Euler 2D dans des domaines non réguliers
|
|
- Bruno Joseph
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Christophe Lacave Université de Paris Diderot (Paris VII), France partiellement en collaboration avec David Gérard-Varet (Paris VII) Math Horizon, Paris, 13 Décembre / 42
2 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42
3 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42
4 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42
5 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42
6 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 2 / 42
7 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 3 / 42
8 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42
9 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42
10 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42
11 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42
12 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42
13 Equations d Euler Soit u = (u 1, u 2 ) la vitesse d un fluide idéal incompressible se déplaçant dans un domaine Ω de R 2. Soit p la pression du fluide. L évolution d un tel fluide est gouverné par les équations d Euler : t u + u u = p(+g) dans (0, ) Ω div u = 0 u n = 0 dans [0, ) Ω dans [0, ) Ω lim u = 0 pour t [0, ) x u(0, x) = u 0 (x) dans Ω 4 / 42
14 Résultats connus Si u 0 est régulier alors il existe une unique solution forte globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné régulier (Wolibner, 1933) Ω est le plan en entier R 2 (McGrath, 1967) Ω est un domaine extérieur régulier (Kikuchi, 1983) Une quantité importante pour ce problème est le tourbillon/vorticité : Equation de la vorticité : Remarque ω = rot u = 1 u 2 2 u 1. t ω + u ω = 0 ω 0 L p = ω(t, ) L p t > 0. 5 / 42
15 Résultats connus Si u 0 est régulier alors il existe une unique solution forte globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné régulier (Wolibner, 1933) Ω est le plan en entier R 2 (McGrath, 1967) Ω est un domaine extérieur régulier (Kikuchi, 1983) Une quantité importante pour ce problème est le tourbillon/vorticité : Equation de la vorticité : Remarque ω = rot u = 1 u 2 2 u 1. t ω + u ω = 0 ω 0 L p = ω(t, ) L p t > 0. 5 / 42
16 Si ω 0 L 1 L p (Ω) (avec p > 1), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Diperna-Majda, 1987). Si ω 0 L 1 L (Ω), alors il existe une unique solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Yudovich, 1963). Estimation de u? Le noyau de Biot et Savart correspond à des opérateurs 1, qui ne vérifient des bonnes estimations que pour Ω C 1,1 (au moins). 6 / 42
17 Si ω 0 L 1 L p (Ω) (avec p > 1), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Diperna-Majda, 1987). Si ω 0 L 1 L (Ω), alors il existe une unique solution faible globale aux équations d Euler quand le domaine est régulier (Yudovich, 1963). Estimation de u? Le noyau de Biot et Savart correspond à des opérateurs 1, qui ne vérifient des bonnes estimations que pour Ω C 1,1 (au moins). 6 / 42
18 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 7 / 42
19 Les domaines convexes Proposition Si Ω est convexe, la solution ψ du problème de Dirichlet ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0 appartient à H 2 (Ω) quand le terme de source f appartient à L 2 (Ω), sans aucune hypothèse sur la régularité du domaine. Théorème (Taylor, 2000) Il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné convexe. 8 / 42
20 Les domaines convexes Proposition Si Ω est convexe, la solution ψ du problème de Dirichlet ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0 appartient à H 2 (Ω) quand le terme de source f appartient à L 2 (Ω), sans aucune hypothèse sur la régularité du domaine. Théorème (Taylor, 2000) Il existe une solution faible globale aux équations d Euler quand Ω est un domaine borné convexe. 8 / 42
21 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42
22 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42
23 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42
24 L extérieur d un arc de Jordan Soit Γ un arc de Jordan de classe C 2, et Ω := R 2 \ Γ. Théorème (C.L., 2009) Soit u 0 une donnée initiale telle que rot u 0 L c (Ω), alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler. Remarque u est continue jusqu à Γ, avec des valeurs différentes de chaque côté, sauf aux extrémités où u explose comme 1/ x. 9 / 42
