Euler 2D dans des domaines non réguliers

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1 Christophe Lacave Université de Paris Diderot (Paris VII), France partiellement en collaboration avec David Gérard-Varet (Paris VII) Math Horizon, Paris, 13 Décembre / 42

2 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42

3 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42

4 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42

5 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42

6 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42

7 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 3 / 42

8 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42

9 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42

10 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42

11 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42

12 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42

13 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42

14 Résultats connus Si u 0 est régulier alors il existe une unique solution forte globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné régulier (Wolibner, 1933) Ω est le plan en entier R 2 (McGrath, 1967) Ω est un domaine extérieur régulier (Kikuchi, 1983) Une quantité importante pour ce problème est le tourbillon/vorticité : Equation de la vorticité : Remarque ω = rot u = 1 u 2 2 u 1. t ω + u ω = 0 ω 0 L p = ω(t, ) L p t > 0. 5 / 42

15 Résultats connus Si u 0 est régulier alors il existe une unique solution forte globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné régulier (Wolibner, 1933) Ω est le plan en entier R 2 (McGrath, 1967) Ω est un domaine extérieur régulier (Kikuchi, 1983) Une quantité importante pour ce problème est le tourbillon/vorticité : Equation de la vorticité : Remarque ω = rot u = 1 u 2 2 u 1. t ω + u ω = 0 ω 0 L p = ω(t, ) L p t > 0. 5 / 42

16 Si ω 0 L 1 L p (Ω) (avec p > 1), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Diperna-Majda, 1987). Si ω 0 L 1 L (Ω), alors il existe une unique solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Yudovich, 1963). Estimation de u? Le noyau de Biot et Savart correspond à des opérateurs 1, qui ne vérifient des bonnes estimations que pour Ω C 1,1 (au moins). 6 / 42

17 Si ω 0 L 1 L p (Ω) (avec p > 1), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Diperna-Majda, 1987). Si ω 0 L 1 L (Ω), alors il existe une unique solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Yudovich, 1963). Estimation de u? Le noyau de Biot et Savart correspond à des opérateurs 1, qui ne vérifient des bonnes estimations que pour Ω C 1,1 (au moins). 6 / 42

18 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 7 / 42

19 Les domaines convexes Proposition Si Ω est convexe, la solution ψ du problème de Dirichlet ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0 appartient à H 2 (Ω) quand le terme de source f appartient à L 2 (Ω), sans aucune hypothèse sur la régularité du domaine. Théorème (Taylor, 2000) Il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné convexe. 8 / 42

20 Les domaines convexes Proposition Si Ω est convexe, la solution ψ du problème de Dirichlet ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0 appartient à H 2 (Ω) quand le terme de source f appartient à L 2 (Ω), sans aucune hypothèse sur la régularité du domaine. Théorème (Taylor, 2000) Il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné convexe. 8 / 42

21 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42

22 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42

23 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42

24 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42

25 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 10 / 42

26 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 11 / 42

27 Domaines bornés avec un nombre fini de trous Hypothèse Ω est un domaine borné avec un nombre fini de trous et ces trous sont de capacité positive. Ω := Ω ( \ k i=1 Ci), k N avec (H1) Ω est un ouvert borné simplement connexe ; (H2) C i est un compact connexe, Ω et C i C j = j i ; (H3) cap(c i ) > 0, pour tout i = 1... k. 12 / 42

28 Domaines bornés avec un nombre fini de trous Hypothèse Ω est un domaine borné avec un nombre fini de trous et ces trous sont de capacité positive. Ω := Ω ( \ k i=1 Ci), k N avec (H1) Ω est un ouvert borné simplement connexe ; (H2) C i est un compact connexe, Ω et C i C j = j i ; (H3) cap(c i ) > 0, pour tout i = 1... k. 12 / 42

29 Domaines bornés avec un nombre fini de trous Hypothèse Ω est un domaine borné avec un nombre fini de trous et ces trous sont de capacité positive. Ω := Ω ( \ k i=1 Ci), k N avec (H1) Ω est un ouvert borné simplement connexe ; Ω est une limite au sens d Hausdorff de Ω n (ouvert régulier simplement connexe) (H2) C i est un compact connexe, Ω et C i C j = j i ; (H3) cap(c i ) > 0, pour tout i = 1... k. 12 / 42

