(i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,...,7

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1 Chapitre 1 Modelisation 11 Exemples de Problèmes 111 La Cafétaria Cafétaria ouverte toute la semaine Statistique sur le personnel requis : Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Nombre Un employé travaille 5 jour d affilée puis a deux jours de repos Problème : nombre minimal d employé requis Quelles inconnues : x i le nombre d employés le jour i Pas pratique : comment définir le nombre d employés? x i le nombre d employés qui commencent le jour i Modèle : Σ i=7 i=1 x i est le nombre d employés à minimiser : fonction objectif Les contraintes : (i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,,7 (ii) Les x i sont des entiers (iii) Pour chaque jour le nombre de travailleur est supérieur ou égal à celui requis Le jour i, le nombre de travailleurs est (en comptant modulo 7) : x i + x i x i 4 1

2 2 CHAPITRE 1 MODELISATION D où : x 1 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 14 x 2 + x 1 + x 7 + x 6 + x 5 13 x 3 + x 2 + x 1 + x 7 + x 6 15 x 4 + x 3 + x 2 + x 1 + x 7 16 x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 1 19 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 18 x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 11 Ce problème est un problème de programmation linéaire en nombre entiers Le problème peut se mettre sous la forme : Résolution avec le logiciel Eclipse [eclipse 2]: {X1+X4+X5+X6+X7 >= 14, X1+X2+X5+X6+X7 >= 13, X1+X2+X3+X6+X7 >= 15, X1+X2+X3+X4+X7 >= 16, X1+X2+X3+X4+X5 >= 19, X6+X2+X3+X4+X5 >= 18, X6+X7+X3+X4+X5 >= 11, X1>=0, X2>=0, X3>=0, X4>=0, X5>=0, X6>=0, X7>=0, Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7}, minimize(z) X1 = 4 X2 = X2 X3 = X3 X4 = X4 X5 = X5 X6 = 3 X7 = 0 Z = 22 Max z = cx Ax b x 0

3 11 EXEMPLES DE PROBLÈMES 3 % Linear constraints: { X5 = 7 - X4, X3 = 8 - X2, X4 =< 7, X2 =< 7, X4 - X2 =< 1, X4 >= 4 }Yes (001s cpu) 112 Problème de jeu Ciseau/Pierre/Papier Jeu à somme nulle : Gain +1 si gagnant, perte -1 si perdu, 0 si égalité Tableau des gains/pertes Question : Trouver la strategie optimale au jeu (en supposant que l adversaire joue du mieux possible) Si on considère une suite de parties, on cherche une stratégie sans mémoire : le coup joué ne dépend pas de l historique du jeu Principe : Joueur 1 joue Ciseau avec la probabilité x 1, Pierre avec x 2 et Papier avec x 3 Contraintes : 0 x i 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Son espérance de gain est : Si joueur 2 joue Ciseau : x 2 x 3 Si joueur 2 joue Pierre : x 3 x 1 Si joueur 2 joue Papier : x 1 x 2 Hypothèse : Joueur 2 joue du mieux possible donc le gain réalisé par 1 est minimal ie g = min(x 2 x 3, x 3 x 1, x 1 x 2 ) But : Maximiser g Apparemment le problème n est pas un problème de programmation linéaire à cause du min dans la définition de g Mais on peut s y ramener : Max(g) g x 2 x 3 g x 3 x 1 g x 2 x 1 g 0 (avec g une variable) Remarque : la solution est x 1 = x 2 = x 3 = 1/3 avec g = 0

4 4 CHAPITRE 1 MODELISATION 113 Placement Financier Placer 1000 euros sur 6 ans de la manière optimale sachant que : la caisse d épargne rapporte 5% par an et immobilise le capital un an, l obligation 1 rapporte 12% à l échéance si on le choisit la premieère année sinon elle rapporte 11%, immobilise le capital deux ans, l obligation 2 rapporte 18% à l échéance, immobilise le capital trois ans, l obligation 3 rapporte 24% à l échéance L obligation 2 est disponible tous les ans sauf l année 3, l obligation 2 n est pas disponible l année 1, et l obligation 3 n est disponible que l année 1 Ecrire le problème de programmation linéaire qui correspond au meilleur placement possible Idée : en début d année i on place x i à la caisse d épargne, y i en obligation i, z i en obligation z et w i en obligation w A chaque année on écrit quelle somme est disponible (tout ce qui arrive à échéance avec les intérêts et on la place dans ce qui est disponible On maximise la somme obtenue à la fin d année 6 12 Définition de la PL 121 Formes canonique et standard c = (c 1,,c n ), x = x 1 x n, b = b 1 b m, A = (a i,j ) 1 i m 1 j n avec c i, b j, a i,j des réels Forme canonique Max z = cx Ax b x 0 Si les variables doivent prendre des valeurs entières, on a un problème de programmation linéaire en nombres entiers (plus difficile) Forme standard Max z = cx Ax = b x 0 IMPORTANT : on peut transformer la forme canonique en forme standard et vice-versa On peut aussi transformer un max en min par max{x }) = min{ x } De même