25 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 10 / 42
26 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 11 / 42
27 Domaines bornés avec un nombre fini de trous Hypothèse Ω est un domaine borné avec un nombre fini de trous et ces trous sont de capacité positive. Ω := Ω ( \ k i=1 Ci), k N avec (H1) Ω est un ouvert borné simplement connexe ; (H2) C i est un compact connexe, Ω et C i C j = j i ; (H3) cap(c i ) > 0, pour tout i = 1... k. 12 / 42
28 Domaines bornés avec un nombre fini de trous Hypothèse Ω est un domaine borné avec un nombre fini de trous et ces trous sont de capacité positive. Ω := Ω ( \ k i=1 Ci), k N avec (H1) Ω est un ouvert borné simplement connexe ; (H2) C i est un compact connexe, Ω et C i C j = j i ; (H3) cap(c i ) > 0, pour tout i = 1... k. 12 / 42
29 Domaines bornés avec un nombre fini de trous Hypothèse Ω est un domaine borné avec un nombre fini de trous et ces trous sont de capacité positive. Ω := Ω ( \ k i=1 Ci), k N avec (H1) Ω est un ouvert borné simplement connexe ; Ω est une limite au sens d Hausdorff de Ω n (ouvert régulier simplement connexe) (H2) C i est un compact connexe, Ω et C i C j = j i ; (H3) cap(c i ) > 0, pour tout i = 1... k. 12 / 42
30 Capacité cap(e) := inf{ v 2 H 1 (R N ), v 1 p.p dans un voisinage de E}. Proposition 1 Pour tout compact K inclus dans un ouvert borné D, cap(k ) = cap( K ). 2 Si E R N est contenu dans une variété de dimension N 2, alors cap(e) = 0. 3 Si E R N contient un morceau d une hypersurface régulière (variété de N-1), alors cap(e) > 0. 4 Si Ω D, alors ( ) ( ) u H0 1 (Ω) u H0 1 (D) and u = 0 quasiment partout dans D\Ω. 13 / 42
31 Capacité cap(e) := inf{ v 2 H 1 (R N ), v 1 p.p dans un voisinage de E}. Proposition 1 Pour tout compact K inclus dans un ouvert borné D, cap(k ) = cap( K ). 2 Si E R N est contenu dans une variété de dimension N 2, alors cap(e) = 0. 3 Si E R N contient un morceau d une hypersurface régulière (variété de N-1), alors cap(e) > 0. 4 Si Ω D, alors ( ) ( ) u H0 1 (Ω) u H0 1 (D) and u = 0 quasiment partout dans D\Ω. 13 / 42
32 γ-convergence d ouverts bornés Soit Ω n D. On dit que (Ω n ) n N γ-converge vers Ω D si pour tout f H 1 (D), la suite de solutions ψ n H 1 0 (Ω n) de ψ n = f dans Ω n, ψ n Ωn = 0. converge fortement dans H0 1(D) vers la solution ψ H1 0 (Ω) de ψ = f dans Ω, ψ Ω = / 42
33 γ-convergence d ouverts bornés Soit Ω n D. On dit que (Ω n ) n N γ-converge vers Ω D si pour tout f H 1 (D), la suite de solutions ψ n H 1 0 (Ω n) de ψ n = f dans Ω n, ψ n Ωn = 0. converge fortement dans H0 1(D) vers la solution ψ H1 0 (Ω) de ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0. Théorème (Sverak) Nous supposons que le nombre de composante connexe de D \ Ω n est uniformément borné dans n. Si (Ω n ) n N converge au sens d Hausdorff vers Ω, la suite γ-converge vers Ω. 14 / 42
34 γ-convergence d ouverts bornés Soit Ω n D. On dit que (Ω n ) n N γ-converge vers Ω D si pour tout f H 1 (D), la suite de solutions ψ n H 1 0 (Ω n) de ψ n = f dans Ω n, ψ n Ωn = 0. converge fortement dans H0 1(D) vers la solution ψ H1 0 (Ω) de ψ = f dans Ω, ψ Ω = 0. Proposition (convergence de Mosco) (Ω n ) n N γ-converge vers Ω si et seulement si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : 1 Pour tout ψ H 1 0 (Ω), il existe une suite (ψ n) n N avec ψ n in H 1 0 (Ω n) qui converge vers ψ. 2 Pour toute suite (ψ n ) n N avec ψ n in H 1 0 (Ω n), convergeant faiblement vers ψ dans H 1 0 (D), ψ H1 0 (Ω). 14 / 42
35 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42
36 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42
37 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42
38 Approximation There exists a unique field un 0 Cc (Ω n ) satisfying rot un 0 = ωn, 0 div un 0 = 0, un n 0 Ωn = 0, un τds 0 = u 0 τds. J i J i Let u n the strong solution of the Euler equation in Ω n, then k u n (t, x) = ψn(t, 0 x) + αn(t) i ψn(x) i i=1 where ψ 0 n satisfies the Dirichlet problem ψ 0 n = ω n := rot u n in Ω n, ψ 0 n Ωn = 0 whereas ψn, i i = 1... k are harmonic functions satisfying ψn i ψ i n = 0 in Ω n, τ ψn i Ω n = 0, n = δ ij, ψn i = 0. Ωn O j n 15 / 42
