ETUDE DES E VI V B I RATIO I N O S

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1 ETUDE DES VIBRATIONS 1

2 Chapitre I - Présentation et définitions 2

3 Les objectifs à atteindre: 1) Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique et savoir l'appliquer à l'étude des systèmes physiques oscillants. 2) Savoir étudier les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres caractéristiques et des conditions initiales, 3) Savoir étudier l'énergie de tels systèmes. Pour cela, il est recommandé d'aborder, dans l'ordre, les thèmes suivants : L'oscillateur harmonique. L'oscillateur harmonique amorti. L'oscillateur harmonique forcé 3

4 L'étude de ces thèmes nécessite certaines connaissances préalables en mathématiques et en physique : En physique, Le principe fondamental de la dynamique Les théorèmes généraux (de l'énergie cinétique, du moment cinétique). Les définitions des énergies cinétique, potentielle, énergie totale mécanique ou électrique. En mathématiques : il faut savoir résoudre les équations différentielles (du second ordre, linéaires, à coefficients constants, sans et avec second membre) il faut connaître la représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale fonction du temps. Développement en série de Fourrier / transformée de fourrier 4

5 I) Introduction générale et Définitions a) Exemples d Oscillateurs Ils peuvent être de types différents : mécanique, électrique, acoustique, - la masse accrochée à un ressort, le pendule, - le circuit électrique RLC, - un enfant sur une balançoire, - le balancier d'une horloge, - Sismographe, - haut-parleur, microphone, - instruments de musique à vent ou à cordes, - amortisseurs d'un véhicule, - structure d'une molécule diatomique 5

6 b) Définitions α) Vibrations : Petites variations provoquées par une excitation d une grandeur q autour d une valeur moyenne q e. La fonction q(t) décrit la réponse du système à l'excitation appliquée. Quand l évolution de l oscillateur peut-être décrite par n variables indépendantes, l oscillateur possède n degrés de liberté. Le système physique est appelé oscillateur lorsque q(t) varie périodiquement Un oscillateur est linéaire si son mouvement est décrit par une équation différentielle linéaire. L oscillateur élémentaire linéaire possède un seul degré de liberté. Un oscillateur est libre s il oscille sans interventions extérieures pendant son retour à l équilibre. Un oscillateur est forcé si une action extérieure lui communique de l énergie. Un oscillateur dissipe de l énergie quand il retourne vers son état d équilibre : il est amorti 6

7 Exemple de réponse d'un oscillateur : L'oscillation est de forme quelconque et de période T. La fonction de réponse est telle que : q(t) = q(t+t) 7

8 β) Oscillateur Harmonique - La forme des oscillations est sinusoïdale - L'excitation appliquée au système est très brève, elle disparaît dès que le système oscille, - Les oscillations sont dites libres. -L'énergie totale du système se conserve au cours du temps χ) Oscillateur Harmonique amorti - Le système physique dissipe de l'énergie : l'énergie totale ne se conserve pas dans le temps. Le système est amorti. - Les oscillations sont libres (l excitation initiale n est pas entretenue). δ) L'oscillateur harmonique forcé Le système est soumis à une excitation permanente produite par un dispositif extérieur. Les oscillations sont dites forcées. 8

9 φ) L'oscillateur anharmonique - Le système évolue suivant une loi périodique de forme quelconque ( non sinusoïdale) - Pour des petites variations (approximation des petites oscillations), certains systèmes se comportent comme des oscillateurs harmoniques. L'oscillateur est dit anharmonique. - On montre mathématiquement que toute oscillation périodique se décompose en une somme d'oscillations harmoniques (décomposition de Fourrier). la réponse de ce système physique est celle d un un oscillateur anharmonique. Car q(t) : - est une fonction périodique du temps, - elle est de forme quelconque, 9

10 γ) Forces de Frottement : - Frottement visqueux: Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire. r f r = µ.v pour un oscillateur rectiligne dθ M f = µ pour un systeme en rotation dt Exemple de dispositif : 0 P r r r r r la relation fondamentale s'écrit: P + R + T + f = mγ T R f x Frottements solides : La force de frottement est constante et opposée au mouvement 10

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12 II) Démarche générale 1) Définir et décrire le système physique oscillant. 2) Appliquer le «principe fondamental de la dynamique» 3) Résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants 4) Déterminer les expressions des énergies cinétique, potentielle élastique et mécanique. 12