30 Capacité cap(e) := inf{ v 2 H 1 (R N ), v 1 p.p dans un voisinage de E}. Proposition 1 Pour tout compact K inclus dans un ouvert borné D, cap(k ) = cap( K ). 2 Si E R N est contenu dans une variété de dimension N 2, alors cap(e) = 0. 3 Si E R N contient un morceau d une hypersurface régulière (variété de N-1), alors cap(e) > 0. 4 Si Ω D, alors ( ) ( ) u H0 1 (Ω) u H0 1 (D) and u = 0 quasiment partout dans D\Ω. 13 / 42

31 Capacité cap(e) := inf{ v 2 H 1 (R N ), v 1 p.p dans un voisinage de E}. Proposition 1 Pour tout compact K inclus dans un ouvert borné D, cap(k ) = cap( K ). 2 Si E R N est contenu dans une variété de dimension N 2, alors cap(e) = 0. 3 Si E R N contient un morceau d une hypersurface régulière (variété de N-1), alors cap(e) > 0. 4 Si Ω D, alors ( ) ( ) u H0 1 (Ω) u H0 1 (D) and u = 0 quasiment partout dans D\Ω. 13 / 42

32 γ-convergence d ouverts bornés Soit Ω n D. On dit que (Ω n ) n N γ-converge vers Ω D si pour tout f H 1 (D), la suite de solutions ψ n H 1 0 (Ω n) de ψ n = f dans Ω n, ψ n Ωn = 0. converge fortement dans H0 1(D) vers la solution ψ H1 0 (Ω) de ψ = f dans Ω, ψ Ω = / 42

33 γ-convergence d ouverts bornés Soit Ω n D. On dit que (Ω n ) n N γ-converge vers Ω D si pour tout f H 1 (D), la suite de solutions ψ n H 1 0 (Ω n) de ψ n = f dans Ω n, ψ n Ωn = 0. converge fortement dans H0 1(D) vers la solution ψ H1 0 (Ω) de ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0. Théorème (Sverak) Nous supposons que le nombre de composante connexe de D \ Ω n est uniformément borné dans n. Si (Ω n ) n N converge au sens d Hausdorff vers Ω, la suite γ-converge vers Ω. 14 / 42

34 γ-convergence d ouverts bornés Soit Ω n D. On dit que (Ω n ) n N γ-converge vers Ω D si pour tout f H 1 (D), la suite de solutions ψ n H 1 0 (Ω n) de ψ n = f dans Ω n, ψ n Ωn = 0. converge fortement dans H0 1(D) vers la solution ψ H1 0 (Ω) de ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0. Proposition (convergence de Mosco) (Ω n ) n N γ-converge vers Ω si et seulement si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : 1 Pour tout ψ H 1 0 (Ω), il existe une suite (ψ n) n N avec ψ n in H 1 0 (Ω n) qui converge vers ψ. 2 Pour toute suite (ψ n ) n N avec ψ n in H 1 0 (Ω n), convergeant faiblement vers ψ dans H 1 0 (D), ψ H1 0 (Ω). 14 / 42

35 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42

36 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42

37 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42

38 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42

39 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42

40 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42

41 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42

42 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42

43 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). 17 / 42

44 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). 17 / 42

45 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). Résumé : nous avons considéré u n une solution forte des équations d Euler sur Ω n := Ω ( ) n \, et nous avons k i=1 Oi n obtenu de la compacité grâce à la γ- convergence. 17 / 42

46 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). Résumé : nous avons considéré u n une solution forte des équations d Euler sur Ω n := Ω ( ) n \, et nous avons k i=1 Oi n obtenu de la compacité grâce à la γ- convergence. Application : rugosité, capture de fluide / 42

47 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 18 / 42

48 Domaines non bornés avec un trou Hypothèse Ω est un ouvert avec un seul trou et ce trou est de capacité positive. Ω := R 2 \ C, k N avec (H1) C est un compact connexe ; (H2) cap(c) > / 42

49 Domaines non bornés avec un trou Hypothèse Ω est un ouvert avec un seul trou et ce trou est de capacité positive. Ω := R 2 \ C, k N avec (H1) C est un compact connexe ; (H2) cap(c) > / 42