39 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42
40 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42
41 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42
42 Harmonic part Estimation d énergie : ψ 0 n(t, ) 2 L 2 ω n (t, ) L 2 ψ 0 n(t, ) L 2. Inégalité de Poincaré sur D : ψ 0 n(t, ) H 1 0 (Ω n) C. Conservation de l énergie : u n (t) L 2 (Ω n) = u0 n L 2 (Ω n) C. ( t ψ 0 n) = t ω n = div (u n ω n ), t ψ 0 n Ωn = 0 = t ψ 0 n(t, ) H 1 0 (D) C. ψ 0 n ψ 0 faible* dans W 1, (0, T ; H 1 0 (D)) et fort dans C0 (0, T ; L 2 (D)). où ψ 0 (t, ) = ω(t, ) dans D (Ω) avec ψ 0 (t, ) H 1 0 (Ω). ψ 0 n 2 = ω n ψ 0 n ω ψ 0 = ψ 0 2. Alors ψ 0 n to ψ 0 in L 2 (0, T ; H 1 0 (D)). 16 / 42
43 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). 17 / 42
44 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). 17 / 42
45 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). Résumé : nous avons considéré u n une solution forte des équations d Euler sur Ω n := Ω ( ) n \, et nous avons k i=1 Oi n obtenu de la compacité grâce à la γ- convergence. 17 / 42
46 Théorème d existence dans les domaines bornés Théorème (Gerard Varet - C.L.) Soit p > 1 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 (Ω), rot u 0 L p (Ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, alors il existe une solution faible globale aux équations d Euler dans Ω telle que u L (R + ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L p (Ω)). Résumé : nous avons considéré u n une solution forte des équations d Euler sur Ω n := Ω ( ) n \, et nous avons k i=1 Oi n obtenu de la compacité grâce à la γ- convergence. Application : rugosité, capture de fluide / 42
47 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 18 / 42
48 Domaines non bornés avec un trou Hypothèse Ω est un ouvert avec un seul trou et ce trou est de capacité positive. Ω := R 2 \ C, k N avec (H1) C est un compact connexe ; (H2) cap(c) > / 42
49 Domaines non bornés avec un trou Hypothèse Ω est un ouvert avec un seul trou et ce trou est de capacité positive. Ω := R 2 \ C, k N avec (H1) C est un compact connexe ; (H2) cap(c) > / 42
50 Domaines non bornés avec un trou Hypothèse Ω est un ouvert avec un seul trou et ce trou est de capacité positive. Ω := R 2 \ C, k N avec (H1) C est un compact connexe ; C est une limite d Hausdorff de O n (ouvert borné régulier simplement connexe). (H2) cap(c) > / 42
51 Inégalité uniforme de Poincaré dans des domaines extérieurs Lemme Soit ρ un réel positif tel que C B(0, ρ). Si Ω vérifie (H1 )- (H2 ), alors il existe C ρ > 0 et N ρ, dépendant seulement de ρ, tel que ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)) C ρ ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)), ϕ C c (Ω n ), n N ρ. Nous avons besoin de contrôler uniformément la taille du support de ω n. Equation de transport : nous avons besoin de contrôler uniformément la vitesse loin du bord. 20 / 42
52 Inégalité uniforme de Poincaré dans des domaines extérieurs Lemme Soit ρ un réel positif tel que C B(0, ρ). Si Ω vérifie (H1 )- (H2 ), alors il existe C ρ > 0 et N ρ, dépendant seulement de ρ, tel que ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)) C ρ ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)), ϕ C c (Ω n ), n N ρ. Nous avons besoin de contrôler uniformément la taille du support de ω n. Equation de transport : nous avons besoin de contrôler uniformément la vitesse loin du bord. 20 / 42
53 Inégalité uniforme de Poincaré dans des domaines extérieurs Lemme Soit ρ un réel positif tel que C B(0, ρ). Si Ω vérifie (H1 )- (H2 ), alors il existe C ρ > 0 et N ρ, dépendant seulement de ρ, tel que ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)) C ρ ϕ L 2 (Ω n B(0,ρ)), ϕ C c (Ω n ), n N ρ. Nous avons besoin de contrôler uniformément la taille du support de ω n. Equation de transport : nous avons besoin de contrôler uniformément la vitesse loin du bord. 20 / 42
54 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 21 / 42
