitude complexe émergente juste après la lentille de projection est donc : ( ρ ) ) t exp ( i kρ2 = τ( ) ρ ) exp ( i kρ2 λd kd kd (2.3) en posant : τ( ( ρ ) ρ ) = t λd 33 (2.4)

34 replacements 34 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT r ρ r d d t( ( ) ikr 2 r ) exp 2d ( ρ ) ( ) ikρ 2 t exp λd 2d ( ρ ) ( ) ikρ 2 t exp λd 2d ( ) = τ( ikρ 2 ρ ) exp 2d ( r ) ( ) ikr 2 τ exp λd 2d Fig. 2.1 Montage de double diffraction Du fait du facteur de phase d onde convergente, on se trouve au niveau de l écran dans les conditions de Fraunhofer. L amplitude complexe s( r ) dans ce plan est donc la transformée de Fourier pour la variable r /λd de τ( ρ ) (cf la dernière remarque du 1.5.2, page 19), affectée d un facteur de phase d onde sphérique divergente. En tenant compte du fait que le carré de la transformation de Fourier est l opérateur parité transformant f(x) en f( x), on obtient : s( ( r ) λd t λd ) r λd ( t d ) r d (2.5) où l on retrouve que l on obtient sur l écran l image de l objet avec un grandissement d /d. Les conditions de projection montrées sur la Figure 2.1 correspondent en plus au montage correct pour projeter un objet. Il y a en effet une règle pratique simple spécifiant que pour minimiser les aberrations géométriques dues à la lentille de projection, il convient de faire dans son plan l image de la source lumineuse, afin que le maximum d énergie traverse la lentille en son centre et non pas près des bords. Cette disposition en double diffraction permet d obtenir un résultat tout à fait remarquable : on est en présence d un système où le signal d entrée et le spectre sont de même nature physique (une répartition spatiale de luminance). Autrement dit, le spectre est apparent dans un espace «concret», et il est très facile de modifier ce spectre, c est-à-dire d effectuer un filtrage au niveau de la lentille de projection.

35 2.1. DOUBLE DIFFRACTION Filtrage des fréquences spatiales Une décomposition de Fourier est essentiellement une décomposition suivant les fréquences ; un signal temporel est décomposé en ses composantes monochromatiques, et un signal spatial est décomposé suivant ses fréquences spatiales. Cela signifie qu il est décomposé en une superposition de réseaux élémentaires de fréquence spatiale f, où le vecteur f 0 a pour norme l inverse du pas du réseau (de la même manière que la fréquence d un signal temporel est l inverse de sa période) et pour direction la normale aux «traits». Ce réseau élémentaire est un réseau de phase de transparence sinusoïdale : dont la transformée de Fourier est : t f 0 ( r ) = exp(i 2π f 0. r ) (2.6) t f 0 ( g ) = δ( g f 0 ) (2.7) L objet élémentaire correspondant à ce réseau va donner un point lumineux dans le spectre au point ρ tel que : g = ρ λd = f 0 (2.8) Un point du spectre correspond donc à une fréquence spatiale de l objet. Mettre un objet de transparence s( ρ ) dans le plan spectral va permettre de réaliser un filtrage de ces fréquences spatiales Strioscopie On sait que le plan spectral se trouve au niveau d un point de convergence. Le point lumineux central du spectre n est autre que le «pic de Dirac» correspondant lors de la transformation de Fourier à la valeur moyenne de la transparence de l objet. Une pastille opaque interceptant la lumière à cet endroit va permettre d observer l objet débarrassé d un éclairement moyen qui peut être gênant. Cette technique est très utilisée en microscopie où elle porte le nom d observation en champ sombre, très utile dans le cas d objet très transparents et peu contrastés, dont la transparence est donc : t = 1 ɛ (2.9) dont le contraste (amplitude de la modulation sur valeur moyenne) est de l ordre de ɛ/(1 ɛ) ɛ. Dans le plan spectral l amplitude diffractée est proportionnelle à : t = δ ɛ (2.10) La suppression de la tache centrale intense fait que l on retrouve au niveau de l image une amplitude proportionnelle à ɛ, de contraste unité.