50 Domaines non bornés avec un trou Hypothèse Ω est un ouvert avec un seul trou et ce trou est de capacité positive. Ω := R 2 \ C, k N avec (H1) C est un compact connexe ; C est une limite d Hausdorff de O n (ouvert borné régulier simplement connexe). (H2) cap(c) > / 42

51 Inégalité uniforme de Poincaré dans des domaines extérieurs Lemme Soit ρ un réel positif tel que C B(0, ρ). Si Ω vérifie (H1 )- (H2 ), alors il existe C ρ > 0 et N ρ, dépendant seulement de ρ, tel que ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)) C ρ ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)), ϕ C c (Ω n ), n N ρ. Nous avons besoin de contrôler uniformément la taille du support de ω n. Equation de transport : nous avons besoin de contrôler uniformément la vitesse loin du bord. 20 / 42

52 Inégalité uniforme de Poincaré dans des domaines extérieurs Lemme Soit ρ un réel positif tel que C B(0, ρ). Si Ω vérifie (H1 )- (H2 ), alors il existe C ρ > 0 et N ρ, dépendant seulement de ρ, tel que ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)) C ρ ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)), ϕ C c (Ω n ), n N ρ. Nous avons besoin de contrôler uniformément la taille du support de ω n. Equation de transport : nous avons besoin de contrôler uniformément la vitesse loin du bord. 20 / 42

53 Inégalité uniforme de Poincaré dans des domaines extérieurs Lemme Soit ρ un réel positif tel que C B(0, ρ). Si Ω vérifie (H1 )- (H2 ), alors il existe C ρ > 0 et N ρ, dépendant seulement de ρ, tel que ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)) C ρ ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)), ϕ C c (Ω n ), n N ρ. Nous avons besoin de contrôler uniformément la taille du support de ω n. Equation de transport : nous avons besoin de contrôler uniformément la vitesse loin du bord. 20 / 42

54 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 21 / 42

55 Loi de Biot-Savart Pour ω n (t, ) et γ R donnés, il existe un unique champ de vecteur u n vérifiant div u n = 0 dans Ω n rot u n = ω n u n n = 0 dans Ω n sur Ω n Ω n u n ds = γ pour t [0, ) lim x u n = 0. La loi de Biot-Savart est la loi donnant u n en fonction de ω n et γ. 22 / 42

56 Loi de Biot-Savart Pour ω n (t, ) et γ R donnés, il existe un unique champ de vecteur u n vérifiant div u n = 0 dans Ω n rot u n = ω n u n n = 0 dans Ω n sur Ω n Ω n u n ds = γ pour t [0, ) lim x u n = 0. La loi de Biot-Savart est la loi donnant u n en fonction de ω n et γ. 22 / 42

57 Green functions La fonction de Green vérifie : y G Ωn (x, y) = δ(y x) pour x, y Ω n G Ωn (x, y) = 0 pour y Ω n G Ωn (x, y) = G Ωn (y, x) Nous introduisons K Ωn (x, y) := x G Ωn (x, y) et K Ωn [f ](x) := K Ωn (x, y)f (y) dy. Ω n 23 / 42

58 Green functions La fonction de Green vérifie : y G Ωn (x, y) = δ(y x) pour x, y Ω n G Ωn (x, y) = 0 pour y Ω n G Ωn (x, y) = G Ωn (y, x) Nous introduisons K Ωn (x, y) := x G Ωn (x, y) et K Ωn [f ](x) := K Ωn (x, y)f (y) dy. Ω n 23 / 42

59 Dans R 2 La fonction de Green est G R 2(x, y) = 1 ln x y. 2π La loi de Biot Savart dans le plan entier est u n = K ω n, avec K (x) = 1 x 2π x / 42

60 Dans R 2 La fonction de Green est G R 2(x, y) = 1 ln x y. 2π La loi de Biot Savart dans le plan entier est u n = K ω n, avec K (x) = 1 x 2π x / 42

61 La fonction de Green est Dans D c G D c(x, y) = 1 x y ln 2π x y y. Le champ de vecteur harmonique H D c(x) = 1 2π ln x = 1 x 2π x 2 est l unique champ de vecteur vérifiant div H D c = 0 rot H D c = 0 H D c n = 0 H D c = O(1/ x ) quand x H D c ds = 1. D dans D c dans D c sur D 25 / 42