55 Loi de Biot-Savart Pour ω n (t, ) et γ R donnés, il existe un unique champ de vecteur u n vérifiant div u n = 0 dans Ω n rot u n = ω n u n n = 0 dans Ω n sur Ω n Ω n u n ds = γ pour t [0, ) lim x u n = 0. La loi de Biot-Savart est la loi donnant u n en fonction de ω n et γ. 22 / 42
56 Loi de Biot-Savart Pour ω n (t, ) et γ R donnés, il existe un unique champ de vecteur u n vérifiant div u n = 0 dans Ω n rot u n = ω n u n n = 0 dans Ω n sur Ω n Ω n u n ds = γ pour t [0, ) lim x u n = 0. La loi de Biot-Savart est la loi donnant u n en fonction de ω n et γ. 22 / 42
57 Green functions La fonction de Green vérifie : y G Ωn (x, y) = δ(y x) pour x, y Ω n G Ωn (x, y) = 0 pour y Ω n G Ωn (x, y) = G Ωn (y, x) Nous introduisons K Ωn (x, y) := x G Ωn (x, y) et K Ωn [f ](x) := K Ωn (x, y)f (y) dy. Ω n 23 / 42
58 Green functions La fonction de Green vérifie : y G Ωn (x, y) = δ(y x) pour x, y Ω n G Ωn (x, y) = 0 pour y Ω n G Ωn (x, y) = G Ωn (y, x) Nous introduisons K Ωn (x, y) := x G Ωn (x, y) et K Ωn [f ](x) := K Ωn (x, y)f (y) dy. Ω n 23 / 42
59 Dans R 2 La fonction de Green est G R 2(x, y) = 1 ln x y. 2π La loi de Biot Savart dans le plan entier est u n = K ω n, avec K (x) = 1 x 2π x / 42
60 Dans R 2 La fonction de Green est G R 2(x, y) = 1 ln x y. 2π La loi de Biot Savart dans le plan entier est u n = K ω n, avec K (x) = 1 x 2π x / 42
61 La fonction de Green est Dans D c G D c(x, y) = 1 x y ln 2π x y y. Le champ de vecteur harmonique H D c(x) = 1 2π ln x = 1 x 2π x 2 est l unique champ de vecteur vérifiant div H D c = 0 rot H D c = 0 H D c n = 0 H D c = O(1/ x ) quand x H D c ds = 1. D dans D c dans D c sur D 25 / 42
62 La fonction de Green est Dans D c G D c(x, y) = 1 x y ln 2π x y y. Le champ de vecteur harmonique H D c(x) = 1 2π ln x = 1 x 2π x 2 est l unique champ de vecteur vérifiant div H D c = 0 rot H D c = 0 H D c n = 0 H D c = O(1/ x ) quand x H D c ds = 1. D dans D c dans D c sur D 25 / 42
63 Dans D c La loi de Biot-Savart à l extérieur de la boule unité est u n = u n (t, x) = K D c[ω n (t, )](x) + αh D c(x), avec K D (x, y) = 1 ( (x y) 2π x y 2 (x y ) ) x y / 42
64 Dans D c La loi de Biot-Savart à l extérieur de la boule unité est u n = u n (t, x) = K D c[ω n (t, )](x) + αh D c(x), avec K D (x, y) = 1 ( (x y) 2π x y 2 (x y ) ) x y / 42
65 Dans D c La loi de Biot-Savart à l extérieur de la boule unité est avec u n = u n (t, x) = K D c[ω n (t, )](x) + αh D c(x), K D (x, y) = 1 ( (x y) 2π x y 2 (x y ) ) x y 2. et α(t) = γ + D c ω n (t, x) dx. 26 / 42
66 La fonction de Green est Dans Ω n G n (x, y) = 1 2π ln T n (x) T n (y) T n (x) T n (y) T n (y). Le champ de vecteur harmonique est H n (x) = 1 2π ln T n (x) = 1 2π DT t n (x) T n(x) T n (x) 2. La loi de Biot-Savart dans un domaine extérieur est u n = u n (t, x) = K n [ω n (t, )](x) + αh n (x), avec K n (x, y) = 1 ( 2π DT n t (Tn (x) T n (y)) (x) T n (x) T n (y) 2 (T n(x) T n (y) ) ) T n (x) T n (y) 2. et α(t) = γ + Ω n ω n (t, x) dx. 27 / 42
67 La fonction de Green est Dans Ω n G n (x, y) = 1 2π ln T n (x) T n (y) T n (x) T n (y) T n (y). Le champ de vecteur harmonique est H n (x) = 1 2π ln T n (x) = 1 2π DT t n (x) T n(x) T n (x) 2. La loi de Biot-Savart dans un domaine extérieur est u n = u n (t, x) = K n [ω n (t, )](x) + αh n (x), avec K n (x, y) = 1 ( 2π DT n t (Tn (x) T n (y)) (x) T n (x) T n (y) 2 (T n(x) T n (y) ) ) T n (x) T n (y) 2. et α(t) = γ + Ω n ω n (t, x) dx. 27 / 42
68 La fonction de Green est Dans Ω n G n (x, y) = 1 2π ln T n (x) T n (y) T n (x) T n (y) T n (y). Le champ de vecteur harmonique est H n (x) = 1 2π ln T n (x) = 1 2π DT t n (x) T n(x) T n (x) 2. La loi de Biot-Savart dans un domaine extérieur est u n = u n (t, x) = K n [ω n (t, )](x) + αh n (x), avec K n (x, y) = 1 ( 2π DT n t (Tn (x) T n (y)) (x) T n (x) T n (y) 2 (T n(x) T n (y) ) ) T n (x) T n (y) 2. et α(t) = γ + Ω n ω n (t, x) dx. 27 / 42
69 Convergence des noyaux et théorème de Caratheodory (1912) Soit T n l unique biholomorphisme tel que T n : O n c D c, avec T n ( ) =, T n( ) > 0. Proposition Soit Π la composante connexe non borné de Ω. Il existe un unique biholomorphisme T de Π vers D c, satisfaisant T ( ) =, T ( ) > 0. De plus, nous avons les propriétés de convergence suivantes : i) Tn 1 converge localement uniformément vers T 1 dans D c. ii) T n (resp. T n) converge localement uniformément vers T (resp. vers T ) dans Π. iii) T n converge localement uniformément vers 1 dans Ω \ Π. 28 / 42
