Méthode des domaines fictifs

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1 Méthode des domaines fictifs Patrick Joly On se propose dans ce projet de résoudre le problème de Laplace par une méthode, dite de domaine fictif qui permet de simplifier la prise en compte de domaines de géométrie complexe. Plus précisément, on considère le problème suivant : u = f dans Ω u = 0 sur () u = g sur Γ où est le carré ]0, [ ]0, [, Γ est la frontière d un ouvert borné O inclus dans et Ω = /O. On supposera par la suite que f L 2 (Ω) et que g H 2 (Γ). Figure : Domaine géométrique Principe de la méthode des domaines fictifs On introduit l espace affine: V (g) = { v H (Ω), v = 0 sur, v = g sur Γ }.

2 Question : M ontrer que le problème () admet une unique solution, notée par la suite u, et qu il est équivalent au problème de minimisation : min v 2 dω fv dω (2) v V (g) 2 onsidérons maintenant l espace : et le sous-espace affine: Ω H 0 () = { v H (), v = 0 sur } Ṽ (g) = { ṽ H 0 (), v = g sur Γ}. Introduisons le problème de minimisation suivant : min ṽ 2 dω ev V e (g) 2 où on a posé : Ω f = { f dans Ω 0 dans O. fṽ dω (3) Question 2: Montrer que le problème de minimisation (3) admet une unique solution ũ et montrer que : ũ Ω = u. Quel problème est satisfait par la restriction de ũ à l ouvert O? (on remarquera que l on résout deux problèmes pour le prix d un!) On rappelle que H 2 (Γ) désigne l espace dual de l espace H 2 (Γ) et que l espace H 2 (Γ) est l image de l application trace sur Γ de l espace H0 (). On note la dualité H 2 (Γ), H 2 (Γ) à l aide du crochet de dualité µ, s pour tout µ H 2 (Γ) et tout s H 2 (Γ). On a L 2 (Γ) H 2 (Γ) et lorsque µ L 2 (Γ), on a : µ, s = µ s dγ. Question 3: Montrer (formellement) que si ũ est solution du problème (3) alors il existe λ H 2 (Γ) tel que ũ. ṽ dω = fṽ dω + λ, ṽ ṽ H0() (4) µ, ũ = 0 µ H 2 (Γ) (On interprètera λ en fonction de ũ.) Γ 2

3 Discrétisation par éléments finis Afin de discrétiser le problème (4), on introduit d une part un maillage régulier du carré construit à partir d un maillage en petits carrés de côté h en découpant chaque petit carré selon la diagonale parallèle à x = y. On utilise ce maillage pour construire un espace d approximation V h de H0 () (approximation par éléments finis P). D autre part, on introduit un maillage constitué desegments de la courbe Γ à l aide duquel on construit un espace d approximation M h de H 2 (Γ) (approximation par éléments finis P0). Plus précisément, si on désigne par (T l ) l=,n l ensemble des triangles constituant le maillage régulier de on a : V h = { v h ( 0 ) / l n, v h Tl P et v h = 0 sur } et si (S k ) k=,m désigne l ensemble des segments du maillage de la courbe Γ, on a : M h = { µ h L (Γ) / k m, µ h Sk P 0 }. On notera par la suite (w i ) i=,n la base éléments finis usuelle de l espace V h et (χ k ) k=,m la base de M h définie par : { sur Sk χ k = 0 sinon Question 4: Montrer que la discrétisation du problème (4) dans les espaces V h et M h est équivalente à la résolution du système linéaire : [ ] ( ) ( ) K B U F B t = (5) 0 Λ 0 où K et B sont des matrices respectivement d ordre n m et les coeeficients en fonction des fonctions w i et χ k. n m dont on exprimera Question 5: Montrer que la résolution du système linéaire (5) peut se ramener à la résolution du système linéaire d ordre m : AΛ = G (6) avec A = B t K B et G = B t K F. Montrer que la matrice A est inversible si et seulement si KerB = {0}. Question 6: Montrer que la propriété KerB = {0} équivaut à la propriété: (P ) µ h M h et ṽ h µ h dγ = 0, ṽ h V h = µ h = 0. Γ Montrer que si un triangle T l contient quatre segments S k alors la propriété (P ) n est pas satisfaite. 3

