Principe de fonctionnement d un véhicule à roues

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1 Mécanique «Chapitre» 4 Principe de fonctionnement d un véhicule à roues Parties du programme de PCSI à revoir Notions et contenus Lois de Coulomb du frottement de glissement dans le seul cas d un solide en translation. Notions simples sur les moteurs ou les freins dans les dispositifs rotatifs. Capacités exigibles Exploiter les lois de Coulomb fournies dans les trois situations : équilibre, mise en mouvement, freinage. Formuler une hypothèse (quant au glissement ou non) et la valider. Savoir qu un moteur ou un frein contient nécessairement un stator pour qu un couple puisse s exercer sur le rotor. Comment le programme officiel de PC définit ce chapitre Notions et contenus Mouvement rectiligne uniforme d un véhicule à roues dans un référentiel galiléen en l absence de glissement : a) véhicule tracté par une force extérieure F ; b) véhicule muni de roues motrices. Capacités exigibles Exprimer la condition de non-glissement des roues. Appliquer la loi de la quantité de mouvement et la loi de l énergie cinétique au véhicule. Appliquer la loi du moment cinétique aux roues dans le référentiel du véhicule. Expliquer qualitativement les rôles respectifs du moteur et des actions de contact exercées par la route selon qu on envisage un bilan énergétique global ou un bilan de quantité de mouvement global. Mécanique Chapitre 4 Page 1 sur 9

2 Le contenu A. La roue qui roule : Condition de non-glissement Considérons pour commencer une roue de centre C et de rayon r, roulant sur le sol supposé fixe dans le référentiel d étude. On note V la vitesse du point C dans ce même référentiel et la vitesse angulaire de la roue autour de son axe. Comment traduire le fait que la roue ne glisse pas sur le sol? # 1 ère méthode A l instant t, le point de contact de la roue sur le sol est I t. Ce point coïncide avec le point I ' du sol. A l instant t dt, le point de contact de la roue sur le sol est J t dt. Ce point coïncide avec le point J ' du sol. Le point I t de la roue se trouve alors en I t dt. x La distance I' J ' correspond à la distance parcourue par C pendant la durée dt, i.e. I ' J ' V dt. La longueur de l arc I t I t dt est quant à elle donnée par I t I t dt r dt. La roue ne glisse pas sur le sol si et seulement si on a I ' J ' I t I t dt, soit : V r # ème méthode On reprend les notations précédentes. Alors, à l instant t, la roue ne glisse pas sur le sol si et seulement si roue v I ' sol v I t dans le référentiel d étude. En raisonnant dans le référentiel lié au sol, on a évidemment v I' sol 0. I t dans ce même référentiel, on peut utiliser la relation de composition des Pour expliciter la vitesse de vitesses (le référentiel mobile étant celui lié à C et en translation dans le référentiel lié au sol). On a alors v I t roue r ex V V r ex. On retrouve bien la même condition de non glissement de la roue sur le sol, soit : V r Mécanique Chapitre 4 Page sur 9

3 B. Quelques exemples «simples» de systèmes à roues (ou équivalents) 1. Déplacement d une caisse sur un ensemble de rouleaux pivotants Un opérateur déplace à vitesse constante V V e x une caisse cubique de côté a et de masse M sur un tapis horizontal constitué d un grand nombre de rouleaux de rayon r, libres de tourner autour de leurs axes fixes parallèles à Oy et distants successivement de 3r. Pour cela, il exerce une force F horizontale sur la caisse. La verticale ascendante est donnée par l axe Oz et g représente le module de l accélération de la pesanteur. Chaque rouleau est assimilé à un cylindre creux, homogène, de masse m et de rayon r. On donne le moment d inertie d un rouleau par rapport à son axe : J mr. On suppose que les actions normales exercées par les p rouleaux ( p 1) situés sous la caisse sont identiques et on note N la force normale qu exerce chacun de ces rouleaux sur la caisse. Déterminer N. La caisse arrive sur un rouleau initialement immobile. Justifier qu au début le contact entre la caisse et ce rouleau se fait avec glissement. Préciser la vitesse de glissement de la caisse sur ce rouleau à l instant t 0 du contact. En déduire la force de frottement T qu exerce ce rouleau sur la caisse. Après avoir fait l inventaire des actions et de leur point d application s exerçant sur ce rouleau, établir l expression de sa vitesse de rotation t en fonction de f, g, M, m, p, r et du temps t. On supposera que les liaisons entre les tiges qui supportent les rouleaux et le support sont parfaites. Evaluer la durée au bout de laquelle le glissement cesse. Déterminer p en fonction de a et r, puis exprimer la valeur maximale V M de V si l on veut qu au plus un rouleau glisse à chaque instant, en fonction de m, M, g, f, r et a. Faire l application numérique dans le cas où On fait désormais l hypothèse V V. m 1 kg, M 1000 kg, M g 9,8 m.s, 0,3 f, r 1 cm et a 1 m. Que faut la force de frottement de glissement T * qu exerce la caisse sur chacun des p 1 rouleaux pour lesquels le glissement a disparu? Evaluer le module F de la force horizontale que doit exercer l opérateur en moyenne pour tirer la caisse. Quel serait le module F à exercer par l opérateur dans une traction par glissement sur un sol plan de même coefficient de frottement f que sur les rouleaux? Mécanique Chapitre 4 Page 3 sur 9

