Statistique TDn 3. Exercice 2 On étudie une population dans laquelle les tirages sont supposés indépendants et de loi normale

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1 Statistique TDn 3 Eercice Onveuttesterl hypothèseh 0 qu unepiècedemonnaieestparfaitecontrel hypothèseh qu elle esttruquée. Onjette00foiscettepièceetonélaborelarèglededécisionsuivante: On rejette H 0 si le nombre de faces obtenu lors des 00 lancers est inférieur strictement à 48 ou supérieur strictement à. ) Calculer le risque de première espèce α. )Calculerunevaleurapprochéedecerisqueenutilisantlaconvergenceenloidelaloibinomiale vers la loi normale(la loi normale étant une variable aléatoire absolument continue, on prendra soin de rectifier l intervalle48; par47.,.). 3)Onréalisel epérienceconsistantàjeter00foislapièceetonobserve47foisface. Queconclure aveccetest? Quepensezvousdecettedécision? Eercice On étudie une population dans laquelle les tirages sont supposés indépendants et de loi normale N(m,). Onsouhaitetesterl hypothèseh 0 :m=0contrel hypothèseh :m=aumoyend un échantillondetaillen =,etprendreunedécisionavecunrisquedepremièreespèceα=%. )OnconsidèreletestT définiparlarèglededécisionsuivante: RejetdeH 0 si + >k a)déterminerlaloidex +X sousl hypothèseh 0. b)endéduirelavaleurdeksachantqueα=%. c) Déterminer la région critique du test et représenter la graphiquement dans le plan. d)calculerlerisquedesecondeespèceetlapuissancedutest. )OnconsidèreunsecondtestT définiparlarèglededécision: RejetdeH 0 si inf(, )>l a)déterminerlavaleurdelpourα=% b) déterminer la région critique du test et représenter la graphiquement dans le plan. c)calculerlapuissancedutestt. Eercice 3 Un radar actif de surveillance aérienne envoie un train d impulsions(00 impulsions par seconde)àl aided uneantenneenrotationuniforme(toursparminute)avecunelargeurdelobe principalde,. )Quelestletempspendantlequel lelobeprincipaldel antenneattaquelaciblependantunseul balayage et le nombre d impulsions envoyées pendant ce temps noté N? ) A l aide d un prétraitement adéquat, ces N impulsions réflèchies lors de la présence de la cible fournissentunvecteurd observationàn composantesz=(z,...,z N )avec z i = A+b i enprésencedecible(hypothèseh ) z i = b i enl absencedecible(hypothèseh 0 )

2 oùlesb i sontdesvagaussiennescentréesindépendantesdevarianceσ modélisantlesdiversbruits. On désire réaliser la détection d une cible à l aide du détecteur de Neyman-Pearson. Epliciter ce détecteur et déterminer la puissance du test. Pour l application numérique, on prendra A =, σ = 0.6,N =0,α=0 0 etonadmettraquepour>,ona: Q()= π e < e etque e donneunebonneapproimationdel ordredegrandeurdeq(). Remarque La forte valeur de β peut paraître disproportionnée par rapport à celle de la probabilité de fausse alarme. Cependant, il ne faut pas oublier que l opération de détection s effectue à chaque balayage(chaque tour de l antenne i.e. toutes les 4s) et que celle-ci s accompagne d une estimation des paramètres de la cible permettant de la poursuivre(d où l importance donnée à la minimisation des fausses détections, celles-ci pouvant rapidement saturer les algorithmes de poursuite). Eercice 4 Ondisposedenobservations,..., n issuesd unéchantillon(x,...,x n )deloinormalen(0,σ ). )Déterminersuivantlesvaleursdeσ 0 etdeσ, lastatistiquet(x,...,x n )etlarégioncritique du test de Neyman-Pearson associé au problème suivant: { H0 :σ = σ 0 H :σ = σ Commenterlaformedelastatistiquedetest. Danslasuitedeceproblème,onsupposeraσ >σ 0. ) Déterminer la valeur du risque de seconde espèce β lorsque α=0.0,σ 0 =,σ =>0etn=60. 3) Déterminer les courbes COR(caractéristiques opérationnelles du récepteur) associées au problème précédent. On posera Φ n ()= + f n (u)du où f n (u) est la densité d une loi du χ n et on notera Φ n () son inverse. Comment la puissance dutestdeneymanpearsondépend-elledeσ 0 etdeσ? Représenterlaformeapproimativedes courbes COR pour différentes valeurs de ces paramètres. 4) Quelle est la loi asymptotique de la statistique T(X,...,X n ) sous les deu hypothèses H 0 et H? En utilisant cette loi asymptotique, déterminer la valeur du risque de seconde espèce β lorsqueα=0.0,σ 0=,σ =>0etn=00.

3 Complément de TD ) Eercice α = P 48 P 49 P 0 P k = ( ) 00 C k 00 AN:α )SiN f désignelenombredefaces,ona: α = P 0.40 N f = F 0, (0.40)+F 0, ( 0.40) ) En rectifiant l intervalle48; par47.,., on obtient: α = P 0.0 N f 0 et donc on voit que l approimation est meilleure. 0.0 = F 0, (0.0)+F 0, ( 0.0) Eercice )OnconsidèreletestT définiparlarèglededécisionsuivante: RejetdeH 0 si + >k a)laloidex +X sousl hypothèseh 0 estuneloinormalen(0,) b) α = 0.0=PRejeterH 0 H 0 vraie = PX +X >k X +X N(0,) X +X = P > k X +X N(0,) Les tables donnent k.64d oùk.3 c)larégioncritiquedutestestledemiplansupérieurdélimitéparladroited équation d)lerisquedesecondeespèceest + =k β = PRejeterH H vraie = PX +X k X +X N(,) X +X = P > k X +X N(0,) 3

4 Les tables donnent d où la puissance du test β 0.9 π= β 0.4 )OnconsidèreunsecondtestT définiparlarèglededécision: d où a) Les tables donnent RejetdeH 0 si inf(, )>l α = 0.0=PRejeterH 0 H 0 vraie = Pinf(X,X )>l µ=0 = PX >letx >l µ=0 = PX >l µ=0px >l µ=0 = PX >l X N(0,)PX >l X N(0,) ( ) = ep u du l π l ( ) ep u du= 0.0 π l 0.76 b)larégioncritiquedutestestdéfiniepar >let >l. c)lerisquedesecondeespèceest d où la puissance du test β = PRejeterH H vraie = PRejeterH 0 H vraie = PX >letx >l µ= ( ) = ep u du l π π = β = ( ) ep u du π 4

5 Eercice 3 )Lorsd untour, l antenne est en visàvisavec lacible pendant, d impulsionsréflèchiespendantcettepériodeestn =00 =0. 60 )LedétecteurdeNeyman-Pearsonpourunetellesituationaétévuencours: RejetdeH 0 siz n = n n Z i >K α i= = 60 s. Le nombre oùk α estunseuildépendantdelaprobabilitédefaussealarmeα. LadéterminationdeK α sefait à l aide de l équation α=q()= e u du π avec= Kα n σ. Onmontrequepour>,ona Q()= π e < e etque e donneunebonneapproimationdel ordredegrandeurdeq(). Onendéduitalors K α n σ ln(α) soit ln(α) K α σ n UneapplicationnumériquedonneK α Vousvérifierezalorsaisémentqueβ 0.0. Eercice 4 voir correction eamen de l année 00-00