13 Chapitre II - L Oscillateur Harmonique 13

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20 Autres Oscillateurs Harmoniques Pendule élastique : x l l Période d oscillation vide P T x O x T = 2π m k Pendule de Torsion: I : moment d inertie / θ C: Constante de torsion T = 2 π I C 20

21 Pendule pesant O OG = a G θ M: masse du pendule I : moment d inertie / P I T = 2 π M g a Pour le pendule simple: T = 2 π l g 21

22 1. Oscillateur non amorti Résumé : Oscillateur libre On appelle oscillateur harmonique un système évoluant dans le temps suivant la loi : x = a sin( ω ο t + ϕ ) ω o est la pulsation propre de l oscillateur 2. Équation différentielle caractéristique 2 t x ω = x 0 Inversement : tout système obéissant à l équation ci-dessus est un oscillateur harmonique. 22

23 II - Étude énergétique 1) pendule élastique : On a : x = a sin (ω.t + ϕ) et v = a ω cos (ω.t + ϕ ) l énergie cinétique : 1 1 Ec = m v ² = m a ² ω ² cos ²( ω t + ϕ ) 2 2 L énergie potentielle: 0 E p ( x ) = x 0 k.x.dx Ep = k.x = ka ² sin ²( ω t + ϕ) 2 2 L énergie Mécanique de vibration s écrit : a² 2 E = Ec + Ep = m ω ² cos ²( ω t + ϕ ) + k sin ( ω t + ϕ ) k Soit : E = k.a ² = m ω ²a ² avec ω ² = 2 2 m L Energie mécanique totale est constante 23

24 2) Autres oscillateurs harmoniques Pendule de torsion: Pendule pesant : Ec = J θ & ; Ep = C θ E = Cθ = J ω² θ = Jθ& m m m Ec = I. θ & ; Ep = M.g.a. θ ² E = M.g.a. θ m Circuit LC: E = 1 2 Q m 2 C L oscillateur harmonique non amorti est un système à énergie mécanique constante: C est un système conservatif 24

25 III) Équation différentielle à partir de l énergie mécanique 1 1 t e E m = k x ² + m. x& ² + C 2 2 d E m d x d x& = k. x + m. x& = 0 d t d t d t k && x + x = 0 m Qui est l équation différentielle du mouvement pour un oscillateur harmonique 25

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27 Chapitre III - L Oscillateur Harmonique Amorti 27

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29 2. Mise en équation ( frottement fluide ) F r r ext = ma r r r dl r m i = k( l l ) i + mgi α i 2 dt dt On utilise la relation fondamentale de la dynamique: 2 On obtient : d l o x= ( l l e ) Avec l équation devient : α k && x + x& + x = 0 m m Avec α λ = et ωo = 2m k m && 2 o + 2 & + = 0 x λ x ω x 29

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31 Si λ > ω o Si λ = ω o Si λ < ω o régime apériodique : régime critique : régime pseudopériodique La solution x(t) est alors une combinaison linéaire des deux solutions particulières: x t 1 1 ( ) = e r t x t = e ( ) r t x( t) = A x ( t) + A x ( t) L expression de x(t) dépend donc de la constante d amortissement λ : 31

32 Remarque : la fonction de réponse x(t) n est ni sinusoïdale ni périodique 32

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34 Solution qui peut aussi s écrire : x = A + λt e (1 Bt) Si on suppose qu à l instant t = 0, x = x o et v = 0, on a : x = x o + λ λt e (1 t) et v = λ²x t.e λ o t On constate que x est toujours positif et la vitesse v est toujours négative, donc x décroît de x o à 0 en un temps théoriquement infini: Il n y a plus d oscillations. 34

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37 Les constantes A et ϕ sont déterminées par les conditions initiales. Par exemple, si à t = 0 on a : x = x o nous obtenons : A = x o et ϕ = π/2 ; v = - λ x o Soit o λt x = x e cos ωt Le système effectue des oscillations d amplitude décroissante et de «pseudo-période» T = 2π/ω 37

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42 x(t) Λ = 0.5 log(2 (2,6 /0,8 0,8) = T = (9,5 3)/2 = 6,25 s λ = Λ/Τ = 0,1 s -1 ) = 0,6 x(t+2t) 42

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48 Chapitre IV - Oscillateur Harmonique Forcé 48

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50 La fréquence naturelle de l oscillateur est: Réponse d un oscillateur à une force excitatrice pour différentes valeurs de la fréquence d excitation. f = 0,4 Hz f = 1,01 Hz f = 1,6 Hz f 0 = ω 1 k 1Hz 2 π = 2 π m = La force excitatrice s écrit: F = F cos(2 π. f. t) 0