4 Calculer numériquement le rapport F F et conclure quant à l intérêt du dispositif étudié. Réponses : N Mg ez p ; 0 e p Vgl t V ex ; x T ; t t ; pmr pmv ; a p ; 3r VM 3r ; V M ma 1 1,63 m.s ; T * 0; F ; F ; p F 1. F p. Remorque bagagère On considère une remarque bagagère de masse M 300 kg. Cette remorque est liée en A au crochet d attelage de la voiture qui le tracte. L ensemble {voiture + remorque} roule sans glisser en ligne droite, à la vitesse constante V 10 km/h (vers l avant). On suppose le contact ponctuel entre les roues et le sol. On souhaite déterminer la puissance nécessaire pour tracter la remorque. Sur le schéma suivant, on précise les dimensions utiles de la remorque (en mm). On modélise les frottements de l air sur la remorque par une force de résultante Fair V V, où est une constante qui prend en compte la forme de la remorque, et dont la droite d action passe par G. On néglige la contribution des frottements de l air sur les roues. Pour les applications numériques, on prendra 1 g g 10 m.s et 0,8 kg.m. On définit le référentiel barycentrique R* comme le référentiel lié à la remorque, d origine G, en translation par rapport au sol. Le référentiel barycentrique R* est-il galiléen? Faire l inventaire des forces (extérieures) exercées sur la remorque. Combien a-t-on d inconnues à déterminer? Appliquer la loi de la quantité de mouvement à la remorque dans le référentiel R*. Appliquer la loi du moment cinétique en G à la remorque dans le référentiel R*. Appliquer la loi du moment cinétique aux roues uniquement dans le référentiel R*. Mécanique Chapitre 4 Page 4 sur 9

5 En déduire l ensemble des forces inconnues, puis la puissance P traction que doit fournir la voiture pour tracter la remorque. Faire l application numérique et commenter le résultat (on rappelle que 1 cv = 736 W ). Réponse partielle : P traction 40 cv On suppose désormais que, suite à un problème sur l essieu, les deux roues se bloquent et cessent de tourner autour de leur axe. On suppose également que le conducteur de la voiture maintient son déplacement rectiligne à vitesse constante. Comment la mise en équations précédente est-elle modifiée? Evaluer la nouvelle puissance P que doit fournir la voiture pour tracter la remorque traction (on prendra f 0,7 pour le coefficient de frottement pneu-route). Commenter. Réponse partielle : P' traction 47 cv C. Etude d un véhicule à roues motorisé : exemple de la DUCATI MONSTER 100S 1. Présentation du «monstre» # En image d abord # En chiffres ensuite Moteur Cylindrée 1198,4 cm 3 (données récupérées sur le sîte Internet Ducati France, à l adresse suivante : Bicylindre en L, 4 soupapes par cylindre, refroidissement liquide Mécanique Chapitre 4 Page 5 sur 9

6 Poids Hauteur de selle Empattement Capacité du réservoir 09 kg en ordre de marche (le poids en ordre de marche prend en considération l ensemble des liquides nécessaires au fonctionnement de la moto ainsi que le remplissage à 90% du réservoir de carburant) Réglable entre 785 et 810 mm 1511 mm (distance entre les axes des deux roues) 17,5 L. Construction d un modèle physique pour le système {moto + pilote} On modélise le système Σ = {moto + pilote} par l association de trois solides liés entre eux : la roue arrière (notée S 1 ), la roue avant (notée S ) et le reste du système (noté S 3 ). # Aspect géométrique Les roues, identiques, de rayon r et de masse m, axées sur leur centre d inertie C 1 et C, possèdent un moment d inertie J 3 4 mr par rapport à leur axe de révolution. A partir des données (photo et fiche technique) du paragraphe précédent, estimer la valeur de r, puis celle de J. On prendra m 15 kg. Par souci de simplification, le système S 3 (cadre de la moto + moteur +pilote) est assimilé à un solide de masse M. Son centre d inertie est noté G ; il est situé à une distance h au-dessus du sol, à la distance b 1 de l axe Cz 1 (l axe Cz 1 étant vertical) et à la distance b de l axe Cz. On note L C1C b1 b. Estimer la valeur de M. En expliquant votre raisonnement, situer G sur la photo ci-dessous. En déduire une estimation de h, b 1 et b. Mécanique Chapitre 4 Page 6 sur 9