5 12 DÉFINITION DE LA PL 5 si on a un problème ou il n y a pas de contraintes x 0 mais x peut être quelconque, on peut se ramener à un problème avec des variables 0 en posant x = x 1 x 2 avec x 1, x 2 0 Une solution admissible d un problème de PL (en forme standard ou canonique) est un vecteur x qui satisfait les contraintes 122 Résolution Graphique Fabriquant d ordinateurs : portable ou PC le portable rapporte 750 euros, le PC 1000 euros Le PC comme le portable utilise un microprocesseur Le PC a deux unités de mémoire de 256Mb et le portable en a une Il faut 4 minutes d assemblage pour un portable et 3 minutes pour un PC On dispose de 25 milliers minutes d assemblage de 15 milliers de mémoires et de 10 milliers de processeurs x 1, x 2 nombre de millier de portables, PC, d òu le problème de PL : Max z = 750x x 2 x 1 + x 2 10 x 1 + 2x x 1 + 3x 2 25 x 1, x 2 0 Les contraintes sont délimités par les droites x 1 + x 2 = 10, x 1 + 2x 2 = 15, 4x 1 + 3x 2 = 25, x i = 0 et définissent un polytope Le maximum peut se calculer en faisant glisser la droite d équation 0, 75x 1 + x 2 = K en augmentant la valeur de K (qui correspond au profit obtenu) On trouve que le maximum est atteint par le sommet P(1,7) qui donne un profit maximum de 7750 Résolution avec Eclipse [eclipse 3]: { Z=750*X1+1000*X2, X1+X2=<10, X1+2*X2=<15, 4*X1+3*X2=<25, X1>=0, X2>=0 }, maximize(z) X1 = 1 X2 = 7 Z = 7750 Yes (000s cpu)

6 6 CHAPITRE 1 MODELISATION 13 Géométrie de la PL 131 Espaces Affines et Vectoriels Un vecteur de R n est un n-uplet de réels Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble stable par addition et multiplication par un scalaire Une base d un sous-espace vectoriel V est un ensemble finis de vecteur e 1,,e p tel que (i) tout vecteur v V est combinaison linéaire des e i (ii) une combinaison lineaire des e i est nulle ssi les coefficients sont nuls Un espace affine est l ensemble des points M=N+S avec N un point particulier (un element de R n et S un sous-espace vectoriel La dimension de l espace affine est celle de l espace vectoriel S 132 Polyhedres et Polytopes Un hyperplan H est un espace affine de dimension n 1 et se décrit par une équation a 1 x a n x n = K Un demi-espace fermé délimité par H est défini par a 1 x a n x n K ou a 1 x a n x n K Definition 1 Un polyhèdre est une intersection de demi-espaces fermés Definition 2 Un polytope est un polyhèdre borné Etant donnés un polyhèdre P, un hyperplan H et HS un demi-espace fermé correspondant à H, si HS P H, alors P HS est une face de P Une face de dimension 0 (donc un point) est appelé un sommet de P Une face de dimension 1 est appelée une arête de P Une face de dimension n 1 est appelée une facette de P On admettra la proposition suivante : Proposition 1 Un polytope P n a qu un nombre fini de sommets et tout point M de P peut s ecrire comme combinaison linéaire convexe des sommets M = Σ Si sommetsλ i S i (avec Σλ i = 1 et λ i 0 pour tout i

7 14 OPTIMISATION DE FONCTION CONVEXES SUR UN POLYTOPE 7 14 Optimisation de fonction convexes sur un polytope Unconvexe C est un sous-ensemble de points tels que pour tout couple de points M, M de C, le segment MM est inclus dans C (le segment est l ensemble des points de la forme λm + (1 λ)m avec 1 λ 0) Exercice : montrer que l intersection de deux convexes est un convexe puis qu un polyhèdre est un convexe Une fonction de f : R n R est convexe ssi pour tous points M, M on a f(λm + (1 λ)m ) λf(m) + (1 λ)f(m ) Une fonction est concave si -f est convexe Une fonction linéaire est convexe et concave, la parabole x x 2 est convexe On s interesse à calculer le minimum d une fonction convexe sur un ensemble convexe, plus particulièrement sur un polytope, ce qui est identique à calculer le maximum de -f sur sur le même ensemble Proposition 2 Une fonction convexe f sur un polytope P a un maximum et celui-ci est obtenu sur un sommet Preuve : On utilise le fait que tout point du polytope est combinaison linéaire convexe de ses sommets Soit (S i ) i I l ensemble des sommets de P Alors pour tout M P M = Σ i I λ i S i avec Σ i I λ i = 1 et 1 λ i 0 pour tout i D où et donc d où f(m) = f(σ i I λ i S i ) Σ i I λ i f(s i ) f(m) (Σ i I λ i )Max{f(S i ) i I} f(m) Max{f(S i ) i I} = f(s i0 ) Comme f(s i0 ) est une valeur particulière de f sur P, on a bien que f atteint son maximum sur P ATTENTION : le maximum peut être atteint aussi sur des points qui ne sont pas des sommets Exemple : prendre un carré d écrit par x 1, x 2 0, x 1 1, x 2 1 et la fonction z = x 2 Le maximum est obtenu sur tout un segment de droite (délimité par deux sommets) Un algorithme de calcul du max serait donc d énumerer les sommets et de garder la plus grande valeur de f obtenue : malheureusement, les polytopes qui interviennent dans les applications ont des dizaines ou centaines de milliers de sommets Si on considère un polyhèdre et non un polytope, une fonction (convexe ou concave) n a pas forcement de maximum