1. Question 1 pt Comment s'appelle la société française de recherche opérationnelle?

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1 CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE Le contrôle est noté sur Question 1 pt Comment s'appelle la société française de recherche opérationnelle? 2. Management de projet 2 pts Considérons le projet de construction d'immeuble suivant, découpé en diérentes tâches. Pour la ligne d'une tâche T donnée, la colonne contraintes indique quelles tâches doivent être terminées pour pouvoir commencer T. Trouver la durée minimale de ce projet. Justier la réponse. Tâches Description Durée (j) Contraintes A préparation, fondations 6 Début B construction des murs 10 A C plomberie extérieure 4 B D plomberie intérieure 5 A E électricité 7 A F toit 6 B G peinture et nitions extérieures 16 B,C,F H lambris 8 D,E I sol 4 D,E J peinture et nitions intérieures 11 H,I 3. Positionnement d'entrepôts avec capacité 2 pts On reprend le problème de positionnement d'entrepôts vu en cours, mais avec cette fois une contrainte supplémentaire : chaque entrepôt ne peut desservir qu'un nombre limité de clients. Modéliser le problème suivant comme un problème linéaire en nombres entiers en reprenant la modélisation du cours et en ne modiant qu'une seule famille de contraintes. Données : Un ensemble ni de clients D, un ensemble ni d'entrepôts potentiels F, un coût xe f i R + d'ouverture et une capacité K i pour chaque entrepôt i F, et un coût de service c ij R + pour chaque i F et j D. Demande : Trouver un sous-ensemble X F (dits entrepôts ouverts) et une aectation σ : D X des clients aux entrepôts ouverts, tel que pour tout i, l'entrepôt i ne desserve pas plus de K i clients, de façon à ce que la quantité soit minimale. i X f i + j D c σ(j)j Date: 4 février

2 4. Positionnement de postes d'observation 4 pts Considérer le domaine de la Figure 1. Chaque point indique une position possible pour un poste d'observation. On veut que chaque poste d'observation ait la vue complètement dégagée dans les 4 directions cardinales (nord, sud, est, ouest) deux postes d'observation ouverts ne peuvent donc ni se trouver sur la même ligne, ni se trouver sur la même colonne. On veut en ouvrir un nombre maximum. En d'autres termes, on veut sélectionner un nombre maximum de points noirs de façon à qu'il y en ait au plus n par ligne et par colonne. Proposer un nombre maximum dans le cas particulier de la Figure 1 (1 pt). Prouver la qualité de votre solution (1 pt). Proposer la méthode générale (est-ce polynomial?) (2 pts). N O E S Figure 1. Des points critiques à surveiller. 5. Découpe de serviettes 7 pts Une question cruciale dans le textile est la question des pertes. On veut donc satisfaire les commandes en minimisant les pertes. On dispose d'une grande bande de tissu, que l'on peut considérer de longueur innie, mais de hauteur xée h. On a des serviettes rectangulaires i = 1, 2,..., n à découper, chacune de hauteur λ i et de longueur Λ i. On doit les placer horizontalement dans la bande (en eet, la trame du tissu impose le sens de découpe). La position de la serviette i est repérée par les coordonnées (x i, y i ) du centre. On souhaite découper toutes les serviettes on utilisant la moins grande longueur possible de la grande bande. Bien sûr, les serviettes ne doivent pas se chevaucher. Voir la Figure 2. Une façon de procéder consiste à xer pour chaque couple de serviettes (i, j), i j, une position relative identiée par une unique lettre parmi les quatre H, B, G, D. Par exemple, si à (1, 2) on associe H, cela signie que la boîte 1 est au-dessus de la boîte 2 au-dessus signiant que tout point de la boîte 1 a une ordonnée supérieure à celle de la boîte 2. Ou encore G associée à (7, 6) signie que tout point de la boîte 7 a une abscisse plus petite que la boîte 6. De plus, si on xe (i, j) à H, le couple (j, i) est automatiquement xé à B. De même pour G, D On xe pour chaque couple (i, j), i j une lettre comme indiqué ci-dessus. On appelle cela un codage. A un plan de découpe peut correspondre plusieurs codages. 1. Montrer que le problème de savoir si un tel codage correspond à au moins un plan de découpe réalisable se ramène à un problème de plus long chemin dans un graphe orienté. Compte tenu des spécicité du problème, est-ce polynomial? (1 pt) 2