4 Montrer que si les maillages sont tels que, pour tout segment S k il existe une fonction de base w i telle que: Γ supp w i S k, alors la propriété (P ) est satisfaite. Interpréter ces deux derniers résultats en termes des finesses respectives des maillages du carré et de la courbe Γ. Mise en oeuvre de la méthode On réalisera les différentes étapes suivantes : onstruction d un maillage régulier en triangles rectangles (petits carrés coupés en deux selon la diagonale) du carré (tableau des coordonnées et de numérotation globale) onstruction d un maillage en segments de la courbe Γ (définir Γ comme une courbe paramétrée). Repérage des sommets du maillage du carré qui se situent dans Ω. Fabrication de la matrice de rigidité K (ne pas oublier d éliminer les conditions de Dirichlet sur ). Fabrication du second membre F. On utilisera la méthode d interpolation, c est-àdire : f f(m i )w i M i i=,n Fabrication de la matrice B. On réécrira chaque élément B jk comme la somme de contributions B l jk ne faisant intervenir que le triangle T l, l décrivant l ensemble des triangles rencontrant le segment S k. On remarquera que, le maillage étant régulier, il est facile de déterminer l ensemble des triangles du maillage rencontrant S k. On écrira donc une procédure générant pour chaque segment l ensemble des triangles le rencontrant. Pour fabriquer la matrice B on pourra alors réaliser l algorithme d assemblage suivant : B =0 pour k =, K (K nombre de segments) pour p =, n K ( n K nombre de triangles rencontrant le segment S k ) l = n du pème triangle rencontrant S k pour j =, 3 (boucle sur les sommets du triangle l) 4

5 J = lg(l, j) (N global du ième sommet du trianngle l) alcul de B l jk (contribution élémentaire du triangle T l) B jk = B jk + B l jk (assemblage) (Remarque : Le calcul de la contribution élémentaire B l jk s obtient facilement par changement de variable!) Fabrication de la matrice A. Il n est pas utile de calculer l inverse de la matrice K. On se contentera de factoriser sous forme holeski la matrice K puis de résoudre sucessivement les systèmes linéaires pour k =, m : KX k = B k où B k désigne la kème colonne de la matrice B. On fabriquera ainsi les colonnes de la matrices K B. Il reste alors à effectuer le produit par B t pour obtenir la matrice A. Noter qu il n est pas nécessaire de fabriquer effectivement la matrice K B. En effet, dès que l on a calculé un vecteur X k, le produit B t X k représente exactement la kème colonne de la matrice A. Afin d économiser la place mémoire on enchainera donc le calcul de X k et le calcul du produit B t X k. alcul du second membre G. Ayant factorisé sous forme holeski la matrice de rigidité K, l obtention du vecteur G s obtient par résolution du système linéaire KX = F et du produit B t X. Résolution du système linéaire (6) fournissant Λ. On pourra utiliser une factorisation de holeski de la matrice A ou une méthode de gradient conjugué. Reconstruction de la solution U à partir de Λ. Tests numériques On testera dans un premier temps l approximation P en faisant abstraction de la frontière Γ. e test permettra de valider le maillage régulier, le calcul de K, celui de F ainsi que les étapes de résolution d un système linéaire par la méthode de holeski. Pour obtenir une solution de référence soit on se donnera analytiquement une fonction u (nulle sur!) et on prendra f = u. soit on remarquera que la solution générale s obtient facilement par décomposition sur les modes de Dirichlet, connus explicitement. Pour valider la méthode des domaines fictifs on pourra aussi bien utiliser la solution dans Ω que la solution intérieure dans O. Pour obtenir des solutions de référence on pourra 5

6 Utiliser une solution calculée par une méthode d éléments finis standard. (Penser à réinterpoler la solution sur le maillage régulier du carré) Utiliser des solutions analytiques de références. est en particulier facile si le domaine intérieur O est un carré (dont on pourra faire varier l orientation) ou un cercle (dont on pourra faire bouger le centre). Une fois la méthode validée, on étudiera l influence des pas discrétisation du carré et de l obstacle et notamment de leur rapport. 6

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