b) Exprimer B à l aide des événements A n et en déduire la probabilité de B Exercice 1.4. Inégalité de Bonferroni.

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1 MP 205/6 Feuille d exercices - Probabilités généralités). Univers, généralités Exercice.. Langage des probabilités. Soit Ω, A) un espace probabilisable. Soit A n ) n N une famille d événements et A, B, C des événements. À l aide des opérations ensemblistes :, et complémentaire, écrire les événements suivants :. l un au moins des événements A, B, C est réalisé. 2. un et un seul des événements A, B, C est réalisé. 3. Tous les événements A n ) n N se réalisent. 4. B n = pour tout k n, A k est réalisé. Montrer que B n ) n est une suite monotone d événements a. 5. C n = il existe k n tel que A k se réalise. Montrer que C n ) n est une suite monotone d événements. 6. Tous les événements A n se réalisent à partir d un certain rang. 7. Un nombre fini d événements A n se réalisent. 8. Une infinité d événements A n se réalisent. Exercice.2. [Prélever un échantillon] On dispose d une urne contenant N boules de k couleurs : N de couleur c, N 2 de couleur c 2,..., N k de couleur c k et N + +N k = N. On tire n boules et on cherche la probabilité p d obtenir exactement n boules de couleur c, n 2 boules de couleur c 2,..., n k boules de couleur c k avec n = n + + n k. Déterminer p dans le cas d un tirage simultané, dans le cas de tirages successifs avec remise, dans le cas de tirages successifs sans remise. Comparer avec le premier cas. Exercice.3. Propriétés d une probabilité P. Soit Ω, A, P ) un espace probabilisé et A n ) n N est une suite d événements.. Si pour tout n, A n est négligeable, montrer que n N A n est négligeable. 2. Si pour tout n, A n est presque sûr, montrer que n N A n est presque sûr. a. On dit qu une suite d événements B n ) n N est croissante si pour tout n, B n B n+. On dit que la suite est décroissante si pour tout n, B n+ B n. On dit que la suite est monotone si elle est croissante ou décroissante. 3. On effectue une suite infinie de lancers de pile ou face avec une pièce équilibrée. On introduit les événements F n : le lancer n n donne Face, A m,n : on ne tire que des faces entre les lancers n + et m, A n : on ne tire que des faces à partir du n ième lancer et B l événement la suite infinie de lancers ne contient qu un nombre fini de pile. a) A l aide d opérations ensemblistes écrire l événement : A n,m pour n < m à l aide des événements F k. Donner P A n,m ) et en déduire P A n ). b) Exprimer B à l aide des événements A n et en déduire la probabilité de B Exercice.4. Inégalité de Bonferroni.. Soit A...A n ) une famille finie d événements. Montrer que P n A k ) n P A k) n m P A n A m ) b 2. Application : soit A i ) i I une famille dénombrable d événements tels que pour tout i j l événement A i A j est négligeable. Démontrer que i P A i) = P i A i ) Exercice.5. Inégalités de Fatou Soit A n ) n N une suite d événements d un même espace probabilisé. On note A = A n et B = A n. p N n p p N n p. Justifier que A et B sont des événements. À quelle condition simple sur la suite d événements A n ) n N l événement A sera-t-il réalisé? Même question pour B. 2. Montrer les inégalités P A) lim inf P A n) c et lim sup P A n ) P B) p + n p p + Exercice.6. Lemme de Borel-Cantelli loi du 0 ou ). Soit A n ) n N une suite d événements et B = A k ) B correspond à n 0 l événement une infinité d événements A n se réalisent ).. On suppose que la série P A n ) est convergente. Montrer que l événement B est de probabilité nulle. d lemme de Borel Cantelli faible) 2. On suppose que la famille A n ) n est indépendante et que la série P A n ) est divergente. On va montrer que P B) =. a) Montrer que pour tout x 0, x e x. b) On pose pour n N, C n = A k. Montrer que P C n ) = 0 pour tout n. e k=n c) En déduire que B est un événement presque sûr. lemme de Borel Cantelli fort) f b. récurrence c. En notant B p = A n montrer que la suite B p ) est une suite monotone d événements préciser n p la monotonie) et en déduire P A) = lim p P B p ) ; constater ensuite que pour k p, on a B p A k passer aux proba puis à l inf, puis à la limite. Même démarche pour minorer P B). d. Utiliser, pour tout n, B k n A k). e. Écrire, pour p n, C p k=n A k et utiliser l indépendance des A k, puis l inégalité précédente. f. Montrer que B est presque impossible, B = n 0 C n) k n n p