36 36 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT Contraste de phase Un autre filtrage très utile en microscopie concerne l observation d objets de phase. Beaucoup de tissus biologiques sont formés avec une très grosse proportion d eau, et leur indice ne diffère que très peu de celui du milieu où ils baignent. C est le cas de beaucoup de cellules, qui n apparaissent pas si l on ne fait pas appel à des techniques de coloration sélective ou à la technique du contraste de phase. On considère donc un objet de phase, c est à dire dont la transparence t( r ) est donnée par : t( r ) = exp[i Φ( r )] (2.11) On suppose de plus que la variation de phase est très petite devant 2π. On a donc : t( r ) 1 + i Φ( r ) (2.12) Si l on met au niveau du pic central de diffraction dans le plan spectral une lame déphasant le champ de π/2, l amplitude complexe de celui-ci va être juste après égale à : f( ρ ) i δ( ρ ) + i Φ( ρ ) (2.13) Dans le plan d observation, on voit que les deux termes sont maintenant susceptibles d interférer. L intensité observée I( r ) est au grandissement géométrique près : I( r ) 1 + Φ( r ) (2.14) ce qui montre que l observation de l objet de phase est possible Détramage Un autre exemple simple de filtrage est celui du détramage de photographies. Les photographies paraissant dans les journaux sont tramées, c est-à-dire que la répartition continue de gris constituant l original de la photo est en fait remplacée par un motif périodique de pas p de points noirs et blancs, telle que le niveau de gris moyenné sur un motif soit égal au niveau de gris sur la photo originale. Lors de l observation visuelle de la photographie tramée dans le journal, l oeil va se comporter comme un filtre passe-bas et ignorer la haute fréquence spatiale correspondant au pas de la trame. Si t(x, y) est la transparence d une diapositive noir et blanc originale, et t t (x, y) celle d une diapositive tramée, on peut faire l approximation : t t (x, y) [ t(x, y) pgn ( ) x pgn p ( )] y m(x, y) (2.15) p où la répartition continue de transparence est remplacée par une répétition périodique de motifs de transparence m(x, y), affectés d un coefficient proportionnel à la transparence de la diapositive initiale au point correspondant au centre du motif (Figure 2.2). Dans le plan

37 2.1. DOUBLE DIFFRACTION 37 m(x,y) t(x, y ).pgn() x p pgn() y p y y p/2 p/2 0 x x Fig. 2.2 Tramage d une photographie spectral, le champ f(ξ, η) sera donc : f(ξ, η) [ t(u, v) pgn(pu) pgn(pv) ] m(u, v) (2.16) avec u = ξ/λd et v = η/λd. La fonction motif m(x, y) est une fonction étroite dont la transformée de Fourier, large, va lentement moduler le spectre f(ξ, η). Le point important est que celui-ci est constitué du spectre de la photographie initiale répété aux noeuds d un maillage carré de pas λd/p. Pour détramer la diapositive, il suffira donc de placer un diaphragme ne laissant passer que le spectre central correspondant à l ordre 0 des réseaux orthogonaux de tramage Reconnaissance de formes Le filtrage linéaire que l on peut effectuer dans le plan spectral permet de faire une opération de convolution d un objet avec un autre. Soit t( r ) la transparence d un objet donné, une empreinte digitale, par exemple. Soit s( r ) un objet comportant une série d empreintes digitales dont chacune a la transparence t i ( r ), à comparer avec la première : s( r ) = i t i ( r r i ) (2.17) où r i repère la position du centre de chacune des empreintes. Supposons que l on ait réalisé un filtre de transparence t, où t ( r ) = t( r ). Placé dans le plan spectral, ce filtre va réaliser le produit ŝ, t qui par transformation de Fourier va donner dans le plan image l amplitude h( r ) : h( r ) = s( r ) t( r ) = i [t i ( r r i ) t( r )] (2.18) Si l une des empreintes t i est égale à t, le produit de convolution (qui devient à ce moment un produit d autocorrélation) va avoir un maximum très net pour r = r i. Dans les autres cas, le maximum est très peu marqué (Figure 2.3). Sur l écran, on observe une série

38 38 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT t ^- Fig. 2.3 Reconnaissance de formes de taches brillantes centrées aux différents points repérés par r i, c est-à-dire à l endroit où l on observerait point central de l image géométrique de t i s il n y avait pas le filtre adapté. La tache correspondant à la bonne empreinte est beaucoup plus intense que les autres. On peut ainsi localiser l empreinte digitale à reconnaître dans une série d empreintes ressemblantes. 2.2 Fonction de transfert de modulation Nous allons faire dans ce paragraphe le lien avec ce qui a été vu dans la première partie, à savoir la relation de convolution qui existe entre l objet et l image dans un instrument d optique linéaire et invariant par translation. Chaque point objet donne au niveau du plan image une tache de diffraction liée à la forme du diaphragme d ouverture, généralement circulaire. Dans le cas d un éclairage cohérent temporellement et spatialement, les figures de diffraction correspondant à tous les points objets vont s additionner en amplitude. L amplitude d(x, y ) dans la tache de diffraction d un point unique est donc la réponse impulsionnelle ou fonction de Green du système. Si l on néglige le grandissement transversal inessentiel du système (et donc si l on confond x, y et x, y ), on a entre l amplitude objet Ω(x, y) et l amplitude image i(x, y) la relation de convolution suivante : i = Ω d (2.19) Dans le cas d une ouverture circulaire, la fonction de Green d(x, y) (bizarrement appelée par les opticiens réponse percussionnelle) est la fonction 2J 1 (Z)/Z dont le carré va donner la tache d Airy caractéristique des systèmes à symétrie circulaire. Nous avions signalé que cette propriété de convolution peut aussi se traduire dans l espace des fréquences spatiales

