{T}= R M(o) o. Le Torseur. Le torseur : un outil mathématique. Il représente un champ de vecteur équiprojectif. S2I Lycée Corneille T.

Transcription

1 Le torseur : un outil mathématique {T} R M(o) o Il représente un champ de vecteur équiprojectif. Champ des vitesses d'un solide en rotation

2 Le torseur : adapté à la mécanique des solides. Le torseur est un outil mathématique particulièrement adapté aux calculs de mécanique du solide indéformable. Il apparaît dans les trois chapitres du programme de S2I : Cinématique du solide torseur distributeur des vitesses. Modélisation des actions mécaniques torseur des actions mécaniques. Dynamique torseur cinétique torseur dynamique. vantages de la notation torsorielle : elle unifie les notations et permet de définir simplement : le champ des vitesses d'un solide; une action mécanique; une énergie; une puissance elle permet d'énoncer de manière concise les principes et théorèmes de la mécanique des solides

3 Définition soit E l espace affine à 3 dimensions et E l espace vectoriel associé. On appelle torseur que l on note { T }, l ensemble défini dans ces espaces: d un vecteur R appelé résultante du torseur { T }. D un champ vectoriel défini en tous point P de E et noté M P. Ce champ vectoriel appelé moment au point P du torseur { T } vérifie la relation suivante: (, B): M M + B R Relation de changement de point d un champ de moment de torseur B

4 Notations Vecteur ne dépendant pas du point {T} O R Mo Résultante du torseur {T} Vecteur dépendant du point Moment en O du torseur {T} Point de réduction Ces deux vecteurs sont les éléments de réduction du torseur { T } au point O

5 Notations Si l'on désire travailler dans une base orthonormée directe B(i,j,k), on notera le torseur: { T} X Y Z L M N ( B ) avec R X i + Y j + Z k M L i + M j + N k Toujours préciser la base de projection

6 Torseur distributeur des vitesses: Vecteur ne dépendant pas du point { V ( S R) } R Ω Vecteur vitesse de rotation Vecteur dépendant du point M V S R ( S R) ( ) Vecteur vitesse de On a bien la propriété du champ des moments d'un torseur : V B S R V S R B S R ( ) ( ) + Ω ( )

7 Torseur des actions mécaniques: Vecteur ne dépendant pas du point { T( S S )} 1 2 R R S S M M S S ( ) 1 2 ( ) 1 2 Résultante des actions mécaniques de S 1 sur S 2 Vecteur dépendant du point Moment résultant des actions mécaniques de S 1 sur S 2 On a la propriété du champ des moments d'un torseur : M S S M S S B R S S B ( ) ( ) + ( )

8 Propriétés changement de point de réduction Les représentants d un même torseur en deux points de réduction différents R M et B M B M R + B R

9 Propriétés : Equiprojectivité du champ des moments M B M B B Démo évidente B B Projections des moments sur la droite (B) B M M B nimation mécamédia

10 Propriétés : invariant d'un torseur Le produit scalaire des éléments de réduction d'un même torseur ne dépend pas du point choisi pour le calculer. C'est un invariant du torseur. R M Quelles que soient et B R M B Démo évidente

11 Propriétés égalité de 2 torseurs : 2 torseurs sont égaux s ils ont même éléments de réduction en un point quelconque. { T} { T' } R R' M M Egalité des moments au même point '

12 Propriétés somme de 2 torseurs: soient 2 torseurs exprimés au même point de réduction : R { } 1 T ; { T } 1 M 1 2 R M 2 2 La somme des 2 torseurs au point est un torseur et l on note: { T} { T } { T } Somme des moments au même point R M + + R M

13 Nouvelle écriture de la composition de mouvement : La composition des mouvements s'écrit : ω ( 2/0) ω (2/1) + ω (1/0) V(P,2/0) V(P,2/1) + V(P,1/0) Ce qui s'écrit en condensé : { V (2/0)} { V(2/1) } + { V(1/0) } Formule de composition des torseurs cinématiques

14 xe centrale d'un torseur Définition : on appelle axe centrale ( ) d'un torseur, l'ensemble des points de réduction où résultante et moment sont colinéaires Traduisons cette propriété: Soient (,B) deux points de. On a alors M ar et MB br or MB M + B R br ar + B R a b R B R d où ( ) Vecteurs: // à R ; à R

15 xe centrale d'un torseur d où ( ) Vecteurs: a b R B R // à R ; à R les 2 membres de l égalité sont nécessairement nuls. Comme R 0; on a ab, le moment est constant sur l axe central, et B / / R donc l axe central est la droite (, R ). L axe central est une droite passant par un point où résultante et moment sont colinéaires et de même direction que la résultante. Le moment est constant et minimum sur l axe central.