2 3. Justifier que dans une suite infinie de lancers de pièces lancers indépendants), il y aura presque sûrement une infinité de piles, mais aussi il y aura presque sûrement une infinité de fois des séries de 0 piles à la suite. g Justifier aussi qu un singe éternel) tapant indéfiniment au hasard sur un clavier, tapera presque sûrement les œuvres complètes de Shakespeare sans erreur et ce même une infinité de fois). 2 Pour débuter Exercice 2.. Une urne contient n boules numérotées de à n. On sort les boules une à une de l urne. Quelle est la probabilité que les boules numérotées, 2 et 3 sortent successivement et dans cet ordre? Quelle est la probabilité que les boules numérotées, 2 et 3 sortent dans cet ordre mais pas forcément successivement? Exercice 2.2. n urnes U, U 2,, U n contiennent chacune trois boules. Toutes les boules sont blanches, sauf une qui est noire. On ne sait pas dans quelle urne se trouve la boule noire. On tire sans remise deux boules de U.. Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient blanches? 2. Sachant que les deux boules tirées sont blanches : a) quelle est la probabilité que U contienne la boule noire? b) quelle est la probabilité que U 2 contienne la boule noire? Exercice 2.3. On dispose de N + urnes U 0, U,, U N. L urne U k contient k boules blanches et N k boules noires. On tire une boule de l une de ces urnes choisie au hasard.. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche? 2. Sachant que la boule tirée est blanche, quelle est la probabilité de l avoir tirée de l urne U N? Exercice 2.4. On dispose de deux urnes : l urne U contient boule blanche et 4 boules noires, l urne V contient 3 boules blanches et 2 boules noires. Dans l une de ces urnes choisie au hasard, on effectue une série de n n 2) tirages d une boule avec remise tous les tirages ayant lieu dans la même urne). Soit pour i [[, n]], A i l événement la i ème boule tirée est blanche. g. Introduire pour tout n : A n l événement les lancers n, n +,, n + 9 donnent des piles et utiliser le lemme de Borel Cantelli à la suite A, A, A 2, ).. Calculer P A ) et P A 2 ). A et A 2 sont-ils indépendants? 2. Calculer P A A 2 A p ) pour p [[, n]]. 3. Sachant que les n ) premiers tirages donnent chacun une boule blanche, quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche supplémentaire au tirage suivant? 4. Sachant que les n boules tirées sont blanches, quelle est la probabilité de les avoir tiré dans U? Exercice 2.5. Problème des anniversaires et des coïncidences. Une urne contient M jetons numérotés de à M. On tire successivement n jetons en remettant chaque fois le jeton tiré et en brassant bien. Montrer que la probabilité qu aucun jeton ne soit tiré plus d une fois vaut p = M ) 2 M ) n M ). 2. Dans une classe de n étudiants quelle est la probabilité p n qu au moins deux étudiants aient leur anniversaire le même jour on suppose qu aucun n est né un 29 février et évidemment que n 365). Application numérique : écrire un programme renvoyant le nombre d élèves à partir duquel on a p n /2 a.n. p et p Exercice 2.6. On considère une suite infinies lancers indépendants d une pièce pour laquelle la probabilité d obtenir Pile est p et la probabilité d obtenir Face est q = p. p ]0, [). On notera P k l événement : le k ème lancer donne Pile.. On note pour i N T i l événement le premier Pile est apparu au i ème lancer et T 0 l événement Pile n apparaît jamais. Exprimer T i à l aide des événements P k. En déduire les probabilités des événements T i pour i N. 2. Soit, pour n 2, l événement E n = la séquence PF apparaît pour la première fois aux lancers n et n. Déterminer P E n ) 3. On introduit les événements C = la première séquence PP apparaît avant la première séquence FF et pour n 2 C n = la première séquence PP apparaît pour la première fois aux lancers n et n, et il n y a pas eu avant de séquence FF. a) Représenter la situation à l aide d un arbre de probabilité. b) Un exemple : décomposer C 4 en événements simples et déterminer P C 4 ). b) Calculer P C 2n ) et P C 2n+ ). En déduire P C). 3 Crible Exercice 3.. Fonctions indicatrices et formule du crible 2