70 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42
71 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42
72 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42
73 Lemme Soit R 0 assez grand pour que Π c supp ωn 0 B(0, R 0 ). Alors, il existe C 0 = C( ω 0 L 1, ω 0 L, R 0 ) tel que u n (t, x) C 0, n. L (R + B(0,R 0 ) c ) Comme ω n est transporté par u n, nous pouvons conclure que supp ω n (t, ) B(0, R 0 + C 0 t), t, n. Estimation d énergie : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω ω n) n(t, ) L 2 ψn(t, 0 ) L 2 (supp ω. n) Inégalité de Poincaré sur B(0, R 0 + C 0 T ) : ψn(t, 0 ) L 2 (Ω C. n) Inégalité de Poincaré sur K : ψn(t, 0 ) H 1 0 (Ω n K ) C, t [0, T ]. Estimation de la vitesse : u n (t) L 2 (Ω n K ) C. = compacité forte de u n vers u dans L 2 loc (R+ Ω). 29 / 42
74 Théorème d existence dans un domaine extérieur Théorème (Gérard Varet - C.L.) Soit p > 2 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 loc (Ω), rot u0 L p c(ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, lim x u0 (x) = 0, alors il existe une solution faible global aux équations d Euler dans Ω telle que u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L p (Ω)). 30 / 42
75 Théorème d existence dans un domaine extérieur Théorème (Gérard Varet - C.L.) Soit p > 2 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 loc (Ω), rot u0 L p c(ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, lim x u0 (x) = 0, alors il existe une solution faible global aux équations d Euler dans Ω telle que u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L p (Ω)). 30 / 42
76 Théorème d existence dans un domaine extérieur Théorème (Gérard Varet - C.L.) Soit p > 2 et u 0 une donnée initiale telle que u 0 L 2 loc (Ω), rot u0 L p c(ω), div u 0 = 0, u 0 n Ω = 0, lim x u0 (x) = 0, alors il existe une solution faible global aux équations d Euler dans Ω telle que u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L p (Ω)). Résumé : nous avons considéré u n une solution forte aux équations d Euler Ω n := Ω n \ On, i et nous avons obtenu la compacité grâce à la γ- convergence et la convergence des noyaux. 30 / 42
77 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 31 / 42
78 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42
79 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42
80 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42
81 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42
82 La preuve de Yudovich Dans les domaines réguliers, avec ω 0 L 1 L. Soient u 1 et u 2 deux solutions. Alors ũ := u 1 u 2 vérifie ũ et Ω, nous obtenons 1 d 2 dt ũ 2 L 2 t ũ + u 1 ũ + ũ u 2 = p. Inégalité de Calderón-Zygmund : ũ u 2 ũ. u 2 L p (Ω) Cp ω 2 L p (Ω), p [2, ). d Alors, 1 2 dt ũ 2 Cp ũ 2 2 p et nous avons par un argument de L 2 L 2 type Gronwall ũ(t, ) 2 L 2 (2CT ) p, T, p > 2. 1 Nous choisissons T < 1/(2C), et p = unicité sur [0, 2C ) + itération. 32 / 42
83 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 33 / 42
84 Soit Ω un domaine borné simplement connexe tel que le bord a un nombre fini de coins (d angle α i en z i ). Soit u une solution faible aux équations d Euler telle que u L loc (R+ ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L ). Loi de Biot-Savart : u(t, x) = DT t (x) 2π Ω ( (T (x) T (y)) T (x) T (y) 2 (T (x) T (y) ) T (x) T (y) 2 ) ω(t, y) dy. 34 / 42
85 Soit Ω un domaine borné simplement connexe tel que le bord a un nombre fini de coins (d angle α i en z i ). Soit u une solution faible aux équations d Euler telle que u L loc (R+ ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L ). Loi de Biot-Savart : u(t, x) = DT t (x) 2π Ω ( (T (x) T (y)) T (x) T (y) 2 (T (x) T (y) ) T (x) T (y) 2 ) ω(t, y) dy. 34 / 42
86 Soit Ω un domaine borné simplement connexe tel que le bord a un nombre fini de coins (d angle α i en z i ). Soit u une solution faible aux équations d Euler telle que u L loc (R+ ; L 2 (Ω)) et rot u L (R + ; L 1 L ). Loi de Biot-Savart : u(t, x) = DT t (x) 2π Ω ( (T (x) T (y)) T (x) T (y) 2 (T (x) T (y) ) T (x) T (y) 2 ) ω(t, y) dy. 34 / 42