62 La fonction de Green est Dans D c G D c(x, y) = 1 x y ln 2π x y y. Le champ de vecteur harmonique H D c(x) = 1 2π ln x = 1 x 2π x 2 est l unique champ de vecteur vérifiant div H D c = 0 rot H D c = 0 H D c n = 0 H D c = O(1/ x ) quand x H D c ds = 1. D dans D c dans D c sur D 25 / 42

63 Dans D c La loi de Biot-Savart à l extérieur de la boule unité est u n = u n (t, x) = K D c[ω n (t, )](x) + αh D c(x), avec K D (x, y) = 1 ( (x y) 2π x y 2 (x y ) ) x y / 42

64 Dans D c La loi de Biot-Savart à l extérieur de la boule unité est u n = u n (t, x) = K D c[ω n (t, )](x) + αh D c(x), avec K D (x, y) = 1 ( (x y) 2π x y 2 (x y ) ) x y / 42

65 Dans D c La loi de Biot-Savart à l extérieur de la boule unité est avec u n = u n (t, x) = K D c[ω n (t, )](x) + αh D c(x), K D (x, y) = 1 ( (x y) 2π x y 2 (x y ) ) x y 2. et α(t) = γ + D c ω n (t, x) dx. 26 / 42

66 La fonction de Green est Dans Ω n G n (x, y) = 1 2π ln T n (x) T n (y) T n (x) T n (y) T n (y). Le champ de vecteur harmonique est H n (x) = 1 2π ln T n (x) = 1 2π DT t n (x) T n(x) T n (x) 2. La loi de Biot-Savart dans un domaine extérieur est u n = u n (t, x) = K n [ω n (t, )](x) + αh n (x), avec K n (x, y) = 1 ( 2π DT n t (Tn (x) T n (y)) (x) T n (x) T n (y) 2 (T n(x) T n (y) ) ) T n (x) T n (y) 2. et α(t) = γ + Ω n ω n (t, x) dx. 27 / 42

67 La fonction de Green est Dans Ω n G n (x, y) = 1 2π ln T n (x) T n (y) T n (x) T n (y) T n (y). Le champ de vecteur harmonique est H n (x) = 1 2π ln T n (x) = 1 2π DT t n (x) T n(x) T n (x) 2. La loi de Biot-Savart dans un domaine extérieur est u n = u n (t, x) = K n [ω n (t, )](x) + αh n (x), avec K n (x, y) = 1 ( 2π DT n t (Tn (x) T n (y)) (x) T n (x) T n (y) 2 (T n(x) T n (y) ) ) T n (x) T n (y) 2. et α(t) = γ + Ω n ω n (t, x) dx. 27 / 42

68 La fonction de Green est Dans Ω n G n (x, y) = 1 2π ln T n (x) T n (y) T n (x) T n (y) T n (y). Le champ de vecteur harmonique est H n (x) = 1 2π ln T n (x) = 1 2π DT t n (x) T n(x) T n (x) 2. La loi de Biot-Savart dans un domaine extérieur est u n = u n (t, x) = K n [ω n (t, )](x) + αh n (x), avec K n (x, y) = 1 ( 2π DT n t (Tn (x) T n (y)) (x) T n (x) T n (y) 2 (T n(x) T n (y) ) ) T n (x) T n (y) 2. et α(t) = γ + Ω n ω n (t, x) dx. 27 / 42

69 Convergence des noyaux et théorème de Caratheodory (1912) Soit T n l unique biholomorphisme tel que T n : O n c D c, avec T n ( ) =, T n( ) > 0. Proposition Soit Π la composante connexe non borné de Ω. Il existe un unique biholomorphisme T de Π vers D c, satisfaisant T ( ) =, T ( ) > 0. De plus, nous avons les propriétés de convergence suivantes : i) Tn 1 converge localement uniformément vers T 1 dans D c. ii) T n (resp. T n) converge localement uniformément vers T (resp. vers T ) dans Π. iii) T n converge localement uniformément vers 1 dans Ω \ Π. 28 / 42

70 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42

71 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42

72 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42

73 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42

74 Théorème d existence dans un domaine extérieur Théorème (Gérard Varet - C.L.) Soit p > 2 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 loc (Ω), rot u0 L p c(ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, lim x u0 (x) = 0, alors il existe une solution faible global aux équations d Euler dans Ω telle que u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L p (Ω)). 30 / 42