3 Étant donné un ensemble Ω et{ A une partie de Ω, on note χ A la fonction indicatrice si x A de A, i.e. χ A : Ω {0, }, x 0 si x A. Vérifier les propriétés suivantes où A, B, A i pour i =..n, désignent des parties de Ω) : a) A B χ A χ B ; b) χ Ā = χ A ; c) χ A B = χ A.χ B ; d) exprimer aussi χ A B à l aide de χ A, χ B et de χ A B ; 2. Déduire des propriétés b et c que : χ A A 2 A n = n i= χ A i ). ; En déduire en développant que n χ A A 2 A n = χ Ai χ Ai2 + + i <i 2 < <i k n i= χ Ai i <i 2 n χ Ai χ Ai2 χ Aik + + ) n χ A χ A2 χ An 3. On suppose désormais que Ω est un ensemble fini. En utilisant que carda) = x Ω χ Ax), démontrer que carda A 2 A n ) = n k= 4. En utilisant que P A) = Eχ A ), montrer que P A A 2 A n ) = n k= i <i 2 < <i k n i <i 2< <i k n card A i A i2 A ik ) P A i A i2 A ik ) Exercice 3.2. Application de la formule du crible n livres sont rangés sur le rayon d une bibliothèque. On les enlève pour épousseter l étagère puis on les replace au hasard. Quelle est la probabilité. que le ième livre retrouve sa place? 2. que le ième livre et le jème livre retrouvent leur place? 3. que chacun retrouve sa place? 4. qu aucun ne retrouve sa place? Donner une valeur approchée de ce nombre pour n grand autrement dit, déterminer la limite quand n tend vers l infini de cette probabilité). Exercice 3.3. [Des livres sur une étagère et du dénombrement] Dans une bibliothèque, n livres sont exposés sur une étagère rectiligne et répartis au hasard. Parmi ces n livres k sont du même auteur A, les autres étant d auteurs tous différents. Calculer la probabilité que les k livres de A se retrouvent côte à côte. 4 Conditionnement et formules Exercice 4.. On cherche un parapluie qui, avec la probabilité p, 0 p ) se 7 trouve dans l un quelconque des 7 étages d un immeuble. On a exploré en vain les 6 premiers étages. Quelle est la probabilité α p que le parapluie se trouve dans l immeuble? Interpréter la valeur α /2. Exercice 4.2. Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que : 2% des personnes contrôlées sont en état d ébriété ; 95 fois sur 00 l alcootest a donné un résultat positif alors que la personne était en état d ébriété ; 98 fois sur 00 l alcootest a donné un résultat négatif alors que la personne n était pas en état d ébriété.. On essaie l appareil sur une personne et l on constate que le résultat est positif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en état d ébriété? 2. On essaie l appareil sur une personne et l on constate que le résultat est négatif. Quelle est la probabilité que cette personne soit en fait en état d ébriété? 3. Déterminer la probabilité que le résultat donné par l appareil soit faux. Exercice 4.3. On suppose que p est un réel fixé de [0, ] qui représente la probabilité qu un billet de 00 euros soit faux. On dispose d un détecteur de faux billets imparfait qui allume une lumière qui est soit bleue lorsqu il considère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu il considère que le billet testé est faux. On note F : Le billet testé est faux, et B : La lumière qui s allume est bleue. On note P B F ) = α et P B F ) = β, et on suppose dans tout l exercice que α + β >.. Montrer que : P B) = β p α+β En déduire que α p β. 2. Montrer que la probabilité que le détecteur valide un faux billet est : α)β p) pα+β ). Exercice 4.4. Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. On tire n boules en remettant la boule après tirage si elle est rouge et en ne la remettant pas si elle est blanche. Calculer la probabilité d obtenir exactement une boule blanche. On introduira les événements R k resp. B k ) la boule obtenue au tirage n k est rouge resp. blanche). Exercice 4.5. Un pion évolue sur 3 cases A, B, C. À l instant t = 0, il est en A. Puis, il se déplace de façon aléatoire sur les cases en respectant les règles suivantes pour n N) : s il est en A ou B au temps t = n, il va au temps t = n + sur l une des deux autres cases avec équiprobabilité. 3