39 2.2. FONCTION DE TRANSFERT DE MODULATION 39 par une relation de filtrage linéaire : î = Ω d (2.20) Si l on reprend l exemple d un système à symétrie circulaire limité par un diaphragme de rayon a, on sait que l amplitude diffractée d(x, y) est proportionnelle à la transformée de Fourier de la fonction disque D(ξ/a, η/a)pour les variables de Fourier x/λd et y/λd, soit : d(x, y) D ( ax λd, ay ) (2.21) λd donc : ( λdu d(u, v) = D a, λdv ) (2.22) a La fonction de filtrage d intervenant dans la formule (2.19) prend un sens tout à fait concret. Elle exprime que la transformée de Fourier de la répartition d amplitude de l objet est «tronçonnée» par un diaphragme circulaire (Figure 2.4). L instrument d optique joue le rôle d un filtre passe-bas, et la fréquence spatiale maximale de l objet u c (l indice c étant la pour indiquer une fréquence de coupure) qui peut traverser l instrument est égale à : u c = a λd (2.23) Les fréquences spatiales inférieures sont transmises sans altérations. On voit que, comme il se doit, l instrument d optique est entièrement caractérisé par la donnée de sa fonction de Green d, ou ce qui revient au même, par sa transformée de Fourier d, qui n est autre que le «gain» de l instrument. On appelle d : fonction de transfert de modulation (en abrégé FTM). En éclairage cohérent, la FTM est donc réduite à une fonction cercle (Figure 2.4). Toutes les fréquences spatiales sont donc transmises sans distorsion jusqu à une certaine 1 PSfrag replacements a λd Fig. 2.4 FTM en éclairage cohérent. valeur. Toutes les fréquences spatiales supérieures à cette valeur sont coupées. Il s agit donc d un filtre passe-bas idéal. (Notons pour mémoire que ce filtre idéal n a pas d analogue dans

40 40 CHAPITRE 2. FORMATION DES IMAGES EN ÉCLAIRAGE COHÉRENT un système temps/fréquence. On montre en effet qu un tel filtre n est pas causal, c est-àdire qu il correspond à un système qui ne respecte pas le principe d antériorité de la cause sur l effet). La fréquence spatiale maximale transmissible u c = 1/p min où p min est la période minimale d un réseau élémentaire, donc pratiquement la taille minimale d un détail visible. Cette fréquence de coupure est calculable connaissant la position et la taille du diaphragme d ouverture ramené à l espace objet, c est-à-dire de la pupille d entrée. Alternativement, on peut la calculer à partir de la position et de la taille de la pupille de sortie. Si l on se réfère au montage de double diffraction de la Figure 2.1, page 34, on a : p min = λd n a (2.24) où l on a fait intervenir le grandissement géométrique, et où l on «prime» les grandeurs se référant à l espace image. On fait intervenir l indice n et le rayon a de la pupille de sortie, et la distance d entre cette pupille et le plan d observation (Figure 2.5). PSfrag replacements p min α a α d a d p max Fig. 2.5 Pupilles d entrée et de sortie. En posant : on obtient : sin α a d (2.25) n p min sin α = λ (2.26) On reconnaît dans le premier membre l invariant de la relation des sinus d Abbe. On en déduit : np min sin α = n p min sin α = λ (2.27)

41 Chapitre 3 Formation des images en éclairage incohérent Nous abordons ici le cas de l éclairage en lumière spatialement incohérente. Il n y a donc nulle part dans le système considéré de point de convergence image d une source ponctuelle. C est le cas par exemple de l observation d objets lumineux par eux-mêmes. Ici, chaque point source donne lui aussi une tache de diffraction (tache d Airy dans le cas d une ouverture circulaire) d intensité : D(x, y ) = d(x, y ) 2 (3.1) où d(x, y ) est l amplitude diffractée par la pupille de sortie, image dans l espace image du diaphragme d ouverture. La différence avec le cas de l éclairage cohérent est que maintenant, toutes ces taches vont s ajouter en intensité pour former l image. Soit Ω(x, y) l amplitude objet, et : O(x, y) = Ω(x, y) 2 (3.2) l intensité émise par l objet. En prenant ici aussi égal à 1 le grandissement transversal, on a pour l intensité I dans l image : I = O D (3.3) à comparer avec la formule (2.19) dans le cas de l éclairage cohérent. Une différence essentielle est aussi qu il n y a pas de plan spectral accessible. La relation de convolution s interprète aussi dans l espace des fréquences spatiales, mais celui-ci est un espace abstrait qui n est pas réalisé physiquement comme dans le cas cohérent. En particulier, il n est pas question de faire du filtrage de fréquences spatiales de manière aussi pratique. La transformation de Fourier de la formule (3.3) donne : Î = Ô D (3.4) Dans le cas de l ouverture circulaire, il est facile de déterminer quelle est la fonction de transfert dans l espace des fréquences spatiales. On a : d(x, y) 2J 1(Z) Z 41 (3.5)