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53 2 - Étude du régime Forcé On utilise la méthode des complexes. x ( t ) = x co s( ω t + ϕ ) = R x. e o e a e o ( j t ) o e x ( t ) = R x. e ω e j a a v e c x = x. e ϕ o o amplitude complexe de l oscillateur ( j ( ω et + ϕ a ) ) Pour la force d excitation on obtient : ( j t ) e F ( t ) = R F. e ω E e o 53

54 L équation différentielle appliquée à la solution du régime forcé donne : 2 x. e jωet 2 j. x. e jωet 2 x. e jωet A e jωet e o e o o o o ω λω ω + + = ( 2 2 ω ω 2 λ ω ) x + j = A o o e e o x o = A ( ω 2 ω jλω ) o e e o 54

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58 Rappel : 58

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78 Chapitre V - Oscillateurs Harmoniques couplés 78

79 Considérons deux oscillateurs harmoniques de longueur à vide l et de raideurs k 1 et k 2 reliés par un ressort de longueur L et de raideur K. On désigne par x 1 et x 2 les déplacements respectifs de m 1 et m 2 par rapport à leurs positions d équilibre. k 1 m 1 K m 2 k 2 T1 T x 1 x 2 Considérons la masse m 1 : elle est soumise aux tension T 1 du ressort k 1 et T due au ressort K. T 1 = - k 1.x 1 T = + k 2 (x 2 x 1 ) 79

80 Action du ressort k 1 : son allongement étant x 1, il exerce sur m 1 une force T 1 = ε. k 1.x 1 (ε=+/ ε=+/ 1) Si x 1 >0 le ressort k 1 est allongé. Il va chercher à se raccourcir en exerçant sur m 1 une force T 1 dirigée vers la gauche. T 1 sera négatif et ε = - 1. Donc T 1 = - k 1.x 1 Si x 1 < 0 le ressort k 1 est comprimé. Il va chercher à s allonger en exerçant sur m 1 une force dirigée vers la droite. T 1 > 0 et x 1 < 0 ε = -1 l expression est la même: T 1 = - k 1.x 1 Action du ressort K : son allongement étant ( x 2 x 1 ) il exerce sur m 1 une force T = ε Κ.(x 2 x 1 ). Si ( x 2 x 1 ) > 0, le ressort K est étiré et va chercher à se raccourcir en exerçant sur m1 une force dirigée vers la droite. T est positif et donc ε = +1. T = + K ( x 2 x 1 ) Si (x 2 x 1 ) < 0 le ressort K est comprimé. Il va chercher à s allonger en repoussant m1. La force T 2 est dirigée vers la gauche. T <0 et (x 2 x 1 ) < 0 ε = + 1. L expression est la même. 80

81 Mise en équation : Le PFD appliqué à m 1 donne la relation : m.x && = k.x + K(x x ) Masse m 2 : Sachant qu elle subit la tension du ressort K et celle du ressort k 2, le même raisonnement conduit à la relation: 1) Cas du couplage d oscillateurs symétriques. m.x && = k.x K(x x ) Les deux oscillateurs reliés par le ressort K sont identiques: Le système devient : m 1 = m 2 = m et k 1 = k 2 = ko. m.x && 1 = k 0.x1 + K(x2 x 1) m.x && 2 = k 0.x2 K(x2 x 1) (1) (2) 81

82 Résolution: en posant S = (x 1 + x 2 ) et D = (x 1 x 2 ) on obtient les deux équations découplées suivantes: Les solutions de ces équations sont: m.s&& = k.s et m.d&& = ( k + 2K ).D 0 0 S = S cos( ω t + ϕ ) et D = D cos( ω t + φ ) o 1 o 2 avec ω = ; ω = k 0 k 0 + 2K 1 m 2 m Sachant que x 1 = (S+D)/2 et x 2 = (S D)/2 on obtient finalement : S o D o x 1 = c o s ( ω 1t + ϕ ) + c o s ( ω 2 t + φ ) 2 2 S o D o x 2 = c o s ( ω 1t + ϕ ) c o s ( ω 2 t + φ )

83 Modes propres Remarque : les oscillations couplées x 1 (t) et x 2 (t) ne sont en général pas sinusoïdales (la somme ou la différence de deux fonctions sinusoïdales de fréquences différentes n est pas une fonction sinusoïdale) Définition: On appelle mode propre du système couplé un mode d oscillation pour lequel tous les paramètres ont des mouvements sinusoïdaux de même pulsation 83