4 s il est en C au temps t = n, il y reste. La case C est dite absorbante). On note pour n N) A n resp. B n et C n ) l événement À l instant t = n, le pion est sur la case A resp. sur les cases B et C). On pose enfin a n = P A n ), b n = P B n ) et c n = P C n ). a) Trouver une relation de récurrence entre a n, b n, c n et a n+, b n+, c n+. b) Calculer c n puis lim N + c N et interpréter le résultat. Exercice 4.6. On considère n menteurs I,..., I n. I reçoit une information sous forme de OUI ou NON et la transmet à I 2 qui la transmet à I 3 ainsi de suite jusqu à I n qui l annonce au monde. Chacun d eux transmet ce qu il a entendu avec la probabilité p 0 < p < ) et son contraire avec probabilité q = p et les réponses des n personnes sont indépendantes. On note A i l événement I i transmet l information initiale et p i = P A i ). Que valent, pour i [[2, n]], P A i A i ) et P A i A i )? déterminer une relation de récurrence entre p i et p i. En déduire la probabilité que l information soit fidèlement transmise. Que se passe t-il si n tend vers l infini? Exercice 4.7. [Urne de Polya] Une urne contient initialement r boules rouges et b boules blanches. On effectue des tirages successifs d une boule, en remettant après chaque tirage la boule tirée dans l urne avec en plus c > 0 boules de la même couleur. On note R n l événement la n ième boule tirée est rouge. On note P r,b la probabilité sur l univers correspondant à l expérience.. Quelle est la probabilité que la première boule tirée soit rouge sachant que la deuxième est blanche? 2. Comparer P r,b R n R ) et P r+c,b R n ). Exprimer de façon similaire P r,b R n R ). Démontrer que pour tout n, P r,b R n ) = r indication : récurrence sur n). r + b Exercice 4.8. [Loi de succession de Laplace] On dispose de N + urnes numérotées de 0 à N. L urne numéro k contient k boules rouges et N k boules blanches. On choisit une urne au hasard. Sans connaître son numéro on tire successivement n + boules avec remise. On introduit les événements A n : les n premières boules tirées sont rouges B n+ : la boule n n + est rouge U i : le tirage s effectue dans l urne U i. Calculer la probabilité de A n. 2. Calculer la probabilité que le n + ) ème tirage donne encore une boule rouge sachant qu au cours des n premiers tirages seules des boules rouges ont été tirées. 3. a) On note pour N et p entiers positifs, S N,p = N k= kp. Démontrer que pour p N fixé, on a S N,p N p+ quand N +. p + b) Calculer la limite de la probabilité calculée à la question 2 quand N tend vers l infini. Exercice 4.9. On effectue une suite de lancers d une pièce équilibrée. Pour tout k N, on désigne par p k la probabilité qu au cours des k premiers lancers, le résultat Pile n ait pas été obtenu trois fois de suite.. Calculer p, p 2 et p 3. Dans la suite, on pose p 0 =. 2. On note F k resp. P k ) les événements Face resp. Pile) au lancer k et S k : au rang k on n a toujours pas obtenu 3 Piles consécutifs. Montrer que p k = P F S k ), p k 2 = P P F 2 S k ). 3. Montrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 3, on a : p k = 2 p k + 4 p k p k 3. Indication : on pourra justifier que si k 3 on a : S k F P F 2 ) P P 2 F 3 ) et conditionner par rapport aux résultats des premiers tirages. 4. Montrer que P = 8X 3 4X 2 2X a une seule racine réelle dans ]0, [ et deux racines complexes conjuguées : z, z. Montrer que f z ) 0 et en déduire z <. 5. En déduire la convergence et la limite de la suite p k ) k N. Que vaut P k 3 S k)? En déduire qu observer une suite de trois Piles dans une série infinie de lancers est un événement presque-sûr. Exercice 4.0. Avec l aide d un arbre de probabilité. Trois joueurs de tennis A, B et C s affrontent au cours d une rencontre organisée de la façon suivante : deux joueurs disputent un set. Le joueur restant sur la touche affrontera le gagnant au prochain set. La rencontre s achève dès qu un joueur remporte successivement deux sets : il est alors déclaré vainqueur de la rencontre. Les hypothèses sont les suivantes : A, B, C sont de force égale. A et B jouent le premier set. Quelles sont les probabilités que A gagne la rencontre, B gagne la rencontre, C gagne la rencontre? Exercice 4.. Tournoi.Une infinité de joueurs, A, A 