87 Si α i > π/2, i, alors u 1/ x z i 1 π α i. 35 / 42 Domaines réguliers 2 exceptions Existence Loi de Biot-Savart Unicité Estimations elliptiques près d un coin Théorème (Grisvard, Kozlov-Mazya-Rossmann) Le biholomorphisme T satisfait T 1 et T s étend continûment jusqu au bord ; DT 1 s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points T (z i ) dont α i < π où DT 1 1 y T (z i ) 1 α ; i π DT s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points z i 1 dont α i > π où DT π ; x z i 1 α i D 2 T appartient à L p loc (Ω) pour tout p < 4/3.
88 Si α i > π/2, i, alors u 1/ x z i 1 π α i. 35 / 42 Domaines réguliers 2 exceptions Existence Loi de Biot-Savart Unicité Estimations elliptiques près d un coin Théorème (Grisvard, Kozlov-Mazya-Rossmann) Le biholomorphisme T satisfait T 1 et T s étend continûment jusqu au bord ; DT 1 s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points T (z i ) dont α i < π où DT 1 1 y T (z i ) 1 α ; i π DT s étend continûment jusqu au bord, excepté aux points z i 1 dont α i > π où DT π ; x z i 1 α i D 2 T appartient à L p loc (Ω) pour tout p < 4/3.
89 Proposition La paire d extension vérifie au sens des distributions t ω + ū ω = 0, dans R 2 (0, ) div ū = 0 et rot ū = ω + g ω (s)δ Ω, dans R 2 [0, ) ω(x, 0) = ω 0 (x), dans R 2. où δ Ω est la masse de Dirac le long de la courbe et g ω est : [ ] g ω (x) = u ˆτ = lim K Ω[ ω](x ρˆn) ˆτ ρ 0 + De plus, grâce aux estimations elliptiques, nous savons que ( ) ( ) ū L loc R +, W 1,1 loc (R2 ) L loc R +, L 1 (R 2 ) + L (R 2 ). = ω est une solution renormalisée au sens de DiPerna-Lions. Alors, ω(t, ) L p = ω 0 L p, t 0, p Euler [1, 2D ]. dans des domaines non réguliers 36 / 42
90 Proposition La paire d extension vérifie au sens des distributions t ω + ū ω = 0, dans R 2 (0, ) div ū = 0 et rot ū = ω + g ω (s)δ Ω, dans R 2 [0, ) ω(x, 0) = ω 0 (x), dans R 2. où δ Ω est la masse de Dirac le long de la courbe et g ω est : [ ] g ω (x) = u ˆτ = lim K Ω[ ω](x ρˆn) ˆτ ρ 0 + De plus, grâce aux estimations elliptiques, nous savons que ( ) ( ) ū L loc R +, W 1,1 loc (R2 ) L loc R +, L 1 (R 2 ) + L (R 2 ). = ω est une solution renormalisée au sens de DiPerna-Lions. Alors, ω(t, ) L p = ω 0 L p, t 0, p Euler [1, 2D ]. dans des domaines non réguliers 36 / 42
91 Proposition La paire d extension vérifie au sens des distributions t ω + ū ω = 0, dans R 2 (0, ) div ū = 0 et rot ū = ω + g ω (s)δ Ω, dans R 2 [0, ) ω(x, 0) = ω 0 (x), dans R 2. où δ Ω est la masse de Dirac le long de la courbe et g ω est : [ ] g ω (x) = u ˆτ = lim K Ω[ ω](x ρˆn) ˆτ ρ 0 + De plus, grâce aux estimations elliptiques, nous savons que ( ) ( ) ū L loc R +, W 1,1 loc (R2 ) L loc R +, L 1 (R 2 ) + L (R 2 ). = ω est une solution renormalisée au sens de DiPerna-Lions. Alors, ω(t, ) L p = ω 0 L p, t 0, p Euler [1, 2D ]. dans des domaines non réguliers 36 / 42
92 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 37 / 42
93 Les trajectoires Quand la vitesse u est régulière, elle engendre un flot φ x (t) définit par d dt φ x(t) = u ( t, φ x (t) ), φ x (0) = x, et nous avons d dt ω( t, φ x (t) ) 0. Nous introduisons L 1 (t, x) := 1 ( ln 2π et Ω T (x) T (y) T (x) T (y) T (y) L(t) := ln L 1 (t, φ(t)), qui tend vers l infini si φ(t) va vers le bord. ) ω(t, y) dy 38 / 42
94 Les trajectoires Quand la vitesse u est régulière, elle engendre un flot φ x (t) définit par d dt φ x(t) = u ( t, φ x (t) ), φ x (0) = x, et nous avons d dt ω( t, φ x (t) ) 0. Nous introduisons L 1 (t, x) := 1 ( ln 2π et Ω T (x) T (y) T (x) T (y) T (y) L(t) := ln L 1 (t, φ(t)), qui tend vers l infini si φ(t) va vers le bord. ) ω(t, y) dy 38 / 42
95 Proposition Soit ω 0 a support compact dans Ω. Si ω 0 est positif alors, pour tout T > 0, il existe a voisinage U T de Ω tel que ω(t) 0 dans U T, t [0, T ]. 39 / 42
96 Plan de l exposé 1 Solution forte dans un domaine régulier 2 Solution faible dans 2 domaines non réguliers 3 Existence de solution faible dans les domaines singuliers Domaines bornés avec un nombre fini de trous Domaines non bornés avec un trou 4 Loi de Biot-Savart dans les domaines simplement connexes 5 Unicité des solutions faibles dans quelques domaines singuliers Propriétés de la solution Méthode de Liapounov Preuve de l unicité 40 / 42
