TREILLIS «PLANS» Matériau : acier, bois, aluminium. Exemples : «fermes de toiture» noeud

Transcription

1 TREILLIS «LANS» Définition : structures constituées de barres bi-articulées assemblées par leurs extrémités. Utilisation : poutres de planchers, toitures, ponts, etc. Matériau : acier, bois, aluminium. Exemples : «fermes de toiture» noeud

2 TREILLIS «LANS» Exemples : «poutres»

3 TREILLIS «LANS» (suite) Hypothèses de calcul : Nœuds = articulations parfaites; Axes des barres parfaitement concourants; Charges appliquées uniquement aux nœuds; Conclusion : Les barres des treillis sont soumises à des efforts axiaux de traction ou de compression! Calcul d un treillis = calculs des réactions d appui et des efforts dans les barres!

4 TREILLIS «LANS» (suite) En pratique : Nœuds = articulations parfaites;??? Dispositifs pratiques de liaison = articulations parfaites, si: Axes des barres parfaitement concourants; Charges appliquées uniquement aux nœuds; Dispositifs de liaison peu encombrants; Barres «élancées» Sinon : prise en compte d effets secondaires!

5 CONCETION TREILLIS «LANS» Cellule de base = trois barres assemblées en triangle = cellule quasi indéformable! Treillis simple : cellule de base + «1 noeud, 2 barres» + «1 noeud, 2 barres» +...

6 CONCETION TREILLIS «LANS» Un treillis simple : pas seulement des triangles juxtaposés! Treillis composé : Assemblage de treillis simples

7 CONCETION TREILLIS Treillis composés : «LANS» Treillis complexe : on en reparlera!

8 ISOSTATICITE TREILLIS «LANS» SRL noeud N 3 N 2 N 4 N 1 Nombre de barres : b Nombre de réactions d appui : r Nombre de nœuds : n 2 équations d équilibre Nombre d inconnues : b + r Nombre d équations : 2n

9 ISOSTATICITE TREILLIS «LANS» Treillis isostatique (globalement) si : b + r = 2n Treillis hyperstatique (globalement) si : b + r > 2n Treillis «mécanisme» si : b + r < 2n Exemples :

10 ISOSTATICITE TREILLIS «LANS» Les conditions «b+r=2n» et «b+r>2n» ne sont pas suffisantes pour assurer la stabilité du treillis: Exemples :

11 ANALYSE TREILLIS «LANS» Méthode des équilibres successifs de noeuds Calcul des réactions d appui; Choix d un premier nœud à 2 barres; 2 équations efforts dans les 2 barres; Deuxième nœud à 2 efforts inconnus; 2 équations efforts dans les 2 barres; etc... Les treillis simples sont toujours calculables de cette manière!

12 ANALYSE TREILLIS «LANS» Equilibres successifs de nœuds: exemple E F G A D B C R A R C Q Nœud A: N AE N AB = 0 N AB R A N AE = R A Nœud E: α N AE N EF N EB N EB = N AE /sinα N EF = N AE cosα /sinα

13 ANALYSE TREILLIS «LANS» Equilibres successifs de nœuds: exemple E F G A D B C R A R C Q Nœud F Nœud B Nœud C Nœud G Nœud D : vérification possible!

14 ANALYSE TREILLIS «LANS» Equilibre simultané de tous les noeuds Ecriture systématique et simultanée des 2 équations de chaque nœud; 2n équations à 2n inconnues (efforts dans les barres et réactions d appui); Forme matricielle : [A].{R}= {}; Matrice singulière dénonce un treillis instable. Tous les types de treillis sont calculables de cette manière!

15 ANALYSE TREILLIS «LANS» Equilibre simultané des nœuds: exemple E F G A Nœud A: Nœud E: D B C R A R C Q N AE N AB = 0 N AB N AE R A = 0 R A α N AE N EF N EB N EB. cosα + N EF = 0 N AE N EB.sinα = 0 Nœuds B, F, C, G, D syst. de 14éq. à 14inc.

16 ANALYSE TREILLIS «LANS» Situations particulières: Dans certaines situations de nœuds non chargés, les efforts dans les barres sont évidents: 1 N 1 = N N 1 = 0 N 2 = N 1 = N 2 N 3 = N 1 = N 3 N 2 = N 4

17 ANALYSE TREILLIS «LANS» Situations particulières: exemple x x x

18 ANALYSE TREILLIS «LANS» Equilibre d un morceau de treillis Calcul des réactions d appui; Coupe et SRL d un morceau de treillis; 3 équations d équilibre efforts dans trois barres coupées (ni parallèles ni concourantes) = «coupe simple»; On peut couper dans plus de 3 barres sous certaines conditions. Les treillis composés nécessitent une coupe pour être entièrement calculables!

19 ANALYSE TREILLIS «LANS» Coupe et équilibre d un morceau: exemples N 1 N 2 N 3 R Q N 1 N 2 N 3 N 4 V

20 ANALYSE TREILLIS «LANS» Coupe et équilibre d un morceau: exemples x x x x x x x etc... Q x

21 ANALYSE TREILLIS «LANS» Coupe et équilibre d un morceau: exemples Q Q Q x x

22 ANALYSE TREILLIS «LANS» Treillis complexes : Treillis dans lesquels aucun nœud ni aucune coupe ne permet de calculer directement des efforts!!! Emploi simultané de coupes, et/ou de nœuds, et/ou de fragments de treillis pour obtenir qq équations à qq inconnues; Méthode de l équilibre simultané des nœuds.

23 ANALYSE TREILLIS «LANS» Treillis complexes : exemples Q Q