75 Théorème d existence dans un domaine extérieur Théorème (Gérard Varet - C.L.) Soit p > 2 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 loc (Ω), rot u0 L p c(ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, lim x u0 (x) = 0, alors il existe une solution faible global aux équations d Euler dans Ω telle que u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L p (Ω)). 30 / 42

76 Théorème d existence dans un domaine extérieur Théorème (Gérard Varet - C.L.) Soit p > 2 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 loc (Ω), rot u0 L p c(ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, lim x u0 (x) = 0, alors il existe une solution faible global aux équations d Euler dans Ω telle que u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L p (Ω)). Résumé : nous avons considéré u n une solution forte aux équations d Euler Ω n := Ω n \ On, i et nous avons obtenu la compacité grâce à la γ- convergence et la convergence des noyaux. 30 / 42

77 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 31 / 42

78 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42

79 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42

80 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42

81 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42

82 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42

83 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 33 / 42

84 Soit Ω un domaine borné simplement connexe tel que le bord a un nombre fini de coins (d angle α i en z i ). Soit u une solution faible aux équations d Euler telle que u L loc (R+ ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L ). Loi de Biot-Savart : u(t, x) = DT t (x) 2π Ω ( (T (x) T (y)) T (x) T (y) 2 (T (x) T (y) ) T (x) T (y) 2 ) ω(t, y) dy. 34 / 42

85 Soit Ω un domaine borné simplement connexe tel que le bord a un nombre fini de coins (d angle α i en z i ). Soit u une solution faible aux équations d Euler telle que u L loc (R+ ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L ). Loi de Biot-Savart : u(t, x) = DT t (x) 2π Ω ( (T (x) T (y)) T (x) T (y) 2 (T (x) T (y) ) T (x) T (y) 2 ) ω(t, y) dy. 34 / 42

86 Soit Ω un domaine borné simplement connexe tel que le bord a un nombre fini de coins (d angle α i en z i ). Soit u une solution faible aux équations d Euler telle que u L loc (R+ ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L ). Loi de Biot-Savart : u(t, x) = DT t (x) 2π Ω ( (T (x) T (y)) T (x) T (y) 2 (T (x) T (y) ) T (x) T (y) 2 ) ω(t, y) dy. 34 / 42

87 Si α i > π/2, i, alors u 1/ x z i 1 π α i. 35 / 42 Domaines réguliers 2 exceptions Existence Loi de Biot-Savart Unicité Estimations elliptiques près d un coin Théorème (Grisvard, Kozlov-Mazya-Rossmann) Le biholomorphisme T satisfait T 1 et T s étend continûment jusqu au bord ; DT 1 s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points T (z i ) dont α i < π où DT 1 1 y T (z i ) 1 α ; i π DT s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points z i 1 dont α i > π où DT π ; x z i 1 α i D 2 T appartient à L p loc (Ω) pour tout p < 4/3.

88 Si α i > π/2, i, alors u 1/ x z i 1 π α i. 35 / 42 Domaines réguliers 2 exceptions Existence Loi de Biot-Savart Unicité Estimations elliptiques près d un coin Théorème (Grisvard, Kozlov-Mazya-Rossmann) Le biholomorphisme T satisfait T 1 et T s étend continûment jusqu au bord ; DT 1 s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points T (z i ) dont α i < π où DT 1 1 y T (z i ) 1 α ; i π DT s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points z i 1 dont α i > π où DT π ; x z i 1 α i D 2 T appartient à L p loc (Ω) pour tout p < 4/3.

89 Proposition La paire d extension vérifie au sens des distributions t ω + ū ω = 0, dans R 2 (0, ) div ū = 0 et rot ū = ω + g ω (s)δ Ω, dans R 2 [0, ) ω(x, 0) = ω 0 (x), dans R 2. où δ Ω est la masse de Dirac le long de la courbe et g ω est : [ ] g ω (x) = u ˆτ = lim K Ω[ ω](x ρˆn) ˆτ ρ 0 + De plus, grâce aux estimations elliptiques, nous savons que ( ) ( ) ū L loc R +, W 1,1 loc (R2 ) L loc R +, L 1 (R 2 ) + L (R 2 ). = ω est une solution renormalisée au sens de DiPerna-Lions. Alors, ω(t, ) L p = ω 0 L p, t 0, p Euler [1, 2D ]. dans des domaines non réguliers 36 / 42