3 h (x 1, y 1 ) (x 3, y 3 ) (x 2, y 2 ) (x 5, y 5 ) (x 6, y 6 ) (x 4, y 4 ) (x 7, y 7 ) Λ 7 λ 7 L Figure 2. Des serviettes placées dans une longue bande de tissu : minimiser L. 2. Montrer que le problème de minimisation de la longueur de bande nécessaire pour réaliser un codage donné se ramène à un double problème de plus long chemin dans des graphes orientés (celui de la question 1. et un autre...). Compte tenu des spécicité du problème, est-ce polynomial? (1 pt) 3. En utilisant la question précédente, proposer une heuristique du type recherche locale pour résoudre ce problème. (1 pt) 4. Etant donné un codage, montrer que le question de la longueur minimum de bande se modélise comme un programme linéaire. Cette question donne une solution alternative aux ponts 1. et 2. (2 pts) 5. Montrer que le problème de minimisation de la bande de tissu nécessaire pour découper des serviettes rectangulaires données est NP-dicile. (2 pts) 6. Gestion dynamique de stock 14 pts 6.1. Gestion dynamique de stock, cas à 1 seul bien. On souhaite satisfaire une demande prescrite d t pour chacune des T périodes t = 1, 2,..., T, en produisant une quantité x t R + sur la période t et/ou en retirant une certaine quantité du stock y t 1 R + de la période t 1 (on suppose y 0 = 0). On suppose de plus que la production sur la période t ne peut pas excéder P t. 1. Justier la dynamique du stock (1 pt) (1) y t = y t 1 + x t d t, pour t = 1, 2,..., T. Sur la période t, le coût unitaire de stockage est s t 0 et le coût unitaire de production est p t 0. On veut gérer le stock au coût minimum. 2. Montrer que ce problème se modélise comme un programme linéaire. (2 pts) 3. Application numérique : On considère les données du tableau suivant t = d t s t xxx p t P t

4 Indiquer le coût minimal de gestion de stock, ainsi que les niveaux de productions (en p.4, des programmes linéaires sont donnés). (1 pt) 4. Montrer que ce problème peut également se modéliser comme un problème de b-ot de coût minimum. (Indication : introduire un sommet source v avec b(v) = T t=1 d t et des sommets puits w t avec b(w t ) = d t ; à vous d'indiquer les arcs, les coûts sur les arcs, les capacités sur les arcs, etc.) Justier la modélisation. (2 pts) 5. Quel peut être l'intérêt d'une telle modélisation alors qu'on sait résoudre le problème avec un solveur de programmation linéaire? (1 pt) 6.2. Gestion dynamique de stock, cas à plusieurs biens. Supposons maintenant qu'il n'y ait pas un seul bien, mais K biens, indicés par k = 1, 2,..., K. Pour chaque bien k, on a une demande d kt sur chaque période t. On satisfait la demande en produisant x kt de bien k sur la période t et/ou en prélevant une certaine quantité sur le stock y k(t 1) de la période t 1. On suppose que la production en période t pour le bien k ne peut pas excéder P kt. De plus, on ne possède qu'une machine, et donc sur une période on ne peut produire qu'un seul type de bien. 6. Ecrire la dynamique du stock dans ce cas-là. (1 pt) 7. En introduisant une variable z kt qui indique si le bien k est produit sur la période t, proposer une contrainte linéaire (indicée par t) qui empêche la production de plusieurs biens sur la période t. (1 pt) 8. Ecrire une contrainte (indicée par k et t) qui limite la production du bien k en période t, en tenant compte du fait que si un autre bien k k est produit, alors la production du bien k doit être nulle. (1 pt) 9. Montrer que ce problème peut se modéliser comme un programme linéaire mixte en nombres entiers (mixte signie que toutes les variables ne sont pas contraintes à être entières). (2 pts) Dans une approche par branch-and-bound, on va chercher des bornes inférieures. Une solution est de procéder par relaxation lagrangienne. 10. Montrer qu'en relaxant les bonnes contraintes, le calcul des bornes inférieures par la relaxation lagrangienne se ramène à des calculs de gestion de stock à un seul bien, et donc à des calculs de b-ots de coût minimum. (2 pts) 7. Quelques programmes linéaires valeur optimale : 37 ; x = (5, 4, 1, 3) et y = (0, 0, 0). min 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 3y 1 + 3y 2 + 3y 3 4

5 valeur optimale : 35 ; x = (2, 3, 5, 2) et y = (0, 0, 2). min 5x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 + y 1 + y 2 + y 3 1 x x 2 5 x x 4 5 y t 0pour tout t {1, 2,..., 3} valeur optimale : 35 ; x = (2, 3, 5, 2) et y = (0, 0, 2). min 5x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 + y 1 + y 2 + y 3 valeur optimale : 37 ; x = (9, 0, 4, 0) et y = (4, 0, 3). min 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x 4 + y 1 + y 2 + y 3 valeur optimale : 37 ; x = (8, 1, 3, 1) et y = (3, 0, 2). min 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x 4 + y 1 + y 2 + y 3 1 x x x x 4 5 5

6 min 5x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 + y 1 + y 2 + y 3 y t 1 pour tout t {1, 2, 3} valeur optimale : 40 ; x = (3, 3, 5, 1) et y = (1, 1, 3). min 5x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 + y 1 + y 2 + y 3 y t 0pour tout t {1, 2,..., 3} valeur optimale : 35 ; x = (2, 3, 5, 2) et y = (0, 0, 2). min 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 3y 1 + 3y 2 + 3y 3 1 x x x x 4 5 valeur optimale : 37 ; x = (5, 4, 1, 3) et y = (0, 0, 0). 6