97 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42
98 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42
99 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42
100 Soit v i := K R 2[ω i ] et w i := u i v i. Nous notons par tilde la différence, et nous avons t ṽ + ṽ v 1 + v 2 ṽ + div (ṽ w 1 +v 2 w + w 1 ṽ + w v 2 ) (v 1 (s) gṽ,0 (s) ṽ(s) g v2,γ 0 ( ṽ et on intègre. Nous avons quelques termes du genre R w 2 1 ṽ ṽ, avec w 1 explosant près des coins. Loin du bord, nous suivons ce qu a fait Yudovich, et près du bord nous calculons w 1 ṽ ṽ w 1 L 1 (U) ṽ L (U) ṽ L (U) C ṽ 2 L 2 (U) U = unicité par Gronwall. 41 / 42
101 Théorème (C.L.) Soit Ω est un ouvert borné simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2 et soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif (resp. négatif), alors il existe une unique solution faible globale sur les équations d Euler sur Ω vérifiant u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)), rot u L (R + ; L 1 L (Ω)). 42 / 42
102 Théorème (C.L.) Soit Ω est un ouvert borné simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2 et soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif (resp. négatif), alors il existe une unique solution faible globale sur les équations d Euler sur Ω vérifiant u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)), rot u L (R + ; L 1 L (Ω)). Dans les domaines extérieurs, il faut considérer la circulation, les champs de vecteurs harmoniques, contrôler la taille du support de la vorticité / 42
103 Théorème (C.L.) Soit Ω est un ouvert borné simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2 et soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif (resp. négatif), alors il existe une unique solution faible globale sur les équations d Euler sur Ω vérifiant u L loc (R+ ; L 2 loc (Ω)), rot u L (R + ; L 1 L (Ω)). Théorème (C.L.) Soit Ω := R 2 \C, où C est un compact simplement connexe, tel que Ω a un nombre fini de coins avec des angles supérieur à π/2. Soit u 0 vérifiant (CC). Si rot u 0 L c (Ω) est positif et γ 0 rot u 0 (resp. rot u 0 négatif et γ 0 rot u 0 ), alors il existe une unique solution faible globale aux équations d Euler dans Ω, vérifiant 42 / 42
3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailModélisation et Simulation
Cours de modélisation et simulation p. 1/64 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Cours de modélisation et simulation
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailIntroduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides
Laboratoire Jacques-Louis LIONS Introduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides Master 2 - Année universitaire 2014-2015 Pascal FREY et Yannick PRIVAT Laboratoire Jacques-Louis
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailApproximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff
Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff Lingmin LIAO Travaux en collaboration avec Yann Bugeaud, Dong Han Kim et Micha l Rams Université Paris-Est Créteil Séminaire de Probabilités
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailIntroduction à la méthode des éléments finis
ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS Introduction à la méthode des éléments finis Michel KERN 1 2004 2005 S3733 / S3735 1 Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Michel.Kern@inria.fr 2
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailFinance, Navier-Stokes, et la calibration
Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailThéorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations
Théorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations Objectifs de la session. Comprendre les calculs de Valeur Actuelle (VA, Present Value, PV) Formule générale, facteur d actualisation (discount
Plus en détailUNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE THÈSE D HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES
UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE THÈSE D HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES Spécialité : Mathématiques Analyse de Quelques Problèmes Elliptiques et Paraboliques non Linéaires Dégénérés : Existence,