7 # Aspect dynamique Les contacts ( S1 -sol) et ( S -sol) sont supposés ponctuels ; on note respectivement I 1 et I les points de contact correspondant. Les actions du sol sur S 1 et x T t e N t e statique ou dynamique). T t e N t e 1 x 1 z et S sont modélisées par les forces z. On note f le coefficient de frottement (aucune distinction ne sera faite entre le frottement z x Les liaisons S3 S1 notés respectivement et S3 S K1 t et K possèdent des moments scalaires par rapport aux axes Cy 1 et C y t, considérés comme des grandeurs algébriques. Ces moments prennent en compte les moments éventuels exercés par le moteur sur les roues, par les disques de frein sur les roues, par les frottements des arbres sur les essieux des roues On modélise les frottements de l air sur le système par une force de résultante Fair V V, où V est la vitesse de G dans le référentiel lié au sol et une constante qui prend en compte la «prise au vent» de la moto et son pilote, et dont la droite d action passe par G. On néglige la contribution des frottements de l air sur les 1 roues. Pour les applications numériques, on prendra 0, kg.m. 3. Cas d un mouvement rectiligne et uniforme (important) On considère dans cette partie que le système se déplace à vitesse constante dans le référentiel lié au sol. Les roues roulent sans glisser. On a alors transmission sur la roue arrière, et K1 t m, où m désigne le couple moteur exercé par la chaîne de K t 0. En adoptant une démarche similaire à celle mise en place lors de l étude de la remorque, déterminer les forces T 1, N 1, T et N. Proposer une application numérique. Les résultats obtenus sont-ils compatibles avec l hypothèse de roulement sans glissement des roues sur le sol. En appliquant la loi du moment cinétique à la roue arrière dans le référentiel barycentrique du système, établir une relation entre T 1 et m. Conclure quant au rôle des frottements dans ce mouvement. Mécanique Chapitre 4 Page 7 sur 9

8 Appliquer le théorème de l énergie cinétique au système dans le référentiel barycentrique. Commenter la relation obtenue. 4. Physique du wheeling et du stoppie Dans le cadre de l étude précédente, est-il possible d observer un décollement de la roue avant (également appelé «wheeling»)? On s intéresse désormais à la phase de démarrage de la moto. On suppose que les deux roues roulent toujours sans glisser et on a encore K1 t m et K t. 0 Pourquoi est-il possible de négliger l effet des frottements de l air sur le système lors de cette étude? Appliquer alors la loi de la quantité de mouvement au système complet dans le référentiel lié au sol. Le référentiel barycentrique R* du système est-il galiléen? On souhaite appliquer la loi du moment cinétique à la roue avant ( S ) dans R*. Justifier qualitativement que le moment de la force d inertie d entraînement subie par la roue est nul par rapport à l axe C y. En déduire une relation entre T t et l accélération a t t dv du système. dt On admet que la loi du moment cinétique appliquée au système complet dans le référentiel R* donne 3 dv mr t h T t T t b N t b N t dt numérique, de l accélération minimale pour laquelle la moto part en wheeling En déduire l expression, puis la valeur Mécanique Chapitre 4 Page 8 sur 9

9 En quoi ce modèle permet-il également d expliquer que la roue arrière de la moto puisse décoller lors d un freinage brusque (on parle alors de «stoppie»)? 5. Dosage des freins pour un freinage sûr L objectif est de parvenir à stopper la moto sans bloquer la rotation des roues, ni décoller la roue arrière. Pour cela, on applique aux deux roues un freinage se traduisant par des moments constants K 1 et K. Préciser le signe de K 1 et K. Dans un diagramme K1, K, quel est donc le quadrant utile pour un freinage souple? Pour simplifier la mise en équations du problème, on néglige les frottements de l air ainsi que la masse des roues devant la masse du reste du système. On obtient alors : K1 T1 r T K r b h K K N1 Mg L L r 1 N b h K K Mg L L r 1 1 Etablir trois inégalités portant sur K 1 et K. Représenter, dans le plan K1, K, la zone correspondant à un freinage souple. Déterminer les efforts de freinage sur les roues avant et arrière qui assurent une efficacité maximale du freinage avec les conditions de souplesse décrites précédemment. Calculer les valeurs de K 1 et K correspondantes, ainsi que la décélération obtenue. Les moniteurs de moto recommandent généralement de doser le freinage de sorte que la roue avant assure 60% du freinage total (et la roue arrière les 40% restants). Commenter. Mécanique Chapitre 4 Page 9 sur 9

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