84 -Si D o = 0, alors x 1 (t) = x 2 (t) = S o /2.cos(ω 1 t + ϕ). Les deux oscillateurs oscillent en phase, avec la même pulsation et la même amplitude: c est le premier mode propre ou mode propre symétrique. -Si S o = 0, alors x 1 (t) = - x 2 (t) = D o /2.cos(ω 2 t + φ). Les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase, avec la même pulsation et la même amplitude. C est le deuxième mode propre ou mode propre antisymétrique Remarque: En général, il y a autant de modes propres et de pulsations propres ( c.a.d de pulsations pour lesquelles tous les oscillateurs sont en phase) que d oscillateurs. 84

85 2) Oscillateurs couplés dissymétriques Les équations différentielles m.x && = k.x + K(x x ) et m.x && = k.x K(x x ) Peuvent être mise sous la forme plus générale: && x + a.x = b.x && x + a.x = b.x a) Équations aux pulsations propres: Les modes propres sont les solutions particulières du système qui sont sinusoïdales et de même pulsation ω, c.a.d i t x (t) = A.e ω et x (t) = A.e En reportant ces solutions particulières dans le système d équations: iωt 85

86 On obtient : 2 ( ω + a 1)A 1 b1a 2 = 0 2 b 2A 1 + ( ω + a 2 )A 2 = 0 Qui n a de solution non nulle que si le déterminant des coefficients de A 1 et A 2 est nul, c est-à-dire: ( ω + a )( ω + a ) b b = C est l équation aux pulsations propres Cette équation en ω fournit les deux solutions ω 1 et ω 2 acceptables (c.a.d positives), pulsations propres du système dissymétrique couplé Pour ω = ω 1 Pour ω = ω 2 : les deux oscillateurs oscillent en phase : les deux oscillateurs oscillent en opposition de phase Mais toujours avec des amplitudes différentes 86

87 Exemples d oscillateurs couplés Pendules simples α α α α m m m m X 1 (t) X 2 (t) X 1 (t) X 2 (t) 1 er mode propre ( ω 1 ) X 1 (t) = x 2 (t) 2 eme mode propre ( ω 2 ) X 1 (t) = - x 2 (t) 87

88 Pendule double Ο y θ x Α 2m ϕ G Β m Corde plombée y 1 y 3 y 1 y2 y 2 88

89 FIN «Vibrations» 89

90 RAPPELS : Transformée de Fourier 90

91 1) Développement d une fonction périodique en série de Fourier Théorème : Toute fonction périodique f(t), de période T, bornée, est équivalente à une somme infinie de sinusoïdes de fréquences f=n/t, n étant un entier appelé «harmonique» = + + f ( t) a a.cos(2 π. nft) b.sin(2 π. nft) o n n n= 1 n= 1 f ( t) = a + a cos nω t + b sin nωt [ ] o n n n= 1 En posant b n c n = a n + b n et ϕ n = Arctg a n f ( t) = a + c cos( nω t + ϕ ) o n n n= 1 Cn>0 91

92 O n c a lc u le le s c o e ffic ie n ts d e F o u rie r p a r: 1 T a 0 = f ( t ). d t T 0 2 T a = n f ( t ). c o s ( nω t ). d t T 0 2 T b = n f ( t ). s in ( n ω t ). d t T 0 Remarque : si f(t) paire bn = 0 si f(t) impaire an = 0 L ensemble des valeurs a n, b n ou C n constitue le spectre de la fonction f 92

93 les termes a ; a.cos( nωt) ; b.sin( nωt) 0 n sont les composantes de Fourier de f -La composante n = 1 est la composante fondamentale. -Les autres, n = 2, 3... sont les Harmoniques En coordonnées spatiales (x) le D.S.F de h( x) s'écrit: = + + h ( x ) = a + a.cos( nkx ) + b.sin( nkx ) o n n n= 1 n= 1 avec k = 2 π λ vecteur d'onde 1 Id en tité d e P arseval: f ( t ). d t a T 2 2 T 2 2 = n + n n = 1 2 n = 1 2 n a b 93

94 2) Transformée de Fourier Toute fonction f est décomposable en une somme infinie et continue de fonctions sinusoïdales: 1 + f ( t ) = c( ω ) cos [ ωt + ϕ ( ω )] dω 2π f ( t ) = F ( ω ).exp( j ω t ). d ω 2 π ω= où F( ω) est la Transformée de Fourier de f : 1 + F( ω) = f ( t).exp( jωt). dt = 2π t On voit que f est la Transformée Inverse de F 94