2,..., A n... participe à un tournoi de pile ou face équilibré. A affronte A 2 puis le vainqueur A 3 etc...le jeu s arrête lorsqu un joueur a gagné 3 parties successives. Ce joueur est alors déclaré vainqueur. Soit q n la probabilité que le joueur A n participe et p n celle qu il gagne. a) Quelle est la relation entre p n et q n? h b) Montrer que la suite q n ) vérifie à partir du rang 5 la recurrence d ordre 2, q n = 2 q n + 4 q i n 2 puis calculer q n indication : on commencera par démontrer que le premier adversaire de A n est forcément l un des deux précédents c) Calculer n p n comment interpréter ce résultat? h. p n = /8q n i. Si A n entre en jeu, son adversaire est le joueur n ou n 2 car sinon cela implique au moins 3 victoires consécutives auparavant. Si E n est l événement le joueur n joue, on a E n = [E n n ) ième jeu gagné par le joueur n )] [E n 2 n 2) et n ) ième jeux gagnés par le joueur n 2)] passer aux probabilités composées. 4

5 Exercice 4.2. La ruine du joueur Un joueur effectue une série de paris indépendants). À chaque pari, il gagne euro avec la probabilité p p ]0, [) et perd euro avec la probabilité q := p. Le jeu prend fin quand le joueur est ruiné ou quand il a accumulé N euros N fixé, N 3). On note u k la probabilité qu a le joueur d être ruiné quand il possède k euros au départ. ) On suppose p 2. a) Calculer u 0 et u N. b) Montrer que u k = pu k+ + p)u k. j c) En déduire que u k = q/p)k q/p) N q/p) N. k d) Que se passe t-il quand N +? l Commentez. e) Montrer que le jeu s arrête presque sûrement. 2) Étudier le cas p = 2. 5 Indépendance Exercice 5.. On considère l ensemble des familles à n 2 enfants. On note A l événement la famille est constituée d enfants des deux sexes et B l événement la famille est constituée de garçons et d au plus une fille. Montrer que P A) = 2 et P B) = n+ n 2. Que vaut P A B)? En déduire que n A et B ne sont pas indépendants sauf dans le cas n = 3. Exercice 5.3. [Fonction d Euler]. On choisit au hasard un des nombres entiers, 2,..., n tous les choix étant équiprobables. Soit p un entier naturel non nul et n. Soit A p l événement le nombre choisi est divisible par p. Calculer P A p ) lorsque p divise n. 2. Montrer que si p, p 2,..., p k sont des diviseurs premiers de n distincts, les événements A pi, A pi2,..., A pik sont indépendants. 3. On appelle fonction indicatrice d Euler la fonction ϕ définie sur N dont la valeur ϕn) est égale au nombre d entiers de [[, n]] premiers avec n. Montrer que ϕn) = n ) p p premier,p n Exercice 5.4. Montrer que si A et B sont deux événements indépendants tels que A implique B alors on a : P B) = ou P A) = 0. Montrer que si A est indépendant de lui même alors P A) = 0 ou P A) =. Exercice 5.5. On suppose que A est indépendant de B C et de B C, B est indépendant de C A et C A, et C indépendant de A B et A B. En outre on suppose que P A), P B), P C) sont strictement positives. Montrer que A, B, C) sont mutuellement indépendants. Même question en supposant seulement A est indépendant de B C et de B C, B est indépendant de C A, et C indépendant de A B. Exercice 5.2. Un livre contient quatre erreurs notées e i, i =..4. On effectue n 2 relectures, indépendantes les unes des autres. À chaque relecture, une faute non corrigée est corrigée avec la probabilité 3.. Soit i [[, 4]]. Quelle est la probabilité que la i ème faute ne soit pas corrigée à l issue des n relectures? 2. Comment faut-il choisir n, c est-à-dire combien faut-il proposer de relectures pour que la probabilité qu il ne subsiste aucune erreur dans le livre dépasse 0, 9? 3. Traiter la même question en supposant le nombre d erreurs X aléatoire et uniformément réparti sur {0,, 2, 3, 4}. 4. En réalité on ne sait pas combien de fautes contient le livre. À partir de deux lectures faites par deux correcteurs différents proposer une estimation du nombre K de fautes que contient le livre. j. On pourra utiliser le résultat du premier pari. k. On remarquera que les racines de l équation caractéristique associée à la suite récurrente linéaire admet pour racines et q p. l. Distinguer deux cas : p < /2 et p > /2. 5

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