16 Résultantes et moments sur l' axe centrale ( ) R Comment est le champ de moment autour de l'axe? C B M B R ( ) M

17 Représentation du champ des moments d'un torseur

18 Détermination de l'axe centrale On connait le torseur au point O Soit Q le plan à R et passant par O. Ce plan coupe nécessairement en un point que nous noterons. Q O R O M M + O R O R M R

19 Détermination analytique de l'axe centrale M α R et aussi M MO + O R d'où MO + R O α R R ( ) R M + R O R M + R O R comme R O R R R O R O R ( O ) 0 O ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( R O) R 0 O ( ) 0 et R M + R R O d où O R M ' R R O On connait le torseur au point O Q O O R M M + O R Grâce à cette formule on connaît un point de l axe central, on connaît donc entièrement (, R ). O R M R

20 Torseurs particuliers: le glisseur Une torseur est un glisseur si et seulement si il existe un point où son moment est nul. Il existe / { T} R 0 M Le glisseur est dit passant par. En, moment et résultante sont colinéaires donc l axe central passe par et en tous points de cet axe le moment est aussi nul. On appelle souvent support du glisseur, son axe central.

21 Le glisseur en cinématique: il représente un mouvement de ROTTION autour de l'axe centrale Ω (S/R) V (P,S/R) P { V(S/R) } Ω (S/R) V(,S/R) 0 V(P,S/R) Ω (S/R) P xe instantané de rotation ensemble des points de vitesse nulle

22 Le glisseur en cinématique ttention Ω doit être exprimé en Rad.s -1 V(P,S/R)r.Ω(S/R) Ω (S/R) P La vitesse est proportionnelle à la distance r à l'axe de rotation et à la vitesse angulaire. Sa direction est orthoradiale. Le sens est donné par le sens de rotation. Vue suivant l'axe

23 Torseurs particuliers: le couple Une torseur est un couple si et seulement si sa résultante est le vecteur nul. En tout point : { T} M 0 Le moment est invariant:, B : M M ( ) B

24 le couple en cinématique : il représente un mouvement de translation Pas de rotation pas de changement d'orientation Translation { V(S/R) } Ω (S/R) 0 V(,S/R) Pince de robot (mouvements/poignet): L'écrou est en translation rectiligne Les doigts sont en translation circulaire

25 le mouvement de translation E F V /poignet ) ) (E,doigt V (F,doigt /poignet doigt H V (H,doigt /poignet ) Poignet Trajectoire du point E dans le poignet. Les trajectoires sont des courbes parallèles. V(E,doigt /poignet ) Le champ des vitesses est uniforme V(F,doigt /poignet ) V(H,doigt /poignet )

26 Mouvement quelconque Dans le cas générale, le mouvement d'un solide peut se décomposer en: un mouvement de translation dans la direction de ( ) et un mouvement de rotation autour de ( ). Mouvement de «VISSGE»

27 Comment reconnaître un glisseur: Théorème R R M 0 le torseur est un glisseur ou un couple. M Invariant du torseur 0 Résultante et moment sont ORTHOGONUX Ce théorème n'a d'intérêt que pour le glisseur, car un couple à la même forme en tout point contrairement au glisseur

28 Exemple du mouvement plan sur plan P0 P1 y O { V(P1/P0) } x Ω (P1/P0) Ω.z V(,P1/P0) U.x+ V.y Conséquence : il existe un point appelé Centre Instantané de Rotation (CIR) qui a une vitesse nulle dans le mouvement de P1/ à P0. V(CIR, P1/P0) 0