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailI Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...
TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailÉquation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou
Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailLicence à distance Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques à un pas.
Licence à distance Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques à un pas. M. Granger Table des matières 1 Rappels sur le cours d équations différentielles 2 1.1 Généralités..........................................
Plus en détailRetournement Temporel
Retournement Temporel Rédigé par: HENG Sokly Encadrés par: Bernard ROUSSELET & Stéphane JUNCA 2 juin 28 Remerciements Je tiens tout d'abord à remercier mes responsables de mémoire, M.Bernard ROUSSELET
Plus en détailT.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY
T.P. FLUENT Cours Mécanique des Fluides 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY 2 Table des matières 1 Choc stationnaire dans un tube à choc 7 1.1 Introduction....................................... 7 1.2 Description.......................................
Plus en détail1 Comment faire un document Open Office /writer de façon intelligente?
1 Comment faire un document Open Office /writer de façon intelligente? 1.1 Comment fonctionne un traitement de texte?: les balises. Un fichier de traitement de texte (WRITER ou WORD) comporte en plus du
Plus en détailTechniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité
Techniques de Lyapunov en contrôle quantique pour le couplage dipolaire et polarisabilité Andreea Grigoriu avec Jean-Michel Coron, Cătălin Lefter and Gabriel Turinici CEREMADE-Université Paris Dauphine
Plus en détailEquations aux Dérivées Partielles
Equations aux Dérivées Partielles Tony Lelièvre 29-2 Après avoir considéré dans le capitre précédent des équations d évolution pour des fonctions ne dépendant que du paramètre temps, nous nous intéressons
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailIntroduction à la. Points Critiques. Otared Kavian. et Applications aux Problèmes Elliptiques. Springer-Verlag
Otared Kavian Introduction à la Théorie des Points Critiques et Applications aux Problèmes Elliptiques Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest Avant propos
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailCondition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½
Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailIntroduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing
Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailTD de Physique n o 1 : Mécanique du point
E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M FE 3 e année Phsique appliquée 011-01 TD de Phsique n o 1 : Mécanique du point Exercice n o 1 : Trajectoire d un ballon-sonde Un ballon-sonde M, lâché au niveau du
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailTIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES
Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailrf( 1 f(x)x dx = O. ) U concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse
page 8 AGREGATIN de MATHEMATIQUES: 1991 1/5 externeanalyse concours externe de recrutement de professeurs agreg6s composition d analyse NTATINS ET DGFINITINS Dans tout le problème, R+ désigne l intervalle
Plus en détailIntroduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailIntégrale de Lebesgue
Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailPlan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.
Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée
Plus en détailChafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
Plus en détailRupture et plasticité
Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailRO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailErreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition
Chapitre 6 Erreur statique On considère ici le troisième paramètre de design, soit l erreur statique. L erreur statique est la différence entre l entrée et la sortie d un système lorsque t pour une entrée
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détail