90 Proposition La paire d extension vérifie au sens des distributions t ω + ū ω = 0, dans R 2 (0, ) div ū = 0 et rot ū = ω + g ω (s)δ Ω, dans R 2 [0, ) ω(x, 0) = ω 0 (x), dans R 2. où δ Ω est la masse de Dirac le long de la courbe et g ω est : [ ] g ω (x) = u ˆτ = lim K Ω[ ω](x ρˆn) ˆτ ρ 0 + De plus, grâce aux estimations elliptiques, nous savons que ( ) ( ) ū L loc R +, W 1,1 loc (R2 ) L loc R +, L 1 (R 2 ) + L (R 2 ). = ω est une solution renormalisée au sens de DiPerna-Lions. Alors, ω(t, ) L p = ω 0 L p, t 0, p Euler [1, 2D ]. dans des domaines non réguliers 36 / 42

91 Proposition La paire d extension vérifie au sens des distributions t ω + ū ω = 0, dans R 2 (0, ) div ū = 0 et rot ū = ω + g ω (s)δ Ω, dans R 2 [0, ) ω(x, 0) = ω 0 (x), dans R 2. où δ Ω est la masse de Dirac le long de la courbe et g ω est : [ ] g ω (x) = u ˆτ = lim K Ω[ ω](x ρˆn) ˆτ ρ 0 + De plus, grâce aux estimations elliptiques, nous savons que ( ) ( ) ū L loc R +, W 1,1 loc (R2 ) L loc R +, L 1 (R 2 ) + L (R 2 ). = ω est une solution renormalisée au sens de DiPerna-Lions. Alors, ω(t, ) L p = ω 0 L p, t 0, p Euler [1, 2D ]. dans des domaines non réguliers 36 / 42

92 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 37 / 42

93 Les trajectoires Quand la vitesse u est régulière, elle engendre un flot φ x (t) définit par d dt φ x(t) = u ( t, φ x (t) ), φ x (0) = x, et nous avons d dt ω( t, φ x (t) ) 0. Nous introduisons L 1 (t, x) := 1 ( ln 2π et Ω T (x) T (y) T (x) T (y) T (y) L(t) := ln L 1 (t, φ(t)), qui tend vers l infini si φ(t) va vers le bord. ) ω(t, y) dy 38 / 42

94 Les trajectoires Quand la vitesse u est régulière, elle engendre un flot φ x (t) définit par d dt φ x(t) = u ( t, φ x (t) ), φ x (0) = x, et nous avons d dt ω( t, φ x (t) ) 0. Nous introduisons L 1 (t, x) := 1 ( ln 2π et Ω T (x) T (y) T (x) T (y) T (y) L(t) := ln L 1 (t, φ(t)), qui tend vers l infini si φ(t) va vers le bord. ) ω(t, y) dy 38 / 42

95 Proposition Soit ω 0 a support compact dans Ω. Si ω 0 est positif alors, pour tout T > 0, il existe a voisinage U T de Ω tel que ω(t) 0 dans U T, t [0, T ]. 39 / 42

96 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 40 / 42

97 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42

98 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42

99 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42

100 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42

101 Théorème (C.L.) Soit Ω est un ouvert borné simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2 et soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif (resp. négatif), alors il existe une unique solution faible globale sur les équations d Euler sur Ω vérifiant u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)), rot u L (R + ; L 1 L (Ω)). 42 / 42

102 Théorème (C.L.) Soit Ω est un ouvert borné simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2 et soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif (resp. négatif), alors il existe une unique solution faible globale sur les équations d Euler sur Ω vérifiant u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)), rot u L (R + ; L 1 L (Ω)). Dans les domaines extérieurs, il faut considérer la circulation, les champs de vecteurs harmoniques, contrôler la taille du support de la vorticité / 42

103 Théorème (C.L.) Soit Ω est un ouvert borné simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2 et soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif (resp. négatif), alors il existe une unique solution faible globale sur les équations d Euler sur Ω vérifiant u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)), rot u L (R + ; L 1 L (Ω)). Théorème (C.L.) Soit Ω := R 2 \C, où C est un compact simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2. Soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif et γ 0 rot u 0 (resp. rot u 0 négatif et γ 0 rot u 0 ), alors il existe une unique solution faible globale aux équations d Euler dans Ω, vérifiant 42 / 42

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