29 Détermination du CIR(2/0) I 1 en mouvement de rotation / à 0, d'où la direction de la vitesse absolue de 3 2 1

30 Détermination du CIR(2/0) I 3 en mouvement de translation / à 0 d'où la direction de la vitesse absolue de B 3 2 1

31 Détermination du CIR(2/0) I V(,2/0) V(I,2/0) + ω (2/0) I ω (2/0) I ICIR(2/0) Ces trois vecteurs sont orthogonaux. Donc (I) est dans le plan et orthogonale à la vitesse V(,2/0) V(B,2/0) ω (2/0) 3 IB De même: (I) est dans le plan et orthogonale à la vitesse V(B,2/0) 2 1

32 Mouvement autour du CIR(2/0) cet instant la bielle 2 est en mouvement de rotation / à 0 autour de l'axe (I,z). ICIR(2/0) CIR : Utilisé en cinématique graphique 3 2 1

33 Détermination d'une vitesse graphiquement Connaissant V(,2/0) déterminons V(B,2/0) ICIR(2/0) 3 2 1

34 Détermination d'une vitesse graphiquement Connaissant V(,2/0) déterminons V(B,2/0) ICIR(2/0) 3 2 1

35 Base et roulante Base ttention : le CIR n'est fixe dans aucune pièce. La trajectoire de I dans 0 est appelé la base La trajectoire de I dans 2 est appelé la roulante Propriété : base et roulantes sont tangentes en I et roulent sans glisser l'une sur l'autre Roulante nimation mécamédia

36 Propriétés : Equiprojectivité du champ des vitesses V(,1/0). B B V(B,1/0).. B B Utilisé en cinématique graphique V(,S/R) Projections des vitesse sur la droite (B) B Physiquement : le solide ne se déforme pas selon la direction (B) V(B,S/R) nimation mécamédia

37 Torseurs cinématiques des liaisons normalisées: exemple de la ponctuelle En cinématique du contact, nous avons vu que : Particularité Ω(2/1) x z I y V(I,2/1) { V(2/1) } Quelconque Ω (2/1) I V(I,2/1) I Ω Ω Ω x y Vitesse de glissement perpendiculaire à z z V V 0 R(I,x,y,z) est un repère local de la liaison dans lequel le torseur a la forme la plus simple (le plus de particularités) x y ( x,y,z) QUESTION : dans quelle autre base ce torseur garde-t-il sa particularité?

38 la ponctuelle P Ω(2/1) x z x* I { V(2/1) } y y* Il est possible de choisir toute base orthonormée directe contenant la normale Z V(I,2/1) I Ω Ω Ω x y z Vx Vy 0 Ω Ω * * x y V* V* ( x,y,z ) I Ω * 0 ( x*,y*,z ) z La particularité est toujours là x y C'est le vecteur normale qui compte QUESTION : en quel autre point ce torseur garde-t-il sa particularité?

39 P Ω(2/1) la ponctuelle z I On a : V(P,2/1) V(P,2/1) Posons : V(I,2/1) + V(I,2/1) V(I,2/1) + V(I,2/1) + Ω (2/1) IP ax+ by+ cz (cω y ( Ω bω x x+ Ω z )x+ y (aω IP y+ Ω z z cω z) x )y+ (ax+ (bω by+ x aω cz) y )z x y { V(2/1) } Ω Ω I Ω x y z Vx Vy 0 Ω Ω Ω x y Vx + cω Vy + aω bω bω cω aω ( x,y,z ) P z x y ( x,y,z ) y z z x On garde Ωz 0 quelque soit le mouvement si ab0, c'est à dire P est sur l'axe normale (I,Z)

40 Repère locale d'une liaison ponctuelle z P Conclusion Le repère locale d'une ponctuel est le repère R(P,*,*,z) Ω(2/1) tel que P appartient à la normale (I,Z) I V(I,2/1) La base contient la normale Z EN PRTIQUE: on a une grande liberté de choix pour les repères locaux, il faut s'en servir pour simplifier les calculs.

41 Torseurs cinématiques des liaisons normalisées: Le repère locale est donné dans la caractéristique de la liaison

42 Torseurs cinématiques des liaisons normalisées: